Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Transkrypt

1 Notatk do wykładu Geometra Różnczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 14 grudna Całkowane form różnczkowych 1.1 Twerdzene Stokes a W dalszym cągu E oznaczać będze półprzestrzeń w R n, tzn. zbór E = {(x 1, x 2,... x n ) R n : x 1 0} z topologą ndukowaną z R n (zbory otwarte w E to przecęca zborów otwartych w R n z E). Hprepłaszczyznę {x 1 = 0} oznaczać będzemy Π. Zauważmy, że jeśl O U są otwarte w E oraz ϕ : O U jest homeomorfzmem, to obcęce ϕ O Π jest homeomorfzmem O Π U Π. Zbór E służy jako standardowa rozmatość z brzegem, podobne jak R n jest standardową rozmatoścą (bez brzegu). Każdy kawałek rozmatośc z brzegem pownen wyglądać jak kawałek E. Może to być kawałek brzegowy, albo kawałek z wnętrza. Do zdefnowana struktury gładkej rozmatośc z brzegem potrzebujemy jeszcze pojęca gładkośc odwzorowań obszarów, których przecęce z Π jest nepuste. Odwzorowane ϕ : O U jest gładke jeśl da sę rozszerzyć do gładkego odwzorowana ˆϕ : Ô Û takego, że Ô, Û Rn są otwarte O = E Ô, U = E Û. W takm przypadku ϕ O Π też jest gładke. Defncja 1 Przestrzeń topologczna M jest gładką rozmatoścą z brzegem jeśl dla każdego q M stneją zbory otwarte q O M, U E homeomorfzm ϕ : O U. Jeśl ponadto U U, to odwzorowane ϕ ϕ 1 jest gładke. O O ϕ O O ϕ ϕ ϕ 1 W rozmatośc z brzegem wyróżnamy punkty wewnętrzne, tzn. take, które mają otoczena homeomorfczne z R n pozostałe, które nazywamy brzegowym. Zbór punktów brzegowych oznaczamy M nazywamy brzegem rozmatośc. Zauważmy, że brzeg rozmatośc z brzegem sam jest gładką rozmatoścą (bez brzegu, tzn brzeg brzegu jest pusty). Istotne, jeśl (U, ϕ ) I jest atlasem na M, to (U M, ϕ U M) I jest atlasem na brzegu. Fakt 1 Nech M będze orentowalną rozmatoścą z brzegem. Wtedy M też jest orentowalna. Jeśl M jest zorentowana, to na M stneje wyróżnona orentacja. 1

2 Dowód. Wyberzmy jedną z orentacj na M. Nech (O, ϕ ) I będze atlasem zgodnym z orentacją. Indukowany atlas na M, którego dzedznam są zbory O M jest także atlasem zgodnym, tzn. wyznacznk macerzy przejśca mędzy współrzędnym są dodatne. Zauważmy, że jeśl ϕ = (x 1, x 2,..., x n ) jest układem współrzędnych z dzedzną O to ϕ = (x 2,..., x n ) jest układem współrzędnych z dzedzną O M. Atlas (O M, ϕ ) zadaje ndukowaną orentację brzegu. Jeśl orentację M oznaczymy ı to orentację ndukowaną M oznaczać będzemy ı Twerdzene 1 (Sr George Gabrel Stokes) Nech M będze zwartą zorentowaną powerzchną z brzegem wymaru n nech ω będze n 1-formą na M, wówczas (M,ı) dω = ( M, ı) ω. Rys. 1: Sr George Gabrel Stokes Żeby uzyskać wgląd w sytuację zobaczmy najperw jak wygląda całkowane po kostce w R n. Kostka co prawda, ne jest rozmatoścą z brzegem z powodu kantów (brzeg jest jedyne kawałkam powerzchną), jednak z punktu wdzena całkowana kanty ne są kłopotlwe. Nech D będze n-wymarową kostką, tzn. D = [a 1, b 1 ] [a 1, b 1 ] [a n, b n ]. Brzeg D jest jedyne kawałkam powerzchną, ale to ne bardzo przeszkadza. (n 1)-forma ω do całkowana po brzegu D może zostać zapsana w następujący sposób: ω = ω 1 dx 2 dx 3 dx n ω 2 dx 1 dx 3 dx n + + ( 1) n+1 ω n dx 1 dx 2 dx n 1. 2

3 Różnczkujemy: dω = ω 1 x 1 dx1 dx 2 dx 3 dx n ω 2 x 2 dx2 dx 1 dx 3 dx n + + ( 1) n+1 ω n x 2 dxn dx 1 dx 2 dx n 1 = ω 1 x 1 dx1 dx 2 dx 3 dx n + ω 2 x 2 dx1 dx 2 dx 3 dx n + + ω n x n dx1 dx 2 dx k 1 dx n = ( ω1 x + + ω ) n dx 1 dx 2 dx 3 dx n 1 x n Oznaczamy teraz ı orentację kanonczną R n całkujemy: D,ı dω = D b1 ω x dx1 dx 2 dx n = a 1 dx 2 bez b1 a 1 dx 2 bez bn a n {x =b } D bn a n ω x dx1 dx 2 dx n = dx n b a ω x dx = ( dx n ω (x 1,..., b,... x n ) ω (x 1,..., a,... x n ) ) = (ω )dx 1 bez dx n {x =a } (ω )dx 1 bez dx n = W powyższym wzorze {x = b } oznacza ścanę kostk daną równanem x = b. Rozważmy węc parę ścan z ustaloną -tą współrzędną. Forma ω obcęta do ścany {x = b }, jest równa ω {x =b } = ( 1) +1 ω (x 1,..., b,..., x k )dx 1 dx 1 dx +1 dx k a do ścany {x = a } ω {x =a } = ( 1) +1 ω (x 1,..., a,..., x k )dx 1 dx 1 dx +1 dx k Orentacja ścany {x = b } ndukowana przez orentację kanonczną R n jest to orentacja zgodna z ( ) x,, 1 x, 1 x,, (1) +1 x k jeśl jest neparzyste a przecwna gdy parzyste. Odwrotne jest na ścane {x = b }: orentacja ndukowana jest zgodna z (1) jeśl parzyste przecwna jeśl neparzyste Można węc napsać, że (ω )dx 1 bez dx n = ( 1) +1 (ω )dx 1 bez dx n {x =b } {x =a } (ω )dx 1 bez dx n = ( 1) {x =b }, ı ({x =a }, ı) (ω )dx 1 bez dx n 3

4 dalej {x =b } {x =a } (ω )dx 1 bez dx n = ( 1) +1 (ω )dx 1 bez dx n = ( 1) Możemy zatem kontynuować perwotny rachunek = ({x =b }, ı) ω + ({x =b }, ı) ({x =a }, ı) ({x =a }, ı) ( 1) +1 ω = ( 1) +1 ω = ω = ( D, ı) ω. ({x =b }, ı) ({x =a }, ı) Twerdzene Stokes a na kostce zostało zatem udowodnone. Neco machając rękam możemy dalej argumentować następująco: Obszary w R n bedzej skomplkowane nż kostk możemy zawsze na kostk podzelć. Całkowane po wewnętrznych kostkach, które maja przylegające do nch nne kostk ne da wkładu, gdyż wkład od każdej ze ścan zostane równoważony przez wkład od ścany sąsednej kostk z przecwną orentacją. Nezerowe zostaną jedyne wkłady z brzegów do których nc ne przylega (Rys 2). Żeby jednak ne operać sę jedyne na machanu rękam ω, ω. Rys. 2: Twerdzene Stokes a przedstawamy dowód Twerdzena Stokes a dla dowolnej zwartekj powerzchn z brzegem. Koneczne będze użyce rozkładu jednośc. Dowód: Nech M będze jak w założenach twerdzena. Weźmy skończony atlas (O, ϕ ) I na M zgodny z orentacją. Zbór ndeksów I może być skończony, gdyż rozmatość M jest zwarta. (Õ, ϕ ) I oznaczać będze odpowedn atlas na M. Korzystać będzemy także ze zwązanego z pokrycem (O ) I rozkładu jednośc (α ) I. Zauważmy najperw, że ( ) Z drugej jednak strony ( d ( I α )ω dω = d(1 ω) = d ) ( I α )ω = d(α ω). I = d( α ) ω + ( α )dω = 0 + dω). I I I(α 4

5 Podsumowując, skoro zachodz równość form dω = d(α ω) = dω), I I(α to zachodz także równość całek I = dω = d(α ω) = (α dω). (M,ı) (M,ı) I (M,ı) I Zajmemy sę środkowym wyrażenem I = d(α ω) = (M,ı) I I (M,ı) d(α ω). Każda z form α ω ma nośnk w O, podobne d(α ω), całkę można węc zapsać w -tym układze współrzędnych. I = d(α ω). I (O,ı) α ω jest (n 1)-formą, węc ma postać α ω = f (x 1,... x n )dx 1 (bez k) dx n. d(α ω) = ( 1) k 1 f dx 1 x k dx n Z defncj całk z formy otrzymujemy d(α ω) = ( 1) k 1 f dx 1 (O,ı) ϕ (O ) x k dx n = ( 1) k 1 f dx 1 ϕ (O ) x k dx n = Korzystamy z twerdzena Fubnego = ( 1) k 1 dx D 1 (bez k) dx n b k (x) f a k (x) x k dx k = Obszar D oraz grance całkowana a k (x), b k (x) są dobrane jak w twerdzenu Fubnego, a zależność od x wskazuje na zależność granc od punktu w D. ( = ( 1) k 1 dx D 1 (bez k) dx n f (x 1,..., b k (x),..., x n ) f (x 1,..., a k (x),..., x n ) ) Jeśl ϕ (O ) jest otwarty w R n, wtedy wartośc funkcj f w punktach grancznych są równe zero, gdyż nośnk f zawera sę w ϕ (O ). Do całk wkład dają węc tylko te układy współrzędnych, które są brzegowe, tzn ϕ (O ) E. Tak układ współrzędnych ma szczególną postać, tzn. wyróżnona jest w nm perwsza współrzędna. Wkład do całk daje jedyne składnk z k = 1, gdyż w pozostałych punktach grancznych f także jest zero. Dla k = 1 granca górna całkowana b 1 (x) = 0. W grancy dolnej także funkcja f znka. Całka taka ma postać O,ı d(α ω) = ϕ (O ) E f (0, x 2,..., x n )dx 2 dx n = f (0, x 2,..., x n )dx 2 dx n. ϕ (Õ) 5

6 Zgodne z defncją całk na rozmatośc f (0, x 2,..., x n )dx 2 dx n = ω, ϕ (Õ) ( M, ı) I gdyż (Õ, ϕ ) stanow atlas na M zgodny z orentacją a obcęce (α ) do brzegu jest rozkładem jednośc na brzegu. 1.2 Klasyczne wersje Twerdzena Stokes a W tej częśc zajmemy sę nterpretacją ponższych wzorów analzy wektorowej w języku Twerdzena Stokes a. ( n rot X)dσ = ( t X)dl (2) S S dv X dv = ( n X)dσ. (3) D Dyskutować będzemy obekty, które zdefnować można na rozmatośc M wyposażonej w strukturę metryczną g, tzn. na przestrzen stycznej w każdym punkce dany jest loczyn skalarny, czyl forma dwulnowa, nezdegenerowana, symetryczna dodatno określona. Przypomnjmy sobe klka faktów algebracznych. Nech V będze przestrzeną wektorową skończene-wymarową a g loczynem skalarnym określonym na tej przestrzen. Iloczyn skalarny defnuje odwzorowane G : V V, G(v) = g(v, ). Fakt, że loczyn skalarny jest symetryczny powoduje, że odwzorowane G jest samosprzężone. Fakt, że loczyn skalarny jest nezdegenerowany powoduje, że G jest zomorfzmem lnowym. Dodatkowym obektem zwązanym z loczynem skalarnym jest forma kwadratowa g, która służy do defnowana długośc wektora: D g(v) = g(v, v), v = g(v). My pracować będzemy gówne z g G. Jeśl w V wyberzemy bazę e = (e 1, e 2,... e n ) loczyn skalarny oraz odpowedn samosprzężony zomorfzm przedstawć możemy przy pomocy macerzy. Macerz formy g w baze e oznaczamy zazwyczaj [g] e. Dla wygody będzemy także używać oznaczena G e. Będzemy także pomjać symbol bazy, jeśl będze jasne jakej bazy używamy. Wyrazy macerzowe G j mają postać G j = g(e, e j ). Zwróćmy uwagę na położene ndeksów, które, jakkolwek hstoryczne, ma jednak uzasadnene. Tradycyjne ndeksy przy współrzędnych wektora pszemy na górze oraz sumujemy po powtarzających sę ndeksach górnym dolnym. W tej sytuacj, jeśl v = v e oraz w = w e to g(v, w) = G j v w j albo g(v, w) = ([v] e ) T G e [w] e. 6

7 Jeśl ε = (ε 1,..., ε n ) oznacza bazę dualną do e to Zapsać też można G(v) = G j v ε j V. g = G j ε ε j. Zamana bazy w macerzy formy dwulnowej odbywa sę według wzoru G f = Q T G e Q, gdze Q jest macerzą odwzorowana dentycznoścowego na V zapsanego w bazach f e, dokładnej Q = [d V ] e f. Zamenając bazę w macerzy odwzorowana używamy macerzy przejśca wzajemne odwrotnych. Tu obkładamy wyjścową macerz macerzą przejśca do nej transponowaną. Odzwercedla to charakter macerzy G. Jest to oczywśce także kwadratowa tabelka lczb, ale funkcjonująca naczej nż zwykła macerz odwzorowana. Tensor metryczny na rozmatośc zadaje powyżej opsaną strukturę punkt po punkce na przestrzenach stycznych kostycznych. Mamy węc loczyn skalarny g na każdej z przestrzen stycznych, możemy lczyć długośc wektorów stycznych oraz dysponujemy zomorfzmem samosprzężonym G : TM T M. Izomorfzm ten pozwala utożsamać wektory z kowektoram, co jest wykorzystywane w teorach fzycznych, choć zazwyczaj pomjane mlczenem jako oczywste. Mając do dyspozycj lokalny układ współrzędnych (O, ϕ), ϕ = (x 1, x 2,..., x n ) mamy także w każdym punkce bazę przestrzen stycznej przestrzen kostycznej. Możemy zatem używać macerzy zwązanej z tensorem metrycznym. Wyrazy macerzowe G j są teraz ne lczbam a funkcjam gładkm na M. Załóżmy teraz, że rozmatość M jest orentowalna oraz że wybrano na nej orentację ı. Orentowalność wąże sę z stnenem neznkających n-form nazywanych formam objetośc. Istnene tensora metrycznego wybranej orentacj pozwala zdefnować w kanonczny sposób formę objetośc zwązaną z metryką. Jeśl układ współrzędnych jest zgodny z orentacją, to metryczna forma objętośc Ω ma postać Ω = det G dx 1 dx 2 dx n Struktura metryczna orentacja pozwala utożsamać pola wektorowe jednoformy oraz pola wektorowe n 1 formy. Jeśl X jest polem wektorowym na M, to G X jest jednoformą a X Ω jest (n 1)-formą. Gradent: Gradent jest polem wektorowym odpowadającym różnczce funkcj. Jeśl f jest funkcją gładką na M grad f = G 1 df. Defncja ta jest nezależna od współrzędnych. Pozwala jednak w łatwy sposób zapsywać gradent w dowolnych współrzędnych bez ucążlwego zamenana zmennych w operatorach różnczkowych. Prawdłowa defncja gradentu pozwala także odpowedzeć na pytane, czy dane 7

8 pole wektorowe X jest gradentem funkcj, tzn. czy ma potencjał sklarny. Pole mające potencjał skalarny odpowada jednoforme, która jest różnczką, zatem jej róznczka mus być zero. Warunkem konecznym potencjalnośc pola jest węc, aby d(g X) = 0. Istnene bądź nestnene potencjału zależy już dalej od kształtu obszaru, jak w Lemace Poncarè. Rotacja: Na trójwymarowej zorentowanej rozmatośc z metryką zdefnować można rotację pola wektorowego (rot A) następującym wzorem d(g A) = ı rot A Ω. Sprawdźmy, że na R 3 z kanoncznym loczynem skalarnym kanonczną orentacją otrzymamy znane nam już wzory na rotację pola wektorowego w kartezjańskm układze współrzędnych. Nech A = A x x + A y y + A z z. Korzystając z faktu, że kanonczne współrzędne w R 3 są ortonormalne otrzymujemy Po zróżnczkowanu otrzymujemy d(g A) = A x y dy dx+ A x ( Ay x A x y G A = A x dx + A y dy + A z dx. z dz dx+ A y x dx dy + A y z dz dy + A z x dx dz + A z dy dz = y ) ( Az dx dy + y A ) ( y Ax dy dz + z z A ) z dz dx x Oznaczmy teraz B = rot A. Forma objetośc w kanoncznych współrzędnych to Ω = dx dy dz. Mamy zatem ı B Ω = B x dy dz + B y dz dx + B z dx dy z porównana obu wzorów otrzymujemy rot A = ( Az y A ) ( y z x + Ax z A ) ( z x y + Ay x A ) x y z co zgadza sę z tradycyjnym wzorem na rotację. Zaletą naszej defncj jest, że możemy teraz zapsać rotację w dowolnym układze współrzędnych ne dokonując ucążlwej zamany zmennych. Fakt 2 Dowód: rot grad f = 0. ı rot grad f Ω = d(g grad f) = d(g G 1 df) = ddf = 0. 8

9 Zwężene w formą objętośc jest równe zero jedyne dla pola zerowego, zatem stotne rot grad f = 0. Powyższy fakt wskazuje, że jedną z metod sprawdzana potencjalnośc pola jest oblczene jego rotacj. Fakt, ż rotacja gradentu znka, wynka ze znkana drugej różnczk. Dywergencja: Na metrycznej orentowalnej rozmatośc dowolnego wymaru zdefnować można dywergencję pola wektorowego wzorem (dv X)Ω = d(ı X Ω). Dywergencja ne zależy od orentacj względem której wybrana jest forma objętośc Ω, gdyż pojawa sę ona po obydwu stronach równana. Ewentualna zmana znaku odbywa sę jednocześne po obu stronach równana. W kartezjańskm układze współrzędnych łatwo jest wypsać dywergencję: d(ı X Ω) = d(x x dy dz + X y dz dx + X z dx dy) = X x x dx dy dz + X y y dy dz dx + X z dz dx dy = z ( Xx x + X y y + X ) z dx dy dz, z Zatem dv X = X x x + X y y + X z z Także w tym przypadku bardzo łatwo jest wypsać dywergencję w nnym układze współrzędnych korzystając z defncj a ne z procedury zamany zmennych. Fakt 3 Dowód: dv rot X = 0 (dv rot X)Ω = d(ı rot X Ω) = d(dg X)) = 0 9