Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
|
|
- Łukasz Włodarczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski
2
3 Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem), Z zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, 2 X rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X, Y X zbiór wszystkich funkcji określonych w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.
4
5 ROZDZIAŁ 1 Wiadomości wstępne 1. Elementy teorii mnogości W teorii mnogości (teorii zbiorów) pojęcia zbiór, element zbioru i relacja należenia do zbioru są pojęciami pierwotnymi. W naszych rozważaniach przyjmujemy intuicyjne rozumienie tych pojęć. Czasami możemy wymienić wszystkie elementy danego zbioru, częściej nie jest to możliwe. Zbiór złożony z elementów a 1, a 2,..., a n będziemy oznaczali {a 1, a 2,..., a n }. Fakt, że element a należy do zbioru A, oznaczamy symbolem a A. Aby zaznaczyć, że element x nie jest elementem zbioru A, stosujemy oznaczenie: x A. Zatem x A ( x A). Pojęcie inkluzji dwóch zbiorów określamy następująco: zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A jest zawarty w B, B zawiera zbiór A, lub jeszcze inaczej B jest nadzbiorem zbioru A), gdy każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B. Oznaczamy wówczas A B. Mamy więc A B x [(x A) = (x B)]. O zbiorach A i B mówimy, że są równe, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i odwrotnie; tak więc (A = B) [(A B) (B A)]. Wygodny jest w wielu zastosowaniach pewien specjalny zbiór, mianowicie zbiór pusty (oznaczany symbolem ), tj. taki zbiór, który nie ma żadnego elementu. Zbiór pusty jest więc podzbiorem każdego zbioru. Istotnie, dla dowolnego zbioru A mamy x = x A. Najczęściej zbiory zapisujemy w postaci {x : ϕ(x)}, gdzie ϕ jest pewną funkcją zdaniową; symbol ten oznacza zbiór tych wszystkich elementów x, dla których spełniona jest funkcja zdaniowa ϕ.
6 6 Jacek M. Jędrzejewski Określimy teraz pewne działania na zbiorach: sumę zbiorów, przekrój, różnicę zbiorów i dopełnienie zbioru następująco: A B = {x : (x A) (x B)}, A B = {x : (x A) (x B)}, A \ B = {x : (x A) (x B)}. Jeśli X jest uniwersalnym zbiorem, czyli zbiorem, w którym są zawarte wszystkie rozważane zbiory, zwanym często przestrzenią zbiorów, to dopełnieniem zbioru A do zbioru X nazywamy zbiór X \ A. Jeśli ustalimy uniwersalny zbiór X, to dopełnienie zbioru A (oczywiście do zbioru X) oznaczamy symbolem A. Zacytujemy teraz kilkanaście podstawowych praw rachunku zbiorów. (1) A B = B A, (2) A B = B A, (3) (A B) C = A (B C), (4) (A B) C = A (B C), (5) (A B) C = (A C) (B C), (6) (A B) C = (A C) (B C), (7) (A A) = A, (8) (A A) = A, (9) (A ) = A, (10) (A ) =, (11) (A B = A) A B, (12) (A B = B) A B, (13) (A B) = A B, (14) (A B) = A B. Od tej chwili postaramy się odstąpić od intuicyjnego pojmowania dalszych pojęć. Będziemy jednak opierali się na tzw. naiwnej teorii zbiorów. Bardzo ważnym pojęciem matematycznym jest pojęcie pary uporządkowanej. Intuicyjnie jest to pojęcie dość znane i proste. Niestety, precyzyjne określenie pary uporządkowanej nie jest łatwe. Parą uporządkowaną (a, b) nazywamy zbiór {{a, b, } {a}}. Zauważamy, że (a, b) = (b, a) a = b.
7 Notatki z analizy 7 Trudniej udowodnić, że (a, b) = (c, d) (a = c) (b = d). Pojęcie pary uporządkowanej w istotny sposób jest wykorzystywany w definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B. Iloczyn ten oznaczany symbolem A B, określamy następująco: A B = {(a, b) : a A b B}. Zbiór R R możemy interpretować jako płaszczyznę kartezjańską (czyli płaszczyznę z układem współrzędnych). Zauważamy bez trudu, że A B B A; oczywiście poza przypadkiem, gdy A = B. Poznamy teraz jedno z najważniejszych pojęć matematyki. Pojęciem tym jest relacja. Relacją między elementami zbioru A i elementami zbioru B nazywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B. W szczególności może to być relacja pusta, jak i relacja pełna tj. A B. Kilka typów innych relacji poznamy już za chwilę. W ciągu dalszym zamiast pisać (x, y) R, gdzie R jest pewną relacją, będziemy pisali xry i mówili: element x jest w relacji R z elementem y. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Relację R w zbiorze X (tzn. taką relację R, iż R X X,) nazywamy relacją częściowego porządku w zbiorze X, jeśli spełnia ona następujące warunki: (1) x (xrx), (2) x X y X ((xry yrx) = (x = y)), (3) x X y X z X ((xry yrz) = (xrz)). Relację częściowego porządku najczęściej będziemy oznaczali symbolem lub. Relację R częściowego porządku nazywamy relacją liniowego porządku, jeśli spełnia dodatkowy warunek 4. x X y X(xRy yrx). Zbiór X wraz z częściowym porządkiem nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym. Zbiór X wraz z liniowym porządkiem nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym. Przykładem relacji częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w rodzinie (tj. zbiorze) podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X. Relacją liniowego porządku jest na przykład zwykła relacja niewiększości w zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli a b, to mówimy, że element a jest niewiększy od elementu b lub, że element b jest niemniejszy od elementu a. Jeśli a b i a b, to mówimy, że element a jest mniejszy od elementu b lub, że element b jest większy od elementu a.
8 8 Jacek M. Jędrzejewski Element a w zbiorze częściowo uporządkowanym X nazywamy elementem najmniejszym, jeśli każdy element x należący do zbioru X jest niemniejszy od elementu a. Podobnie definiuje się element największy w zbiorze częściowo uporządkowanym. Oczywiście, nie w każdym zbiorze z częściowym porządkiem istnieją elementy najmniejszy i największy. Jeśli jednak istnieje element największy, to jest tylko jeden. Podobnie, jeśli istnieje element najmniejszy, to jest jedynym takim elementem. Niech (X, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i A niepustym podzbiorem zbioru X. Element c X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli dla każdego elementu a A spełniona jest nierówność c a. Element c X nazywamy ograniczeniem górnym niepustego zbioru A, jeśli dla każdego elementu a A spełniona jest nierówność a c. Najmniejszy element spośród wszystkich ograniczeń górnych niepustego zbioru A, o ile taki istnieje, nazywamy kresem górnym zbioru A. Symbolicznie: c = sup A, jeśli (1) a A(a c), (2) d X ( a A (a d = c d)), Podobnie definiujemy kres dolny zbioru. Mamy więc: d = inf A, jeśli (1) a A(d a), (2) d X ( a A (b a = b d)), Kres górny zbioru A nazywamy też często supremum zbioru A. Kres dolny zbioru A nazywamy też często infimum zbioru A. Jeśli kres górny zbioru A należy do zbioru A, to jest on jednocześnie elementem największym w zbiorze A. Jeśli kres dolny zbioru A należy do zbioru A, to jest on też elementem najmniejszym w zbiorze A. Relacją dobrego porządku w zbiorze X nazywamy każdą relację liniowego porządku o tej własności, że każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy. Jednym z najważniejszych pojęć matematyki jest relacja równoważności. Relację R X X nazywamy relacją równoważności w zbiorze X, jeśli spełnia ona następujące warunki: (1) x X(xRx), (2) x X y X ((xry) = (yrx)), (3) x X y X z X ((xry yrz) = xrz).
9 Notatki z analizy 9 2. Funkcje Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy każdą relację f X Y, która spełnia następujące warunki: (1) x X y Y ((x, y) f), (2) x X y 1 Y y 2 Y (((x, y 1 ) f (x, y 2 ) f) = y 1 = y 2 ). Funkcję tę oznaczamy symbolem f : X Y, zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f (polem lub zbiorem argumentów), zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Z warunku 2 powyższej definicji wynika, że dla danego elementu x zbioru X istnieje dokładnie jeden element y w zbiorze Y taki, że (x, y) f. Ten jedyny element y, który odpowiada danemu elementowi x nazywamy wartością funkcji f w punkcie x i oznaczamy jako f(x). Element x nazywamy argumentem funkcji f. Piszemy wówczas zamiast (x, y) f. y = f(x), Nie zawsze dla każdego elementu y ze zbioru Y istnieje element x X taki, że y = f(x). Jeśli spełniony jest warunek y Y x X (y = f(x)), to mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i ten ostatni zbiór jest zbiorem wartości funkcji f. Czasem taką funkcję nazywamy też surjekcją. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją. Dla zbiorów A X i B Y określamy zbiory f(a) = {y Y : x A(y = f(x))}, f 1 (B) = {x X : f(x) B}. Zbiór f(a) nazywamy obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f. Zbiór f 1 (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez funkcję f. Zbiór f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji f : X Y. Oczywiście funkcja f : X Y odwzorowuje X na zbiór Y, wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = Y. Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową lub injekcją, jeśli lub, co na jedno wychodzi x 1 X x 2 X (x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )), x 1 X x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). Funkcję f : X Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli jest funkcją różnowartościową i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, czyli jest surjekcją i injekcją.
10 10 Jacek M. Jędrzejewski Niech teraz dane będą dwie funkcje f : X Y, g : Y Z. Zauważamy, że wzór (g f)(x) = g(f(x)) określa pewną funkcję określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Z. Nazywamy ją superpozycją lub złożeniem funkcji g i f, przy czym funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, funkcję g funkcją zewnętrzną. Zauważmy, że dla funkcji f : X Y, g : Y Z, h : Z U, możliwe są złożenia h (g f), (h g) f. Jeżeli obliczymy wartości tych funkcji w dowolnym punkcie zbioru X, to okaże się, że są one równe. Zatem można powiedzieć, że składanie funkcji jest działaniem łącznym. Niech R będzie dowolną relacją w iloczynie X Y. Relację R 1 Y X określoną następująco: (y, x) R 1 (x, y) R nazywamy relacją odwrotną do relacji R. Oczywiście dla każdej relacji istnieje relacja do niej odwrotna. Niech teraz f : X Y będzie dowolną funkcją. Istnieje relacja odwrotna f 1 do relacji f; jeśli jest ona funkcją, to nazywamy ją funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy, zgodnie z przyjętym wyżej sposobem, symbolem f 1. Zauważmy, że funkcja f : X Y ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Jeśli f : X Y jest dowolną funkcją, zbiór A jest podzbiorem zbioru X, to f A = {(x, y) X Y : (x, y) f x A} jest funkcją określoną na zbiorze A. Funkcję tę nazywamy obcięciem funkcji f do zbioru A, lub funkcją f obciętą do zbioru A. Symbolem id X oznaczamy funkcję tożsamościową tzn. funkcję określoną wzorem id X (x) = x dla x X.
11 Notatki z analizy 11 Poniżej przedstawimy niektóre własności funkcji, z których w dalszym ciągu będziemy korzystali. Własność 1.1. Dla funkcji f : X Y i podzbiorów A 1 i A 2 zbioru X spełnione są zależności: f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ), f (A 1 ) \ f (A 2 ) f (A 1 \ A 2 ), A 1 A 2 = f (A 1 ) f (A 2 ). Własność 1.2. Dla funkcji f : X Y i podzbiorów B 1 i B 2 zbioru Y spełnione są zależności: f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), f 1 (B 1 \ B 2 ) = f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ), B 1 B 2 = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Własność 1.3. Dla dowolnej funkcji f : X Y i rodziny zbiorów {A t : t T }, gdzie A t X dla t T, spełniona jest równość ( ) f A t = f (A t ). t T t T Własność 1.4. Dla dowolnej funkcji f : X Y i rodziny zbiorów {B t : t T }, gdzie B t Y dla t T, spełniona jest równość ( ) f 1 B t = f 1 (B t ). t T t T Własność 1.5. Dla funkcji f : X Y oraz zbioru A X spełniony jest warunek A f 1 (f (A)). Zauważmy, że inkluzji w powyższym wzorze nie można zastąpić równością. Jeśli jednak założymy dodatkowo, że funkcja f jest różnowartościowa, to f 1 (f (A)) = A. Własność 1.6. Dla funkcji f : X Y oraz zbioru B Y spełniony jest warunek f ( f 1 (B) ) = B f(x). Łatwo podać przykład ilustrujący, że w powyższej równości po prawej stronie nie można opuścić przekroju ze zbiorem f(x). Jeśli jednak funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y, to f ( f 1 (B) ) = B.
12 12 Jacek M. Jędrzejewski Własność 1.7. Niech dane będą funkcje f : X Y i g : Y Z; oznaczmy jeszcze h = g f. Jeśli A X i B Y, to h(a) = g (f (A)) oraz h 1 (B) = f 1 ( g 1 (B) ). Własność 1.8. Złożenie dwu injekcji (funkcji różnowartościowych) jest injekcją (funkcją różnowartościową). Własność 1.9. Złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją. Własność Złożenie dwu bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych) jest bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną). Własność Dla dowolnej bijekcji f : X Y f f 1 = id Y i f 1 f = id X. 3. Zasada abstrakcji Zajmiemy się teraz jedną z najważniejszych relacji w całej matematyce. Jest nią relacja równoważności. Definicja była podana wcześniej, nie podajemy jej więc powtórnie. W całym rozdziale rozważamy relację równoważności R w zbiorze X. Dla elementu a X zbiór {x X : xra} oznaczamy symbolem [a] i nazywamy klasą abstrakcji elementu a. Twierdzenie 1.1. Dwie klasy abstrakcji są równe lub rozłączne. Twierdzenie 1.2. Dla dowolnej relacji równoważności R w zbiorze X spełniona jest równość: [x] = X. x X Dowód. Zawieranie [x] X. jest oczywiste, bo wszystkie klasy abstrakcji są podzbiorami zbioru X. x X Niech teraz x będzie dowolnym elementem zbioru X. Wówczas, oczywiście, x [x], co dowodzi zawierania odwrotnego. Tak więc każda relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrakcji. Elementy w danej klasie nie są rozróżnialne pod względem tej relacji. Otrzymujemy w ten sposób zbiór
13 Notatki z analizy 13 (rodzinę) klas abstrakcji; elementy w tym zbiorze (same są zbiorami) są rozłączne, więc są to elementy różne. Następne twierdzenie uzupełnia powyższe rozważenia. Twierdzenie 1.3. Niech teraz X będzie dowolnym zbiorem niepustym, {A t } t T pewną rodziną pozbiorów zbioru X taką, że A t = X. t T A t1 A t2 = gdy t 1 t 2. Wówczas istnieje relacja równoważności R w zbiorze X taka, że każda klasa abstrakcji jest jednym ze zbiorów A t i odwrotnie każdy zbiór A t jest pewną klasą abstrakcji. 4. Moc zbioru. Zbiory przeliczalne Definicja 1.2. Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przekształcająca zbiór A na B. Z definicji wynika, że dla zbiorów równolicznych A i B istnieje też funkcja wzajemnie jednoznaczna przekształcająca zbiór B na A. Ponieważ funkcja tożsamościowa na jakimkolwiek zbiorze A jest wzajemnie jednoznaczna, więc każdy zbiór jest równoliczny z nim samym. Załóżmy teraz, że zbiory A i B są równoliczne oraz, że zbiory B i C też są równoliczne. Istnieją więc funkcje wzajemnie jednoznaczne f : A B, h : B C, zatem funkcja h f : A C jest funkcją wzajemnie jednoznaczną ze zbioru A do zbioru C. Oznacza to, że zbiory A i C są równoliczne. Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie: Twierdzenie 1.4. Równoliczność zbiorów jest relacją równoważności w rodzinie podzbiorów pewnego zbioru. Uwaga 1. Równoliczność wszystkich zbiorów nie jest relacją w sensie podanym przez nas, bowiem nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Uwaga 2. W rodzinie podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X równoliczność jest relacją i to relacją równoważności. Dzieli ona tę rodzinę na klasy abstrakcji, nazywamy je mocami odpowiednich zbiorów. Oznaczamy moc zbioru A symbolem card(a) lub A. Definicja 1.3. Zbiór A nazywamy przeliczalnym, jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest skończony lub przeliczalny.
14 14 Jacek M. Jędrzejewski Najczęściej jednak będziemy używali terminu przeliczalny zamiast co najwyżej przeliczalny. Twierdzenie 1.5. Zbiór A jest co najwyżej przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego elementy można ustawić w ciąg. Twierdzenie 1.6. Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Twierdzenie 1.7. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Stosując indukcję matematyczną można dowieść, że iloczyn kartezjański dowolnej skończonej liczby zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Podobnie jak poprzednie twierdzenie można udowodnić: Twierdzenie 1.8. Suma przeliczalnej ilości zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Wnioskami z tego twierdzenia są: Wniosek 1.1. Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem przeliczalnym. Wniosek 1.2. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Nie wszystkie zbiory są przeliczalne. Istnieją zbiory takie, że nie można ustawić w ciąg wszystkich ich elementów. Zbiory takie nazywamy nieprzeliczalnymi. Twierdzenie 1.9. Zbiór R liczb rzeczywistych nie jest zbiorem przeliczalnym. Definicja 1.4. Mówimy, że zbiór A jest mocy nie większej niż moc zbioru B, co oznaczamy card(a) card(b), jeśli istnieje podzbiór D zbioru B, który jest równoliczny ze zbiorem A. Twierdzenie (Cantora-Bernsteina) Jeśli card(a) card(b) i card(b) card(a), to card(a) = card(b). Opowiadając o mocach zbiorów (liczbach kardynalnych) nie można nie wspomnieć o hipotezie continuum. Udowodniliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Umówiono się, że moc tego zbioru oznacza się gotycką literą c i nazywa continuum. Oczywiście nie jest to jednoznaczne z tym, że pomiędzy mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych nie ma innych liczb kardynalnych. Hipoteza continuum mówi, że nie ma zbiorów o mocach większych niż moc zbioru liczb naturalnych i mniejszych niż moc zbioru liczb rzeczywistych. Przez długie lata nie było wiadomo, czy tak jest, jednak w latach 60-tych XX. wieku udowodniono, że istnieją modele teorii mnogości, w których hipoteza continuum jest jednym z aksjomatów, jak również istnieją modele, w których jej zaprzeczenie jest aksjomatem.
15 Notatki z analizy Liczby rzeczywiste Podamy teraz zestaw aksjomatów opisujący (z dokładnością do izomorfizmu) zbiór liczb rzeczywistych. Niech R będzie zbiorem zawierającym co najmniej dwa elementy i + oraz będą dwoma działaniami w zbiorze R, tzn. funkcjami postaci: + : R R R, : R R R. Jak zwykle, wartość funkcji + dla pary (a, b) R R oznaczać będziemy jako a+b i nazywać sumą elementów a i b oraz czytać a plus b. Podobnie, wartość funkcji dla pary (a, b) R R oznaczać będziemy jako a b lub krócej ab; wynik ten nazywać będziemy iloczynem liczb a i b, a czytać będziemy a razy b. Aksjomaty ciała przemiennego C.1 x + y = y + x, C.2 (x + y) + z = x + (y + z), C.3 0 R x R(x + 0 = x), C.4 x R y R(x + y = 0), C.5 x,y R(x y = y x), C.6 (x y) z = x (y z), C.7 1 R x R(x 1 = x), C.8 x R\{0} y R(x y = 1), C.9 (x + y) z = (xz) + (yz). Działania + i nazywamy dodawaniem i mnożeniem w zbiorze R. Element 0 nazywamy zerem; element 1 nazywamy jedynką lub jednością ciała R. Element y z aksjomatu 4 nazywamy elementem przeciwnym do x oraz oznaczamy x; natomiast element y z aksjomatu 8 nazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy jako x 1 lub 1. x Strukturę algebraiczną określoną za pomocą tych aksjomatów nazywamy ciałem; stąd częsta nazwa ciało liczb rzeczywistych. W zbiorze R określona jest relacja liniowego porządku mająca następujące własności: Aksjomaty porządku P.1 ((x y) (y x)) = x = y, P.2 (x y) = (x + z y + z), P.3 ((0 x) (0 y)) = 0 xy, P.4 ((x y) (y z)) = x z.
16 16 Jacek M. Jędrzejewski Często będziemy używali oznaczenia x < y zamiast koniunkcji x y i x y. Przypomnimy teraz kilka pojęć związanych ze zbiorami uporządkowanymi. Przedstawimy je w wersji wygodnej dla zbioru R spełniającego powyżej zapisane aksjomaty. Podzbiór A zbioru R nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba c R taka, że a c dla każdej liczby a ze zbioru A. Każdą taką liczbę nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A. Podobnie określamy zbiór ograniczony z dołu i ograniczenie dolne. Zbiór liczb rzeczywistych z relacją jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Dla zbioru A, zawartego w zbiorze R, kresem górnym nazywamy (o ile istnieje) liczbę d R taką, że a A( a d ), ( )) c R a A( (a c) = (d c). Często można znaleźć inaczej sformułowany warunek dla kresu górnego. Jest on następujący: Liczba d R jest kresem górnym zbioru A, jeśli lub jeszcze inaczej: a A(a d), c<d a A(c < a d), Liczba d R jest kresem górnym zbioru A, jeśli a A(a d), ε>0 a A(d ε < a d), Kres górny zbioru A oznaczamy jako sup A. W ten sam sposób definiuje się kres dolny podzbioru A ciała liczb rzeczywistych, który oznaczamy inf A. Aksjomat kresu górnego P.5 Każdy niepusty ograniczony z góry zbiór A R ma kres górny. Często będziemy mówili, że jeśli zbiór A jest nieograniczony z góry, to sup A =. Podobnie, będziemy mówili, że jeśli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to inf A =. Każdy zbiór spełniający warunki opisane w powyższych aksjomatach nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych. Dowodzi się, że taki zbiór istnieje i z dokładnością do izomorfizmu jest jedyny.
17 Notatki z analizy 17 Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, dla których spełniona jest nierówność podwójna: a < x < b. Przedziałem domkniętym [a, b] nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, dla których spełniona jest nierówność podwójna: a x b. Przedziałem otwarto-domkniętym (a, b] nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, które spełniają nierówność podwójna: a < x b. Przedziałem domknięto-otwartym [a, b) nazywamy zbiór tych wszystkich liczb x, które spełniają nierówność podwójna: a x < b. Wielokrotnie będziemy używali terminu otoczenie punktu. Pojęcie to jest bardzo ważnym terminem matematycznym, z którym będziemy spotykali się w topologii bardzo często. Otoczeniem punktu x nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt lub ogólniej każdy zbiór zawierający przedział otwarty postaci (x δ, x + δ) dla pewnej liczby dodatniej δ. Podzbiór E zbioru liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem otwartym, jeśli każdy element tego zbioru ma otoczenie zawarte w zbiorze E. Łatwo zauważyć, że przekrój dwóch zbiorów otwartych jest też zbiorem otwartym oraz suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Na zakończenie tego rozdziału warto podać definicję i pewne własności wartości bezwzględnej (modułu) liczby rzeczywistej. Dla x R określamy: Dla dowolnych liczb x i y mamy wtedy: x gdy x 0, x = x gdy x < 0. x = x, x y = x y, x + y x + y, x < a a < x < a, gdy a > 0, x > a (x < a a < x), gdy a > 0. x a a x a, gdy a 0, x a (x a a x), gdy a 0.
18 18 Jacek M. Jędrzejewski Wartość x y nazywamy odległością punktów (liczb) x i y. Odległość ta ma następujące własności: x y 0, x y = 0 x = y, x y = y x, x y x z + z y.
19 ROZDZIAŁ 2 Ciągi liczbowe 1. Ogólne własności ciągów Ciągiem liczbowym nazywamy każdą funkcję rzeczywistą a, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. Stosujemy zapis (a n ) n=1 na oznaczenie ciągu a, w którym wartość funkcji a w punkcie n jest równa a n. Liczbę tę nazywamy n-tym wyrazem ciągu (a n ) n=1, n nazywamy wskaźnikiem lub indeksem wyrazu a n. Ciąg (a n ) n=1 nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wyrazów (obraz zbioru N wyznaczony przez funkcję a) jest ograniczony; oznacza to po prostu, że istnieją liczby c i d takie, że dla wszystkich n N spełniona jest nierówność podwójna: c a n d. Ciąg (a n ) n=1 nazywamy rosnącym, jeśli n N (a n < a n+1 ). Ciąg (a n ) n=1 nazywamy malejącym, jeśli n N (a n > a n+1 ). Ciąg (a n ) n=1 nazywamy niemalejącym, jeśli n N (a n a n+1 ). Ciąg (a n ) n=1 nazywamy nierosnącym, jeśli n N (a n a n+1 ). Ciągi tego typu tj. rosnące, malejące, niemalejące i nierosnące obejmujemy wspólną nazwą ciągów monotonicznych. Niech x = (x n ) n=1 będzie dowolnym ciągiem liczbowym i n = (n k) k=1 dowolnym ciągiem rosnącym złożonym z liczb naturalnych. Wtedy można utworzyć złożenie x n. Otrzymujemy w ten sposób ciąg liczbowy, który nazywamy podciągiem ciągu (x n ) n=1. Ciąg ten oznaczamy symbolem (x nk ) k=1, k-ty wyraz tego podciągu zapisujemy jako x n k.
20 20 Jacek M. Jędrzejewski Inaczej mówiąc, ciąg (y k ) k=1 jest podciągiem ciągu (x n) n=1, jeśli istnieje rosnący ciąg (n k) k=1 liczb naturalnych taki, że y k = x nk. Lemat 2.1. Jeśli (n k ) k=1 jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to n k k dla każdego k N. 2. Ogólne własności ciągów zbieżnych Definicja 2.1. Ciąg (a n ) n=1 nazywamy zbieżnym do liczby g, jeśli ε>0 n 0 n n 0 ( a n g < ε). Mówimy wtedy również, że g jest granicą ciągu (a n ) n=1, co oznaczamy symbolicznie a n g, lub lim n a n = g. Definicję tę można wyrazić dość prosto posługując się terminami otoczeń i zwrotu prawie wszystkie. Mówiąc, że prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają jakiś warunek, mamy na uwadze, że poza skończoną liczbą wyrazów danego ciągu wszystkie pozostałe spełniają ten warunek. Otóż, ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w tym otoczeniu. Definicja 2.2. Będziemy mówili, że ciąg (a n ) n=1 ε>0 n 0 n n 0 m n 0 ( a n a m < ε). Własność 2.1. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Własność 2.2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Własność 2.3. Każdy ciąg stały jest zbieżny. spełnia warunek Cauchy ego, jeśli Własność 2.4. Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Własność 2.5. Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy ego. 3. Własności rachunkowe ciągów zbieżnych Własność 2.6. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 i a n a, b n b, to a b. n 0 n n 0 (a n b n ) spełniają warunek:
21 Notatki z analizy 21 Twierdzenie 2.1. (Twierdzenie o trzech ciągach) Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 do wspólnej granicy g oraz ciąg (c n ) n=1 spełnia warunek n 0 N n n 0 (a n c n b n ), są zbieżne to ciąg (c n ) n=1 jest zbieżny do liczby g. Twierdzenie 2.2. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są zbieżne, to ciągi (a n + b n ) n=1, (a n b n ) n=1 i (a n b n ) n=1 też są zbieżne i lim (a n + b n ) = lim n n a n + n lim b n, lim (a n b n ) = lim n n a n n lim b n, lim (a n b n ) = lim n n a n n lim b n. Twierdzenie 2.3. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby różnej od zera i wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera, to ciąg ( ) 1 a n jest zbieżny i n=1 ( ) 1 1 lim = n an lim n (a n ). Z ostatnich dwóch własności wynika teraz: Wniosek 2.1. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są zbieżne, przy czym ciąg (b n) n=1 ma granicę różną od zera i wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera, to ciąg ( ) a n bn jest zbieżny i n=1 a n lim = lim n a n. n b n lim n b n Definicja 2.3. Liczbę g R nazywamy punktem skupienia ciągu (a n ) n=1, jeśli dla każdej liczby ε > 0 i dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k n > n taka, że g ε < a kn < g + ε. Łatwo zauważamy, że liczba g jest punktem skupienia ciągu (a n ) n=1 gdy istnieje podciąg ciągu (a n ) n=1 zbieżny do g. wtedy i tylko wtedy, 4. Dalsze własności ciągów zbieżnych Warto tu podać definicję punktu skupienia zbioru. Między pojęciami punktu skupienia ciągu i punktu skupienia zbioru wyrazów danego ciągu istnieje ważna różnica, o której należy tu wspomnieć. Definicja 2.4. Punkt x R nazywamy punktem skupienia zbioru E R, jeśli istnieje ciąg (x n ) n=1 elementów zbioru E zbieżny do x i taki, że x n x dla każdej liczby n N. Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru E oznaczamy symbolem E d.
22 22 Jacek M. Jędrzejewski Punkt skupienia ciągu nie musi być punktem skupienia zbioru wartości tego samego ciągu. Rozważając ciąg (x n ) n=1, dla którego x n = ( 1) n, dla n N, stwierdzamy, że zbiorem wyrazów tego ciągu jest { 1, 1}, który nie ma żadnego punktu skupienia, natomiast każda z liczb 1, 1 jest punktem skupienia rozważanego ciągu. Jeśli jednak element x jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu (x n ) n=1, to jest on też punktem skupienia tego ciągu. Własność 2.7. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Definicja 2.5. Ciąg przedziałów ([a n, b n ]) n=1 n N ([a n+1, b n+1 ] [a n, b n ]), nazywamy zstępującym, jeśli Twierdzenie 2.4. (Ascoli) Jeśli ciąg niepustych przedziałów domkniętych ([a n, b n ]) n=1 jest zstępujący, to istnieje liczba d taka, że d [a n, b n ]. n=1 Twierdzenie 2.5. (Bolzano, Weierstrass) Każdy ciąg ograniczony ma punkt skupienia. Z dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika, że istnieją najmniejszy i największy punkt skupienia ciągu ograniczonego. Największy punkt skupienia ciągu (a n ) n=1 nazywamy granicą górną ciągu (a n) n=1 i oznaczamy symbolem lub lim sup a n n lim n a n. Najmniejszy punkt skupienia ciągu (a n ) n=1 nazywamy granicą dolną ciągu (a n) n=1 i oznaczamy symbolem lub lim inf n a n lim n a n. Zauważmy, że jeśli g = lim sup n a n, to dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna n 0 taka, że a n < g + ε gdy n n 0.
23 Notatki z analizy 23 Podobnie, jeśli g = lim inf n a n, to dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna n 0 taka, że g ε < a n gdy n n 0. Lemat 2.2. Każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony. Lemat 2.3. Ciąg spełniający warunek Cauchy ego i posiadający podciąg zbieżny jest zbieżny. Twierdzenie 2.6. (Cauchy) Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy ego. 5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności Ciągi rozbieżne do plus lub minus nieskończoności stanowią uzupełnienie teorii granic ciągów. Poznamy teraz niezbędne w tym celu definicje. Ciąg (a n ) n=1 nazywamy rozbieżnym do nieskończoności, jeśli Piszemy wtedy ε R n 0 N n n 0 (a n > ε). Ciąg (a n ) n=1 lim a n =. n nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności, jeśli ε R n 0 N n n 0 (a n < ε). Piszemy wtedy lim a n =. n Odnotujmy teraz łatwe do udowodnienia własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności (minus nieskończoności) w połączeniu z ciągami zbieżnymi. Twierdzenie 2.7. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są rozbieżne do, to ciąg (a n + b n ) n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są rozbieżne do, to również ciąg (a n + b n ) n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności. Twierdzenie 2.8. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są rozbieżne do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności. Jeśli ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 są rozbieżne do, to iloczyn tych ciągów (a n b n ) n=1 jest rozbieżny do nieskończoności. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest rozbieżny do i (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest też rozbieżny do minus nieskończoności.
24 24 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie 2.9. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny oraz ciąg (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n + b n ) n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny oraz (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n + b n ) n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby dodatniej oraz ciąg (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest też rozbieżny do nieskończoności. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby dodatniej oraz (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby ujemnej oraz ciąg (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest rozbieżny do minus nieskończoności. Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do liczby ujemnej oraz (b n) n=1 jest rozbieżny do, to ciąg (a n b n ) n=1 jest rozbieżny do nieskończoności. Powyższe twierdzenia przedstawimy w postaci wzorów rachunkowych na granicach. lim a n = a lim n n b n = = n lim (a n + b n ) =, lim a n = a lim b n = = lim (a n + b n ) =, n n n lim a n = lim b n = = lim (a n b n ) =, n n n lim a n = lim b n = = lim (a n b n ) =, n n n lim a n = lim b n = = lim (a n b n ) =, n n n lim a n = a a < 0 lim b n = = lim (a n b n ) =, n n n lim a n = a a < 0 lim b n = = lim (a n b n ) =. n n n Dla granic o symbolach 0,, 0 0,, 1, 0 0 nie ma ścisłych reguł. Symbole te nazywamy symbolami nieoznaczonymi i obliczanie granic tych typów jest możliwe, ale należy stosować inne metody. liczb różnych od zera jest rozbieżny do nieskończo- Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) n=1 ności, to ciąg 1 a n jest zbieżny do zera. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) n=1 liczb różnych od zera jest rozbieżny do minus nieskończoności, to ciąg 1 a n jest zbieżny do zera. Twierdzenie Jeśli (a n ) n=1 jest zbieżny do nieskończoności. Twierdzenie Jeśli (a n ) n=1 jest zbieżny do nieskończoności. jest ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera, to ciąg 1 a n jest zbieżnym do zera ciągiem liczb ujemnych, to ciąg 1 a n
25 Notatki z analizy 25 Do zbioru liczb rzeczywistych dołączmy teraz dwa symbole i. Zbiór R = R {, } nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych. Przyjmujemy dodatkowo następujące reguły dotyczące porządku i działań na liczbach rzeczywistych uzupełnionych tymi symbolami. + =, ( ) =, + ( ) =, ( ) =, =, ( ) ( ) =, ( ) =, ( ) =, a R (a + = + a = ), a R (a + ( ) = ( ) + a = ), a (0, ) (a = a = ), a (0, ) (a ( ) = ( ) a = ), a (,0) (a = a = ), a (,0) (a ( ) = ( ) a = ). 6. Granice niektórych ciągów Odnotujmy kilka granic ciągów zbieżnych, których granice mają istotne znaczenie w obliczaniu granic wielu innych ciągów. lim n lim n = n 1 lim n n = 0 n a = 1 gdy a > 0 lim n n n = 1 ( 1 + n) 1 n = e lim n
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoWykład z Analizy Matematycznej 1 i 2
Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej
Bardziej szczegółowoUniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.
Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści Część I. Analiza Matematyczna
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski
ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/14 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo