POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN

Transkrypt

1 POITECHNIA SZCZECIŃSA ATEDRA MECHANII I PODSTAW ONSTRUCJI MASZYN Ćwiczenie nr 6 Instrkcja do ćwiczeń laboratoryjnych Nmeryczne metody analizy konstrkcji Analiza dokładności obliczeń metodą elementów skończonych Szczecin 7

2 Cel ćwiczenia W niniejszej instrkcji przedstawiono zadanie (pręt o zmiennym przekroj obciążony statycznie), rozwiązano je metodą analityczną, a następnie metodą elementów skończonych. Istotą ćwiczenia jest zobrazowanie wpływ podział pręta na dokładność otrzymanych wyników (przemieszczenia i odkształcenia) w odniesieni do rozwiązania dokładnego zyskanego metodą analityczną.. Opis zadania Dany jest stożkowy pręt o prostokątnym kształcie przekroj w płaszczyźnie - y. ewy koniec pręta jest twierdzony, a prawy jest obciążony osiową siłą P kn. Modł Yonga jest równy kn/cm². Dłgość pręta wynosi m. Powierzchnia przekroj lewego końca pręta wynosi cm², a prawego - cm² i zmienia się liniowo wedłg wzor A()-.9.. Taka zmienność przekroj jest świadomie wybrana w cel wymszenia wyraźnych zmian w przebieg przemieszczeń i naprężeń. Poszkiwane są: wydłżenia całkowite wzdłż osi (), naprężenia normalne σ(), jak również reakcja R na lewym końc pręta.. Rozwiązanie analityczne Rysnek.. Przykład obliczeniowy Aby to zadanie można było oszacować wykorzystjąc metodę elementów skończonych, konieczne jest wcześniejsze opracowanie dokładnego rozwiązania analitycznego. Uproszczenie zagadnienia do postaci idealnej W naszym przykładzie dłgość jest przeważającym wymiarem w porównani z pozostałymi. W związk z tym, że obciążenie jest zadane na tym wymiarze możemy zastosować teorię prętów.

3 Wyprowadzenie równania różniczkowego Aby wyprowadzić równanie różniczkowe, należy wziąć pod wagę trzy warnki: -statyczny: S ( ) P kn const. (.) S( ) σ ( ) (.) A( ) -materiałowy: σ ( ) ε ( ) σ ( ) ε( ) E (.) E -geometryczny: d ε ( ) d ε( ) d (.4) d Równanie różniczkowe: d σ ( ) S( ) d E A( ) E P d d A( ) E P A( ) E (.5) (.6) Rozwiązanie równania różniczkowego ( ) P P d d E A( ) E A( ) (.7) Maksymalne wydłżenie całkowite końca pręta oblicza się następjąco: ( ) [ ln ln], 756cm.,9 d d [ ln(, 9 ) ln] Przebieg wydłżenia całkowitego jest pokazany na rysnk.. Rys... Przemieszczenia () rozwiązanie analityczne

4 Znając fnkcję przemieszczeń () można obliczyć naprężenia σ(). d σ ( ) E d (,9 ) (.8) dla kn σ ( ) cm dla kn σ ( ) cm Wykres zmienności naprężeń pokazano na rysnk.. Zbieżność geometrii pręta powodje szybki wzrost naprężeń przy prawym jego końc. Rys... Naprężenia σ() rozwiązanie analityczne 4

5 Rozwiązanie zadania w programie ANSYS PREPROCESSOR. Rysowanie przedmiot wg rysnk Należy tworzyć powierzchnię na podstawie linii i pnktów bazowych o współrzędnych jak na rysnk, przy czym aby stworzyć linie AB i CD należy wskazać pnkt B oraz D jako pierwszy Preprocessor>Modeling>Create>eypoints>In Active CS Preprocessor>Modeling>Create>ines>ines>Straight line Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>Bylines>wskaż wszystkie linie>o A (; 5) B (;.5) D (; -.5) C (; -5). Definiowanie typ element i opcji Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete>Add... Wybierz element Solid Qad 4node 4 Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete>Options : Plane strs w/thk O>Close. Nadawanie elementowi grbości Preprocessor>Real Constants> Add/Edit/Delete>Add..>O> TH: ( cm grbości) O>Close 4. Definiowanie stałych materiałowych Preprocessor>Material Props>Material Models>Strctral>Elastic>Isotropic EX: PRXY:.9 5. Tworzenie siatki elementów skończonych włączenie nmerowania elementów Utility Men: PlotCtrls>Nmbering... Elem / Attrib nmbering: Element nmbers [on] 5

6 podział na dwa elementy o równej dłgości Preprocessor>Meshing>Size Ctrls>Manal Size>ines>Picked lines> Ustal podział linii pionowych na : NDIV Apply Ustal podział linii skośnych na : NDIV O Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped> or 4 sided > Pick All SOUTION 6. Utwierdzanie przedmiot Soltion>Define oasd>apply>strctral>displacement>on ines Wybierz lewą pionową linię przedmiot i staw pełne twierdzenie (All DOF) > O 7. Definiowanie obciążenia Soltion>Define oasd>apply>strctral>pressre>on ines Wybierz prawą pionową linię przedmiot i staw wartość ciśnienia VAUE oad PRESS vale: - (mins oznacza ciśnienie od linii) O 8. Rozwiązanie zadania Soltion>Solve>Crrent S>O POSTPROCESSOR 9. Wykres przemieszczeń General Postproc>Path Operations>Define Path>By location 6

7 Path Operations>Map ontho Path... Path Operations>Plot Path Item>On Graph maks. przemieszczenie ma.44 cm 7

8 . Wykres naprężeń Path Operations>Map ontho Path... Path Operations>Plot Path Items... maks. naprężenia σ ma 6.54 kn/cm By przeprowadzić obliczenia dla większej liczby elementów należy powtórzyć kroki od pnkt 5. 8

9 . Podział na cztery elementy o równej dłgości PREPROCESSOR Preprocessor>Meshing>Size Ctrls>Manal Size>ines>Picked lines> Ustal podział linii skośnych na 4: NDIV 4 O Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped> or 4 sided > Pick All SOUTION Soltion>Solve>Crrent S>O POSTPROCESSOR Należy ponownie zdefiniować ścieżkę (oś odciętych wykres) oraz określić oś rzędnych wykres, jak dla model o elementach. ma.596 cm σ ma 9.4 kn/cm 9

10 . Podział na osiem elementów o równej dłgości PREPROCESSOR Preprocessor>Meshing>Size Ctrls>Manal Size>ines>Picked lines> Ustal podział linii skośnych na 4: NDIV 8 O Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped> or 4 sided > Pick All SOUTION Soltion>Solve>Crrent S>O POSTPROCESSOR Należy ponownie zdefiniować ścieżkę (oś odciętych wykres) oraz określić oś rzędnych wykres, jak dla model o elementach. ma.6689 cm σ ma.8 kn/cm

11 4. Podział na osiem zagęszczonych elementów o różnej dłgości PREPROCESSOR Preprocessor>Meshing>Size Ctrls>Manal Size>ines>Picked lines> Ustal podział linii skośnych na 8: NDIV 8 Zagęszczanie poział linii: SPACE 8 O Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped> or 4 sided > Pick All SOUTION Soltion>Solve>Crrent S>O POSTPROCESSOR Należy ponownie zdefiniować ścieżkę (oś odciętych wykres) oraz określić oś rzędnych wykres, jak dla model o elementach. ma.687 cm σ ma 7.5 kn/cm

12 5. Podział na dwa elementy o równej dłgości z elementami o nieliniowej fnkcji kształt PREPROCESSOR sń z powierzchni siatkę elementów Solid Qad 4 node 4 (o liniowej f. kształt): Preprocessor>Meshing>Clear>Areas>Pick All sń element Solid Qad 4 node 4 (o liniowej f. kształt): Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete>Delete wybór element z nieliniową fnkcją kształt: Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete>Add... Wybierz element Solid Qad 8node 8 podział na dwa elementy o równej dłgości: Preprocessor>Meshing>Size Ctrls>Manal Size>ines>Picked lines> Ustal podział linii skośnych na : NDIV Usń zagęszczanie poział linii: SPACE O Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Mapped> or 4 sided > Pick All SOUTION Soltion>Solve>Crrent S>O POSTPROCESSOR nieliniowa f. kształt liniowa f. kształt ma.67 cm ma.44 cm σ ma.94 kn/cm σ ma 6.54 kn/cm

13 6. Dalsze modyfikowanie model W podobny sposób rozwiąż zadnia po przednim tworzeni siatki złożonej z: 4 elementów o równej dłgości 8 elementów o równej dłgości 8 elementów zagęszczonych o nierównej dłgości Porównaj wyniki z wynikami zyskanymi z wykorzystaniem elementów o liniowej fnkcji kształt. Utwórz odpowiednie zestawienie w tabeli i dla wszystkich 8 modeli oblicz bezwzględne błędy przemieszczeń i naprężeń w stosnk do rozwiązania dokładnego. 7. Ocena wyników. Zwiększenie liczby elementów pozwala zyskać dokładniejsze wyniki.. Zagęszczenie elementów w obszarze dżego gradient naprężenia znacznie poprawia dokładność obliczonych przemieszczeń węzłowych i naprężeń.. wadratowa postać przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego (nieliniowa fnkcja kształt) zapewnia dokładniejsze wyniki, niż postać liniowa. 4. Dla kwadratowej postaci przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego zyskje się szybszą zbieżność wyników. 5. Przemieszczenia można wyznaczyć dokładniej niż naprężenia (naprężenie jest wielkością pochodną). Należy podkreślić, że wybrany przykład szczególnie krytycznie podchodzi do obliczeń metodą elementów skończonych. Został on wybrany, aby zaznaczyć przybliżony charakter metody.

14 DODATE Rozwiązanie za pomocą metody elementów skończonych W tym rozdziale do rozwiązania przykład zastosowana została metoda elementów skończonych. Aby wydatnić tylko istotne cechy zagadnienia, podjęto t szereg proszczeń: obciążenie zostało sprowadzone do węzłów; geometria została proszczona w taki sposób, że elementy tworzące pręt, na płaszczyźnie -y są prostokątami. Na początk strktrę podzielono tylko na dwa elementy, później na więcej, wraz z zagęszczeniem elementów w obszarze wyższego gradient naprężenia (w cel osiągnięcia lepszych wyników). Ze względ na strktrę element wybieramy element dwwymiarowy leżący na płaszczyźnie -y. Zaletą tego wybor jest to, że element taki może być opisany wzdłż osi. Pozwoli to zmniejszyć liczbę niewiadomych. Podział na elementy (dyskretyzacja) Pręt dzielimy najpierw na dwie części. Dla każdego element wybieramy liniową postać przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego dla nieznanej fnkcji przemieszczenia (). Fnkcja przemieszczenia () zostanie zastąpiona przez fnkcję liniową opisjącą element. Dzięki tem, że elementy ściśle się stykają, zapewniona jest równa wartość przemieszenia w miejsc ich połączenia - czyli ciągłość przemieszczeń. Aproksymacja przebieg przemieszczeń w elemencie Wybierzemy najprostszą postać fnkcji liniowej b + a, (.) gdzie a,b są wartościami stałymi. 4

15 Zamiast stałych a i b wprowadzimy przemieszczenia węzłów, jako niewiadome i. Przemieszczenia węzłów oznaczają t też stopnie swobody. Fnkcję przemieszczeń oblicza się jako iloczyn przemieszczeń węzłów i fnkcji kształt. Rys... Model złożony z dwóch elementów Dla ( ) b i ( ) b + a, dłgość element, (.) otrzymjemy b i a. (.) Następnie ( ) + + ( ) + (.4) ( ) N + (.5) ( ) N ( ) gdzie N ( ) i N ( ) (.6) są fnkcjami kształt. W zapisie macierzowym fnkcja przemieszczeń ma postać: ( ) [ N ; N ] [ N] { } (.7) Fnkcje kształt N i można obliczyć podstawiając 5

16 za i, względnie i. Jak widać na rys.. sformłowanie fnkcji () wg wz. (.7), odpowiada wz. (.). Rys... W ogólnym przypadk wzór (.7) można zapisać jako: y [ N] { } (.8) z Oprócz przemieszczeń całkowitych będziemy potrzebować też przemieszczenia jednostkowe i naprężenia, wyrażone za pomocą wielkości przemieszczeń w węzłach. d( ) ε ( ) (.9) d d ε ( ) [ N] { } d d[ N] d Wykorzystjąc [ N ; N ] [ B; B] [ B], d d ε ( ) B (.) otrzymjemy [ ] { } W naszym przykładzie: d [ B] ; [ B ; B] ; d. W ogólnym przypadk przemieszczenia jednostkowe mogą występować na różnych kiernkach. Zatem wzór (.) można zapisać w postaci { ε } [ B] { }. Naprężenie jest powiązane z przemieszczeniem jednostkowym następjącą zależnością: σ E ε, (.) gdzie E jest modłem sprężystości. 6

17 W ogólnym jęci wielkość skalarna E jest macierzą [D]. Jako macierz nie odnosi się do wartości naprężenia, ale do składowych naprężeń zestawionych razem w wektor naprężeń. { σ } [ D ] { ε}. Podstawiając zależność (.) otrzymjemy: { σ } [ D] [ B] { }. (.) Stąd można wyznaczyć przemieszczenia całkowite (.7) oraz wielkości pochodne, jak przemieszczenia jednostkowe {ε} (.) i naprężenia {σ} (.). Tworzenie macierzy sztywności Pozostałe do określenia niewiadome przemieszczenia węzłowe wyznacza się wykorzystjąc zasadę minimm energii potencjalnej. Potencjał п składa się z potencjał sił wewnętrznych п i i zewnętrznych п a. π ( π ) + ( π ) + ( π ) min (.4) e a k a e i. e e Potencjał sił wewnętrznych п i odpowiada smie potencjałów pojedynczych elementów п ie. Potencjał sił zewnętrznych п a równy jest smie prac tych sił, п ak działających na węzły i п ae działających na element. Na początk siły zewnętrzne w obrębie element nie są brane pod wagę (odpada więc człon п ae ). Pracę odkształcenia п ie w obrębie element określa się jako: v T π ie { ε} { σ }dv. (.5) Uwaga: Wektor przemieszczeń jednostkowych {ε} msi być transponowany, w cel zbdowania iloczyn skalarnego. Wykorzystjąc (.), (.) oraz zależność: { ε } T [ B] T { } T, (.6) otrzymjemy: v T T π ie { } [ B] [ D] [ B] { }dv. (.7) Podstawiając do powyższego wzor: v T [ ] e [ B] [ D] [ B] gdzie [] e oznacza macierz sztywności, otrzymjemy: ie T { } [ ] { } e dv, (.8) π. (.9) Potencjał sił zewnętrznych w węzłach oblicza się jako iloczyn przemieszczeń węzłowych i obciążeń w węzłach F: π { } T ak { F}. Potencjał globalny jest równy: T T π { } [ ] e { } { } { F}. (.) e Z zasady minimm energii potencjalnej otrzymjemy macierz sztywności dla kład globalnego, przy pomocy której wyznaczymy nieznane przemieszczenia. π [ ] { } { } { } e F. (.) e 7

18 [ ] e { } { F}. (.) e [ ] { } { F}, (.) gdzie macierz sztywności kład globalnego [] jest smą macierzy sztywności poszczególnych elementów [] e, {} jest wektorem przemieszczeń węzłowych, a {F} wektorem sił w węzłach. W naszym przykładzie macierze [] e i [] oraz wektor {F} są dwelementowe. Wyznaczenie macierzy [] e : v A T T T [ ] e [ B] [ D] [ B] dv [ B] [ D] [ B] dad Am [ B] [ D] [ B] gdzie : A + A A m - wartość średnia przekroj. Macierz materiałowa [D] jest wielkością skalarną równą modłowi sprężystości E. Możemy więc zapisać: T T [ B] [ D] [ B] [ B] E [ B]. [ B] ; [ ] B T, E E B T, E E E [ ] E [ B] E A d, T E m [ ] e Am [ B] E [ B] d Am d E A m [ ] e. (.4) Macierz sztywności dla każdego z elementów oblicza się wykorzystjąc dane z tabeli. Element i E i A mi 5 7,75 5,5 E A ei, i mi [ ] [ ], [ ] e e , 8

19 9 Macierze [] ei bdją główną macierz sztywności []. Wyznaczenie macierzy []: Globalny potencjał wynosi: ( ) ak i i π π π π + +, Przy czym п i jest potencjałem wewnętrznym element, п i potencjałem wewnętrznym element, natomiast п ak zewnętrznym potencjałem sił węzłowych. [ ] [ ]. + π F F F T T T Wyrażenie powyższe można zapisać w postaci: [ ] [ ] F F F T T π. (.5) Podstawiając wartości liczbowe otrzymamy: ) ( F F F T T π. Zgodnie z warnkiem: { } π, otrzymjemy: R (.6) [ ] { } { } F Rozwiązanie równania Z równania: [ ] { } { } F, (.7) można wyznaczyć nieznane przemieszczenia węzłowe {}: [ ] [ ] { } [ ] { } F, [ ] { } [ ] { } F I, { } [ ] { } F. (.8) W formie skalarnej wygląda to następjąco: F F W programach wykorzystjących metodę elementów skończonych, równanie będzie rozwiązane zgodnie z zasadą eliminacji Gassa, co będzie pokazane w naszym przykładzie. Równanie wygląda następjąco:

20 R } II I W takiej postaci równania nie można rozwiązać, gdyż nieznana jest reakcja R. W związk z tym równanie podzielimy na część zawierającą warnki brzegowe (II), oraz na część zawierającą nieznane przemieszczenia (I). Po rozwiązani (I) będzie można rozwiązać (II). Podział: I II [ ] { R} Określenie przemieszczeń węzłowych za pomocą algorytm Gassa: Transformacja do macierzy trójkątnej: Dzielenie pierwszego wiersza przez 66: Dodanie do drgiego wiersza, wiersza pierwszego pomnożonego przez 95: Dzielenie drgiego wiersza przez 7.86: Podstawienie:.456 ( ). 48 Wynik z (I): Wektor przemieszczeń: { } Wyznaczenie reakcji z (II): ( 465 ) ( 465 ) + ( ) R R ( ) 465 (.48) 9.9 [ kn] 465

21 Obliczenie naprężeń Przemieszczenia lb naprężenia możemy wyznaczyć z wektora przemieszczeń {}. Element : Wektor przemieszczeń węzłowych: { }.48 Przebieg przemieszczeń: ( ) [ ] { } N ; ( ) ( ) cm ( 5). cm 48. Przebieg naprężeń: E E σ σ ( ) [ kn ]. 5 cm Element :.48 Wektor przemieszczeń węzłowych: { }.456 Przebieg przemieszczeń: ( ) [ ] { } N ; ( ) [ D] [ B] { } E + ( ) ( ) cm ( 5). cm 456. Przebieg naprężeń: E E σ σ ( ) ( ) 6.68[ kn ]. 5 cm ( ) [ D] [ B] { } E +

22 Ocena i kontrola wyników Na rysnk rys.. przedstawiono przebieg przemieszczeń. Rys... Przebieg przemieszczeń () zyskany w MES i analitycznie. Po porównani wyników zyskanych metodą analityczną z wynikami metody elementów skończonych, można przejść do oceny przebieg naprężeń. Rys..4. Przebieg naprężeń σ() zyskany w MES i analitycznie. Jak widać na rys..4, metoda elementów skończonych pozwala określić stałe wartości na całej dłgości danego element. Nie ma więc zachowanej ciągłości naprężeń na granicy elementów, chociaż jest zachowana ciągłość przemieszczeń (rys..). Warto zaznaczyć, że wartości naprężeń w środkach elementów równają się wartościom zyskanym analitycznie. Jasnym jest teraz, że zwiększenie liczby elementów pozwoli zyskać dokładniejsze wyniki.

23 Zwiększenie dokładności wyników Dotychczas zyskane wyniki nie są wystarczająco zadowalające. Ich jakość zwiększymy przez: - zagęszczenie elementów przez podział na większą ich liczbę, - zagęszczenie elementów w obszarze większego gradient naprężeń przez przeswanie węzłów, - podwyższenie stopnia przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego. Większa liczba elementów - 4 elementy skończone Rys.4.. Model złożony z czterech elementów Rys.4.. Przebieg przemieszczeń () w MES i zyskany analitycznie.

24 Rys.4.. Przebieg naprężeń σ() w MES i zyskany analitycznie. - 8 elementów o równej dłgości Rys.4.4. Model złożony z ośmi elementów o równej dłgości. Rys.4.5. Przebieg przemieszczeń (),dla ośmi elementów o równej dłgości. 4

25 Rys.4.6. Przebieg naprężeń σ() dla ośmi elementów o równej dłgości. - 8 elementów zagęszczonych Rys.4.7. Model złożony z ośmi elementów zagęszczonych. 5

26 Rys.4.8. Przebieg przemieszczeń () dla ośmi elementów zagęszczonych. Rys.4.9. Przebieg naprężeń σ() dla ośmi elementów zagęszczonych. Podwyższenie stopnia przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego Polepszenie wyników nie msi się wiązać tylko ze zmianą liczby elementów, lecz również z podwyższeniem stopnia przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego. Dlatego też w tej części równanie to będzie miało postać kwadratową. Taki wybór narzci nam konieczność dodania dodatkowego węzła w środk element. Przybliżone rozwiązanie równania różniczkowego dla przemieszczeń można zapisać jako: ( ) a + a + a. (4.) Postępjąc analogicznie do poprzednich obliczeń zapiszemy: ( ) N + N + N ( ) [ N N N ] ( ) [ N] { } 6

27 Rys.4.. Zastosowanie kwadratowego równania różniczkowego. Odkształcenia jednostkowe oblicza się zgodnie ze wz. (.9): { } ( ) d( [ N] { } ) d dn dn dn ε { } d d d d d. Przyjmjąc: dni Bi, i,,, d otrzymamy: ε B B B B. { } [ ] { } [ ] { } W naszym przykładzie mamy: { ε } + +. Elementy macierzy sztywności [] e oblicza się wykorzystjąc wz. (.8): v T [ ] e [ B] [ D] [ B] Ponieważ: dv A d to: ( ) [ D] E, dv. 7

28 T [ ] E [ B] [ B] A( ) [ ] e d. ( ) B B A( ) B B A( ) ( ) B B A( ) B B A( ) ( ) B B A( ) B B A( ) B B A e E B B A d, (4.) B B A [ ] e E f f f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) d, (4.) e E (4.4) [ ] Ogólnie współczynniki macierzy sztywności zapiszemy jako: ij E B B i j A ( ) d. W cel sprawnienia obliczeń zastosjemy jedno przekształceń Gassa, które przedstawia się następjąco: f ( ) d λ i f ( ) i, (4.5) i gdzie: i ( ξ i + ), λ i współczynnik wagowy. W tym przykładzie będą przeprowadzone obliczenia po dyskretyzacji na dwa elementy. Podwyższenie stopnia przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego Dwa elementy. Elementy macierzy sztywności: 4 k E f 9 ( ) d E B ( ) B ( ) A( ) d E + (. ) k E λ i f( i ). d Podstawiając za: λ λ. oraz ξ ; ξ

29 względnie: , otrzymamy: k 65. ( ξ + ) ( ) Rys.4.. Model złożony z dwóch elementów. Pozostałe współczynniki macierzy [] wyznaczone analitycznie zestawiono w tabeli poniżej. i;j f ij ( ) f ij ( ) f ( ) v λ k ij ; ; ; ; ; ; ; ; ; [ ] v ij v 9

30 Wedłg tego samego schemat oblicza się macierz [] : [ ] Globalna macierz sztywności przyjmie postać: R Rozwiązjąc powyższy kład otrzymamy wektor przemieszczeń:,895 { },4454,846,66 oraz reakcję R: R R 4, ,4454 9,9999 [ kn]. } II I Wyniki: Elementarne wektory przemieszczeń:.4454 { },895 { }, Przebieg przemieszczeń: ()[N] {}. Dla element. Dla element. ( ) N + N 4 ( ) ( ) cm ( 5).89cm ( 5).446cm + N

31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cm cm cm N N N Rys.4.. Przebieg przemieszczeń (). Przemieszczenia są określone tylko w węzłach. Powstałe na wykresie pnkty są połączone odcinkami prostymi, chociaż przybliżone rozwiązanie równania różniczkowego ma postać kwadratową. Przebieg naprężeń: { } [ ] [ ] { } [ ] E D B D σ { } { } E σ Dla element. { } [ ] E σ. Dla element : { } [ ] E σ. Przebieg naprężeń w elemencie jest w tym przypadk linowy.

32 Rys.4.. Przebieg naprężeń σ(). Naprężenia zostały wyznaczone za pomocą MES w pnktach całkowania. Na podstawie tych pnktów ekstrapolje się liniowo wartości naprężeń w węzłach. Różnica wartości naprężeń na styk elementów pozwala oszacować na ile rozwiązanie jest dobre. Skok wartości naprężeń powinien przyjąć możliwie najmniejszą wartość. Przez zwiększenie liczby elementów podnosi się dokładność wyników. Na poniższych rysnkach przedstawione są wyniki dla czterech i ośmi elementów, zyskane dla kwadratowej postaci przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego. Rys.4.4. Przebieg przemieszczeń ().

33 Rys.4.5. Przebieg naprężeń σ(). Rys.4.6. Przebieg przemieszczeń ().

34 Rys.4.7. Przebieg naprężeń σ(). 5. Zestawienie wyników W rozdziale tym przedstawiono i porównano wyniki z różnych rozwiązań MES w cel wyciągnięcia wniosków końcowych. Tabela poniżej zawiera maksymalne przemieszczenia () w [cm] na prawym końc pręta: Elementy Aproksymacja liniowa Aproksymacja kwadratowa,,568,756,4558,66,756,5547,68859,756 4,646,6975,756 5,67,78,756 6,6599,7,756 7,6649,747,756 8,677,746,756 Dokładne obliczenia 8 o różnej dłgości,6949 -,756 Na rys. 5. widać jak rośnie dokładność wyników wraz ze wzrostem liczby elementów. Tabela poniżej zawiera maksymalne naprężenia σ() w [kn/cm ]na końc pręta: 4

35 Elementy Aproksymacja Aproksymacja Dokładne obliczenia liniowa kwadratowa,66 8,5, 6,54,94, 8, 4,545, 4 9,4 5,878, 5,56 6,766, 6,49 7,9, 7,74 7,849, 8,8 8,94, 8 o różnej dłgości 9, -, Rys.5.. Maksymalne przemieszczenia węzłowe. Rys.5.. Maksymalne naprężenia elementów. 5