Wstęp do komputerów kwantowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wstęp do komputerów kwantowych"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009

2 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego 2 Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie 3 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe

3 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Podstawowymi obiektami algebry liniowej są przestrzenie wektorowe. Skupimy się na C n przestrzeni n-krotek liczb zespolonych (z 1,..., z n ). Elementami przestrzeni wektorowej są wektory, oznaczane przez macierze kolumnowe: 1 z.. (1) z n Definiujemy dodawanie: 1 z. z n + z 1. z n z 1 + z 1. z n + z n, (2) i mnożenie przez skalar: z z 1. z n zz 1. zz n. (3)

4 Wektor zerowy. Podprzestrzenie Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego W mechanice kwantowej wektor oznaczamy przez ket ψ, (4) ψ jest etykietą wektora, symbol wskazanie, że obiekt jest wektorem. Przestrzeń wektorowa zawiera wektor zerowy, oznaczany 0; dla dowolnego wektora v : v + 0 = v, z0 = 0 dla dowolnej liczby zespolonej z. W C n wektorem zerowym jest (0, 0,..., 0). Podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V jest taki jej podzbiór W, że W jest przestrzenią wektorową, czyli jest zamknięta na mnożenie przez skalar i dodawanie.

5 Notacja Diraca Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Tablica: Podsumowanie notacji Diraca Zapis z ψ ψ φ ψ φ ψ φ ψ A A T A φ A ψ Znaczenie sprzężenie zespolone liczby z, (1 + i) = 1 i wektor, zwany ket wektor dualny do ψ, zwany bra iloczyn skalarny wektorów φ i ψ iloczyn tensorowy φ i ψ skrócony zapis iloczynu tensorowego φ i ψ sprzężenie zespolone macierzy A transpozycja macierzy A sprzężęnie hermitowskie macierzy A, A = (A T ) iloczyn skalarny pomiędzy φ a A ψ lub równoważnie pomiędzy A φ a ψ

6 Zbiór rozpinający Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Zbiorem rozpinającym przestrzeni wektorowej jest zbiór wektorów v 1,..., v n taki, że dowolny wektor v tej przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową v = i a i v i. Przykład Zbiorem rozpinającym dla C 2 jest ( ) 1 v 1 =, v 0 2 = ( ) 0. (5) 1 Istotnie, dowolny wektor z C 2 v = ( a1 a 2 ) (6) można zapisać jako v = a 1 v 1 + a 2 v 2. Mówimy, że v 1 i v 2 rozpinają C 2.

7 Zbiór rozpinający Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Przestrzeń wektorowa może mieć wiele zbiorów rozpinających. Przykład Innym zbiorem rozpinającym dla C 2 jest v 1 = 1 ( ) 1, v = 1 ( ) (7) Istotnie, dowolny wektor v = (a 1, a 2) z C 2 może być zapisany jako v = a1 + a2 2 v 1 + a1 a2 2 v 2. (8)

8 Liniowa niezależność i bazy Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Zbiór niezerowych wektorów v 1,..., v n jest liniowo zależny, jeżeli istnieje układ liczb zespolonych a 1,..., a n z a i 0 dla przynajmniej jednego i, taki że a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. (9) Zbiór wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest liniowo zależny. Dowolne dwa liniowo niezależne zbiory wektorów rozpinających przestrzeń wektorową V mają tę samą liczbę elementów; zbiór taki nazywamy bazą dla V. Liczbę elementów bazy nazywamy wymiarem V. W toku wykładu będziemy zainteresowani jedynie skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi.

9 Operatory linowe Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami V i W jest to dowolna funkcja A: V W, która jest liniowa na argumencie: ( ) A a i v i = a i A( v i ). (10) i i A( v ) oznaczamy przez A v. A działa na przestrzeń V, jeżeli A jest operatorem liniowym z V do V. Ważnymi operatorami liniowymi na dowolnej przestrzeni V są operator identycznościowy I V, określony jako I V v v dla wszystkich wektorów v (będziemy pomijali index, jeżeli nie będzie możliwości pomyłki); operator zerowy oznaczany 0, odwzorowujący wszystkie wektory na wektor zerowy, 0 v 0.

10 Operatory linowe i macierze Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Niech V, W i X będą przestrzeniami wektorowymi, a A: V W i B : W X operatorami liniowymi. Przez BA oznaczamy złożenie B z A: (BA)( v ) B(A( v )), w skrócie BA v. Macierz A jest operatorem liniowym z C n do C m, gdyż ( ) A a i v i = a i A v i. (11) i i Niech A: V W będzie operatorem liniowym, v 1,..., v m bazą dla V, a w 1,..., w n bazą dla W. Istnieją liczby zespolone A ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, takie, że A v j = i A ij w i. (12) Macierz A ij nazywamy macierzową reprezentacją operatora A.

11 Macierze Pauliego Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność Operatory linowe Macierze Pauliego Często używanymi macierzami są cztery macierze Pauliego: ( ) ( ) σ 0 I, σ σ x X, 1 0 ( ) ( ) 0 i 1 0 σ 2 σ y Y, σ i 0 3 σ z Z. 0 1

12 Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Przestrzeń z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną. Standardowo w mechanice kwantowej na oznaczenie iloczynu skalarnego stosuje się v w, gdzie v oznacza wektor dualny do v, czyli liniowy operator z przestrzeni V w C, określony jako v ( w ) v w ( v, w ). Reprezentacją macierzową wektora dualnego jest macierz wierszowa. W mechanice kwantowej pojawia się pojęcie przestrzni Hilberta. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych przestrzeń Hilberta jest to dokładnie to samo, co przestrzeń unitarna.

13 Iloczyn skalarny Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Iloczyn skalarny przeprowadza dwa wektory v i w w liczbę zespoloną. Zapiszemy chwilowo iloczyn skalarny wektorów v i w jako ( v, w ). Funkcja (, ): V V C jest iloczynem skalarnym jeżeli spełnia warunki: 1 (, ) jest liniowa w drugim argumencie ( ) v, i λ i w i = i λ i ( v, w i ). (13) 2 ( v, w ) = ( w, v ). 3 ( v, v ) 0, z równością wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.

14 Iloczyn skalarny Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Przykład W C n iloczyn skalarny określony jest jako ((y 1,..., y n ), (z 1,..., z n )) i yi z i = ( ) y1... yn z 1. z n. (14)

15 Ortonormalność Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Wektory w i v są ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny jest zerem. Normę wektora v określamy jako v v v. (15) Wektor jednostkowy to wektor v, dla którego v = 1. v Mówimy, że v jest unormowany, jeżeli v = 1; v nazywamy normalizacją v (dla dowolnego niezerowego wektora). Zbiór i wektorów z indexem i jest ortonormalny, jeżeli każdy wektor jest jednostkowy i różne wektory zbioru są ortogonalne, tj., i j = δ ij.

16 Procedura Grama Schmidta Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech w 1,..., w d będzie bazą przestrzeni wektorowej V z iloczynem skalarnym. Przy pomocy procedury Grama Schmidta możemy utworzyć bazę ortonormalną v 1,..., v d dla V. Określamy v 1 w 1 w 1, (16) i dla 1 k d 1 określamy v k+1 rekurencyjnie jako v k+1 w k+1 k i=1 v i w k+1 v i w k+1 k i=1 v i w k+1 v i. (17)

17 Relacja zupełności Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech v będzie z przestrzeni V, a w z przestrzeni W. w v jest operatorem liniowym z V do W określonym jako ( w v )( v ) w v v = v v w. (18) Możemy brać kombinacje liniowe operatorów w v z definicji i a i w i v i w działaniu na v daje i a i w i v i v. Niech i będzie dowolną bazą ortonormalną przestrzeni wektorowej V tak, że dowolny wektor v = i v i i dla liczb zespolnych v i = i v. Stąd ( ) i i v = i i v = v i i = v, (19) i i i z czego wynika relacja zupełności i i = I. (20) i

18 Nierówność Cauchy ego Schwartza Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Nierówność Cauchy ego Schwartza Dla dowolnych dwóch wektorów v i w zachodzi v w 2 v v w w. Istotnie, budujemy procedurą Grama Schmidta bazę ortonormalną i tak, aby w pierwszym wektorem bazy był. Korzystając z relacji zupełności w w i i = I mamy i v v w w = v i i v w w i v w w v w w w w = v w w v = v w 2. (21) Łatwo pokazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy v i w są linowo zależne.

19 Wektory i wartości własne Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Wektorem własnym operatora liniowego A jest niezerowy wektor v taki, że A v = v v, gdzie v jest liczbą zespoloną znaną jako wartość własna operatora A odpowiadająca v. Funkcję charakterystyczną określamy jako c(λ) det A λi (det jest wyznacznikiem macierzy). Funkcja ta zależy jednynie od operatora A, a nie od jego szczególnej reprezenacji macierzowej. Rozwiązania równania charakterystycznego c(λ) = 0 są wartościami własnymi operatora A. Przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej v jest zbiór wektorów, które mają wartość własną v; jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej, na którą działa A.

20 Diagonalizacja Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Reprezentacją diagonalną operatora A na przestrzeni V jest A = i λ i i i, gdzie i zbiór ortonormalny wektorów własnych A z odpowiadającymi wartościami własnymi λ i. Operator jest diagonalizowalny, jeżeli ma reprezentację diagonalną. Przykład Macierz Pauliego Z ma reprezentację diagonalną: ( ) 1 0 Z = = (22) 0 1 Reprezentacja diagonalna nosi też nazwę rozkładu ortonormalnego.

21 Zwyrodnienie Algebra liniowa Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Jeżeli przestrzeń własna jest więcej niż jednowymiarowa, to mówimy, że jest zwyrodniała. Przykład Macierz A = (23) ma dwuwymiarową przestrzeń własną odpowiadającą wartości własnej 2. O wektorach własnych (1, 0, 0) i (0, 1, 0) mówimy, że są zwyrodniałe, gdyż są liniowo niezależnymi wektorami własnymi A z tą samą wartością własną.

22 Sprzężenie hermitowskie Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Niech A będzie operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta V. Istnieje jednoznacznie określony operator A na V, zwany sprzężeniem hermitowskim A, taki, że dla wszystkich wektorów v, w V : ( v, A w ) = (A v, w ). (24) Łatwo sprawdzić, że (AB) = B A. Dla wektora v, v v oraz (A v ) = v A. Reprezentacją macierzową sprzężenia hermitowskiego jest macierz sprzężona i transponowana do A, A (A ) T. Przykład ( ) ( ) 1 + 3i 2i 1 3i 1 i =. (25) 1 + i 1 4i 2i 1 + 4i

23 Operatory hermitowskie. Projektory Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Operator A, którego sprzężenie hermitowskie jest równe A nazywamy operatorem hermitowskim lub samosprzężonym. Ważną klasą operatorów hermitowskich są projektory. Niech W będzie k-wymiarową podprzestrzenią d-wymarowej przestrzeni wektorowej V. Przy pomocy procedury Grama Schmidta można zbudować bazę ortonormalną 1,..., d dla V tak, że 1,..., k jest ortonormalną bazą dla W. Określamy projektor na podprzestrzeń W jako k P i i. (26) i=1 Definicja ta nie zależy od bazy ortonormalnej 1,..., k dla W. Można pokazać, że v v jest hermitowski dla dowolnego wektora v, więc P jest hermitowski, P = P.

24 Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Dopełnienie ortogonalne. Operatory normalne i unitarne Przez P często będziemy oznaczać też podprzestrzeń, na którą P jest projektorem. Dopełnieniem ortogonalnym P jest operator Q I P. Q jest projektorem na podprzestrzeń rozpinaną przez wektory k + 1,..., d, którą nazywamy dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni P. Operator A jest normalny, jeżeli AA = A A. Operator hermitowski jest normalny. Dla operatorów normalnych mamy rozkład spektralny. Macierz U jest unitarna, jeżeli U U = I, podobnie operator U jest unitarny, jeżeli U U = I. Operator jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy jego reprezentacja macierzowa jest unitarna. Operator unitarny spełnia UU = I, jest więc normalny.

25 Operatory unitarne. Operatory dotatnie Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Operatory unitarne zachowują iloczyn skalarny: (U v, U w ) = v U U w = v I w = v w. (27) Niech v i będą bazą ortonormalną. Określmy w i = U v i, więc w i też są bazą ortonormalną; U = i w i v i. Z drugiej strony, jeżeli v i i w i są dwiema bazami ortonormalnymi, to U i w i v i jest operatorem unitarnym. A jest operatorem dodatnim, jeżeli dla każdego wektora v, ( v, A v ) jest rzeczywisty, nieujemny. Jeżeli ( v, A v ) jest ostro większy od zera dla wszystkich v 0, to A jest dodatnio określony. Dowolny operator dodatni jest hermitowski i ma reprezentację diagonalną i λ i i i z nieujemnymi wartościami własnymi λ i.

26 Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Twierdzenie (Rozkład spektralny) Dowolny operator normalny M na przestrzeni wektorowej V jest diagonalny względem pewnej bazy ortonormalnej dla V. Z drugiej strony, dowolny operator diagonalizowalny jest normalny. Dowód. Indukcja względem wymiaru d przestrzeni V. Przypadek d = 1 jest trywialny. Niech λ będzie wartością własną M, P projektorem na przestrzeń własną λ, Q projektorem na jej dopełnienie ortogonalne. Zatem M = (P + Q)M (P + Q) = PMP + QMP + PMQ + QMQ. Oczywiście PMP = λp. Dalej, QMP = 0, bo M przenosi podprzestrzeń P na siebie. Również PMQ = 0. Istotnie, niech v będzie z podprzestrzeni P, wtedy MM v = M M v = λm v, więc M v ma wartość własną λ i należy do P, stąd QM P = 0, biorąc sprzężenie hermitowskie dostajemy PMQ = 0. Zatem M = PMP + QMQ. Musimy dowieść, że QMQ jest normalny.

27 Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Dowód (dokończenie). Zauważmy, że QM = QM (P + Q) = QMQ i QM = QM (P + Q) = QM Q. Zatem z normalności M i obserwacji, że Q 2 = Q, QMQQM Q = QMQM Q = QMM Q = QM MQ = QM QMQ = QM QQMQ, (28) więc QMQ jest normalny. Przez indukcję, QMQ jest diagonalny względem pewnej bazy ortonornalnej dla podprzestrzeni Q i PMP jest diagonalny względem pewnej ortonormalnej bazy dla P. Z tego wynika, że M = PMP + QMQ jest diagonalny względem pewnej ortonormalnej bazy dla całej przestrzeni wektorowej. Dowód w drugą stronę jest prostym ćwiczeniem.

28 Rozkład spektralny Iloczyn skalarny Wektory i wartości własne Sprzężenie hermitowskie i operatory hermitowskie Rozkład spektralny M można zapisać jako M = i λ i i i, gdzie λ i są wartościami własnymi M, i bazą ortonormalną dla V, gdzie każdy i jest wektorem własnym M z wartością własną λ i. W języku projektorów M = i λ ip i, gdzie P i jest projektorem na podprzestrzeń własną λ i. Projektory spełniają relację zupełności i P i = I i relację ortonormalności P i P j = δ ij P i.

29 Iloczyn tensorowy Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Iloczyn tensorowy tworzy z przestrzeni wektorowych większe przestrzenie wektorowe. Konstrukcja ta jest kluczem do mechaniki kwantowej układów wielocząstkowych. Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi o wymiarach odpowiednio m i n. V W jest mn-wymiarową przestrzenią wektorową, jej elementami są liniowe kombinacje iloczynów tensorowych v w elementów v z V i w z W. W szczególności, jeżeli i i j są bazami ortonormalnymi dla przestrzeni V i W, to i j jest bazą dla V W. Często stosujemy skrócony zapis v w, v, w lub vw dla v w. Przykład Jeżeli V jest dwuwymiarową przestrzenią wektorową z wektorami bazowymi 0 i 1, to jest elementem z V V.

30 Własności iloczynu tensorowego Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Iloczyn tensorowy ma z definicji następujące własności: 1 Dla dowolnego skalara z i elementów v z V i w z W, z( v w ) = (z v ) w = v (z w ). (29) 2 Dla dowolnych v 1 i v 2 z V oraz w z W, ( v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w. (30) 3 Dla dowolnego v z V oraz w 1 i w 2 z W, v ( w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2. (31)

31 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Operatory działające w iloczynie tensorowym Niech v i w będą wektorami z V i W, a A i B operatorami działającymi odpowiednio na V i W. Definiujemy operator liniowy A B na V W następująco (A B)( v w ) A v B w. (32) Definicję A B rozszerzamy liniowo na V W : ( ) (A B) a i v i w j i a i A v i B w i. (33) i A B jest dobrze określonym operatorem liniowym na V W.

32 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Operatory działające w iloczynie tensorowym Jeżeli A: V V i B : W W, to dowolny operator liniowy C odwzorowujący V W w V W może być przedstawiony w postaci C = c i A i B i, (34) i gdzie ( ) c i A i B i v w i i Iloczyn skalarny w V W określamy jako i a i v i w i, j b j v j w j ij c i A i v B i w. (35) a i b j v i v j w i w j. (36)

33 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Reprezentacja macierzowa iloczynu tensorowego Reprezentacją macierzową iloczynu tensorowego jest iloczyn Kroneckera. Niech A będzie macierzą m na n, B p na q, wówczas A 11 B A 12 B... A 1n B A A B 21 B A 22 B... A 2n B mp. (37) A m1 B A m2 B... A mn B }{{} nq A 11 B oznacza podmacierz p na q o elementach proporcjonalnych do B z współczynnikiem proporcjonalności A 11. Przez ψ k oznaczamy k-krotny iloczyn tensorowy ψ ze sobą, np. ψ 2 = ψ ψ.

34 Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Reprezentacja macierzowa iloczynu tensorowego Przykłady Iloczyn tensorowy wektorów (1, 2) i (2, 3): ( ( = 1 3 2) 3) 2 2 = 3 4. (38) Iloczyn tensorowy macierzy Pauliego X i Y : ( ) i 0 Y 1 Y X Y = = 0 0 i 0 1 Y 0 Y 0 i 0 0. (39) i 0 0 0

35 Funkcje operatorów Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Można rozszerzyć funkcje f określone na liczbach zespolonych o wartościach zespolonych na operatory normalne. Niech A = a a a a będzie rozkładem spektralnym operatora A. Definiujemy f (A) a f (a) a a. Przykład exp(θz) = ( ) e θ 0 0 e θ. (40)

36 Ślad Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Ważną funkcją macierzową jest ślad macierzy, określony jako suma jej elementów diagonalnych, tr(a) i A ii. (41) Ślad jest cykliczny, tr(ab) = tr(ba) i liniowy, tr(a + B) = tr(a) + tr(b), tr(za) = z tr(a). Z cykliczności wynika, że ślad jest niezmienniczy na przekształcenia podobieństwa A UAU, gdyż tr(uau ) = tr(u UA) = tr(a). Ma więc sens definiowanie śladu operatora A jako śladu dowolnej macierzowej reprezentacji A.

37 Ślad Algebra liniowa Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Niech ψ będzie wektorem jednostkowym, a A dowolnym operatorem. Aby obliczyć tr(a ψ ψ ) używamy procedury Grama Schmidta, aby rozszerzyć ψ do bazy ortonormalnej i zawierającej ψ jako pierwszy element. Mamy tr(a ψ ψ ) = i i A ψ ψ i = ψ A ψ. (42)

38 Komutator i antykomutator Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Komutator dwóch operatorów A i B jest określony jako [A, B] AB BA. (43) Jeżeli [A, B] = 0, tj. AB = BA, to mówimy, że A komutuje z B. Podobnie określamy antykomutator: {A, B} AB + BA ; (44) mówimy, że A antykomutuje z B, jeżeli {A, B} = 0. Przypuśćmy, że chcemy równocześnie zdiagonalizować operatory hermitowskie A i B, tj. zapisać A = i a i i i, B = i b i i i, gdzie i są wspólnym ortonormalnym zbiorem wektorów własnych A i B.

39 Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Twierdzenie (Równoczesna diagonalizowalność) Niech A i B będą operatorami hermitowskimi. Wówczas [A, B] = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ortonormalna taka, że zarówno A jak i B są w tej bazie diagonalne. Dowód. Dowód tego, że jeżeli A i B są diagonalne w tej samej bazie ortonormalnej, to [A, B] = 0 jest prosty. Dla dowodu odwrotnej własności, załóżmy, że a, j jest bazą ortonormalną przestrzeni własnej V a operatora A z wartością własną a. Zachodzi AB a, j = BA a, j = ab a, j, (45) więc B a, j należy do V a. Niech P a będzie projektorem na V a, określmy B a = P abp a. Ograniczenie B a do V a jest hermitowskie na V a, więc ma rozkład spektralny na zbiór ortonormalny wektorów rozpinających V a, oznaczmy te wektory a, b, k.

40 Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Dowód (dokończenie). B a, b, k należy do V a, więc B a, b, k = P ab a, b, k, co więcej, P a a, b, k = a, b, k, więc B a, b, k = P abp a a, b, k = b a, b, k. (46) Zatem a, b, k jest wektorem własnym B z wartością własną b, więc a, b, k jest ortonormalnym zbiorem wektorów własnych zarówno A jak i B, rozpinającym całą przestrzeń wektorową, na której A i B są określone. A i B są równocześnie diagonalizowalne.

41 Równoczesna diagonalizowalność Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Przykład [X, Y ] = ( ) ( 0 i i 0 ) ( 0 i i 0 więc X i Y nie mają wspólnych wektorów własnych. ) ( ) ( ) = 2i = 2iZ, (47)

42 Rozkład biegunowy Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Twierdzenie (Rozkład biegunowy) Niech A będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V. Istnieją wówczas operatory unitarny U i dodatnie J i K takie, że A = UJ = KU, (48) gdzie jedyne operatory dodatnie J i K spełniające to równanie są określone jako J A A i K AA. Co więcej, jeżeli A jest odwracalny, to U jest jedyny.

43 Rozkład biegunowy Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Dowód. J A A jest operatorem dodatnim, więc ma rozkład spektralny J = i λi i i (λi 0). Określmy ψi = A i. Z definicji ψi ψi = λ2 i. Rozważmy tylko te i, dla których λ i 0. Definiujemy dla nich e i ψ i λ i ; e i są ortonormalne, gdyż dla i j mamy e i e j = i A A j λ i λ j = i J2 j λ i λ j = 0. Rozważyliśmy i takie, że λ i 0. Procedurą Grama Schmidta rozszerzymy zbiór ortonormalny e i do bazy ortonormalnej, oznaczonej też e i. Niech operator unitarny U ei i. Gdy λi 0, to i UJ i = λ i e i = ψ i = A i. Gdy λ i = 0, to UJ i = 0 = ψ i. Działanie A i UJ zgadza się na bazie i, więc A = UJ. J jest jedyny, gdyż mnożenie A = UJ z lewej przez A = JU daje J 2 = A A, skąd J = A A, jednoznacznie. Jeżeli A jest odwracalny, to i J, więc U jest określone jednoznacznie przez U = AJ 1. Dla prawego rozkładu biegunowego A = UJ = UJU U = KU, gdzie K UJU jest operatorem dodatnim. Ponieważ AA = KUU K = K 2, więc K = AA.

44 Rozkład względem wartości osobliwych Funkcje operatorów Komutator i antykomutator Rozkłady biegunowy i na wartości osobliwe Wniosek (Rozkład względem wartości osobliwych) Niech A będzie macierzą kwadratową. Istnieją macierze unitarne U i V oraz macierz diagonalna D o elementach nieujemnych taka, że A = UDV. (49) Elementy diagonalne macierzy D nazywamy wartościami osobliwymi A. Dowód. Z rozkładu biegunowego A = SJ, dla unitarnego S i dodatniego J. Z twierdzenia spektralnego J = TDT, dla unitarnego T i diagonalnego D o elementach nieujemnych. Biorąc U ST i V T mamy tezę.

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk 10 13 listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19

Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Matematyczne metody fizyki 1 Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT-1-103-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Techniczna Specjalność: - Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II 1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność

Bardziej szczegółowo

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu 3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0 Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo