Matematyka. Poziom podstawowy. 1. Zauwa enie, e x > 2 oraz ustalenie zale noêci mi dzy d ugoêciami boków.

Transkrypt

1 Mtemtyk Poziom podstwowy Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów. Zuw enie, e x > orz ustlenie zle noêci mi dzy d ugoêcimi boków. x G x-< x- lub x- G x< x-. Zpisnie równni wynikjàcego z informcji, e dny trójkàt jest prostokàtny. x + ^x- = ^x- (I) Przekszt cenie równni (I) do postci dogodnej do obliczeni x - 8x + = 0 (II) wyró nik. Rozwiàznie równni (II). x Wybór w Êciwego rozwiàzni i obliczenie =, b = 8 d ugoêci przyprostokàtnyc i b trójkàt. Obliczenie pol trójkàt. P = O. Podnie zbioru wrtoêci funkcji f. " 0,,,,, Nszkicownie wykresu funkcji f w zdnym zbiorze. Y 0 X Obliczenie f_ i +. f ^+ = + = 7. Wykonnie rysunku z oznczenimi lub wprowdzenie dok dnie opisnyc oznczeƒ. A D C 0 0 Obliczenie d ugoêci boku BC. BC = Obliczenie d ugoêci boku AB. AB = Obliczenie d ugoêci odcink AD. AD = B Mtemtyk. Poziom podstwowy

2 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów. Zpisnie uk du równƒ wynikjàcego z tre- Êci zdni. Przekszt cenie uk du równƒ (I) do postci wynikjàcej z informcji, e ciàg _ n i jest ciàgiem rytmetycznym. Rozwiàznie uk du równƒ (II). Wybór rozwiàzni spe nijàcego wrunki zdni. + + = * (I) + + = * + r= + _ + ri + _ + ri = (II) =- 0 r = * * * =- r = = r =- Wyznczenie wzoru n wyrz ogólny ciàgu n _ i. 5. Zpisnie dnego równni z wykorzystniem informcji, e ciàg _ n i jest ciàgiem geometrycznym. n - 5 q _ + qi = (I) 0 Komentrz zwiàzny z wnioskiem.! 0 Przekszt cenie równni (I) do postci 0q - q - = 0 (II) ogólnej. Rozwiàznie równni (II). q=- q 5 0 = Wybór rozwiàzni spe nijàcego wrunki zdni.. Obliczenie d ugoêci promieni ko opisnego n kwdrcie o boku 8 cm. q = r = cm Obliczenie pol odcink ko opisnego n kwdrcie, wyznczonego przez bok kwdrtu. _ 8r - icm 7. Wykonnie rysunku i przyj cie potrzebnyc oznczeƒ. D C S P A 0 B Mtemtyk. Poziom podstwowy

3 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów Wyznczenie d ugoêci odcink AS. AS = 5 5cm Obliczenie pol trójkàt ASD. P = P - $ P = 50cm Zpisnie równni pozwljàcego wyznczyç d ugoêç odcink DP. ΔASD ABCD ΔABS DP $ 5 5$ = 50cm Obliczenie d ugoêci odcink DP. DP = 5cm 8. Wyznczenie równni prostej zwierjàcej bok BC trójkàt ABC. Wyznczenie równni prostej prostopd ej do tkiej, e A! prostej zwierjàcej wysokoêç trójkàt ABC poprowdzonà z wierzco k A. Wyznczenie wspó rz dnyc punktu D Êrodk odcink AC. Wyznczenie równni Êrodkowej trójkàt ABC poprowdzonej z wierzco k B. 9. Wykonnie rysunku lub przyj cie dok dnie opisnyc oznczeƒ. Zpisnie uk du równƒ pozwljàcego wyznczyç wysokoêç sto k i promieƒ podstwy tego sto k. Rozwiàznie uk du równƒ (I). Obliczenie pol powierzcni bocznej sto k. Obliczenie pol podstwy sto k orz stosunku pol powierzcni bocznej do pol podstwy tego sto k. 0. Wyznczenie liczby wszystkic wyników do- Êwidczeni polegjàcego n losowniu dwóc spoêród + n kul w sposób opisny w zdniu. Wyznczenie liczby wyników sprzyjjàcyc zdrzeniu A obie wylosowne kule sà bi e. Wyznczenie prwdopodobieƒstw zdrzeni A i zpisnie nierównoêci (I) wynikjàcej z wrunku, e prwdopodobieƒstwo wylosowni dwóc kul bi yc m byç nie mniejsze ni. 9 Przekszt cenie nierównoêci (I) do postci ogólnej. Wyznczenie njmniejszej liczby kul bi yc spe nijàcej wrunki zdni. : y= x+ y=- x+ D = ; c m y= x- d ugoêç wysokoêci sto k, r d ugoêç promieni podstwy sto k Z ] r = [ (I) ] + r = \ Z ] = [ ] r = \ P = 0 b 5 r P p = 09 5 r, P P b = p 5 X = _ n + i A= n P A n _ i = _ n + i H 9-5n + n+ G 0 n = 8 Mtemtyk. Poziom podstwowy

4 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów. Anliz zdni zpisnie liczby powst ej z liczby k przez dopisnie n jej koƒcu 8. Zpisnie równni wynikjàcego z treêci zdni. 00k + 8, k! N 00k+ 8 = 0k Rozwiàznie równni. k = Wykznie, e liczb 8 mo n zstàpiç jedynie dowolnà przystà liczbà dwucyfrowà, poniew równnie m mieç rozwiàznie nturlne.. Nszkicownie wykresu funkcji f. Y X Podnie njwi kszej wrtoêci funkcji f. f ^= 7 Uzsdnienie fktu, e podn wrtoêç jest njwi ksz.. Wyznczenie wspó rz dnyc wierzco ków prostokàt. Je eli zost pope niony jeden b àd rcunkowy, przyznjemy pkt. Poniew funkcje f x = x- ^ i f x = x-5 ^ sà liniowe i rosnàce ( f x =- x + 0 ^ jest liniow i mlejàc) wystrczy sprwdziç i porównç f ^8= < f ^ = 7. A = ^-; -, 5, B = ^; -, 5 C = ^0 ;, D = ^-0 ; Obliczenie d ugoêci boków prostokàt. AB =, BC = 5, Obliczenie pol prostokàt. P ABCD =. Podnie pierwszego wyrzu i ró nicy ciàgu ^ n. Wyznczenie wzoru n wyrz ogólny ciàgu ^ n. = 0, r = = n + n Obliczenie dwudziestego wyrzu ciàgu ^ n. = 8 0 Wyznczenie wzoru n sum n poczàtkowyc wyrzów ciàgu ^ n. Zpisnie nierównoêci wynikjàcej z wrunku, e sum n poczàtkowyc wyrzów ciàgu ^ n m byç wi ksz od 50. Rozwiàznie nierównoêci w zbiorze liczb rzeczywistyc. Podnie njmniejszej liczby n, dl której S > 50 n. S = n + 8n n n + n - 5 > 0, n! N n! _-; i,,_- + 9; + i n = 0 Mtemtyk. Poziom podstwowy

5 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów 5. Zpisnie równni wynikjàcego z wrunku, x + ^x+ 0 = ^x+ 0 e d ugoêci boków dzi ki sà kolejnymi wyrzmi ciàgu rytmetycznego o ró nicy 0 m. Rozwiàznie równni. x =- 0, x = 90 Obliczenie d ugoêci boków dzi ki. 90 m, 0 m, 50 m Obliczenie obwodu dzi ki. 0 m Obliczenie liczby sdzonek potrzebnyc do obsdzeni brzegu c ej dzi ki.. Wykonnie rysunku lub przyj cie dok dnie opisnyc oznczeƒ. 70 sdzonek d d Zpisnie uk du równƒ wynikjàcego Z d + d = z treêci zdni. ] [ d d ] e + = 5 o e o \ Rozwiàznie uk du równƒ. d = 8, d = Zpisnie równni pozwljàcego wyznczyç d ugoêç wysokoêci rombu. $ 5 = $ 8$ Wyznczenie d ugoêci wysokoêci rombu. = 8, 7. Obliczenie d ugoêci boków trójkàt ABC. AB = 5, BC = 5, AC = 5 Powo nie si n twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors i wykznie, e trójkàt ABC jest prostokàtny. Obliczenie pol trójkàt ABC. P = 7 Δ ABC 8. Zpisnie symboliczne zbioru wszystkic wyników doêwidczeni, polegjàcego n jednoczesnym losowniu trzec liczb ze zbioru Z. Obliczenie mocy zbioru X. Obliczenie liczby wyników sprzyjjàcyc zdrzeniu A sum wylosownyc liczb b dzie przyst. AB = BC + AC X = $ ~~ : = # x, x, x / - / x! Z / x! Z / x! Z- 7 X= C = = 5 7 e o Obliczenie prwdopodobieƒstw zdrzeni A. P A 9 _ i= 5 A = 9 Mtemtyk. Poziom podstwowy

6 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów 9. Wykonnie rysunku ostros up lub przyj cie dok dnie opisnyc oznczeƒ. Zpisnie uk du równƒ wynikjàcego z wrunku P = orz z informcji, e cosinus Δ ABS kàt ncyleni Êciny bocznej ostros up do p szczyzny podstwy jest równy. N przyk d: H d ugoêç wysokoêci ostros up, b mir kàt DES. Z ] = [ ] = \ Rozwiàznie uk du równƒ. = cm, = cm Zpisnie równni pozwljàcego wyznczyç H. Wyznczenie H. b l + H = H = cm Obliczenie obj toêci ostros up ABCDS. V cm = 0. Podnie liczby x w njprostszej postci (po pkt z obliczenie licznik i minownik). x = 5 Podnie liczby y w njprostszej postci. y = 00, Porównnie dnyc liczb. x< y. U o enie proporcji pozwljàcej obliczyç iloêç potrzebnej màki. = 5 x Obliczenie potrzebnej iloêci màki. x = (szklnki) U o enie proporcji pozwljàcej obliczyç iloêç potrzebnego cukru. Obliczenie potrzebnej iloêci cukru. y = (szklnki) = 5 y. Anliz zdni. N przyk d: x àczn powierzcni firmy (w m ), po- wierzcni zbudowƒ 800 m, któr stnowi % c ego terenu firmy. Obliczenie àcznej powierzcni zjmownej przez firm m Obliczenie powierzcni terenu niezbudownego. Obliczenie, jki procent terenu zbudownego stnowi teren niezbudowny. 00 m 9, % Podnie wyniku z zdnà dok dnoêcià. 9, 05. Anliz zdni. x cyfr dziesiàtek, - x cyfr jednoêci, 9x + szukn liczb, x! " 5789,,,,,,,,, U o enie równni pozwljàcego obliczyç ^9x + $ 00 + = cyfr dziesiàtek szuknej liczby. = 9x Rozwiàznie równni. x = 7 Obliczenie cyfry jednoêci szuknej liczby. - x = 5 Znlezienie szuknej liczby. 75 Mtemtyk. Poziom podstwowy

7 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów. Zpisnie wrunku, by miejscem zerowym f ^ = 0 & _ m -i $ - = 0 funkcji by liczb. Rozwiàznie u o onego równni. m= 7 0 m=- 7 Zpisnie wrunku n równoleg oêç wykresów funkcji. m - = Rozwiàznie równni i podnie odpowiedzi. m= 0 m=- 5. Obliczenie prmetru. = Zpisnie nierównoêci wynikjàcej z treêci x > x zdni. + Rozwiàznie nierównoêci ( pkt z zstosownie metody, pkt z obliczeni). x!_-; - i, _ + ; + i. Anliz zdni. Dne: 7 5 Szukne: S Wykorzystnie wzoru n ogólny wyrz ciàgu rytmetycznego i u o enie uk du równƒ ( pkt z k de równnie). Rozwiàznie uk du. Obliczenie sumy poczàtkowyc wyrzów. 7. Zpisnie wieku dzieci w postci wyrzów ciàgu geometrycznego. * * S q= 7 q= 8 q = = = $ - - = - 80 =, = q, q = U o enie równni. + q+ q = 9 Rozwiàznie równni. Wybrnie dodtniego ilorzu i obliczenie wieku k dego dzieck ( pkt z wybór, pkt z obliczeni). 8. Wykonnie rysunku lub precyzyjne wprowdzenie oznczeƒ. q 5,, 9 B 0 E 0 r r O r D C A Obliczenie d ugoêci odcink BE z trójkàt EOB. BE = Obliczenie d ugoêci przyprostokàtnej BC. BC = + Obliczenie d ugoêci drugiej przyprostokàtnej z trójkàt ABC. AC = + Obliczenie d ugoêci przeciwprostokàtnej. AB = 8+ 8 Mtemtyk. Poziom podstwowy

8 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów 9. Obliczenie liczby wszystkic mo liwyc liczb, X= P = 7! 7 które mo n otrzymç z 570, przestwijàc cyfry. Obliczenie liczby wszystkic mo liwyc liczb, A= $ P = $! b dàcyc wielokrotnoêcià liczby 5, które mo n otrzymç z 570, przestwijàc cyfry. Obliczenie prwdopodobieƒstw zdrzeni A. P _ A i= 7 0. Wykonnie rysunku lub precyzyjne wprowdzenie oznczeƒ., b przyprostokàtne trójkàt, c przeciwprostokàtn, wysokoêç poprowdzon z wierzco k kàt prostego, x, y odcinki, n jkie t wysokoêç dzieli przeciwprostokàtnà Obliczenie drugiej przyprostokàtnej. b = Obliczenie wysokoêci ( pkt z zstosownie metody, pkt z obliczeni). = 8, Obliczenie odcinków x, y. x =, ; y =, Obliczenie szuknego stosunku.. Wyznczenie równni prostej AC ( pkt z zstosownie metody, pkt z obliczeni). Wyznczenie wspó czynnik kierunkowego prostej zwierjàcej szuknà wysokoêç. Wyznczenie równni prostej zwierjàcej szuknà wysokoêç. Wyznczenie wspó rz dnyc Êrodk boku AC. Wyznczenie symetrlnej boku AC. x y = 9 AC : y =- x 5-5 = BD 5 BD: y = x S = ^- 0 ; AC l: y= x Wyznczenie równni prostej zwierjàcej AB: y = x + bok AB. Wyznczenie równni prostej zwierjàcej CD: y = x -0 bok CD. Wyznczenie równni prostej zwierjàcej BC : y =- x + 8 bok BC. Wyznczenie równni prostej zwierjàcej AD : y =- x + bok AD. Wyznczenie wspó rz dnyc punktu D. D = ^; -7. Anliz zdni i wprowdzenie oznczeƒ. x liczb uszkodzonyc rówek, które nle y usunàç, x liczb rówek pozost yc po usuni ciu x rówek uszkodzonyc Obliczenie liczby rówek uszkodzonyc. 000 U o enie nierównoêci odpowidjàcej treêci zdni x< 0, 0 $ ^ x Mtemtyk. Poziom podstwowy

9 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów Rozwiàznie nierównoêci. x > 55, ^5 Podnie odpowiedzi. Nle y usunàç co njmniej 5 uszkodzonyc rówek.. Wyznczenie wspó czynnik kierunkowego k: m prostej k. + k Wyznczenie wspó czynnik kierunkowego prostej l. U o enie równni wynikjàcego z treêci zdni. Rozwiàznie równni. 5. Wyznczenie wspó rz dnyc punktu przeci ci si prostyc ( pkt z zstosownie metody, pkt z obliczeni). l: =- m + l - m + =- - m + m=- 0 m= x=-m- ( y=-m- U o enie uk du nierównoêci. -m -< 0 ( -m -> 0 Rozwiàznie uk du nierównoêci. m! ^-; -. Wykonnie rysunku lub wprowdzenie dok dnie opisnyc S oznczeƒ. A S C b D B Obliczenie odleg oêci spodk wysokoêci od wierzco k podstwy. Obliczenie odleg oêci spodk wysokoêci od krw dzi podstwy. Obliczenie d ugoêci wysokoêci Êciny bocznej. Obliczenie sinus kàt ncyleni Êciny bocznej do p szczyzny podstwy 7. Wykonnie rysunku lub wprowdzenie dok dnie opisnyc oznczeƒ. AS' SD ' DS 0 = 5 = 5 9 = 9 sin b = C A B d C b Obliczenie d ugoêci przekàtnej Êciny bocznej. A d = sin B Mtemtyk. Poziom podstwowy

10 Numer Opis oceninej Wynik Liczb zdni czynnoêci etpu punktów Obliczenie wysokoêci grnistos up. Obliczenie sinus odpowiedniego kàt. 8. Zpisnie liczby x w njprostszej postci ( pkt z zstosownie wzorów skróconego mno eni i pkt z redukcj wyrzów podobnyc). Zpisnie liczby y w njprostszej postci. = -sin sin sin b = -sin x =- y =- Porównnie liczb. x> y 9. Obliczenie liczby x (po pkt z k de dwie prwid owo obliczone pot gi i pkt z dodnie wszystkic sk dników). x = Wykonnie obliczeƒ procentowyc. 5% 0. Zpisnie wrunku, by do wykresu nle dny punkt. Rozwiàznie u o onego równni. Zpisnie wrunku n prostopd oêç wykresów funkcji. Rozwiàznie równni i podnie odpowiedzi. f (- ) = & ( m -) $ (-)- = m =- 8 m - = m = Mtemtyk. Poziom podstwowy