Ruch bryły swobodnej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "7.5.1. Ruch bryły swobodnej"

Transkrypt

1 751 Ruch brł swobone Swobona brła stwna ma w prestren seść stopn swobo o oreślena e ruchu potreba seścu równań ruchu Ruch brł możem robć na ruch śroa mas wwołan pre ałane wetora głównego sł ewnętrnch obrót brł wglęem śroa mas wwołan pre moment główn sł ewnętrnch reuowan o śroa mas Do ułożena równań ruchu brł worstam wprowaone popreno asa pęu rętu punce 73 waano że pochona pęu wglęem casu równa wetorow głównemu sł ewnętrnch opsue ruch śroa mas a w punce 735 że pochona rętu reuowanego o śroa mas wglęem casu równa momentow głównemu sł ewnętrnch opsue obrót brł wglęem śroa mas am węc wa równana wetorowe opsuące ruch brł swobone: p 790 Te wa równana wetorowe są równoważne seścu równanom salarnm trmam e po rutowanu wetorów wstępuącch w powżsch równanach na ose prostoątnego ułau współręnch Poobne a pr oblcanu rętu brł prmem wa uła współręnch: een neruchom r o pocątu w owolnm punce rug ruchom stwno wąan brłą o pocątu w śrou mas rs 74 Ponao la uproscena oblceń ałożm że ose ułau ruchomego są głównm centralnm osam Rs 74 Ruch swobon brł stwne bewłanośc Pr tam ałożenu gone e worem 766 ręt brł a ge są głównm centralnm momentam bewłanośc a ruchomm współręnm wetora pręośc ątowe w ułae

2 perwse olenośc oblcm pochoną rętu wglęem casu worstanem poanch w nematce brł worów na pochone wglęem casu wersorów ułau ruchomego 531 rażene w nawase w powżsm wore est rętem brł wglęem śroa mas Zatem pochona rętu wglęem casu 791 Po oblcenu locnu wetorowego wstępuącego w tm wore ora opowenm pogrupowanu wraów otrmam ostatecne: 79 Po apsanu wstępuącego w równanach 790 wetora głównego momentu głównego w ruchomm ułae współręnch: ora postawenu o rugego równana 790 woru 79 porównanu wrażeń pr wersorach otrmam seść salarnch równań ruchu brł:

3 ma ma ma 793 w tórch amast pochonch wglęem casu współręnch pręośc ątowe wprowaono opowene współręne prśpesena ątowego : a a a a są współręnm prśpesena a śroa mas Powżse równana różncowe wra warunam pocątowm enonacne opsuą ruch brł po wpłwem prłożonego o ne ułau sł Pr wprowaanu równań ruchu brł 793 a begun reuc pręto śroe mas brł Pocąte ruchomego ułau współręnch można prąć poa śroem mas po warunem że punt ten est neruchom Jeżel w porusaące sę brle stnee neruchom punt np to oberaąc go a begun reuc otrmam równana o postac 793 ale wte amast współręnch momentu głównego reuowanego o śroa mas należ postawć współręne momentu reuowanego o tego neruchomego puntu stępuące w tch równanach moment bewłanośc musą bć głównm momentam bewłanośc

4 75 brót brł woół stałe os obrotu brót owoln brł woół główne os bewłanośc ażnm aganenem w namce masn est ruch obrotow brł woół stałe os obrotu Z tm aganenem mam o cnena we wsstch masnach wrnowch Ab ta ruch można bło realować brła wrn mus bć ograncona węam Są nm nacęśce łożsa w tórch w case ruchu brł powstaą opowene reace Z nemat waomo że obracaąca sę brła woół stałe os obrotu ma een stopeń swobo Ta ruch brł można enonacne opsać enm równanem ruchu w postac ąta obrotu w func casu ϕ ϕt l o ϕ ϕ r c Rs 75 Ruch obrotow brł stwne woół główne os bewłanośc Dla wprowaena namcnego równana ruchu brł ałożm że brła obraca sę ruchem owolnm cl że pręość ątowa brł ne est stała woół os bęące główną osą bewłanośc rs 75 Ponao prmuem że pocąt neruchomego ułau współręnch ruchomego nauą sę w neruchomm punce nauącm sę na os obrotu l Poa tm la uproscena worów ałożm że śroe mas brł leż na os Poneważ la taego ruchu pręość ątowa prśpesene ątowe leżą na os obrotu atem

5 a wetor można apsać woram: 0 0 b ϕ ϕ Prśpesene a śroa mas oblcm e woru 537 poanego w p 534 otcącm nemat ruchu obrotowego: a r r Po postawenu o tego woru ależnośc r r wnaące wprost rs 75 otrmam: a r r r r cl współręne prśpesena śroa mas wnosą: a r a r a 0 c prowaone w poprenm punce równana 793 po postawenu ależnośc b ora worów c reuuą sę o postac 794: Stą m mr r ora 0 Z ależnośc ora równań 794 wna że w prpau obrotu brł woół główne os bewłanośc uła sł ewnętrnch reuue sę o momentu głównego leżącego na os obrotu l wetora głównego leżącego w płascźne prostopałego o te os Trece równań 794 est namcnm równanem ruchu obrotowego brł pr nanch warunach pocątowch powala na wnacene równana e ruchu ϕ ϕt Z wóch perwsch równań możem wnacć sł wwołane tm że śroe mas leż poa osą obrotu cl oś obrotu ne est główną centralną osą bewłanośc albo użwaąc termnolog nam masn

6 brła est newważona statcne Równana te powalaą na wnacene reac węów reac łożs Jeżel oś obrotu l bęe główną centralną osą bewłanośc cl śroe mas bęe leżał na os obrotu r 0 co bęe onacało ealne wważene brł równana 794 reuuą sę o enego równana: 795 a po uwglęnenu wm że wsste współręne wetora głównego ora we współręne momentu głównego są równe eru: 0 ora 0 e Z namcnego równana ruchu obrotowego brł 795 wna że eżel suma momentów wsstch sł ewnętrnch sł cnnch reac łożs os obrotu wglęem os obrotu bęe równa eru 0 to równeż / 0 atem pręość ątowa bęe stała const cl brła bęe sę porusać ruchem enostane obrotowm Z tam prpaem bęem mel o cnena g brła bęe sę obracać woół ponowe os obrotu osaone w ealne głach łożsach Słam ewnętrnm są wówcas sł cężośc reace głach łożs tórch moment wglęem os obrotu są równe eru Prła 714 Jenorona tarca o mase m promenu r obraca sę woół neruchome os prechoące pre śroe te tarc rs 76 po wpłwem prłożonego momentu o stałe wartośc const Na tarcę ała moment oporu proporconaln o pręośc ątowe ge est nanm współcnnem nacć pręość ątową tarc w func casu t ora e wartość masmalną ma Rs 76 nacene pręośc ątowe tarc r Rowąane Po postawenu o namcnego równana ruchu obrotowego brł 795 gone treścą aana ora otrmam równane ruchu obrotowego tarc w postac:

7 lub oment bewłanośc tarc wglęem os obrotu mr / Zatem 1 mr Po roelenu mennch powżse równane różncowe możem apsać w postac: mr albo mr Scałuem to równane w grancach o 0 o ora o 0 o t: t mr 0 Po wonanu całowana astąpenu różnc logartmów logartmem lorau otrmam: m r ln t lub Stą pręość ątowa ln 1 e 0 t mr t mr Z otrmanego woru wm że upłwem casu t o nesońconośc rug wra w nawase bęe ążł o era cl pręość ątowa bęe ążć o wartośc masmalne równe: ma

8 brót enostan brł woół os owolne Reace namcne becne ropatrm ruch brł obracaące sę e stałą pręoścą ątową woół owolne os poparte w łożsach a na rs 77 sute ałana sł cnnch na ropatrwaną brłę w łożsach powstaną reace statcne tóre można wnacć ponanch w statce warunów równowag Zaganena tego ne bęem tuta ropatrwać amem sę natomast słam momentam wwołanm pre aan ruch nnm słow ropatrm ruch bewłan brł porusaące sę e stałą pręoścą ątową be uału sł ewnętrnch Na os obrotu w punce prmem pocąte neruchomego ułau współręnch ora pocąte ułau ruchomego stwno wąanego brłą Założm pr tm że ose ułau ruchomego są głównm osam bewłanośc a śroe mas ne leż na os obrotu cl brła est newważona arówno namcne a statcne Poneważ pręość ątowa est stała e rut na ose ruchomego ułau współręnch równeż są stałe węc współręne prśpesena ątowego są równe eru: 0 f r c Rs 77 Ruch obrotow brł stwne woół os owolne Zatem prśpesene a śroa mas brł wra wór: a r r r g Jeżel wetor woąc r śroa mas apsem a pomocą współręnch w ułae ruchomm: r

9 to po rutowanu wetora g na ose opowenm pogrupowanu wraów otrmam wor na współręne prśpesena a śroa mas: a a a h Po postawenu ależnośc f ora worów h o równań 793 mane beguna reuc na otrmam seść równań opsuącch omawan ruch brł: m m m ] [ ] [ ] [ 796 Po uwglęnenu we wore 791 ależnośc f ora pręcu a begun reuc amast puntu neruchomego puntu pochona rętu wglęem casu a po uwglęnenu asa rętu możem napsać: Po pomnożenu salarne obu stron powżsego woru pre pręość ątową otrmam: 0 arune ten można prestawć w postac: 0 l Z powżsego równana wna że moment główn wwołan pre sł bewłanośc est w case obrotu brł awse prostopał o pręośc ątowe cl o os obrotu G ta ne est obrót enostan brł ne est możlw

10 Ponao warunu l wna ż tlo wa trech ostatnch równań 796 są neależne cl równań 796 możem w ułae wnacć pęć słaowch reac spowoowanch omawanm ruchem brł Poneważ uła wrue raem brłą woół os obrotu pręoścą ątową tą samą pręoścą wruą reace w łożsach wglęem ułau neruchomego Reace te nawam reacam namcnm G śroe mas brł bęe sę naował na os obrotu cl brła bęe wważona statcne wte 0 lewe stron trech perwsch równań 796 bęą równe eru a tm samm nną sł wwołane pre newważene statcne 0 tm prpau trech ostatnch równań 796 wna że reace namcne w łożsach bęą spowoowane pre moment wąan ałanem sł bewłanośc Poneważ na postawe warunu l moment ten est prostopał o os obrotu atem reace namcne w łożsach bęą tworć parę sł wruącą pręoścą równą pręośc ątowe ówm wte że brła est newważona namcne Jeżel oś obrotu bęe główną centralną osą bewłanośc np oś pore sę osą to poostałe ose ułau ruchomego bęą o ne prostopałe cl 0 na tego że tr poostałe równana 796 naą a tm samm naą reace namcne w łożsach Na postawe powżsch roważań możem sformułować następuąc wnose: Jeżel oś obrotu brł est główną centralną osą bewłanośc cl brła est wważona statcne namcne to reace namcne są równe eru Z preprowaonch w tm punce roważań wna że ruch wruące brł wwołue oresowo menne sł ałaące na łożsa tóre prenosąc sę na orpus masn a ale na funament wwołuą rgana Drgana te powouą prśpesone użce elementów masn a taże neorstne wpłwaą na otocene Ab temu apobec wruące cęśc masn proetue sę ta ab oś obrotu bła główną centralną osą bewłanośc Jena np e wglęu na błę wonawce spełnene tego warunu ne awse est możlwe Dlatego wruące cęśc masn są sprawane po wonanu ewentualne wważane pre opoweną oretę mas Prła 715 ena enorona płta prostoątna o mase m boach h ora b obraca sę woół preątne e stałą pręoścą ątową blcć reace namcne łożs A B eżel oległość mę nm wnos L rs 78

11 R B h b α A B R B L Rs 78 nacene reac namcnch łożs Rowąane Poneważ śroe cężośc płt leż na os obrotu tóra ne est główną centralną osą bewłanóśc reace w łożsach A B bęą spowoowane newważenem namcnm śrou cężośc prmem ruchom uła współręnch stwno wąan płtą w ten sposób że ose są osam smetr płt a oś est prostopała o płascn rsunu tm ułae współręnch pręość ątowa ma współręne: snα 0 cosα Po postawenu tch worów o trech ostatnch równań 796 po astąpenu puntu puntem otrmuem: 0 0 ora snα α cos a oment bewłanośc prostoątne płt wglęem os smetr otrmam e worów wprowaonch w prłae 63: mh mb b 1 1 Z rsunu wna że snα b cosα h c h b h b

12 Po postawenu onaceń b c o woru a otrmuem: h b bh m 1 h b Z ależnośc wna że wetor momentu leż na os cl est prostopał o płascn płt wrue raem ną oment ten est wwołan pre parę sł reac RA R B prostopałch o os obrotu artoc momentu reac są równe: h b h b R AL R BL R A R B e case obrotu reace R A R B wruą raem płtą Ponao są one proporconalne o waratu pręośc ątowe w prpau bt sbo obracaące sę brł mogą osągać uże wartośc L m 1 bh L

13 753 Ruch płas brł nematce ruchu brł stwne ruchem płasm nawalśm ruch w case tórego wsste punt brł areślaą tor równoległe o pewne płascn nawane płascną ruchu lub płascną eruącą r ϕ Rs 79 Ruch płas brł stwne Na rsunu 79 prestawono preró brł płascną ruchu prechoącą pre śroe mas owolnm punce pręto neruchom uła współręnch ta że ose leżą w płascźne ruchu a oś est o ne prostopała Ruchom uła współręnch o pocątu w śrou mas pręto w ten sam sposób cl ose porusaą sę w płascźne ruchu a oś est o ne prostopała na tego że ose są o sebe równoległe alsch roważanach nam ruchu płasego brł prmem następuące ałożena: a oś est główną centralną osą bewłanośc b ruch brł obwa sę po wpłwem sł ałaącch w płascźne ruchu Brła porusaąca sę ruchem płasm ma tr stopne swobo a węc o ego opsu wstarc poać tr równana ruchu wóch współręnch śroa mas ora ąta obrotu ϕ ułau ruchomego wglęem neruchomego Knematcne równana ruchu płasego możem apsać w postac: t t ora ϕ ϕ t 797

14 Zatem o opsu nam ruchu płasego brł nebęne są tr namcne równana ruchu Do ch wnacena worstam równana 793 opsuące ruch brł swobone Z ałożena b na postawe własnośc płasego ułau sł 38 wna że wetor główn bęe leżał w płascźne sł a moment główn bęe prostopał o te płascn ożem w te stuac apsać: ora 0 m 0 Ponao w ruchu płasm brł p 538 pręość ątowa est prostopała o płascn ruchu cl 0 n Po uwglęnenu ależnośc m n równana 793 reuuą sę o trech namcnch równań ruchu płasego brł ma 798 ma Po wrażenu prśpesena a śroa mas ora wetora głównego w neruchomm ułae współręnch ora uwglęnenu że wór 563 równana 798 można apsać następuąco: ma ma 799 Poneważ współręne prśpesena śroa mas w neruchomm ułae współręnch są równe rugm pochonm wglęem casu współręnch powżsm równanom można naać postać równań różncowch po uwglęnenu rugego woru 564: ϕ 7100 m m Prła 716 Na poomm sorstm stole naue sę spula tóre śroe mas leż na os smetr obrotu Spula ma masę m ora wa promene R r Rsune 730 prestawa spulę w ruce na płascnę prostopałą o os smetr oment bewłanośc wglęem te os wnos Z obwou o promenu r owa sę nć o tóre ońca prłożono stałą słę poomą P nacć masmalną wartość sł P P ma po wpłwem tóre spula bęe sę tocć be poślgu eżel współcnn tarca statcnego mę spulą a stołem est równ µ a współcnn tarca tocnego f Dla tego prpau wnacć prśpesene os spul a

15 Rowąane Na spulę ałaą we sł obcążaące: sła cężaru spul G ora sła P powouąca ruch spul Reacę stołu rołożono na słę tarca T serowaną w erunu precwnm o erunu ruchu ora reacę normalną N presunętą w erunu tocena spul o wartość współcnna tarca tocnego f rs 311b Roważan ruch spul est ruchem płasm atem na postawe woru 799 namcne równana ruchu spul bęą następuące : R T G r Rs 730 Ruch spul uwglęnenem oporu tocena N f a P ma P T 0 N G TR Pr Nf a Jeżel spula toc sę be poślgu to mę prśpesenem śroa spul prśpesenem ątowm mus bć spełnona następuąca ależność nematcna: a R b Z rugego równań a wna że reaca normalna est równa cężarow spul: N G mg c ge g est prśpesenem emsm asmalną wartość sł P otrmam ałożws że sła tarca T est grancną słą tarca o wartośc wór 35: T µn µmg Jeżel o perwsego trecego równana a postawm wor c a w trecm uwglęnm ależność b otrmam wa równana:

16 ma P µmg a µmgr Pr f mg R e równanach tch mam we newaome: a P Pma celu welmnowana prśpesena poelm równana stronam otrmam: mr a P µmg µmgr Pr f mg Stą µmr f mr µ mg P Pma f mrr Po postawenu tego woru o perwsego równana e wnacm prśpesene os spul a [ µ R r f ] mgr g mrr Z otrmanego woru wna że oś spul porusa sę e stałm prśpesenem cl ruchem enostane prśpesonm telnow poostawam wnacene równana ruchu t? la warunów pocątowch np la t 0 0 v 0

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki Kompresa fratalna obraów. Kopara welorotne reuuąca.. Zasaa ałana ana naprostse opar Koncepca opar welorotne reuuące Naprosts prła opar. Moel matematcn obrau opara cęś ęścowa. obra weścow opara obra wścow

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH 1 Olga Kopac, Adam Łodygows, Wojcech Pawłows, Mchał Płotowa, Krystof Tymber Konsultacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Ponań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWI 7 ACH TWIERDZENIE BETTIEGO (o wajemnośc prac)

Bardziej szczegółowo

Siła ciężkości. Siła ciężkości jest to siła grawitacyjna wynikająca z oddziaływania na siebie dwóch ciał. Jej wartość obliczamy z zależności

Siła ciężkości. Siła ciężkości jest to siła grawitacyjna wynikająca z oddziaływania na siebie dwóch ciał. Jej wartość obliczamy z zależności Sła cężkośc Sła cężkośc jest to sła grawtacja wkająca oddałwaa a sebe dwóch cał. Jej wartość obcam aeżośc G gde: G 6,674 10-11 Nm /kg M m r stała grawtacja, M, m mas cał, r odegłość pomęd masam. Jeże mam

Bardziej szczegółowo

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

[ ] D r ( ) ( ) ( ) POLE ELEKTRYCZNE

[ ] D r ( ) ( ) ( ) POLE ELEKTRYCZNE LKTYCZNOŚĆ Pole elektcne Lne sł pola elektcnego Pawo Gaussa Dpol elektcn Pole elektcne w delektkach Pawo Gaussa w delektkach Polaacja elektcna Potencjał pola elektcnego Bewowość pola elektcnego óŝnckowa

Bardziej szczegółowo

Macierze hamiltonianu kp

Macierze hamiltonianu kp Macere halonanu p acer H a, dla wranego, war 44 lu 88 jeśl were jao u n r uncje s>; X>, Y>, Z>, cl uncje ransorujące sę według repreenacj grp weora alowego Γ j. worące aę aej repreenacj - o ora najardej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne XXX OLIPIADA FIZYCZNA TAP I Zadana teoretczne Nazwa zadana ZADANI T1 Na odstawe wsółczesnch badań wadomo że jądro atomowe może znajdować sę tlo w stanach o oreślonch energach odobne ja dobrze znan atom

Bardziej szczegółowo

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych. Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO

ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO Unwestet Wmńso- Mus w Ostne Złd Mehn onstu udownh ELEMENTY RCHUNU WETOROWEGO Włd d nż. Roet Smt Zen tetu 1. wtows J.: Stt ogón. Wsw : Wdw. Potehn Wswse, 1971. 2. wtows J.: Mehn tehnn. Wsw: Wdw.. Potehn

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI (Wpsue zdaąc przed rozpoczęcem prac) KOD ZDAJĄCEGO ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI CZĘŚĆ II (dla pozomu rozszerzonego) GRUDZIEŃ ROK 004 Czas prac 50 mnut Instrukca dla zdaącego. Proszę sprawdzć, cz zestaw zadań

Bardziej szczegółowo

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił.

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił. 1 Sła jest przyczyną przyspeszena. Sła jest wektorem. Sła wypadkowa jest sumą wektorową dzałających sł. Sr Isaac Newton (164-177) Jeśl na cało ne dzała żadna sła lub sły dzałające równoważą sę, to cało

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

4. Podzielnica uniwersalna 4.1. Budowa podzielnicy

4. Podzielnica uniwersalna 4.1. Budowa podzielnicy 4. Podelnca unwersalna 4.. Budowa podelncy Podelnca jest pryrądem podałowym, który stanow specjalne wyposażene frearek unwersalnych. Podstawowym astosowanem podelncy jest dokonywane podału kątowego. Jest

Bardziej szczegółowo

16. Pole magnetyczne, indukcja. Wybór i opracowanie Marek Chmielewski

16. Pole magnetyczne, indukcja. Wybór i opracowanie Marek Chmielewski 6. Poe magnetczne, nukcja Wbó opacowane Maek meewsk 6.. Znaeźć nukcje poa magnetcznego w oegłośc o neskończone ługego pzewonka wacowego o pomenu pzekoju popzecznego a w któm płne pą I. 6.. Wznaczć nukcję

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA

METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA I N Ż YNIERIA R OLNICZA A GRICULTURAL E NGINEERING 01: Z. (14) T.1 S. 5- ISSN 149-764 Polske Towarstwo Inżner Rolnce http://www.ptr.org METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja funkcji

Optymalizacja funkcji MARCIN BRAŚ Opymalzacja funcj ) Opymalzacja w obszarze neoranczonym WK: y. y WW: > > y y Znaleźć mnmum funcj: (, y) ( ) y ( ) y y ( ) y solve, P(, ) y y solve, y ( ) y ( ) y y y ( ) y W W W > (, y) > Op.

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

1. RACHUNEK WEKTOROWY

1. RACHUNEK WEKTOROWY 1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe

Bardziej szczegółowo

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU Rysunek 1 przedstawa schemat knematyczny napędu jednej os urządzena. Fp Fw mc l Sp Serwoslnk Rys. 1. Schemat knematyczny serwonapędu: przełożene przekładn pasowej, S p skok śruby

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przemieszczeń

Wyznaczanie przemieszczeń ór Maxwea-Mora δ ynacane premesceń ór Maxwea-Mora: Bea recywsym obcążenem δ MM JE NN E ( ) M d g N o P q P TT κ G ór służy do wynacena premescena od obcążena recywsego. równanu wysępuą weośc, wywołane

Bardziej szczegółowo

Napęd pojęcia podstawowe

Napęd pojęcia podstawowe Napęd pojęcia podstawowe Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) moment - prędkość kątowa Energia kinetyczna Praca E W k Fl Fr d de k dw d ( ) Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) d ( ) d d d

Bardziej szczegółowo

SELEKCJA: JAK JEDNA POPULACJA (STRATEGIA) WYPIERA INNĄ

SELEKCJA: JAK JEDNA POPULACJA (STRATEGIA) WYPIERA INNĄ W stronę bolog: dnama oulacj Martn. owa Evolutonar Dnamcs elna Press 6 SELEKCJ: JK JED POPULCJ (STRTEGI) WYPIER IĄ Model determnstczn ( a ) ( b ) : Dodając stronam mam a b czl średne dostosowane (ftness).

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D PRZY UŻYCIU PROGRMU EXCEL

WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D PRZY UŻYCIU PROGRMU EXCEL Zeszyty robemowe Maszyny Eetryczne Nr /203 (98) 233 Andrze ałas BOBRME KOMEL, Katowce WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMERATUR STANU USTALONEGO W MODELU 2D RZY UŻYCIU ROGRMU EXCEL SOLVING STEADY STATE TEMERATURE

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska Informacje organacjne. Układ predmotu Grafka komputerowa Doc. dr nż. Jacek Jarnck Insttut Informatk, Automatk Robotk p. 6 C-3, tel. 7-3-8-3 jacek.jarnck@pwr.wroc.pl www.sk.ar.pwr.wroc.pl semestr VI -,

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Magdalena Dynus Katedra Fnansów Bankowośc Wyżsa Skoła Bankowa w Torunu OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Wprowadene Okres wrotu należy do podstawowych metod

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

elektrostatyka ver

elektrostatyka ver elektostatka ve-8.6.7 ładunek ładunek elementan asada achowana ładunku sła (centalna, achowawca) e.6 9 C stała absolutna pawo Coulomba: F ~ dwa ładunk punktowe w póżn: F 4πε ε 8.8585 e F m ε stała ł elektcna

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze Wład 4 Zasada achowania enegii Sił achowawce i nieachowawce Wsstie istniejące sił możem podielić na sił achowawce i sił nie achowawce. Siła jest achowawca jeżeli paca tóą wonuję ta siła nad puntem mateialnm

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 10

METODY KOMPUTEROWE 10 MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk Mchał PŁOKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Konsace nakowe dr nż. Wod Kąko Poznań 00/00 MEODY KOMPUEROWE 0 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Bardziej szczegółowo

P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A

P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A TEORI STNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI r x P P P P, P - wektory sł wewnętrznych w unktach owerzchn wokół unktu P P r, P - suma sł wewnętrznych na owerzchn P P P P średna gęstość sł wewnętrznych na owerzchn

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

spinem elektronu związanym z orbitującymi elektronami H = H 0 +V ES +V LS + V ES

spinem elektronu związanym z orbitującymi elektronami H = H 0 +V ES +V LS + V ES Oałwane pn-obta: B' R ' popawka Thomaa R B' e pocho o magnet. momentu poowego, B wąanego e m pnem eektonu W poem magnet., B' wąanm obtującm eektonam mec W popawka enegetcna aeżna o c ) j m c chemat pężeń

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7

Rozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7 ozwiązwanie ram płaskich wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 7 Obciążenie ram płaskiej, podobnie jak w przpadku beek rozdział 6, mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury. Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 4. Słowa kluczowe: praca wirtualna, przemieszczenie wirtualne

MECHANIKA BUDOWLI 4. Słowa kluczowe: praca wirtualna, przemieszczenie wirtualne Oga Kopacz, Aa Łoygows, Wocech Pawłows, Mchał Płotowa, Krzysztof Tyber Konsutace nauowe: prof. r hab. JERZY RAKOWSKI Poznań / MECHANIKA BUDOWI 4 Rozzał ten pośwęcony est wyprowazenu twerzena o pracy wrtuane,

Bardziej szczegółowo

Rekonstrukcja zderzenia dwóch samochodów osobowych podstawowe zasady i praktyka ich stosowania

Rekonstrukcja zderzenia dwóch samochodów osobowych podstawowe zasady i praktyka ich stosowania Mrosław Gdlews esze Jeoł Reonstrucja zderzena dwóch saochodów osobowch podstawowe zasad prata ch stosowana treszczene RóŜnorodność złoŝoność wpadów drogowch polegającch na zderzenu dwóch saochodów sprawają,

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Analityczne metody kinematyki mechanizmów

Analityczne metody kinematyki mechanizmów J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

ą Ś ą ń ń ą ą ą ć ń ą ą ą ą ń ń ń ą ą ń ą ń ą ą ń ą Ą ń ń ń

ą Ś ą ń ń ą ą ą ć ń ą ą ą ą ń ń ń ą ą ń ą ń ą ą ń ą Ą ń ń ń Ś ą ńńą ą ą ń ą ń ą ń Ń ą ą Ś ą ń ń ą ą ą ć ń ą ą ą ą ń ń ń ą ą ń ą ń ą ą ń ą Ą ń ń ń ą ń ń ń ń ą ń ą ń ń Ą ą ń ń ą ą ą ą ą ą ą ć ń Ą ą ą ą ą ą ą ą ą ć ą ą Ąą ą ź ą ń ńą ń ń Ą Ńą ą ń ą Ą ń ą ą ą ć ń ą

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

Sieć kątowa metoda spostrzeżeń pośredniczących. Układ równań obserwacyjnych

Sieć kątowa metoda spostrzeżeń pośredniczących. Układ równań obserwacyjnych Seć kątowa etoda spostrzeżeń pośrednząyh Układ równań obserwayjnyh rzyrosty współrzędnyh X = X X X X = X X Y = Y Y X Y = Y Y Długość odnka X ' ' ' ' x y Współzynnk kerunkowe x y * B * x y x y gdze - odpowedn

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Różniczkowanie. Wykład nr 6. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Różniczkowanie. Wykład nr 6. dr hab. Piotr Fronczak Mtod numrczn Wład nr 6 Różnczowan dr ab. Potr Froncza Różnczowan numrczn Wzor różnczowana numrczngo znajdują zastosowan wtd, gd trzba wznaczć pocodn odpowdngo rzędu uncj, tóra orślona jst tablcą lub ma

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.2. Zginanie ukośne. Układ współrzędnych (0xy)

Przykład 3.2. Zginanie ukośne. Układ współrzędnych (0xy) Prkład.. Zgnane ukośne. Układ współrędnch (0) Wnac rokład naprężena normalnego w prekroju podporowm belk wspornkowej o długośc L obcążonej na końcu swobodnm ponową słą P. Wmar prekroju poprecnego belk

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

Anna Grych Test z budowy atomu i wiązań chemicznych

Anna Grych Test z budowy atomu i wiązań chemicznych Anna Grych Test z budowy atomu i wiązań chemicznych 1. Uzupełnij tabelkę wpisując odpowiednie dane: Nazwa atomu Liczba nukleonów protonów neutronów elektronów X -... 4 2 Y -... 88 138 Z -... 238 92 W -...

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie na kolokwium nr 4. Dynamika punktu materialnego

Powtórzenie na kolokwium nr 4. Dynamika punktu materialnego Powtórzenie na olowiu nr 4 Dynaia puntu aterialnego 1 zadanie dynaii: znany jest ruh, szuay siły go wywołująej. Znane funje opisująe trajetorię ruhu różnizujey i podstawiay do równań ruhu. 2 zadanie dynaii:

Bardziej szczegółowo

CięŜar jednost. charakteryst. [kn/m 2 ]

CięŜar jednost. charakteryst. [kn/m 2 ] . Zebranie obciąŝeń.. Zebranie obciąŝeń na m 2 dachu... ObciąŜenia stałe Zebranie obciąŝeń stałch na m 2 dachu Nazwa warstw CięŜar jednost. CięŜar charaterst. [N/m 2 ] Wsp. obciąŝeń CięŜar oblicz. [N/m

Bardziej szczegółowo

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej. /22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8

Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8 Na rs. 8.1 przedstawiono belkę obciążoną momentami zinającmi w płaszczźnie x. oment nąceo dla tak obciążonej

Bardziej szczegółowo

1 8 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M E C H A N I K - O P E R A T O R P O J A Z D Ó W I M A S Z Y N R O L N I C Z Y C H K o d z k l a s y f i k a c j i

Bardziej szczegółowo

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym ĆWCZENE 3 Analza obwodów C przy wymszenach snsodalnych w stane stalonym 1. CE ĆWCZENA Celem ćwczena jest praktyczno-analtyczna ocena obwodów elektrycznych przy wymszenach snsodalne zmennych.. PODSAWY EOEYCZNE

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót

Bardziej szczegółowo

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r. V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką

Bardziej szczegółowo

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU. Rysunek 1 przedstawia schemat kinematyczny napędu jednej osi urządzenia.

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU. Rysunek 1 przedstawia schemat kinematyczny napędu jednej osi urządzenia. DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU Rysunek 1 rzedstawa schemat knematyczny naędu jednej os urządzena. Rys. 1. Schemat knematyczny serwonaędu: rzełożene rzekładn asowej, S skok śruby ocągowej, F sła orzeczna, F

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo