2. Wyra enia algebraiczne
|
|
- Ludwik Biernacki
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dzi ni n wielominch ) Porównywnie wielominów: Dw wielominy sà równe wtedy i tylko wtedy, gdy sà tego smego stopni i mjà równe odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. Porównujàc dw wielominy, nle y wi c porównç ich stopnie orz odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. b) Mno enie wielominu przez liczb k! R: k $ P_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez liczb k! R c) Dodwnie wielominów: P_ xi + Q_ xi dodjemy wyrzy podobne d) Odejmownie wielominów: P_ xi - Q_ xi P_ xi + `-Q_ xij do wielominu P_ xidodjemy wielomin Q_ xipomno ony przez liczb k - e) Mno enie wielominów: P_ xi $ Q_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez k dy wyrz wielominu Q_ xi i przeprowdzmy redukcj wyrzów podobnych, n przyk d P_ xi$ Q_ xi b x - x+ l $ _ x+ 7i f) Metody rozk du wielominów n czynniki: () grupownie wyrzów, n przyk d P_ xi x - 7x - 8x + 8, P_ xi bx - 8xl + b- 7x + 8l () wy àcznie wspólnego czynnik przed nwis, n przyk d P_ xi xbx - 4l - 7bx - 4l, P_ xi b x - 4l_ x - 7i () stosownie wzorów skróconego mno eni, n przyk d P_ xi _ x - i_ x + i_ x - 7i (4) dl trójminu kwdrtowego sprowdzenie do postci iloczynowej Wzory skróconego mno eni _! bi! b + b _! bi! b + b! b - b _ - bi_ + bi! b _! bib " b + b l Wyr eni wymierne Dzi ni rytmetyczne n wyr enich wymiernych wykonujemy nlogicznie jk dzi ni n liczbch wymiernych: () dodwnie i odejmownie wyr eƒ wymiernych wykonujemy po sprowdzeniu ich do wspólnego minownik () mno enie wyr eƒ wymiernych poleg n mno eniu przez siebie liczników orz minowników () dzielenie wyr eƒ wymiernych odbyw si poprzez mno enie dzielnej przez odwrotnoêç dzielnik (4) skrcnie wyr eƒ wymiernych poleg n podzieleniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0) () rozszerznie wyr eƒ wymiernych poleg n pomno eniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0). WYRA ENIA ALGEBRAICZNE WYBRANE WZORY
2 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdni rozwiàzne krok po kroku ZADANIA ZAMKNI TE Zdnie Liczb o 0% wi ksz od kwdrtu liczby dodtniej jest równ: A. 0, B. + 0, C. + 0, D., Kwdrt liczby jest równy. 0% kwdrtu liczby to 0% $. Do kwdrtu liczby dodjemy 0% kwdrtu tej liczby. Odpowiedê: D. 0% $ 0 $ 0, % + 0,, Liczb x jest równ odwrotnoêci ró nej od zer liczby y. Wynik stàd, e: A. x y + + y y OdwrotnoÊcià liczby y jest liczb y. x y Zdnie B. xy C. x : y D. x - y x - y Iloczyn liczby ró nej od zer i jej odwrotnoêci jest zwsze równy. x $ y y $ y y y Odpowiedê: B. Zdnie Liczby i b sà dodtnie. Wsk wyr enie, które jest równe. A. - - b 4 bb l 4 - bb l B. - ( b) - bb l C. bb l bk D. - - b b Zuw my, e w wyr eniu zpisnym w punkcie B, niezle nie od dzi ƒ wykonywnych n zmiennych, jednym z pozost ych czynników b dzie u mek. Podobnie w punkcie D pozostnie czynnik. Rozw ymy ztem tylko pozost e dw wyr eni. Przekszt cmy pierwsze z tych wyr eƒ. W minowniku wykonujemy pot gownie pot gi (mno ymy wyk dniki 4 $ ) b 4 bb l b b 4 $ b b 6
3 Zdni zmkni te Dzielàc pot gi o tych smych podstwch, odejmujemy wyk dniki, podstwy pozostwimy bez zminy. - - b $ $ b b b Rozptrywne wyr enie nie jest szuknym, wi c wrunki zdni powinno spe niç wyr enie z podpunktu C. - Zpisujemy pierwistek bb l w postci pot gi. Pot gujemy - pot gi w liczniku i minowniku. bb l -. Skrcmy u mek przez $ b Wykorzystujemy fkt, e ujemn pot g dnej liczby to dodtni pot g odwrotnoêci tej liczby. Odpowiedê: C. b - - b Zdnie 4 JeÊli liczb nturln m jest wi ksz od 0, to liczb k ( m - )( m + ) + jest: A. z o on B. przyst C. pierwsz D. nieprzyst - : - $ Przekszt cmy dne wyr enie, tk by otrzymç prostszà postç liczby k.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Stosujemy wzór n ró nic kwdrtów dwóch wyr eƒ: ( - b)( + b) - b i redukujemy wyrzy podobne. wzory skróconego mno eni ptrz rozdzi., s. 4 k ( m - )( m + ) + ( m ) - + m - + m Liczb m jest iloczynem liczby i liczby nturlnej m, ztem jest to liczb przyst (dzieli si przez ). Nie jest to ntomist w k dym przypdku liczb z o on, np. dl m liczb k jest równ. Odpowiedê: B. Zdnie Wiemy, e liczby x i y sà liczbmi ró nymi od zer orz 4xy x. Ztem wyr enie ( x - y) jest równe: A. 4y B. x C. 8xy + 4y D. 0 Stosujemy wzór n kwdrt ró nicy dwóch wyr eƒ ( - b) - b + b, by zpisç wyr enie ( x - y) w postci sumy. ( x - y) ( x) - $ x $ y + _ yi x - 4xy + 4y 7
4 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zst pujemy iloczyn 4xy przez wyr enie x (zgodnie z treêcià zdni 4xy x ) i redukujemy wyrzy podobne. Odpowiedê: A. x - 4xy + 4y x - x + 4y 4y Zdnie 6 Wyr enie + b - - bk dl > b > 0 mo n zpisç w postci: A. - b B. ( b - - b ) C. d - - b n D. - b Zpisujemy dne wyr enie w postci sumy, wykorzystujàc wzór skróconego mno eni: _ - bi - b + b. Korzystmy z równoêci x k x (x liczb dodtni). Redukujemy wyrzy podobne i wy àczmy wspólny czynnik przed nwis. + b - - bk + bk - + b $ - b + - bk + b - ( - b)( + b) + - b - - b ( - - b ) Odpowiedê: C. Zdnie 7 Dl x obwód czworokàt LIME jest równy: A. 6 C. B. 7 D. 0 x L x E x+ M I 4x Obliczmy obwód wielokàt, dodjàc d ugoêci jego wszystkich boków. Opuszczmy nwisy i redukujemy wyrzy podobne. Obliczmy wrtoêç liczbowà otrzymnego wyr eni, wstwijàc liczb w miejsce x. ( x - ) + ( - x) + ( x + ) + 4x x x + x + + 4x 7x + 6 7x $ Odpowiedê: D. 8
5 Zdni zmkni te Zdnie 8 Wsk wyr enie, które nle y dodç do szeêcinu sumy ( + b), by otrzymç szeêcin ró nicy ( - b). A. - 4b + b B. -4b - b C. -b - b D. b - b Zpisujemy szeêcin sumy w postci sumy lgebricznej, korzystjàc ze wzoru skróconego mno eni: ( + b) + b + b + b. Zpisujemy szeêcin ró nicy w postci sumy lgebricznej, korzystjàc ze wzoru skróconego mno eni: ( - b) - b + b - b. Oznczmy szukne wyr enie przez w. SzeÊcin sumy i szeêcin ró nicy zst pujemy znlezionymi summi i wyznczmy w. Odpowiedê: B. ( + b) + $ $ b + $ b + b 8 + b + 6b + b ( - b) - $ $ b + $ $ b - b 8 - b + 6b - b ( + b) + w ( - b) 8 + b + 6b + b + w 8 - b + 6b - b w 8 - b + 6b - b b - 6b - b w - 4b - b. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Piàtà cz Êç klsy liczàcej m uczniów stnowià dziewcz t. Tylko z nich nie jest blondynkmi. Ntomist po ow ch opców to blondyni. Ile jest w tej klsie osób o w osch koloru blond? A. m + Zdnie 9 B. 07, m - C. m - D. m - W klsie jest m dziewczàt. Tylko nie m w osów blond. W klsie jest m - m 4 m ch opców. Po ow z nich to blondyni. Obliczmy, ile àcznie osób m blond w osy. Dodjemy odpowiednie wyr eni, wykonujemy redukcj wyrzów podobnych i sprowdzmy otrzymne u mki do wspólnego minownik. m - liczb blondynek 4 m $ 4m m liczb blondynów 0 m m m m d - n + d n - + m - m - Odpowiedê: D. 9
6 Zdni otwrte krótkiej odpowiedzi ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zdnie Korzystjàc z odpowiedniego wzoru skróconego mno eni, oblicz 4 $ 9. Zpisujemy liczby 4 i 9 w postci odpowiednio sumy i ró nicy tych smych liczb. Wykorzystmy wzór n ró nic kwdrtów dwóch wyr eƒ: ( + b)( - b) - b. Odpowiedê: Iloczyn jest równy $ 9 ( 40 + )( 40 - ) Zdnie Oznczmy: x odleg oêç przedmiotu od Êrodk soczewki, y odleg oêç Êrodk soczewki od obrzu tego przedmiotu, f d ugoêç ogniskowej soczewki. Zle noêç mi dzy tymi wielkoêcimi mo n zpisç w postci wzoru: x + y. f W odleg oêci 0 cm od Êrodk soczewki umieszczono kulk. Oblicz odleg oêç obrzu tej kulki od Êrodk soczewki, gdy d ugoêç ogniskowej soczewki jest równ cm. Wynik podj z dok dnoêcià do 0cm.,. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE W nszym przypdku x 0 cm, f cm. Wstwimy te liczby do wzoru x + y. f Wyznczmy z otrzymnej równoêci y. Wyznczmy y, korzystjàc z w snoêci proporcji. x + y f + 0 y y y y y 0,...., Odpowiedê: Odleg oêç obrzu kulki od Êrodk soczewki jest równ oko o 6cm., Zdnie Wyk, e dl k dej liczby nturlnej n wi kszej od, liczb n - n dzieli si przez 6. Rozk dmy podne wyr enie n czynniki. n - n n( n - ) n( n - )( n + ) 4
7 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zmienimy kolejnoêç czynników i wtedy mo emy zuw yç, e liczby ( n - ), n, ( n + ) to trzy kolejne liczby nturlne. n - n ( n - ) n( n + ) WÊród trzech kolejnych liczb nturlnych zwsze jedn jest wielokrotnoêcià, drug wielokrotnoêcià. Ich iloczyn jest ztem wielokrotnoêcià 6, czyli liczbà podzielnà przez 6. Zdnie 4 Widomo, e dl wielominu W _ xizchodzi wrunek W( x + ) x - 4. Wyzncz W() x. Oznczymy przez wyr enie x +. Wyznczmy x w zle noêci od. Znjdziemy wzór wielominu dl tk okreêlonego. Zpisujemy wzór ogólny wielominu W x _ i. Odpowiedê: W() x x - x -. x + x - W() ( - ) W() x x - x - Zdnie Trójkàty ALE i AEM sà prostokàtne, liczb x jest dodtni. Oblicz, o ile pole trójkàt AEM jest wi ksze od pol trójkàt ALE. L x+ x+ A x+9 x E x+0 M Pole trójkàt prostokàtnego jest równe po owie iloczynu d ugoêci jego przyprostokàtnych. pole trójkàt ptrz rozdzi 7.., s. 88 Obliczmy pol trójkàtów AEM i ALE. Przyprostokàtne trójkàt AEM mjà d ugoêci x + 9 i x +, przyprostokàtne trójkàt ALE mjà d ugoêci x i x +. Obliczmy ró nic pól, odejmujàc odpowiednie wyr eni. P ( x 9)( x ) AEM + + ( x x 9x 8) ( x + x + 8) P x( x ) + ( x + x) ALE P P ( x x 8) ( x + x) AEM ALE ( x + x x - x) ( 0 x + 8 ) x + 9 Odpowiedê: Pole trójkàt AEM jest o x + 9wi ksze od pol trójkàt ALE. 46
8 Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi Zdnie 0 Pierwistkmi wielominu P() x trzeciego stopni sà liczby -, 0,. Znjdê pierwistki wielominu P( x - ). Wielomin stopni trzeciego mo e mieç co njwy ej pierwistki. Ztem jedynymi pierwistkmi wielominu P() x sà liczby -, 0,. Je eli liczby m, k, w sà pierwistkmi wielominu W _ xistopni trzeciego, to mo n go zpisç w postci W() x ( x - m)( x - k)( x - w), gdzie! 0. Zpisujemy w podobny sposób wzór wielominu P. Znjdujemy wzór wielominu P( x - ), wstwijàc x - w miejsce x do wzoru P(). x Aby obliczyç pierwistki wielominu, przyrównujemy do zer k dy czynnik zwierjàcy zmiennà x. P( x) ( x - (- ))( x - 0)( x - ), gdzie! 0 P() x ( x + ) x( x - ) P( x - ) ( x - + )( x - )( x - - ) ( x - 0)( x - )( x - ) x - 0 0, x - 0, x - 0 x 0, x, x Odpowiedê: Pierwistki wielominu P( x - ) to: 0,,. ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Oblicz wrtoêç liczbowà wyr eni x Zdnie + y, gdy x + y i xy. Korzystmy ze wzoru skróconego mno eni + b ( + b)( - b + b ), zpisujàc sum szeêcinów w postci iloczynu. x + y ( x + y)( x - xy + y ) Zuw my, e by obliczyç wrtoêç liczbowà wyr eni stojàcego po prwej stronie znku równoêci, potrzebn nm jest znjomoêç wrtoêci wyr eni x + y. Wyr enie to mo n otrzymç, przekszt cjàc odpowiednio wzór n kwdrt sumy dwóch wyr eƒ. Obliczmy wrtoêç liczbowà wyr eni x + y, korzystjàc z otrzymnej zle noêci i podstwijàc z x + y liczb, z xy liczb. ( x + y) x + y + xy x + y ( x + y) - xy x + y ( x + y) - xy - $
9 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Obliczmy wrtoêç liczbowà wyr eni x + y. W otrzymnej sumie zst pujemy wyr enie x + y liczbà, wyr enie x + y liczbà, wyr enie xy liczbà. x + y ( x + y)( x - xy + y ) $ ( - ) $ 9 Odpowiedê: WrtoÊç liczbow wyr eni jest równ 9. Zdnie 7 7 Wyzncz liczby i b, tk by wielominy W() x ( + b) x + x + i P() x x + ( - b) x + by y równe. Wielominy tej smej zmiennej sà równe, je eli sà tego smego stopni orz mjà równe wspó czynniki przy tych smych pot gch zmiennej. Ob wielominy muszà byç ztem 7 stopni, wi c wspó czynnik stojàcy przy x 7 w wielominie W _ ximusi byç ró ny od zer. Porównujemy wspó czynniki stojàce przy x 7 i x w obu wielominch. Rozwiàzujemy otrzymny uk d równƒ. Dodjemy stronmi równni i wyznczmy. + b! 0 + b * - b + b + * - b + + b - b + 8 : 4 równoêç wielominów ptrz rozdzi.., s. Wyznczone wstwimy do jednego z równƒ uk du i obliczmy b. + b b Sprwdzmy, czy + b! 0. + b 4 + (- )! 0 Odpowiedê: Wielominy sà równe dl 4 i b -. Zdnie 4 4 Wielominy P _ xii K _ xisà okreêlone wzormi P() x m x + ( m - ) x + x i K() x -9x - mx + mx. OkreÊl stopieƒ wielominu W() x P() x + K() x w zle noêci od liczby m. Dodjemy wielominy i zpisujemy otrzymne wyr enie w postci uporzàdkownej. W() x P() x + K() x 4 4 m x + ( m - ) x + x + (- 9x ) - mx + mx 4 ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x 0
10 Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi Rozptrujemy wspó czynnik stojàcy przy njwy szej pot dze zmiennej. JeÊli b dzie on ró ny od zer, wielomin b dzie piàtego stopni. Sprwdzimy, którego stopni wielomin otrzymmy, gdy m. Wielomin jest wi c drugiego stopni. Sprwdzmy, którego stopni jest wielomin, gdy m -. Wielomin jest wi c czwrtego stopni. Zdnie 4 Liczb jest pierwistkiem wielominu W() x x + mx - 6x +, m jest liczbà rzeczywistà. Wyzncz pozost e pierwistki tego wielominu. m - 9 ( m - )( m + )! 0 m -! 0i m +! 0 m! i m!- 4 W _ xi ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x 4 ( 9-9) $ x + ( ) x + ( + ) x x 6x 4 W _ xi ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x ( 9-9) $ x + ( ) x + ( - ) x 0 + x + 0 $ x x Odpowiedê: Wielomin jest piàtego stopni, gdy m! i m!-. Dl m wielomin jest stopni drugiego, dl m - wielomin jest stopni czwrtego.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Liczb jest pierwistkiem wielominu, wi c W ( ) 0. Korzystjàc z tej w snoêci, wyznczmy liczb m. Wstwimy wyznczone m do wzoru wielominu. Rozk dmy wielomin n czynniki. Grupujemy wyrzy, wy àczmy wspólny czynnik przed nwis i stosujemy wzór skróconego mno eni. Pierwistkiem wielominu jest liczb, dl której W() 0. W( ) + m $ - 6 $ m m 8 + 4m 0 4m -8 m - W() x x - x - 6x + W( x) x - x - 6x + x ( x - ) - 6 ( x - ) ( x - 6)( x - ) ( x - 4)( x + 4)( x - ) W() x 0 ( x - 4)( x + 4)( x - ) 0 x 4, x - 4, x Odpowiedê: Pozost e pierwistki wielominu to 4 i - 4. Zdnie Wyk, e dl k dych liczb rzeczywistych x, y ró nych od zer i tkich, e x! y i x!- y, wrtoêç wyr eni J x xy x y N x - - : x y x y x x + K - + O d + y n jest liczbà c kowità. L P
11 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zuw my, e x - y ( x - y)( x + y), ztem wspólny minownik wszystkich wyr eƒ wymiernych zpisnych w pierwszym nwisie to ( x - y)( x + y). Zpisujemy k dy ze sk dników w postci wyr eni o minowniku ( x - y)( x + y). Wykonujemy dzi ni w pierwszym nwisie. Zpisujemy wyr eni w postci jednego u mk (n wspólnej kresce u mkowej), wykonujemy redukcj wyrzów podobnych, wy àczmy wspólny czynnik x przed nwis i skrcmy u mek przez x - y. Wykonujemy dzielenie, mno àc dzielnà przez odwrotnoêç dzielnik, skrcmy. x x( x y) x xy x - y + + ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) xy xy x - y ( x - y)( x + y) x x( x y) x xy x + y - - ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x xy x x - y - + x - y x + y x + xy xy x - xy - + ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x + xy - xy + x - xy x - xy ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x( x - y) x ( x - y)( x + y) x + y x x y : x x x y + x + y + x + y $ x WrtoÊç wyr eni jest zwsze równ, to liczb c kowit.
12 Zdni do smodzielnego rozwiàzni Zdni do smodzielnego rozwiàzni Zdni zmkni te. Ró nic 4x - jest równ iloczynowi: A. _ x - i_ x + i B. x - kx - k C. x - kx + k D. _ 4x - i_ 4x + i. Wyr enie _ x - i_ x + i - _ x + i mo n zpisç w postci: A. -8 B. 6x C. - 6_ x + i D. -6_ x - i. Nturlnà liczb dwucyfrowà, której cyfrà dziesiàtek jest x, x! #,,,..., 9- i cyfrà jednoêci jest y, y! # 0,,,,..., 9-, mo n zpisç w postci: A. xy B. 0xy C. x + y D. 0 x + y 4. Wsk ilorz sumy kwdrtów liczb x i y przez szeêcin sumy liczb x i y. _ x + yi x + y x + y A. B. C. x + y x + y _ x + yi 4 _ x + yi D. _ x + yi. Dne sà wielominy F _ xi -6x - x + i G _ xi - x + x - x. Wsk stopieƒ wielominu 4 H _ xi F _ xi - G _ xi. A. 4 B. C. D.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE 6. Wsk wielomin równy wielominowi P _ xi _ x - i. A. W _ xi x + 8 C. W _ xi x - 6x + x - 8 B. W _ xi x - 8 D. W _ xi x + 6x Wsk postç iloczynowà wielominu P _ xi _ + xi_ x - i - _ - xi_ x - i. A. P _ xi _ - xi_ x - i C. P _ xi _ x - i_ x - i B. P _ xi _ x - i_ x + i D. P _ xi _ - xi_ x + i 8. Wsk dziedzin wyr eni x +. x - A. R[ # - B. R[ % / C. R[ %-, / D. R[ %-, / 9. WrtoÊç wyr eni - - 4, x! dl rgumentu - jest równ: x - A. 8 B. -4 C. - D. 0. Dne sà wyr eni x x - 4 i 4 x (x! 4 i x! 0 ). Wsk sum tych wyr eƒ. A. x + 4x - 6 x - 4x B. x + 4 C. 4x x _ x - 4i x _ x - 4i D. x - 8x x - 4 x
13 . WYRA ENIA ALGEBRAICZNE. Podne wielominy zmieƒ n iloczyny wielominów (mo liwie njni szego stopni). ) W _ xi x - xy - x + y b) W _ i - c) W _ i -. Wyr enie lgebriczne _ x - yi - _ x + yi_ y - xi + xy przedstw w postci sumy lgebricznej i oblicz jego wrtoêç liczbowà dl x, y - 6. W _-i - W _ 0i. Dny jest wielomin W _ xi x - x - x +. Oblicz. W k 4. Wyzncz wrtoêci i b, dl których wielominy W _ xi x + 7x - 7x + i P _ xi _ x + ibx + bx - l sà równe.. Roz ó wielomin n czynniki. ) x + 6x + 9 b) x + x - x - 6 c) x + x - x - x Zdni otwrte krótkiej odpowiedzi 6. Dne jest wyr enie x + x + 4 x +. m ) OkreÊl dziedzin wyr eni, gdy m 4. b) UproÊç wyr enie, gdy m, i oblicz jego wrtoêç dl x. 7. Ustl dziedzin orz skróç wyr eni wymierne. x + xy + y ) x - y b) x + x - x - 6 Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi 4 8. Dny jest wielomin W _ xi 4x - 6x - _ + i x + 8. ) Wyzncz wrtoêç, wiedzàc, e W _- i. b) Sprwdê, czy dl wyznczonej wrtoêci spe nion jest równoêç W _ i - W _- i. 9. Wyzncz wrtoêci i b, dl których pierwistkmi wielominu W _ xi x + _ 4b + i x - _ b - i x - sà liczby i Wyzncz wrtoêci i b, tk by W _ i 0i W _ i 8, jeêli W _ xi x + _ - i x - _ - bi x + + b. 4
14 .. WIELOMIANY I DZIA ANIA NA NICH. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA... Wprowdzenie poj ci wielominu ) Wyr enie lgebriczne to wyr enie z o one z liczb lub liter po àczonych znkmi dzi ƒ mtemtycznych i nwismi, n przyk d 8, x, 8x - y, _ 8x - yi, 8x + y x + y, e - b o. Liczby to wspó czynniki. Litery to zmienne. JeÊli w miejsce liter wstwimy liczby i wykonmy dzi ni, to obliczymy wrtoêç liczbowà wyr eni lgebricznego, n przyk d dl x i y wyr enie 8x - y przyjmuje wrtoêç. b) Jednomin jednej zmiennej rzeczywistej to wyr enie lgebriczne postci iloczynu liczby niezerowej i litery w pot dze nturlnej: x n,! R # 0-, n! N, x! R; wspó czynnik jednominu, x zmienn rzeczywist, n stopieƒ jednominu. N przyk d x to jednomin II stopni, to jednomin 0 stopni ( x 0 ). Uwg : 0 to jednomin zerowy, który nie m okreêlonego stopni. Uwg : x n y k to jednomin dwóch zmiennych x i y. Jednominy podobne zwierjà te sme zmienne w tych smych pot gch, n przyk d x orz -x i x y orz x ysà podobne, x y orz xy nie sà podobne. c) Dwumin to sum dwóch jednominów, n przyk d x + x, x -, xy + x. Uwg: Funkcj liniow: f _ xi x + b dl! 0 i b! 0 to dwumin stopni pierwszego jednej zmiennej rzeczywistej (por. 4..). d) Trójmin to sum trzech jednominów, n przyk d x 6 + x - x, x + x -, x y - y +. Uwg: Funkcj kwdrtow (trójmin kwdrtowy): f _ xi x + bx + c dl! 0, b! 0, c! 0 to trójmin stopni drugiego jednej zmiennej rzeczywistej (por. 4.6.). 4 e) Wielomin to sum lgebriczn (wielu) jednominów, n przyk d x - x + x - x + 0, x - x + x +, xy - x y + x + y. Poszczególne sk dniki sumy to wyrzy wielominu. Uwg : Jednominy, dwuminy i trójminy to szczególne przypdki wielominów, n przyk d: 4 4 x x + 0x + 0x + 0x + 0, x + x x + x + 0x + 0, x + x - x + 0x + x -. Uwg : 0 to wielomin zerowy, który nie m okreêlonego stopni.... Definicj wielominu stopni n jednej zmiennej rzeczywistej Jest to funkcj postci: df. n n - n - 0 W_ xi x + x + x + f + x + x + x n n - n - 0, gdzie 0,, f,! R,! R # 0 -, n! N, x! R. n - n Liczby 0,, f, n to wspó czynniki wielominu. Wspó czynnik 0 to wyrz wolny wielominu (x 0 ). Wyk dnik n to stopieƒ wielominu. WrtoÊç wielominu w punkcie x 0 jest to liczb W`x x x x x 0j + + f n 0 n Pierwistek wielominu to miejsce zerowe wielominu: n n - (x 0 pierwistek wielominu) + (W`x j 0). Uwg: W_ i + + f + + (sum wspó czynników wielominu) n n - 0 W_ i (wyrz wolny wielominu) 0 0 df. 0
15 .. Wielominy i dzi ni n nich Przyk d odczytni stopni wielominu i jego wspó czynników: W_ xi x - x + to wielomin stopni V o nst pujàcych wspó czynnikch: przy x :, przy x 4 : 0, gdy brk wyrzu z x 4 4, czyli jest 0 $ x, 4 przy x : 0, gdy brk wyrzu z x, czyli jest 0 $ x, przy x : 0, gdy brk wyrzu z x, czyli jest 0 $ x, przy x : -, przy x 0 : (wyrz wolny). 0 Wielomin jest uporzàdkowny, gdy jego wyrzy sà uporzàdkowne wed ug mlejàcych (lub rosnàcych) pot g. ) Porównywnie wielominów: ` P_ xi Q_ xij (dw wielominy sà równe)... Dzi ni n wielominch df. + _dl k dego pw_ pi Q_ pij (dl k dej wrtoêci p zmiennej rzeczywistej x przyjmujà te sme wrtoêci) Uwg: Dw wielominy sà równe wtedy i tylko wtedy, gdy sà tego smego stopni i mjà równe odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. Porównujàc dw wielominy, nle y wi c porównç ich stopnie orz odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. b) Mno enie wielominu przez liczb k! R: k $ P_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez liczb k! R. c) Dodwnie wielominów: P_ xi + Q_ xi dodjemy wyrzy podobne. d) Odejmownie wielominów: P_ xi - Q_ xi P_ xi + `-Q_ xij do wielominu P_ xidodjemy wielomin Q_ xipomno ony przez liczb k -. e) Mno enie wielominów: P_ xi $ Q_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez k dy wyrz wielominu Q_ xii przeprowdzmy redukcj wyrzów podobnych, n przyk d P_ xi$ Q_ xi b x - x+ l $ _ x+ 7i. Pos u ymy si tbelkà: P^xh P_ xi $ Q_ xi x + x - 7x + 4 Q^xh x -x x x -6x 4x 7 7x -x 4. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA f) Twierdzeni o stopniu sumy, ró nicy i iloczynu wielominów: Niech st. P_ xi n i st. Q_ xi m, wówczs: () st. ` P_ xi! Q_ xij G mx_ n, mi lub P_ xi + Q_ xi 0 () st. ` P_ xi $ Q_ xij st. P_ xi + st. Q_ xi(dl P_ xi! 0! Q_ xi) g) Metody rozk du wielominów n czynniki: () grupownie wyrzów, n przyk d P_ xi x - 7x - 8x + 8, P_ xi bx - 8xl + b- 7x + 8l () wy àcznie wspólnego czynnik przed nwis, n przyk d P_ xi xbx - 4l - 7bx - 4l, P_ xi b x - 4l_ x - 7i () stosownie wzorów skróconego mno eni, n przyk d P_ xi _ x - i_ x + i_ x - 7i (4) dl trójminu kwdrtowego sprowdzenie do postci iloczynowej (por. 4.6.)
16 .. WZORY SKRÓCONEGO MNO ENIA ) _! bi! b + b kwdrt sumy (ró nicy) dwóch liczb b) _! bi! b + b! b szeêcin sumy (ró nicy) dwóch liczb. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA c) - b _ - bi_ + bi d)! b _! bib " b + b l ró nic kwdrtów dwóch liczb sum (ró nic) szeêcinów dwóch liczb.. WYRA ENIA WYMIERNE Przymiotnik wymierne ozncz u mkowe. Liczby wymierne to inczej u mki (por....). Stàd te wyr eni wymierne to wyr eni u mkowe, n przyk d x, - b, funkcje wymierne to funkcje x + y b u mkowe, n przyk d y x x -, y x + x. Uwg: Wyr eni (funkcje) wymierne mjà sens liczbowy, gdy ich minowniki sà ró ne od zer. ) Wyr enie wymierne to ilorz dwóch wyr eƒ lgebricznych, n przyk d x - z jednà zmiennà x, x + lub b z kilkom zmiennymi. + b + c b) Dziedzinà wyr eni wymiernego jest zbiór tych liczb, które po podstwieniu z zmienne nie spowodujà utrty sensu liczbowego dnego wyr eni wymiernego. Sens liczbowy wyr eni mo e byç utrcony wówczs, gdy minownik wyr eni wymiernego przyjmuje wrtoêç zero. Ztem dziedzinà wyr eni wymiernego z jednà zmiennà jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz miejsc zerowych minownik, n przyk d dziedzinà wyr eni wymiernego + jest D R & : , czyli D R #, -. c) Dzi ni rytmetyczne n wyr enich wymiernych wykonujemy nlogicznie jk dzi ni n liczbch wymiernych: () dodwnie i odejmownie wyr eƒ wymiernych wykonujemy po sprowdzeniu ich do wspólnego minownik, n przyk d: b + + l! _ - i! () dzielenie wyr eƒ wymiernych odbyw si poprzez mno enie dzielnej przez odwrotnoêç dzielnik, n przyk d: : + b b - b b - b (dzieln) (dzielnik) () mno enie wyr eƒ wymiernych poleg n mno eniu przez siebie liczników orz minowników, n przyk d: $ + b + b - b b b - b (4) skrcnie wyr eƒ wymiernych poleg n podzieleniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0), n przyk d: + b - b + b _ - bi_ + bi - b () rozszerznie wyr eƒ wymiernych poleg n pomno eniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0), n przyk d: b b _ - bi b - b + b _ + bi_ - bi - b 4
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Pobrno ze strony www.sqlmedi.pl Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 9 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Zdni zmkni te Mtemtyk Poziom podstwowy Listopd 009 Numer zdni Poprwn odpowiedê Wskzówki do rozwiàzni Liczb punktów. D. - 6-6 -6-6 + 6 7 $ 9 = ( ) $ (
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Zdni zmkni te Mtemtyk Poziom podstwowy Listopd 009 Numer zdni Poprwn odpowiedê Wskzówki do rozwiàzni Liczb punktów. D. - 6-6 -6-6 + 6 7 $ 9 = ( ) $ (
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoZestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoMatematyka. Poziom podstawowy. 1. Zauwa enie, e x > 2 oraz ustalenie zale noêci mi dzy d ugoêciami boków.
Mtemtyk Poziom podstwowy Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów. Zuw enie, e x > orz ustlenie zle noêci mi dzy d ugoêcimi boków. x G x-< x- lub x- G x< x-. Zpisnie równni wynikjàcego
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoKlasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II
1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie
Bardziej szczegółowo1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowoJedna z krawędzi powstałego prostopadłościanu miałaby długość 10 km. P F
SP Graniastosłupy Zadania sprawdzajà nast pujàce umiej tnoêci: r obliczanie pola powierzchni i obj toêç graniastos upa prostego i ostros upa 1. Na rysunku przedstawiono graniastos up prosty i jego wymiary.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 11 MATURA 2010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron. 2. W zadaniach od 1. do 21.
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoSkrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera
Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowof(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 1 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do 1. sà podane
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy
Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13
Zkres n egzminy poprwkowe w r. szk. 2012/13 /nuczyciel M.Ttr/ MATEMATYKA Kls II ZAKRES PODSTAWOWY Dził progrmu I. Plnimetri, cz. 1 Temt 1. Podstwowe pojęci geometryczne 2. Współliniowość punktów. Nierówność
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM. Fizyka Poziom rozszerzony
Modele odowiedzi do rkuz róbnej mtury z OPEONEM Fizyk Poziom rozzerzony Grudzieƒ 007 zdni Prwid ow odowiedê Liczb unktów... z zinie wzoru n nt enie ol grwitcyjnego kt GM z zinie wrunku kt m v GM m c, gdzie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyk zkres podstwowy Proponowny rozkłd mteriłu kl. I (100 h) Temt lekcji Liczb 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby nturlne 1 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 2C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 2
Wymgni egzmincyjne z mtemtyki. ls C. MATeMATyk. Now Er. y są ze sobą ściśle powiązne ( + + R + D + W), stnowiąc ocenę szkolną, i tk: ocenę dopuszczjącą () otrzymuje uczeń, który spełnił wymgni konieczne;
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C
Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż
Bardziej szczegółowoPOMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA
Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych 3 5
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 8 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do. sà podane
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 8 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 2 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyk 2 Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Kls 2 Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Kls technikum Przedmiotowy system ocenini wrz wymgnimi edukcyjnymi Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące (W). Wymienione
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY PLAN PRACY ROK SZKOLNY 2017/18
Przedmiot: Mtemtyk Kls: 2 Nuczyciel: Justyn Pwlikowsk Tygodniowy wymir godzin: 4 Progrm nuczni: 378/2/2013/2015 Poziom: podstwowy Zkres mteriłu wrz z przybliżonym rozkłdem terminów prc klsowych, sprwdzinów
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 15 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 10 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 10 stron.. W zadaniach od 1. do 5. sà podane
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 6 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do. sà podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY PLAN PRACY ROK SZKOLNY 2016/17
Przedmiot: Mtemtyk Kls: 2 Nuczyciel: Justyn Pwlikowsk Tygodniowy wymir godzin: 4 Progrm nuczni: 378/2/2013/2015 Poziom: podstwowy Zkres mteriłu wrz z przybliżonym rozkłdem terminów prc klsowych, sprwdzinów
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoPogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
Pogrubieniem oznczono wymgni, które wykrczją poz podstwę progrmową dl zkresu podstwowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 4 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do 1. sà podane
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 17 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do 5. sà
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do. sà podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowo