MODELOWANIE (SYMULACJA) PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH

Transkrypt

1 Ćwiczeie 8 MODELOWANIE (SYMULACJA) PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH 8.. Wiadomości ogóle Bardzo wiele zdarzeń, a także zjawisk fizyczych zachodzących w otaczającym as świecie, osi cechy procesów przypadkowych stochastyczych, tz. takich, dla których prawdopodobieństwo ich zajścia jest stałe w czasie (ie zależy od waruków zewętrzych ai od historii daego obiektu). Należą do ich m.i. ieuporządkoway, chaotyczy ruch cząsteczek cieczy i gazów (ruchy Browa), aturaly rozpad promieiotwórczy, szumy urządzeń elektroiczych, rozpraszaie elektroów przechodzących przez ośrodki materiale, a awet w pewym sesie błądzeie człowieka zagubioego w lesie. Rówież proces pomiaru i występowaie iepewości przypadkowych ależą do tej samej klasy procesów stochastyczych, których rozwój czasowy opisay jest przez wartości zmieych losowych, a ich występowaie charakteryzuje się pewym rozkładem statystyczym. Od bardzo dawa uważao, że każda zmiea losowa ma rozkład ormaly lub przyajmiej zbieży do rozkładu ormalego. W bardzo wielu dziedziach auki i techiki zajdowao licze przykłady zmieych losowych o takim właśie rozkładzie. Rozkład te zaczęto uważać za uiwersaly rozkład statystyczy i dlatego właśie azwao rozkładem ormalym, dając tym wyraz, że jest to rozkład zazwyczaj występujący w praktyce. Dzisiaj wiemy, że rozkład ormaly ie jest jedyym rozkładem teoretyczym, który daje dobre przybliżeie rozkładów eksperymetalych, to jedak z całą pewością moża go zaliczyć do rozkładów, które ajczęściej mogą być stosowae do aproksymacji daych doświadczalych. Najbardziej rozpowszechioym poglądem, tłumaczącym przyczyy częstego występowaia rozkładu ormalego, był pogląd wysuięty przez F. Bessela. Według iego wartości obserwacji statystyczych zależą od wielu drobych przyczy. Przyczyy te, to są swego rodzaju impulsy, które powodują, że wartości obserwacji statystyczych odchylają się od średiej arytmetyczej. Gdy impulsy mają jedakowy kieruek, wówczas zaobserwowae odchyleie wartości cechy od średiej arytmetyczej jest duże, jeżeli atomiast impulsy działają różokierukowo, to sumarycze odchyleie wartości cechy od tej średiej jest małe. Oczywiście prawdopodobieństwo tego, że zacza ilość odchyleń będzie miała te sam kieruek, jest małe, jeżeli przyjmie się ie budzące ituicyjych sprzeciwów założeie, że odchyleia jedakowe co do wartości bezwzględej, a różiące się jedyie kierukiem (zakiem), mają jedakowe prawdopodobieństwo wystąpieia. Zakłada się rówież, że odchyleia są od siebie iezależe. Przy takich założeiach, a mocy twierdzeia o prawdopodobieństwie iloczyu zdarzeń iezależych możemy uważać, że wystąpieie zaczej ilości odchyleń jedokierukowych jest zdarzeiem mało prawdopodobym. Prawdopodobieństwo tego zdarzeia rówa się bowiem iloczyowi prawdopodobieństw zdarzeń elemetarych. Wyika stąd, że odchyleia duże co do bezwzględej wartości (czyli odchyleia będące sumą małych odchyleń jedakowo skierowaych) mają małe prawdopodobieństwo wystąpieia, a odchyleia małe mają to prawdopodobieństwo duże. Bessel traktuje odchyleia od średiej arytmetyczej tak samo jak błędy obserwacji. Poieważ błędy obserwacji, jak wykazali Gauss i Laplace, mają rozkład ormaly, przeto z wywodów Bessela wypływa wiosek, że każda cecha statystycza ma rozkład ormaly. Wykorzystując zatem model Laplacea, moża wykazać, jak iezależe zakłóceia (impulsy) występujące w pomiarze powodują arastaie iepewości pomiarowych, odchylając wyik pomiaru od rzeczywistej wartości (rys. 8.).

2 Rys. 8. Załóżmy, że wartość rzeczywista mierzoej wielkości wyosi A, oraz że pomiar tej wielkości jest zakłócoy przez N różych, iezależych czyików, z których każdy z prawdopodobieństwem p = /2 powoduje odchyleie wyiku pomiaru o wielkość ± e. Rysuek 8. pokazuje arastaie iepewości pomiarowych wraz ze wzrostem liczby czyików zakłócających pomiar. Prawdopodobieństwa otrzymaia określoego wyiku podae są a przecięciu kolum i wierszy tabeli, a ich suma w każdym wierszu rówa jest pewości (P = ). Taki proces arastaia wypadkowego odchyleia moża opisać rozkładem dwumiaowym lub jego aproksymacją rozkładem ormalym. Prawo rozkładu zdarzeń przypadkowych zakłócaych wieloma różymi, iezależymi czyikami, moża symulować za pomocą deski Galtoa (rys. 8.2). Jest to prostokąta deska, w której prostopadle do powierzchi wystaje kilkaaście rzędów kołków, których rozkład przypomia trójkąt Pascala. Odległość między kołkami jest taka, że może przejść między imi tylko jeda kulka. Deska jest lekko pochyloa. Z lejkowatego zbiorika, zajdującego się u góry deski, spadają kulki i zderzają się z kolejymi warstwami kołków, dozając przy tym lub w lewo z jedakowym prawdopodobieństwem p stąd, że każdy kołek iższej warstwy zajduje się odchyleia w prawo = q = /2. Wyika to dokładie pośrodku między dwoma kołkami wyższej warstwy, dlatego dokładie swym środkiem a kołekk stojący a jej kulka drodze. trafia Dziełem przypadku jest, czy po odbiciu od iego kulka przejdzie iżej z jego lewej, czy prawej stroy. Gdy większa liczba kulek przejdzie takie przypadkowe drogi, ułożą się oe w rowkach u dołu deski w kształcie krzywej symetryczej. Krzywa wskaże maksymale obsadzeie w okolicy swego środka, zaś ku brzegom obsadzeia będą zmierzały do zera (krzywa rozkładu Gaussa). Symetria tej krzywej będzie zaburzoa przez fluktuacje, tz. iewielkie wahaia w obsadzeiu poszczególych wyikają z rówowagi chwiejej kul. W każdym rowków, razie które zarówo stałość krzywej rozkładu, jak i zmieość zachodzących fluktuacji świadczą o występujących w tym zjawisku prawidłowościach statystyczych. Rys. 8.2 Prawa statystycze ie mogą dać odpowiedzi a pytaia dotyczące określoego zachowaia się pewego obiektu, p. kulki w ruchu po desce Galtoa. Tak więc ie potrafimy powiedzieć, do którego rowka wpadie kokreta kulka, a także ie wiemy, w którą stroę się odchyli. Możemy tylko powiedzieć, że gdybyśmy kulkę 2

3 puszczali odpowiedio dużo razy, to średio tyle a tyle razy wpadie do określoego rowka, tz. możemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo tego zdarzeia. Na rysuku.2 liią łamaą połączoo kołki, a których spadająca kulka dozaje kolejych odchyleń w pewym przykładowo wybraym ruchu. Ruch kuleczek po desce Galtoa jest przykładem ruchu zwaego błądzeiem przypadkowym i ależy, podobie jak przytoczoe wcześiej przykłady, do obszerej klasy procesów stochastyczych, czyli ruchów, których rozwój czasowy opisyway jest przez wartości zmieych losowych. Kulka spadając w dół dozaje N odchyleń, kolejo a każdym rzędzie kołków w lewo albo w prawo, zawsze tylko o jede rowek to odchyleie jest zmieą losową. Jeżeli prawdopodobieństwo odchyleia kulki w prawo ozaczymy przez p, a w lewo przez q, to prawdopodobieństwo tego, że w wyiku N odchyleń z ich wystąpi w prawo, moża wyrazić rozkładem dwumiaowym gdzie P N () N N = p q, (8.) N N! =!(N )! jest liczbą -elemetowych kombiacji zbioru N-elemetowego. Rozkład dwumiaowy stosujemy w przypadku, gdy dyskreta zmiea losowa przyjmuje iezbyt duże wartości. Natomiast dla dużych wartości, a mocy cetralego twierdzeia rozkład dwumiaowy dąży do rozkładu ormalego, zwaego także rozkładem Gaussa. Rysuek 8.3 jest ilustracją rozkładu ormalego, w którym zmiea losowa przyjmuje ciągłe wartości. σ = 0.3 σ = 0.6 = σ Rys. 8.3 Przedstawioe a rysuku 8.3 przebiegi moża przybliżyć jedą wspólą krzywą gęstości prawdopodobieństwa rozkładu ormalego ϕ() opisaą wzorem 2 ( ) ϕ( ) = exp 2, (8.2) σ 2π 2σ gdzie jest wartością średią zmieej losowej, określającą położeie maksimum rozkładu, a σ odchyleie stadardowe. Kształt krzywej Gaussa silie zależy od wartości odchyleia stadardowego i jak widać z rysuku im większa jest jego wartość, tym szersza i bardziej spłaszczoa jest krzywa rozkładu. Moża wykazać, że wartość odchyleia stadardowego σ jest rówa, dla takich wartości, dla których krzywa rozkładu ma pukty przegięcia. Położeia tych puktów są symetrycze względem położeia maksimum krzywej rozkładu, a ich wartości wyoszą odpowiedio: σ i + σ. Wykoując atomiast całkowaie fukcji rozkładu Gaussa w graicach od σ do + σ, możemy wykazać, że odchyleie stadardowe określa szerokość przedziału (< σ, + σ >), w którym z 3

4 prawdopodobieństwem P = 0,683 zajduje się dowola wartość zmieej losowej. Przykład rozkładu ormalego o parametrach = 5 oraz σ = 2 pokazao a rys Między parametrami rozkładu ormalego a dwumiaowego występują ścisłe relacje określoe wyrażeiami: = pn, σ = Npq. (8.3) Dla omawiaego tu przypadku deski Galtoa, dla której p = q = /2, otrzymujemy: = N/2 oraz σ = (N/4) /2, przy czym N jest liczbą rowków deski Galtoa (N = 7 a rys. 8.2). Możliwość wykorzystaia rozkładu Gaussa do obliczeia wartości prawdopodobieństwa P() w kokretym zastosowaiu wymagaa zajomości wartości przybliżoych, czyli estymat zmieej losowej i odchyleia stadardowego σ w praktyce wartości te obliczamy z próby. Wykoując pomiary ruchu serii ν kulek a desce Galtoa, możemy obliczyć estymaty z astępujących wyrażeń: N ν ν =, σ = ν = ν Zaczeie symboli w wyrażeiach pomiaru. N = Rys ( ) ν N 2 2 ν ( ) ν ν ν = ν (8.4) (8.4) zostaie wyjaśioe w pukcie.3, gdzie opisao zasadę i przebieg 8.2. Zadaia Wyzaczyć eksperymetale wartości prawdopodobieństwa wpadięcia kulki do -tego rowka dla serii ν = 00, 200, 300 kulek Wyzaczyć prawdopodobieństwo P() wpadięcia kulki do -tego rowka a podstawie rozkładu ormalego (wz. (8.4)) dla ν = 3000 kulek Wykreślić otrzymae w doświadczeiu rozkłady dla całkowitej liczby ν = 00, 200, 300 kulek. Na te sam wykres aieść rozkład Gaussa dla ν = 300 kulek, wyliczoy w pkt Obliczyć względą liczbę kulek, k które zalazły się w rowkach deski zawartych w przedziale ± σ dla całkowitej liczby 300 kulek. 4

5 8.3. Zasada i przebieg pomiaru Przed przystąpieiem do pomiarów ależy przechylić deskę i przesypać wszystkie kulki do lejka zsypowego. Następie spuszczamy pierwszą serię 00 kulek, kolejo jeda po drugiej. Zliczamy kulki w poszczególych rowkach, a wyiki zapisujemy w tabeli. Powtarzamy cykl pomiarów dla astępych serii po 00 kulek każda, zwiększając w te sposób całkowitą liczbę kulek do 200 w drugim i 300 w trzecim pomiarze. Wyiki zapisujemy w odpowiedich wierszach tabeli 8.. Wyiki pomiarów v N = 23 Tabela v P exp() v P exp() v P exp() P() W tabeli 8. zastosowao astępujące ozaczeia: ν całkowita liczba kulek w kolejym pomiarze (00, 200, 300), ν liczba kulek w -tym rowku ( =, 2, 3,...N), gdzie N = 23 jest całkowitą liczbą rowków deski Galtoa. Korzystając z zależości: P exp () = ν /ν, dla trzech serii pomiarów obliczamy doświadczale prawdopodobieństwa wpadięcia kulki do -tego rowka. Wyiki zapisujemy w odpowiedim wierszu tabeli Bazując a daych zawartych w tabeli dla całkowitej liczby ν = 300 kulek, obliczamy estymaty wartości średiej i odchyleia stadardowego σ ze wzorów (8.4), przy czym ze względu a dużą wartość ν, możemy pomiąć w wyrażeiu a estymatę odchyleia stadardowego. Następie obliczamy prawdopodobieństwo P() wpadięcia kulki do -tego rowka ze wzoru a rozkład ormaly (wz. (8.2)), przystosoway dla dyskretej zmieej losowej P() = ϕ ( )d ϕ(), gdzie =. (8.5) Wyiki zapisujemy w ostatim wierszu tabeli Sporządzić wykres słupkowy (taki jak a rys. 8.4) rozkładu ormalego dla trzech serii pomiarów (ν = 00, 200, 300), wykorzystując wartości P exp () zawarte w tabeli. Na te sam wykres aieść pukty wyliczoe ze wzoru a rozkład Gaussa odpowiedie wartości P() zawarte są w ostatim wierszu tabeli. Obliczyć względą liczbę kulek, które zalazły się w rowkach deski Galtoa, w przedziale ± σ i porówać wyik z teoretyczą wartością prawdopodobieństwa zalezieia się kulek w rowkach z tego samego przedziału, wyikającą z rozkładu Gaussa (P = 0,683, wz. (8), Wstęp) Ocea iepewości pomiarów Deska Galtoa jest swego rodzaju aalogiem przyrządu pomiarowego, którego ajmiejsza działka jest szerokością rowka, rówą dokładie odległości między środkami kołków w każdym rzędzie. Ruch kulki jest symulacją procesu pomiaru, a wyik pomiaru to wartość zmieej losowej (umer rowka, do którego ostateczie trafi kulka). Zatem odchyleie stadardowe σ jest miarą iepewości pojedyczego pomiaru (kulka dozaje zawsze elemetarego poziomego przemieszczeia po zderzeiu z kołkiem w pomiarze zawsze występują iepewości przypadkowe). Odchyleie stadardowe σ w teorii błędu azywa się błędem średim kwadratowym pojedyczego pomiaru (szersza dyskusja tego zagadieia zajduje się w pkt. 4 Wstęp). Należy pamiętać, że zmiea losowa przyjmuje wartości dyskrete, zatem estymaty zmieej losowej i odchyleia stadardowego σ są liczbami całkowitymi! Wyiki obliczeń wartości prawdopodobieństw P exp () i P() podać z dokładością do trzech cyfr zaczących. 5

6 Literatura [] Wróblewski A. K., Zakrzewski A. J.: Wstęp do fizyki. Warszawa: PWN 976. [2] Szydłowski H.: Teoria pomiarów. Warszawa: PWN 979. [3] Barticki S., Borys W., Kostrzyński T.: Fizyka ogóla. Ćwiczeia laboratoryje cz. I. Warszawa: Skrypt WAT 99. [4] Hrabowska J., Tykarski R.: Laboratorium podstaw fizyki. Opis ćwiczeń. Zeszyt 2. Warszawa: WPW