Wykład X. ε, ε, ε = ε oznaczają współrzędne tensora odkształcenia, u i w są współrzędnymi wektora WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ

Transkrypt

1 Wykład X ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYC Z WYKORZYSTANIEM TRANSFORMACJI LAPLACE A i FOURIERA CIĄG DALSZY. Konsolidacja półprzesrzeni konsolidujące pod działaniem ruchomego obciążenia skupionego. Rozważmy półprzesrzeń konsolidującą z powierzchnią brzegową przepuszczalną dla cieczy. Przyjmijmy że w chwili = do powierzchni brzegowej półprzesrzeni zosało nagle przyłożone obciążenie skupione rozłożone wzdłuż linii. Od momenu saru obciążenie porusza się ze sała prędkością v wzdłuż osi x. Schema zagadnienia przedsawiono na rys... Rys... Schema zagadnienia płaskiego. Zakładamy że prędkość v jes mała i zagadnienie możemy rakować jako quasisayczne. Punkem wyjścia rozważań jes układ podsawowych równań porosprężysości Bioa. Zagadnienie będzie rakowane jako płaskie w płaskim sanie odkszałcenia. Równania równowagi wewnęrznej ośrodka dwufazowego z pominięciem sił masowych maja posać nasępującą: ( ( + + = + + =. (. Przy czym = są współrzędnymi ensora naprężenia szkieleu a = pf jes naprężeniem przenoszonym przez ciecz odniesionym do jednoski powierzchni całkowiej elemenu; p oznacza ciśnienie hydrosayczne a f współczynnik porowaości objęościowej ośrodka. Związki geomeryczne w przypadku płaskiego sanu odkszałcenia mają posać: ε = u ; ε = w ; ε = ( u + w ε = ε + ε ; θ = U + W (. ε ε ε = ε oznaczają współrzędne ensora odkszałcenia u i w są współrzędnymi wekora przemieszczenia odpowiednio w kierunku osi x i x a U i W są współrzędnymi wekora

2 przemieszczenia cząsek cieczy odpowiednio w kierunku osi x i x. Związki fizyczne dla rozważanego ośrodka przyjęo w posaci podanej przez [Bioa 956]: = Nε + Qθ + Aε = Nε + Qθ + Aε = Nε = = = Aε + Qθ = Qε + Rθ (. gdzie ANQR są sałymi Bioa rozważanego ośrodka. Równania (. i (. uzupełnia równanie przepływu przez ośrodek poroway równanie Bioa Darcy ego k θ ε = D D ρgf D D (.4 przy czym k jes współczynnikiem przepuszczalności Darcy ego Oznaczając C k ρgf = równanie przepływu możemy zapisać w posaci: ρ g oznacza ciężar właściwy wody. Dθ Dε C =. (.5 D D Należy uaj podkreślić że dylaacja wysępująca w powyższych wzorach jes dylaacja pozorną szkieleu związaną z dylaacją rzeczywisą prosym związkiem: ( f ε = ε. (.6 W dalszych rozważaniach posłużymy się inną posacią równania przepływu. Wyeliminujemy z niego wielkość θ za pomocą osaniego ze związków fizycznych (. i w wyniku orzymamy: D Dε C = (.7 R D R D gdzie = Q + R. Zbiorcze równania eorii konsolidacji wyrazimy w przemieszczeniach. W ym celu w równania równowagi wewnęrznej (. podsawimy związki fizyczne (. wykorzysamy związki geomeryczne (. i po uporządkowaniu wraz równaniem przepływu (.4 napiszemy: N u + ( M + N ε = R N w + ( M + N ε = R D Dε C =. R D R D (.8

3 Równania (.8 sanowią sprzężony układ równań porosprężysości Bioa w przypadku płaskiego sanu odkszałcenia. Wyjściowy układ równań eorii konsolidacji M.A. Bioa (.8 zawiera pierwsze pochodne względem czasu o należy podać warości rozważanych funkcji w chwili =. Warunki począkowe dla ego układu równań sprawiały wielu badaczom poważne problemy. Szereg auorów (np. [Bio 956b] [McNamee i Gibson 96a] sosując do rozwiązania zagadnień ransformację Laplace a przyjmowali że w chwili = poszukiwane funkcje równają się zeru w całym badanym obszarze. Orzymane prze nich rozwiązania nie spełniają warunku począkowego. Podobnie posępowaliśmy w poprzednich rozwiązaniach zagadnień jednowymiarowych. Mówimy w akim przypadku że mamy do czynienia z efekami naychmiasowymi. Temu zagadnieniu poświecona jes praca [Derskiego Kisiela 969]. Auorzy ej pracy przyjęli że w przypadku zagadnień płaskich isnieją odkszałcenia naychmiasowe i ze wraz z nimi wysępuje naychmiasowe naprężenie cieczy różne od zera. Oznaczyli e funkcje wskaźnikiem górnym zero zn.: u w ( ( x y = u x y = = w x y = = = (.9 Warunki e jako funkcje miejsca muszą wg cyowanej pracy [Derskiego Kisiela 969] spełniać układ równań niezależny od czasu: N u + ( M + N ε = R ( N w + ( M + N ε = R C = (. oraz warunki brzegowe. Dalej auorzy ej pracy swierdzają że isnienie ych funkcji można formalnie uwzględnić przy sosowaniu na układzie równań ransformacji Laplace a określonej wzorem: def s u w u w e d = ( ( % % %. (. Zagadnieniem niezgodności przyjęych warunków począkowych z orzymanymi warościami poszukiwanych funkcji w zerze w układach równań różniczkowych zajmował się [Doesch 964. Według Doescha warości począkowe wynikają z przeszłości układu fizycznego opisanego przez równania różniczkowe. Są o warości z kórymi układ przechodząc od ujemnych osiąga chwilę = Są o więc warości: F F F F K. 4 Wyjaśnienie że warości e nie zawsze są równe warościom począkowym: F + F + F + F + K 4 o znaczy że przejście od przeszłości do przyszłości w chwili = może nie być ciągłe jes według Doescha nasępujące: Przyczyna nie leży w warościach począkowych kóre wynikają z układu i działającego w przeszłości wzbudzenia lecz na wzbudzeniu działającym w czasie = kóre w procesie włączenia wybieramy bez wzięcia pod uwagę układu. Gdy nowe funkcje wzbudzające dla nie odpowiadają funkcjom wzbudzającym z przeszłości układu dla < o znaczy gdy w chwili

4 = wysępują skoki nie można się dziwić że również warości F F F F4 K zmieniają się skokowok. Doesch swierdza również że można udowodnić fizyczną poprawność orzymanych warości w czasie = + jeżeli sosujemy na układzie ransformację Laplace a. Opisane niezgodności nie mogą wysępować w dowolnym układzie równań i sosując kryerium Doescha można określić kiedy orzymane rozwiązania na pewno posiadają przyjęe warości począkowe. I ak: K mogą być zadane dowolnie wedy Warości począkowe F F F F 4 gdy wyznacznik ze współczynników przy najwyższych pochodnych po czasie jes różny od zera. Gdy warunek en jes spełniony rozwiązania na pewno przyjmują zadane warości począkowe. Za pomocą ego kryerium ławo swierdzimy że w przypadku układu równań (. kryerium o nie jes spełnione gdyż pochodne po czasie wysępują ylko w rzecim równaniu. Skokowo przyłożone obciążenie do powierzchni brzegowej (funkcja eaviseid a wyjaśnia dlaczego w rozwiązaniach przedsawionych w pracach [Kończaka ] [Sobczyńskiej ] i wielu innych badaczy isnieją osiadania różne od zera wbrew przyjęym począkowo warościom. Przyjmując za auorem pracy [Srzelecki 97] że w chwili = + isnieją osiadania naychmiasowe i funkcja naprężenia hydrosaycznego cieczy różna od zera oznaczymy e funkcje również wskaźnikiem górnym zero. Według mnie funkcje u w powinny spełniać nasępujący układ równań niezależny od czasu: N u + ( M + N ε = R ( N w + ( M + N ε = R = ε. (. Porównując powyższy układ równań z układem równań (. zauważymy że układ równań (. różni się od układu równań wyprowadzonego przez auorów pracy [Derski Kisiel 969] równaniem przepływu. Zajmijmy się bliżej ym równaniem. W posaci zależnej od czasu równanie o ma posać: D D Dε C = (. R D R D przy czym oznacza pochodną masową względem czasu. W ogólnym przypadku funkcje i ε D są zależne od prędkości przyłożenia obciążenia do półprzesrzeni konsolidującej v r. Więc: r przy czym v = ( vx vy vz D = + vx x + vy y + vz z D Dε = ε + vxε x + vy ε y + vzε z D (.4 r oraz v = ( vx vy vz hydrosaycznego - dylaacji pozornej szkieleu ε. Prędkości v r i v r są zależne od prędkości v r są wekorami prędkości zmiany naprężenia zmiany obciążenia na powierzchni półprzesrzeni konsolidującej. Gdy prędkość ruchu obciążenia jes mała (zagadnienie quasi-sayczne i sayczne uważamy że iloczyny: v ; v ; v ; v ε ; v ε ; v ε x x y y z z x x y y z z

5 są małe i przyjmujemy równe zero. W naszym rozparywanym przypadku prędkość v r z jaką przykładamy obciążenie do powierzchni brzegowej w chwili = + jes nieskończenie duża. Uwzględniając pionowy kierunek wekora prędkości v r możemy napisać: v = v = ; v = v = ; v = v =. x x y y z z Równanie (. sprowadza się więc w chwili = + do posaci: gdyż i C ε nie zależą od czasu więc v v R R ε y y = y y (.5 = ε =. Podzielmy obie srony równania (.5 przez vy = vy i obliczmy granicę uzyskanego wyrażenia z v y dążącym do nieskończoności: C y lim = lim y vy v vy y R R sąd równanie filracji sprowadza się w chwili = + do posaci: ε (.6 ε = (.7 y y Układ równań (.8 w ineresującym nas przypadku musi spełniać nasępujące warunki graniczne: Warunki brzegowe. naprężenia pionowe w szkielecie pod poruszająca się siłą skupioną wynoszą: x Pδ ( x v η ( gdzie δ ( oznacza delę Diraca a = ; (.8 η funkcję eaviseide a.. Naprężenia syczne na powierzchni ograniczającej półprzesrzeń konsolidującą są równe zero: = = ; (.9 x. Naprężenia w cieczy na powierzchni ograniczającej półprzesrzeń konsolidującą są równe zero: x = = ; (. 4. Przemieszczenie u w nieskończonej odległości od siły skupionej P jes równe zeru: u x r x v = ; (. 5. Przemieszczenie u w nieskończononej odległości od siły skupionej P jes równe zeru:

6 w x r x v = ; (. 6. Funkcja naprężenia w cieczy w nieskończonej odległości od siły skupionej P jes równe zeru: x r x v =. (. Warunki począkowe. Opierając się na kryerium Doescha [] przyjmiemy warunki począkowe w posaci: ε =. (.4 Rozważane przez nas zagadnienie brzegowe wygodnie rozwiązać jes w ruchomym układzie odniesienia: r ξ = x v ξ = x ξ = x. (.5 Sosując w dalszym ciągu w opisie procesu pełzania zapis Einseina będziemy jednakże pamięać że układ równań przyjęy jes określony równaniami (.8. Układ równań w ruchomym układzie odniesienia sprowadza się do posaci: N u + ( M + N ε = R N w + ( M + N ε = R v v C = & & ε + ε. R R R R (.6 Warunki graniczne naomias mają posać: ξ = ξ = ξ = = = ( = Pδ ξ η (.7 u = w = = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ε =. Rozwiązania układu równań (.6 z warunkami granicznymi (.7 przeprowadzimy sosując ransformację Laplace a:

7 ( ε θ ij εij = ( u w % ε % θ ij % εij L u w % % % % (.8 Uwzględniając warunek począkowy w posaci związku (.4 równania wyjściowe liniowej eorii konsolidacji w ruchomym układzie odniesienia po przeprowadzeniu ransformacji Laplace a mają posać: N u% + ( M + N % ε = % R N w% + ( M + N % ε = % R s v s v C % = % % % ε + % ε R R R R (.9 naomias warunki brzegowe po wykonaniu przedsawienia całkowego Fouriera funkcji obciążenia wyrażają się związkami: % % % ξ = ξ = = ξ = π = = p ( α iαξ s e dα (. u% = w% = % = ξ ξ ξ ξ ξ ξ przy czym p( α jes przekszałceniem zespolonym Fouriera funkcji obciążenia. Przejdźmy do rozwiązania układu równań (.9. Zróżniczkujmy pierwsze z równań po ξ m drugie po ξ i dodając sronami po uporządkowaniu orzymujemy równanie: gdzie K = R M ( + N. % ε = % (. K Wykonując nasępnie na równaniu przepływu obusronnie operację Laplace a orzymujemy: s v s v C % = % % % ε + % ε. (. R R R R Korzysając ze związku (. i równania (. rugujemy z ego osaniego funkcje obrazu dylaacji ε% i mamy: ( sk vk % % % (. + = gdzie K = ( ( + R M + N + C M N R Rozwiązanie równania (. ma posać:

8 = % ϕ + % ϕ %. (.4 Przy czym ϕ% jes funkcją harmoniczną spełniającą równanie: % (.5 ϕ = naomias ϕ% jes rozwiązaniem równania: % ϕ % ϕ % ϕ. (.6 sk + vk = Dla zbudowania rozwiązania szczególnego równań przemieszczeniowych (.9 wprowadźmy ransformaę Laplace a funkcji poencjału przemieszczenia Φ % zdefiniowaną związkami: def def u% = Φ % ; w% = Φ %. (.7 Wsawiając związki (.7 do równań przemieszczeniowych (.9 a nasępnie całkując pierwsze z równań względem ξ a drugie po ξ dosajemy po uporządkowaniu równanie Poissona: % %. (.8 Φ = K Z uwagi na związek (.8 i posać rozwiązania (.4 funkcję Φ % zapiszemy w posaci: Φ % = Φ % + Φ% (.9 przy czym Φ % jes funkcją biharmoniczną spełniającą równanie: % % (.4 Φ = Kϕ a Φ % jes rozwiązaniem równania:. (.4 % % Φ = Kϕ Rozwiązania (.9 jak ławo wykazać spełniają równania przemieszczeniowe (.9 i rozprzężone równanie przepływu (. naomias nie spełnia wyjściowego równania filracji. Aby spełnić o równanie należy do rozwiązania poencjalnego dodać rozwiązanie jednorodnego układu równań: N u% M N % + + ε = N w% M N %. + + ε = (.4 Rozwiązanie układu (.4 przyjmiemy w posaci funkcji Galerkina zdefiniowanej związkami: def u % = a % χ def = χ + w % b % a % χ (.4

9 przy czym równanie: + + a = M N b = M N N N naomias χ% jes funkcją biharmoniczną spełniająca χ = %. (.44 Poszukiwane rozwiązania układu równań przemieszczeniowych (.4 wyrażają się przy pomocy sumy: u% = u% + u % ; w% = w% + w %. (.45 Rozwiązania (8.5 musza spełniać równanie przepływu (.9. Prowadzi o do dodakowego warunku wiążącego funkcję ϕ% z funkcją Galerkina χ% mianowicie: KCR % %. (.46 χ = ϕ Funkcje wysępujące w rozwiązaniu przyjmiemy w posaci zespolonych całek Fouriera. Rozpoczniemy od wyznaczenia funkcji %. Zgodnie ze wzorem (.4 funkcja % jes sumą funkcji ϕ% i ϕ%. Funkcję ϕ% przyjmiemy w posaci: a i A( s e ξ αξ ϕ = α e dα π %. (.47 O akim wyborze funkcji zdecydował warunek że przy ξ bez względu na znak parameru całkowania α wszyskie funkcje wchodzące w skład rozwiązania powinny zanikać. Funkcja ϕ% ma spełniać równanie (.6 i wobec ego przyjmujemy ja w posaci: ϕ = B α s α + Kivα + Ksξ iαξ dα ( exp exp %. (.48 π W wyrażeniach (.47 i (.48 A( α s i B( s α są nieznanymi funkcjami parameru α i parameru różniczkowania s. Zgodnie ze wzorem (.4 funkcję naprężenia % wyrazimy nasępująco: = A( α s exp ( α ξ + B α s exp α + ikvα + Ksξ exp( iαξ dα π % (.49 Wykorzysując warunek brzegowy (. orzymujemy związek: ( α ( α B s = A s. (.5 Funkcja % po wyeliminowaniu ze wzoru (.49 funkcji parameru B( s α ma posać: % = A( α s exp( α ξ exp α + ikvα + Ksξ exp( iαξ dα π. (.5

10 Przejdźmy nasępnie do określenia ransformay funkcji poencjału dyfuzyjnego Φ %. Opierając się na wzorze (.9 widzimy że należy uprzednio wyznaczyć funkcje Φ % i Φ %. Funkcja Φ % jes biharmoniczna. Powinna spełniać równanie (.4. Rozwiązanie ego równania ma posać: Φ = αξ C α s αξ iαξ dα ( exp exp %. (.5 π Po podsawieniu funkcji Φ % (.5 do równanie (.4 orzymujemy związek pomiędzy funkcja parameru C ( α s i A( s α w posaci: C ( α s ( α s K A =. (.5 α α Po podsawieniu do (.5 zależności (.5 dosajemy Φ % wyrażone całką: ( α s A ξ Φ % = α ξ αξ dα. (.54 K exp π α exp( i Funkcję Φ % przyjmujemy w posaci zespolonej całki Fouriera: Φ = D α s α + ikvα + Ksξ iαξ dα ( exp exp %. (.55 π Po wykonaniu przepisanych różniczkowań wzorem (.4 dosajemy w wyniku zależność pomiędzy D ( α s i A( α s. Zależność a wyraża się związkiem: D ( α s = ( α s A K K vα i + s. (.56 Funkcję Φ % można już po uwzględnieniu związku (.56 zapisać w nasępujący sposób: ( α s K A Φ % = α + Kviα + Ksξ iαξ dα exp exp α + s π K v i. (.57 Osaecznie ransformaę Laplace a funkcji poencjału dyfuzyjnego możemy zapisać w posaci nasępującej zespolonej całki Fouriera: ( α s KA ξ exp( α ξ α Φ % = π KA( α s + exp ( α + Kviα + Ksξ exp ( iαξ dα. vα i + s (.58 Pozosała do wyznaczenia ransformaa funkcji Galerkina χ%. Przyjmiemy ją w posaci:

11 χ = F ( α s + αξg ( α s exp ( α ξ exp ( iαξ dα π %. (.59 Podsawiając wyrażenia (.59 i (.47 do warunku (.46 orzymamy zależność: G ( α s ( α s RKC A =. (.6 α Funkcja Galerkina po uwzględnieniu relacji (.6 w przesrzeni obrazu wyraża się całką: ( α s RKC A χ = F ( α s exp ( α ξ exp( iαξ dα π + α % (.6 Funkcje Φ % oraz χ% określają składowe sanu odkszałcenia i za ich pośrednicwem funkcje % ij kóre musza spełniać założone warunki brzegowe (.. Rozwiązanie szczególne po wykorzysaniu związków geomerycznych (. fizycznych (. oraz związku (.7 ma nasępująca posać: % % % % MR NQ % % MR NQ % = NΦ%. = NΦ + Φ = NΦ + Φ (.6 Rozwiązanie układu jednorodnego znajdziemy po wykorzysaniu związków (. (. i (.. Maja one posać: % = M % χ M + N % χ % = + 4 % χ + % χ ( M N ( M N % = + % χ + % χ. ( M N ( M N (.6 Rozwiązanie osaeczne ma posać: % = % + % % = % + % % = % + %. (.64 Po podsawieniu wzorów (.6 i (.6 odpowiednio zróżniczkowanych funkcji Φ % i χ% określonych wzorami (.6 oraz podsawiając ξ = orzymamy:

12 ξ= ( iαξ ( α s ( α + NKRC NKA α % ξ = = α + α α α * π A s N F s K v i s *exp dα % ( α s α NKRCA( α s NK A π α α = + + K ( viα s ( a NKA α s α α + Kviα + Ks Naα F ( α s + exp ( iαξ dα. + α (.65 Wykorzysanie warunków brzegowych (.7 oraz wzorów (.65 prowadzi do liniowego układu A s F α s : równań algebraicznych ze względu na ( α i ( ( α. ( α NKRC NKα %p + A( α s Nα α F ( α s = π K ( vα i + s s NKα NKRC α NKα α + Kviα + Ks + ( + a + A( α s + α α K ( viα + s Naα F s = (.66 Po rozwiązaniu układu równań (.66 orzymujemy: przy czym A ( α s π p( α ( vα i + s ( α + + ( α = (.67 s v i s a g s b Funkcję F ( s g α s = a α + Kviα + Ks NKRC a = NK + a NK b =. K α wyrazimy związkiem: (.68 α α α α α α F ( α s = + + a + aα α K ( vα i + s A s K RKC K + Kvi + Ks. (.69 Jak o już wspomniano p( α jes przekszałceniem Fouriera funkcji obciążenia. Korzysając z przekszałcenia całkowego Fouriera funkcji Diraca mamy: P p( α = (.7 π

13 gdzie P - obciążenie na jednoskę długości [ N / m ]. Podsawiając (.7 do wyrażenia (.67 i wykonując prose przekszałcenia algebraiczne funkcję A α s można przedsawić w nasępującej posaci: A ( α s p α α α α α = a s s v i B s + v i + A + A + Kvi + Ks ( + α + α (.7 przy czym b ab b K A = B =. a a Funkcje Φ % (.58 oraz χ% (.59 określają składowe wekora przemieszczenia u% i w%. Korzysając ze związków (.7 znajdziemy ransformay Laplace a funkcji przemieszczenia dyfuzyjnego u% i w%. A mianowicie: ξ α % i K u = ( α exp( α ξ exp ξ α α * π A s + + Kvi + Ks α α K v i *exp dα ( iαξ ( iαξ ( K α + s K ξ α α α % K + Kvi + Ks w = ( α exp ( α ξ exp ξ α α * π A s + Kvi + Ks α α K v i *exp dα. (.7 + s Drugą część rozwiązania u % i w % można wyznaczyć na podsawie zależności (.4. Po wykonaniu przepisanych zależnością (.4 działań ransformay rozwiązań orzymamy w posaci: ( ( i ( α ( α s( α ξ % i RKCa A u = + α α ( α * π a F s α exp α ξ exp αξ dα % RKCb α RKCa α w = ( α ( α ( α ξ + π A s A s α α aα F s + exp ( α ξ exp ( iαξ dα. (.7 Na podsawie związków (.9 i (.5 rozwiązania ogólne układu równań dosajemy w posaci nasępujących zespolonych całek Fouriera:

14 ( α ( α ( α ξ ξ α ( α i RKCa A s K A s u% = α α ( α * π + a F s α α Kα A( α s exp ( α ξ exp ( ξ α + Kviα + Ks exp ( iαξ dα K viα + s K ( α ξ RKC ( a α ξ α w% = ( α ( α + π A s A s α α + ( + ( α + aα F s K exp α ξ α Kviα Ks exp α Kviα Ks exp iαξ dα + ( + + ( K vi s % = ( α exp( α ξ exp( ξ α + α + exp ( αξ α π A s Kvi Ks i d (.74 przy czym A( α s i F ( s α są określone wzorami (.7 i (.69. Obecnie zgodnie z zapowiedzą wykażemy że funkcje (.74 w chwili = spełniają układ równań (.. Wykorzysamy w ym celu wierdzenie Doescha [] kóre mówi: lim F o Jeżeli isnieje sf ( s lim F = lim % ". (.75 s Po wykonaniu przejść granicznych zgodnie z (.75 orzymujemy: p ξ M + N ξξ u = arcg ( ξ K + + K M + N ξ + ξ π ( + + N N K K N p M + N w = ( + K exp ( α ξ exp ( αξ α + + i d M N α 4π ( + N N K + K N M + N ξ + ( + K + K N ξ + ξ p ξ =. M + N ξ + ξ π N ( + K + K N (.76 Jak ławo sprawdzić wypisane wyżej granice ransformay przemieszczeń i funkcji naprężeń hydrosaycznych wyrażone wzorami (.76 isonie spełniają układ równań (. z warunkami brzegowymi (.8 do (.. VIII... Wyznaczenie funkcji osiadań powierzchni półprzesrzeni konsolidującej.

15 Określenie w posaci jawnej wszyskich uzyskanych rozwiązań jes zadaniem rudnym i nie ma moim zadaniem isonego znaczenie w zasosowaniach inżynierskich. Znacznie ławiej jes uzyskać rozwiązania meodami numerycznymi co zosanie przedsawione w rozdziale IX. W dalszym ciągu ineresować nas będzie wyłącznie osiadanie obciążonej powierzchni. Określa je funkcja w% dla y =. Uzyskane rozwiązanie dla funkcji osiadań może pełnić isoną rolę w zakresie weryfikacji procedur numerycznych. Transformaa funkcji osiadań wyraża się wzorem: s + vα i + Aα + A α α + Kviα + Ks D w% = exp( iαξ dα ξ π α s s vα i Bα ( + + = ( (.77 PKRC a przy czym D =. a Aby orzymać poszukiwaną funkcję osiadania wykonamy najpierw odwroną ransformację Laplace a na funkcji w% dla y = określoną wzorem: γ + i w( ξ = w % ( ξ s exp ( s ds. (.78 π i γ i Nasępnie wykonamy przepisane wzorem (.77 całkowanie względem zmiennej α. Jak ławo swierdzić w rozwiązaniu (.77 wysępują całki ypu: exp ( i αξ d α (.79 α kóre jak wiadomo (parz [Sobczyńska 966] dla każdego ograniczonego ξ równają się nieskończoności. Zaem w dalszym posępowaniu zajmiemy się określeniem względnego osiadania powierzchni półprzesrzeni. Orzymamy je poprzez wprowadzenie dodakowego warunku że dla %. Powyższe założenie jes spełnieniem warunku ξ = ± gdzie l jes dowolnie duże w( ± l = l brzegowego (.. Sąd mamy: s + vα i + Aα + A α α + Kviα + Ks D w% = ( exp( iαξ exp( iα l dα ξ π α s s vα i Bα ( + + =. (.8 Dla lepszej przejrzysości przy obliczaniu całek wysępujących we wzorze (.8 zapiszemy go w posaci: przy czym: (% % % % % (.8 w = D I + II + III + IV ξ = gdzie

16 ( exp( αξ exp ( α s i i l I% = π α α α dα s( s + vi + B ( exp( exp( dα s ( s + vi + B ( exp( exp ( dα s( s + vi + B + + ( exp ( exp( s ( s + vi + B vα i iαξ iα l II % = π α α α Aα iαξ iα l III% = π α α α A α α Kviα Ks iαξ iα l IV% = π α α α dα. (.8 Po uwzględnieniu wyników całkowania i uporządkowaniu orzymujemy osaecznie wzór na osiadanie względne półprzesrzeni konsolidującej: ξ ( + ( + pη ξ vτ K l vτ K w( ξ = F ln + exp exp τ + ξ = 8π d Nb l τ 4τ 4τ ' ' ' ' ( A A + ( B B + ( C C D + D } F I I F I I F I I I I przy czym: (.8

17 ' B ( v i π ξ + τ ξ + vτ I A = ( ξ + v τ exp Erf τ 4 τ i d τ τ B Bτ ( l vτ ' i π + l + vτ I A = ( l + vτ exp Erf τ 4 τ i d τ τ B Bτ I I B ( ξ + vτ BK ( τ K = exp dτ BK ( τ + τ τ 4 + τ ( τ ( τ l + v K = exp dτ BK ( τ + τ τ 4 BK + τ ( ξ + v v v v v K IC = + v Erfc d τ B K B τ B K π τ τ exp ( ξ τ ( + v ' v π v τ v v τ K l IC = exp ( l + v Erfc dτ τ B K B τ B K ( ( τ + v π + v v + + I D = exp + v Erfc τ B K B B K BK v BK τ τ BK τ τ K ξ v ( ξ dτ τ ' v π v τ τ τ τ exp BK + v v BK + K l + v I = ( + D l v Erfc dτ τ B K B B K τ + τ BK (.84 gdzie: F = M + N 4( + K F = N M + N ( + K + K N M + N K ( + K N KN 4 K + K M + N F M + N K ( + K N = M N + K + ( + K N K + F = 4K B = ( K 4K ( + K ( + K K K + + ( K M + N N M + N N M + N N M + N N

18 M + N b =. M + N Zajmiemy się badaniem zbieżności całek wysępujących w rozwiązaniu oraz zbadaniem zachowania się funkcji osiadania w przypadkach granicznych. W wymienionym wzorze wysępują czery grupy całek o podobnej budowie. Nie ma porzeby zaem analizować wszyskich całek lecz jedynie reprezenaywne dla grup a mianowicie: A = τ ( ξ + vτ exp dτ 4τ ( τ K ( v ( ξ + vτ ( τ K A = exp dτ τ BK ( τ + τ 4 + τ BK i π ( ξ τ exp 4 τ τ τ B ξ + τ ξ + vτ A = + v Erf i + Bτ l + v l + vτ + ( l + vτ exp Erf τ 4 τ i d B Bτ v π v τ v v τ K ξ + v A 4 = exp ( ξ + vτ Erfc + τ B K B B K τ ( + v v τ v v τ K l exp ( l + vτ Erfc dτ. B K B B K τ (.85 Sprawdźmy najpierw czy wymienione całki są zbieżne przy dowolnych ξ z wyłączeniem punku ξ = zn. punku w kórym znajduje się obciążenie przy τ. Zajmiemy się najpierw badaniem zbieżności całek A i A. W ym celu zapiszmy je w innej posaci. Dokonując w obydwu całkach podsawienia: Orzymamy λ τ =. v ξ + Kλ λ A = exp dλ (.86 λ 4 I

19 v ξ + Kλ λ A = exp dλ. (.87 λ Bkλ + ( BK 4 BKλ + ( BK Do badania zbieżności ych całek zasosujemy kryerium całki niewłaściwej Cauchy ego kóre głosi: Jeżeli isnieje aka warość f λ λ pozosaje ograniczony gdy p > dla kórej iloczyn p λ o badana całka jes bezwzględnie zbieżna. Spełnienie ego warunku gwaranuje isnienie skończonej granicy: lim λ f p λ λ <. (.88 Przyjmując w przypadku całek A i A p = badamy granicę: v ξ + Kλ λ lim λ exp = λ 4 (.89 v ξ + K ξ K lim exp exp λ BK BK 4KB 4 KB BK BK + + λ λ λ = <. (.9 Widzimy zaem że obie całki w badanym obszarze są ograniczone. Zbadamy nasępnie zbieżność całki ' '' A. Dla uławienia dowodu rozbijmy całkę A na dwie całki A i A : ( τ ( v ' i π ( ξ τ exp 4 τ τ τ B ξ + τ ξ + vτ A = + v Erfc i + B l + v l + vτ ( l + vτ exp Erfc τ 4 τ i d B B '' i π ( ξ + vτ ξ + vτ A = ( ξ + vτ exp Erfc + 4 τ i τ τ B B ( τ l + v l + vτ ( l + vτ exp Erfc τ 4 τ i d B B (.9 (.9 przy czym:

20 A = A + A. (.9 ' '' Jeżeli całki ' A i A SA zbieżne o na mocy podsawowego wierdzenia o zbieżności całek []: '' F x dx Jeżeli zbieżne są całki i o zbieżna jes całka ± G x dx ± = ± F x G x dx i: F x G x dx F x dx G x dx. (.94 Do zbadania zbieżności ej całki skorzysamy z kryerium Cauchu ego dla przypadku gdy funkcja podcałkowa posiada osobliwość w jednej z granic całkowania. Kryerium o głosi: g Całka p F x dx dla kórej dolna granica jes punkem osobliwym jes zbieżna bezwzglednie jeżeli isnieje aka liczba α < ze isnieje granica: lim ( p x α F ( x x p <. (.95 ' Zbadajmy najpierw zbieżność całki A. Jeżeli skorzysamy z rozwinięcia asympoycznego funkcji Erfc( z (parz [Riżik Gradsein 964]: Erfc z k ( Γ k + = (.96 π exp( z k + ( z Oraz przyjmiemy że α = o na podsawie wymienionego kryerium należy zbadać granicę: τ Bτ Bτ * 4* B τ Bτ * 4* B τ lim L L = (.97 π τ τ Całka ( ξ + vτ ( ξ + vτ ( l + vτ ( l + vτ 4 4 ' A jes więc bezwzględnie zbieżna. Funkcja podcałkowa całki budowę jak całka ' A. Posępując analogicznie jak z całką '' A ma idenyczna ' '' A ławo wykazać że całka A jes A na podsawie cyowanego również bezwzględnie zbieżna. Z ego wynika że całka wierdzenia (8. jes bezwzględnie zbieżna. Do badania zbieżności całki A 4 skorzysamy z ego samego kryerium co w przypadku całki A. Korzysając z rozwiązania asympoycznego funkcji Erfc( z (8. oraz przyjmując α = o na podsawie wymienionego kryerium (8. należy zbadać granicę:

21 τ ( ξ + vτ K B K lim τ exp + π τ ( ξ τ 4τ v BK + v τ ( ξ + τ v K v B K τ L + 4 τ ( ξ τ v K + v 4 B K τ B K ( l + vτ K exp + + π τ ( τ v BK l + v 4τ τ ( + τ v K l v B K τ L = v τ K l + vτ 4 B K τ 4. (.98 Z ego wynika że funkcja A 4 dla badanego obszaru jes bezwzględnie zbieżna. W en sposób wykazaliśmy że całki wchodzące w skład wzoru są bezwzględnie zbieżne dla ξ. Zbadamy nasępnie jak zachowują się funkcje podcałkowe gdy ξ. Jak ławo swierdzić granica funkcji podcałkowych dla ξ jes skończona. Funkcja osiadań ma jednak w punkcie przyłożenia obciążenia osobliwość ypu logarymicznego. Dla warości ξ różnych od zera w przedziale ( l l osiadania są ograniczone. Zbadamy nasępnie jak zachowuje się funkcja osiadań gdy prędkość przemieszczania się obciążenia dąży do zera. Przechodząc do granicy przy v z wyrażeniem (.98 orzymamy: pη ξ ξ K l K w( ξ ξ = = ln + + = 8π F Ei Ei v Nb l 4 4 / // / // ( a a + ( b b F I I F I I (.99 przy czym

22 Ei ( ς / π i ξ iξ Ia = ξ exp Erf d τ 4Bτ τ Bτ // Ia = l Erf d I I π i l il exp τ 4Bτ τ Bτ K dτ ( + 4 KB ( τ + τ / ξ b = exp τ BK τ τ // b l K = exp dτ τ BK ( τ + τ 4 KB ( τ + τ. oznacza funkcję wykładniczo-całkową kórej przedsawienie całkowe ma posać Ei ( ς ς exp( τ dτ τ =. Porównując orzymany rezula z osiadaniem względnym w( ξ ξ = powierzchni brzegowej półprzesrzeni konsolidującej obliczonym w przypadku działania obciążenia skupionego [Srzelecki 874b] widać że wzory e są idenyczne. Zbadamy nasępnie osiadania półprzesrzeni konsolidującej w chwili = +. Po wykonaniu przejścia granicznego we wzorze Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. z orzymujemy: ( ξ ξ = lim ( ξ w = w = + ξ = =+ ( + ( + p M N K ξ ln M + N l π N ( + K + K N. (. Ławo można swierdzić że wzór (. pokrywa się z rozwiązaniem (.77 oczywiście po uwzględnieniu wpięcia dla ξ = ± l w ξ i wykonania całkowania względem α. Zbadajmy nasępnie osiadania dla. Rozparzymy je w ruchomym układzie współrzędnych. Zauważymy że funkcje podcałkowe całek wchodzących w skład wzoru: / / IC IC ID ID zależą w sposób jawny od i przy mają w granicy warość zero. Osaecznie osiadanie po czasie wyraża się wzorem:

23 ( ξ + τ ( + τ p ξ v K l v K lim w( ξ = F ln + exp exp τ + ξ = 8π d Nb l τ 4τ 4τ π i ξ + vτ ξ + vτ l + vτ l + vτ + ( ξ + vτ exp Erf i ( l + vτ exp Erf i dτ 4 τ 4 τ τ τ τ B B B Bτ + lim F (. ( BK ( ξ + vτ K l + vτ K exp exp dτ}. τ BK ( τ + τ 4 τ + τ 4 τ + τ BK Jak wykazano wcześniej wysępujące we wzorze (. całki są zbieżne w całym przedziale więc są zbieżne w przypadku całki: zmiennej ( BK ( ξ + vτ K l + vτ K S = exp exp dτ. τ BK ( τ + τ 4 τ + τ 4 τ + τ BK (. Zauważymy że przy funkcja podcałkowa dąży do zera. Pozosawimy jednak e funkcję w rozwiązaniu (. gdyż w szczególnym przypadku gdy f zn gdy mamy do czynienia z ośrodkiem sprężysym nieporowaym całka S ma warość skończoną. Rozparzmy bliżej en przypadek. Zauważymy że przy f sała B równa się zero i wówczas korzysając z ablic całek [] mamy: ξ K l K ξ lim S = lim exp exp ln f = = τ 4τ 4τ l. (. W przypadku f całka lim S =. Funkcja osiadań Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. posiada w punkcie ξ = osobliwość ypu ξ ln. Dla pozosałych l ξ w przedziale ( l l warości funkcji są ograniczone. Opierając się na pracy [Doescha 964] możemy więc swierdzić że orzymane rozwiązanie Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. jes saeczne i posiada zw. saeczność niewłaściwą. Zbadamy jeszcze przebieg osiadania gdy i v. W ym przypadku wzór (. przyjmuje posać: w ( ξ π ii p M + N + K ξ = + ln + ξ = π N ( + ( + 4( + v M N K K M N l + lim F I (.4 przy czym:

24 ξ ξ l l I = ξ exp Erf i l exp Erf i dτ 4Bτ 4 τ τ Bτ Bτ Bτ I ξ K l K = exp exp dτ. τ BK ( τ + τ 4 BK ( τ + τ 4 BK ( τ + τ Jak ławo wykazać przy f całka I dąży do zera a całka I jak o wykazano wyżej ma ξ warość ln. Osaecznie wiec osiadanie względne powierzchni wyraża się wówczas l wzorem: w ( ξ ( ν ξ = v f p Gπ ξ l = ln. (.5 Uwzględniono uaj że M odpowiada w ym przypadku sałej Lamego λ a N odpowiada modułowi odkszałcenia posaciowego G. Jak widać osiadania względne wyrażone wzorem (.5 odpowiadają ściśle rozwiązaniu Flamanda z eorii sprężysości [Nowacki 97]. Wykonane przejścia graniczne pod znakiem całki są dopuszczalne z uwagi na fak że badane wyrażenia spełniają wymagane dla akiej operacji warunki co wykazano w pracy [Srzelecki 97c].