Klasyczna akrecja dyskowa

Transkrypt

1 Klasyczna akecja dyskowa 1. Stacjonany dysk kepleowski dyskusja jakościowa Zakładamy akecję mateii z dużym momentem pędu, l ini, jak np. w układach podwójnych z pzepływewm pzez L1. Mateia osiada na swojej piewszej obicie kepleowskiej (kołowej) wokół ciała centalnego. Pomień cykulayzacji wynosi 2 l ini l ini = GM ini ini = GM Badamy teaz sytuację poniżej, dla << ini Pzypuśćmy, że akecja jest bao powolna, czyli cząstki pozostają paktycznie na obitach kołowych, ale powoli dyfują na coaz ciaśniejszą obitę ze względu na utatę momenu pędu w wyniku iałania sił lepkich. Zatem moment pędu cząstek, w amach teoii newtonowskiej, wynosi l =l K = GM Powiemy sobie teaz, że tempo, w jakim towazysz dostacza masę, jest niezmienne w czasie i ówne Mdot. Co możemy z tego wydedukować?

2 1. Stacjonany dysk kepleowski dyskusja jakościowa 1a. Ocena jasności całkowitej źódła Popzednio, pzy analizie spadku adialnego (wykład 1) mieliśmy L= M c 2 = 1 2 R Schw R R pomie ń gwiazdy Pzy spadku 'dyskowym' musimy wziąć pod uwagę enegię wiązania obity kołowej tuż pzy powiezchni gwiazdy GM 2 1 GM e= 2 R 1 R Schw R 1 l K R 1 GM 2 R 2 = 2 R = c 2 = 4 R Enegia wyielona w dysku jest dwa azy mniejsza niż enegia wyielona pzy spadku adialnym na obiekt o tym samym pomieniu. Ale w pzypadku gwiazdy, a nie czanej iuy, dojście dysku do powiezchni gwiazdy nie wyczepuje zapasu enegii do oyskania. Jeśli gwiazda nie otuje, to enegia kinetyczna zostanie wyielona w wyniku tacia, co da dodatkowo z samej wastwy bzegowej (bounday laye): BL = 1 4 R Schw R Wastwa bzegowa to dodatkowa jasność, w dodatku ówna jasności dysku zcałkowanej po powiezchni. Razem sumują się do wydajności akecji sfeycznej na gwiazdę. Wastwa bzegowa nie występuje pzy akecji na czaną iuę. 2

3 1. Stacjonany dysk kepleowski dyskusja jakościowa 1b. Szacowanie ozkładu jasności w dysku akecyjnym Rozważamy dwie bliskie obity kołowe: e K = 1 2 GM pzy zmianie obity: e K =e K e 1 K = 2 e 1 GM K 2 2 GM 1 GM 2 Jeżeli w ciągu 1 sek pzechoi Mdot kg masy, to tempo wyielania enegii w tym pasie dysku jest E = M 1 GM 2 2 Ta enegia jest wyświecona pzez powiezchnię tego właśnie pasa: S = 2 2 Dlatego stumień pomieniowania z jednostki powiezchni dysku akecyjnego, unoszący nadmia enegii wynosi oientacyjnie E F G M M = S = 8 3 Emisję z dysku akecyjnego okeśla tempo akecji oaz kształt potencjału gawitacyjnego, nie są potzebne żadne infomacje dotyczące natuy sił lepkich lub stuktuy dysku. Ten wniosek jest słuszny dość ogólnie dla dysku stacjonanego kepleowskiego, natomiast pezentowany wzó nie jest całkiem popawny ze względu na zaniedbanie wewnętznego waunku bzegowego, o czym za chwilę. 3

4 2. Dysk kepleowski ównanie ciągłości Teaz zajmiemy się ścisłymi ównaniami dla dysku kepleowskiego. To ostatnie wymaga, aby dysk był geometycznie cienki (inaczej uch nie jest kepleowski). Dysk ma pewną stuktuę w kieunku wetykalnym (oś z), czyli pewien ozkład gęstości, tempeatuy i ciśnienia, natomiast jest osiowo symetyczny. Zbadamy teaz konsekwencje ównania ciągłości, nie zakładając jeszcze stajonaności. Równanie ciągłości w fomie ogólnej: t v = 0 a we współzędnych cylindycznych, po uwzględnieniu symetii t 1 v z v z = 0 żeli dysk jest geometycznie cienki, a nas nie inteesują szczegóły, to wato dysk pzecałkować w kieunku wetykalnym, co umożliwi wpowaenie pojęcia gęstości powiezchniowej = 0, z 4

5 2. Dysk kepleowski ównanie ciągłości c.d. Całkując ównanie ciągłości po gubości dysku otzymujemy: t 1 R v = 0 v z 2 Σ =0 je żeli nie ma wypływu z dysku w kieunku wetykalnym (wiat) Wpowaamy teaz inną, ogólnie pożyteczną wielkość: - tempo akecji: M t, = 2 v Zatem w pzypadku całkiem ogólnym (pominięcie utaty masy) mamy: 4 t M = 0 Jeżeli chcemy ozważyć pzypadek stacjonany, to oczywiście wymagamy, żeby pochodne po czasie były ówne zeo, a w szczególności: stacjonaność: t = 0 M = M 0 = const Oczywiście tego mogliśmy się spoiewać, ale wypowaenie ównania ciągłości było dobym ćwiczeniem pzed wypowaeniem ównania na tanspot momentu pędu, któego postaci nieco tudniej się domyśleć.. 5

6 3. Dysk kepleowski tanspot momentu pędu Teaz ozważymy ównanie uchu w kieunku φ. Mają one ogólną postać wektoową w pzypadku, gdy mamy nie tylko ciśnienie, ale także siły lepkie v t v v = T ównania Naviea-Stokesa Składowa w kieunku φ ma postać ogólną (we współzędnych cylindycznych): v t v v v 1 v phii v v 1 z z v v = 1 P 1 2 t 2 T tenso(tacie,ciśnienie) jeżeli dominuje pędkość w kieunku φ ; tφ jest składową tensoa sił lepkich, jedyną ważną. Dysk kepleowski to v GM oaz symetia osiowa, co znakomicie upaszcza ównanie, nawet bez założenia stacjonaności = v v 1 v v 1 2 t = 2 To ównanie można zgabniej pzepisać, używając momentu pędu: l =v 1 v l K 1 2 t = 2 l K 2 v =2 2 t Jeśli ozważyć pzypadek stacjonany, to można ównanie pzecałkować po i otzymać f to ównanie nale ży teaz pomnożyć pzez 2 π 2, i otzymujemy a nast ępnie pzecałkować po gubości dysku M l K = 2 2 t M l K = ; gie = 2 2 t M l l inn = inn 6

7 3. Dysk kepleowski stacjonany tanspot momentu pędu c.d. Ustalenie waunku bzegowego: zamiast ogólnie dwóch dowolnych stałych, możemy okeślić inteesujące nas ozwiązanie kozystając z dyskusji na popzednim wykłaie. W pzypadku akecji na czaną iuę mamy natualny waunek bzegowy na obicie maginalnie stabilnej: l in = l K ( ms ) Θ in = 0 ponieważ tam ozpoczyna się spadek swobodny i siły lepkie nie iałają.. W pzypadku akecji na zwykłą gwiazdę musimy odwołać się do postaci tensoa T t = si ły lepkie nie iałają, gdy otacja jest sztywna, Ω = const Jak mówiliśmy, dość blisko powiezhni gwiazdy jest miejsce, gie d Ω /d = 0, jeśli gwiazda nie otuje, zatem ponownie mamy waunek Θ in = 0. Zatem najzupełniej ogólnie, dla dysku kepleowskiego stacjonanego, tanspot momentu pędu opisujemy ównaniem M l l inn = l in moment pędu na obicie maginalnie stabilnej lub pzy powiezchni gwiazdy l inn = GM ms = GM c l inn = GMR gwiazdy 3 dla nieotującej czanej iuy w pzybliżeniu newtonowskim dla zwykłej gwiazdy 7

8 4. Dysk kepleowski ównanie enegii Równanie enegii uzupełnia ównanie ciągłości i ównania uchu. Popzednio wypisywaliśmy je w postaci zawieającej enegię knetyczną i potencjalną, ale można je pzekształcić używając ównań uchu. Najbaiej zwatą postać uzyskuje się, wpowaając entopię: T S t T v S = F ad q Nad tym ównaniem tzeba teaz popacować uwzględniając następujące fakty: (i) w pzypadku dysku kepleowskiego wazny jest tylko jeden element tensoa i ma postać = t d d (ii) ozważymy dysk stacjonany, w pzybliżeniu newtonowskim (iii) zaniedbamy adwekcję (adialny stumień ciepła) (iv) zaniedbamy adialny stumień pomieniowania (v) zaniedbamy pzewodnictwo to zostanie nam tylko 0 = df ad Równanie to można pzecałkować po gubości dysku: 2 F ad = d d t t d d a to z kolei pomno żyć pzez 2π i wykozystać definicję Θ To jest w pełni popawny wzó na stumień pomieniowania z powiezchni dysku stacjonanego kepleowskiego. Różni się o czynnik od tego z początku wykładu, ale nadal nie zależy od postaci sił lepkich! To bęie bao ważne na następnym wykłaie (liczenie widma dysku). 8 df ad 4 F d ad = d F 3G M ad = M = l inn l K t d d

9 5. Waunek bzegowy dla czanej iuy w óżnych pzybliżeniach Czynnik l in /l K w popzednim wzoze można wygodnie wyazić popzez x = /R Schw. (i) pzybliżenie newtonowskie l inn 3 1 =1 l K x wielko ść oczywiście zeuje się dla x=3, na obicie maginalnie stabilnej, tam stumień pomieniowania z dysku jest ówny zeo, a poniżej wzó się nie stosuje. (ii) pzybliżenie pseudnewtonowskie l inn 3 3 x 1 1 =1 l K 2 x 3/2 w sumie podobne, zw łaszcza dla dużego x (iii) metyka Schwazschilda (nieotująca czana iua) 3 2x 2 1 l inn 1 = l K 1 1 3x x ln 1 1 x 1 3 2x 21 (iv) metyka Kea (otująca czana iua) W tym wypadku jest jeszcze dużo gozej, bo dochoi poblem wyznaczenia położenia obity maginalnie stabilnej w funkcji paameteu a. Ostateczny wzó na stumień pomieniowania z dysku ma nadal stuktuę F ad = 3G M M 8 3 L, a L(,a) 1 dla L( ms,a) = 0 9

10 6. Równania budowy stacjonanego kepleowskiego dysku Ten poblem nas inteesuje wtedy, gdy chcemy obliczyć coś więcej niż widmo pomieniowania dysku świecącego jak ciało czane, czyli na pzykład gdy chcemy spawić efekty geometyczne (gubość dysku), ocenić skale czasowe (stabilność, ewolucja), gdy chcemy spawić, czy aby nasz dysk jest dostatecznie geometycznie cienki i kepleowski lub gdy chcemy policzyć widmo dysku lepiej. Paamety globalne dysku: Równania stuktuy wetykalnej będą nam okeślać takie wielkości jak gęstość, tempeatua, ciśnienie, pędkośc adialna mateii w dysku jako funkcje nie tylko pomienia, ale także odległości z od plaszczyzny ównikowej: (i) ównanie uchu w kieunku 'z' 1 M, M dp = GMz 3 ównanie ównowagi hydostatycznej (ii) ównanie enegii df 0 ad = t d d Nic dalej nie ziałamy, jeśli nie okeślimy członów występujących w tym ównaniu. Człon sił lepkich genialne założenie stojące u podstwa tzw. standadowej teoii dysków akecyjnych. Pochoi z pac Shakua (1972) i Shakua & Sunyaev (1973) t = P tot P tot = P gas P ad tenso si ł lepkich popocjonalny do ciśnienia Współczynnik α jest tu paametem modelu, ale najnowsze wyniki teoetyczne i obsewacyjne (o tym coś bęie później) wskazują, że α jest zędu 0.2 w obiektach galaktycznych i aczej 0.02 w AGN. 10

11 6. Równania budowy stacjonanego kepleowskiego dysku c.d. Pzy takim założeniu można pawą stonę ównani już wyazić popzez inteesująca nas i wyznaczalne wielkości, i mamy dugie podstawowe ównanie: df ad z = 3 2 P K ównanie geneacji enegii Musimy jeszcze dopecyzować lewą stonę ównania, czyli okeślić, jak enegia dysypowana w głębi dysku pzez siły lepkie bęie bęie tanspotowana pzez pomieniowanie na zewnątz. O tym jeszcze bęie, ale już teaz dla kompletu stwieimy, że ogólnie, F ad = k T co w pzypadku dysku, gdy zaniedbamy stumień pomieniowania w kieunku adialnym, daje nam F 16 ad z= T 3 dt ównanietanspotu pomienistego 3 Te tzy ównania óżniczkowe wystaczają, żeby okeślić stuktuę wetykalną dysku, czyli policzyć Fad(z), P(z) i T(z), ale muszą być uzupełnione dodatkowymi związkami algebaicznymi i waunkami bzegowymi. Związki algebaiczne: (i) ównanie stanu (ciśnienie = ciśnienie gazu + ciśnienie pomienowania) P = k T 1 m H 3 at 4 k sta ła Boltzmana, μ - śedni cięża cząsteczkowy mh masa atomu wodou, a = 4 σ/c, σ - stała Stefana-Boltzmana wato ści patz Zombeck Handbook... (ii) współczynnik niepzezoczystości κ(ρ,t) = κ es + κ abs Są poste wzoy analityczne(zombeck), dokładniejsze watości dostępne w fomie stablicowanej. 11

12 6. Równania budowy stacjonanego kepleowskiego dysku c.d. Dzięki związkom algebaiczym mamy więc tzy ównania na tzy zmienne: dp = GMz 3 ównanie ównowagi hydostatycznej dt = 3 F ad z 16 T 3 ównanietanspotu pomienistego df ad z = 3 2 P K ównanie geneacji enegii Musimy sfomułować jeszcze waunki bzegowe, aby można było ozpocząć całkowanie. W zadaniach matematycznych zwykle są one okeślone dla wszystkich wielkości w jednym punkcie z 0. Niestety, tak się nie da dla stuktuy dysku akeyjnego (bądź stuktuy gwiazdy ten sam poblem!). Pzy powiezchni dysku, dla z = H() (na azie nie znanego) mamy F ad H = F ad = 3G M M H = 0 T H = F ad 0 = 0 1/4 F ad 3 Schw F ad = T 4 jeżeli zaczynamy od tempeatuy efektywnej Równania ozwiązujemy od góy (zgadując watość H w danym ), a następnie spawamy, czy utafiliśmy w czwaty waunek. Jeśli nie, to zmieniamy H, i w ten sposób, iteacyjnie, H zostaje wyznaczone. 12