Mateusz 3LSLH Akademia Ekonomiczna w Krakowie. Wycena europejskiej opcji kupna w czasie rzeczywistym. Analiza bayesowska 1

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE 9 2JOQRSROVNLH 6HPLQDULXP DXNRZH ZU]HQLD Z 7RUXQLX.DWHGUD NRQRPHWULL L 6WDW\VW\NL 8QLZHUV\WHW 0LNRãDMD.RSHUQLND Z 7RUXQLX Akademia Ekonomiczna w Krakowie Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism. Analiza baesowska :VWS Zasosowanie wnioskowania baesowskiego do zagadnienia wcen insrumenów ochodnch o raz ierwsz rzedsawione w rac Bauwensa L /XEUDQR ± ]RVWDáR UR]ZLQLWH Z SUDFDFK 2VLHZDOVNL L 3LSLH L 3LSLH 5H]XOWDWHP SU]\MFLD WHJR W\SX ZQLRVNRZDQLD MHVW QDWXUDOQ\ SUREDELOLVW\F]Q\ RSLV QLHSHZQRFL VWDW\VW\F]QHM R EDGDQ\FK ZLHONRFLDFK Wniki uzskane w racach Bauwens i Lubrano 997 Bos Mahieu i Van 'LMN L LQQ\FK ZVND]XM L* XMFLH ED\HVRZVNLH PR*H E\ü V]F]HJOQLH SU]\GDWQH Z ]DVWRVRZDQLDFK ILQDQVRZ\FK ± D ]ZáDV]F]D ± Z Z\FHQLH insrumenów ochodnch. Celem rac es zasosowanie rocesów GARCH ang. Generalised AuoRegressive Condiionall Haeroscedasic; or. Bollerslev 986 Nelson ] DV\PHWULDPL NWUH ]DSURSRQRZDOL 2VLHZDOVNL L 3LSLH GR PRGHORZDQLD ]PLHQQRFL DQJ volaili dziennch só zwrou kursu waluowego i do wcen euroeskie oci kuna wsawiane na en kurs; or. Black i Scholes 973 oraz *DUPDQ L.RKOKDJHQ $UW\NXá SUH]HQWXMH ED\HVRZVN HVW\PDFM Z\EUDQ\FK ZVNDQLNZ ZUD*OLZRFL UR]ZD*DQHM RSFML NXSQD 8]\VNDQH UR]NáDG\ D SRVWHULRUL SDUDPHWUX dela RSFML GRVWDUF]DM LQIRUPDFML R QLHSHZQRFL ex ane ]ZL]DQHM ] W ZLHONRFL RUD] VWDQRZL SRGVWDZ GR SRJáELRQ\FK EDGD QDG UR]ZD*DQ RSFM 5R]NáDG\ a oseriori 3UDFD SU]\JRWRZDQD Z UDPDFK EDGD VWDWXWRZ\FK $NDGHPLL NRQRPLF]QHM Z Krakowie w roku 2003.

2 294 arameru dela RSFML WR WDN*H ± QD JUXQFLH ED\HVRZVNLP ± SXQNW Z\MFLD GR DQDOL]\ SRZV]HFKQLH VWRVRZDQHM Z SUDNW\FH VWUDWHJLL ]DEH]SLHF]DMFHM QHXWUDOQHM Z]JOGHP del ang. dela neural hedge; DNH. Jes o sraegia NWUD XPR*OLZLD SU]\ EUDNX DUELWUD*X HIHNW\ZQH ]DEH]SLHF]HQLH URGNZ QD WUDQVDNFM RSF\MQ Z FKZLOL UHDOL]DFML RSFML MHOL GRNRQDQR VSU]HGD*\ RSFML kuna. 5R]ZD*DQLD X]XSHáQLRQH V SU]\NáDGHP HPSLU\F]Q\P Z NWU\P Z RNUHVLH RG GR UR]ZD*RQR UH]XOWDW\ PRGHORZDQLD ]PLHQQRFL VWS ]ZURWX GRODUD DPHU\NDVNLHJR ] Z\NRU]\VWDQLHP SURFHVX *$5&+ ] asmeriami. W dniach do dni dokonwano G]LHQQHM DNWXDOL]DFML GRVWSQHJR V]HUHJX F]DVRZHJR VWS ]PLDQ DE\ QD MHJR SRGVWDZLH Z\]QDF]\ü UR]NáDG\ a oseriori L SUHG\NW\ZQH ZLHONRFL SRGOHJDMF\FK PRGHORZDQLX : V]F]HJOQRFL GRNRQXMF ED\HVRZVNLHM DNWXDOL]DFML UR]NáDGX a oseriori ang. baesian udaing Z UR]ZD*DQ\P RNUHVLH Z\]QDF]RQR UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH FHQ HXURSHMVNLHM RSFML NXSQD Z\VWDZLDQHM QD NXUV GRODUD DPHU\NDVNLHJR UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH SDUDPHWUX ]PLHQQRFL RUD] ZVNDQLND ZUD*OLZRFL dela oci. Baesowska esmaca i SUHG\NFMD VWRVRZDQD MHGQRF]HQLH ] G]LHQQ DNWXDOL]DFM GDQ\FK PD QD FHOX ]EDGDQLH ZUD*OLZRFL SRáR*HQLD L UR]SURV]HQLD UR]NáDGZ SUHG\NW\ZQ\FK QD QDSá\ZDMFH QRZH REVHUZDFMH VWS ]PLDQ 2. Proces GARCH z asmeriami Niech x R]QDF]D ZDUWRü NXUVX ZDOXWRZHJR Z FKZLOL w dniu. 2VLHZDOVNL L 3LSLH SURSRQXM DE\ V]HUHJ F]DVRZ\ ^x =0...T...} RSLV\ZDü SRSU]H] SURFHV $5 GOD OQx ]H VNáDGQLNLHP ORVRZ\P EGF\P rocesem GARCHq z asmeriami. Niech =00lnx /x -. Zaroonowan L V]F]HJáRZR RSLV\ZDQ\ Z SUDF\ 2VLHZDOVNL L 3LSLH PRGHO NWU\ oznaczm ako M PD SRVWDü δ = ρ δ + δ ln x + ε = T gdzie ε =z h 0.5 QLH]DOH*QH ]PLHQQH ORVRZH ] PDM LGHQW\F]QH VNRQH UR]NáDG\ -Sudena or. Fernández Osiewalski i Seel 995 o nieznane liczbie soni swobod ν>2 modalne ξ - + ednoskowe reczi i aramerze asmerii γ>0. Cznnik h ± EGF\ RGZURWQRFL SUHF\]ML ZDUXQNRZHJR UR]NáDGX Z]JOGHP FDáHM SU]HV]áRFL VNáDGQLND ORVRZHJR ε es dan wzorem: h = a 0 + a I ε < 0 + a ε I ε 0 + bh ε =...T.. 2

3 Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism Proces $V\PPHWULF*$5&+ ]GHILQLRZDQ\ SU]H] XPR*OLZLD badanie asmerii reakci h ma znak ε - ; or Glosen Jagannahan i Runkle 993 Bauwens i Lubrano 997 Bauwens Lubrano i Richard 999. $V\PHWULD WD MHVW QLHPR*OLZD GR PRGHORZDQLD Z UDPDFK ]Z\Ná\FK SURFHVZ *$5&+ SRU %ROOHUVOHY RUD] HOVRQ NWUH V MHG\QLH szczególnm rzadkiem 2 gd a =a +. W równaniu 2 wmagana es dla ]QDMRPRü RGZURWQRFL SUHF\]ML h 0 :LHONRü W WUDNWXMHP\ MDNR QLH]QDQ\ SDUDPHWU PRGHOX SUENRZHJR 2VLHZDOVNL L 3LSLH GRZRG] L* SU]\MFLH VNRQHJR UR]NáDGX -Sudena dla z SRZRGXMH *H UZQDQLH GHILQLXMH PRGHO *$5&+LQ0HDQ SRU QJOH Lilien i Robins 987. Model M ]DNáDGD Z NRQVHNZHQFML GOD warunkow Z]JOGHP FDáHM SU]HV]áRFL UR]NáDG VNRQ\ -Sudena o ν>2 soniach swobod modalne µ = δ + ρ δ + δ ln x µ =..T... RGZURWQRFL SUHF\]ML h i aramerze asmerii γ>0 co oznaczam w QDVWSXMF\ VSRVE ψ M = sks ν µ h γ =...T Smbol R]QDF]D ZHNWRU ZV]\VWNLFK QLH]QDQ\FK SDUDPHWUZ UR]ZD*DQHJR modelu a sks MHVW JVWRFL UR]NáDGX SUDZGRSRGRELHVWZD ]PLHQQHM ORVRZHM R VNRQ\P UR]NáDG]LH -Sudena; or. Fernández Osiewalski i Seel U]\MFLH UHVWU\NFML ν! JZDUDQWXMH LVWQLHQLH ZDUXQNRZHM Z]JOGHP ψ - warianci so zmian :LHONRü WD MHVW ]DGDQD QDVWSXMF IRUPXá gdzie: Var 3 3 γ γ ν 2 ψ M h + τ γ ν = h d γ ν γ γ ν = 2 2 γ γ 2ν Γ ν + / 2 τ γ ν =. γ + γ ν Γ ν / 2 πν : V]F]HJOQRFL MHOL γ= o τγν=0 oraz dγν=ν/ν 2. Wed Var ψ - M =h ν/ν± FR VSURZDG]D GR ]QDQHM ]DOH*QRFL SRPLG]\ ZDULDQFM L RGZURWQRFL SUHF\]ML GOD V\PHWU\F]Q\FK UR]NáDGZ -Sudena o ν! VWRSQLDFK VZRERG\ UR]NáDG\ WH RGSRZLDGDM SU]\MFLX γ=. Niech =... R]QDF]D GRVWSQ\ Z GDQHM FKZLOL ]DREVHUZRZDQ\ D* do dnia ragmen szeregu czasowego logarmicznch só zmian. 3U]\MPLMP\ GRGDWNRZR *H T. Przez = s oznaczm ragmen V]HUHJX VWS ]PLDQ SRGOHJDMF\ SURJQR]LH Z FKZLOL = SU]\MW\FK ]DáR*H Z\QLND L* PRGHO SUENRZ\ F]\OL JVWRü UR]NáDGX SUDZGRSRGRELHVWZD

4 296 wekora obserwaci w chwili SU]\ ]DGDQ\FK ZDUWRFLDFK SDUDPHWUZ PD SRVWDü + = + = = = s sks s h M M γ µ ν ψ 5 W chwili model baesowski M WR áf]q\ UR]NáDG SUDZGRSRGRELHVWZD wekorów obserwaci i i wekora nieznanch aramerów o unkci JVWRFL M = M M. 6 =DNáDGDP\ QLH]PLHQQLF]\ Z]JOGHP SU]\MW\ Z SUDF\ 2VLHZDOVNL L 3LSLH UR]NáDG a riori SDUDPHWUZ R QDVWSXMFHM JVWRFL 0 0 b a a a h M + = γ ρ δ δ ν ζ. 7 6]F]HJáRZ\ RSLV SU]\MWHM VWUXNWXU\ a riori PR*QD ]QDOHü Z SUDF\ 2VLHZDOVNL L 3LSLH 2NUHORQ\ UZQDQLHP PRGHO ED\HVRZVNL XPR*OLZLD Z\]QDF]HQLH UR]NáDGX a oseriori aramerów w chwili 5R]NáDG WHQ MHVW VNRQVWUXRZDQ\ Z RSDUFLX R SU]\MW QLH]DOH*QLH RG JVWRü UR]NáDGX a riori RUD] R GRVWSQH dane 'RVWDUF]D RQ QLHSHZQRFL VWDW\VW\F]QHM NWUD MHVW NRQIURQWDFM SU]\MW\FK ]DáR*H a riori z modelem róbkowm zbudowanm dla GRVWSQ\FK Z GDQHM FKZLOL REVHUZDFML 5R]NáDG WHQ R]QDF]DP\ SU]H] : Θ = = d W chwili GOD VWS ]PLDQ SRGOHJDMF\FK SURJQR]LH ± ± Z\]QDF]\ü PR*QD UR]NáDG SUHG\NW\ZQ\ Θ = d. 9 5R]NáDG WHQ VWDQRZL SXQNW Z\MFLD Z PRGHORZDQLX QLHSHZQRFL ex ane o SU]\V]á\FK Z]JOGHP VWRSDFK ]PLDQ UR]ZD*DQHJR LQVWUXPHQWX ILQDQVRZHJR MDN L R GRZROQHM IXQNFML SU]\V]á\FK VWS ]PLDQ L SDUDPHWUZ SRGOHJDMFHM ]DLQWHUHVRZDQLX EDGDF]D 5R]NáDG SUHG\NW\ZQ\ ]H V]F]HJOQ\P XZ]JOGQLHQLHP G]LHQQHM DNWXDOL]DFML GRVWSQHJR V]HUHJX F]DVRZHJR VWS zmian sanowi w modelu M SRGVWDZ Z ED\HVRZVNLHM Z\FHQLH RSFML Z F]DVLH rzeczwism.

5 Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism Analiza euroeskie oci kuna W chwili w momencie wsawienia cena euroeskie oci kuna DV /+s o erminie realizaci +s oraz cenie realizaci K wsawiane na kurs waluow R ZDUWRFL x MHVW UZQD ZDUWRFL RF]HNLZDQHM ]G\VNRQWRZDQHM Z\SáDW\ VNRMDU]RQHM ] W RSFM SRUGhsels Harve i Renaul 995: DV /+s =ex r h r s E[x +s K + ]. 0 RUPXáD x +s K + =max{0 x +s K ` ZH Z]RU]H MHVW IXQNFM Z\SáDW\ RSFML x +s WR ]PLHQQD ORVRZD RSLVXMFD QLHSHZQRü FRGRZDUWRFL NXUVX GRODURZHJR w okresie realizaci oci r h o znana w chwili VWRSD SURFHQWRZD ]ZL]DQD ] ZDOXW NZRWRZDQ DQJ home ineres rae a r o soa rocenowa walu bazowe ang. oreign ineres rae : SUDNW\FH Z FHOX SU]\EOL*RQHJR REOLF]HQLD ZDUWRFL UR]ZD*DQHM RSFML ZDOXWRZHM VWRVXMH VL ± QD PRF\ ]DáR*HQLD R EUDNX DUELWUD*X ± XRJOQLRQ\ Z]U %ODFND L 6KROHVD SRGDQ\ SU]H] 0HUWRQD SRU 0HUWRQ ]ZDQ\ WH* IRUPXá *DUPDQD.RKOKDJHQD SRU Garman i Kohlhagen 983: gdzie: DV /+s =x ex r snd K ex r h snd 2 d ln x / K + r r = σ s h s + 0.5σ 2 s d d σ s 2 =. Smbol σ R]QDF]D SDUDPHWU ]PLHQQRFL DQJ volaili L RNUHOD U\]\NR ]ZL]DQH ] QLHSHZQRFL FR GR VWS ]PLDQ NXUVX ZDOXWRZHJR OLF]RQ\FK MDNR 0.0 =lnx /x - w okresie realizaci oci. W rakcznch zasosowaniach obok roblemu szacowania arameru σ UR]ZD*D VL WDN*H ZVNDQLNL ZUD*OLZRFL RSFML :VSáF]\QQLN dela RSFML LQIRUPXMH MDN PR*H ]PLHQLü VL ZDUWRü RSFML Z ]DOH*QRFL RG ]PLDQ kursu waluowego x 3DUDPHWU WHQ PR*H E\ü REOLF]RQ\ Z ND*GHM FKZLOL SRPLG]\ WHUPLQHP Z\VWDZLHQLD a erminem realizaci konraku ocnego +s L GDQ\ MHVW MDNR SRFKRGQD F]VWNRZD FHQ\ RSFML Z FKZLOL + Z]JOGHP x + : DV + / + + s δ / + = =0...s. 2 x + :VSáF]\QQLN MHVW VWRVRZDQ\ Z VWUDWHJLL QHXWUDOQHM Z]JOGHP del ang. dela neural hedge; DNH NWUD SR]ZDOD ]DEH]SLHF]\ü URGNL QD SU]\V]á WUDQVDNFM RSF\MQ MHOL Z\VWDZLRQR RSFM NXSQD L GRNRQDQR MHM VSU]HGD*\ 5R]ZD*DQD VWUDWHJLD SROHJD QD W\P L* Z FKZLOL + od momenu srzedania RSFML NXSQD D* GR WHUPLQX UHDOL]DFML =0...s QDOH*\ QD SRWU]HE\ SU]\V]áHM WUDQVDNFML ZDOXWRZHM MDND PR*H PLHü PLHMVFH Z FKZLOL +s G\VSRQRZDü δ /+

6 298 ZDOXW\ ED]RZHM QD ND*G MHGQRVWN WHM ZDOXW\ NXSRZDQHM SU]H] SRVLDGDF]D oci w chwili +s. Oznaczm rzez W ZROXPHQ UR]ZD*DQHM WUDQVDNFML RSF\MQHM QD SU]\NáDG W R]QDF]D L* SRVLDGDF] RSFML NXSQD PD SUDZR Z chwili +s NXSLü G]LHVLü W\VLF\ GRODUZ SR NXUVLH K =JRGQLH ]H VWUDWHJL DNH GOD ND*GHJR =0...s QDOH*\ ]DEH]SLHF]\ü QDVWSXMF LORü LQVWUXPHQWX odsawowego: D /+ =W δ /+ =0...s. 3 :L*H VL WR ] ]DNXSHP ZDOXW\ QD U\QNX SR NXUVLH x +. Kosz sraegii QHXWUDOQHM Z]JOGHP GHOW\ Z\QRVL ]DWHP Z FKZLOL +: C /+ =x + D /+ =x + W δ /+ =0...s. 4 QWHUHVXMF\P ] SXQNWX ZLG]HQLD ]DVWRVRZD MHVW NRV]W XWU]\PDQLD Z GDQHM chwili + VWUDWHJLL QHXWUDOQHM Z]JOGHP del MHOL Z GQLX SRSU]HGQLP +- oniesiono znane w chwili + SHZQH NRV]W\ ]ZL]DQH ] W VWUDWHJL =Dá*P\ *H Z FKZLOL +- oniesiono kosz oznaczon ako C +-. W chwili + kosz XWU]\PDQLD SR]\FML JZDUDQWXMFHM dela-qhxwudoqrü PD SRVWDü CC /+ = C /+ C +- = x + W δ /+ C : ]DOH*QRFL RG QDNáDGZ SRQLHVLRQ\FK Z SRSU]HGQLP GQLX NRV]W PR*H SU]\MPRZDü GRZROQH ZDUWRFL U]HF]\ZLVWH ± Z W\P L XMHPQH 0QLHMV]H RG ]HUD ZDUWRFL ]PLHQQHM CC /+ WR SU]\FKG Z\QLNDMF\ ]H VSU]HGD*\ QD U\QNX RGSRZLHGQLHM LORFL LQVWUXPHQWX ED]RZHJR ]DNXSLRQHJR Z FKZLOL +- ak ab w chwili + E\ü Z SRVLDGDQLX MHG\QLH W δ /+ ednosek ego insrumenu a QLH MDN Z\MFLRZR W δ /+- ednosek. 3URJQR]D]PLHQQRFLZPRGHOX$5±*$5&+] asmeriami Prakczne wkorzsanie wmaga modelowania i rognozowania na SRGVWDZLH GRVWSQHJR Z GDQHM FKZLOL V]HUHJX F]DVRZHJR VWS ]PLDQ ± SDUDPHWUX ]PLHQQRFL VWS ]ZURWX NXUVX ZDOXWRZHJR /LWHUDWXUD ] ]DNUHVX HNRQRPHWU\F]Q\FK PHWRG Z\FHQ\ RSFML ZVND]XMH L* SURFHV\ *$5&+ V V]F]HJOQLH F]VWR X*\ZDQH Z V]DFRZDQLX SDUDPHWUX σ; or. Pagan i Schwer 990 Noh Engle i Kane 994 Duan 995 Bauwens i Lubrano 997. W QLQLHMV]\P DUW\NXOH SU]\MWR Z V]F]HJOQRFL ]D SDUDPHWU σ warunkowe odchlenie sandardowe zmienne 0.0 w chwili realizaci oci =+s uzskane z modelu M =JRGQLH ] UZQDQLHP R]QDF]D WR L* σ = σ 0.0 d γ ν 7 + s = h + s

7 Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism gdzie h +s MHVW ]DGDQH SU]H] IRUPXá =EXGRZDQ\ QD SRGVWDZLH PRGHOX M i GRVWSQ\FK Z FKZLOL danch ± UR]NáDG σ: σ + s M = 0.0 h d γ ν M =T T+... T+T' 8 GRVWDUF]D SUREDELOLVW\F]QHJR RSLVX QLHSHZQRFL ex ane o aramerze ]PLHQQRFL NWUD Z\QLND ] ]DáR*H PRGHORZ\FK RSDUW\FK R SURFHV *$5&+ ] DV\PHWULDPL SRU L 5R]NáDG\ XPR*OLZLDM Z\]QDF]HQLH UR]NáDGZ redkwnch cen oci wsawiane w chwili ; or. : DV /+s K r h r M 9 kóre dla =TT+...T+T' VWDQRZL X]\VNDQ\ ] PRGHOX M ormaln ois QLHSHZQRFL ex ane R FHQLH UR]ZD*DQHM HXURSHMVNLHM RSFML NXSQD :VNDQLN ZUD*OLZRFL NRQWUDNWX ocnego dela RSFML ± WDN*H PR*H SRGOHJDü ZQLRVNRZDQLX :\]QDF]RQ\ UR]NáDG SUHG\NW\ZQ\ WHJR SDUDPHWUX QD SRGVWDZLH modelu M : δ /+ K r h r M =TT+... T+T' =0...s 20 VWDQRZL SXQNW Z\MFLD GR SRJáELRQHM DQDOL]\ VWUDWHJLL ]DEH]SLHF]DMF\FK Z\NRU]\VWXMF\FK RSFMH : V]F]HJOQRFL XMFLH ED\HVRZVNLH SR]ZDOD RV]DFRZDü QLHSHZQRü MDN QLHVLH PRGHO M w zagadnieniu sraegii ]DEH]SLHF]HQLD QHXWUDOQHM Z]JOGHP del 5R]NáDG\ SUHG\NW\ZQH ZDUWRFL URGNZ MDN Z FKZLOL + =0...s QDOH*\ ZP\O WHM VWUDWHJLL ]DEH]SLHF]\ü QD WUDQVDNFM RSF\MQ Z FKZLOL UHDOL]DFML D /+ oraz kosz zasosowania e sraegii w chwili + C /+ or 3 i 4: D /+ K r h r M =TT+... T+T' =0...s 22 C /+ K r h r M =TT+... T+T' =0...s 23 PRJ RGJU\ZDü NOXF]RZ URO Z SURJQR]LH UH]XOWDWZ VWRVRZDQLD WHM VWUDWHJLL 5. Analiza emirczna -DNR SU]\NáDG HPSLU\F]Q\ SUH]HQWXMHP\ Z\FHQ HXURSHMVNLHM RSFML NXSQD o erminie realizaci s=30 dni wsawiane na kurs erminow dolara DPHU\NDVNLHJR 5R]ZD*RQR V]HUHJ F]DVRZ\ G]LHQQ\FK ORJDU\WPLF]Q\FK VWS ]PLDQ ]árwrzhjr NXUVX GRODUD Z GQLDFK GR T+T =740 obserwaci. W okresie od do T +=37 dni dokonwano G]LHQQHM DNWXDOL]DFML GRVWSQHJR V]HUHJX F]DVRZHJR VWS ]PLDQ 'OD ND*GHJR = na odsawie szeregu Z\]QDF]DQR UR]NáDG\ a oseriori aramerów modelu baesowskiego M :

8 300 M = Model M VWDQRZLá SRGVWDZ GR X]\VNDQLD GOD ND*GHJR = UR]NáDGZ SUHG\NW\ZQ\FK SDUDPHWUX ]PLHQQRFL :\]QDF]RQR WDN*H ± GOD ND*GHJR ± UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH IRUPXá\ Garmana-Kohlhagena QD FHQ RSFML SRU RUD] UR]NáDG\ dela oci; or. 9. W ormule na FHQ HXURSHMVNLHM RSFML NXSQD QD NXUV ZDOXWRZ\ MDN L GR REOLF]HQLD Z FKZLOL kursu erminowego K Z\PDJDQH V VWRS\ SURFHQWRZH r i r h ]ZL]DQH ] insrumenem bazowm USD i NZRWRZDQ\P 3/ : EDGDQLDFK SU]\MWR GOD LQVWUXPHQWX ED]RZHJR GQLRZ GRODURZ VWRS /%25 /%86'P oraz dla insrumenu NZRWRZDQHJR ± GQLRZ VWRS :%25 :%3/P.XUV Z\NRQDQLD UR]ZD*DQ\FK RSFML Z\QRVL Z FKZLOL : K =x exr - r h s/360; = DEHOD SUH]HQWXMH UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH IRUPXá\ Garmana-Kohlhagena QD FHQ UR]ZD*DQHM RSFML RUD] SDUDPHWUX ]PLHQQRFL X]\VNDQH GOD = Rsunek rezenue rzebieg median redkwnch szare linie NZDUW\OL SUHG\NW\ZQ\FK GZLH F]DUQH JUXEH OLQLH SU]HELHJDMFH QDG L SRG wkresami median oraz NZDQW\OL U]GX L FLHQNLH OLQLH SU]HELHJDMFH od wkresem NZDUW\OD U]GX L SRQDG Z\NUHVHP kwarla 0.75 UR]NáDGZ FHQ\ RSFML 2EVHUZXMH VL GX* ZUD*OLZRü QD SRMDZLDMFH VL QRZH REVHUZDFMH VWS ]PLDQ ]DUZQR SRáR*HQLD MDN L UR]SURV]HQLD UR]NáDGZ DV /+s K r h r M ; : RNUHVDFK JZDáWRZQ\FK Z\EXFKZ ]PLHQQRFL NUWNR SR =370 i w okolicach = lub =620 UR]SURV]HQLH UR]NáDGZ FHQ\ RSFML X]\VNDQH ] PRGHOX M JZDáWRZQLH Z]UDVWD -HGQRF]HQLH RNUHV\ QLHZLHONLFK ZDKD G]LHQQ\FK VWS ]PLDQ SRZRGXM VNXSLDQLH VL W\FK UR]NáDGZ SRU Rs. = =600 = HGLDQD SUHG\NW\ZQD FHQ\ RSFML QLH]QDF]QLH Z]UDVWD ]D ND*G\P UD]HP JG\ QDVWSXMH Z]URVW ]PLHQQRFL SRMDZLDMF\FK VL QRZ\FK VWS ]PLDQ QDWRPLDVW SU]\MPXMH QL*V]H ZDUWRFL Z RNUHVDFK QLHZLHONLHJR QDVLOHQLD ZDKD -HG\QLH EDUG]R GX*H VNRNL Z ZDUWRFL NXUVX GRODUD RG]ZLHUFLHGORQH GX*\PL ZDKDQLDPL só zmian or. Rs. dla PRJ SRZRGRZDü GX*H ]PLDQ\ Z SDUDPHWU]H SRáR*HQLD UR]NáDGX DV /+s K r h r M 0R*QD VWZLHUG]Lü ]DWHP L* SURFHV *$5&+ ] DV\PHWULDPL VWDQRZLF\ SRGVWDZ VSHF\ILNDFML M JHQHUXMH SURJQR]\ SDUDPHWUX ]PLHQQRFL NWUH SRZRGXM L* UR]NáDG SUHG\NW\ZQ\ FHQ\ RSFML ZUD] ] QDSá\ZHP QRZ\FK GDQ\FK QLH ]PLHQLD ]E\W JZDáWRZQLH SRáR*HQLD : PRGHOX M EDUG]R ZUD*OLZH QD SRMDZLDMFH VL REVHUZDFMH MHVW QDWRPLDVW UR]SURV]HQLH UR]NáDGX FHQ\ RSFML 5\VXQHN Z 7DEHOL SUH]HQWXMH UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH SDUDPHWUX ]PLHQQRFL 0RGHO M NWUHJR SRGVWDZ MHVW SURFHV *$5&+ ] DV\PHWULDPL JHQHUXMH UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH SDUDPHWUX σ EDUG]R ZUD*OLZH QD SRMDZLDMFH VL QRZH REVHUZDFMH Z V]HUHJX 5\VXQHN ZVND]XMH L* Z\EXFK\ ZDKOLZRFL VWS ]PLDQ SRZRGXM ]ZLNV]DQLH UR]SURV]HQLD UR]NáDGZ

9 Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism σ M LH REVHUZXMH VL QDWRPLDVW GX*\FK ]PLDQ SRáR*HQLD W\FK UR]NáDGZ 0HGLDQD SUHG\NW\ZQD SDUDPHWUX ]PLHQQRFL SR]RVWDMH Z W\P VDP\P REV]DU]H ZDUWRFL QDZHW Z RNUHVDFK QDVLOHQLD ZDKD VWS ]PLDQ SRU Rs. 2 =580 lub 620. Dalsza analiza emirczna docz rezulaów sosowania sraegii ]DEH]SLHF]DMFHM QHXWUDOQHM Z]JOGHP del sraegii DNH dla oci Z\VWDZLRQHM QD G]LH =370 o erminie realizaci s=30 dni. Kurs wkonania ego konraku ocnego wnosi K = Tabela 2 rzedsawia UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH SDUDPHWUX dela oci wsawione w czasie rwania konraku; + δ /+ + K r h r M =370 oraz =...30 or. Rs. 3. Podobnie ak orzednio na wkresie rezenuem median kwarle U]GX L RUD] NZDQW\OH L UR]ZD*DQ\FK UR]NáDGZ 'UXJL wiersz Tabeli 2 zawiera wkres na kórch odniesiono rawdziw kurs dolara DPHU\NDVNLHJR Z F]DVLH WUZDQLD RSFML ± x + ; =370 =..30 gruba linia do kursu wkonania oci ozioma cienka linia. W czasie rwania konraku RSF\MQHJR UR]NáDG\ SDUDPHWUX δ /+ =360 ]PLHQLDM SRáR*HQLH MDN L UR]SURV]HQLH =JRGQLH ] LQWHUSUHWDFM WHJR SDUDPHWUX Z NRQWHNFLH VWUDWHJLL DNH MH*HOL REVHUZRZDQ\ ] GDQ\P GQLX + NXUV ZDOXWRZ\ MHVW Z\*V]\ QL* FHQD Z\NRQDQLD WR UR]NáDG\ del V ]ORNDOL]RZDQH Z RNROLFDFK MHG\QNL 5R]NáDG\ + δ /+ + K r h r M ]ZLNV]DM UR]SURV]HQLH ]DZV]H ZWHG\ gd kurs x + RGGDOD VL RG NXUVX Z\NRQDQLD K or. Rs. 3; =9 do 2. =EOL*DQLH VL SUDZG]LZ\FK ZDUWRFL NXUVX ZDOXWRZHJR GR NXUVX Z\NRQDQLD RSFML SRZRGXMH L* UR]NáDG\ WH XOHJDM VLOQHPX VNXSLHQLX SRU 5\V =8 =9 lub =29. 'OD RSFML Z\VWDZLRQHM UR]ZD*RQR NRV]W\ VWRVRZDQLD L XWU]\PDQLD VWUDWHJLL QHXWUDOQHM Z]JOGHP del. Rsunek 4 w Tabeli 2 zawiera UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH NRV]WZ C /+ or. 4 dla =370 i = Na 5\VXQNX V]DU OLQL QDQLHVLRQR ]árwrz ZDUWRü W=0000 dolarów ZROXPHQX UR]ZD*DQHM WUDQVDNFML RSF\MQHM MHOL ]D NXUV Z\PLDQ\ SU]\MPLH VL x + =370 = 8]\VNDQH UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH C /+ SR]ZDODM VWZLHUG]Lü L* ±ZP\O VWUDWHJLL DNH ± QDOH*\ ]DEH]SLHF]\ü Z FKZLOL + na WUDQVDNFM NWUD PR*H PLHü PLHMVFH Z FKZLOL + ]QDF]QLH PQLHM URGNZ QL* Z\QLND WR ] ZDUWRFL U\QNRZHM W=0000 dolarów. Dla UR]NáDG + C /+ + K r h r M MHVW ]ORNDOL]RZDQ\ Z LQQ\FK REV]DUDFK QL* SRáR*HQLH ZDUWRFL ZROXPHQX WUDQVDNFML 5\VXQHN Z\UDQLH ZVND]XMH L* UR]NáDG\ koszu C /+ NXPXOXM ZLNV]Rü PDV\ SUDZGRSRGRELHVWZD Z UHMRQDFK ]QDF]QLH QL*V]\FK NRV]WZ ]DEH]SLHF]HQLD URGNZ QD WUDQVDNFM RSF\MQ QL* WH NWUH Z\QLNDá\E\ ] ZDUWRFL W=0000 dolarów w chwili +. Median UR]NáDGZ SUHG\NW\ZQ\FK NRV]WX C /+ V X]DOH*QLRQH RG SRáR*HQLD NXUVX x + Z]JOGHP NXUVX Z\NRQDQLD RSFML K. Jednie dla ]árwrz\ NXUV GRODUD QLHVSRG]LHZDQLH SRGQRVL VL ]QDF]QLH SRQDG NXUV Z\NRQDQLD K i dlaego w m dniu kosz urzmania sraegii delaqhxwudoqhm QLHPDO MHVW UZQ\ ZDUWRFL rnkowe wolumenu ransakci..zdqw\oh U]GX UR]NáDGZ C /+ OH*

10 302 SRQL*HM ZDUWRFL ]árw\fk FR ZVND]XMH L* SUDZGRSRGRELHVWZR a oseriori V\WXDFML *H NRV]W VWUDWHJLL delaqhxwudoqhm Z\QLHVLH ZLFHM QL* MHVW QL*V]H QL* SRU 5\V = Podsumowanie =DVDGQLF]\P FHOHP SUDF\ E\áR ]DVWRVRZDQLH SURFHVX *$5&+ ] DV\PHWULDPL SRU 2VLHZDOVNL L 3LSLH GR PRGHORZDQLD ]PLHQQRFL VWS zwrou kursu waluowego oraz do wcen euroeskie oci kuna ego kursu. : RNUHVLH RG GR GRNRQXMF ± ]JRGQLH ] QDSá\ZHP QRZ\FK GDQ\FK ± ED\HVRZVNLHM DNWXDOL]DFML UR]NáDGZ a oseriori uzskano UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH FHQ\ RSFML SDUDPHWUZ ]PLHQQRFL ZVNDQLNZ ZUD*OLZRFL dela RSFML RUD] NRV]WZ VWRVRZDQLD VWUDWHJLL ]DEH]SLHF]DMFHM dela-neuralne DNH. =DVWRVRZDQLH SRGHMFLD ED\HVRZVNLHJR ± Z SRáF]HQLX ] G]LHQQ DNWXDOL]DFM GRVWSQHJR V]HUHJX F]DVRZHJR GDQ\FK ± XPR*OLZLáR SRJáELRQ DQDOL] UR]ZD*DQHM HXURSHMVNLHM RSFML NXSQD 8]\VNDQH Z\QLNL SR]ZDODM VWZLHUG]Lü L* PRGHO M RSDUW\ R SURFHV *$5&+ ] DV\PHWULDPL JHQHURZDá UR]NáDG\ SUHG\NW\ZQH EDUG]R ZUD*OLZH QD QDSá\Z QRZ\FK GDQ\FK 3RMDZLDMFH VL Z\EXFK\ ZDKOLZRFL VWS ]PLDQ SRZRGRZDá\ Z]URVW UR]SURV]HQLD UR]NáDGZ SUHG\NW\ZQ\FK FHQ RSFML SDUDPHWUX ]PLHQQRFL L LQQ\FK ZLHONRFL SRGF]DV JG\ RNUHV\ QLHZLHONLFK ZDKD RZRFRZDá\ VNXSLDQLHP VL W\FK UR]NáDGZ W arw\nxoh SRGGDQR V]F]HJáRZHM DQDOL]LH SRG Z]JOGHP VWRVRZDQLD sraegii dela-neuralne DNH RSFM Z\VWDZLRQ 5R]NáDG\ redkwne arameru dela RSFML XPR*OLZLDM SURJQR] NRV]WZ VWRVRZDQLD sraegii delaqhxwudoqhm %D\HVRZVNLH XMFLH SURJQR]\ GRVWDUF]\áR Z SRVWDFL UR]NáDGZ SUHG\NW\ZQ\FK NRV]WZ VWUDWHJLL DNH Z]RUFD QLHSHZQRFL ex ane R QDNáDGDFK Z\PDJDQ\FK GR VWRVRZDQLD WHM VWUDWHJLL Lieraura Bauwens L. Lubrano M. 997 Baesian Oion Pricing using Asmmeric GARCH CORE Discussion Paer No Universié Caholique de Louvain Louvainla-Neuve. Bauwens L. Lubrano M. Richard J-F. 999 Baesian Inerence in Dnamic Economeric Models Oxord Universi Press Oxord. Black F. Scholes M. 973 The Pricing o Oions and Cororae Liabiliies Journal o Poliical Econom Bollerslev T. 986 Generalised Auoregressive Condiional Heeroscedasici Journal o Economerics

11 Wcena euroeskie oci kuna w czasie rzeczwism Bos Ch. S. Mahieu R. J. Van Dik H. K Dail exchange rae behaviour and hedging o currenc risk Journal o Alied Economerics Duan J-Ch. 995 The GARCH Oion Pricing Model Mahemaical Finance Engle R.F Lilien D.M. Robins R.P. 987 Esimaing Time Varing Risk Premia in he Term Srucure: he ARCH-M Model Economerica Fernández C. Osiewalski J. Seel M.F.J. 995 Modelling and inerence wih v- sherical disribuions Journal o he American Saisical Associaion Garman M. B. Kohlhagen S.W. 983 Foreign currenc oion values Journal o Inernaional Mone and Finance Ghsels E. Harve A. Renaul E. 995 Sochasic Volaili [w:] Handbook o Saisics Vol 4: Saisical Mehods in Finance od red. G.S. Maddali and C.R. Rao Norh-Holland Publishong Comam Amserdam. Glosen L.R. Jagannahan R. Runkle D.E. 993 On he relaion beween he execed value and he volaili o he nominal excess reurn on socks Journal o Finance Meron R. C. 973 Theor o raional oion ricing Bell Journal o Economics and Managemen Science Mielus P Rnek Oci waluowch w Polsce Liber Warszawa. Nelson D. 990 Saionari and Persisence in GARCH Model Economeric Theor Noh J. Engle R.F. Kane A. 994 Forecasing Volaili and Oion Prices o he S & P 500 index Journal o Derivaives Osiewalski J. 3LSLH 0 Univariae GARCH rocesses wih asmmeries and GARCH-In-Mean eecs: Baesian analsis and direc oion ricing 3U]HJOG Sasczn 2003 w druku. Pagan A. Schwer G. 990 Alernaive Models or Condiional Sock Volaili Journal o Economerics LSLH 0 =DVWRVRZDQLH ZQLRVNRZDQLD ED\HVRZVNLHJR GR Z\FHQ\ RSFML Zesz Naukowe Akademii Ekonomiczne w Krakowie nr 628 w druku.

12 304 Tabela. 5R]NáDG\ SUHG\NW\ZQH FHQ\ RSFML 5\V RUD] ]PLHQQRFL 5\V Rs. Rs. 2 ; = ; = Tabela 2. 5R]NáDG\ SUHG\NW\ZQH SDUDPHWUX GHOWD RSFML Z\VWDZLRQHM 5\V RUD] WRZDU]\V]F\FK NRV]WZ VWRVRZDQLD VWUDWHJLL '+ 5\V Rs. 3 Rs. 4 x + ; =370 = x + ; =370 =2...30