Rozwiązywanie równań różniczkowych

Transkrypt

1 Rozwiązwanie równań różniczkowch. Równanie różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie - zaimplementowana w Mathcazie metoa Rungego-Kutt. rzęu ze stałm krokiem całkowania: rkfie(,,ma, N, P) gzie: ma N P wartość początkowa la lub wektor wartości początkowch zmiennej zależnej - w przpaku ukłau równań początkow zakres zmiennej niezależnej końcow zakres zmiennej niezależnej liczba kroków całkowania wektor pochonch Przkła A.. Rozwiązać równanie różniczkowe '+= z warunkiem początkowm ()= la kroków w zakresie <;>. P ( ) R rkfie( P) R R.Definiujem punkt startow. Definujem pochoną. Wwołanie integratora la zakresu <;> i liczb kroków Wnik ma postać macierz wukolumnowej, w kórej pierwsza kolumna to zmienna niezależna, a kolumna ruga to zmienna zależna. R B. Metoa Rkaapt - metoa Rungego-Kutt. rzęu ze zmiennm krokiem całkowania Rkaapt(,,ma, N, P) - parametr ientncze jak la rkfie Przkła B.. Rozwiązać równanie różniczkowe '+ -= la warunku początkowego ()= la kroków w zakresie <;>. P ( ) R Rkaapt( P) R R. Definiujem punkt startow. Definujem pochoną. Wwołanie integratora

2 C.. zaania: rozwiązać to samo równanie metoą rkfie. P ( ) R rkfie( P) R R Metoa rkfie la zaanej liczb kroków okazała się niestabilna. Zwiększm liczbę kroków o. P ( ) R rkfie( P) R R

3 . Ukła równań różniczkowch zwczajnch. rzęu A. Metoa rkfie Sposób rozwiązwania ukłaów równań różniczkowch pierwszego rzęu jest poobn jak w przpaku rozwiązwania samch równań z tm, że tu wektor P skłaa się z n pierwszch pochonch tworzącch ukła równań. Przkła A.. Oblicz następując ukła równań la <; >, kroków =. ( ) = =. ( ) =. Warunek początkow P ( )... Definiujem pochone (stosujem ineks numerczne) R rkfie( P) R R R. Wwołanie integratora - wnik ma postać macierz -kolumnowej, w której. kolumna to zmienna niezależna,.- wartości całki funkcji pierwszej,.- wartości całki funkcji rugiej. Uwaga - la zmiennch wkresu, wstawiam ineks nienumerczne (przez kropkę)..

4 B. Metoa rkaapt Przkła B.. Oblicz następując ukła równań la <;> oraz kroków = 8 8 ( ) = = ( ) = 8 = ( ) =. Definiujem wektor punktów początkowch P ( ) Definujem wektor pochonch R Rkaapt( P). Wwołanie integratora R R R R 6 6 8

5 . Metoa Stiffb - szttwne ukła równań różniczkowch Metoa Stiffb - wkorzstuje metoę Bulirscha-Stoera. Sztwn ukłau równań różniczkowch wstępuje wte, g jena z poszukiwanch funkcji zmienia się barzo szbko lub barzo wolno w stosunku o pozostałch. W przpaku zwkłch integratorów prowaziłob to o konieczności wkonwania obliczeń z barzo małm krokiem zmiennej niezależnej. Przkła. Rozwiąż ukła równań la kroków w zakresie <;.8> = ( ) = = ( ) = Kolejne kroki obliczeń: Warunek początkow: Wektor pochonch: P ( ) Jakobian: J ( ) Pierwsza kolumna - pochona funkcji po zmiennej, ruga kolumna - pochona po i trzecia kolumna - pochona po Wwołanie integratora: R Stiffb(.8P J) R R R...6.8

6 . Równania różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie Postępujem poobnie jak powżej, różnice pojawiają się w efiniowaniu wektora punktów startowch - tu skłaa się z wóch wielkości: wartości początkowej la funkcji i la pochonej funkcji, również wrażenie P skłaa się z wóch funkcji: pochonej i rugiej pochonej. Przkła A.. Rozwiąż równanie różniczkowe '' = -' + la wartości początkowej ()= i '()= la kroków w zakresie <;>. Wektor wartości początkowch. Wektor pochonch: efiniujm =/t i zapisujem równanie różniczkowe jako ukła wóch równań. rzęu P ( ) R rkfie( P) = = =. Wwołanie integratora. Wnik jest macierzą trzkolumnową. Kolumna pierwsza - zmienna niezależna, ruga - zmienna zależna, trzecia - pochona ' R R ' R '.. B. Metoa Rkaapt - rozwiązujem analogicznie jak metoą rkfie Przkła B.. Rozwiąż równanie różniczkowe '' = + - la <;>, wartości początkowe ()=, '()=-, kroków P ( ) R Rkaapt( P) R R ' R '