PRAWO FOURIERA - KIRCHOFFA WYKŁAD 12

Transkrypt

1 PRAWO FOURIERA - KIRCHOFFA WYKŁAD Daius Mikielewic Politechnika Gdańska Wydiał Mechanicny Kateda echniki Cieplnej

2 Pawo Fouiea-Kichhoa Założenia upascające ównanie F-K:. agadnienie stacjonane, /τ. agadnienie iobaycne, p const 3. bak geneacji wewnętnych źódeł ciepła, q v 4. ciało w stanie stałym, w 5. stałe watości własności iycnych ciała, c p,µ,λ,ρ Bado cęsto mamy do cynienia agadnieniem ciała w stanie stałym, pocesem iobaycnym, gdie własności iycne są stałe. Gęstość stumienia ciepła q-λ gad ρ c p τ ( q q) v

3 Pawo Fouiea Pawo Fouiea-Kichhoa Kichhoa ( ) ( ) ( ) p w p q q w c v p τ τ ρ. Równanie Fouiea a y x a τ. Równanie Poissona 3. Równanie Laplace a λ q v

4 Pawo Fouiea Pawo Fouiea-Kichhoa Kichhoa Układ walcowy θ θ Układ seycny sin sin sin sin φ θ θ θ θ φ θ θ θ θ θ ctg

5 Pawo Fouiea-Kichhoa Waunki jednonacności poblemu Chaakteystycne własności jawiska wa ównaniem óżnickowym to waunki jednonacności poblemu. Waunki te obejmują okład tempeatuy w chwili pocątkowej, geometię ciała oa wajemne oddiaływanie cieplne oważanego układu otoceniem. Opis okładu tempeatuy w obsae w chwili opocęcia analiy nosi nawę waunków pocątkowych. Rokład tempeatuy na begach analiowanego obsau nosi nawę waunków begowych. Dodatkowo, agadnienia konwekcji opisane są ponadto ównaniami ciągłości stugi i ównaniami stanu.

6 Pawo Fouiea-Kichhoa Zagadnienia niestacjonane waunek Cauchy ego, dla τ ( ) ( ), W pypadkach, gdy tempeatua ciała w chwili pocątkowej τ jest stała ( ), const Waunki begowe opisujące wymianę ciepła na begu opatywanego obsau, deiniowane są w jeden cteech następujących sposobów: Okeślony jest okład tempeatuy na begu A w dowolnej chwili, waunek begowy piewsego odaju, waunek Diichleta: ( A, τ ) ( τ ) Okeślona jest watość gęstości stumienia cieplnego na begu A w dowolnej chwili, waunek begowy dugiego odaju, waunek Neumana: λ q( τ ) n A

7 Pawo Fouiea Pawo Fouiea-Kichhoa Kichhoa Okeślona jest tempeatua otacającego ośodka oa ależność, któa opisuje wymianę ciepła pomiędy ciałem a otoceniem na dode konwekcji i pomieniowania, waunek begowy teciego odaju, waunek Newtona: ( ) w A n α λ Okeślone są ówne sobie tempeatuy układu i otocenia na ich styku wówcas na begu układu achodi ówność gęstości stumieni ciepła dla układu i stykającego się nim otocenia, waunek begowy cwatego odaju: '' '' ' ' A A n n λ λ

8 PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM OPORZE PRZEWODZENIA WYKŁAD 4 Daius Mikielewic Politechnika Gdańska Wydiał Mechanicny Kateda echniki Cieplnej

9 Pewodenie w ciałach o małym opoe Pewodenie w ciałach o małym opoe cieplnym (Lumped Capacity Method) jest potężnym naędiem w obliceniach niestacjonanej wymiany ciepła. Pyjmijmy, że ciało ma objętość V, powiechnię A, gęstość właściwą ρ, oa ciepło właściwe c. Jego tempeatua, jest jednakowa w całej objętości, i mienia się na skutek wymiany ciepła otacającym je płynem o stałej w casie tempeatue. powiechnia A objętość, V ρ, c, (t) du dt olej w temp. qa U V c( ) q α( ) ρ

10 Pewodenie w ciałach o małym opoe Podstawiając powyżse wyażenia do ównania bilansu enegii: Waunki begowe: Vρc d dt ( ) Aα dla t Po pekstałceniach: d αa ρcv dt d αa ρcv τ dt Rowiąanie ównania ma postać: ln αa τ ρcv e αa τ ρcv e τ τ Cieplna stała casowa: τ ρcv αa

11 Pewodenie w ciałach o małym opoe Zdeiniujmy bewymiaową tempeatuę oa cas: * * τ αaτ τ τ ρcv * Umożliwia to nam analię pypadków gdie występuje gwałtowna miana tempeatuy * τ αaτ τ τ ρcv Aby teoia pewodenia ciepła miała astosowanie musi być spełniony waunek, że opó pewodenia w ciele stałym musi być dużo mniejsy od opou pejmowania ciepła na ewnąt

12 Pewodenie w ciałach o małym opoe Ciała stałe opó pewodenia wewnąewn L / opó konwekcji na ewnąewn / ( λa) αl ( αa) λ Zdeiniujmy bewymiaową licbę Biota: αl Bi λ Wymia chaakteystycny, l, jest wyażony stosunkiem V/A eoię można stosować w pypadku, gdy Bi<. dla płaskich płyt, walców, kul. Wymiay chaakteystycne dla óżnych pypadków:. Płyta o gubości l: Ll/. Walec o pomieniu R: LR/ 3. Kula o pomieniu R LR/3 4. Seścian o kawędi l Ll/6

13 Pewodenie w ciałach o małym opoe Równanie można pedstawić w postaci ależności pomiędy licbami podobieństwa. W tym celu wykładnik licby e należy pekstałcić do postaci: αaτ c ρv p αl aτ l ( Bi)( Fo) λ l V A l L αl Zdeiniujmy bewymiaową licbę Biota: Bi i Fouiea λ Fo aτ l Wymia chaakteystycny, l, jest wyażony stosunkiem V/A eoię można stosować w pypadku, gdy Bi<. dla płaskich płyt, walców, kul ( Bi) ( Fo) l / L e

14 Pewodenie w ciałach o małym opoe Wynacmy jesce stumień ciepła pepływający pe powiechnię ciała. Jest on mienny w casie, gdyż pomimo stałej watości współcynnika wnikania ciepła α, ulega mianie óżnica tempeatu pomiędy ciałem a otacającym je płynem na skutek miany tempeatuy ciała. Chwilowy stumień ciepła: Q& c p ρv d d τ d αa ( ) dτ c ρv p e αa τ c ρv p Całkowita ilość ciepła wymienioną pe ciało, w casie do dowolnej chwili: Q Qd & τ αa( ) e l ( Bi)( Fo) L

15 Pewodenie w ciałach o małym opoe Hatowanie płyty stalowej Płyta stalowa o gubości cm ostaje wyjęta pieca o tempeatue 6 C i wucona do kąpieli olejowej o tempeatue 3 C. Jeżeli współcynnik pejmowania ciepła ma watość 4 W/m K, ile casu poteba aby schłodić płytę do tempeatuy C? Założyć własności iycne mateiału λ, ρ, c jak dla stali, cyli 5 W/mK, 78 kg/m 3, oa 45 J/kg K, odpowiednio. Dane: Sukane: Założenia: Płyta stalowa hatowana w oleju. Cas schłodenia 6 C do C. Ciało o małym opoe pewodenia.

16 Pewodenie w ciałach o małym opoe Spawdamy watość licby Biota: V/AWHL/WHL/ Biα(L/)/λ4*.5/5.4 cyli Bi.4 <. Wynika stąd, że ciało ma mały opó cieplny pewodenia i można skoystać omawianej teoii

17 Pewodenie w ciałach o małym opoe Znajdźmy stałą casową agadnienia Podstawiając dane adania, tj.: 6 o C, inal o C, 3 o C Rowiąujemy e wględu na cas:

18 Pewodenie w ciałach o małym opoe Końcówka temopay, któą można modelować a pomocą kulki, jest używana do pomiau tempeatuy w pepływie gau. Współcynnik pejmowania ciepła pomiędy powiechnią końcówki a gaem wynosi α4 W/m K. Własności temoiycne końcówki wynosą λ W/mK, c4 J/kgK, ρ85 km/m 3. Wynacyć śednicę końcówki temopay tak aby miała ona stałą casową ówną s. Zakładając, że pocątkowo końcówka ma tempeatuę 5 o C i następnie jest użyta do pomiau tempeatuy gau o tempeatue o C, ile casu ajmie wskaanie pe końcówkę tempeatuy 99 o C? końcówki temopay α łące temopay λ

19 Pewodenie w ciałach o małym opoe Założenia:. empeatua końcówki stała w każdej chwili casu. Radiacyjna wymiana ciepła otoceniem do pominięcia 3. Pewodenie ciepła pe końcówki do pominięcia 4. Stałe własności temoiycne końcówki ρπd τ αa απd 6 ( ρcv ) c 3 V A 6ατ D ρc 3 πd D π D 6 αd Bi 6 λ τ τ αa ( ρcv ) i ln 4 ρdc i n 6α 4 5 ln 5.s 5τ 99

20 PRZEWODZENIE CIEPŁA W SANACH USALONYCH PRĘY I ŻEBRA WYKŁAD 5 Daius Mikielewic Politechnika Gdańska Wydiał Mechanicny Kateda echniki Cieplnej

21 Wstęp CEL SOSOWALNOŚCI ŻEBER Bioąc pod uwagę akt, że wymiana ciepła popawia się wa e więksaniem powiechni wymiany ciepła, jak ównież bioąc pod uwagę akt że opó cieplny pomiędy powiechnią wymiany ciepła oa otoceniem jest cęsto dużo więksy od poostałych opoów cieplnych to celem intensyikacji wymiany ciepła cęsto używa się żebe.

22 Wstęp

23 Wstęp

24 Zastosowania w elektonice

25 eoia pętów najpostsego żeba Pęt umocowany do powiechni ciała stałego celem owinięcia powiechni

26 eoia pętów αp x (- )

27 eoia pętów Ropatmy bilans ciepła dla elementanej objętości kontolnej x qa qa dq A x αp x dx ( ) Wykoystując pawo Fouiea, q-λ gad, oa akładając stałą watość λ: d λa αp dx ( ) Otymujemy ównanie óżnickowe dugiego ędu e stałymi współcynnikami: d dx m ( ) Można je owiąać akładając następujące waunki begowe: m α P λ A x d λ α x dx x L ( ) L lub d dx x

28 eoia pętów Dla waunków begowych dla xl mamy następujące okłady tempeatuy: d λ α x dx x L ( ) L d dx x x x

29 eoia pętów Mając do owiąania ównanie óżnickowe dugiego ędu, wpowadamy mienną: d dx m ( ) Ogólna postać ównania do owiąania: m α P λ A d ϑ ϑ m dx Postać ogólna owiąania otymujemy metodą pewidywań: ϑ lub ϑ ϑ Ce mx De mx ( mx) F cosh( mx) E sinh

30 eoia pętów Zakładając, że gadient tempeatuy na końcu pęta pyjmuje watość, żebo doskonale aiolowane, mamy dla x: ϑ C D Zakładając, że żebo jest nieskońcenie długie: ϑ L Ce ml De ml Rokład tempeatuy w żebe pybiea postać: ϑ ϑ cosh cosh [ m( L x) ] ( ml) m α P λ A

31 eoia pętów stumień ciepła Ciepło wymieniane pe żebo na dode pewodenia ciepła: L Q & α P ( dx ) Podstawiając poil tempeatuy dla żeba doskonale aiolowanego: ϑ ϑ cosh cosh Otymujemy: L αp( ) Q& cosh ( ml) [ m( L x) ] ( ml) cosh ( ml)( L x) Aby owiąać powyżse ównanie należy wykonać podstawienie: ( L x) ξ m Rowiąanie końcowe: ( ) αp L Q& m cosh( ml) ( cosh( ξ ) dξ ) αp m cosh ( ) ( ml) sinh dx dξ dx m ( ) sinh( ml) cosh( ml) αp m ( ) tgh( ml)

32 eoia pętów stumień ciepła Podobne owiąanie można uyskać deinicji stumienia ciepła: Q& λa d dx x λa λa [ ] dx cosh( ml) x ( msinh[ m( L x) ]) cosh( ml) d cosh m ( ) ( L x) ( ) Jest to ównoważne apisem popednio wypowadonym: x λa ( ) tgh( ml) ( ) tgh( ml) A( ) tgh( ml) P Q& α λ m m α P λ A

33 eoia pętów spawność żeba Wymiana ciepła jest najwięksa jest najwięksa jeżeli żebo jest utymywane w tempeatue podstawy. Spawność żeba to stosunek ecywistego stumienia ciepła wymienianego pe żebo do stumienia ciepła, któe odpowiadałoby stumieniowi ciepła żeba utymywanego w stałej tempeatue podstawy. η Q& Q& ideal Q& αpl ( ) αp m α ( ) tgh( ml) PL( ) tgh( ml) ml tgh( ml) η ml ml

34 Żebo postokątne W paktyce inżynieskiej występuje seeg innych odajów żebe. Poniżej ostanie omówionych kilka pykładów: W paktyce inżynieskiej można koystać e woów wypowadonych dla pypadków pęta, py wpowadeniu onaceń jak obok: R th αp tgh ml m Opó cieplny żeba: αplη ( )

35 Spawność powiechni ożebowanej α( A A ) αaη R i R i Całkowita spawność powiechni ożebowanej: t ( A A ) ηa Aη Rowiąując e wględu na spawność całkowitą: A ( ) ηt η A Opó cieplny powiechni ożebowanej: R th αaη t Q& A δ A λ α η α A

36 Celowość stosowania żebe Stosowanie żebe jest celowe tylko w pypadku, gdy pe ożebowanie powiechni osiąga się więksenie stumienia pejmowanego ciepła. Dla wypowadenia kyteium celowości stosowania żebe chłodących należy pyównać do ea pochodną dq/dh. Celowość stosowania żebe okeśla teoetycnie waunek, Biαδ/λ< W paktyce aleca się stosowanie żebe gdy Bi<.4

37 Celowość stosowania żebe Spawdić celowość stosowania żebe w pypadku cienkich żebe stalowych omywanych gaem (δmm, λ45 W/mK, α5w/m K) oa żebe odlewanych omywanych wodą (δ mm, α W/m K). Dla pypadku, Biαδ/λ5*./45.3 Dla pypadku, Biαδ/λ*./45.44 WNIOSEK: Stosowanie żebe ma sens w pypadku

38 Celowość stosowania żebe W podsumowaniu oważań dotycących powiechni ożebowanych należy stwiedić że: stosowanie żebowania powiechni jest celowe, gdy współcynnik wnikania ciepła po tej stonie pegody jest mały, dla żebe postych o pekoju postokątnym, ożebowanie powoduje więksenie ilości wnikającego ciepła jeżeli spełniony jest waunek, gdie onaca połowę gubości żeba, stosowanie ożebowania powiechni jest wykle badiej asadne w pypadku wymiany ciepła pomiędy pegodą a gaem niż pomiędy pegodą a ciecą, py doboe kstałtu żebe należy bać pod uwagę wględy konstukcyjne, oa akt, że ożebowanie powiechni powoduje więksenie opou pepływu cynnika omywającego tę powiechnie, ożebowanie powiechni powoduje więksenie użycia mateiału na wykonanie elementu powiechnią ożebowaną.

39 Żeba o miennym pekoju Elementany bilans enegii: Upascając: Podstawiając pawo Fouiea: q ( ) t q( π ) ( tq) d π t 4π d α d d d d ( tq) α ( ) d d β ( ) ( ) π ( ) α P β m λ A Robimy podstawienie: ϑ β

40 Żeba o miennym pekoju Żeba o miennym pekoju ( ) d d d d β A P m λ α β Równanie pewodenia ciepła: Podstawienie: ϑ β ϑ ϑ ϑ d d d d Otymujemy ównanie: Waunki begowe: ϑ β d d d d ϑ β Możliwe jest naleienie owiąania analitycnego w ależności od unkcji Bessela: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,, K I K I F K F I I F K ϑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / K I I K K I I K β β β β β β β β β η Spawność żeba okągłego:

41 Żeba o miennym pekoju

42 Żeba o miennym pekoju