TEORIA GRAFÓW I SIECI
|
|
- Milena Andrzejewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT zbigniew.tarapata@wat.edu.pl tel.: , p.225/100 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna
2 Kilka dalszych definicji Marszruta łącząca wierzchołki x p z x k M p k x, x xi, ui, xi, ui,, xi, u L i, x L il 1. i W, l 0, L x l 2. i U, l 1, L u l x o i x L i x x p k ^ x, u, x P x, u, x P x p wierzchołek początkowy x k wierzchołek końcowy L długość marszruty (liczba gałęzi w marszrucie) 5. il 1 il il il il il 1 l 1, L 2
3 Kilka dalszych definicji Marszruta Marszruta skierowana: xi, ui, xi P ^ l 1 l 1, L Marszruta cykliczna: marszruta, dla której x p =x k, Łańcuch marszruta o różnych gałęziach, Łańcuch prosty - łańcuch o różnych wierzchołkach, Cykl łańcuch cykliczny, L 1, Cykl prosty: x p =x k, pozostałe wierzchołki różne, Droga łańcuch skierowany, Droga prosta droga o różnych wierzchołkach. G 1 3 a 2 4 d f 5 g 6 x p =2, x k =6 1. <2,b,3,c,4,f,6> 2. <2,d,5,e,4,f,6> 3. <2,d,5,e,4,e,5,g,6> 4. <2,b,3,c,4,e,5,d,2> 5. <2,a,1,a,2> l l
4 Kilka twierdzeń TWIERDZENIE k Elementy r ij k-tej potęgi macierzy R(G) przyległości wierzchołków są równe liczbie różnych marszrut o długości k łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j. TWIERDZENIE k Element p ij k-tej potęgi macierzy przejść P(G) jest równy liczbie różnych marszrut skierowanych o długości k łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j. TWIERDZENIE (Königa) Graf bez pętli jest grafem dwudzielnym nie zawiera marszrut cyklicznych o nieparzystej długości. 4
5 Procedura wyznaczania łańcucha najkrótszego 1. wierzchołek x p oznaczamy cechą 0, 2. dla wszystkich wierzchołków ocechowanych cechą c cechujemy wszystkie wierzchołki przyległe cechą c + 1, 3. a) jeżeli x k nie jest ocechowany, to c: = c + 1 i powrót do punktu 2; b) jeżeli x k jest ocechowany, to przejdź do punktu tworzymy łańcuch od końca włączając wierzchołki o coraz niższych cechach i dowolne gałęzie je łączące, aż do włączenia x p. G a c= d f 5 g x p =2, x k =6 Łańcuch najkrótszy: od końca: <6,g,5,d,2>, czyli <2,d,5,g,6> 5
6 graf G jest spójny ^ istnieje M x, y ; x, y W Spójność grafu składowa spójności maksymalny podgraf spójny, liczba składowych spójności grafu G - (G), rząd R(G) grafu G liczność zbioru wierzchołków najliczniejszej składowej spójności. G1 Czy graf G1 jest spójny? G1 nie jest spójny: (G1) =2 R(G1)=4 G2 G2 nie jest spójny: (G2) =2 R(G1)=5 6
7 Wyznaczanie składowych spójności grafu n 1 S b k B k 1 I. gdzie B Rb G I R b binarna macierz przyległości wierzchołków. Do tej samej składowej spójności należą wierzchołki, którym odpowiadają identyczne wiersze (kolumny) macierzy S b. UWAGA: k n 1 k k 1 B B B n 1 Graf (po lewej) nie jest spójny: (G) =4 po prawej, R(G)=7 7
8 Wyznaczanie składowych spójności grafu II. 1. cechujemy dowolny wierzchołek cechą C = 1, 2. wszystkie wierzchołki przyległe do wierzchołków już ocechowanych cechujemy cechą C, 3. jeżeli został wierzchołek nieocechowany, to C:=C+1 i cechujemy go cechą C, a następnie przechodzimy do punktu 2, 4. wszystkie wierzchołki ocechowane identyczną cechą tworzą składową spójności. 1 c=1 1 S1={1,2,3,4,5} S2={6}
9 Łańcuch Eulera Łańcuch Eulera łańcuch zawierający wszystkie gałęzie grafu. Leonard Euler
10 Łańcuch Eulera 10
11 Łańcuch Eulera Mosty królewieckie - 7 mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736) 11
12 Łańcuch Eulera Pytanie Eulera: Czy można przejść przez miasto przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz? 12
13 Łańcuch Eulera TWIERDZENIE G zawiera łańcuch Eulera G jest spójny i liczba wierzchołków o nieparzystych rozwidleniach r(x) jest równa 0 lub 2. cykl Eulera łańcuch Eulera Uwaga! O grafie, który zawiera cykl Eulera mówi się, że to graf eulerowski a taki, który zawiera łańcuch Eulera - półeulerowski. G 1 nie zawiera łańcucha/cyklu Eulera Dlaczego? G 2 zawiera łańcuch/cykl Eulera Dlaczego? G 3 zawiera łańcuch/cykl Eulera Dlaczego? 13
14 Łańcuch Eulera Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami a mosty krawędziami: b b x p a c a c d Problem mostów w Królewcu na rzece Pregole d x k 14
15 Łańcuch Eulera algorytm Algorytm (Hoang-Tuy) 1. jeżeli wszystkie r(x) parzyste, to x p = x k dowolny jeżeli r(x), r(y) nieparzyste, to x p = x, x k = y; 2. wyznaczamy łańcuch prosty (dla x p x k ) - cykl prosty (dla x p = x k ); 3. wśród nieocechowanych gałęzi znajdujemy cykl prosty z gałęzią przyległą do dowolnej ocechowanej i gałęzie tego cyklu cechujemy cechą o 1 większą od ostatnio nadanej; postępowanie kontynuujemy aż do ocechowania wszystkich gałęzi; 4. łańcuch tworzymy rozpoczynając od x p i dołączając kolejno gałęzie o najwyższej wartości cechy spośród gałęzi przyległych do ostatnio dołączonej; postępowanie kończymy na x k. 15
16 Łańcuch Eulera zastosowania Problem chińskiego listonosza (ang. Chinese postman problem, route inspection problem) listonosz, roznosząc listy, wychodzi z poczty i musi przejść przez wszystkie ulice w swojej dzielnicy co najmniej jeden raz i wrócić na pocztę. Chciałby mieć jak najkrótszą do przejścia trasę. Problem polega na znalezieniu cyklu Eulera w grafie. Problem został pierwszy raz sformułowany w 1962 roku w języku chińskim. Złożoność obliczeniowa problemu uzależniona jest od rodzaju grafu, na którym jest on rozpatrywany. W przypadku grafów w całości skierowanych albo nieskierowanych, problem chińskiego listonosza można rozwiązać w czasie wielomianowym. W przypadku grafów mieszanych (częściowo skierowanych, częściowo nieskierowanych) problem zalicza się do klasy NP-trudnych. 16
17 Łańcuch/cykl Hamiltona Łańcuch (cykl) Hamiltona łańcuch (cykl) prosty zawierający wszystkie wierzchołki. UWAGA: z definicji łańcucha (cyklu) Hamiltona wynika, że można go wyznaczać jedynie dla szkieletu grafu. TWIERDZENIE (ORE A) Jeżeli w grafie zwykłym i spójnym istnieje najdłuższy łańcuch prosty łączący wierzchołki x oraz y taki, że L 2, s(x) + s(y) L+1, to łańcuch ten jest łańcuchem Hamiltona, a graf zawiera cykl Hamiltona. 17
18 Łańcuch/cykl Hamiltona TWIERDZENIE Założenia: G graf zwykły i spójny, R(G) 3. Jeżeli dla każdych dwóch wierzchołków (różnych) x, y W zachodzi: s(x) + s(y) R(G) 1, to w G każdy najdłuższy łańcuch prosty jest łańcuchem Hamiltona; jeżeli s(x) + s(y) R(G), to w G istnieje cykl Hamiltona. TWIERDZENIE (DIRAC A) G graf zwykły i spójny, R(G) 3 x W s 1 2 x R( G) w G istnieje cykl Hamiltona 18
19 Łańcuch/cykl Hamiltona - zastosowania Problem komiwojażera: dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić oraz odległość / cena podróży / czas podróży pomiędzy każdą parą miast. Celem jest znalezienie najkrótszej / najtańszej / najszybszej drogi łączącej wszystkie miasta, zaczynającej się i kończącej się w określonym punkcie. Przykład Miasta: Kutno, Warszawa, Poznań, Kraków. Znaleźć najkrótszą trasę z Kutna odwiedzającą wszystkie miasta dokładnie jeden raz. Miasto Kutno Warszawa Poznań Kraków Kutno Warszawa Poznań Kraków
20 G liczba składowych spójności G W n; U m Liczba cyklomatyczna grafu G m G n Cyklomatyka grafów (G)= =7 Las - G 0 Drzewo - G 0 i G 1 Własności i interpretacja 1. G 0 2. G 0 3. G G nie ma w G łańcuchów cyklicznych; jest równa liczbie gałęzi (zwanych klamrami), które trzeba usunąć, aby powstały graf częściowy G I I był lasem i G G. 20
21 Cyklomatyka grafów Karkas grafu G W, U, P - jest to graf częściowy T, T, I I W, U P spełniający dwa warunki z trzech: 1. m T m G G 2. T G 3. T 0 UWAGA! Karkas grafu = drzewo rozpinające (ang. spanning tree) Przykłady karkasów grafów 21
22 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 22
23 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 23
24 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 24
25 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 25
26 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 26
27 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 27
28 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 28
29 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 29
30 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 30
31 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 31
32 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 32
33 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 33
34 Cyklomatyka grafów dr hab. inż. Z. Tarapata, Teoria grafów i sieci, Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy i drogi w grafach 1 Algorytm wyznaczania karkasu (dla składowej spójności) 1. Dowolny wierzchołek cechujemy cechą k=0. 2. Nieocechowanym wierzchołkom przyległym do ocechowanych cechą k nadajemy cechę k+1 aż do ocechowania wszystkich wierzchołków. 3. Do karkasu dołączamy wierzchołki o najwyższych cechach; dla każdego wierzchołka o cesze k wybieramy tylko jedną gałąź i to taką, która jest incydentna z rozpatrywanym wierzchołkiem i wierzchołkiem o cesze k-1. Włączamy do karkasu ten wierzchołek. Postępowanie kończymy po włączeniu wszystkich wierzchołków. k=3 k=1 k=0 Uwaga: Zaczynamy od składowej spójności zbudowanej na wierzchołkach: {1, 2, 3, 4, 5} 34
35 Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania Decyzji Instytut Systemów Informatycznych Wydział Cybernetyki, Wojskowa Akademia Techniczna DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT zbigniew.tarapata@wat.edu.pl
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 5: Sieci, drogi ekstremalne w sieciach, analiza złożonych przedsięwzięć (CPM i PERT) dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoWyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera
Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowo6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
Bardziej szczegółowoGrafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy
Bardziej szczegółowo5. Najkrótsze ścieżki
p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoMODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem
MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów
Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoProgramowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki dr Adrian Horzyk, paw. H Wykład TEORIA GRAFÓW
TEORIA GRAFÓW W osiemnastym wieku mieszkańcy Królewca lubili spacerować po mostach na rzece Pregole, których mieli w mieście siedem. Plan mostów pokazuje rysunek. Ale takie zwykłe spacerowanie po jakimś
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoAlgorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.
Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc
Bardziej szczegółowoModele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)
& Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoTeoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoAlgorytmy z powracaniem
Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow
9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne
Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoE-I-0002-s3. Matematyka dyskretna. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu E-I-0002-s3 Nazwa modułu Matematyka dyskretna Nazwa modułu w języku angielskim Discrete
Bardziej szczegółowoZagadnienie najkrótszej drogi w sieci
L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoŚcieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,
Bardziej szczegółowoProblem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowo7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie
7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoMatematyka Stosowana i Metody Matematyczne
Matematyka Stosowana i Metody Matematyczne Wykład dla studentów studiów niestacjonarnych II stopnia kierunek Transport i Elektrotechnika 2 Elementy teorii grafów Niech G = [A, C, φ] będzie uporządkowaną
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowoNiektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 18, 2003 Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC Roman KULESZA Zakład Automatyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki WAT, ul. Kaliskiego 2,
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowo