D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
|
|
- Jacek Urbański
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla zrozumienia i swobodnego posługiwania się wiadomościami zawartymi w tym podręczniku. D1.1. Definicje Prostokątna tablica m razy n liczb umieszczonych w m poziomych wierszach i n pionowych kolumnach nazywa się macierzą: A= [ a 11 a 12...a 1n ] a ij = a 21 a 22...a 2n (D1-1) a m1 a m2...a mn Liczbya ij sąelementamimacierzy;indeksioznaczanumerwiersza,indeksj numer kolumny,wktórychznajdujesięelementa ij.liczbya 11,a 22,a 33,a 44,...znajdującesię na głównej przekątnej określają diagonalę macierzy. Wymiar macierzy oznacza się przez (m n).wszczególności,wiersz [ ] a 1 a 2...a n jestprzykłademmacierzywierszowejo wymiarze(1 n),akolumna lub albo a 1 a 2... a m macierzykolumnowejowymiarze(m 1). Macierz kolumnowa nazywana jest wektorem i niekiedy oznaczana przez col(a 1,a 2,...,a m ) [ a1 a 2...a m ] T { a1,a 2,...,a m }. Jeśli elementami macierzy są inne macierze, to taka macierz nazywa się blokową, np. [ ] a 11 a 12...a 1n B11 B A= 12 = a 21 a 22...a 1n B 21 B (D1-2) a m1 a m2...a mn Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest jednakowa, nazywa się kwadratową, a liczbę tę stopniem macierzy, np. A= a 11a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 (D1-3) a 31 a 32 a 33
2 398 Metoda Elementów Skończonych jest macierzą kwadratową stopnia trzeciego. Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy z wyjątkiem leżących na diagonali są równe zeru, nazywa się macierzą diagonalną: a A= 0 a (D1-4) a nn Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz jednostkowa, zawierająca na diagonali same 1. Macierzkwadratowa,którejelementyspełniająrówność:a ij =a ji,nazywasięsymetryczną. Macierz kwadratowa, w której tylko elementy leżące na diagonali i powyżej są różne od zera, nazywa się macierzą trójkątną górną: a 11 a 12...a 1n A= 0 a 22...a 2n (D1-5) a nn Macierz kwadratowa, w której tylko elementy leżące na diagonali i poniżej są różne od zera, nazywa się macierzą trójkątną dolną: a A= a 21 a (D1-6) a n1 a n2...a nn Macierz zawierająca same zera nazywa się zerową. Macierz pasmowa jest macierzą, której wszystkie niezerowe elementy leżą na diagonali iwkrównoległychdoniejliniachzobustron,tworzącpasmowokółdiagonali: a 11 a a 21 a 22 a A= 0 a 32 a (D1-7) a nn Szerokość pasma wynosi 2k + 1. Liczbę k+1 nazywa się szerokością półpasma. Na przykład, macierz: δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 δ 23 0 = δ 32 δ 33 δ 34 δ 43 δ 44 δ 45 0 δ 54 δ 55 jest macierzą pasmową o szerokości pasma równej 3.
3 Działania na macierzach 399 D1.2. Działania na macierzach D Dodawanie i odejmowanie macierzy Dodawanie i odejmowanie macierzy może być dokonywane jedynie na macierzach o tych samychwymiarach a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn = ± b 11 b b 1n b 21 b b 2n b m1 b m2... b mn a 11 ±b 11 a 12 ±b a 1n ±b 1n a 21 ±b 21 a22... a 2n ±b 2n a m1 ±b m1 a m2 ±b m2...a mn ±b mn Zachodzą przemienność dodawania oraz łączność: A B= B+A, (A+B) C=A+(B C).. = (D1-8) (D1-9) D Mnożenie macierzy przez liczbę Możliwe jest mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą k: ka 11 ka 12...ka 1n ka= ka 21 ka 22...ka 2n (D1-10) ka m1 ka m2...ka mn D Transpozycja MacierzA T oelementacha T ij jestmacierzątransponowanądomacierzya,jeślimiędzy ich elementami zachodzi związek a ij =a ji. (D1-11) Prawdziwe są następujące równości: (A T ) T =A, (A±B) T =A T ±B T, (αa)=αa T,α liczba, (AB) T =B T A T, det(a)=det(a T ), tzn. wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmienia się przy jej transponowaniu. JeśliA T =A,tomacierzkwadratowajestsymetryczna. JeśliA T = A,tomacierzkwadratowajestskośniesymetryczna(nadiagonalisą wtedy same zera). Macierz transponowana do macierzy blokowej(d1-2) ma postać: [ B T A T 11 B T ] 12 =. (D1-12) B T 21B T 22
4 400 Metoda Elementów Skończonych D Mnożenie macierzy Mnożenie macierzy zdefiniowane jest związkiem C=AB, (D1-13) gdzie wymiary poszczególnych macierzy są następujące: A[m p],b[n p],c[m p]. Elementyc ij macierzycsąokreślonewzorem n c ij = a ik b kj =a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a in b nj. k=1 (D1-14) Elementy macierzy C są otrzymywane przez mnożenie kolumn macierzy B i wierszy macierzy A. Bardzo pomocnym narzędziem podczas wykonywania mnożeń macierzy jest tak zwany schemat Falka. Schemat ten zostanie przedstawiony na przykładzie. Przykład D1-1 Weżmy dwie prostokątne macierze A i B, których elementami są liczby rzeczywiste: A= , B= (D1-15) ZatemzgodniezD1-13iD1-14 C = A B (D1-16) Jeśli macierze te zapiszemy zgodnie z rys. D1-1, to elementy macierzy C otrzymamy drogą mnożenia wyrazów znajdujących się w odpowiednich wierszach i kolumnach B= A= = C Rys. D1-1 W MES częstym działaniem macierzowym jest obliczenie wg następującego schematu: K=C T K e C. (D1-17)
5 Działania na macierzach 401 Biorąc pod uwagę schemat Falka wykonamy tę operację następująco: C K e K e C C T C T K e C=K (D1-18) Podamy niektóre własności mnożenia macierzy. Mnożenie macierzy nie jest przemienne: AB BA, (D1-19) co ilustrujemy przykładem. Przykład D1-2 AB= BA= Mnożenie macierzy jest łączne: [ ][ ] [ ] = [ ][ ] [ ] = ,. (AB)C=A(BC) (D1-20) oraz rozłączne względem dodawania: A(B+C)=AB+AC. (D1-21) D Potęgowanie macierzy. Wielomian macierzy Mnożyćprzezsiebiemożnatylkomacierzekwadratowe.Potęgar-ta(r 0)kwadratowej macierzy A wynosi A r =AAA...A }{{}, oraza 0 =I(macierzjednostkowa) (D1-22) rrazy Słuszna jest równość A p A q =A p+q. (D1-23) Niech dany jest wielomian: P(x)=α 0 +α 1 x+α 2 x α k x k. Wartością tego wielomianu dla x = A, gdzie A macierz kwadratowa, jest następująca macierz: P(A)=α 0 I+α 1 A+α 2 A α k A k. (D1-24) Jeżeli P(A) = 0(macierz zerowa), to macierz A nazywa się pierwiastkiem wielomianu P(x).
6 402 Metoda Elementów Skończonych D Odwracanie macierzy MacierzA 1 jestmacierząodwrotnądokwadratowejmacierzya,jeśli AA 1 =A 1 A=I, (D1-25) I macierz jednostkowa. Jeżeli wyznacznik macierzy A jest różny od zera, to istnieje jednoznacznie określona macierz odwrotna do niej. Jest to warunek konieczny i wystarczający istnienia macierzy odwrotnej. NiechAjestnieosobliwąmacierząkwadratową(tzn.det(A) 0),aA ij dopełnieniem algebraicznymelementua ij.dopełnieniealgeraiczneelementua ij jesttoliczbaobliczalna wg wzoru A ij =( 1) i+j M ij, (D1-26) gdziem ij jestwyznacznikiemmacierzypowstałejzmacierzyaprzezskreśleniei-tego wiersza i j-tej kolumny. OznaczmyprzezA C macierzdopełnieńalgebraicznych,aprzez(a C ) T jejtranspozycję: A 11 A 21...A n1 (A C ) T = A 21 A 22...A n A 1n A 2n...A nn. (D1-27) Transponowaną macierz dopełnień algebraicznych nazywa się macierzą dołączoną do macierzya.macierzodwrotnąa 1 możnaotrzymaćdzielącwszystkieelementymacierzy dołączonej przez det(a) wyznacznik macierzy A: A 1 = 1 det(a) (AC ) T. (D1-28) Prawdziwe są następujące równości: (AB) 1 =B 1 A 1, det(a 1 )= 1 det(a), (A 1 ) 1 =A, (A T ) 1 =(A 1 ) T. D Macierz ortogonalna Kwadratowa macierz A jest ortogonalna, jeżeli jej transpozycja równa jest macierzy odwrotnej: A T =A 1. (D1-29) Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub 1. D Różniczkowanie i całkowanie macierzy Operacje te dotyczą macierzy, których elementami są funkcje. Jeżeli F= f 11 f 12...f 1n f 21 f 22...f 2n f m1 f m2...f mn, (D1-30)
7 to oraz F x i = Działania na macierzach 403 f 11 f 1n f x i x i x i f 21 f 22 f 2n... x i x i x i f m1 f m2... f mn x i x i x i... Fdx 1...dx r = x 1 x r gdziei ik =... f ik dx 1...dx r. x 1 x r I 11 I 12...I 1n I 21 I 22...I 1n I m1 I m2...i mn, (D1-31) D Różniczkowanie względem macierzy, (D1-32) Wektorpochodnychcząstkowychfunkcjif(x 1,x 2,...,x r )zmiennychniezależnychx i można zapisać tak: f x 1 f x = f x 2. (D1-33)... f x r D Rząd macierzy Liczba równa maksymalnemu stopniowi nieosobliwej macierzy kwadratowej wyjętej z danej macierzy nazywa się rzędem macierzy, np. z macierzy [ ] 213 A= (D1-34) 422 można wyjąć trzy macierze kwadratowe drugiego stopnia [ ] [ ] [ ] B=, C=, D= , (D1-35) przyczym:det(b)=0,det(c)= 4,zatemrządmacierzyAjestrówny2;r(A)=2. Rząd macierzy nie ulega zmianie przy jej dowolnych przekształceniach elementarnych (patrz pkt. D1.3.2).
8 404 Metoda Elementów Skończonych D1.3. Rozwiązywanie ogólnego układu równań liniowych D Twierdzenie Kroneckera-Capellego Danyjestukładn-równańzm-niewiadomymi,przyczymnniemusibyćrównem,w postaci: a 11 x 1 +a 12 x a 1m x m =b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2m x m =b 2... (D1-36) a n1 x 1 +a n2 x a nm x m =b n Niechr(A)oznaczarządmacierzywspółczynnikówprzyniewiadomychx i,ar(a,b) rząd macierzy powstałej z macierzy A przez jej rozszerzenie o jedną kolumnę, zawierającą wyrazyb i. Prawdziwe jest twierdzenie(kroneckera-capellego): Układ równań(d1-36) ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy r(a)=r(a,b)=r Ponadto: 1) układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy r = m(liczbie niewiadomych), 2) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od m r parametrów, gdy r<m. Układ równań jednorodnych ma zawsze rozwiązanie, ponieważ r(a) = r(a, 0). Jest to rozwiązanie zerowe. Rozwiązania niezerowe istnieją wówczas, gdy r(a) < m(np. gdy det(a)=0). D Elementarne przekształcenia macierzy Elementarnymi przekształceniami pierwszego rodzaju macierzy A są: 1) przestawienie dwóch wierszy, 2) pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera, 3) dodanie do wiersza krotności innego wiersza. Elementarnym przekształceniem drugiego rodzaju są analogiczne działania dokonywane na kolumnach macierzy. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Każdą nieosobliwą macierz kwadradratową można przekształcić do macierzy jednostkowej w skończonej liczbie przekształceń elementarnych(pierwszego albo drugiego rodzaju). Twierdzenie to można wykorzystać do znajdowania macierzy odwrotnej oraz do rozwiązywaniaukładówrównańliniowychpostaci:ax=b(pierwszyrodzaj)lubya=b (drugi rodzaj). Przykład D1-3 Dana jest macierz nieosobliwa A, por.[38] [ ] 341 A=
9 Wartości i wektory własne 405 Za pomocą przekształceń elementarnych pierwszego rodzaju znaleźć macierz odwrotną A 1. Zadanie rozwiążemy dokonując jednoczesnych przekształceń elementarnych macierzy AijednostkowejIprzyrównującAA 1 =I: [ ] A 1 = 522 [ ] Kolejność działań jest następująca. 1) Na miejscu wiersza trzeciego zapiszemy różnicę: wiersz trzeci-drugi, 2) Na miejscu wiersza pierwszego zapiszemy różnicę: wiersz pierwszy-ostatni wiersz trzeci, a na miejscu wiersza drugiego różnicę: wiersz drugi-ostatni wiersz trzeci. Otrzymamy: [ ] A 1 = 3 11 [ ] ) Na miejscu wiersza drugiego zapiszemy teraz różnicę: wiersz pierwszy wiersz drugi, 4) Otrzymany wiersz drugi mnożymy przez 5 i odejmujemy od wiersza pierwszego. Wynik podzielony przez 5 zapisujemy na miejscu wiersza pierwszego. Jest wtedy: A 1 = ) Na miejscu wiersza trzeciego zapiszemy wynik działania: wiersz trzeci + drugi 4 razywierszpierwszy.wtedyelementya 31 ia 32 będąrównezeru, 6) Na miejscu wiersza drugiego zapiszemy różnicę: wiersz drugi pierwszy. Macierz A przekształciła się w macierz jednostkową, a początkowa macierz jednostkowawa 1 A 1 = 1 5 [ ] D1.4. Wartości i wektory własne D Równanie charakterystyczne Niech A jest macierzą kwadratową stopnia n, a I macierzą jednostkową tego samego stopnia. Macierzą charakterystyczną nazywa się następującą macierz: gdzie λ jest zmienną niezależną. a 11 λ a a 1n (A λi)= a 21 a 22 λ... a n, (D1-37) a n1 a n2...a nn λ.
10 406 Metoda Elementów Skończonych Wyznacznik powyższej macierzy w postaci rozwiniętej jest wielomianem zmiennej λ stopnia n: det(a λi)=( 1) n (λ n +ψ 1 λ n ψ n 1 λ+ψ n ). (D1-38) Wielomian ten nazywa się wielomianem charakterystycznym macierzy A. Współczynniki ψ i możnawyrazićzapomocąelementówmacierzya.wszczególności: ψ 1 =(a 11 +a a nn ), ψ n =( 1) n det(a) (D1-39) Równaniedet(A λi)=0,tzn. λ n +ψ 1 λ n ψ n 1 λ+ψ n =0 (D1-40) jest równaniem charakterystycznym macierzy A, a jego pierwiastki wartościami własnymi(liczbami charakterystycznymi) macierzy A. Jeżeli liczba λ jest wartością własną macierzy A, to następujący układ równań: AX = λx (D1-41) ma niezerowe rozwiązanie X. Rozwiązanie to nazywa się wektorem własnym macierzy A. Układ równań(d1-39) jest jednorodny i dlatego ma rozwiązanie niezerowe tylko wtedy, gdy wyznacznik współczynników przy niewiadomych X jest równy zeru: det(a λi)=0. Rozwiązanie to jest wyznaczone z dokładnością do dowolnego czynnika i dlatego w celu uniknięcia wieloznaczności wektory własne normalizuje się. Warto zauważyć, że wartości własne mogą być liczbami zespolonymi, chociaż macierz A jest rzeczywista. Można wykazać, że dla macierzy symetrycznej wszystkie wartości własne i wektory własne są rzeczywiste. Ponadto wektory własne są ortogonalne i można je unormować tak, że X T i X k=δ ik, (D1-42) gdziex i wektorwłasnyodpowiadającyi-tejwartościwłasnej,aδ ik deltakroneckera (δ ik =0dlai korazδ ik =1dlai=k). Przykład D1-4 Określimy wartości i wektory własne następującej macierzy, por.[38]: Przyrównując wyznacznik macierzy charakterystycznej do zera: 3 λ λ λ =0,
11 otrzymujemy równanie charakterystyczne którego pierwiastki są następujące: Wartości i wektory własne 407 λ 3 6λ 2 +6λ 1=0, λ 1 =4,7913, λ 2 =1,0, λ 3 =0,2087 Są to wartości własne macierzy A. Wektory własne otrzymamy rozwiązując dla poszczególnychλ i następującyukładrównań: 3 λ λ 1 x 1 x 2 = λ x 3 0 Np.dlaλ 3 =0,2087,x 3 =1równanieprzyjmujepostać: ( )x 1 +2x 2 +1=0 2x 1 +(2 0,2087)x 2 +1=0 0+x 2 +(1 2087)(1)=0 Stądwektorwłasnyodpowiadającywartościwłasnejλ 3 mapostać: x 1 x 2 = 0,2087 0, x 3 1, 0000 Przedstawiona metoda obliczania wartości i wektorów własnych jest jednak bardzo nieefektywna z uwagi na konieczność rozwijania wyznacznika. Przedstawimy prostą metodę iteracyjną obliczania wartości własnych zwaną metodą potęg. Metoda ta zawodzi w przypadku występowania pierwiastków wielokrotnych równania charakterystycznego, a także gdy wartości własne leżą blisko siebie. Jest jednak bardzo wygodna dla oszacowania pierwszej największej wartości własnej, co ma bardzo duże znaczenie przy rozwiązywaniu problemów inżynierskich. Metodę tę objaśnimy posługując się przykładem. Przykład D1-5 Obliczymy pierwszą wartość własną macierzy podanej w przykładzie D1-4. Załóżmy wpierw pewien początkowy wektor własny, por.[38] X= [ 100 ] T Wykonajmy mnożenie AX= = a wektor, który otrzymaliśmy znormalizujemy. Zatem 3 2 =3 1 0,
12 408 Metoda Elementów Skończonych Wykonajmy mnożenie powtórnie, przy użyciu obliczonego znormalizowanego wektora. AX= ,0 0, 6667 = 4,3334 3, 3334 =4,3334 1,0 0, , , 1539 Proces ten możemy powtarzać, aż do uzyskania wymaganej zbieżności. Oto kolejne wyniki mnożenia AX: 4, ,0 0, 7868, 4,7705 1,0 0, 7904, 4,7870 1,0 0, 7911, 0, , , , ,0 0, 7912, 4,7910 1,0 0, 7910, 0, , , ,0 0, 7913, 4,7913 1,0 0, , , 2057 Otrzymaliśmy zatem, że największa wartość własna wynosi 4,7913. D Twierdzenie Hamiltona-Cayleya Każda macierz kwadratowa a jest pierwiastkiem swojego równania charakterystycznego (tj. równania D1-37): A n +ψ 1 A n ψ n 1 A+ψ n I=0. (D1-43) TwierdzenietomożnawykorzystaćdoznajdowaniamacierzyodwrotnejA 1.JeżelimacierzAjestnieosobliwa,tozgodniez(D1-37)ψ n 0,mnożączatemrównanie(D1-41) przeza 1 idzielącprzezψ n otrzymujemy A 1 = 1 ψ n (A n 1 +ψ 1 A n ψ n 1 I) (D1-44) Przywykorzystaniutegowzoruwygodniejestwspółczynnikiψ i równaniacharakterystycznego obliczać według wzorów: ψ 1 = S 1, ψ 2 = 1 2 (ψ 1S 1 +S 2 ), ψ 3 = 1 3 (ψ 2S 1 +ψ 1 S 2 +S 3 ),..., ψ n = 1 n (ψ n 1S 1 +ψ n 2 S ψ 1 S n 1 +S n ), gdzies p oznaczaśladmacierzya p.śladmacierzyjestsumąjejelementówleżącychna diagonali.
13 Informacje dodatkowe 409 D Macierze podobne Dwie macierze kwadratowe A i B tego samego stopnia nazywa się podobnymi, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz T taka, że: B=T 1 AT. (D1-45) Warunek ten może być zapisany w postaci: TB=AT. (D1-46) Macierze te mają takie samo równanie charakterystyczne, tzn.: jednakowe wartości własne, ślad i wyznacznik. Odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe, istnieją macierze o tym samym równaniu charakterystycznym, które nie są do siebie podobne. D1.5. Informacje dodatkowe D Macierze kongruentne Dwie symetryczne macierze A i T tego samego stopnia nazywa się kongruentnymi, jeżeli A=T T AT. (D1-47) Wśród macierzy kongruentnych do danej macierzy A zawsze można znależć macierz diagonalną. D Kryterium Sylvestra dodatniej określoności macierzy Nato,abysymetrycznamacierzA=[ca ij ]byładodatniookreślona,potrzebaiwystarcza, aby każdy z wyznaczników a 11, a 11a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33,...,det(A) był dodatni.
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoMacierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoMacierze Lekcja I: Wprowadzenie
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoMACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
MACIERZE Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy Nie bez przyczyny zaczynamy od pojęcia macierzy, które jest niezwykle przydatne we wszystkich zastosowaniach, obliczeniach
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoAlgebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowo