Komputerowa analiza danych doświadczalnych
|
|
- Sabina Mróz
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08
2 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
3 Wielowymiarowy rozkład Gaussa
4 Wielowymiarowy rozkład Gaussa Gęstość prawdopodobieństwa wielowymiarowego X= ( X, X,..., X ) rozkładu ormalego: T ϕ( x)=k exp ( x a ) B ( x a ) ( det B k= ( π) ( ) ) gdzie a jest -wymiarowym wektorem wartości oczekiwaych E ( X ) =a Natomiast B jest dodatio określoą macierzą symetryczą o wymiarze x o astępującej defiicji: T C=E ( ( X a )( X a) )=B gdzie C jest macierzą kowariacji zmieych losowych X Dla dwóch zmieych losowych: X = ( X, X ) ( σ cov ( X, X ) C= B = cov ( X, X ) σ KADD 08, Wykład 7 ) 4 / 44
5 Wielowymiarowy rozkład Gaussa Jeżeli a momet uzamy, że zmiee losowe X i X są iezależe: /σ 0 B 0= 0 /σ ( ) Wstawiając B0 do ogólego wzoru otrzymamy łączą gęstość dwóch iezależych zmieych losowych jako iloczy dwóch rozkładów Gaussa w D, zajomy wzór: ( ) ( ) ( x a ) ( x a ) ϕ( x, x )=k exp exp, k = π σ σ σ σ Gdy zmiee losowe ie są iezależe (iezerowe kowariacje), musimy stosować wzór ogóly (poprzedi slajd)! KADD 08, Wykład 7 5 / 44
6 Elipsa kowariacji Przekroje poziome fukcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa mają kształt elipsy zwaej elipsą kowariacji: elipsa kowariacji zależy od wartości oczekiwaych oraz odchyleń stadardowych i kowariacji elipsa kowariacji wyzacza obszar stałego prawdopodobieństwa Dla rozkładu D rówaie elipsy (elipsy kowariacji) o środku w (a,a), której osie główe tworzą kąt α z osiami główymi x, x: ( x a) σ x a x a ( x a ) ρ σ + = ρ σ σ Rysuek po prawej: tg α= ρ σ σ pukty i mają takie samo prawd. prawd. puktu 3 jest większe iż 4 KADD 08, Wykład 7 σ σ 6 / 44
7 Elipsa kowariacji cov(x,x)=0.0 a = a = 0.0 σ = σ =.0 cov(x,x)=0.5 a = a = 0.0 σ = σ =.0 KADD 08, Wykład 7 cov(x,x)=0.75 a = a = 0.0 σ = σ =.0 cov(x,x)=-0.5 a = a = 0.0 σ = σ =.0 7 / 44
8 Elipsa kowariacji KADD 08, Wykład 7 Korelacja wydłuża i obraca elipsę Rozmiar elipsy zależy od wariacji Elipsa kowariacji zawiera pełą iformację o macierzy kowariacji (w przypadku D) W 3D elipsoida kowaraiacji W D hiperelipsoida kowariacji 8 / 44
9 Cetrale twierdzeie graicze
10 Cetrale twierdzeie graicze Cetrale twierdzeie graicze (ag. cetral limit theorem) jedo z ajważiejszych twierdzeń rachuku prawdopodobieństwa: jeżeli zmiee losowe Xi są zmieymi iezależymi o jedakowych wartościach średich a i odchyleiach stadardowych b, to rozkład ormaly ma zmiea: ξ= X =lim X i i= E ( ξ)=a, σ (ξ)=b / rozkład ormaly będzie mieć też zmiea: X =lim X i i= E ( X )=a, σ ( X )=b Iymi słowy mając iezależych zmieych o jedakowym (dowolym!) rozkładzie, to ich suma dla dużych zbiega do rozkładu ormalego KADD 08, Wykład 7 0 / 44
11 Sploty
12 Suma zmieych losowych jako splot Wyobraźmy sobie taką sytuację: Mieszkasz w wiosce obok rzeki Mieszkańcy wioski wrzucają do rzeki odpady biologicze Kocetracja odpadów w fukcji odległości od miejsca zrzutu (Pollutio Spread Fuctio, PSF) jest zależa od ich rozkładu przez mikroorgaizmy w rzece Ilość wrzucaych odpadów zależy od populacji miejscowości a rzece Jaka jest peła fukcja opisująca poziom zaieczyszczeń w rzece? Jest to splot dwóch rozkładów fukcji populacji oraz fukcji kocetracji odpadów Iymi słowy, zastępujemy każdy pukt w fukcji populacji przez fukcję kocetracji przeskalowaą przez wagę fukcji populacji KADD 08, Wykład 7 / 44
13 Suma zmieych losowych jako splot Zamieńmy teraz sytuację a kości do gry Pierwszy rzut kostką to fukcja populacji, 6,7% populacji mieszka km w dół rzeki 6,7% popopulacji km, itd. Drugi rzut kostką ozacza fukcję PSF jak bardzo daa miejscowość zaieszyszcza rzekę, i zowu 6,7% zaieczyszczeń ląduje km dalej od miasta, 6.7% km dalej od miasta, itp. Jak policzyć pełą fukcję zaieczyszczeń? Podmieiamy fukcję populacji poprzez fukcję zaieczyszczeń, dla każdego miasta KADD 08, Wykład 7 3 / 44
14 Suma zmieych losowych jako splot Rozważmy zmieą losową: U = X +Y Zakładamy iezależość zmieych: f ( x, y )=f x ( x ) f y ( y ) Wtedy dystrybuata zmieej U: może być wyzaczoa jako pole powierzchi: y F (u)=p(u u)=p ( X +Y u)= = f x ( x ) f y ( y ) dx dy A u x u y = f x ( x) dx = f y ( y ) dy A f y ( y ) dy u= x+ y x f x ( x) dx Pole powierzchi A wyzacza taki obszar prawdopodobieństwa, że wartości u zmieej loswej U=X+Y spełiają waruek: U u Zgodie z defiicją dystrybuaty: F (u)=p(u u)=p(( ; u >) KADD 08, Wykład 7 4 / 44
15 Suma zmieych losowych jako splot Z dystrybuaty wyzaczamy fukcję gęstości zmieej U: df (u) f (u)= = f x ( x) f y (u x) dx= f y ( y ) f x (u y )dy (f x f y )(u) du Fukcja f(u) tak zdefiiowaa jest splotem fukcji fx(x) i fy(y) Powyższy wzór jest prawdziwy rówież wówczas, jeżeli zmiee X i Y są zdefiiowae tylko w pewym ograiczoym obszarze (wtedy ustalamy odpowiedie węższe i skończoe, graice całkowaia) Rozpatrzmy przypadek splotu dwóch rozkładów jedorodych: { 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie KADD 08, Wykład 7 } { 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie } 5 / 44
16 Suma zmieych losowych jako splot Splot dwóch rozkładów jedorodych: { 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie { } 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie v=u x f (u)= f x ( x ) f y (u x) dx= f y (u x ) dv = dx 0 0 u } u f (u)= f y ( v) dv= f y ( v)dv u u Zmiea u zmieia się od 0 do, zatem rozważmy przypadki: u u (a) 0 u < : f (u)= f y ( v)dv = dv=u 0 0 (b) u < : f (u)= f y (v) dv= dv= u u KADD 08, Wykład 7 u 6 / 44
17 Suma zmieych losowych jako splot Rozpatrzmy przypadek splotu dwóch rozkładów jedorodych: { 0 x< f x ( x)=, 0, w przeciwym razie { } 0 y < f y ( y)=, 0, w przeciwym razie f (u)= f x ( x) f y (u x) dx= f y (u x ) 0 0 v=u x dv = dx u } u f (u)= f y ( v) dv= f y ( v)dv u u Zmiea u zmieia się od 0 do, zatem rozważmy przypadki: u u (a) 0 u < : f (u)= f y ( v)dv = dv=u 0 0 (b) u < : f (u)= f y (v) dv= dv= u u u KADD 08, Wykład 7 7 / 44
18 Suma zmieych losowych jako splot Aalogiczie będzie z sumą trzech zmieych losowych: { / u, 0 u< f (u)= / ( u +6 u 3 ), u< / ( u 3 ), u<3 } Zgodie z CTG im więcej rozkładów w splocie, tym bardziej rozkład sumy przypomia rozkład Gaussa: u=x u=x+x u=x+x+x3 u=x+x+x3+x4 KADD 08, Wykład 7 8 / 44
19 Sploty z rozkładem ormalym Przykład: Mierzymy zmieą X opisaą gęstością prawdopodobieństwa fx(x). Pomiar obarczoy jest iepewością Y mającą rozkład ormaly. Wyik jest zatem sumą zmieych losowych: U = X +Y Gęstość prawdopodobieństwa zmieej U wyosi wtedy: (u x) f (u)= f x ( x) f y (u x) dx= f x ( x)exp dx π σ σ ( ) Problem: eksperymetalie otrzymujemy fukcję f(u), ale tak aprawdę iteresuje as fx(x). Jak ją wyzaczyć? w ogólym przypadku jest to iemożliwe moża tego dokoać dla pewej ograiczoej klasy fukcji f(u) ajczęściej posługujemy się tutaj metodami Mote Carlo KADD 08, Wykład 7 9 / 44
20 Sploty z rozkładem ormalym przykład Przykład: Splot rozkładu jedostajego z rozkładem ormalym (o średiej rówej 0) W tym przypadku możliwe jest rozwiązaie aalitycze. Korzystamy ze wzorów: f ( x)= ; x a, b b a g ( y)= e y / σ π σ h (u)= f ( x) g (u x) dx f ( x)=0 ; x ℝ a, b Wtedy, wprowadzając zmieą v=( x u)/ σ otrzymujemy: (b u)/ σ b h (u)= exp ( (u x) / σ ) dx= exp v dv b a π σ a b a π (a u) /σ ( Zaś uwzględiając dystrybuatę rozkładu ormalego: h (u)= ( ( b u a u Φ0 σ Φ0 σ b a ) ( ) f(x) )) h(u) KADD 08, Wykład 7 0 / 44
21 Sploty z rozkładem ormalym przykład Przykład: Splot dwóch rozkładów ormalych dodawaie iepewości w kwadracie Splot dwóch rozkładów ormalych o wartościach średich rówych 0 i wariacjach σ x, σ y ma postać rozkładu ormalego: f (u)= exp ( u / σ ), σ =σ x +σ y π σ Widzimy, że wariacje się dodają (odchyleia std. dodają się w kwadracie) Jeśli średie rozkładów róże od 0 wartości oczekiwae rówież się dodają KADD 08, Wykład 7 / 44
22 Zastosowaie splotów Cyfrowe przetwarzaie obrazów Akustyka Muzyka elektroicza W fizyce gdzie się pojawia superpozycja W plaowaiu radioterapii (rozkłady dawki) Playboy 97 stadardowy obrazek w grafice komput. KADD 08, Wykład 7 / 44
23 Zastosowaie splotów _I_Vitro-I_Vivo_Correlatio_IVIVC_a d_determiig_drug_cocetratios_i_blood_f rom_dissolutio_testig-a_simple_ad_practic al_approach Bardzo ważym zastosowaiem splotów są badaia farmakokietycze leków kocetracja leku w osoczu krwi w czasie jest splotem fukcji absorpcji leku oraz jego elimiacji equivalecy_compariso.svg KADD 08, Wykład 7 hpapp0/95/pharmacokietic-models jpg?cb= / 44
24 Pobieraie próby
25 Pobieraie próby W przypadku pomiarów eksperymetalych ajczęściej ie zamy rozkładu prawdopodobieństwa opisującego day pomiar (p. parametru rozkładu Poissoa w rozpadach promieiotwórczych, czy parametrów rozkładu Gaussa opisującego jakąś populację) Te parametry chcemy wyzaczyć doświadczalie, ie jesteśmy jedak w staie zebrać ieskończeie wiele pomiarów W kosekwecji jesteśmy zmuszei przybliżać rozkład gęstości za pomocą rozkładu częstości (histogramu o skończoej liczbie wejść) Próbą (ag. sample) azywamy zespół doświadczeń wykoywaych w celu określeia kształtu (parametrów) poszukiwaego rozkładu: próba otrzymywaa jest poprzez wybór elemetów z (często ieskończoego) zbioru wszystkich możliwych doświadczeń (wszystkich możliwych pomiarów), zwaego populacją geeralą próbę o składikach azywamy próbą -wymiarową KADD 08, Wykład 7 ics%9#/media/file:simple_radom_samplig.png 5 / 44
26 Pobieraie próby Cała sztuka polega a odpowiedim wybraiu próby z populacji, by aproksymacja rozkładu gęstości była jemu jak ajwieriejsza Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X opisyway jest fukcją f(x) iteresują as wartości zmieej X uzyskae przez poszczególe elemety próby Pobieramy l prób, każda o wymiarze, i zaobserwowaliśmy astępujące wartości zmieej X: () ( ). próba : X (), X,, X j -ta próba : X (j ), X (j ),, X (j) ( l) l -ta próba : X (l ), X (l),, X Oczywiście, to co pobraliśmy jest też zmieą losową! Elemety próby losowej (wartości zmieej X), są zmieą losową Każdą próbę możemy przedstawić jako wtektor (-wymiarową zmieą losową): X ( j)=( X ( j), X (j),, X (j)) Wektor ma rozkład gęstości prawdopodobieństwa: g ( x)=g ( x, x,, x ) KADD 08, Wykład 7 6 / 44
27 Pobieraie próby Aby moża było mówić o losowym pobieraiu próby: zmiee Xi muszą być iezależe, czyli: g ( x)=g ( x ) g ( x ) g ( x ) poszczególe rozkłady muszą być jedakowe i idetycze z rozkładem gęstości populacji: g ( x )=g ( x )= =g ( x )=f ( x) Należy podkreslić, że w rzeczywistym procesie pobieraia próby często bardzo trudo jest zapewić pełą losowość ie ma tutaj jedej recepty jak to zrobić (ależy starać się spełić powyższe waruki) Teraz zdefiiujemy pojęcia, które charakteryzują próbę losową KADD 08, Wykład 7 7 / 44
28 Pobieraie próby Teraz zdefiiujemy pojęcia, które charakteryzują próbę losową: załóżmy, że mamy -elemetową próbę i odkładamy wyiki a osi liczb. Przez x ozaczmy taką liczbę wartości, które są miejsze iż pewa stała x, czyli mamy spełioą defiicję dystrybuaty:x x wielkość W ( x)= x / azywamy dystrybuatą empiryczą jest to fukcja schodkowa zwiększająca się o / dla każdej kolejej wartości z próby; dla dużych dąży do dystrybuaty fukcję elemetów próby azywamy statystyką ajważiejszym przykładem statystyki jest średia z próby (ag. sample mea) zdefiiowaa jako średia z elemetów próby: X = ( X + X + + X ) KADD 08, Wykład 7 8 / 44
29 Pobieraie próby - przykład Przykład wzrost Polaków Niewątpliwie, wzrost Polaków (zmiea losowa X) podlega pewemu rozkładowi f(x) z dystrybuatą F(x) Pomiar wzrostu pojedyczego Polaka daje wartość x Losowy wybór tego jedego polaka to zmiea losowa X Jeżeli stworzymy -wymiarową próbę losową, tz. wybierzemy Polaków, to rozkład prawdopodobieństwa wyboru dla każdej z osób (od g(x) do g(x)) jest taki sam jak dla całej populacji i rówy f(x) Dla każdej tak skostruowaej próby możemy teraz policzyć jej W(x). Oczywiście im większe będzie, im więcej ludzi weźmiemy do aszej próby, tym rozkład wyliczoy z próby będzie bliższy rozkładowi rzeczywiście istiejącemu w populacji Zadaiem estymacji jest zalezieie takiej statystyki (a więc fukcji określoej a wektorze X=(X,,X)), aby ajlepiej przybliżała oa rzeczywistą wartość parametru opisującego rzeczywisty rozkład zmieej losowej X KADD 08, Wykład 7 9 / 44
30 Estymatory Typowy problem aalizy daych: zamy (p. z prawa fizyczego) ogólą postać gęstości prawdopodobieństwa w daej populacji, ależy jedyie wyzaczyć parametry tego rozkładu. Przykład: mierzymy rozpad radioaktywy w czasie: N (t )= N 0 ( exp ( λ t )) parametr λ wyzaczamy a podstawie próby mierząc skończoą ilość razy ilość rozpadów w czasie wyik igdy ie będzie dokłady, bo próba jest skończoa, mamy problem estymacji parametrów poszukiwaa wielkość uzyskiwaa jest fukcją elemetów próby (statystyką) i jest azywaa estymatorem: S=S ( X, X,, X ) estymator jest ieobciążoy, jeżeli iezależie od liczebości próby jego wartość oczekiwaa jest rówa wartości estymowaego parametru: E ( S ( X, X,, X ) ) =λ, dla każdego estymator jest zgody, jeżeli jego wariacja zika: lim σ ( S ( X, X,, X ) )=0 KADD 08, Wykład 7 30 / 44
31 Estymatory wartość oczekiwaa Wartość średia ze wszystkich elemetów próby jest zmieą losową (jest fukcją zmieych losowych). Jej wartość oczekiwaa (tej średiej): E ( X )= E ( X )+ E ( X )+ + E ( X ) ) =E ( X )= x^, dla każdego ( Wiosek: wartość średia (arytmetycza) z próby to estymator ieobciążoy wartości oczekiwaej zmieej X w populacji Możemy obliczyć wariację wartości średiej: σ ( X )=E { X E ( X ) } = E = )} ^ ^ ^ E [( X x )+( X x )+ +( X x )] { } Z uwagi a iezależość zmieych kowariacje między zmieymi Xi zikają, czyli ostateczie: σ ( X )= σ ( X ) {( x + x + + x x^ lim σ ( X )=0 Wiosek: wartość średia (arytmetycza) z próby jest rówież estymatorem zgodym wartości oczekiwaej KADD 08, Wykład 7 3 / 44
32 Estymatory - wariacja Jak pamiętamy z defiicji wariacji, ie jest oa zmieą losową Możemy wariację przybliżyć przez średią arytmetyczą odchyleń kwadratowych od wartości średiej: S ' ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( Wartość oczekiwaa tej wielkości: E ( S ' ( X ) )= E = E { { i= } { ( X i X ) = E i= ( X i ^x + x^ X ) i= } ( X i ^x ) + ( ^x X ) + i= ( X i ^x )( x^ X ) i= { } = { E ( ( X i ^x ) ) E (( X ^x ) ) }= σ ( X ) σ ( X ) i= = σ (X) ( )} Widać więc, że S' jest estymatorem obciążoym dla wariacji populacji mającym wartość oczekiwaą miejszą iż σ(x) KADD 08, Wykład 7 3 / 44
33 Estymatory - wariacja Możemy jedak iezaczie zmodyfikować defiicję wariacji z próby i wprowadzić estymator: S ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( Otrzymyjemy estymator ieobciążoy wariacji populacji Jeśli podstawimy te wzór do wzoru: σ ( X )= σ ( X ) To otrzymamy estymator wariacji wartości średiej: S ( X )= S ( X )= ( X i X ) ( ) i= Zaś odpowiadające odchyleie stadardowe (iepewość średiej z próby): Δ X = S ( X )=S ( X )= Jaka jest zaś iepewość wariacji z próby (bez wyprowadzeia)? Odchyleie stadardowe próby: Δ S =S S( X) KADD 08, Wykład 7 S= S = ( X i X^ ) i = 33 / 44
34 Estymatory - wariacja Podsumowując zatem estymatory ieobciążoe: wartości oczekiwaej populacji średia z próby (wyik doświadczeia): X = ( X + X + + X ) wariacji populacji wariacja z próby (aproksymowaa): S ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) ) ( wariacji wartości średiej z próby (patrz iepewość typu A): S ( X )= S ( X )= ( X i X ) ( ) i= wariacji (aproksymowaej) wariacji z próby 4 Var ( S ) =S ( ) odchyleia stadardowego wartości średiej z próby: S= S ( X )= ( X X ) +( X X ) + +( X X ) dalej możemy wyzaczać p. wariację odchyleia std. próby i tak dalej (w ieskończoość)... KADD 08, Wykład 7 34 / 44
35 Graficze przedstawieie próby
36 Graficze przedstawieie próby Rozważmy próbę: x, x,, x, która zależy od jedej zmieej losowej X Możemy tę próbę przedstawić jako wykres D pukty a osi x jedowymiarowy wykres puktowy wada: co w przypadku, gdy mamy dwa takie same pomiary? Z reguły stosujemy zatem wykres D, zway histogramem: dzielimy przedział zmieości x (lub jego część) a r przedziałów o jedakowej szerokości Δx: ξ, ξ,..., ξr środki przedziałów zajdują się w puktach: x, x,..., x r a osi y odkładamy liczbę elemetów próby przypadającą a day przedział:,,..., r tak otrzymay wykres azywamy wykresem częstości lub histogramem KADD 08, Wykład 7 36 / 44
37 Graficze przedstawieie próby iep. = k wykres schodkowy KADD 08, Wykład 7 37 / 44
38 Histogram szerokość przedziału KADD 08, Wykład 7 Im więcej przedziałów, tym iformacja o próbie jest dokładiejsza Większa ilość przedziałów powoduje jedak większe wahaia statystycze od puktu do puku Pole pod krzywą schodkową jest proporcjoale do wielkości próby (jeśli je przeskalujemy przez /, otrzymamy częstość) 38 / 44
39 Graficze przedstawieie próby - przykład Badamy iezay rozkład prawdopodobieństwa Symulujemy taką sytuację poprzez geerację 000 prób z rozkładu Gaussa o wartości średiej 0 i wariacji. Każda próba ma liczość (liczbę składików) r. Badamy zachowaie estymatorów charakterystyk rozkładu i estymatorów ich iepewości w fukcji liczości próby r X = ( X + X + + X ) estymator wartości oczekiwaej populacji σ ( X )=Δ X = (S ( X ))=S ( X )= iepewość wart. średiej - estymator odch. st.wartości średiej z próby (estymatora wart. oczekiwaej) średia z próby S ( X )= S ( X )= ( X X ) estymator odch. std. populacji S ( X )= i S( X ) S( X ) σ ( S ( X ))=Δ S ( X )= ( ) iepewość estymatora odch. std. populacji estymator odch. std. estymatora odch. std. populacji ( X X ) +( X X ) + +( X X ) } σ ( S ( X ))=Δ S ( X )=S ( X ) { estymator wariacji populacji KADD 08, Wykład 7 iepewość estymatora wariacji populacji estymator odch. std. estymatora wariacji populacji 39 / 44
40 Estymatory - histogramy r = 0 KADD 08, Wykład 7 40 / 44
41 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 08, Wykład 7 4 / 44
42 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 08, Wykład 7 r = 00 4 / 44
43 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 KADD 08, Wykład 7 r = 00 r = / 44
44 Estymatory - histogramy r = 0 r = 50 r = 00 r = 00 lim σ ( S ( X, X,, X ) )=0 KADD 08, Wykład 7 44 / 44
45 KONIEC
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 5.04.09 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09 Wielowymiarowy rozkład Gaussa - przypomieie Cetrale twierdzeie graicze
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 6 6.04.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Własności rozkładu normalnego Centralne twierdzenie graniczne Funkcja charakterystyczna
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5 4.03.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa Metoda akceptacji-odrzuceń
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5 3.03.08 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 07/08 Metody Mote Carlo Najważiejsze rozkłady prawdopodobieństwa Metoda akceptacji-odrzuceń
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 5.03.09 dr iż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr leti 08/09 Trasformacje liiowe Propagacja iepewości Trasformacje liiowe Najczęściej,
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowo0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo