Masa centralna a krzywa rotacji dysków akrecyjnych w układach samograwitujących

Transkrypt

1 Masa centalna a kywa otacji dysków akecyjnych w układach samogawitujących

2

3 Masa centalna a kywa otacji dysków akecyjnych w układach samogawitujących Michał Pióg Instytut Fiyki im. Maiana Smoluchowskiego Uniwesytet Jagielloński ROZPRAWA DOKTORSKA Kaków, 25

4

5 Spis teści Podiękowania Wstęp Zadania opawy Stescenie Objaśnienia Rodiał. Układy newtonowskie Konstukcja modeli dysków newtonowskich Pawo otacji Opis układu Wyniki analitycne Ogólne oważania Kywa otacji, a masa układu wyniki analitycne dla seii scególnych pypadków Konstukcja newtonowskich modeli numeycnych, skalowanie Opis poceduy numeycnej Wyniki Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN Sacowanie mas obiektów astonomicnych na pykładie NGC Newtonowskie układy dyskowe wnioski Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Konstukcja modeli dysków post-newtonowskich Opis w układie katejańskim Opis w układie cylindycnym waunki osiowej symetii Wyniki analitycne waunek całkowalności Konstukcja post-newtonowskich modeli numeycnych, skalowanie Opis poceduy numeycnej Wyniki Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN Post-newtonowskie układy dyskowe wnioski Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne Popawki do pędkości wynikające OTW Popawki PN dla podstawowych paametów Pypadek piewsy Pypadek dugi Pypadek teci Wnioski Zakońcenie Dodatek A Dodatek B

6 4 Spis teści Bibliogafia

7 Podiękowania Pagnę sedecnie podiękować mojemu naukowemu opiekunowi i pomotoowi pacy doktoskiej pofesoowi Edwadowi Malcowi a poświęcony cas i pomoc otymaną w casie pisania opawy oa w casie twania moich studiów doktoanckich. Jednoceśnie diękuję pomotoowi pomocnicemu mojej pacy doktoskiej doktoowi Patykowi Machowi a jego aangażowanie, poświęcony cas oa cenne uwagi dotycące ostatecnego kstałtu tekstu. Diękuję cłonkom i współpacownikom Zakładu Teoii Wględności i Astofiyki oa społecności skupionej wokół Zespołu Zakładów Fiyki Teoetycnej Instytutu Fiyki Uniwesytetu Jagiellońskiego a wselką pomoc oa wspaniałą atmosfeę towaysącą codiennej pacy badawcej. Na koniec chciałbym podiękować moim najbliżsym naeconej Aleksande, Rodicom oa Batu a ich wspacie, be któego nie nalałbym się disiaj w miejscu w któym się najduję.

8

9 Wstęp Zadania opawy Celem niniejsej pacy jest pedstawienie wyników badań dotycących otacji newtonowskich i post-newtonowskich (w sensie Ogólnej Teoii Wględności) układów dyskowych. Zwaca się uwagę na intepetację pojęcia kepleowskiej otacji w teoii newtonowskiej, post-newtonowskiej oa ogólnoelatywistycnej. W piewsej, newtonowskiej i w dugiej, post-newtonowskiej cęści pacy wyniki peentowane są według jednego schematu. Na pocątku najdują się analitycne achunki powadące do ównań deteminujących układ, następnie amiescony jest opis metody numeycnej, po któym peentowane i dyskutowane są wyniki pepowadonych symulacji oa akes ich stosowalności. Do pedstawienia nacnej cęści agadnień klasycnej astonomii i mechaniki niebieskiej w upełności wystaca model centalnej masy i ciał otujących wokół niej pod wpływem newtonowskiej gawitacji. Za motywację niniejsej pacy można unać chęć usystematyowania wiedy na temat stosowalności óżnych podejść do badań kepleowskich dysków, tj. takich, któych pędkość kątowa Ω jest funkcją odległości od osi obotu postaci Ω = const/ 3/2. Zależność ta ostała wybana e wględu na jej cęstość występowania w obsewowanych układach astonomicnych. W liteatue najdują się aówno pace uwględniające jedynie centalną masę i analiujące otację dysku będącego wyłącnie pod jej wpływem [2] jak i takie, w któych chaakte otacji deteminowany jest pe centalną masę oa ciężki dysk [3]. Istnieją ównież pace, w któych odiela się oba składniki, np. [4], gdie pędkość otacji mateii pyłowej w danej odległości od centum awiea jedynie infomację na temat mateii najdującej się wewnąt. W pacy [5], powstałej moim udiałem, pedstawione jest oumowanie pokaujące, jak należy podchodić do kepleowskiej otacji płynów politopowych i co można powiedieć na temat okładu mas w układie chaakteyującym się takim uchem. Istnieją ównież ogólnoelatywistycne modele dysków. W pypadku płynów testowych oważane były agadnienia uchu w ustalonej geometii casopesteni, np. [6], [7], [8], [9]. Paca [] taktowała o tym samym agadnieniu uwględniając otację casopesteni pope osadenie modelu w metyce Kea. Piewsy ogólnoelatywistycny opis awieający samogawitację pedstawiony ostał w [], [2]. Pokaano tam efekt wlecenia układu współędnych, wynikającego obecności otującego tooidalnego okładu mateii. Peanaliowano ównież pypadki stywnej otacji oa otacji e stałym momentem pędu na jednostkę masy. W pacy [3], napisanej py moim udiale, skonstuowany ostał model post-newtonowski według schematu pochodącego [4]. Paca [3] peentuje odkycie nowego efektu słabego pola gawitacyjnego antywlecenia dynamicnego. Paca [5] awiea peanaliowane pee mnie testy popawności numeycnej wykonanych obliceń.

10 8 Wstęp Stescenie Paca taktuje o samogawitujących, osiowo symetycnych, otujących wokół punktowej masy centalnej, politopowych dyskach, dla któych naucone ostało kepleowskie pawo otacji Ω = ω / 3/2, gdie ω = const. Ten typ otacji jest istotny e wględu na powsechność jego występowania w obsewowanych układach astonomicnych. Z matematycnego punktu widenia jest to tw. układ ównań Poissona-Eulea, cyli spężony układ ównań pola gawitacyjnego i i ównań hydodynamiki. Ropawa składa się dwóch cęści, analia agadnienia pepowadona jest w teoii newtonowskiej (on. PN) oa w ogólnoelatywistycnej pope post-newtonowskie (on. PN) owinięcie ównań Einsteina. Na piewsą cęść odiału składa się analia klasycnych ównań hydodynamiki. Pojawiające się wielkości temodynamicne mają tu jasną i intuicyjną intepetację fiycną. Chociaż kepleowska otacja jest chaakteystycna dla cąstki póbnej w sfeycnie symetycnym potencjale gawitacyjnym, a uwględnienie samogawitacji dysku wpływa na wypadkowy potencjał, nie mienia to jednak faktu, że układ taki może otować na sposób kepleowski. Pedstawione są analitycne achunki popate numeycnymi symulacjami udielające odpowiedi na pytanie o wpływ ciężkiego dysku na potencjał gawitacyjny i tym samym na dynamikę. Paca systematyuje tego typu układy, wyóżniając w scególności klasy, dla któych obecność dysku nie wnosi żadnych istotnych mian i uch odbywa się paktycnie w potencjale masy punktowej M. W takim wypadku ω = GM i Ω = GM/ 3/2, gdie G to stała gawitacji. Z dugiej stony okauje się, że w poostałych pypadkach stała w pawie otacji będie inna i sacowanie masy układu wpost tego pawa powadi do błędnych wyników. Duga cęść pacy odiały 2 i 3 to analia poblemu w teoii elatywistycnej, gdie opis pepowadony ostał pope owinięcie ównań pola oa ównań hydodynamiki do piewsego ędu post-newtonowskiego. W takim sfomułowaniu dana wielkość fiycna ξ jest sumą cęści newtonowskiej ξ oa jej oseenia post-newtonowskiego ξ (o ile istnieje), co apisuje się następująco: ξ = ξ +ξ /c 2, gdie c jest pędkością światła w póżni. W scególności pędkość otacji płynu w tym modelu jest sumą cęści newtonowskiej oa post-newtonowskiej. Ta ostatnia wnosi istotne miany do pełnego pofilu pędkości spawiając, że pędkość nie jest już dłużej funkcją jedynie odległości od osi obotu, ale w ogólności ależy od geometii samego dysku oa geometii casopesteni. Obok intuicyjnie oumianych i ocekiwanych efektów wiąanych uwględnieniem elatywistycnych popawek, pojawił się jakościowo óżny, upełnie nowy efekt mniejsający pędkość kątową, będący funkcją newtonowskiego pofilu pędkości oa gęstości. Dla takiego modelu istnieje ganica c, py pejściu do któej odyskuje się klasycne, nane ównania newtonowskiej hydodynamiki. Dodatki A i B amiescone na końcu pacy taktują o technicnej stonie numeycnego owiąywania skalanych i wektoowych ównań typu Poissona w sfeycnej i osiowej symetii. Paca peentuje nie tylko analitycne podejście do agadnienia otacji dyskutowanych układów. Numeycnie peanaliowane ostało seokie spektum óżnych (w sensie jakościowym) modeli. Roważane są pypadki dysków o óżnej masie w stosunku do punktowej masy centalnej. W każdym tych pypadków bane są pod uwagę óżne omiay liniowe dysków pocąwsy od ociągających się niemalże od centalnej masy na bado duże odległości, skońcywsy na nacnie oddalonych od niej tooidalnych okładach mateii. Symulacje ostały pepowadone dla óżnych wykładników politopy γ, a popawność obliceń numeycnych spawdona pope odpowiednio dobane elacje wiialne. Otymane wyniki dla modelu newtonowskiego pokaują, że ciężkie dyski, któych masa jest poównywalna, bądź więksa od masy centalnej mogą otować godnie kepleowskim pawem otacji. Na ich podstawie wnioskuje się, że cęstość otacji takich układów wiąana jest okładem mateii dyskowej, a akes jej watości okeślony jest pe funkcję dwóch

11 Objaśnienia 9 paametów, jakimi są masa centalna oa masa dysku. Wyniki analiy post-newtonowskiej ujawniają kompletnie inny pofil pędkości kątowej py uwględnieniu popawek PN. Pedstawiony w pacy waunek całkowalności post-newtonowskiego ównania Eulea powala wylicyć wspomnianą popawkę. Okauje się, że nie jest już ona jedynie funkcją odległości od osi obotu, ale ależy ównież od odległości od płascyny symetii. Składa się ona tech gup wyażeń posiadających konketne intepetacje fiycne i jest konsekwencją uwględnienia innego elatywistycnego efektu. Dalsa analia pokauje, że wspomniane składniki mają óżne naki i w pewnym stopniu nosą się nawajem osłabiając sumaycny efekt. W scególności, koncepcyjnie nowy, nieoponany w żadnym dotychcasowym opisie tego typu poblemów efekt hamowania (tw. dynamicne antywlecenie) peciwdiała pyspiesającemu efektowi intepetowanemu jako pejaw elatywistycnego wlecenia układu współędnych. Paca awiea dyskusję wsystkich efektów oa peentuje ich wajemne elacje w ależności od paametów układu. Objaśnienia Używane układy współędnych:. Układ katejański (x, y, ). 2. Układ cylindycny (, φ, ). 3. Układ sfeycny (R, θ, φ). Uwagi:. Indeksy geckie µ, ν itd. pebiegają watości,, 2, Indeksy łacińskie i, j, itd. pebiegają watości, 2, Sygnatua tensoa metycnego to (, +, +, +). 4. Wielkości któe tego wymagały ostały odielone na cęść newtonowską i post-newtonowską popawkę według schematu ξ = ξ + c 2 ξ. Wyka onaceń pojawiających się w pacy:. G = stała gawitacji 2. = opeato gadientu 3. = opeato dywegencji 4. = = opeato Laplace a 5. µ = opeato pochodnej kowaiantnej 6. Ω = pędkość kątowa 7. ω = stała popocjonalności w pawie otacji 8. p = ciśnienie 9. ρ = okład gęstości mateii w układie. ϱ = gęstość baionowa mateii dyskowej. ϱ max = maksymalna gęstość baionowa w pofilu dysku 2. ϱ tol = paamet toleancji kontolujący bieżność metody numeycnej 3. K = stała popocjonalności w ównaniu stanu 4. γ = wykładnik adiabatycny w ównaniu stanu 5. c = pędkość światła w póżni 6. x = tójwymiaowy wekto wodący 7. v = wekto pędkości liniowej 8. U = potencjał gawitacyjny 9. U d = potencjał gawitacyjny geneowany pe dysk

12 Wstęp 2. M c = punktowa masa centalna 2. M d = newtonowska masa dysku 22. M PN = post-newtonowska masa dysku 23. δ = dystybucja delta Diaca 24. h = entalpia właściwa 25. in = pomień wewnętny dysku 26. out = pomień ewnętny dysku 27. L = licba użytych wielomianów Legende a w owinięciu kątowym funkcji Geena 28. H = wględna gubość dysku 29. M = masa Słońca 3. R = skala Ricciego 3. R µν = tenso Ricciego 32. T µν = tenso enegii-pędu-napięć 33. A = wektoowy potencjał otacyjny 34. u µ = cteopędkość 35. g = wynacnik tensoa metycnego 36. e = gęstość enegii właściwej 37. j = elatywistycny moment pędu Podstawowe pojęcia:. Kywa otacji ależność pędkości kątowej Ω elementu mateii od odległości od osi obotu. 2. Rotacja kepleowska ależność pędkości kątowej Ω elementu mateii od odległości od osi obotu, postaci Ω = ω / 3/2. 3. Rotacja ściśle kepleowska chaakteystycna dla cąstki póbnej, obitującej po kołowej obicie w sfeycnie-symetycnym potencjale ciała o masie M c ależność pędkości kątowej Ω od odległości od osi obotu, postaci Ω = GM c / 3/2. 4. Układ politopowy układ łożony mateii spełniającej ównania stanu postaci p = Kϱ γ.

13 Rodiał Układy newtonowskie.. Konstukcja modeli dysków newtonowskich... Pawo otacji Każdy klasycny układ astonomicny dający się opisać stacjonanym potencjałem gawitacyjnym U(x) wa waunkami pocątkowymi v (x) definiuje wektoowe pole pędkości v(u(x)) jaką pousać się będie umiescona w nim cąstka póbna. Po nauceniu waunku osiowej symetii w układie cylindycnym (, φ, ) pole pędkości nie ależy od miennej kątowej v : v(, ). Pojęcie kywej otacji definiuje się jako funkcję pędkości kątowej od odległości elementu mateii od osi obotu, Ω: Ω(). Spośód wsystkich możliwych kywych otacji, w pacy tej podjęte ostały badania układów chaakteyujących się scególnym pypadkiem postaci Ω = ω 3/2, (.) gdie ω = const. Sama ależność jest okeślana jako otacja kepleowska i swoją nawę awdięca analogii do paw uchu planet Keplea. Istotnie, pawa mechaniki nieba sfomułowane w układie współędnych sfeycnych (R, θ, φ) mówią, że w sfeycnie symetycnym potencjale ciała o masie M uch po okęgu o pomieniu R odbywa się w ustalonej płascyźnie e stałą pędkością kątową Ω = GM R 3/2, (.2) gdie G to stała gawitacji. Ten scególny pypadek w pacy naywać się będie ściśle kepleowskim pawem otacji. W astonomii obsewacyjnej mieona kywa otacji stanowi punkt wyjścia do posukiwań okładu mateii geneującego potencjał, któego odwieciedleniem jest obsewowana dynamika. Pewidywania płynące tych posukiwań budą spoo emocji wśód badacy kywych otacji galaktyk i wielkoskalowych stuktu we Wsechświecie. Dieje się tak dlatego, że istnieje wiele układów posiadających kywe otacji nie dające się wyjaśnić żadnym typowym okładem mateii. Histoycnie dopowadiło to do powstania nowych, kontowesyjnych pomysłów na wytłumacenie takiego stanu ecy. Tego typu tudności pekładają się ównież na niepowodenia w póbach sacowania mas obiektów astonomicnych. Pedstawione w pacy oumowanie oganica się jedynie do kepleowskich kywych otacji. Roważa się mianowicie jedynie takie okłady mateii, któe mogą geneować wypadkowy potencjał, pecyyjnie taki, że uch będie kepleowski. Należy wócić uwagę, że tego typu modele są nieodpowiednie do analiy obiektów takich jak galaktyki. Wśód astosowań wymienić należy acej dyski akecyjne wokół watych obiektów. Wybó pawa otacji ostał podyktowany kwestią paktycną bado wiele obiektów astonomicnych otuje godnie pyjętą tu elacją (.).

14 2 Rodiał. Układy newtonowskie..2. Opis układu Newtonowski układ jest całkowicie opisany pe dwa pola skalane: potencjał gawitacyjny U(x) oa okład gęstości mateii ρ(x). Równaniami, któe je adają są ównanie pola gawitacyjnego oa ównanie Eulea []: U = 4πGρ, v t + p + (v )v + U =. ρ (.3b) (.3a) Roważa się pypadek stacjonany, gdie t v =. Rokład mateii ρ(x) można adać w postaci sumy ρ(x) = M c δ (3) (x) + ϱ(x), gdie piewsy składnik opisuje centalną masę punktową, dugi okład mateii dyskowej. Równania powyżse pyjmują postać p ϱ + (v )v + U =. (.4b) U = 4πG ( M c δ (3) (x) + ϱ ), (.4a) Piewse nich, jako ównanie liniowe, można podielić na dwie cęści i apisać owiąanie U = GM c x + U d, (.5) gdie potencjał U d wiąany mateią dyskową jest owiąaniem ównania Poissona: U d = 4πGϱ. (.6) Do owiąania dugiego ównań potebny jest seeg ałożeń modelowych. Zakłada się atem ioentopowość oa wybiea ównanie stanu. Spośód elacji baotopowych postaci p = p(ϱ) pod uwagę ostały więte jedynie ównania politopowe p = Kϱ γ. (.7) Dla każdej miennej ξ opisującej model, akłada się symetię osiową ξ : ξ(, ) oa symetię ównikową ξ(, ) = ξ(, ). Z ałożeń tych wnioskuje się, że v = (, Ω(, ), ), co powala apisać ównanie (.3b) jak następuje p ϱ = U + Ω(, )2, p ϱ = U. (.8a) (.8b) Różnickując tea piewse ównań po miennej wetykalnej, dugie po miennej adialnej oa dodając stonami dostaje się waunek Ω(, ) = Ω = Ω(), co onaca, że pędkość kątowa jest funkcją jedynie odległości od osi obotu, nie ależy natomiast od odległości od płascyny ównikowej. Jest to teścią twiedenia Poincaé-Wave a [6]. Wescie ałożenie pawa otacji Ω = ω, (.9) 3/2 gdie ω to stała, powala na scałkowanie ównania Eulea i apisanie go w fomie h + U + U c = C. (.)

15 .2. Wyniki analitycne 3 Powyżej h onaca entalpię właściwą, dh := dp ϱ, U c jest potencjałem odśodkowym U c = d Ω 2 = ω2. (.) Po uwględnieniu ałożeń modelowych, cyli stacjonaności, osiowej i ównikowej symetii, ównania stanu i pawa otacji, newtonowski układ jest całkowicie deteminowany pe dwa pola skalane: potencjał gawitacyjny U(x) oa gęstość ϱ(x), a ównaniami któe je adają są ównanie pola gawitacyjnego oa ównanie Benoulliego (.). Jest to następujący układ ównań algebaicnych U = GM c x h + U + U c = C. + U d, (.2a) (.2b) Należy wócić uwagę, że w poblemie tym nie ma okeślonych waunków begowych. Rokład gęstości będący owiąaniem powyżsego układu jest jednonacnie okeślony i jednonacnie okeślona jest ównież powiechnia S spełniająca waunek ϱ(, ) =. Powiechnia taka, na ewnąt któej ϱ(, ) intepetowana jest jako beg dysku. W odiale.4 opisana jest pocedua, któa powadi do otymania pofilu gęstości spełniającego powyżsy układ ównań, gdie nie adaje się waunków begowych py cym są one jednonacnie adane w owiąaniu. Tego typu podejście nosi nawę agadnienia e swobodnym begiem. Opis powadony jest w cylindycnym układie współędnych. W śodku adaje się punktową masę M c, wokół któej oważany jest osiowo symetycny okład politopowego płynu o symetii odbicia wględem płascyny =. Pędkość kątowa płynu jest adana woem (.) i w cylindycnym układie współędnych jest co do watości ówna aymutalnej składowej wektoa pędkości liniowej v = (,, Ω φ ) lub ównoważnie v = Ωê φ, gdie ê φ to jednostkowy wekto o kieunku aymutalnym. Pofil taki schaakteyowany jest abitalnie wybanymi paametami ρ max, in i out onacającym odpowiednio maksymalną watość gęstości oa wewnętny i ewnętny pomień dysku w jego płascyźnie ównikowej. Ostatnim swobodnym paametem jest wykładnik γ w ównaniu stanu. Taki dobó paametów w połąceniu ałożeniami modelowymi, w scególności kepleowskim pawem otacji deteminuje wsystkie poostałe, cyli stałą K w ównaniu stanu oa stałą całkowania C w ównaniu Benoulliego. Z punktu widenia postoty dalsego opisu, jako pesteń paametów jednonacnie adających dany układ wygodnie jest wybać: stosunek masy centalnej do masy dysku M c /M d, stosunek pomienia wewnętnego do pomienia ewnętnego in / out oa wykładnik politopy γ. Dla modelu post-newtonowskiego dodatkowym paametem jest pędkość światła c..2. Wyniki analitycne.2.. Ogólne oważania Niniejsy odiał wykoystuje wynik opublikowany wceśniej w [5]. Wylicenie współcynnika ω w kywej otacji (.9) umożliwia następująca pocedua. Do ównania (.) należy wstawić wyażenie na potencjał odśodkowy (.). Wykoystanie waunku eowania się entalpii właściwej na begach dysku, a dokładnie w punktach położonych najbliżej i najdalej od masy centalnej h( in ) = h( out ) = powala na wylicenie współcynnika w pawie otacji: ω 2 = GM c in U d ( in, = ) + in C = GM c out U d ( out, = ) + out C (.3)

16 4 Rodiał. Układy newtonowskie lub też: ω 2 = GM c + in out (U d ( out, = ) U d ( in, = )) out in. (.4) Należy wócić uwagę, że dugi składnik powyżsej sumy jest funkcją nie tylko pomienia wewnętnego dysku i okładu gęstości, ale ównież całego okładu mateii, a więc i M c. Stanie się to jasne po lektue dalsych odiałów pacy. Rokłady gęstości i potencjału, py pyjętych ałożeniach modelowych kompletnie opisują dany układ. Składa się on masy centalnej M c oa mateii dyskowej o masie M d = d 3 x ϱ. Rotacja opisana jest woem (.), gdie stała ω dana jest na podstawie (.3), (.4). W ogólnym pypadku samogawitacja dysku powoduje mianę kywej otacji wględem pypadku ściśle kepleowskiego. Badiej pecyyjnie: powoduje mianę cęstości kołowej. Ze wou (.3) widać, że nomaliowana óżnica pomiędy obiema watościami jest ówna δ 2 ( in, ϱ, M c ) = ω2 GM c GM c. (.5) Z analiy powyżsego wou wynika, że błędem jest sacowanie masy centalnej na podstawie ściśle kepleowskiego pawa otacji be najomości okładu mateii oa geometii, jedynie na podstawie pofilu pędkości. Należy podkeślić, że poa masą centalną na dynamikę układu wpływ ma ównież obecność dysku. Wielkość δ jest tutaj pewnego odaju miaą infomującą jak duży jest ten wpływ. Łącenie kepleowskiej otacji e woem (.2) w ogólności jest niepopawne i daje błędne wyobażenie o stanie układu. Z dugiej stony istnieją scególne pypadki, kiedy to wpływ dysku jest aniedbywalny, a óżnica δ jest bliska eo. W dalsej cęści pacy pedstawione ostaną wyniki numeycne świadcące o tym, że óżnica ta jest ściśle dodatnia oa ośnie wa e wostem masy dysku w stosunku do masy centalnej. Badania pokaują, że dla politopowych płynów wiąek pomiędy δ a stosunkiem M d /M c nie jest liniowy i ogólnie wyaża się pewną skomplikowaną funkcją, któej watości wylicane są numeycnie dla adanego pypadku. W pewnych scególnych konfiguacjach poblem da się owiąać analitycnie, w poostałych natomiast posługując się metodami numeycnymi można wylicyć wspomnianą óżnicę. Najbliżse pododiały awieają agumenty oa achunki, któe dadą cytelnikowi wyobażenie na temat skali mian powodowanych pe uwględnienie samogawitacji dysku. W wyniku obliceń otymuje się okład potencjału oa okład gęstości płynu politopowego otującego godnie (.). Jak już ostało podkeślone, powyżsy wybó ma uasadnienie w obsewacjach astonomicnych. Bado wiele układów astonomicnych chaakteyuje się właśnie kepleowską kywą otacji, w scególności pawie wsystkie pogwiadowe cane diuy posiadające gaowy dysk. W dalsej cęści pacy pedstawiony ostanie pypadek kepleowskiej otacji dysku wokół aktywnego jąda galaktyki (AGN). Stała ω 2 jest więksa o δ 2 od tej w ściśle kepleowskim pawie otacji. Rachunki pokaują, że δ 2, GM d. W kepleowskich układach samogawitujących politopowych dysków cęstość otacji spełnia nieówność GM c ω 2 G(M c + M d ). Na popacie tej numeycnej tey pedstawione są poniżej badania analitycne tech jakościowo óżnych układów dla ustalonego out Kywa otacji, a masa układu wyniki analitycne dla seii scególnych pypadków Pybliżenie płynu testowego. W pypadku testowego dysku o masie aniedbywalnej wględem masy centalnej dysk będie nieskońcenie cienki, będie otował ściśle kepleowsko i

17 .2. Wyniki analitycne 5 sacowania masy centalnej da się dokonać wpost e wou ω 2 = GM c. Ustalenie pomieni wewnętnego i ewnętnego dysku, in i out odpowiednio, oa pejście maksymalną gęstością dysku ϱ max do ganicy lim ϱmax ϱ implikuje eowanie się potencjału U d danego ównaniem (.6). Z ównania (.4) otymuje się ω 2 GM c i ównanie (.2b) h + GM c ( ) =. (.6) Powyżse ównanie może być spełnione jedynie gdy = i h. Onaca to, że dla pyjętych pe nas ałożeń modelowych, w teoii newtonowskiej dysk testowy musi być nieskońcenie cienki [5]. Pypadek in. Niech maksymalna watość gęstości będie óżna od ea, ϱ max oa niech dysk ma skońcone omiay. W takim pypadku potencjał gawitacyjny jest funkcją oganiconą na R 3. Innymi słowy U d ( out ) U d ( in ) ma skońconą watość, jeżeli ϱ max ma skońconą watość. Dla in ównania (.4) dąży do GM c i otacja jest ściśle kepleowska [5]. Pypadek in / out. Dla dysku o kstałcie obęcy, gdy in out, wykoystując twiedenie o tech funkcjach, można pokaać, że otacja jest ściśle kepleowska. Punktem wyjścia jest tutaj pochodąca oyginalnie [7] elacja wiialna d 3 x ϱu d d 3 x ϱ GM c + d 3 x ϱ v d 3 x p =. (.7) 2 R 3 R 3 x R 3 R 3 Uwględniając pawo otacji otymuje się ( ω d 3 x ϱu d + d 3 2 x ϱ 2 R 3 R 3 GM ) c + 3 d 3 x p =. (.8) x R 3 Zważywsy na dodatniość ciśnienia otymuje się R 3 d 3 x ϱ Uwględnienie ależności x powadi do osacowania ( ω 2 GM c ) ( ω 2 GM ) c d 3 x ϱu d. (.9) x 2 R 3 R 3 d 3 x ϱ 2 R 3 d 3 x ϱu d. (.2) Onacając tea pe U g,min minimalną watość potencjału pochodącego od dysku i najdującą się w jego obsae, to nacy tam gdie ϱ >, można napisać: i stąd ω 2 GM c out R 3 d 3 x ϱ 2 U g,min R 3 d 3 x ϱ (.2) ω 2 GM c 2 U g,min out. (.22) W ganicy in out, py ustalonej gęstości maksymalnej ϱ max masa dysku dąży do ea. Ponadto objętość dysku oa potencjał gawitacyjny geneowany pe dysk dążą do ea i otymuje się ω 2 GM c. (.23)

18 6 Rodiał. Układy newtonowskie Powołując się w dalsym ciągu na wyjściową elacje wiialną (.7) apisuje się nieówność ( ω 3 d 3 x p d 3 2 x ϱ R 3 R 3 GM ) ( c ω 2 GM ) c d 3 x ϱ. (.24) x in out R 3 Uwględniając ównanie stanu otymać można 3Kϱ γ max ω2 in GM c out. (.25) Niech max onaca punkt na ówniku, gdie gęstość osiąga maksimum. Spełnione jest wtedy ównanie Kγ γ ϱγ max + U d ( max ) + ω2 GM c = C. (.26) max max Dla ewnętnego pomienia dysku out achodi ówność U d ( out ) + ω2 out GM c out = C. (.27) Dla in out achodi max out. W takiej ganicy K =, co powadi do wniosku ω GM c. (.28) Na podstawie nieówności (.23) oa (.28) wnioskuje się, że w ganicy in out achodi GM c ω GM c (.29) cyli ω = GM c i otacja jest ściśle kepleowska. Roumowanie powyżse dla poteb niniejsej pacy ostało pepowadone py ałożeniu ównania stanu płynu politopowego. Pod dodatkowymi waunkami można je uogólnić dla sesej klasy płynów baotopowych [5]..3. Konstukcja newtonowskich modeli numeycnych, skalowanie W obliceniach numeycnych, woując się na pacach [8], [9], wpowadone ostały bewymiaowe mienne. Wykoystując maksymalną gęstość dysku ϱ max oa ewnętny pomień dysku out wpowada się wielkość u := Goutϱ 2 max. Posługując się powyżsymi definicjami wpowada się wyażenia na bewymiaowy potencjał gawitacyjny Ũ = U/u, potencjał pochodący od dysku Ũd = U d /u, entalpię właściwą h = h/u, gęstość baionową ϱ = ϱ/ϱ max, wekto wodący x = x/ out i punktową masę centalną M c = GM c /(ϱ max out). 3 W tej notacji ównanie na potencjał gawitacyjny można apisać w fomie gdie potencjał pochodący od dysku spełnia ównanie Ũ = M c / x + Ũd, (.3) Ũd = 4π ϱ. (.3) Symbol onaca opeato Laplace a w bewymiaowych miennych x. Równanie Benoulliego pyjmuje postać h + Ũc + Ũ = C. (.32) Dla politopowego ównania stanu entalpia właściwa wyaża się woem h = (Kγ/(γ ))ϱ γ, w nowych miennych natomiast h = ( Kγ/(γ )) ϱ γ. Stałe K i K łący ależność K =

19 .4. Opis poceduy numeycnej 7 Kϱ γ max/u. Nowa postać wou na potencjał centyfugalny Ũc = ω / 2 okeśla nową ależność dla ściśle kepleowskiej otacji, mianowicie ω 2 = M c. W takim sfomułowaniu otymuje się następującą pesteń paametów całkowicie opisujących model: wykładnik politopy γ, masa centalna M c pomień wewnętny dysku in = in / out. Na tym etapie należy auważyć, że oważany układ nie ma okeślonej skali odległości ani skali masy. Istotne są jedynie stosunki in / out oa M c /M d. Dopieo w podejściu post-newtonowskim, gdie pojawia się poteba wpowadenia pędkości światła, mamy specyowaną skalę odległości pope pomień Schwaschilda odpowiadający masie centalnej..4. Opis poceduy numeycnej Stuktua dysku otymywana jest na podstawie ównania stanu i pawa otacji oa napemiennego owiąywania apisanych w bewymiaowych miennych ównań (.3), (.32). Zastosowana metoda numeycna nosi anglojęycną nawę Self-Consistent Field (SCF) i pochodi pac [8, 2, 2]. We współędnych cylindycnych na dwuwymiaowej siatce numeycnej poces owiąywania agadnienia pebiega według następującego schematu [5]:. Ustala się paamety wiąane pecyją numeycną poceduy: a) odielcość, b) licbę wielomianów Legende a, a pomocą któych owijane są funkcje Geena (ównanie Poissona (.3) owiąywane jest w fomie całkowej, według metody opisanej w [22]) c) paamet toleancji ϱ tol pat punkt sósty. 2. Ustala się paamety modelu: a) ównanie stanu (wykładnik politopy γ), b) pomień wewnętny dysku in (, ) w płascyźnie ównikowej (dla nomaliacji w któej pomień ewnętny dysku najduje się w odległości out = ), c) masę centalną M c i maksymalną gęstość ϱ max (powalającą kontolować stosunek masy centalnej do masy dysku). 3. Poces acyna się od apostulowania pewnego pofilu gęstości. W tym pypadku akłada się okład mateii w tousie o pomieniu koła twoącego ( out in )/2 oa jego śodku w = ( out + in )/2 i = w któym gęstość spada liniowo od ϱ max w jego geometycnym śodku do ea na begu. 4. Z okładu gęstości wylicane są kolejno potencjał gawitacyjny Ũ oa stałe ω c i C: a) Potencjał gawitacyjny dany jest woem Ũ = M c x + Ũd, (.33) gdie potencjał Ũd wiąany mateią dyskową jest owiąaniem ównania Poissona Ũd = 4π ϱ. (.34) Scegóły numeycnego owiąywania ównań tego typu omówione są w dodatku 3.3. b) Stała ω c w pawie otacji jest wynacona godnie poniżsym woem ω 2 c = M c + in out (Ũd( out ) Ũd( in )) out in. (.35)

20 8 Rodiał. Układy newtonowskie c) Stała C w ównaniu Benoulliego jest wynacona wykoystaniem infomacji o nikaniu entalpii właściwej na begu dysku, w = out =, gdie h( out ) =. Z ównania.32 mamy C = M c Ũd( out ) ω2 c. (.36) out out 5. Wykoystując wielkości wynacone w popednim punkcie, ównania Benoulliego h = Ũ Ũc + C (.37) wynaca się nowy okład entalpii właściwej h. Następnie oblica się okład gęstości według fomuły ( ) /(γ ) (γ ) h ϱ =. (.38) Kγ Beg dysku deteminowany jest pe adanie paametów geometycnych na ówniku, natomiast w otymanym pofilu stosuje się obcięcie h ϱ = w myśl któego a beg dysku unaje się powiechnię na któej entalpia mienia nak na ujemny. Onaca to, że gęstość jest wylicana na podstawie wou (.38) wsędie tam, gdie entalpia jest dodatnia, natomiast w tych komókach siatki numeycnej, w któych watość entalpii jest ujemna pyjmuje się gęstość ówną eo. Na podstawie otymanego okładu gęstości oblica się nowy potencjał ównań (.33) i (.34) oa nowe stałe ω 2 c i C. 6. Pocedua dwóch popednich punktów powtaa się do momentu uyskania bieżności na abitalnie wybanym poiomie. Innymi słowy, pocedua końcy się i okłady ϱ i Ũ unawane są a owiąania wtedy, gdy maksymalna óżnica pomiędy n-tym, a n -wsym okładem gęstości jest mniejsa niż żądana watość ϱ tol, co w paktyce onaca bieżność metody numeycnej. W ten właśnie sposób paktycnie owiąuje się agadnienia e swobodnym begiem, któy mienia się wa kolejnymi iteacjami. Jak ostało opisane w punkcie 3, acyna się od jednoodnego tousa, efektem końcowym jest dysk, któego pykład amiescony jest w dalsej cęści pacy, w odiale.7 py okaji oważania własności układu AGN o nawie NGC Wyniki Numeycne owiąania kilku tysięcy óżnych konfiguacji potwiediły pewidywania teoetycne dotycące stałej w pawie otacji wyażonej ównościami (.3) i (.4). Wyniki numeycne poostają ównież w pełnej godności analiowanymi pypadkami ganicnymi. Wykesy na ysunku. pedstawiają ależność δ = ω 2 M c oa M d od pomienia wewnętnego dysku in dla óżnych watości masy centalnej Mc. Potwiedają one tey postawione w sekcji.2.2. W peskalowanych miennych można je apisać jako M c ω 2 M c + M d lub ównoważnie ω 2 M c M d. Widać ównież, że ω 2 M c w ganicach in oa in. Wykesy na ysunkach.2 i.3 pedstawiają poównanie óżnic ω 2 M c oa ω / 2 M c w funkcji in dla óżnych watości masy centalnej. Różnice ta stają się coa mniejse w miaę wostu masy centalnej i w ganicy płynu testowego achodi ówność ω 2 = M c. Innym inteesującym pypadkiem ganicnym jest układ M c =, cyli be centalnej masy punktowej. Obsewuje się wtedy pawidłowość ω ( 2 in, M c = ) > ω ( 2 in, M c ). Ponadto można stwiedić, że dla óżnych mas centalnych óżnica δ osiąga maksimum dla óżnych

21 .5. Wyniki ω 2 M M c d M c = M c = ω 2 M M c d M c = M c = M c = in M c = in Rysunek.. Zależności ω 2 M c (linia ciągła) oa M d (linia peywana) w funkcji pomienia wewnętnego in dla óżnych watości masy centalnej Mc =, i 3. Wykesy lewej stony spoądone ostały dla wykładnika politopy γ = 5/3, pawej dla γ = 4/3. watości in. Dla ustalonego wykładnika politopy γ istnieje konfiguacja M c = oa pewnym pomieniem wewnętnym, taka, że δ jest maksymalna, co można wyaić elacją ω 2 M c + Ã M c, (.39) gdie A jest stałą chaakteystycną dla danego wykładnika politopy. W analiowanych pypadkach A =.3 dla γ = 5/3 oa A =.6 dla γ = 4/3. Masa centalna ma więc nacnie więksy wpływ na otację niż masa dysku, a sama stała ω c wyaża się skomplikowaną funkcją ależną od seegu paametów takich jak geometia cy ównanie stanu. Otymane numeycnie konfiguacje odpowiadają seokiej klasie owiąań, od bado gubego dysku ( M c = ), pe pośednie pypadki, skońcywsy na płynie testowym ( M c ). Dla ustalonego pomienia wewnętnego in wględna wysokość dysku H/( out in ) jest monotonicnie malejącą funkcją masy centalnej Mc, py ałożeniu, że dysk ociąga się w ganicach H, H. W takim aie najomość stosunku in / out oa wględnej gubości dysku H jednonacnie wynaca owiąanie oa stosunki ω / 2 M c oa M d / M c. Wykesy na ysunku.4 pedstawiają ależność ω / 2 M c od stosunku mas obu składników M d / M c w akesach < M d / M c < oa < in <.5. Są one potwiedeniem pewidywania, że w tech omawianych scególnych pypadkach, występuje ściśle kepleowski chaakte otacji. W scególności dla bado ociągniętego dysku o bado małym pomieniu wewnętnym otacja jest dominowana pe jej potencjał pomimo obecności ciężkiego dysku. Uwględnienie samogawitacji dysku pyspiesa otację. Rachunki numeycne potwiedają tey, że nacącego efektu należy spodiewać się dla poównywalnych watości mas M c oa

22 2 Rodiał. Układy newtonowskie M c = M c = M c = M c = 2 M c =.5.4 M c = M c = M c = M c = 2 M c = ω 2 Mc.8.6 ω 2 Mc in in Rysunek.2. Zależność ω 2 M c w funkcji pomienia wewnętnego in dla óżnych mas centalnych M c. Wykes lewej stony spoądony ostał dla wykładnika politopy γ = 5/3, pawej dla γ = 4/3. M d dla pewnych chaakteystycnych watości pomienia wewnętnego. Efekt ten nie jest silny i słabo ależy od ównania stanu. Na ten pykład, dla in =.5 otymuje się ω 2 =.3 oa ω 2 =.4 dla γ = 5/4 i γ = 4/3 odpowiednio..6. Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN Dla ównań hydodynamiki można apisać klasycną elację wiialną [6] postaci R3 d 3 x 2 ρu + 2 d 3 x R 3 2 ρ v d 3 x 3 p =, (.4) R 3 2 gdie ρ = M c δ (3) (x) + ϱ, U = U kep + U d oa U kep = 4πGM c δ (3) (x), U d = 4πGϱ. Podejście tego typu nie jest właściwe dla oważanego układu e wględu na deltę Diaca występującą w wyażeniu na potencjał Kepleowski. koysta się więc metody apoponowanej w pacy [7]. Roważmy wekto ( w = (x )U d + ) 2 U d U d 2 x U d 2 + 4πGpx (.4) i jego dywegencję ( ) w = 4πG 2 ϱu d + ϱx U d + x p + 3p. (.42) Z ównania Eulea dostaje się ϱx U d + x p = ϱx U kep ϱx (v )v. (.43) Dla potencjału kepleowskiego achodi x U kep = U kep, atem w = 4πG (ϱ(u + U kep )/2 ϱx (v )v + 3p). (.44) Z powyżsej fomuły widać, że dywegencja w nika poa dyskiem, natomiast (.4) wynika, że x 2 w, py x = x 2 + y (.45)

23 .6. Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN ω 2 / Mc M c = M c = M c = M c = 2 M c = 3 M c = 4 ω 2 / Mc M c = M c = M c = M c = 2 M c = 3 M c = in in Rysunek.3. Zależność ω 2/ M c w funkcji pomienia wewnętnego in dla óżnych mas centalnych M c. Wykes lewej stony spoądony ostał dla wykładnika politopy γ = 5/3, pawej dla γ = 4/3. Całkując ównanie (.44), następnie wykoystując twiedenie Gaussa można otymać 4πG d 3 x [ ϱ(u + U kep )/2 + ϱ v 2 + 3p ] =. (.46) R 3 Intepetując poscególne cłony można ównoważnie napisać E pot + 2E kin + 2E them =, (.47) gdie E pot = 2 R 3 d3 x ϱ(u GM c / x ) to całkowita enegia potencjalna, E kin = 2 R 3 d3 x ϱv i v i to całkowita enegia kinetycna, E them = 3 2 R 3 d3 x p to całkowita enegia wewnętna. Ze wględów paktycnych waunek do petestowania pyjmuje postać ɛ = E pot + 2E kin + 2E them E pot =. (.48) W tabelach.-.3 amiescone są testy bieżności dla typowej konfiguacji dyskowej otymanej i petestowanej opisanymi powyżej metodami. Numeycna pecyja jest tutaj kontolowana pe ty paamety: odielcość siatki numeycnej, licbę wielomianów Legende a użytych w owinięciu kątowym dla metody numeycnej owiąującej ównanie Poissona oa pe paamet toleancji ϱ tol. Tabela. pedstawia ależność wyników ( ω oa wyniku testu wiialnego ɛ) od odielcości siatki numeycnej, licby użytych wielomianów L, oa paametu toleancji ϱ tol. W tym pypadku model akładał Mc =, in =.3, γ = 5/3. Otymana masa dysku dla tej konfiguacji wyniosła M d.29. Tabele.2 i.3 peentują bieżność metody w ależności od watości masy punktowej M c (lub ównoważnie od stosunku M c /M d ). Dane ostały otymane dla L = 2, γ = 5/3, in =.3 i ϱ tol = 5. Tabla.2 awiea dane dla pypadku M c = (gdie masa dysku wyniosła M d.49). Tabela.3 awiea dane dla pypadku M c = ( M d.4 2 ). Należy wócić uwagę, że wyniki testów ależą mocno od odielcości siatki numeycnej. Otymane watości poostają w godie wynikami pedstawionymi w pacy [23] gdie wyniki numeycne testowane były właśnie e wględu na odielcość.

24 22 Rodiał. Układy newtonowskie Tabela.. Zależność otymanych wyników od odielcości, licba wielomianów Legende a użytych w owinięciu kątowym dla metody numeycnej owiąującej ównanie Poissona oa paametu toleancji ϱ tol. odielcość L ϱ tol ω ɛ Tabela.2. Zależność otymanych wyników od odielcości dla masywnego dysku w pypadku gdy M c = oa ϱ tol = 5 i L = 2. odielcość ω ɛ Tabela.3. Zależność otymanych wyników od odielcości dla lekkiego dysku w pypadku gdy M c = oa ϱ tol = 5 i L = 2. odielcość ω ɛ

25 .7. Sacowanie mas obiektów astonomicnych na pykładie NGC ω 2 / Mc in =.445 in =.395 in =.345 in =.295 in =.245 in =.95 in =.45 in =.95 in =.45 ω 2 / Mc in =.445 in =.395 in =.345 in =.295 in =.245 in =.95 in =.45 in =.95 in = ω 2 / Mc in =.445 in =.395 in =.345 in =.295 in =.245 in =.95 in =.45 in =.95 in =.45 M d / M c ω 2 / Mc in =.445 in =.395 in =.345 in =.295 in =.245 in =.95 in =.45 in =.95 in =.45 M d / M c M d / M c M d / M c Rysunek.4. Zależności ω 2 / M c od M d / M c dla óżnych watości in. Wykesy lewej stony spoądone ostały dla wykładnika politopy γ = 5/3, pawej dla γ = 4/3..7. Sacowanie mas obiektów astonomicnych na pykładie NGC4258 W liteatue astofiycnej typowym podejściem do kepleowskich kywych otacji jest ałożenie, że dynamika deteminowana jest pe centalną masę M c, py ałożeniu, że jest ona nacnie więksa od masy dysku M d. Tego typu oumowanie pepowadone ostało w pacy [2]. Analia pepowadona w odiale.6 pokauje, że dla poównywalnych mas obu składników na cęstość otacji wpływ mają oba komponenty, a wpływ ten nie pejawia się w posty (np. addytywny) sposób. W pacy [24] opacowana ostała fenomenologicna fomuła powalająca na okeślenie popocji pomiędy masami py najomości paametów geometycnych dysku wykaującego otację kepleowską. Definiuje się następujące mienne: x := M d /M c, y := in / out. Koystając elacji (.4) i pawa otacji (.), można napisać ω 2 GM c = + δ ( in, M c, ϱ), (.49) gdie δ ( in, M c, ϱ) = δ( in, M c, ϱ)/(gm c ). Metodami numeycnymi peanaliowanych ostało

26 24 Rodiał. Układy newtonowskie bado wiele pypadków dla óżnych wykładników politopy (γ = 4/3, γ = 5/3, oa pośednich), dla óżnych elacji pomiędy masami, masą centalną oa masą dysku x oa dla óżnych elacji pomiędy pomieniami, wewnętnym i ewnętnym y. Na pykładie γ = 5/3 pokaane jest w [24], że funkcję δ ( in, M c, ϱ) można apoksymować następującą fenomenologicną fomułą gdie δ ( in, M c, ϱ) = xf(y) g(y) + x h(y) + x, (.5) f(y) =.322y 3.79y y y y y y 7 9.6y 8, g(y) = y 3.67y y 3 43y y 5 y y 7 634y 8, h(y) = y 43.57y y 3 259y y 5 539y y y 8. Funkcje f, g, h są nieujemne i mniejse od dla y,. Z ównania (.5) wynika, że masa centalna jest awse mniejsa od wielkości Ω 3 /G oa że dla pypadku gdy M d < M c otacja jest niemalże ściśle kepleowska jeżeli tylko in jest odpowiednio małe. W ostatnim casie pojawiło się wiele nowych danych astonomicnych dotycących aktywnych jąde galaktyk (AGN) emitujących pomieniowanie maseowe [25, 26, 27, 28, 29, 3, 3, 32]. Układ NGC4258 wyóżnia się spośód nich najdokładniej wynaconymi paametami, stanowiąc tym samym najodpowiedniejsy pykład peentacji metody. Dięki detekcji pomieniowania maseowego potwiedona ostała kepleowska otacja układu. Znana jest ównież jego masa centalna [M c = (3.9 ±.3) 7 M według autoów [2]. Inne doniesienia mówią o M c = (3.3 ±.2) 7 M [33]]. Dla poteb poniżsych achunków pyjęto śednią aytmetycną powyżsych watości i ałożono, że wiąany masą centalną pomień Schwaschilda dla tego układu wynosi R s := GM c /c 2 = cm. Istnieją pesłanki świadcące o tym, że dysk w tym pypadku najduje się ównież poa obsaem obsewacji pomieniowania maseowego, mianowicie, że sięga bado blisko centalnej masy [34]. W achunkach pyjęto się watość pomieni in = pc, out =.26 pc. Z obsewacji astonomicnych nana jest ponadto wględna gubość dysku, któa stanowi /8 odległości jego ewnętnego begu od centum. Analiując ównanie (.5) oa ysunek.5 łatwo spawdić, że w pypadku gdy M d M c wyażenie Ω/(GM c ) ( dokładnością do.). Py ałożeniu wspomnianych paametów geometycnych oa γ = 5/3 na podstawie numeycnych achunków otymuje się osacowanie masy dysku w tym układie M d = M c = M. W achunkach numeycnych więto pod uwagę ównież modele o innych wykładnikach politopy. Badania wykaały, że osacowania masy słabo ależą od ównania stanu. Py ałożeniu γ = 4/3 osacowanie na masę dysku wyniosło M d = 9M. W ecywistości okaać się może, że dysk ociąga się nacnie dalej niż.26 pc. W takim pypadku należałoby się spodiewać, że jego masa może być więksa. Metoda ta powala w wiąku tym tak napawdę na osacowanie dolnej ganicy. Otymany modelowy pofil gęstości oważanego dysku pedstawia ysunek.6.

27 .8. Newtonowskie układy dyskowe wnioski ω 2 /(GM c) x = M d /M c Rysunek.5. Zależność wielkości ω 2/(GM c) od stosunku mas x. Wykes spoądony dla wykładnika politopy γ = 5/3 oa in / out = 4. Peywana linia onaca dopasowaną funkcję (.5). Zanacone punkty onacają otymane numeycne watości dla óżnych mas centalnych M c..8. Newtonowskie układy dyskowe wnioski W opaciu o tysiące owiąań numeycnych pepowadonych dla politopowego modelu stacjonanych, osiowo-symetycnych kepleowskich dysków ostało pokaane wpost, że ciężki dysk może otować godnie kepleowskim pawem otacji (.). Popocje pomiędy masami, masą centalną i masą dysku mogą ostać okeślone pod waunkiem najomości dwóch geometycnych paametów, mianowicie: omiaów adialnych dysku in i out, oa jego wględnej gubości H/( out in ). Dięki pepowadonej analiie można także odpowiedieć na pytanie na ile wiaygodne są osacowania masy w kepleowskich układach, cynione na podstawie ałożenia, że ich otacja jest ściśle kepleowska. Numeycne achunki pokaały, że uch taki odbywa się pędkością kątową więksą niż GM c 3/2, ale mniejsą niż G(M c + M d ) 3/2. Można wyóżnić ponadto ty jakościowo óżne modele dysków dla któych otacja jest ściśle kepleowska. Są to pypadki bado mocno ociągniętych dysków małym pomieniem wewnętnym usytuowanym bado blisko masy punktowej, pypadki dysków o kstałcie obęcy, któych pomień wewnętny oddalony jest nacnie od centalnej masy punktowej, oa pypadki płynu testowego, w któych masa dysku jest wielokotnie mniejsa od masy centalnej. W ogólności jednak tego typu układy nie otują w sposób ściśle kepleowski, a gawitacja dysku ma wpływ na dynamikę układu oa pebieg kywej otacji.

28 26 Rodiał. Układy newtonowskie [ -3 pc] [pc] Rysunek.6. Rokład gęstości mateii dyskowej dla pypadku γ = 5/3 dla któego paamety geometycne gadają się wynaconymi obsewacyjnie paametami AGN NGC Użyte jednostki gęstości to g/cm 3.

29 Rodiał 2 Układy post-newtonowskie 2.. Konstukcja modeli dysków post-newtonowskich 2... Opis w układie katejańskim Rodiał ten, opaty na publikacji [3] awiea ogólnoelatywistycną analię dyskutowanych wceśniej układów. Pyjęta ostała konwencja w któej tenso metycny ma sygnatuę (, +, +, +) i w któej ównania Einsteina mają postać R µν g µν R 2 = 8π G c 4 T µν, (2.) gdie T µν jest tensoem enegii-pędu-napięć. Składowe tensoa metycnego okeślającego najbadiej ogólną geometię w piewsym pybliżeniu post-newtonowskim mają postać: g = 2 c 2 U 2 c 4 U 2 + O(c 6 ), (2.2) g i = c 3 A i + O(c 5 ), (2.3) g ij = δ ij ( 2 c 2 U ) + O(c 4 ). (2.4) Element liniowy w takiej geometii wyaża się dokładnością do cłonów PN jak następuje: ( ) ds 2 U (x, y, ) (U (x, y, ))2 = 2 2 (dx ) 2 + c 2 2 A ( ) i (x, y, ) dx i dx U (x, y, ) (dx dy 2 + d 2). (2.5) c 3 c 2 Symbol A i onaca tw. potencjał otacyjny. Powyżse woy wypisane ostały w katejańskich współędnych, dla któych x = x, y = x 2, = x 3, x = ct, w standadowym post-newtonowskim cechowaniu: c 4 j g j 2 g jj = O(c 5 ), (2.6) j g ij 2 i(g jj g ) = O(c 4 ). (2.7) Tenso enegii-pędu-napięć dla oważanego modelu mateii ma postać T αβ = T αβ BH + T αβ d, (2.8)

30 28 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie gdie T αβ BH opisuje punktową masę najdującą się w śodku układu współędnych, natomiast T αβ d wiąany jest mateię dyskową. Tenso T αβ BH jest popocjonalny do delty Diaca T αβ BH = M cc 2 u α BHu β BH δ (3) (x BH (t)), (2.9) g u BH gdie M c jest paametem utożsamianym masą cąstki punktowej. Definiuje się wielkości takie jak wynacnik maciey tensoa metycnego g := det(g µν ) oa cteopędkość wdłuż linii świata cąstki u α BH := dbh/(c α dτ BH ), któa jest paametyowana pe jej cas własny τ BH. Py ałożeniu, że cąstka ta najduje się w spocynku, w śodku układu współędnych BH (t) =, tenso T αβ BH upasca się do T BH = M cc 2 g u BHδ (3) (x), T i BH = T ij BH =. (2.) Dla płynu politopowego tenso enegii-pędu-napięć dla mateii dyskowej pyjmuje postać T αβ d = ϱ(c 2 + h)u α u β + pg αβ, (2.) gdie ϱ to gęstość baionowa, h to entalpia właściwa, p to ciśnienie. Cteopędkość nomaliowana jest według wou g αβ u α u β = i dana jest standadową fomułą u α := dx µ /(c dτ), gdie τ jest casem własnym wdłuż linii świata cąstek płynu. Wpowadając definicje v 2 := δ ij v i v j, v i := dx i /dt, łatwo pekonać się, że składowe cteopędkości można apisać jak następuje ( ) ( ) u = + c 2 2 v iv i + U c 3 2 A iv i, u i = vi c [ ( ) ( )] + c 2 2 v iv i + U c 3 2 A iv i. (2.2) Ogólnoelatywistycny opis wymaga wpowadenia nowej wielkości temodynamicnej (poa gęstością baionową, występującą w pawie achowania (2.2)), mianowicie gęstości enegii właściwej e, wiąanej entalpią właściwą elacją h = e + p ϱ c 2. (2.3) W pypadku elatywistycnym, politopowe ównanie stanu pybiea postać e(ϱ, S) = ϱc 2 + K(S) γ ϱγ, (2.4) gdie S jest entopią właściwą. Py tak definiowanych wielkościach temodynamicnych oa ałożeniu stałości entopii słusne są następujące wiąki ( ) e p(ϱ, S) = ϱ e = Kϱ γ, (2.5) ϱ S h(ϱ, S) = K γ γ ϱγ. (2.6) Równania (2.) w tak sfomułowanym agadnieniu pyjmują postać U = 4πG g(t i c 2 i T ) + O(c 4 ), (2.7) A i = 6π G c T i + O(c 2 ), (2.8)

31 2.. Konstukcja modeli dysków post-newtonowskich 29 któych uupełnieniem jest estaw paw achowania, to nacy elatywistycne ównanie Eulea oa wspomniane wyż pawo achowania pądu baionowego α T αβ =, (2.9) α (ϱu α ) =. (2.2) Pomijając wyay małe, tj. O(c 4 ) i O(c 2 ), można pepisać kolejno ównania Poissona na potencjały gawitacyjny U i otacyjny A i w postaci ównanie Eulea U = 4πG ( ϱ + M c ( + c 2 U)δ (3) (x) + c 2 ( 2p + ϱ(h 2U + 2v 2 ) )), (2.2) A i = 6πGϱv i, (2.22) j ( ϱ v i v j + c 2 ϱ v j ( A i + v i (h 6U + v 2 ) ) + ( 2c 2 U)p δ j i ) = ( ϱ + M c ( + c 2 U)δ (3) (x) + c 2 ( 2p + ϱ(h 2U + 2v 2 ) )) i U c 2 ϱ v j i A j, (2.23) oa ównanie ciągłości = i ( ( )) gu ϱv i ) = i (ϱv i + c 2 ϱv i 2 v2 3U + O(c 4 ). (2.24) Opis w układie cylindycnym waunki osiowej symetii W tym punkcie dotychcasowe oważania ostaną awężone pe pyjęcie ałożeń modelowych o obotowej symetii oa symetii odbiciowej wględem płascyny ównikowej. Opis powadony będie w ależności od poteb we współędnych katejańskich (łacińskie indeksy) oa we współędnych cylindycnych (, φ, ), gdie x = cos φ, y = sin φ. W osiowej symetii, w cylindycnym układie współędnych, tójwektoy opisujące potencjał otacyjny oa pędkość kątową mają tylko jedną nieeową składową. Wektoowy potencjał otacyjny ma postać A = A φ dφ, natomiast wekto pędkości v = Ω φ. W wiąku symetią, wspomniane dwa wektoy, oa skalane wielkości ϱ, p, h i U nie ależą od miennej φ. W podejściu PN, efeowanym tutaj a [3] standadowo stosowany będie system onaceń w któym dana wielkość ξ odielona ostała na cęść newtonowską ξ oa post-newtonowską popawkę ξ według fomuły ξ = ξ + c 2 ξ. (2.25) W scególności dla gęstości ϱ oa pędkości kątowej Ω achodi ϱ = ϱ + c 2 ϱ, Ω = Ω + c 2 Ω. (2.26a) (2.26b) Stosując powyżse owinięcia otymuje się ϱ ip = i h + c 2 i h +O(c 4 ), (2.27) gdie post-newtonowska cęść entalpii właściwej h wyaża się woem h = (γ ) h ϱ ϱ. (2.28)

32 3 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Koystając ównania (2.27) łatwo spawdić następujące wiąki łącące gadient ciśnienia entalpią właściwą i p = ϱ i h, (2.29) i p = ϱ i h + ϱ i h. (2.3) Analogicnie ównanie Eulea (2.23) odiela się na cęści newtonowską i post-newtonowską. Otymujemy odpowiednio oa j (ϱ v i v j ) + i p = ϱ i U + i U M c δ (3) (x), (2.3) j ( ϱ (v i v j + v i v j ) + ϱ v i v j + ϱ v j ( Ai + v i (h 6U + 2 Ω 2 ) ) + (p 2p U )δ j i = ( i U +U i U ) M c δ (3) (x) ( ϱ + 2p + ϱ ( h 2U Ω 2 )) i U ϱ i U ϱ v j i A j. (2.32) To samo dotycy potencjału gawitacyjnego, dla któego U = U + c 2 U. (2.33) Równania na U awieają jedynie paamety ędu eowego, natomiast do oblicenia U potebna jest najomość okładu post-newtonowskiej popawki do gęstości ϱ ) U = 4πG ( M c δ (3) (x) + ϱ ), U = 4πG ( M c U δ (3) (x) + ϱ + 2p + ϱ (h 2U Ω 2 ) ). (2.34a) (2.34b) W cęści newtonowskiej masa dysku oblicana była jako całka objętościowa pofilu gęstości M d = V d3 xϱ, a masa całego układu była ówna sumie M c + M d. W tym modelu post-newtonowska popawka do masy M PN definiowana jest jako całka objętościowa e źódła w ównaniu (2.34b) M PN = Całkowita masa układu wyaża się woem V d 3 x 4πG ( M c U δ (3) (x) + ϱ + 2p + ϱ (h 2U Ω 2 ) ) (2.35) M = M c + M d + c 2 M PN. (2.36) Pawe stony ównań (2.3), (2.32), i (2.34) awieają wyażenia popocjonalne do delty Diaca postaci f(x)δ (3) (x), gdie funkcja f może być osobliwa w pocątku układu współędnych. Tego typu wyay ostały astąpione pe Pf (f)δ (3) (x), gdie Pf i onaca cęści skońcone Hadamada dla funkcji owiniętej wokół osobliwego punktu x =. Opeacja Pf x (f) dla funkcji f będącej osobliwą w x definiowana jest jak następuje. Niech będie dany wekto jednostkowy n. Można definiować funkcję f n (ε) := f(x + εn), któej owinięcie w seeg Lauenta wokół ε = ma postać f n (ε) = m= N a m (n)ε n. (2.37)

33 2.. Konstukcja modeli dysków post-newtonowskich 3 Skońcona cęść funkcji f definiowana jest jako współcynnik py ε uśedniony po wsystkich kieunkach: Pf x (f) := dθ a (n). (2.38) 4π Tego typu metody egulayacji osobliwych funkcji były cęsto używane w numeycnych poceduach obliceniowych dla post-newtonowskich ównań uchu dla układów cąstek punktowych [35]. Rowiąanie ównania (2.34a) można symbolicnie apisać jako U (x) = GM c x + U d (x), U d (x) := 4πG( ϱ )(x). (2.39) Są to dokładnie ównania (.5) i (.6) na potencjał newtonowski, któe ostały wpowadone w odiale piewsym. Ponieważ Pf (/ x ) =, wya U δ (3) (x) po pawej stonie ównania (2.34b) można astąpić pe U d ()δ (3) (x) i pepisać ównanie w fomie U = 4πG ( M c U d ()δ (3) (x) + ϱ + 2p + ϱ (h 2U Ω 2 ) ). (2.4) Pawa stona ównania (2.3) awiea i U δ (3) (x), któy można astąpić pe Pf ( i U )δ (3) (x) i godnie (2.39) otymuje się Pf ( i U ) = Pf (GM c x i / x 3 + i U d (x)) = + i U d (). (2.4) Z dugiej stony i U d () = i e wględu na osiową i ównikową symetię całe wyażenie ówne jest eo. Podobna pocedua może ostać astosowana dla wsystkich wyaów awieających delty Diaca w ównaniu (2.32) i na tej samej asadie potencjalnie osobliwe wyay nikają. Newtonowska cęść ównania Eulea we współędnych cylindycnych pyjmuje postać h = U, h Ω 2 = U, (2.42a) (2.42b) natomiast cęść post-newtonowska h = U Ω A φ (h 2U 2 2 Ω 2 U + 2U h, (2.43a) h 2Ω Ω Ω 2 (h 6U + 2 Ω 2 = U Ω A φ (h 2U 2 2 Ω 2 ) U + 2U h. (2.43b) Wykoystując wiąki (2.42) można upościć ównania (2.43) do postaci h U Ω A φ (h Ω 2 ) U =, (2.44a) h U + 2Ω Ω Ω A φ + 3 (Ω ) 4 + Ω 2 h 4Ω 2 U (h Ω 2 ) U =. (2.44b) Definiując nową wielkość Ψ jako potencjał Ψ = h U Ω A φ Ω 2 h 3 2 h2 4h U 2U 2 d 3 (Ω ) 4 + F () (2.45) oa wykoystując wiąek Ω = można pepisać ównania (2.44) w fomie Ψ =, Ψ + 2Ω Ω + A φ Ω 2 2 Ω 2 h =. (2.46a) (2.46b)

34 32 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Należy wócić uwagę, że achodi tutaj swoboda wybou funkcji F (). W peentowanym podejściu stosuje się wybó F () =. Wybó taki powadi do ównań godnych opacowaniem [4]. Odkycie, że funkcja ta jest dowolna miało miejsca po ukaaniu się tekstu [3] i ostało opisane w [4] W cylindycnym układie współędnych, jedyna nieeowa składowa potencjału wektoowego A jest owiąaniem ównania A φ 2 A φ = 6πG 2 ϱ Ω. (2.47) 2.2. Wyniki analitycne waunek całkowalności Różnickując piewse ównań (2.42) po miennej adialnej oa dugie po miennej wetykalnej, i odejmując stonami otymuje się Ω =. Jest to waunek całkowalności newtonowskiego układu ównań hydodynamiki. Zawiea on infomację dotycącą pola pędkości, mówiącą że watość pędkości kontowej Ω jest funkcją wyłącnie odległości od osi obotu. Żądanie stabilności wymaga dodatkowych ałożeń wiąanych właściwym momentem pędu, aówno w hydodynamice newtonowskiej jak i elatywistycnej [36, 37, 6]. Analogicny waunek całkowalności można otymać dla post-newtonowskich ównań wychodąc układu (2.46) i óżnickując piewse ównanie po miennej adialnej, dugie po miennej wetykalnej, następnie odejmując stonami, co powadi do 2Ω Ω + ( Ω )( A φ ) 2 2 Ω 2 h =. (2.48) Stąd można naleźć wyażenie na popawkę do pędkości kątowej Ω = A φ 2Ω Ω + h Ω Ω 2 + F 2 (). (2.49) A atem że post-newtonowskim ównaniom (2.46) można nadać fomę algebaicną i apisać pod waunkiem, że Ψ(, ) = const (2.5) Ω = A φ 2Ω Ω + 2h Ω + F 2 (). (2.5) Uwględniwsy pawo otacji (.) powyżsy wó pyjmuje algebaicną fomę Ω = + 3A φ 4 2 3Ω h + F 2 (). (2.52) Ostatni cłon w powyżsym wyażeniu ależny jest od wybou funkcji F () w ównaniu (2.45). W odiale niniejsym, godnie oumowaniem pepowadonym w [3] kładie się waunek F 2 () =. W następnym odiale pedstawiona ostanie analia sesej klasy modeli F 2 (). Oba poostałe cłony ależą od pyjętego pawa otacji, a dokładnie od newtonowskiej pędkości kątowej. Piewsy nich wiąany jest ponadto funkcją metycną A φ i jest intepetowany jako wlecenie układu współędnych. W taki właśnie sposób, ten elatywistycny efekt manifestuje się w pybliżeniu post-newtonowskim. Mamy tutaj do cynienia dodatnim spężeniem wotnym dla efektu wlecenia układu współędnych i oa pędkości kontowej. Dugi e składników ależy ównież od entalpii właściwej, a więc od okładu mateii dyskowej. Funkcje A φ i Ω mieniają nak dla Ω Ω, stąd oważa się jedynie pypadek Ω.

35 2.2. Wyniki analitycne waunek całkowalności 33 Piewsa składowa sumy najdującej się we woe (2.5) na post-newtonowską popawkę do pędkości kątowej, w wiąku obecnością funkcji metycnej naywać się będie cęścią geometycną Ω,geo = A φ 2Ω Ω. (2.53) Składnik ten jest wsędie nieujemny i pycynia się do pyspiesenia otacji. By się o tym pekonać niebędna jest wieda na temat naku A φ. W pacy [3] udowodniono lemat mówiący o tym, że watość tego pola w tak postawionym modelu jest awse nieujemna, co w połąceniu ujemną pochodną Ω malejącej funkcji Ω (), oa nakiem minus ped całym wyażeniem daje wielkość nieujemną, Ω,geo. Dugi składnik naywać się będie cęścią dynamicną lub antywleceniową Ω,dyn = 2h Ω. (2.54) Z analiowanego już naku pochodnej Ω oa nieujemności entalpii h wynika, że powyżse wyażenie jest wsędie niedodatnie, Ω,dyn. Onaca to, że jej wkład powoduje więksenie okesu otacji. Okauje się więc, że jeden efektów pyspiesa, dugi opóźnia otację wględem tej newtonowskiego modelu. Z jednej stony powoduje to mniejsenie sumaycnego efektu, w wiąku cym popawka jest niewielka, dugiej jednak powadi do koncepcyjnie ciekawych wyników. Okauje się bowiem, że można dobać takie paamety modelu, dla któych efekt geometycny będie wyaźnie dominował, jak ównież można stwoyć konfiguację taką, że otymany efekt będie dokładnie odwotny. Najbadiej inteesującym jednak pypadkiem jest ten, w któym oba efekty są poównywalne, wtedy to, a spawą post-newtonowskich popawek w pewnych cęściach dysku można aobsewować otację wolniejsą, w innych sybsą niż miałoby to miejsce w podejściu newtonowskim. Można wyóżnić dwa scególne odaje otacji:. Rotacja stywna. W tym pypadku popawka Ω jest popocjonalna do pochodnej pędkości kątowej wględem miennej adialnej, co powoduje tożsamościowe nikanie całego wyażenia. Można pekonać się, że pypadek stywnej otacji wyóżnia się spośód poostałych tym, że minimaliuje całkowitą enegię układu na jednostkę licby baionowej, oa całkowitą enegię układu na jednostkę momentu pędu [4]. Powyżsa analia pokauje, że ależność ta jest dodatkowo wyóżniona, ponieważ w pypadku stywnej otacji, pędkość kątowa nie ulega mianie py oseeniu oumowania modelu PN na model PN. 2. Rotacja pyłu. W pypadku pyłu nika cęść dynamicna popawki do pędkości kątowej. Jest to konsekwencją samej natuy pyłu dla któego p =, co jest ównonacne eowaniem się entalpii właściwej. W eultacie na pył wpływ ma jedynie efekt geometycnego wlecenia. Zachowanie się płynu politopowego i pyłu jest skajnie óżne w podejściach newtonowskim i post-newtonowskim. W modelu PN pędkość kątowa jest funkcją jedynie odległości od osi obotu. Jest to słusne nawet w pypadku bado ciężkich dysków, gdie każdy jego element ównoodległy od osi posiada taką samą pędkość. Uwględnienie post-newtonowskich popawek powadi do upełnie innego obau. Pędkość kątowa nie jest już dłużej funkcją jednej miennej, ale ależy aówno od odległości od osi obotu jak i od odległości od ównikowej płascyny symetii. Co więcej, nie tylko watość popawki, ale i nak są deteminowane pe paamety danej konfiguacji.

36 34 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie 2.3. Konstukcja post-newtonowskich modeli numeycnych, skalowanie Równania (2.34), (2.42), (2.43) i (2.47) są niemiennice wględem następującego skalowania [3] x = λx, M c = M c, ϱ = ϱ λ 3, h = h λ, Ω = Ω λ 3/2, U = U λ, A φ = A φ, ϱ = ϱ λ λ, 4 h = h λ, 2 Ω = Ω λ, U 5/2 = U λ. (2.55) 2 Masa dysku otymana w modelu newtonowskim oa suma mas M c + M d są niemiennikami wględem takiego skalowania. Popawka do masy wylicona w modelu PN skaluje się jak M PN = M PN /λ, dla ciśnienia natomiast achodi p = p /λ 4. Py pyjętym ównaniu stanu p = Kϱ γ skalowanie powoduje jego mianę w wiąku wpływem na stałą K, któa skalować się będie K = Kλ 3γ 4. Dla pawa otacji (.) stała ω nie ulega mianie. W paktyce onaca to, że py achowaniu elacji pomiędy masami, mieniając omiay liniowe otymuje się óżne owiąania i fiycnie óżne konfiguacje. Ze wględu na koniecność pousania się w ganicach stosowalności pybliżenia PN spełnione musą być następujące waunki:. Popawka do potencjału gawitacyjnego musi poostawać nacnie mniejsa niż jej newtonowski odpowiednik: U /c 2 U /c 4. Poblem ten dyskutowany jest w dalsej cęści pacy w opaciu o stosowne wykesy wspomnianych potencjałów. 2. Najbadiej wewnętna cęść dysku musi najdować się w odpowiednio dużej odległości od hoyontu Schwaschilda wynaconego pe masę punktową, 2GM c /c 2 in. W tym miejscu należy auważyć, że na pomień Schwaschilda wpływ ma ównież obecność mateii dyskowej. Py spełnieniu wymienionego wyżej waunku uwględnia się ten fakt pope dodatkowe osacowanie wpływu mateii dysku na wost pomienia Schwaschilda. 3. Lokalna pędkość dźwięku c s musi być nacnie mniejsa od pędkości światła, c c s. W wiąku powyżsymi waunkami, licba potencjalnych konfiguacji jakie można peanaliować i na jakich peanaliowanie powala swoboda dobou paametu λ jest mocno oganicona. Za paamet okeślający skalę wpływu piewsej popawki na oyginalną watość pędkości kątowej pyjmuje się ich iloa Ξ := (Ω /c 2 )/Ω. W takiej sytuacji, w wiąku e skalowaniem (2.55) mamy dla óżnych konfiguacji elację Ω c 2 Ω Ω =, cyli Ξ = Ξ λ c 2 Ω λ. (2.56)

37 2.4. Opis poceduy numeycnej Opis poceduy numeycnej Stuktua dysku otymywana jest na podstawie ównania stanu i pawa otacji oa pięciu ównań h = dω 2 U + C, (2.57a) U = 4πG ( M c δ (3) (x) + ϱ ), (2.57b) A φ 2 A φ = 6πG 2 ϱ Ω, (2.57c) U = 4πG ( M c U D ()δ (3) (x) + ϱ + 2p + ϱ ( h 2U + 2Ω 2 2)), h = U A φ Ω + 2h Ω 2 2 d 3 (Ω ) h 4h U 2U 2 C (2.57d) (2.57e) na pięć pól ϱ (x), U (x), A φ (x), ϱ (x), U (x), któe w sposób kompletny opisują daną konfiguację. Wyażenie 4πGM c U ()δ(x) po pawej stonie ównania na popawkę do potencjału powadi do GM c U D ()/ x w owiąaniu U. Po wykluceniu obliceń numeycnych osobliwego punktu x = wyażenie U D () można wyaić całką U D () = G d 3 x ϱ x. Kolejność w jakiej ównania ostały wypisane nie jest pypadkowa i jest wiąana poceduą numeycnego ich owiąywania. Równania (2.57a) i (2.57b) stanowią cęść newtonowską, a poces owiąywania tego układu ostał opisany scegółowo w pododiale.4. Następne w kolejności jest ównanie (2.57c) na potencjał otacyjny. Należy wócić uwagę, że jego źódło jest wyażone wyłącnie pe newtonowskie, a więc oblicone wceśniej wielkości. Onaca to, że może ostać ono owiąane be stosowania poceduy iteacyjnej. Opis metody owiąywania tego typu ównań awiea dodatek 3.3. Py najomości pól ϱ (x), U (x), A φ (x) można użyć schematu, któy astosowany ostał do owiąania układu ównań cęści newtonowskiej. Pocedua wygląda podobnie i wykonuje się ją na tej samej siatce numeycnej, py tych samych paametach wiąanych pecyją (odielcość, licba wielomianów Legende a, paamet toleancji), py tych samych paametach modelu (ównanie stanu, in, Mc, ϱ max ). Różnica polega na tym, że źódło w ównaniu Poissona na popawkę do potencjału gawitacyjnego składa się wielu wyażeń o chaaktee newtonowskim oa post-newtonowskiej popawki do gęstości. Z tego właśnie powodu piewsym kokiem iteacji jest apostulowanie ϱ = i oblicenie potencjału U e źódła łożonego wyłącnie newtonowskich wielkości. Nowe pola A φ (x), ϱ (x), U (x) wylicane są ównań, w któych wsystkie newtonowskie wielkości apisane są w miennych bewymiaowych godnie pododiałem.3. W pypadku post-newtonowskich popawek oyginalne wielkości można odyskać koystając opisanego tam skalowania oa analiy wymiaowej. W pypadku potencjału A φ, nie posiadającego newtonowskiego odpowiednika należy posłużyć się wpowadoną wielkością u i tak otymuje się Ãφ = A φ /(u 3/2 out ). Wielkości newtonowskie ostały oblicone już wceśniej i na tym etapie taktowane są jako adane. Schemat wygląda następująco. Oblica się:. Potencjał Ũ ównania (2.57d) Ũ = M c R d3 x ρ( x) x x + Ũ d, (2.58)

38 36 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie gdie potencjał Ũ d wiąany jest okładem mateii dyskowej i dla ϱ = jest owiąaniem ównania Poissona Ũ d = 4π ( 2 K ϱ γ + ϱ ( h 2Ũ + 2 ω 2 )). (2.59) 2. Stałą C występującą w post-newtonowskim ównaniu Benoulliego na begu dysku w = out =, gdie h ( out ) = h ( out ) =, C = Ũ( out ) Ãφ( out ) ω 3/2 out 3. Popawkę do entalpii właściwej h ównania (2.57e), + 2 ω4 2 out 2Ũ( out ) 2. (2.6) h = Ũ Ãφ ω 3/2 + 2 h ω ω h 4 h Ũ 2Ũ 2 C. (2.6) Popawka do gęstości ϱ godnie (2.28) dana jest jako ϱ = h Kγ ϱ2 γ. (2.62) 4. Potencjał Ũ uwględniający właśnie wylicony okład ϱ dany jest woem (2.58) py cym ównanie (2.59) posiada już źódło awieające właśnie wyliconą popawkę do gęstości, należy więc ponownie apisać Ũ = ρ( x) M c R d3 x x x + Ũ d, (2.63) gdie potencjał Ũ d wiąany jest okładem mateii dyskowej i dla pełnego źódła awieającego post-newtonowskie popawki jest owiąaniem ównania Poissona Ũ d = 4π ( ϱ + 2 K ϱ γ + ϱ ( h 2Ũ + 2 ω 2 )). (2.64) Potencjał ten ostanie użyty do oblicenia nowego okładu ϱ. Widać tutaj ścisłą analogię poceduą pepowadaną w odiale piewsym. W opisie tego schematu ostały użyte bewymiaowe mienne wpowadone w pododiale.3. Podobnie jak wceśniej, beg dysku deteminowany jest pe adanie paametów geometycnych na ówniku, natomiast w otymanym pofilu stosuje się obcięcia godnie egułą ( h + h /c 2 ) ( ϱ + ϱ /c 2 ) h = ϱ =. (2.65) Popawki h oa ϱ mogą być ujemne. Waunek nieujemności jest nakładany jedynie na całkowitą entalpię oa całkowitą gęstość, cyli na sumy cęści newtonowskiej i post-newtonowskiej popawki. Wsędie tam, gdie chociaż jedna tych wielkości staje się ujemna obie popawki pyjmuje się ówne eo Wyniki Peanaliowane ostały modele politopowych dysków γ = 5/3 o poównywalnych masach, M c M d. Paamety dysków ostały dobane tak, by mieć pewność, że otymana konfiguacja mieści się w ganicach stosowalności post-newtonowskiego pybliżenia.

39 2.5. Wyniki c -2 U c -4 U Rysunek 2.. Zależności potencjałów U /c 2 (lewy wykes) oa U /c 4 (pawy wykes) od odległości od osi obotu w płascyźnie ównikowej. Zielona kywa pedstawia potencjał dla pypadku pedstawionego na wykesie 2.2, cewona na wykesie 2.3, fioletowa na wykesie 2.4. Maksymalna pędkość liniowa ( U)Ω stanowi tutaj co najwyżej % pędkości światła. Rysunki 2. i 2.2 pedstawiają wykesy nomaliowanych potencjałów newtonowskiego U /c 2 oa post-newtonowskiego U /c 4, któych jasno widać, że pole PN jest o ędy wielkości słabse od pola ędu eowego. Paleta koloów na ysunkach pedstawia stosunek Ξ = Ω /(c 2 Ω ) w pekoju dysku. Jest to pewnego odaju miaa, któa infomuje o tym jaki wpływ na dynamikę układu ma post-newtonowska popawka w stosunku do pędkości newtonowskiej. W pykładach tych R S := 2GM c /c 2 jest pomieniem Schwaschilda deteminowanym pe watość masy punktowej. Na uch mateii dyskowej w modelu PN mają tutaj wpływ dwa efekty. Piewsy, geometycny jest pejawem nanego elatywistycnego jawiska jakim jest wlecenie układu współędnych. Dugi ma chaakte dynamicny i ależy od okładu mateii dyskowej. Rysunek 2.2 pedstawia iloa post-newtonowskiej popawki do pędkości newtonowskiej. Zanacone są na nim dwie iolinie wskaujące miejsca eowania się stosunku Ξ. Z palety baw można odcytać, że wewnąt anaconej iolinii stosunek ten jest mniejsy od ea, a więc dominuje efekt dynamicny (antywleceniowy), stanowiący do 3 watości newtonowskiej. W poostałej cęści dysku, więkse nacenie ma dodatni efekt geometycny, któego watość sięga 4 watości newtonowskiej. Należy wócić uwagę, że wielkość ( U/c 2 ) + O(c 4 ) w amach pybliżenia PN jest ówna pomieniowi obwodowemu, cyli odległości obwodowej od osi. Metodami numeycnymi można peanaliować wiele innych, jakościowo podobnych konfiguacji. Pesuwając wewnętny pomień dysku od centum układu obsewuje się osłabienie efektu dynamicnego na ec efektu geometycnego. Dla in stanowiącego ok 8% out dla całego obsau dysku obowiąuje elacja Ω,dyn Ω,geo. Póg 8% nie jest w żaden sposób wyóżniony i może być inny, py innym doboe poostałych paametów układu. Należy wócić jednak uwagę na ogólną ależność Ω,dyn i Ω,geo oa ich wajemnych elacji od pomienia wewnętnego. Efekt mniejsania obsau wpływu jednego e składników na ec dugiego peentuje ysunek 2.3. Metodami empiycnymi można pekonać się, że w analiowanych układach efekt geometycny acyna dominować nad dynamicnym gdy wględna gubość dysku spełniała elację ( out in )/ out >.2. Pośód pebadanych konfiguacji nalały się takie, w któych stosunek Ξ osiągał watość kilku pocent. Rysunek 2.4 pedstawia mocno elatywistycny układ w któym pomień wewnętny jest stosunkowo blisko hoyontu Schwaschilda, dokładnie w 9.5R S. W tym

40 38 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Rysunek 2.2. Stosunek Ξ w pekoju dysku. Oś ędnych pedstawia wysokość dysku, natomiast oś odciętych odległość od centum układu w jednostkach, w któych odpowiada 25R S. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 25R S, pomień ewnętny w out = 25R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.47 M c, natomiast ω =.85 2GM c Zgodnie paletą baw, obsa ciemnoniebieski dominowany jest pe efekt dynamicny i oddielony jest peywaną iolinią Ω = Ξ = od ewnętnego obsau, dominowanego pe efekt geometycny. wypadku efekt dynamicny jest maginalny, niemalże cała popawka wiąana jest cęścią geometycną. W odiałach.3 i 2.3 pedyskutowana ostała kwestia miany omiaów geometycnych i towaysących jej mian poostałych paametów. W scególności waca się tam uwagę na niemiennicość masy centalnej układu wględem skalowania omiaów geometycnych, podcas gdy watość stosunku Ξ skaluje się jak Ξ = Ξ/λ. Onaca to, że łatwością można odtwoyć wiele óżnych konfiguacji cechujących się jednakową masą centalną, py óżnych omiaach geometycnych. Tak otymane układy óżnić się będą okładem stosunku Ξ. W ten sposób można otymać pypadki o bado dużym wpływie piewsej post-newtonowskiej popawki, dugiej stony poostaje kwestia stosowalności pybliżenia PN. Kolejnym kokiem w stonę ponania natuy kepleowskich, samogawitujących dysków jest opacowanie ogólnoelatywistycnego modelu, nieależnego od owinięć post-newtonowskich Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN Pocedua testowania tego typu ównań ostała opisana w pacy [5]. Dla poteb testów wiialnych wygodnie jest apisać ównania na potencjał otacyjny (2.57c) oa na popawkę do potencjału gawitacyjnego (2.57d) w nieco innej fomie. Równanie (2.57c) w katejańskim układie współędnych pyjmuje postać A i = 6πGϱ v i,

41 2.6. Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN Rysunek 2.3. Stosunek Ξ w pekoju dysku. Oś ędnych pedstawia wysokość dysku, natomiast oś odciętych odległość od centum układu w jednostkach, w któych odpowiada 45R S. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 8R S, pomień ewnętny w out = 45R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.4 M c, natomiast ω =.88 2GM c. Zgodnie paletą baw, obsa ciemnoniebieski dominowany jest pe efekt dynamicny i oddielony jest peywaną iolinią Ω = Ξ = od ewnętnego obsau, dominowanego pe efekt geometycny.

42 4 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Rysunek 2.4. Stosunek Ξ w pekoju dysku. Oś ędnych pedstawia wysokość dysku, natomiast oś odciętych odległość od centum układu w jednostkach, w któych odpowiada 5R S. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 3.5R S, pomień ewnętny w out = 5R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.8 M c, natomiast ω =.3 2GM c. Stosunek Ξ jest najwięksy na begach dysku i osiąga watość do 3.46%.

43 2.6. Wiialne testy popawności achunków numeycnych w modelu PN 4 natomiast owiąanie ównania (2.57d) można apisać w postaci sumy U = U d + U p, gdie py cym owiąaniem U d Roważmy wekto U d = 4πG ( ϱ + 2p + ϱ ( h 2U Ω 2 )), (2.66) U d = 4πGM c U d ()δ(x), (2.67) a i = Jego dywegencja ma postać i a i = jest U d = GM cu D (). (2.68) x ( x l l A k + ) 2 A k i A k 2 xi l A k l A k. (2.69) ( x l l A k + ) ( 2 A k A k = 6πG x l l A k + ) 2 A k ϱ v. k (2.7) Dla skońconego dysku (o watym nośniku ϱ ) A k dąży do ea odpowiednio sybko i dla powyżsej definicji wektoa a i widać, że x 2 a i, gdy x = x 2 + y (2.7) Całkując atem ównanie (2.7) po całej pesteni R 3 i koystając twiedenia Gaussa otymuje się ( = d 3 x x l l A k + ) R 3 2 A k ϱ v. k (2.72) Całkując dalej pe cęści można wyeliminować ównań cłon pochodną l A k, co powadi do ( = d 3 x 5 R 3 2 ϱ ( ) ) A k v k x l l ϱ v k Ak, (2.73) gdie óżnickowane są wielkości wyłącnie newtonowskie. Relację powyżsą można pedstawić we współędnych cylindycnych, dla któych achodi A k v k = A φ Ω, w wiąku cym otymuje się i w końcu x l l ( ϱ v k ) Ak = x l l ( ϱ v k ) Ak = ϱ A φ Ω + x l l (ϱ Ω ) A φ (2.74) = d 3 x ( 7 ) R 3 2 ϱ A φ Ω x l l (ϱ Ω ) A φ. (2.75) Kolejną elację wiialną można otymać wychodąc ównania (2.66) i postępując w sposób analogicny. Niech będie dany wekto b i = ( x l l U d + ) 2 U d i U d 2 xi l U d l U d (2.76) i jego dywegencja i b i = ( x l l U d + ) 2 U d U d. (2.77) Podobne achunki powadą do wiąku wiialnego ( = d 3 x x l l U d R 3 + ) (ϱ 2 U ( d + 2p + ϱ h 2U Ω)) 2. (2.78)

44 42 Rodiał 2. Układy post-newtonowskie Tabela 2.. Zależność typowych wyników od odielcości, licby użytych wielomianów Legende a L i współcynnika toleancji ϱ tol. Wyniki otymane ostały dla wykładnika politopy γ = 5/3, masy dysku ównej M d =.327M c oa pomieni wewnętnego i ewnętnego in = 5R S i out = 5R S odpowiednio. Rodielcość L ϱ tol ɛ ɛ ɛ Numeycnie petestowane ostały watości wyażeń ɛ = (ɛ a + ɛ b)/ɛ a oa ɛ = (ɛ ɛ b)/ɛ a, gdie ɛ a = d 3 x 7 R 3 2 ϱ A φ Ω, (2.79) ɛ b = d 3 x x l l (ϱ Ω ) A φ, (2.8) R 3 ɛ a = d 3 x R 3 2 U ( ( )) d ϱ + 2p + ϱ h 2U Ω 2, (2.8) ( ( )) ɛ b = d 3 x x l l U d R 3 ϱ + 2p + ϱ h 2U Ω 2. (2.82) Tabela 2. pedstawia testy bieżności dla abitalnie wybanego modelu o następujących paametach: wykładnik politopy γ = 5/3, masa dysku M d =.327M c, wewnętny i ewnętny pomień dysku in = 5R S i out = 5R S odpowiednio. Pecyja obliceń tak jak popednio kontolowana jest pe ty paamety: odielcość, licbę wielomianów Legende a L oa paamet toleancji ϱ tol. Z tabeli odcytać można wyaźną ależność dokładności wyników od odielcości siatki numeycnej i bak ależności od poostałych paametów. Ze wględu na badanie wględnie gubych układów, licba wielomianów użytych do owinięcia kątowego ga tutaj dugoędną olę. Powyżse wyniki są o ąd wielkości mniej dokładne niż ich analogon pedstawiony w tabeli., co tłumacyć można geneującym błędy óżnickowaniem numeycnym. a Post-newtonowskie układy dyskowe wnioski Należy podkeślić, że poniżse uwagi dotycą układów do opisu któych pyjęto watość funkcji F = (pat odiał 2..2). Sytuacja ogólna będie oważona w następnym odiale. Post-newtonowski model stacjonanych, samogawitujących, kepleowskich dysków jest

45 2.7. Post-newtonowskie układy dyskowe wnioski 43 jakościowo óżny od obau otymanego w eżimie newtonowskim. Pędkość otacji nie jest dłużej funkcją jedynie odległości od osi obotu, ale pope piewsą popawkę ależy ównież od wysokości nad płascyną ównikową. Na popawkę tę składają się dwa efekty. Piewsy, awse nieujemny, tw. efekt geometycny jest post-newtonowskim pejawem jawiska wlecenia układu współędnych pojawiającego się w canodiuowych owiąaniach ównań Einsteina. Efekt dugi, awse niedodatni, tw. efekt dynamicny wiąany jest newtonowskim okładem mateii dyskowej [3]. Ponadto na oba efekty wpływ ma newtonowska pędkość otacji, a dokładnie sybkość jej mian w kieunku adialnym. Różne naki obu efektów powodują ich wajemne osłabienie. Powadi to jednej stony do mniejsenia sumaycnego efektu, dugiej jednak ostawia miejsce na pewne ciekawe jawiska polegające na dominowaniu jednego efektów w ależności od oważanej konfiguacji. Można ównież dobać paamety układu tak, by oba efekty pejawiały się óżną intensywnością w óżnych cęściach dysku [3]. Peanaliowanych ostało wiele óżnych układów wykaujących wpływ post-newtonowskiej popawki na poiomie od kilku pomili do kilku pocent. Koncepcyjnie ciekawymi pykładami okaały się być modele e stywną otacją, w któych to uwględnienie post-newtonowskich popawek nie ma wpływu na pędkość otacji, oa model mateii pyłowej, dla któych nika popawka dynamicna. Równania na potencjały otacyjny A φ oa U ostały petestowane pope odpowiednie elacje wiialne. Wyniki testów poostają na niżsym niż w pypadku ównań teoii newtonowskiej (o cym można się pekonać poównując tabele.-.3 tabelą 2.), jednak w upełności akceptowalnym poiomie.

46

47 Rodiał 3 Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne 3.. Popawki do pędkości wynikające OTW W tym odiale dyskutowany będie wybó funkcji F () i F 2 () w ównaniach (2.45), (2.5). Mach i Malec [4] pedstawili następujące oumowanie. Niech geometia casopesteni będie adana pe apisaną we współędnych cylindycnych metykę: ds 2 = e 2ν c 2 (dx ) e 2β c 2 ( dφ ω c 3 (, ) dx ) 2 + e 2α c 2 ( d 2 + d 2), (3.) gdie x = ct, natomiast α(, ), β(, ), ν(, ), ω(, ) będą funkcjami metycnymi, nieależnymi od współędnej aymutalnej e wględu na osiową symetię. W ogólnoelatywistycnym opisie definiuje się pędkość kątową Ω := u φ /u t, kwadat pędkości liniowej v 2 := v i v i = ( ) 2 2 Ω ω c e 2(β ν)/c 2 i moment pędu na jednostkę masy j := u 2 φ u t. Ten ostatni jest funkcją jedynie pędkości kątowej j = j(ω) i powala na apisanie standadowych paw achowania µ T µν = i ν (ϱu µ ) = w fomie [42] ln ( + hc ) + νc + 2 ( ) ln v2 + c dωj(ω) = C 2 2 c (3.2) Autoy pacy [4] pedstawiają odinę paw otacji postaci: ω δ Ω δ κ c 2 ω δ Ω +δ + σ c 2 = v 2 ( Ω ω c 2 ) ( v 2 c 2 ), (3.3) gdie ω, δ, κ i σ to paamety. Py tak definiowanym pawie otacji ównanie Benoulliego pyjmuje postać ( + hc 2 ) e ν/c2 v2 c 2 ( κ c 2 ω δ Ω +δ + σ ) c 2 Pechodąc w (3.3) do ganicy newtonowskiej otymuje się (+δ)κ = C 2. (3.4) lim Ω = Ω = ω. (3.5) c 2/( δ) Pypadek δ = odpowiada stałej watości momentu pędu na jednostkę masy, δ = odpowiada stywnej otacji, natomiast δ = /3 odpowiada otacji kepleowskiej. Dodatkowo waunek ω = GM odpowiada otacji ściśle kepleowskiej dyskutowanej w pocątkowych odiałach. Należy wócić uwagę, że paamet ω może być upełnie dowolny, ω R, dugiej stony paamet δ, e wględu na poblem stabilności [6] jest oganicony, δ R \{ }.

48 46 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne W odiale popednim post-newtonowska popawka otymywana była dla ałożenia F () = F 2 () =. Taki wybó ównań hydodynamiki był dokonany w celu osiągnięcia godności pacą [4]. Okauje się, że funkcje te można wynacyć pope ałożenie, że nieskońcenie cienki, pyłowy dysk w geometii Schwaschilda ma dokładnie spełniać kepleowskie pawo otacji oa ównanie Benoulliego. Takie sfomułowanie poblemu pociąga a sobą waunki κ = ( 3δ)/( + δ) + O(c 2 ) oa σ = 4C + O(c 2 ), gdie C to watość hydodynamicnej enegii na jednostkę masy w eowym ędie. Dla pawa otacji takimi paametami post-newtonowskie ównanie Benoulliego (2.57d) oa ównanie na popawkę do pędkości (2.52) można apisać óżnymi od ea, stosownymi do tego podejścia funkcjami oa F () = 3 2 Ω4 4 (3.6) F 2 () = F ()/(2Ω ) = 3 2 Ω3 2. (3.7) W wiąku tym popawka do entalpii właściwej dana jest woem h = U Ω A φ (Ω ) 2 h 3 2 h2 4h U 2U 2 Ω 4 4 c, (3.8) Ω = 3A φ 4 2 3Ω h Ω3 2. (3.9) Wobec tego, w pybliżeniu PN pędkość kątowa wyażać się będie Ω = Ω + Ω c = ω 2 + ( 3Aφ 3/2 c 2 4 3Ω h 2 3 ) 2 Ω3 2. (3.) Pomień cylindycny w powyżsych woach to pomień współędnościowy. Wiążąc go pomieniem powiechniowym ˆ = ( U /c 2 + O(c 4 )) można apisać najbadiej ogólne wyażenie na popawkę do pędkości w piewsym ędie post-newtonowskim Ω = Ω + Ω c = ω 2 ˆ + ( 3Aφ 3/2 c 2 4 3Ω h Ω ( ) ) Ω U. (3.) Dwa piewse składniki sumy w nawiasie, to omawiane wceśniej popawki geometycna Ω,geo i dynamicna Ω,dyn. Niech kolejne będą onacone Ω,III i Ω,VI. Tecia wiąana jest wyboem cechowania, a jej postać deteminowana jest pe waunek by otację kepleowską definiować pope otację pyłu godnie omawianym tu oumowaniem. Cwata popawka pojawia się w wiąku astąpieniem pomienia współędnościowego pomieniem powiechniowym ˆ.

49 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów Popawki PN dla podstawowych paametów Rodiał ten dotycy wsystkich post-newtonowskich popawek do podstawowych paametów modelu dyskutowanych w pacy [4]. Poniżej apeentowane ostały pełne wykesy oa watości na ówniku dla pięciu funkcji okeślających dany układ, mianowicie gęstości ϱ, ϱ, potencjałów U, U i A φ, oa pędkości Ω, Ω,geo, Ω,dyn, Ω,III, Ω,IV, Ω,III +Ω,IV i współcynnika Ξ. Tak jak popednio, wykesy odnosą się do tech abitalnie wybanych pykładów ysunków 2.2, 2.3, 2.4, tym aem jednak dla funkcji F i F 2 wyażonych woami (3.6), (3.7). Lewe wykesy pedstawiają pełne pofile, pawe watości na ówniku Pypadek piewsy Jest to analia dyskutowanej już wceśniej i pedstawionej na ysunku 2.2 konfiguacji. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 25R S, pomień ewnętny w out = 25R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.47 M c, natomiast ω =.85 2GM c. Wykesy na ysunku 3. pedstawiają ównikowe watości popawek do pędkości kątowej. Należy wócić uwagę na fakt, że popawki tecia i cwata są nacnie więkse niż poostałe dwie. Występują one jednak peciwnym nakiem i suma Ω,III + Ω,VI jest tego samego ędu co popawki geometycna i dynamicna. Dugą istotną kwestią jest dwukotne pegięcie na wykesie Ξ() świadcące o upełnie óżnym pebiegu mienności funkcji Ω () i Ω (). Rysunki 3.2 i 3.3 powalają poównać pofile newtonowskiej i post-newtonowskiej pędkości kątowej. W piewsym pypadku jest to ałożona ależność Ω 3/2. Z gafiki dugiej widać, że post-newtonowska popawka jest o dwa ędy wielkości mniejsa i jest funkcją aówno odległości od osi obotu jak i odległości od płascyny symetii. Rysunek 3.4 pedstawia iloa Ξ będący miaą wkładu post-newtonowskiej popawki do całego pofilu pędkości. Popawka ta stanowi tu od 5 do 8. Minima i maksima najdują się na ówniku. Pawy wykes powala na odcytanie ich watości. Rysunki 3.5 i 3.6 pedstawiają dyskutowane w odiale popednim popawki geometycną oa dynamicną (antywleceniową). Obie popawki ależą od miennej pope ależność od potencjału otacyjnego A φ (popawka geometycna) oa ależność od entalpii właściwej (popawka dynamicna). Suma tych dwóch składników może być ujemna lub dodatnia w ależności od konfiguacji, co było pedmiotem dyskusji w popednim odiale. Rysunki 3.7 i 3.8 pedstawiają kolejne popawki do pędkości kątowej Ω,III oa Ω,IV i są efektem wybou funkcji F i F 2. Funkcje te, a aaem popawki ależą jedynie od miennej adialnej. Same popawki są o ąd wielkości więkse od dwóch popednich Ω,geo i Ω,dyn, jednakże występują óżnymi nakami i ich watość po dodaniu do siebie jest już tego samego ędu co popawki geometycnej i dynamicnej, co widać na ysunku 3.9. Rysunki 3. i 3. pedstawiają newtonowski i post-newtonowski pofil gęstości ϱ i ϱ odpowiednio. Post-newtonowska popawka jest tutaj o ąd wielkości mniejsa i ma ujemny nak. Onaca, to, że w oważanym poblemie gęstość baionowa dysku jest mniejsa niż w newtonowskim modelu. Należy wócić uwagę, że popawka do gęstości baionowej ϱ nie daje infomacji o popawce do masy dysku M PN, gdyż tę należałoby wylicyć jako całkę objętościową pawej stony ównania (2.64). Rysunki 3.2 i 3.3 pedstawiające potencjały gawitacyjne U i U amiescone są tutaj by poównać wkład obu składników do wypadkowego potencjału U. Post-newtonowska popawka jest tutaj dodatnia, ma więc peciwny nak niż jej newtonowski odpowiednik. Onaca to, że układ jest słabiej wiąany a spawą post-newtonowskiej popawki. Dla potencjału otacyjnego A φ pedstawionego na ysunku 3.2 nie ma żadnej skali poównawcej e wględu na cysto elatywistycny chaakte tej wielkości.

50 48 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne.5 c -2 Ω,ΙΙΙ c -2 Ω,IV c -2 (Ω,III +Ω,IV ).5. c -2 Ω,geo c -2 Ω,dyn c -2 (Ω,III +Ω,IV ).5.5 c -2 Ω -.5 c -2 Ω c -2 Ω.85.8 Ξ = Ω /(c 2 Ω ) c -2 Ω Rysunek 3.. Dane dla konfiguacji wykesu 2.2 pedstawiające watości wybanych pofili na ówniku. Lewy góny wykes pedstawia popawkę Ω,III /c 2 (cewone punkty), Ω,IV /c 2 (ielone punkty) oa ich sumę (niebieskie punkty). Pawy góny wykes pedstawia popawkę geometycną Ω,geo /c 2 (fioletowe punkty), popawkę dynamicną Ω,dyn /c 2 (żółte punkty) oa sumę popawek teciej i cwatej (niebieskie punkty). Lewy dolny wykes pedstawia sumę wsystkich popawek, natomiast pawy dolny stosunek post-newtonowskiej popawki do watości newtonowskiej Ω Rysunek 3.2. Newtonowska pędkość kątowa Ω.

51 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów c -2 Ω Rysunek 3.3. Post-newtonowska popawka do pędkości kątowej c 2 Ω Ω /(c -2 Ω ) Rysunek 3.4. Iloa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej i pędkości newtonowskiej Ω /(c 2 Ω ) c -2 Ω,geo Rysunek 3.5. Składowa geometycna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,geo.

52 5 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne c -2 Ω,dyn Rysunek 3.6. Składowa dynamicna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,dyn c -2 Ω,III Rysunek 3.7. Tecia składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,III c -2 Ω,IV Rysunek 3.8. Cwata składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,IV.

53 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów c -2 Ω,III + c -2 Ω,IV Rysunek 3.9. Suma składowych teciej i cwatej c 2 Ω,III + c 2 Ω,IV ρ Rysunek 3.. Newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej ϱ c -2 ρ Rysunek 3.. Post-newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej c 2 ϱ.

54 52 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne U Rysunek 3.2. Newtonowski potencjał gawitacyjny U anaconym kontuem dysku c -2 U Rysunek 3.3. Post-newtonowski potencjał gawitacyjny c 2 U anaconym kontuem dysku c -3/2 A φ e-5. 5e Rysunek 3.4. Potencjał otacyjny c 3/2 A φ anaconym kontuem dysku.

55 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów Pypadek dugi Jest to analia dyskutowanej już wceśniej i pedstawionej na ysunku 2.3 konfiguacji. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 8R S, pomień ewnętny w out = 45R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.4 M c, natomiast ω =.86 2GM c. Pypadek ten óżni się od piewsego pomieniem wewnętnym dysku. Jakościowa analia poscególnych pofili jest podobna do tej pykładu popedniego. Funkcje chaakteyujące te dwie konfiguacje mają analogicne pebiegi mienności. Ilościowa óżnica polega na tym, że poscególne ekstema pyjmują tutaj niżse watości oa są badiej omyte, co daje się auważyć poównując ysunki pypadków piewsego i dugiego, jak np. 3.6 i 3.2 pedstawiające popawkę dynamicną Ω dyn, ysunki 3. i 3.25 pedstawiające popawkę do gęstości baionowej ϱ, oa ysunki 3.3 i 3.27 pedstawiające popawkę do potencjału gawitacyjnego. Różnice pojawiające się w tych dwóch konfiguacjach o óżnych pomieniach wewnętnych są niewielkie w pypadku pofili wielkości newtonowskich (ϱ, U ), wyaźnie więkse kolei dla wielkości post-newtonowskich (ϱ, U ). Stąd wniosek, że post-newtonowskie popawki wykaują więksą ależność od geometii układu c -2 Ω,ΙΙΙ c -2 Ω,IV c -2 (Ω,III +Ω,IV ) c -2 Ω,geo c -2 Ω,dyn c -2 (Ω,III +Ω,IV ) c -2 Ω. c -2 Ω c -2 Ω.85.8 Ξ = Ω /(c 2 Ω ).6.75 c -2 Ω Rysunek 3.5. Dane dla konfiguacji wykesu 2.3 pedstawiające watości wybanych pofili na ówniku. Lewy góny wykes pedstawia popawkę Ω,III /c 2 (cewone punkty), Ω,IV /c 2 (ielone punkty) oa ich sumę (niebieskie punkty). Pawy góny wykes pedstawia popawkę geometycną Ω,geo /c 2 (fioletowe punkty), popawkę dynamicną Ω,dyn /c 2 (żółte punkty) oa sumę popawek teciej i cwatej (niebieskie punkty). Lewy dolny wykes pedstawia sumę wsystkich popawek, natomiast pawy dolny stosunek post-newtonowskiej popawki do watości newtonowskiej.

56 54 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne Ω Rysunek 3.6. Newtonowska pędkość kątowa Ω c -2 Ω Rysunek 3.7. Post-newtonowska popawka do pędkości kątowej c 2 Ω Ω /(c -2 Ω ) Rysunek 3.8. Iloa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej i pędkości newtonowskiej Ω /(c 2 Ω ).

57 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów c -2 Ω,geo Rysunek 3.9. Składowa geometycna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,geo c -2 Ω,dyn Rysunek 3.2. Składowa dynamicna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,dyn c -2 Ω,III Rysunek 3.2. Tecia składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,III.

58 56 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne c -2 Ω,IV Rysunek Cwata składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,IV c -2 Ω,III + c -2 Ω,IV Rysunek Suma składowych teciej i cwatej c 2 Ω,III + c 2 Ω,IV ρ Rysunek Newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej ϱ.

59 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów c -2 ρ Rysunek Post-newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej c 2 ϱ U Rysunek Newtonowski potencjał gawitacyjny U anaconym kontuem dysku c -2 U Rysunek Post-newtonowski potencjał gawitacyjny c 2 U anaconym kontuem dysku.

60 58 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne e-5 c -3/2 A φ e Rysunek Potencjał otacyjny c 3/2 A φ anaconym kontuem dysku Pypadek teci.2.5 c -2 Ω,ΙΙΙ c -2 Ω,IV c -2 (Ω,III +Ω,IV ).2. c -2 Ω,geo c -2 Ω,dyn c -2 (Ω,III +Ω,IV )..8 c -2 Ω c -2 Ω c -2 Ω Ξ = Ω /(c 2 Ω ).3.62 c -2 Ω Rysunek Dane dla konfiguacji wykesu 2.4 pedstawiające watości wybanych pofili na ówniku. Lewy góny wykes pedstawia popawkę Ω,III /c 2 (cewone punkty), Ω,IV /c 2 (ielone punkty) oa ich sumę (niebieskie punkty). Pawy góny wykes pedstawia popawkę geometycną Ω,geo /c 2 (fioletowe punkty), popawkę dynamicną Ω,dyn /c 2 (żółte punkty) oa sumę popawek teciej i cwatej (niebieskie punkty). Lewy dolny wykes pedstawia sumę wsystkich popawek, natomiast pawy dolny stosunek post-newtonowskiej popawki do watości newtonowskiej.

61 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów 59 Jest to analia dyskutowanej już wceśniej i pedstawionej na ysunku 2.4 konfiguacji. Pomień wewnętny lokaliowany jest w in = 3.5R S, pomień ewnętny w out = 5R S. Newtonowska masa dysku jest ówna M D =.8 M c, natomiast ω =.3 2GM c. Pypadek ten jest badiej elatywistycny niż dwa popednie cego pejawem jest pedstawiony na wykesie 3.32 stosunek pędkości newtonowskiej do piewsej post-newtonowskiej popawki sięgający tu maksymalnie do 6%. Zgodnie ocekiwaniami, poostałe popawki są ównież odpowiednio więkse. Maksima oa minima dla więksości pofili pojawiają się w sposób analogicny do wceśniejsych. W pypadku pofilu wielkości Ξ bak jest minimum obsewowanego w popednich pykładach. Dla oważanej konfiguacji jest to jedyna jakościowa óżnica Ω Rysunek 3.3. Newtonowska pędkość kątowa Ω c -2 Ω Rysunek 3.3. Post-newtonowska popawka do pędkości kątowej c 2 Ω.

62 6 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne Ω /(c -2 Ω ) Rysunek Iloa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej i pędkości newtonowskiej Ω /(c 2 Ω ) c -2 Ω,geo Rysunek Składowa geometycna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,geo c -2 Ω,dyn Rysunek Składowa dynamicna post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,dyn.

63 3.2. Popawki PN dla podstawowych paametów c -2 Ω,III Rysunek Tecia składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,III c -2 Ω,IV Rysunek Cwata składowa post-newtonowskiej popawki do pędkości kątowej c 2 Ω,IV c -2 Ω,III + c -2 Ω,IV Rysunek Suma składowych teciej i cwatej c 2 Ω,III + c 2 Ω,IV.

64 62 Rodiał 3. Pybliżenie słabego pola - oważania ogólne ρ Rysunek Newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej ϱ c -2 ρ Rysunek Post-newtonowska gęstość baionowa mateii dyskowej c 2 ϱ U Rysunek 3.4. Newtonowski potencjał gawitacyjny U anaconym kontuem dysku.

65 3.3. Wnioski c -2 U Rysunek 3.4. Post-newtonowski potencjał gawitacyjny c 2 U anaconym kontuem dysku c -3/2 A φ Rysunek Potencjał otacyjny c 3/2 A φ anaconym kontuem dysku Wnioski Pedstawione ostało oumowanie powadące do definiowania pojęcia otacja kepleowska w więksej ogólności niż było to cynione dotychcas. Baując na tej ogólnej definicji, ównania odiału 2 uupełnione ostały o odpowiednie cłony. Dugim celem tego odiału było wyeksponowanie możliwości kodu numeycnego jako naędia, któe ostało opacowane w celu wynacenia pięciu pól ϱ (x), ϱ (x), A φ (x), U (x), U (x) któych najomość powala na badanie całej mechaniki takiego układu w eżimie PN. Pola te ostały pedstawione na wykesach, na któych widać, że wpływ post-newtonowskich popawek do pędkości kątowej jest ędu od kilku pomili do kilku pocent, a same popawki mają upełnie inny okład niż ich newtonowskie odpowiedniki. Pędkość kątowa jest skomplikowaną funkcją miennych i i wyaża się jako suma Ω = Ω + c 2 (Ω,geo + Ω,dyn + Ω,III + Ω,IV ). Post-newtonowska popawka do gęstości baionowej jest na podanych pykładach mniejsa od ea i obniża sumaycną watość gęstości baionowej ϱ = ϱ + c 2 ϱ. Popawka do potencjału gawitacyjnego jest kolei dodatnia i pycynia się do osłabienia pola gawitacyjnego któemu odpowiada potencjał gawitacyjny U = U + c 2 U.