Wycena europejskiej opcji kupna model ciągły

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wycena europejskiej opcji kupna model ciągły"

Anatol Kwiatkowski
8 lat temu
Przeglądów:

1 Henyk Kogie Uniesytet ceciński Wycena euopejskiej opcji kupna model ciągły tescenie elem tego atykułu jest ukaanie paktycnego ykoystania metody matyngałoej dla pocesó ciągłych do yceny euopejskiej opcji kupna ystaionej na akcję be pa do dyidendy. łoa klucoe: miaa matyngałoa, model ciągły, ycena euopejskiej opcji kupna. Wiadomości stępne Zanim pejdiemy fomaie do pykładu dotycącego yceny opcji metodą matyngałoą casem ciągłym, definiujemy pojęcie matyngału, podane ostanie tiedenie o epeentacji matyngałoej dla modeli ciągłych oa ypoadony ó Blacka-cholesa na cenę euopejskiej opcji kupna i spedaży. Poces Z t nayamy matyngałem ględem miay i filtacji, jeżeli achodą aunki: Podobnie jak pypadku dysketnym należy ustalić stategię eplikującą, umożliiającą ycenę danego instumentu X dooej chili t <, gdie temin ygaśnięcia. W tym celu dodatkoo pyjęto, że poces ceny akcji ma mienność tategia samofinansująca pypadku ciągłym potfela jest stategią eplikującą odtaającą atość ypłaty instumentu X, jeżeli spełnione są aunki : 3 H. Kogie, O ykoystaniu do yceny opcji tiedenia o epeentacji matyngałoej, Fima i Rynek /7, cecin 7. A. Weon, R. Weon, Inżynieia finansoa 998. Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45 7

Wiadomości stępne Zanim pejdiemy fomaie do pykładu dotycącego yceny opcji metodą matyngałoą casem ciągłym, definiujemy pojęcie matyngału, podane ostanie tiedenie o epeentacji matyngałoej dla modeli

2 gdie η t licba akcji, λ t licba obligacji. Potfel samofinansujący ma tę łasność, że miany jego atości każdej chili t ależą jedynie od mian aloó najdujących się potfelu i nie ymaga dodatkoego finansoania. Aby ycenić instument pochodny X, należy okeślić ynek pocesem ceny instumentu podstaoego, a następnie ykoystując paa analiy stochastycnej naleźć samofinansującą i eplikującą stategię dla instumentu pochodnego X. iedenie o epeentacji matyngałoej dla pocesó ciągłych. Niech będie uchem Bona ględem miay Q, a niech będie Q matyngałem o takiej łasności, że. Jeżeli jest Q-matyngałem, to istnieje pognooay poces : oa 4 5 Wykoystanie poyżsego tiedenia umożliia poónanie dóch matyngałó i naleienie t. stategii abepiecającej. tosoanie stategii abepiecającej pooduje to, że eplikujemy atość ypłaty instumentu finansoego chili jego ealiacji i poadi to do yceny instumentu finansoego. Wó Blacka-cholesa na euopejską opcję kupna lub spedaży można otymać na kilka sposobó. Należy do niej na pykład metoda stochastycnych ónań óżnickoych cąstkoych 3 lub metoda matyngałoa. Wykoystując metodę matyngałoą cenę Blacka- -cholesa euopejskiej opcji kupna yaża ó 4 : gdie. 6 stopa pocentoa oa od yyka, cas ykonania opcji, cena ykonania opcji, miaa matyngałoa. 3 D.. himko, Finance in ontinuous ime. A pime, Univesity of outhen alifonia, Kolb Publishing ompany A. Weon, R. Weon, Inżynieia finansoa, WN, Wasaa Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45

Aby ycenić instument pochodny X, należy okeślić ynek pocesem ceny instumentu podstaoego, a następnie ykoystując paa analiy stochastycnej naleźć samofinansującą i eplikującą stategię dla instumentu

3 Poces ceny można yaić stosując do tego celu uch Bona ględem penej miay matyngałoej, następująco 5 : lub ónoażnie: 7 8 Ze ou 7 otymano: ięc 9 Z łasności uchu Bona 6 okład miennej można pedstaić jako okład innej miennej gdie mienna N ma okład taki sam, jak okład nomay, py cym achodi: ponieaż gdy, to py. Po podstaieniu otymuje się: oa Ponadto jeżeli to achodi:, 5 Ibidem. 6 Ibidem.. Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45 9

innej miennej gdie mienna N ma okład taki sam, jak okład nomay, py cym achodi: ponieaż gdy, to py.

4 Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45 gdy to Uględniając ostatnie ależności, otymano:. Zatem Ponieaż padie są óności = oa = = ięc można apisać: = B k d e e d e π π Wobec tego, że = e F π,

5 jest dystybuantą standayoanego okładu nomaego otymuje się: k B = F e F Zależność 3 jest oem Blacka-cholesa na cenę euopejskiej opcji kupna odpoiadającej chili t =. Wó ten można oseyć na dooą chilę t. Jeżeli to można napisać: 3 Ponadto 4 5 tosując ó 5 py =, cenę instumentu pochodnego, tym pypadku euopejskiej opcji kupna, dooej chili t można yaić oem 7 : Postępując dla dooego t tak jak dla t =, ó Blacka cholesa ma postać podobną do ależności 3:. 6 lub kócej gdie: 7,, 7 Ibidem. Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45

Jeżeli to można napisać: 3 Ponadto 4 5 tosując ó 5 py =, cenę instumentu pochodnego, tym pypadku euopejskiej opcji kupna, dooej

6 py cym tym pypadku można pyjąć, że cena kupna Blacka-cholesa jest funkcją tech miennych: oa. tategię abepiecającą tym pypadku można otymać na pykład a pomocą potfela gdie:, ponieaż achodi: 8 9 oa atość potfela dana jest ależnością: Podobnie, ykoystując ó opisujący t. paytet kupna-spedaży dla opcji euopejskich, można naleźć cenę Blacka-cholesa dla euopejskiej opcji spedaży: Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45

oa atość potfela dana jest ależnością: Podobnie, ykoystując ó opisujący t.

7 cyli gdie: Do ypoadenia ónania ykoystano też następujące fakty:, gdyż oa jako całka Laplace'a 8. Ponadto, ponieaż ykes funkcji gęstości okładu standayoanego jest tym pypadku symetycnie omiescony ględem ędnej popoadonej punktu =, ięc achodi:. Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45 3

Ponadto, ponieaż ykes funkcji gęstości okładu standayoanego jest tym

8 ena Blacka-cholesa opcji spedaży dla t = pyjmuje postać: W pypadku euopejskiej opcji spedaży stategia abepiecająca dana jest potfelem: ponieaż achodi: 3 4 oa 5 py cym 6 Pykład empiycny Do symulacji yceny euopejskiej opcji kupna ystaionej na akcję be pa do dyidendy ykoystano tiedenie o epeentacji matyngałoej dla modeli ciągłych. Utoono da matyngały o postaci: oa. Dięki nim można stoyć pognooay poces oa poces. Do obliceń pyjęto cas ykonania opcji =,5 oku 3 miesiące, mienność ceny akcji stopę pocentoa oą od yyka = 5%, cenę ykonania opcji kupna 36, ł oa skoystano e oó 7, 8 i 9. 4 Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45

matyngałoej dla modeli ciągłych. Utoono da matyngały o postaci: oa. Dięki nim można stoyć pognooay poces oa poces.

9 abela. ymulacja yceny euopejskiej opcji kupna a pomocą metody matyngałoej model ciągły as nume tygodnia ena akcji ena euopejskiej opcji kupna Licba akcji Licba obligacji ł ł ł 4, 6,9 6,9, ,358 4,5 7,467 7,56, ,75 39,5 5,84 5,34,984-33, ,48 4,86 4,5,9637-3, , 3,45 3,5,9448-3, ,54,85,95,994-3, ,,3,394,897-9, ,5,6,66,85-6, ,,,6,7357-4, ,3,84,93,96-3,769 38,4,64,78, ,558 39, 3, 3,9, ,87 Źódło: opacoanie łasne Wnioski końcoe Podobnie jak modelu dysketnym modelu ciągłym ónież aktualioany jest potfel, któy aiea akcji oa obligacji celu abepiecenia się ped yykiem mian cen instumentu baoego akcji. W każdym momencie dla składniki potfela eplikującego opcję kupna ulegają mianie. Z tabeli ynika, że piesym tygodniu gdy cena akcji ynosi 4,5 ł, inesto poinien mieć soim potfelu =,99753 akcji i -33,75 obligacji po cenie opcji 7,56 ł. W dugim tygodniu, gdy cena akcji ynosi = 39,5 ł, skład potfela inestoa poinno chodić,984 akcji, -33,89 obligacji, po cenie opcji ynosi 5,34 ł. Na spadek atości opcji dugim tygodniu płya obniżenie ceny instumentu baoego oa mniejsenie się casu jaki poostał do teminu ygaśnięcia opcji. Istotna miana aatości potfela jest idocna ócas gdy cena akcji ynosi 36, ł, cyli nacąco bliża do ceny ykonania opcji, któa ynosi 36, ł. Wtedy potfel inestoa aiea,7357 akcji oa 4,435 obligacji. Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45 5

7,467 7,56,99753-33,75 39,5 5,84 5,34,984-33,89 3 38,48 4,86 4,5,9637-3,46 4 38, 3,45 3,5,9448-3,686 5 37,54,85,95,994-3,77 6 37,,3,394,897-9,795 7 36,5,6,66,85-6,75 8 36,,,6,7357-4,435 9

10 W ostatnich casach pocesy matyngałoe stały się populanym i efektynym naędiem badacym stosoanym na ynku kapitałoym. Z uagi na dość uguntoaną już iedę o matyngałach należy żyić nadieję, że nieustannie będie się poseał akes astosoań tego pożytecnego naędia naukach ekonomicnych. HE EUROPEAN ALL OPION PRIING ONINUOU MODEL ummay In the aticle a method of using pactically the matingale epesentation theoem fo the Euopean call option picing has been pesented. Keyods: matingale measue, continuous model, Euopean call option picing. 6 Zesyty Naukoe Fima i Rynek 3/45

Podobne dokumenty

WYBRANE ZAGADNIENIA ODKSZTAŁCEŃ NAPĘDOWEGO KOŁA PNEUMATYCZNEGO CIĄGNIKA ROLNICZEGO. Bronisław Kolator

WYBRANE ZAGADNIENIA ODKSZTAŁCEŃ NAPĘDOWEGO KOŁA PNEUMATYCZNEGO CIĄGNIKA ROLNICZEGO. Bronisław Kolator MOTROL, 26, 8, 118 124 WBRANE ZAGADNIENIA ODKSZTAŁCEŃ NAPĘDOWEGO KOŁA PNEUMATCZNEGO CIĄGNIKA ROLNICZEGO Bonisław Kolato Kateda Eksploatacji Pojadów i Masyn, Uniwesytet Wamińsko-Mauski w Olstynie Stescenie.