Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
|
|
- Amelia Sobczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada sie z za lożenia i tezy znajomość jednej z tych cze ści nie oznacza, że student zna twierdzenie. Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Nierówność Höldera Niech µ oznacza dowolna miare na przestrzeni X. Niech p, q > 0 be da liczbami rzeczywistymi, dla których 1 p + 1 q = 1, niech f, g be da funkcjami mierzalnymi takimi, że X f p dµ < i jednocześnie X g q dµ <. Wtedy funkcja fg jest ca lkowalna i zachodzi nierówność X fg dµ < ( X f p dµ 1/p ( X g q dµ 1/q. Skorzystamy z tego, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b n zachodzi znana z I roku nierówność Höldera a 1 b 1 + a 2 b a m b m (a p 1 + ap ap m 1/p (b q 1 + bq bq m 1/q. Ponieważ ca lkowalność funkcji jest równoważna ca lkowalności jej modu lu, wie c możemy przyja ć, że funkcje f, g sa nieujemne. Niech (f n i (g n oznaczaja niemaleja ce cia gi nieujemnych funkcji prostych zbieżne odpowiednio do f i do g. Niech f n = k n i=1 α i χ A i, g n = l n j=1 β j χ B j, przy czym zbiory A 1, A 2,..., A kn sa parami roz la czne, również zbiory B 1, B 2,..., B ln sa parami roz la czne. Mamy f p n = k n i=1 αp i χ A i oraz g q n = l n j=1 βq j χ B j. Oznacza to, że (f p n jest niemaleja cym cia giem funkcji prostych zbieżnym do funkcji f zaś (g q n niemaleja cym cia giem funkcji prostych zbieżnym do g q. Z twierdzenia Legesgue a Levi ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki wynika, że X f ng n dµ = fg dµ, X lim X f n p dµ = X f p dµ i X gq n dµ = X gq dµ. lim lim Wystarczy wie c udowodnić nierówność Höldera w przypadku funkcji prostych. Zachodza równości f n g n = i,j α iβ j χ Ai B j, X f ng n dµ = i,j α iβ j µ(a i B j, X f n p dµ = i αp i µ(a i i wreszcie X gq n dµ = j βp j µ(b j. Niech a i,j = α i µ(a i B j 1/p, b i,j = β j µ(a i B j 1/q. Z tego określenia wynika od razu, że i,j a i,jb i,j = i,j α iβ j µ(a i B j 1/p+1/q = i,j α iβ j µ(a i B j = X f ng n dµ, i,j ap i,j = i,j αp i µ(a i B j = i αp i µ(a i = X f p n dµ oraz i,j bq i,j = i,j βq i µ(a i B j = = i βq i µ(b j = X gq n dµ. Sta d wnioskujemy, że X f ng n dµ = ( 1/p ( 1/q ( 1/p ( 1/q i,j a i,jb i,j i,j i,j ap i,j i,j bq = X f n p dµ X gq n dµ nierówność wynika oczywiście z nierówności Höldera zastosowanej dla m = k n l n sk ladników. Dowód zosta l zakończony. Zadanie H1 Wykazać, ze dla dowolnej liczby p > 1 i dowolnych funkcji mierzalnych f, g, dla których zachodza nierówności X f p dµ, X g p dµ < zachodzi nierówność (Hermanna Minkowskiego 132
2 ( 1/p ( 1/p ( 1/p X f + g p dµ X f p dµ + X g p dµ. Zadanie H2 Zdefiniujmy L p (X jako zbiór z lożony z tych wszystkich funkcji mierzalnych f, dla których zachodzi nierówność X f p dµ < przy czym utożsamiamy funkcje, różnia ce sie jedynie na zbiorze miary 0. Wykazać, że jeśli f p = ( X f p dµ 1/p, to p jest norma na przestrzeni liniowej L p (µ. Zadanie H3 Przestrzeń metryczna L p (µ jest zupe lna udowodnić to stwierdzenie (można naśladować dowód zupe lności przestrzeni L 1 podany w poprzedniej cze ści notatek. Zadanie H4 Wykazać, że przestrzeń metryczna L p (l k jest ośrodkowa i podać przyk lad miary µ, dla której przestrzeń L p (µ NIE jest ośrodkowa. Zadanie H5 Wykazać, że operacja < f, g > fg dµ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni metrycz- X nej L 2 (µ. Zauważmy jeszcze, że jeśli X = {1, 2,..., m} i µ jest miara zdefiniowana na rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru X tak, że µ({i} = 1, f: X IR jest zdefiniowana za pomoca równości f(i = a i, to X f p dµ = m i=1 a i p. Oznacza to, że nierówność Höldera znana z analizy 1.2 jest szczególnym przypadkiem nierówności Höldera dla funkcji mierzalnych, wystarczy odpowiednio dobrać miare. O przestrzeni L 2 ([ π, π], z miara Lebesgue a, wspominaliśmy, nie wnikaja c w szczegó ly, przy okazji omawiania szeregów Fouriera funkcje ca lkowalne w sensie Riemanna na przedziale [ π, π] by ly traktowane jako elementy tej przestrzeni. liniowej. Zadanko Podać przyk lad funkcji f: [ π, π] [0, 1], która jest mierzalna i dla której nie istnieje funkcja g: [ π, π] IR ca lkowalna w sensie Riemanna taka, że l 1 ( {x [ π, π]: f(x g(x} = 0. Zajmiemy sie teraz produktami miar. Chodzi o uogólnienie twierdzenia Fubiniego, które pozwala sprowadzać ca lkowanie funkcji wielu zmiennych do ca lkowania funkcji jednej zmiennej. W różnych sytuacjach rozpatrywanie iloczynu kartezjańskiego dwu przestrzeni, na których sa określone miary, jest naturalne o czym studenci przekonaja sie mie dzy innymi na zaje ciach z rachunku prawdopodobieństwa. Miary te jednak nie moga być ca lkiem dowolne. Be dziemy rozpatrywać tzw. miary σ skończone. Definicja miary σ skończonej Miara µ określona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbiorów przestrzeni X nazywana jest σ skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja zbiory mierzalne X 1, X 2,... takie, że µ(x n < dla n = 1, 2,... i X = n=1 X n. 133
3 Przyk ladem miary σ skończonej jest miara Lebesgue a: l k ( B(0, n <, n=1 B(0, n = IR k. Przyk ladem miary µ, która tego warunku nie spe lnia jest miara licza ca na dowolnej przestrzeni nieprzeliczalnej, np. na IR, tzn. µ(a jest równe liczbie elementów zbioru A, w przypadku zbioru nieskończonego µ(a =. Definicja σ cia la produktowego Niech (X, F, µ i (Y, G, ν be da przestrzeniami z miara. Niech F G oznacza najmniejsze σ cia lo z lożone z podzbiorów produktu X Y zawieraja ce wszystkie prostoka ty mierzalne, tj. zbiory postaci A B, gdzie A F, B G. σ cia lo F G nazywane jest σ cia lem produktowym. Jeśli C X Y, to zbiór C x = {y Y : C wyznaczonym przez punkt x, a zbiór C y = {x X : oznaczenia już by ly używane. Twierdzenie o mierzalności przekrojów (x, y C} nazywamy przekrojem pionowym zbioru (x, y C} przekrojem poziomym, te Jeśli C X Y jest zbiorem mierzalnym, to dla każdego x X przekrój pionowy C x jest mierzalny i dla każdego y Y przekrój poziomy C y jest mierzalny. Ten dowód już raz by l podany (str. 122 w szczególnym przypadku. Powtarzamy: Dla dowolnych zbiorów C, C 1, C 2,... X Y zachodza wzory ( n C n x = n (C n x, ( n C n x = n (C n x oraz ( X Y \ C x = Y \ C x. Z tych równości wynika, że rodzina M tych zbiorów C X Y, dla których przekrój pionowy C x jest mierzalny dla każdego x X, jest σ cia lem zbiorów. σ cia lo M zawiera oczywiście wszystkie zbiory postaci A B X Y, wie c zawiera rodzine F G. Analogicznie jest dla przekrojów poziomych. Dowód zosta l zakończony. Twierdzenie o generowaniu σ cia la produktowego σ cia lo F G jest najmniejsza rodzina M spe lniaja ca naste puja ce cztery warunki: 1 jeśli A F i B G, to A B M, 2 jeśli C, D M i C D =, to C D M, 3 jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi C n M oraz C n C n+1, to n C n M, 4 jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi C n M oraz C n C n+1, to n C n M. Rodzine spe lniaja ca warunki 3 i 4 nazywamy rodzina monotoniczna. Rodzina F G jest σ cia lem, wie c dla niej wszystkie cztery warunki sa spe lnione. Za lóżmy teraz, że dla pewnej rodziny M 2 X Y spe lnione sa warunki 1 4. Wykażemy, że wtedy M F G. Jeśli zbiory A 1 B 1, A 2 B 2,..., A n B n sa parami roz la czne przy czym A i F, B i G, to n i=1 A i B i F G na mocy warunków 1 i 2. Jeśli A 1, A 2 F i B 1, B 2 G, to 134
4 (A 1 B 1 \ (A 2 B 2 = ( (A 1 \ A 2 B 1 ( (A1 A 2 (B 1 \ B 2, wie c zbiór (A 1 B 1 \ (A 2 B 2 jest suma dwóch prostoka tów mierzalnych, zatem jest elementem rodziny M. Jednocześnie z tego zdania wynika, że suma skończenie wielu prostoka tów mierzalnych może być przedstawiona jako suma skończenie wielu parami roz la cznych prostoka tów mierzalnych. Sta d wynika, że rodzina K z lożona ze wszystkich skończonych sum mierzalnych prostoka tów jest cia lem zbiorów zawartym w rodzinie M. Wykażemy teraz, że najmniejsza rodzina monotoniczna N zawieraja ca cia lo K jest σ cia lem zbiorów, co zakończy dowód (bo z definicji N wynika, że N F G. Niech N (K = {C X Y : zbiorów, wie c N (K K. C D, C \ D, D \ C N dla D K}. Ponieważ K jest cia lem Jeśli C n N (K i C 1 C 2... oraz D K, to C 1 D C 2 D..., C 1 \D C 2 \D..., D \ C 1 D \ C 2... oraz C n D, C n \ D, D \ C n N, wie c na mocy warunku 3 mamy ( n C n D = n (C n D N i ( n C n \ D = n (C n \ D N a na mocy warunku 4 mamy D \ ( n C n = (D \ C n N. Wobec tego n C n N (K, zatem dla N (K spe lniony jest warunek 3. Niech C n N i niech C 1 C 2... oraz D K. Rozumuja c tak jak poprzednio i korzystaja c z warunku 4 stwierdzamy, że ( n C n D = n (C n D N, ( n C n\d = n (C n\d N, zaś z warunku 3 wnioskujemy, że D \ ( n C n = n (D \ C n N. Sta d wynika, że n C n N (K, a wie c rodzina N (K spe lnia również warunek 4. Wykazaliśmy, że N (K jest monotoniczna rodzina zbiorów zawieraja ca rodzinke K, zatem N (K N. Zdefniujmy Ñ = {C X Y : C D, C \ D, D \ C N dla D N (K}. W dok ladnie taki sam sposób jak przed chwila stwierdzamy, że Ñ K oraz że Ñ jest rodzina monotoniczna, wie c Ñ N. Wynika sta d, że jeśli C, D N Ñ, to C D, C \ D, D \ C N, a to oznacza, że N jest cia lem zbiorów. Jeśli C 1, C 2,... N, to również C 1 C 2... C n N dla każdej liczby naturalnej n. Ponieważ C 1 C 1 C 2 C 1 C 2 C 3... i N jest zamknie ta ze wzgle du na przeliczalne sumy wste puja cych rodzin zbiorów, wie c n C n = n (C 1 C 2... C n N, co kończy dowód tego, że N jest σ cia lem. Dzie ki tym nudnawym rozważaniom jesteśmy wyposażeni w kryterium pozwalaja ce na stwierdzanie, że jakaś rodzina jest przeliczalnie addytywnym cia lem w prostszy nieco sposób. Możemy teraz nie me cza c sie zbytnio posprawdzać naste pne detale zwia zane z określaniem miary produktowej. Niech f: X Y IR be dzie funkcja mierzalna. Definiujemy f x (y = f(x, y = f y (x. Twierdzenie o mierzalności ograniczeń funkcji mierzalnej do przekrojów Jeśli f: X Y IR jest funkcja mierzalna, to dla każdego x X funkcja f x : Y IR jest mierzalna, dla każdego y Y funkcja f y : X IR jest mierzalna. Wynika to od razu z twierdzenia o mierzalności przekrojów i tego że 135
5 {(r, s: f(r, s > a} x = {s: f x (s > a} i {(r, s: f(r, s > a} y = {r: f y (r > a}. Uwaga: funkcja jednej zmiennej jest mierzalna jako funkcja dwu zmiennych Jeśli funkcja f: X IR jest mierzalna i f(x, y = f(x, to f: X Y IR jest mierzalna. {(x, y: f(x, y > a} = {x: f(x > a} Y. Twierdzenie o produkcie miar skończonych Jeśli µ(x <, ν(y < i C F G, to funkcje x ν(c x i y µ(c y sa mierzalne i zachodzi równość X ν(c xdµ(x = Y µ(cy dν(y =: (µ ν(c. Funkcja (µ ν: F G IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ ciele F G, dla której (µ ν(a B = µ(a ν(b dla dowolnych A F i B G. Niech h C (x = ν(c x. Jeśli C = A B, A F, B G, to h C (x = 0 dla x A i h C (x = ν(b dla x A, zatem h C = ν(b χ A, wie c h C jest w tym przypadku funkcja mierzalna. Jeśli zbiory C, D F G sa roz la czne, to dla każdego x X zbiory C x i D x sa roz la czne. Sta d wynika, że h C D = h C + h D, jeśli wie c funkcje h C, h D sa mierzalne, to również funkcja h C D ma te w lasność. Niech M oznacza rodzine wszystkich zbiorów C F G, dla których funkcja h C jest mierzalna. Wykazaliśmy już, że rodzinie M przys luguja w lasności 1 i 2 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Za lóżmy teraz, że C 1 C 2... sa elementami rodziny M. Ponieważ ν jest miara, wie c lim ν( (C n x = ν(cx, gdzie C = n C n, czyli h C (x = lim h C n (x dla każdego x X. Wobec tego funkcja h C jest mierzalna jako granica cia gu funkcji mierzalnych, czyli C M. Za lóżmy dla odmiany, że C 1 C 2... sa elementami rodziny M. Ponieważ ν ( (C 1 x <, wie c lim ν( (C n x = ν(cx, gdzie C = n C n. Wobec tego również w tym przypadku mamy h C (x = lim h C n (x dla każdego x X i wobec tego funkcja h C jest mierzalna, tzn. C M. W ten sposób wykazaliśmy, że dla rodziny M spe lnione sa warunki 1 4 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Sta d wynika, że M = F G, a to oznacza, że dla każdego zbioru C F G funkcja h C jest mierzalna. Możemy wie c rozpatrywać ca lke X h C dµ = X ν(c xdµ =: (µ ν(c. Z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy po znakiem ca lki wynika od razu, że µ ν jest miara (chodzi o przeliczalna addytywność. Z określenia wynika natychmiast, że (µ ν(a B = µ(a ν(b. Te same rozważania można przeprowadzić w przypadku funkcji przypisuja cej zbiorowi C F G liczbe Y µ(cy dν. Ta funkcja też jest miara i te obie miary pokrywaja sie na prostoka tach mierzalnych. Niech m oznacza dowolna miare na F G, która pokrywa sie z miara µ ν na prostoka tach mierzalnych. By wykazać, że µ ν = m sprawdzamy po prostu, że rodzina tych zbiorów C F G, dla których zachodzi równość (µ ν(c = m(c jest jest σ cia lem. Wynika to od razu z twierdzenia 136
6 o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki sprawdzamy, że rodzina tych zbiorów jest monotoniczna., czyli że spe lnione sa warunki 3 i 4 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Cel jest już prawie zrealizowany. Trzeba jeszcze wykazać to samo twierdzenie przy nieco s labszych za lożeniach, bo cze sto trzeba rozważać miary, które nie sa skończone. Twierdzenie o produkcie miar σ skończonych Jeśli µ i ν sa miarami σ skończonymi oraz C F G, to funkcje x ν(c x i y µ(c y sa mierzalne i zachodzi równość X ν(c xdµ(x = Y µ(cy dν(y =: (µ ν(c. Funkcja (µ ν: F G IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ ciele F G, dla której (µ ν(a B = µ(a ν(b dla dowolnych A F i B G. Niech X 1, X 2,... F, X = n X n, Y 1, Y 2,... G, Y = n Y n i µ(x n < oraz ν(y n < dla każdego n IN. Można przyja ć, że zbiory X 1, X 2,... sa parami roz la czne, jeśli nie, to zaste pujemy je zbiorami X 1, X 2 \ X 1, X 3 \ (X 1 X 2,..., które sa parami roz la czne, ich miary sa skończone i ich suma jest X. Analogicznie można przyja ć, że zbiory Y 1, Y 2,... sa parami roz la czne. Miare µ można ograniczyć do zbioru X m, miare ν do zbioru Y n. Wtedy na zbiorze X m Y n dana jest miara µ ν. Jeśli (m, n (i, j, to oczywiście (X m Y n (X i Y j =. Mamy też (m,n X m Y n = X Y. Niech M oznacza rodzine wszystkich takich zbiorów C F G, że C (X m Y n jest zbiorem mierzalnym dla każdej pary (m, n. Jeśli C M, to (X Y \C M, bo (X Y \C = [ (m,n (Xm Y n \C ] = [ (m,n (Xm Y n \ ( C (X m Y n ] M. Jeśli C j M dla j = 1, 2,..., to C j ( X m Y n jest zbiorem mierzalnym, wie c mierzalny jest również zbiór ( j Cj (X m Y n = ( j C ( j Xm Y n, a to oznacza, że j C j M. Udowodniliśmy w laśnie, że rodzina M jest σ cia lem. Jeśli A F, b G, to (A B (X m Y n = (A X m (B Y n jest zbiorem mierzalnym, wie c A B M. Wobec tego M F G, wie c M = F G. Za pomoca równości (µ ν(c = (m,n (µ ν( C (X m Y n możemy zdefiniować miare µ ν na F G. Sprawdzenie, że jest ona przeliczalnie addytywna to czysta formalność. Niech C F G. Z podanej definicji miary wnioskujemy, że (µ ν(c 1 == (m,n (µ ν( C (X m Y n 2 == (m,n = (m,n X m ν(c x Y n Równości te wynikaja kolejno 1 z definicji µ ν, 4 == m n X m ν(c x Y n 2 z w lasności µ ν na produkcie przestrzeni skończonej miary, 3 z definicji przekroju C x, 137 X m ν (( C (X m Y n x 3 == 5 == ( m X m n ν(c x Y n 6 == = m X m ν(c x 7 == X ν(c x
7 4 z w lasności sumy podwójnej, 5 z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki 6 z przeliczalnej addytywności miary ν, 7 z elementarnych w lasności ca lki. Z mierzalnościa ca lkowanych funkcji nie ma żadnych k lopotów, bo funkcje mierzalne określone na zbiorach X m Y n można przed lużać na X Y przyjmuja c, że sa równe 0 poza X m Y n, naste pnie korzystaja c z tego, że granica cia gu funkcji mierzalnych (np. suma szeregu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Wykazaliśmy, że zdefiniowana przez nas miara µ ν jest niezależna od sposobu przedstawienia przestrzeni X i Y w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów skończonej miary. Jest jasne, że miara jest jednoznacznie wyznaczona jako ca lka z miary przekrojów, bo tak jest na przestrzeni X m Y n, bowiem µ(x m, ν(y n <. Teraz możemy sformu lować twierdzenie Fubiniego dla produktu dwu miar σ skończonych. Twierdzenie Fubiniego Jeśli µ jest miara σ skończona na przestrzeni X, ν jest miara σ skończona na przestrzeni Y, f: X Y IR funkcja mierzalna nieujemna lub ca lkowalna, to dla każdego x X funkcja f x : Y IR zdefiniowana wzorem f x (y = f(x, y jest mierzalna, funkcja f y : Y IR zdefiniowana wzorem f y (x = f(x, y jest mierzalna, funkcja x Y f x dν jest mierzalna, funkcja y X f y dµ jest mierzalna i zachodza równości X ( Y f x dν dµ = X Y f d(µ ν = Y ( X f y dµ dν. W tym przypadku mamy do czynienia z miara produktowa, wie c nie musimy pisać dla prawie każdego. Miara l k+l nie jest produktem miar l k i l l, bo niektóre zbiory C IR k+l sa niemierzalne z wzgle du na miare l k l l i jednocześnie l k+l (C = 0. Jest to jedyny problem. Poza ta jedna kwestia nie ma różnicy i dowodu nie warto powtarzać jest po prostu taki sam (poprzednie twierdzenie to twierdzenie Fubiniego dla funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych. Zadanie 6 Wykazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ: [0, 1] na [0, 1] [0, 1] taka, że zbiór A [0, 1] jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ϕ(a jest mierzalny i dla każdego zbioru A [0, 1] zachodzi równość l 1 (A = l 2 (ϕ(a. Oznacza to, że z punktu widzenia teorii miary odcinek nie różni sie od kwadratu, zupe lnie inaczej niż z punktu widzenia topologii! Zadanie 7 Niech µ oznacza jednowymiarowa miare Lebesgue a ograniczona do przedzia lu [0, 1], ν miare licza ca na przedziale [0, 1]. Wykazać, że dla tej pary miar twierdzenie Fubiniego nie zachodzi. 138
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoFunkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe wste
3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowo13 Zastosowania Lematu Szemerédiego
13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoGranice funkcji, definicja cia
Granice funkcji, definicja Jednym z najważniejszych poje ć w matematyce jest poje cie funkcji Przypomnimy definicje Definicja 61 funkcji, wartości, obrazu, dziedziny i przeciwdziedziny Przyporza dkowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoI kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary
I kolokwium ze Wstępu do Teorii Miary 17.11.05 Grupa A 1. (a)udowodnić,żelim(a n B n ) lima n limb n. (b) Znaleźć granice górną i dolną ciągu zbiorów: ( A n = ( 1) n 1,1 ( 1)n 1 ) [3,4+( 1) n ). n n a)x
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX
TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoW zbiorze liczb rzeczywistych wyróżnia sie pewne podzbiory. Zaczniemy od najważniejszego, tj. od zbioru liczb naturalnych.
LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE, WYMIERNE W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżnia sie pewne podzbiory. Zaczniemy od najważniejszego, tj. od zbioru liczb naturalnych. Definicja 9.1 (zbioru liczb naturalnych)
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoAnaliza 1, cze ść druga
Analiza 1, cze ść druga Granica górna cia gu a n ) nazywamy res górny zbioru z lożonego z granic wszystich tych podcia gów cia gu a n ), tóre maja granice sończone lub nie). Oznaczamy ja przez lim sup
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowo