METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA

Transkrypt

1 I N Ż YNIERIA R OLNICZA A GRICULTURAL E NGINEERING 01: Z. (14) T.1 S. 5- ISSN Polske Towarstwo Inżner Rolnce METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA Lesek Meskalsk Katedra Organac Inżner Produkc Skoła Główna Gospodarstwa Weskego w Warsawe Strescene. Zanteresowane produkcą psenżta w Polsce wrasta e wględu na możlwość wkorstana arna do wtwarana etanolu. W prac predstawono wspomaganą komputerowo metodę matematcnego modelowana kstałtu powerchn arna psenżta. Do modelowana kstałtu wbrano arno psenżta odman Wanad o wmarach: długość 8,1 mm, serokość,1 mm, grubość,4 mm. Kstałt powerchn arna psenżta ostał odworowan trema płatam Béera. Oblcena wualacę realowano w programe komputerowm Mathcad. Płat Béera mogą bć stosowane do modelowana kstałtu powerchn arna psenżta. Opracowane matematcnego modelu D kstałtu brł arna psenżta może bć wkorstane do modelowana procesu produkc bopalw. W prsłch badanach należ opracować numercną metodę doboru wartośc parametrów steruącch kstałtem płata Béera na podstawe podstawowch wmarów modelowane brł. Słowa klucowe: psenżto, arno, kstałt, model matematcn Wstęp cel prac W ostatnch latach wrasta nacene psenżta w strukture asewów bóż w Polsce. Ze wględu na warunk glebowo-klmatcno-płodomanowe, areał upraw psenc będe malał, natomast wrastała będe powerchna upraw psenżta żta (Jaśkewc, 007). Jaśkewc (007) podae, że apotrebowane na psenżto w Polsce w 006 roku wnosło 78 ts. ton, a w 010 roku 14 ts. ton. Według Janowca (007) Jaśkewca (007) hektara upraw psenżta uskue sę ltrów boetanolu, to est ok. 19% mne nż psenc. Nowocesne, wspomagane komputerowo metod proektowana masn urądeń rolncch ora premsłu spożwcego wmusaą na konstruktorach naomość właścwośc geometrcnch pretwaranch surowców. Charakterstcną cechą surowców roślnnch est neregularn kstałt uwarunkowan gatunkem ora dużą mennoścą wmarów w ego obrębe. Z tego powodu ne wstarca charakterstka wmarowa po-

2 Lesek Meskalsk edncego obektu surowca opsana a pomocą trech podstawowch wmarów (długość, serokość, grubość). Ne wstarca równeż określene kstałtu brł w sposób umown, np. kulst, elptcn, owaln, spłascon, podłużn tp. W prpadku brł o neregularnch kstałtach cęsto stosowaną welkoścą lnową est średnca astępca, która wraża średncę kul o obętośc równe obętośc brł. Dnamcn rowó metod grafk komputerowe dae proektantom wgodne naręda opsu kstałtu brł neregularnch (Fole n., 001). Trówmarow, dskretn model powerchn obektu recwstego może składać sę e skońconego boru werchołków prostch fgur geometrcnch o nanch współrędnch. Uporądkowane połącene werchołków lnam powala utworć satkę składaącą sę weloboków. Meskalsk (011) do opsu kstałtu arna psenc astosował parametrcną krwą prestrenną ora cterowęłową satką ropętą na ewnętrne powerchn modelowane brł. Mablle Abecasss (00) kstałt arna psenc opswal a pomocą równań parametrcnch. Welu autorów (Boneck Olsewsk, 008; Frącek Ślpek, 006; Frącek Wróbel, 009; Kęska Feder, 1997; Mesalsk, 011; Weres, 010) proponue metod modelowana arna kukurd psenc, ale brakue nformac o matematcnm modelowanu kstałtu psenżta. Do modelowana powerchn nason można wkorstać płat Béera (Kcak, 000; Fole n., 001). Płat Béera określa bór krwch Béera. Powerchne Béera mogą bć repreentowane ako powerchne parametrcne. Parametrcn welomanow płat powerchn określa współrędne punktów (,, ) na powerchn krwolnowe a pomocą trech welomanów. Nawgodne est stosować weloman trecego stopna, gdż cter punkt wstarcą do sterowana kstałtem krwe należące do powerchn. Kstałtem płata powerchn steruą współrędne 16 punktów. Breg płata stanową parametrcne krwe welomanowe, które umożlwaą gładke połącene sąsednego płata. Celem prac est opracowane wspomagane komputerowo metod modelowana kstałtu brł arna psenżta a pomocą płatów Béera. Ops metod Metoda modelowana kstałtu brł arna psenżta polega na aproksmowanu powerchn a pomocą kawałków powerchn opsanch matematcne; wówcas punkt leżące na powerchn modelu są blsko odpowadaącch m punktów leżącch na powerchn arna ako obektu recwstego. Równana parametrcne współrędnch płata Béera w apse macerowm maą następuącą postać (Kcak, 000; Fole n., 001): T ( s, t) T M G M S T ( s, t) T M G M S T ( s, t) T M G M S Górn wskaźnk T w równanu (1) onaca transpocę macer. Parametrcna repreentaca powerchn (s, t), (s, t), (s, t) uależnona est od parametrów s ora t. Parametr t apsano w postac wektora (), a parametr s w postac wektora (): (1) 6

3 Metoda matematcnego modelowana... t t T () t 1 s s S () s 1 W równanu (1) wstępue macer baowa płata Béera, które postać apsana est nże (Fole n., 001): M (4) Element trech macer geometr płata Béera G, G, G ako macere ogranceń geometrcnch są współrędnm 16 punktów kontrolnch, będącch punktam steruącm. Zmana wartośc współrędnch punktów kontrolnch decdue o kstałce płata powerchn. Macere geometr warunkuą położena punktów kontrolnch ora wektorów stcnch, określaącch krwe należące do łąconch płatów. Macere geometr płata Béera G, G, G maą następuące postace: G (5) G (6) G (7) 7

4 Lesek Meskalsk Model powerchn brł arna psenżta składa sę trech połąconch płatów Béera A, B, C. Płat Béera A wkorstano do modelowana powerchn grbetowe arna. Do modelowana kstałtu powerchn arna brudką, po precwne strone powerchn grbetowe, wkorstano dwa płat Béera B C. W celu takego połącena płatów Béera A, B, C, b tworł gładką powerchnę na stku płata A płatam B C, a araem apewnał godność podstawowch wmarów (długość, serokość, grubość) modelu arnem recwstm, treba określć współrędne punktów kontrolnch, apewnaącch cągłość. Cągłość gładkość powerchn na granc płatów uskue sę pre równane cterech wspólnch punktów kontrolnch na bregach płata A płata B ora na bregach płata A płata C. Na bregach płatów B C od stron brudk wstarc apewnć tlko współlnowośc bregów tch płatów. Do modelowana kstałtu wbrano arno psenżta odman Wanad o wmarach: długość 8,1 mm, serokość,1 mm, grubość,4 mm (Hebda Mcek, 005; Mesalsk, 001). Płat Béera repreentuące powerchne arna psenżta Płat Béera operaą sę na welokątach kontrolnch, prechodąc pre ch werchołk. Współrędne punktów kontrolnch płatów Béera A, B, C modelu brł arna psenżta są predstawone w tabel 1. Tabela 1 Współrędne punktów kontrolnch płatów Béera dla modelu arna psenżta Table 1 Coordnates of control ponts of Béer patches for the model of trtcale Numer wersa kolumn w macer geometr Płat A cęść grbetowa Płat B rodelon brudką od płata C Płat C rodelon brudką od płata B, A A A B B B C C C , , , , , , , , , , , , , , , 0 8, 0 8 1, , 0 8, 0 8 1,5 0 8

5 Metoda matematcnego modelowana... Macere geometr płatów Béera są wpełnane danm awartm w tabel 1, następne dla tch płatów są określone równana parametrcne współrędnch punktów satk leżącch na ch powerchnach. Równana parametrcne współrędnch punktów satk, leżącch na powerchn płata Béera A, maą następuącą postać: t ] s t ] s t + 6] s [ 0,8 + 1, 0, ] s + [ 18 t 7 t + ] s + [ 18 t + 7 t ] s + 1 t ] s t ] s A, (8) A, t + (9) A, (10) Po oblcenu na podstawe równań (8, 9, 10) dla t, s (0,1) macer współrędnch punktów satk płatów Béera A, B, C dokonano ch wualac, użwaąc do tego celu programu komputerowego Mathcad. Na rsunku 1 predstawono wkres D płata Béera A. Podobne dla płata Béera B, awne postace równań parametrcnch współrędnch punktów satk, leżącch na powerchn płata B, predstawone są nże: B, 0.1 t B, 7 s + 9 s + 6 s (11) [ 0,4 + 0,6 ] s + [ ] s + [ t ] 0. t t ] s t ] s s + (1) B, 18 (1) Wkres D płata Béera B amescono na rsunku. Rsunek 1. Wkres D płata Béera A (powerchna grbetowa arna psenżta) Fgure 1. D plot of Béer patches A (dorsal surface of trtcale seed) Rsunek. Wkres D płata Béera B (powerchna B do brudk arna psenżta) Fgure. D plot of Béer patches B (to the groove of a trtcale seed ) 9

6 Lesek Meskalsk Równana parametrcne współrędnch punktów satk, leżącch na powerchn płata Béera C, maą następuące postace: C, 0.1 t 7 C, s + 9 s + 6 s (14) [ 0,4 + 0,6 0,] s + [ ] s + [ t ] t + 1 t ] s t ] s s + (15) C, 18 (16) Wkres D płata Béera C amescono na rsunku. Po połącenu macer płatów Béera A, B C otrmano macere X, Y, Z modelu D brł arna psenżta, a ego wkres amescono na rsunku 4. Rsunek. Wkres D płata Béera C (powerchna C do brudk arna psenżta) Fgure. D plot of Béer patches C (surface C (to the groove of a trtcale seed ) Rsunek 4. Wkres modelu D brł arna psenżta powstał w wnku połącena płatów Béera A, B, C Fgure 4. D plot of a sold of a trtcale seed formed as a result of combnng Béer patches A, B, C Na podstawe macer X, Y, Z, które powstaą w wnku poomego połącena macer płatów Béera A, B C, oblcono maksmalne wmar długośc modelu arna psenżta ((ma.(x) mn.(x)), ego serokośc ((ma.(y) mn.(y)) grubośc ((ma.(z) mn.(z)). Porównano maksmalne wmar długośc, serokośc grubośc arna psenżta ego modelu ora oblcono wartośc błędu wględnego (tab. ). 0

7 Metoda matematcnego modelowana... Tabela Porównane wmarów arna psenżta ego modelu Table Comparson of dmensons of a trtcale seed and ts model. Wmar Długość Serokość Grubość Recwste arno psenżta, (mm) 8,1,1,4 Model arna psenżta, (mm) 8,,75 Błąd wględn, (%) 1, - 6,1 0,7 Z wnków porównań awartch w tabel wnka, że dokładność modelu arna psenżta est wstarcaąca. Podsumowane Płat Béera mogą bć stosowane do modelowana kstałtu arna psenżta. Powstał model D brł arna psenżta est na tle dokładn, że może odworowwać kstałt recwstch aren psenżta. Kstałt wmar modelu D brł arna psenżta można menać pre manę wartośc 48 współrędnch punktów steruącch (kontrolnch) płatów Béera, wchodącch w skład modelu. Tak dużą lcbę punktów steruącch należ unać a wadę te metod. Utrudnenem pr stosowanu płatów Béera do modelowana kstałtów obektów roślnnch est to, że ne est możlwe, w sposób bepośredn, pre manę wartośc parametrów steruącch, osągnęce ameronch wmarów modelowane brł. Pommo powżsch utrudneń proponowaną metodę można unać a prdatną pr wualac modelowanch obektów roślnnch. W prsłośc należ opracować numercną metodę doboru wartośc parametrów steruącch kstałtem płata Béera na podstawe podstawowch wmarów modelowane brł. Lteratura Boneck, P.; Olsewsk, T. (008). Modelowane neuronowe wbranch obektów rolncch wkorstanem superformuł Johana Gelsa. Journal of Research and Agrcultural Engneerng, 5(1), -5. Fole, J. D.; van Dam, A.; Fener, S.K.; Hughes, J.F.; Phllps, R. L.(001). Wprowadene do grafk komputerowe. Warsawa, WNT, ISBN Frącek, J.; Wróbel, M. (009). Zastosowane grafk komputerowe w rekonstrukc D nason. Inżnera Rolnca, 6(115), Frącek, J.; Ślpek, Z. (006). Modele roślnnch struktur arnstch. Inżnera Rolnca, 1, Hebda, T.; Mcek, P. (005). Zależnośc pomęd właścwoścam geometrcnm arna bóż. Inżnera Rolnca, 6, -41. Jaśkewc, B. (007). Zboża na boetanol. Zboża wsoke akośc. Poradnk dla producentów. Warsawa, Agro Serws, ISBN , Janowc, L. (007). Boetanol w Polsce. Zboża wsoke akośc. Poradnk dla producentów. Warsawa, Agro Serws, ISBN ,

8 Lesek Meskalsk Kęska, W.; Feder, S. (1997). Rekonstrukca kstałtu nason na podstawe komputerowe anal obrau. VII Smpoum m. Cesława Kanafoskego, Płock, Kcak, P. (000). Podstaw modelowana krwch powerchn. Zastosowana w grafce komputerowe. Warsawa, WNT, ISBN X. Mablle, F.; Abecasss, J. (00). Parametrc modellng of wheat gran morpholog: a new perspectve. Journal of Cereal Scence, 7, 4-5. Mesalsk, L. (011). Metoda matematcnego modelowana kstałtu brł arna psenc a pomocą parametrcne krwe prestrenne cterowęłowe satk. Postęp Technk Pretwórstwa Spożwcego, 1, Mesalsk, L. (001). Metoda tworena modelu brł arna bóż. Problem Inżner Rolnce, 1(1), 9-6. Weres, J. (010). Informatcn sstem poskwana danch o geometr produktów rolncch na prkłade arnaka kukurd. Inżnera Rolnca, 7(15), 9-5. THE METHOD OF MATHEMATICAL MODELING OF THE TRITICALE GRAIN SHAPE WITH BÉZIER SURFACE PATCHES Abstract. Interest n the producton of trtcale n Poland s ncreasng due to the possblt of usng gran to produce ethanol. The paper presents a method for computer-aded mathematcal modelng of the shape of trtcale gran. Wanad trtcale gran was selected for modelng the shape: length 8.1mm, wdth.1mm, thckness of.4mm. The shape of the gran trtcale was mapped wth three Béer patches. Calculatons and vsualaton were mplemented n a computer program Mathcad. Béer patches ma be used for modelng the shape of trtcale gran. Development of a mathematcal model of the D shape of the sold of trtcale gran can be used for modelng of the bofuels producton process. In future studes should develop A numercal method for selecton of the control parameters of Béer patch shape based on the basc dmensons of the modeled sold should be developed. Ke words: trtcale, gran, shape, mathematcal model Adres do korespondenc: Lesek Meskalsk; e-mal: mesko@pocta.fm Katedra Organac Inżner Produkc Skoła Główna Gospodarstwa Weskego w Warsawe ul. Nowoursnowska Warsawa