&]HVáDZ'RPDVNL 8QLZHUV\WHW àyg]nl. Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE,,, JyOQRSROVNLH HPLQDULXP DXNRZH ZU]HQLD Z RUXQLX.DWHGUD (NRQRPHWULL L WDW\VW\NL QLZHUV\WHW 0LNRãDMD.RSHUQLND Z RUXQLX &]HVáDZRPDVNL QLZHUV\WHW àyg]nl Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu ZDJLZVWSQH RGVWDZRZ\P ]DGDQLHP VWDW\VW\F]QHJR VWHURZDQLD SURFHVHP MHVW Z\RGUb- QLHQLH Z\QLNyZ SRPLDUyZ NWyUH ZVND]XM QD LVWQLHQLH Ä]DNáyFH Z VWDELOQ\P przebiegu. U]\MPLMP\ *H ]PLHQQH ORVRZH ]DNáyFDMFH VWDELOQ\ SU]HELHJ SURFHVX PDM FKDUDNWHU DGG\W\ZQ\ F]\OL GRGDM VL GR ]PLHQQHM RGSRZLDGDMFHM VWDELOQHPX czyli uregulowanemu procesowi. Próba pobrana w chwili t odpowiada obserwacjom pewnej zmiennej losowej Y (t) Y gdzie t = X k 0 Ii t) i= ( X () xi F i ( µ i, σ i ) RUD] IXQNFMD ZVND(QLNRZD I i (t) PD SRVWDü, L ( = W) 0 ] S i ZHP S L ( ) ] S ZHP SL -H*HOL UR]ZD*DQ\ PRGHO MHVW ZáDFLZ\ L PDP\ k PR*OLZ\FK Z\]QDF]onych przyczyn rozregulowania, to w danej próbie obecna jest jedna z () k mo*- OLZ\FK NRPELQDFML ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK RGSRZLDGDMF\FK W\P SU]\F]\QRP

2 0 &]HVáDZ RPDVNL UR]UHJXORZDQLD =DXZD*P\ *H VNUDMQ\PL PR*OLZRFLDPL VSRUyG ZV]\VWNLFK k NRPELQDFML V QLHZ\VWSLHQLH *DGQHM SU]\F]\Q\ UR]UHJXORZDQLD (, L ( W) = 0 GOD L =,..., N) dla wszystkich i =,..., k, Z\VWSLHQLH ZV]\VWNLFK SU]\F]\Q UR]UHJXORZDQLD ( I i ( t) = dla wszystkich i =,...,k ) U]\MPXMHP\ *H SUyE\ SRELHUDQH V GRVWDWHF]QLH U]DGNR E\ SRVWDü ]PLHnnej Y GOD MHGQHM SUyE\ E\áD QLH]DOH*QD RG MHM SRVWDFL GOD LQQHM SUyE\ RQDGWR ]DNáDGDP\ *H ND*GD IXQNFMD ZVND(QLNRZD I i ]DFKRZXMH VWDá ZDUWRü (0 lub ) Z F]DVLH SRELHUDQLD MHGQHM SUyE\ R]QDF]D WR *H F]DV SRELHUDQLD SUyE\ MHVW Go- VWDWHF]QLH NUyWNL E\ QD SUyE VNáDGDá\ VL REVHUZDFMH MHGQHM L WHM VDPHM ]PLHnnej losowej Y. R]NáDG\OLF]E\LGáXJRFLVHULLPRQRWRQLF]Q\FK Niech y, y,..., y R]QDF]DM n FLJ XSRU]GNRZDQ\FK Z F]DVLH REVHUZDFML dokonanych na zmiennej na zmiennej Yt R]ZD*DMFFLJ ]QDNyZ sgn( y y), sgn( y y),...,sgn( y n yn ) () gdzie:, gdy y > 0, sgn y = (), gdy y < 0, PR*QD RWU]\PDü W]Z VHULH PRQRWRQLF]QH. $V\PSWRW\F]QH UR]NáDG\ VHULL PRQRWRQLF]Q\FK ]QDOH(OL Levene () i J. Wolfowitz (). J :ROIRZLW] SRND]Dá *H JUDQLF]Q\ UR]NáDG GáXJRFL VHULL ]QDNyZ SU]\ ]DáR*HQLX *H WUHQG QLH LVWQLHMH MHVW Z\NáDGQLF]\P UR]NáDGHP RLVVRQD RZyG MHJR WZLHUG]HQLD VWRVXMH VL GR UR]NáDGX VHULL R GáXJRFL Zy- QRV]FHM GRNáDGQLH r -HGQDN*H ]DáR*HQLD SRF]\QLRQH SU]\ MHJR Z\SURZDG]HQLX PRJ E\ü ]DVWRVRZDQH GR UR]NáDGX VHULL R GáXJRFL r OXE ZLNV]HM Olm- VWHG SRGDá *H ]JRGQRü UR]NáDGX GáXJRFL VHULL ]QDNyZ ] UR]NáDGHP RLVVRQD MHVW U]GX GOD r, 0,00 dla r, 0,0 dla r, i 0, dla r, gdy n :\QLND VWG *H GOD r SUDZGRSRGRELHVWZR otrzy- Funkcja sgn y QLH MHVW RNUHORQD GOD y=0, DOH SUDZGRSRGRELHVWZR ]DMFLD ]GDU]enia y=0 SU]\ ]DáR*HQLX *H ]PLHQQD ORVRZD MHVW FLJáD UyZQD VL ]HUX.U\W\F]QH ZDUWRFL GOD WHVWX VHULL RSDUWHJR QD GáXJRFL VHULL PR*QD Z\]QDF]\ü QD SRGVWDZLH UR]NáDGX Poissona. Dla r zachodzi relacja D ( L ) = E( ). r L r

3 Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu mania przy n REVHUZDFMDFK FR QDMPQLHM MHGQHM VHULL R GáXJRFL SU]\QDMPQLHM r elementów jest równe: E( L ) { L } r r = e, P () gdzie: [( )( ) ] ( n r n E L r ) = dla r n () ( r )! E. S. (GLJLQJWRQ SRGDá IRUPXá UHNXUHQF\MQ NWyUD XPR*OLZLáD PX RSUa- FRZDQLH WDEOLF UR]NáDGX VHULL ]QDNyZ Ä OXE Ä SLHUDMF VL QD WHM WDEOLF\ ]RVWDá\ Z\]QDF]RQH ZDUWRFL NU\W\F]QH GOD WHVWX RSDUWHJR QD OLF]ELH VHULL Po- QRWRQLF]Q\FK NWyUH ]DZDUWH V Z WDEOLF\ : WDEOLF\ WHM SRGDQH V GOD G]LHVL- FLX SUDZGRSRGRELHVWZ α (0,00, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,, 0,, WDNLH QDMZLNV]H OLF]E\ FDáNRZLWHl α, dla których P { L l α } α, MHOL α < 0, RUD] WDNLH QDMPQLHMV]H OLF]E\ FDáNRZLWH l α, dla których P{ L l α } MHOL α > 0,. Zamieszczone kwantyle zmiennej L XáDWZLDM Z znacznym stopniu korzystanie z testów serii opartych na liczbie serii monotonicznych. E. S. (GLJLQJWRQ SRGDMH *H ]PLHQQD ORVRZD L, dla n > PD UR]NáDG asymptotycznie normalny o parametrach danych wzorami: E ( L) = n, () n D ( L) =. () 0 :DUWRü RF]HNLZDQD ]PLHQQHM Lr R]QDF]DMFD OLF]E VHULL GáXJRFL r, przyj- PXMH SRVWDü E( L r ) = [ n( r r ) ( r r r ) ], () ( r )! dla r n, D ZDULDQFM ]PLHQQHM [ E( L )] L r Z\UD*D VL Z]RUHP r! D ( L = r ) r (0) r! (r)! ( r!) (r)! R FHOyZ SUDNW\F]Q\FK PRJ E\ü VWRVRZDQH Z]RU\ QD ZDULDQFMH ]PLHQQ\FK r L r i L dla r : 0n D ( L ) =, 0 ()

4 &]HVáDZ RPDVNL 0n D ( L ) =, 00 () ( ) n D L =, () 0 ( ) n D L =, () 0 ( ) n D L =. () 00 X*H ]QDF]HQLH Z EDGDQLDFK HNRQRPHWU\F]Q\FK D WDN*H VWDW\VW\F]QHM NRn- WUROL MDNRFL PDM VHULH ]QDNyZ RGFK\OH Z JyU L Z Gyá F]\OL W]Z VHULH Po- QRWRQLF]QH 0DM RQH W ]DOHW *H RG UD]X ZLDGRPR *H VXPD GáXJRFL ZV]\Vtkich serii wynosi (n-) gdzie n MHVW OLF]E REVHUZacji.. Testy oparte na ogólnej liczbie serii znaków Niech y, y,..., yn R]QDF]D FLJ XSRU]GNRZDQ\FK Z F]DVLH UHDOL]DFML zmiennych losowych Yt D SRGVWDZLH WHJR FLJX QDOH*\ ]ZHU\ILNRZDü KLSRWe- ] H0 *H ZDUWRFL RF]HNLZDQH W\FK ]PLHQQ\FK V MHGQDNRZH D ZLF *H EDGa- Q\ FLJ QLH ]DZLHUD WUHQGX HVW RSDUW\ QD RJyOQHM OLF]ELH VHULL ]QDNyZ MHVW Qa- VWSXMF\ SLHUDMF VL QD Z\QLNDFK SUyE\ WZRU]\P\ FLJ ]QDNyZ sgn( yi yi ) DVWSQLH Z\]QDF]DP\ ZDUWRü VSUDZG]LDQX WHJR WHVWX ± VWax jest W\VW\N l NWyUD MHVW RJyOQ OLF]E VHULL ]QDNyZ Ä L Ä -H*HOL FLJ { } i ORVRZ\ WR QDOH*\ VL VSRG]LHZDü VWRVXQNRZR GX*HM OLF]E\ NUyWNLFK VHULL ]Qa- NyZ Ä L VHULL ]QDNyZ Ä DWRPLDVW JG\ Z FLJX Z\VWSXMH WUHQG ZyZF]DV PR*QD VL VSRG]LHZDü ZLHOX GáXJLFK VHULL SU]\ F]\P VHULH WH ]ár*rqh EG QD RJyá ]H ]QDNyZ Ä MHOL WUHQG MHVW URVQF\ L ]H ]QDNyZ Ä MHOL WUHQG MHVW Pa- OHMF\ : ]DZL]NX ] W\P REV]DU NU\W\F]Q\ GOD WHJR WHVWX EXGXMH VL OHZRVWURnnie, tzn. gdy zachodzi relacja l l α KLSRWH] ]HURZ QDOH*\ RGU]XFLü :DUWo- FL NU\W\F]QH PR*QD RGF]\WDü ] WDEOLF\ OD n> zmienna L PD UR]NáDG asymptotycznie normalny o parametrach danych wzorami () i ().

5 Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu. Test Moora-Wallisa Test 0RRUD:DOOLVD MHVW RSDUW\ QD OLF]ELH ]QDNyZ Ä NWyU R]QDF]DP\ V\mbolem z LSRWH] H0 RGU]XFD VL QD U]HF] KLSRWH]\ DOWHUQDW\ZQHM *H Zy- VWSuMH WUHQG PDOHMF\ MHOL z < z α, gdzie: n n zα = Zα, () Zα PR*QD RGF]\WDü ] WDEOLF\ GOD RGSRZLHGQLFK n i α. $QDORJLF]QLH RGU]XFD VL KLSRWH] H0 QD U]HF] KLSRWH]\ DOWHUQDW\ZQHM *H Z\VWSXM WUHQG URVQF\ JG\ z > z α, gdzie: n n zα = Zα. () U]\MPXMH VL KLSRWH] *H Z\VWSXMH WUHQG URVQF\ OXE PDOHMF\ MHOL ]DFKRG] QLHUyZQRFL > z α / -HOL to z. () n oraz α () n n zα Z\]QDF]D VL QD SRGVWDZLH QDVWSXMF\FK Z]RUyZ z α i n z = n α uα (0) oraz n z = n α uα, () gdzie u α jest NZDQW\OHP U]GX α UR]NáDGX QRUPDOQHJR N (0, ), przy czym α QDOH*\ SU]\Mü WDNLH DE\ ZLHONRFL WH E\á\ FDáNRZLWH. Test chi-kwadrat oparty na oczekiwanych i zaobserwowanych VHULDFKPRQRWRQLF]Q\FKUy*QHMGáXJRFL D SRGVWDZLH Z]RUyZ L EXGXMH VL UR]NáDG WHRUHW\F]Q\ OLF]E\ VHULL Uy*Q\FK GáXJRFL D ]JRGQRü ]DREVHUZRZDQHJR UR]NáDGX ] W\P UR]NáDGHP WHRUHW\F]Q\P ZHU\ILNXMH VL ]D SRPRF WHVWX chi-kwadrat.

6 &]HVáDZ RPDVNL F. Moore i W. :DOOLV ]DSURSRQRZDOL QDVWSXMF\ VSUDZG]LDQ GOD WHJR testu. ( l e ) ( l e) ( l e) χ =, e e e () gdzie: l ± OLF]ED VHULL GáXJRFL l ± OLF]ED VHULL GáXJRFL l ± OLF]ED VHULL GáXJRFL ZLNV]HM QL* a e, e, e V RNUHORQH Z]RUDPL n e = E( L ) =, () n e = E( L ) =, 0 () ( ) n e = E L =. 0 () OdrzuFD VL KLSRWH] H0 QD U]HF] KLSRWH]\ DOWHUQDW\ZQHM *H Z\VWSXMH WUHQG OXE F\NOH MHOL χ > χ α. W przypadku gdy χα gdy χ, χ = χα gdy χ >, przy czym w pierwszym przypadku χ α odczytujemy dla stopni swobody, a w drugim dla, stopni swobody (por. RPDVNL. Test chi-kwadrat oparty na liczbie serii znaków Inny test chi-kwadrat jest oparty na oczekiwanych i zaobserwowanych se- ULDFK Uy*QHM GáXJRFL SUDZG]LDQHP WHJR WHVWX MHVW VWDW\VW\ND [ z E( Z )] [ l E( L) ] χ = D ( Z ) D ( L) gdzie: z liczba znaków l ogólna liczba serii znaków, D ZDUWRFL RF]HNLZDQH L ZDULDQFMH V RNUHORQH Z]RUDPL ()

7 Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu E( Z ) =, () E( L) = n, () n D ( Z ) =, () D ( L) = 0,n 0,. (0) LSRWH] H0 RGU]XFDP\ QD NRU]\ü KLSRWH]\ DOWHUQDW\ZQHM *H Z\VWSXMH WUHQG OXE F\NOH MHOL GOD VWRSQL VZRERG\ χ > χ α. ZDJLNRFRZH Problem testowania ORVRZRFL EDUG]R F]VWR Z\VWSXMH SU]\ NRQWUROL MDNo- FL Z\WZRU]RQ\FK SURGXNWyZ U]HGVWDZLRQH WHVW\ ORVRZRFL VSHFMDOQH SDVXM GR NRQWUROL MDNRFL 0DM RQH MDN VL Z\GDMH QDVWSuMFH ZVSyOQH FHFK\. RQH RSDUWH QD VHULDFK QDOH*F\FK GR VHNZHQFML y, y,..., yn.. URFHGXUD WHVWRZD MHVW LQZDULDQWQD Z]JOGHP WRSRORJLF]Q\FK WUDQVIRr- PDFML RVL RGFLW\FK WM WHVW GDMH GREUH VDPH UH]XOWDW\ MH*HOL ]PLHQQH y, y,..., y n ]DVWSXMHP\ SU]H] y, y,..., yn, gdzie y = f ( y) a f (t) MHVW GRZROQ FLJá FLOH PRQRWRQLF]Q IXQkFM t.. :LHONRFL REV]DUX NU\W\F]QHJR WM SUDZGRSRGRELHVWZ RGU]XFHQLD Kipotezy ORVRZRFL JG\ MHVW RQD SUDZG]LZD QLH ]DOH*\ RG ZVSyOQHM G\strybuanty F (y) zmiennych y, y,..., yn. :DUXQHN MHVW VSHáQLRQ\ MH*HOL ]DFKRG]L ZDUXQHN L MH*HOL F (y) jest ci- JáD HRULD VHULL MDNR QDU]G]LD SRPRFQLF]HJR NRQWUROL MDNRFL UR]ZLMD VL Z QDVWSXMF\P NLHUXQNX Przy podejmowanix GHF\]ML GRW\F]FHM SURFHVX SURGXNF\MQHJR QDOH*\ Zy- ELHUDü WDNLH W\S\ VHULL L VWDW\VW\NL NWyUH RSDUWH V QD RGSRZLHGQLFK W\SRZ\FK RGFK\OH RG VWDQyZ ]ZL]DQ\FK ] NRQWURO VWDW\VW\F]Q NWyUH X]QDQH V SU]H] LQ*\QLHUyZ ]D QDMEDUG]LHM PR*OLZH Z UHDOL]DFML y*qh SURFHV\ SURGXNF\MQH Z\PDJDM Uy*Q\FK PRG\ILNDFML PHWRG VWDW\VW\Fznych. RZLQQR VL UR]ZLMDü WHRULH L SURFHGXU\ RSDUWH QD PHWRGDFK 0RQWH Carlo, NWyU XPR*OLZLDM SUHF\]\MQLH RNUHODQLH IXQNFML PRF\ WHVWyZ L ]ZL]NyZ PL- G]\ Uy*Q\PL VWatystykami testowymi. :\NRU]\VWXMF PHWRG\ VWDW\VW\F]QH GR RFHQ\ MDNRFL SURFHVX SURGXNF\MQHJR QDOH*\ XZ]JOGQLü PLQLPDOL]DFM VWUDW ILQDQVRZ\FK

8 &]HVáDZ RPDVNL DEOLFD :DUWRFL NU\W\F]QH GOD WHVWX VHULL ]QDNyZ Ä L Ä n l α l0,00 l0, 0 l0, l0, 0 l0, 0 l0, 0 l0, l0, l0, l 0, DEOLFD ]DZLHUD GOD NLONX SUDZGRSRGRELHVWZ α WDNLH QDMZLNV]H OLF]E\ FDáNRZLWH l α dla których α α RUD] WDNLH QDMPQLHMV]H OLF]E\ FDáNowite l α, dla których ( α ) α, UyGáR SUDFRZDQLH ZáDVQH QD SRGVWDZLH SUDF\ Edigingtona () DEOLFD :DUWRFL α dla testu serii opartego na liczbie znaków n 0 Z α 0 0, 0,0 0,00 0, 0,0 0,0 0,0 UyGáR EOLF]HQLD ZáDVQH QD SRGVWDZLH Walsha () 0,00 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,00 0,0 0,0 0,0 0,

9 Zastosowanie testów serii znaków w statystycznej kontroli procesu Literatura RPDVNL &] Testy statystyczne, PWE, Warszawa. Edigington, E. S. (), Probability table for number of runs of signs of first differences in ordered series, Journal of the American Statistical Association, t., s. -. Levene, H. (), On the power function of tests of randomness based on runs up and down, Annals of Mathematical Statistics, t., s. -. Moore, G. H., Wallis, W. A. (), Times series significance tests based on signs of defferences, Journal of the American Statistical Association, t., s. -. Olmsted, P. S. (), Runs determined in a sample by an arbitrary cut, Bell System Technical Journal, t., s. -. Walsh, J. E. () Handbook of nonparametric statistics, D. Can Nostrand Co. Inc., Princeton. Wolfowitz, J. (), Asymptotic distribution of runs up and down, Annals of Mathematical Statistics, t., s. -.