Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
|
|
- Mirosław Zych
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy zakładać, że dla dowolnego a potrafimy rozstrzygnać czy a A czy a / A. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
2 Zbiory Zbiór możemy określić na następujace sposoby: Wyliczajac wszystkie elementy. A = {a, b, c, d} Podajac precyzyjny przepis na generowanie kolejnych elementów. B = {2, 4, 6,...} Stosujac postać {a : P(a)}, gdzie P(a) jest predykatem jednoargumentowym w określonej interpretacji. C = {n : (n N) (n dzieli się przez 3)} Podajac precyzyjna nazwę zbioru. A = Zbiór laureatów nagrody Nobla
3 Zbiory Zbiory A i B sa równe jeżeli maja takie same elementy. A = B x (x A x B) W określaniu zbioru nie ma znaczenia kolejność elementów. Np: Również {a, b, c} = {b, a, c} {a, a, b, c} = {a, b, c} zatem w określeniu zbioru usuwamy powtarzajace się elementy.
4 Zbiory Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, co oznaczamy jako A B, jeżeli każdy element należacy do A należy również do B. A B x (x A x B) {a, b, c} {a, c, b, d, e}. {Sienkiewicz, Einstein} Zbiór laureatów nagrody Nobla Zbiorem potęgowym zbioru A nazywamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A. Zbiór potęgowy oznaczamy symbolem 2 A. 2 {a,b,c} = {,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} Jeżeli A zawiera n elementów, to 2 A zawiera 2 n elementów.
5 Zbiory - ćwiczenie Uzasadnij, że: 1 A dla każdego A. 2 A 2 A dla każdego A. 3 A = B ((A B) (B A)) dla dowolnych A i B. 4 Nie jest prawda, że {a} {{a},{a, b}}. 5 Nie jest prawda, że A 2 A.
6 Wprowadzamy następujace operacje na zbiorach: A B = {a : a A a B} [suma] A B = {a : a A a B} [iloczyn] A\B = {a : a A a / B} [różnica] A B = (A B)\(A B) [różnica symetryczna] A = U \ A [dopełnienie] gdzie U jest pewnym zbiorem, zwanym uniwersum.
7 Diagramy Venna
8 Przykład: U = {0, 1, 2, 3,...} A = {2, 4, 6, 8,...} B = {1, 2, 3, 4, 5} Zachodzi: A B = {2, 4} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12,...} A\B = {6, 8, 10,...} B \ A = {1, 3, 5} A = {1, 3, 5, 7,...}
9 Prawa algebry zbiorów można udowodnić korzystajac z praw logiki. Udowodnić prawo: A (B \ C) = (A B)\(A C) x (A B)\(A C) x (A B) x / (A C) (x A x B) (x A x C) (x A x B) (x / A x / C) (x A x B x / A) (x A x B x / C) x A (x B x / C) x A x B \ C x A (B \ C) Ćwiczenie - udowodnij powyższe prawo wykorzystujac diagramy Venna.
10 Udowodnić prawo: ((A B) (B C)) (A C) Oznaczamy: p - x A q - x B r - x C Tłumaczymy prawo na język logiki: ((p q) (q r)) (p r) I dowodzimy (dowolna metoda), że powyższa formuła jest tautologia.
11 Wybrane prawa algebry zbiorów: T1. (A B) = (B A) T2. (A B) = (B A) T3. A (B C) = (A B) C T4. A (B C) = (A B) C T5. A (B C) = (A B) (A C) T6. A (B C) = (A B) (A C) T7. A = A T8. A = T9. (A B) = A B T10. (A B) = A B
12 Sylogistyka Sylogistyka jest działem logiki badajacym zdania typu: każde S jest P, niektóre S sa P, żadne S nie jest P, niektóre S nie sa P, gdzie S i P sa pewnymi predykatami jednoargumentowymi. Jeżeli ustalimy uniwersum U, to możemy utożsamić predykaty P(x) i Q(x) z podzbiorami A = {x : P(x)} i B = {x : Q(x)} w U. Wówczas: każde S jest P: A B (równoważnie A B = ) niektóre S sa P: A B żadne S nie jest P: A B = niektóre S nie sa P: A B
13 Sylogistyka Szary obszar oznacza zbiór pusty a krzyżyk oznacza zbiór niepusty.
14 Sylogistyka Żaden rozumny człowiek nie jest nacjonalista. Niektórzy politycy sa nacjonalistami. Zatem niektórzy politycy nie sa ludźmi rozumnymi. U - zbiór ludzi R - zbiór ludzi rozumnych N - zbiór nacjonalistów P - zbiór polityków. (R N = P N ) (P R )
15 Sylogistyka Rysujemy założenia na diagramie Venna. Otrzymujemy od razu tezę P R. Nie można narysować założeń w ten sposób aby nie spełnić tezy!
16 Sylogistyka Żaden humanista nie jest racjonalista. Pewni matematycy nie sa humanistami. Zatem pewni matematycy sa racjonalistami. U - zbiór ludzi H - zbiór humanistów R - zbiór racjonalistów M - zbiór matematyków (H R = M H ) (M R )
17 Sylogistyka Można narysować założenie tak aby teza nie była spełniona. Rozumowanie jest więc niepoprawne.
18 Iloczyn kartezjański zbiorów Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporzadkowanych, których pierwszy element należy do A a drugi do B: A B = {< x, y >: x A y B}
19 Iloczyn kartezjański zbiorów Przykład: A = {1, 2, 3, 4} B = {a, b, c} A B = < 1, a >,< 1, b >,< 1, c >, < 2, a >,< 2, b >,< 2, c >, < 3, a >,< 3, b >,< 3, c >, < 4, a >,< 4, b >,< 4, c >
20 Iloczyn kartezjański zbiorów A = [2, 4] B = [5, 8]
21 Iloczyn kartezjański zbiorów Iloczyn Kartezjański nie jest przemienny ani łaczny, tj. w ogólnym przypadku: A B B A (A B) C A (B C) Iloczyn Kartezjański jest rozdzielny względem sumy, różnicy i iloczynu zbiorów, tj. (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) (A\B) C = (A C)\(B C)
22 Iloczyn kartezjański zbiorów Dowód dla sumy: < x, y > (A B) C x (A B) y C (x A x B) y C (x A y C) (x B y C) < x, y > A C < x, y > B C < x, y > (A C) (B C) Dowód pozostałych dwóch praw na ćwiczeniach.
23 Relacje Relacja dwuczłonowa nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B. Zatem R A B. Jeżeli < x, y > R to mówimy, że x i y sa w relacji R. Piszemy również xry. Przykład: A - zbiór kobiet. B - zbiór mężczyzn. R = {< x, y > A B : x jest żona y} lub równoważnie xry x jest żona y.
24 Relacje Relacja w zbiorze A nazywamy podzbiór A A. Przykład: R - zbiór liczb rzeczywistych. R 1 = {< x, y > R R : x > y} (relacja większości) R 2 = {< x, y > R R : y = x 2 } Przedstaw graficznie powyższe relacje.
25 Funkcje Funkcja ze zbioru A w zbiór B nazywamy relację F A B spełniajac a następujace dwa warunki: 1 x y < x, y > F 2 x y z ((< x, y > F < x, z > F) (y = z)) Relacja jest więc funkcja jeżeli dla każdego x A istnieje dokładnie jeden y B taki, że < x, y > F. Możemy więc napisać y = F(x) zamiast < x, y > F.
26 Funkcje Które z ponizszych relacji sa funkcjami? 1 R 1 = {< x, y > R R : x > y} 2 R 2 = {< x, y > R R : x + y = 0} 3 A- zbiór żonatych mężczyzn, B- zbiór kobiet, R 3 = {< x, y > A B : x jest mężem y} 4 A- zbiór studentów, B- zbiór przedmiotów, R 4 = {< x, y > A B : x uczęszcza na y}
27 Rodzaje relacji Relacja R w zbiorze A jest zwrotna jeżeli x xrx Relacja R w zbiorze A jest przeciwzwrotna jeżeli x xrx Relacja R w zbiorze A jest spójna jeżeli x y (xry yrx x = y)
28 Rodzaje relacji Relacja R w zbiorze A jest symetryczna jeżeli x y (xry yrx) Relacja R w zbiorze A jest przeciwsymetryczna jeżeli x y (xry (yrx)) Relacja R w zbiorze A jest antysymetryczna jeżeli x y ((xry yrx) (x = y))
29 Rodzaje relacji Relacja R w zbiorze A jest przechodnia jeżeli x y z ((xry yrz) xrz)
30 Diagram relacji Relację w zbiorze skończonym A można przedstawić graficznie. A = {1, 2, 3, 4} R = {< 1, 1 >,< 1, 2 >,< 2, 3 >,< 2, 4 >,< 4, 3 >} Jaka własność posiada wykres relacji będacej funkcja? Jaka własność posiada wykres relacji dla każdego z rodzajów relacji?
31 Rodzaje relacji Określ jakie własności posiadaja następujace relacje: 1 A = {0, 1, 2, 3} i mrn m n jest podzielne przez 2. 2 N = {1, 2, 3, 4,...} i mrn m dzieli n. 3 A - zbiór ludzi i arb a jest bratem lub siostra b.
32 Rodzaje relacji Relacja R jest relacja równoważności w zbiorze A jeżeli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przykłady: Zbiór liczb rzeczywistych R i zwykła relacja równości. Zbiór liczb naturalnych N i relacja mrm m, n daja taka sama resztę z dzielenia przez 3 Zbiór prostych na płaszczyźnie i relacja: arb a jest równoległa do b
33 Rodzaje relacji Relacja R jest relacja porzadkuj ac a w zbiorze A jeżeli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Przykłady: Zbiór liczb rzeczywistych R i relacja. Zbiór wektorów x = [x 1,...,x n ] R n i relacja xry x i y i dla każdego i = 1,...,n Niepusta rodzina zbiorów A. ARB A B
34 Rodzaje relacji Relacja porzadkuj aca R jest relacja liniowego porzadku w zbiorze A jeżeli dodatkowo jest spójna. Relacja taka całkowicie porzadkuje zbiór A. Przykład: Zbiór liczb rzeczywistych R i relacja.
Relacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE
RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:
1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 3. Relacje i funkcje
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoIVa. Relacje - abstrakcyjne własności
IVa. Relacje - abstrakcyjne własności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny wiva. Krakowie) Relacje - abstrakcyjne własności 1 / 22 1 Zwrotność
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości 1 Elementy teorii mnogości Część I Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości 2 1. Pojęcia
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowo1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
1 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 2 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach w sensie dystrybutywnym; rachunek zbiorów jest fragmentem teorii mnogości. Pojęcia
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoAlgebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/10 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoRelacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Bardziej szczegółowoElementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoRozdział 7 Relacje równoważności
Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoNaukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Bardziej szczegółowo0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań (kpn) Zadania...
DB Wstęp do matematyki (ns) semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM,
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowo0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4
DB Wstęp do matematyki semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoLogika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji
Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna w informatyce
Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoElementy rachunku zdań i algebry zbiorów
Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 R.L.Graham, D.E.Knuth,
Bardziej szczegółowo