Grawitacja: - wiąże wszystkie masy we Wszechświecie, - jest najsłabszą wśród znanych nam sił, - działa na wszystkich odległościach,

Transkrypt

1 POLE GAWITACYJNE Fakt odkycia pe Newtona Pawa Gawitacji Powsechnej (naywanej też pawem Ciążenia Powsechnego) miał dla owoju ludkości nacnie więkse nacenie niż to sobie awycaj wyobażamy Jest to spowodowane tym, że pawa gawitacji wynika ogomna ilość konsekwencji, ównież filooficnych, a to w sposób nieuchonny dopowada do nowego spojenia na świat, pesteń, mateię Gawitacja jest najsłabsym e nanych oddiaływań np, gdy weźmy dwa najbadiej opowsechnione składniki mateii: poton i elekton, to okaże się, że siła pyciągania gawitacyjnego tych cąstek jest ponad 0 9 ay mniejsa niż siła pyciągania elektostatycnego Onaca, to, że w więksości pypadków, gdy acynają diałać siły typu elektycnego, gawitacja pestaje się licyć Gawitacja: - wiąże wsystkie masy we Wsechświecie, - jest najsłabsą wśód nanych nam sił, - diała na wsystkich odległościach, - jest awse pyciągająca Pawo powsechnego ciążenia Poównując pyspiesenie gawitacyjne na obicie Księżyca i na powiechni iemi, Newton akładał, że iemia achowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w śodku gadywał, że tak ma być, ale dowód matematycny pepowadił dopieo 0 lat później Doświadcenia wiąane uchami planet i spadaniem ciał na iemię, uchem pocisków, itp dowodą istnienia sił wajemnego pyciągania się ciał Siły te podlegają pawu podanemu pe Newtona w 687 oku, któe głosi, że: iędy dowolnymi dwoma punktami mateialnymi diała siła wajemnego pyciągania wpost popocjonalna do ilocynu mas tych punktów i odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości miedy nimi

2 Pawo to nosi nawę pawa powsechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to samo pawo stosuje się do wsystkich ciał i sił gawitacyjnych Siły pyciągania ciał podlegające temu pawu nosą natomiast nawę sił gawitacyjnych Watość siły gawitacyjnej jest okeślona następującym woem: m m F G, gdie współcynnik popocjonalności G jest naywany stałą gawitacji W apisie wektoowym pawo gawitacji pyjmuje postać: m m m m F G G, cego wynika, że siła gawitacyjna, jaką punkt mateialny o masie m diała na punkt mateialny o masie m odległy od punktu m o jest skieowana wdłuż postej łącącej pyciągające się punkty mateialne i jest wócona peciwnie do wektoa pomienia wodącego punktu o masie m wględem punktu o masie m

3 Stała gawitacji, G=(6,67+0,00) 0 - m /kg s, jest ówna licbowo sile gawitacyjnej, jaką wywieają na siebie dwa ciała o masie l kg każde odległości lm Jest ona stałą uniwesalną Pawa Keplea Paca Keplea (609-69) była wielkim odkyciem i aktem odwagi własca po tym jak w 600 oku spalono na stosie Giodana Buno wolennika systemu heliocentycnego Pawa Keplea wmocniły hipoteę Kopenika Keple posukiwał nieskomplikowanej geometycnie obity, żeby udowodnić, że as i iemia musą obacać się wokół Słońca Po latach pacy odkył ty poste pawa, któe gadały się wynikami pomiaowymi poycji planet bado dużą dokładnością Te pawa stosują się też do satelitów okążających jakąś planetę Piewse pawo Keplea Każda planeta pousa się po elipsie, w któej ognisku najduje się Słońce Pawo to wynika paw uchu ciała w polu siły centalnej i odpowiada pypadkowi ujemnej enegii całkowitej Dugie pawo Keplea Pomień wodący planety akeśla w ównych odstępach casu ówne pola

4 Pawo to jest po postu pawem stałej pędkości polowej w uchu o stałym momencie pędu Wynika niego międy innymi, że pędkość planety jest najwięksa w punkcie pysłonecnym obity, a najmniejsa w punkcie odsłonecnym: Stałość pędkości polowej L0 v m onaca, bowiem, że pędkość jest odwotnie popocjonalna do pomienia wodącego Tecie pawo Keplea Kwadaty okesów obiegu planet dookoła Słońca są wpost popocjonalne do seścianów więksych półosi ich obit Jeżeli pyjmie się upascające ałożenie, że obita planety jest okęgiem o pomieniu, to tecie pawo Keplea można wyaić woem: T const oważmy uch jakiejś planety o masie m po obicie o pomieniu wokół Słońca uch ten jest uchem jednostajnym po okęgu o okesie obiegu T Siła dośodkowa diałająca na tę planetę będie siłą gawitacyjną Okeśla ją w tym pypadku wó: m ma G, d 4 T G, 4

5 stąd 4 G T const III pawo Keplea dla planet pousających się po obitach kołowych Koystając wou na masę np Słońca otymamy dla piewsej planety: a dla dugiej Poównując otymuje się lub 4 GT 4 T GT T T T Cięża ciała W pobliżu powiechni iemi dla ciała o masie m będie diałała siła ciężkości ówna mg Na Księżycu cięża jest mniejsy w poównaniu ciężaem na iemi około seść ay: F F K m K G K m G K K 0,65 Ważną konsekwencją tego, że siła gawitacyjna diałająca na ciało jest popocjonalna do jego masy, jest możliwość pomiau masy a pomocą pomiau siły gawitacyjnej ożna to obić używając wagi spężynowej albo poównując siły gawitacyjne diałające na masę naną (woec) i na masę nienaną 5

6 Odgywa tu olę ta właściwość ciała, któa powoduje jego pyciąganie pe inne obiekty takie jak iemia i siła jest okeślona woem gdie m' jest masą gawitacyjną Cy m i m' ciała są sobie ówne? m' F G asa bewładna m spadając swobodnie w pobliżu powiechni iemi ma pyspiesenie a, py cym m a m ' G jeżeli inna masa m uyskuje inne pyspiesenie a to m a G m ' Dieląc te ównania pe siebie otymujemy m a m ' m a m ' tego ównania wynika, że jeżeli wsystkie ciała spadają tym samym pyspieseniem a =a =g, to iloa mas bewładnych jest ówny iloaowi mas gawitacyjnych Te wyniki sugeują, że masa bewładna jest ówna masie gawitacyjnej To stwiedenie naywa się asadą ównoważności uch ciała wywołany diałaniem jego ciężau naywamy swobodnym spadkiem Pyspiesenie g nadane w tym uchu ciału pe jego cięża naywa się pyspieseniem gawitacyjnym w postaci: Dynamicne ównanie uchu ciała spadającego swobodnie można apisać wówcas pyspiesenie: m G mg, g G io 6

7 ależność powyżsa powadi do bado ważnego wniosku: pyspiesenie gawitacyjne danego ciała nie ależy od masy, omiaów ani innych wielkości chaakteyujących to ciało io Jest to właśnie pycyną tego, że wsystkie ciała spadają w póżni swobodnie jednakowym pyspieseniem wou tego wynika, że pyspiesenie gawitacyjne ależy od odległości (wysokości) h ciała nad powiechnię iemi Wyażając, bowiem odległość ciała od śodka iemi sumą pomienia iemi i wysokości h otymujemy ależność: lub g g h g h G, ( h) h h Siła gawitacyjna, jaką iemia diała na każde ciało jest skieowana wdłuż pomienia iemi i jest wócona ku jej śodkowi Wskutek uchu obotowego iemi wokół własnej osi (uch dobowy) na ciało najdujące się na iemi diała ównież siła odśodkowa bewładności 7

8 Siłę wypadkową będącą sumą geometycną siły gawitacyjnej i siły odśodkowej bewładności wiąanej uchem dobowym iemi naywa się ciężaem ciała Cięża Q jest, więc ówny sile gawitacyjnej F, tylko na biegunie m Q G bieg m G 4 m T Q ówn gdie T jest okesem obotu iemi Pole gawitacyjne wewnąt kuli W pypadku powiechni sfeycnej o masie i pomieniu, dla >> natężenie pola gawitacyjnego jest ówne g G tj tak jakby cała masa była skupiona w śodku kuli Jakie jest jednak pole wewnąt powiechni sfeycnej? Dla powiechni sfeycnej o bado małej gubości d można wybać dwie leżące napeciwko siebie powiechnie A i A W dowolnym punkcie leżącym A wewnąt sfey fagment A casy jest źódłem siły F, a powiechnia A A jest źódłem siły F 8

9 Stąd oważań geometycnych widać, że F A F A A A (pola powiechni stożków są popocjonalne do kwadatu wymiaów liniowych) Po podstawieniu do piewsego ównania: F F Wynika stąd, że wkłady od A i A nosą się ożna w ten sposób podielić całą powiechnię sfeycną i uyskać siłę wypadkową ówną eo Tak, więc wewnąt sfey siła oddiaływania gawitacyjnego jest ówna eu Pole wewnąt sfey o dowolnej gubości też jest eo, ponieważ można podielić tą sfeę na seeg cienkich wastw współśodkowych 9

10 Pole wewnąt kuli o pomieniu : Jeżeli gęstość kuli jest stała to: to () g() G () V() V 4 () G g Jest to ależność liniowa pyspiesenia gawitacyjnego od 0

11 Pole gawitacyjne Chociaż pole jest pojęciem abstakcyjnym to jest bado użytecne i nacnie upasca opis wielu jawisk Na pykład, w pypadku wielu mas, można najpiew oblicyć (w punkcie ) pole pochodące od tych mas, a dopieo potem siłę diałającą na masę umiesconą w tym punkcie Aby łatwiej można było opisać oddiaływania gawitacyjne wpowada się pojęcia pola gawitacyjnego Oddiaływanie międy dwoma punktami mateialnymi astępuje się oddiaływaniem międy polem i punktem mateialnym Pole to jest py tym wytwoone pe dugi punkt mateialny Według tej metody, gdy nane jest pole gawitacyjne, nana też jest siła gawitacyjna diałająca na masę punktową umiesconą w tym polu Pole gawitacyjne jest to pesteń, w któej na umiescone w niej ciała diała siła gawitacyjna iaą ilościową pola gawitacyjnego jest jego natężenie E Watość natężenia pola gawitacyjnego jest ówna licbowo sile, jaką to pole diała na punkt mateialny o masie jednostkowej Wekto natężenia E jest ównoległy do siły gawitacyjnej Jest on py tym tak samo wócony, jak wekto siły gawitacyjnej: E g G Wekto, odległości od masy do danego punktu pola, w któym okeślamy natężenie jest wócony od masy do punktu pola Natężenie pola gawitacyjnego i pyspiesenie gawitacyjne są okeślone tymi samymi woami Wó ostatni powala wyciągnąć następujące wnioski: - Źódłem pola gawitacyjnego jest ciało o okeślonej masie, - Natężenie pola gawitacyjnego jest wócone ku masie, któa to pole wytwaa, - Natężenie pola gawitacyjnego ma wymia pyspiesenia polem sił wiąże się nie tylko pestenny okład wektoa natężenia pola, ale ównież pestenny okład enegii

12 Siły gawitacyjne należą do gupy sił achowawcy Fakt ten umożliwia definiowanie pewnej wielkości skalanej powalającej opisywać ilościowo pole gawitacyjne tak samo ściśle, jak jest to możliwe py pomocy natężenia pola Wielkością tą jest potencjał pola gawitacyjnego, wany też potencjałem gawitacyjnym Potencjałem pola gawitacyjnego w danym punkcie A naywamy stosunek pacy, jaką wykonuje siła gawitacyjna penosąc ciało póbne o masie m punktu A do punktu odniesienia C (pole gawitacyjne w tym punkcie jest ówne eu) do watości masy m: V A WA C m Ponieważ pole gawitacyjne nika dopieo w nieskońcenie wielkiej odległości od masy, któa to pole wytwoyła, to pacę oblica się najcęściej na dode od punktu A do nieskońconości Potencjał gawitacyjny w punkcie najdującym się w odległości A od źódła pola masy jest okeślony ależnością: V A m m Fd G d G G A m A A A Jak wynika ostatniego wou, potencjał pola gawitacyjnego jest wielkością skalaną ależną od masy ciała wytwaającego to pole nak -" onaca, że pole gawitacyjne jest polem sił pyciągających Gdy dwa ciała o masach odpowiednio ównych i m najdują się w odległości A od siebie, wówcas ich enegia potencjalna wiąana oddiaływaniami gawitacyjnymi jest ówna pacy, jaką musi wykonać siła gawitacyjna, aby osunąć te ciała na odległość nieskońcenie wielką: E W p A Ponieważ siła gawitacyjna jest siłą pyciągającą, pemiescenie ciał i wekto siły gawitacyjnej są peciwnie wócone Dlatego też gawitacyjna enegia potencjalna jest wielkością okeśloną woem: E p A Fd A m G d Gm A G A m io

13 Enegia potencjalna ma watość ówno eu w nieskońconości (punkt odniesienia) i maleje w miaę mniejsania się A Onaca to, że siła jest pyciągająca Wó ten jest pawdiwy be wględu na wybó dogi, po jakiej punkt pousa się nieskońconości do A Pole gawitacyjne możemy pedstawić gaficnie py pomocy pewnych linii i powiechni wiąanych wielkościami chaakteyującymi to pole odinę linii twoą tak wane linie sił pola gawitacyjnego Są to linie, do któych w każdym ich punkcie jest stycny wekto natężenia pola gawitacyjnego odinę powiechni twoą tak wane powiechnie ekwipotencjalne Są to powiechnie, któych wsystkie punkty mają taki sam potencjał gawitacyjny Powiechnie ekwipotencjalne i linie sił pecinają się w każdym punkcie pola pod kątem postym Linie sił acynają się w nieskońconości i końcą się na danej masie punktowej wytwaającej pole gawitacyjne Biegną one adialnie Powiechnie ekwipotencjalne są sfeycnymi powiechniami współśodkowymi o śodku pokywającym się daną masą punktową io Pędkości kosmicne Poblemem, jaki występuje w kosmonautyce, polega na wpowadenia statku kosmicnego na obitę okołoiemską W tym celu należy nadać temu pojadowi tak dużą pędkość, by siła odśodkowa bewładności mogła ównoważyć siłę gawitacyjną pyciągania iemi Gdy statek kosmicny kąży wokół iemi w niedalekiej odległości od powiechni iemi, pędkość tę naywa się piewsą pędkością kosmicną Waunek ównowagi statku kosmicnego w wiąanym nim nieinecjalnym układie odniesienia:

14 m v G m, można wynacyć watość pędkości, jaką powinien mieć statek kosmicny na obicie okołoiemskiej Pędkość ta jest ówna: v I G g, gdie jest odległością statku kosmicnego od śodka iemi, natomiast g jest pyspieseniem gawitacyjnym w tej odległości Gdy statek kosmicny pousa się w pobliżu iemi ( ), wtedy otymujemy wyażenie okeślające piewsą pędkość kosmicną Podstawiając do ostatniego wou dane licbowe otymuje się watość v I =7,9 0 m/s Innym ważnym poblemem kosmonautyki jest wypowadenie statku kosmicnego poa obsa pyciągania iemi Aby tego dokonać, teba temu pojadowi nadać więksą pędkość w chwili statu niż w piewsym pypadku, gdy chodiło tylko o wpowadenie go na obitę okołoiemską Pędkość skieowaną wdłuż pomienia iemi i wóconą od śodka iemi w nieskońconość o watości odpowiadającej enegii kinetycnej niebędnej do peniesienia statku kosmicnego powiechni iemi do nieskońconości naywamy dugą pędkością kosmicną Aby tę pędkość naleźć, należy skoystać asady achowania enegii mechanicnej Pominiemy w tych obliceniach opó powieta, a więc waunki, w jakich ta asada jest spełniona, będą achowane Onaca to, że enegia statku na powiechni iemi E p musi być ówna enegii E 0 statku na obicie Waunek ten powadi do ależności: mv lub mv Dalse pekstałcenia powadą do wou: p p Gm mv Gm ob, Gm Gm Gm 4

15 v G p Podstawiając otymujemy wyażenie okeślające tę dugą pędkość kosmicną: v II G v I Podstawiając do tego wou dane, otymujemy następującą watość dugiej pędkości kosmicnej v II =,km/s io Gdy na ciało będie diałać dodatkowo jakaś inna siła bewładności, na pykład siła wiąana pyspieseniem windy lub uchem po okęgu wokół iemi, cięża tego ciała będie ulegał mianom Gdy cięża ciała jest więksy niż to wynika diałania siły gawitacyjnej i siły odśodkowej bewładności wiąanej uchem obotowym (dobowym) iemi, wtedy mówimy, że ciało to najduje się w stanie peciążenia Gdy jednak siła gawitacyjna i siły bewładności diałające na ciało ównoważą się, wtedy mówimy, że ciało to najduje się w stanie nieważkości Kosmonauci, na pykład, najdują się w stanie peciążenia w chwili statu akiety nośnej, natomiast w stanie nieważkości są oni wówcas, gdy statek ten najduje się już na obicie okołoiemskiej 5