Wst p do ekonometrii II
|
|
- Michał Wierzbicki
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wst p do ekonometrii II Wykªad 2: Modele ARIMA. Filtr Kalmana (2) WdE II 1 / 46
2 Plan wykªadu 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 2 / 46
3 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 3 / 46
4 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wprowadzenie modele ARMA geneza w pracach Boxa i Jenkinsa w latach 70. XX w. jednowymiarowa analiza szeregów czasowych: wiedza o przyszªo±ci szeregu zakl ta w jego przeszªo±ci :-) podstawowe zastrze»enia: tylko do szeregów stacjonarnych tylko do prognoz krótkookresowych model ateoretyczny (2) WdE II 4 / 46
5 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model AR AR ang. autoregression, proces autoregresyjny bie» ca (w okresie t) warto± stacjonarnego szeregu czasowego y t zale»y od p warto±ci poprzedzaj cych: y t = c +φ 1 y t 1 +φ 2 y t φ p y t p +ε t = c + Notacja wielomianu charakterystycznego: ( 1 φ1 L φ 2 L 2... φ p L p) y t = c + ε t p φ i y t i +ε t i=1 (2) WdE II 5 / 46
6 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model MA MA ang. moving average, ±rednia ruchoma bie» ca (w okresie t) warto± stacjonarnego szeregu czasowego y t zale»y od q poprzedz jacych warto±ci skªadników losowych: y t = c +θ 1 ε t 1 +θ 2 ε t θ q ε t q +ε t = c + q θ j ε t j +ε t j=1 Notacja wielomianu charakterystycznego: y t c = ( 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q) ε t (2) WdE II 6 / 46
7 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARMA poª czenie AR i MA Przy odpowiednich zaªo»eniach (zob. dalsze slajdy) mo»na proces AR przeksztaªci do postaci MA( ) i na odwrót. W praktyce zadowalaj ce dopasowanie uzyskuje si dzi ki kombinacji niewielkiej liczby regresorów typu AR i MA, czyli y t = c + p φ i y t i + q θ j ε t j + ε t i=1 Umieszczenie w modelu regresorów zarówno typu AR, jak i MA, pozwala uzyska rozs dne przybli»enie, cho identykacja parametrów p i q takiego modelu jest trudna. Notacja wielomianu charakterystycznego: j=1 ( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L θ ql q) ε t (2) WdE II 7 / 46
8 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARIMA Szeregi niestacjonarne... 1 analiza wielowymiarowa (kointegracja i model korekty bª dem zob. Ekonometria szeregów czasowych (SM)); 2 analiza jednowymiarowa tworzymy model ARMA na szeregu zró»nicowanym tyle razy, aby uzyska jego stacjonarno± : Y t = Y t Y t 1 2 Y t = Y t Y t 1 Model ARIMA(p,d,q): ARMA a ARIMA d y t = c + p φ i d y t i + q θ j ε t j + ε t i=1 Model ARMA jest szczególnym przypadkiem modelu ARIMA (z parametrem d=0). (2) WdE II 8 / 46 j=1
9 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARIMAX ARIMAX model ARIMA uzupeªniony o zestaw egzogenicznych regresorów: d y t = c + x t β + p φ i d y t i + i=1 q θ j ε t j + ε t j=1 (2) WdE II 9 / 46
10 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Stacjonarno± procesu Proces AR jest stacjonarny......je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn. rozwi zania równania 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p = 0 wzgl dem L) le» poza koªem jednostkowym, tzn. s co do moduªu > 1. Stacjonarny proces AR(p) mo»na przedstawi jako MA( ). W modelu AR bie» ca warto± szeregu zale»y od p poprzednich, a na poprzednie skªada sie niesko«czona liczba opó¹nionych szoków (ε). W modelu MA tych szoków model "widzi" tylko q. (2) WdE II 10 / 46
11 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Odwracalno± procesu Proces MA jest odwracalny......je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn. rozwi zania równania 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q = 0 wzgl dem L) le» poza koªem jednostkowym, tzn. s co do moduªu > 1. Odwracalny proces MA(q) mo»na przedstawi jako AR( ). (2) WdE II 11 / 46
12 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Czym jest koªo jednostkowe? (1) Pierwiastki wielomianu mog by liczbami zespolonymi, tzn. mie cz ± rzeczywist a i urojon b (a + bi). Mo»na je przedstawi na pªaszczy¹nie jako punkt w przestrzeni dwuwymiarowej o wspóªrz dnych (a,b). a + bi = a 2 + b 2, wi c warunek stacjonarno±ci/odwracalno±ci a + bi > 1 oznacza a 2 + b 2 > 1 2 (pole poza okr giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1, czyli koªem jednostkowym). Niektóre programy ekonometryczne podaj pierwiastki w formie odwrotno±ci (Inverse Roots). Skoro a + bi > 1, to 1 a+bi < 1. W tej sytuacji odwrotno± pierwiastka musi le»e wewn trz koªa jednostkowego. (2) WdE II 12 / 46
13 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Czym jest koªo jednostkowe? (2) (2) WdE II 13 / 46
14 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (1) Fakt 1. Ka»dy proces AR(p) mo»emy zapisa jako AR(1) po przedeniowaniu zmiennej na wektor [ zawieraj cy ] [ jej opó¹nienia. ] [ ] Np. [ yt a b yt 1 εt y t = ay t 1 + by t 2 + ε t = + y t y t 2 0 yt = Ay t 1 + ε t Fakt 2. Gdy proces yt = Ay t 1 + ε t dotyczyª jednej zmiennej (A liczb ), to oczekiwali±my,»e przy stacjonarno±ci A n 0 dla n. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy,»e A n 0 dla n. ] (2) WdE II 14 / 46
15 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (1) Fakt 1. Ka»dy proces AR(p) mo»emy zapisa jako AR(1) po przedeniowaniu zmiennej na wektor [ zawieraj cy ] [ jej opó¹nienia. ] [ ] Np. [ yt a b yt 1 εt y t = ay t 1 + by t 2 + ε t = + y t y t 2 0 yt = Ay t 1 + ε t Fakt 2. Gdy proces yt = Ay t 1 + ε t dotyczyª jednej zmiennej (A liczb ), to oczekiwali±my,»e przy stacjonarno±ci A n 0 dla n. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy,»e A n 0 dla n. ] (2) WdE II 14 / 46
16 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (2) Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy A, D macierz zawieraj ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej przek tnej (w kolejno±ci odpowiadaj cej kolumnom w P) i zera poza ni. Istnieje dekompozycja: A = PDP 1 Fakt 4. Z algebry macierzy: A n = PD n P 1 Wniosek: A n 0 dla n gdy D n 0. D jest macierz diagonaln, a wi c d»y do zerowej gdy diagonalne elementy d» do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot g. Czyli ich warto±ci bezwzgl dne musz by < 1. (2) WdE II 15 / 46
17 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (2) Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy A, D macierz zawieraj ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej przek tnej (w kolejno±ci odpowiadaj cej kolumnom w P) i zera poza ni. Istnieje dekompozycja: A = PDP 1 Fakt 4. Z algebry macierzy: A n = PD n P 1 Wniosek: A n 0 dla n gdy D n 0. D jest macierz diagonaln, a wi c d»y do zerowej gdy diagonalne elementy d» do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot g. Czyli ich warto±ci bezwzgl dne musz by < 1. (2) WdE II 15 / 46
18 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (3) Warto±ci wªasne macierzy A: a λ b 1 0 λ = 0 (a λ) (0 λ) b = 0 λ 2 aλ b = 0 Rozwa»my podstawienie L = 1 λ. Wówczas: 1 al bl 2 = 0 Odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2) y t = ay t 1 + by t 2 + ε t. Gdy wszystkie pierwiastki L > 1, wówczas (z podstawienia) wszystkie λ < 1 i warunek stacjonarno±ci jest speªniony. (2) WdE II 16 / 46
19 Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (3) Warto±ci wªasne macierzy A: a λ b 1 0 λ = 0 (a λ) (0 λ) b = 0 λ 2 aλ b = 0 Rozwa»my podstawienie L = 1 λ. Wówczas: 1 al bl 2 = 0 Odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2) y t = ay t 1 + by t 2 + ε t. Gdy wszystkie pierwiastki L > 1, wówczas (z podstawienia) wszystkie λ < 1 i warunek stacjonarno±ci jest speªniony. (2) WdE II 16 / 46
20 Specykacja modelu ARIMA Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 17 / 46
21 Specykacja modelu ARIMA Funkcja autokorelacji (ACF) Pokazuje korelacj warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami tego samego szeregu: opó¹nienie 1 r 1 opó¹nienie 2 r 2 opó¹nienie 3 r 3 itd. Szacujemy na podstawie danych, obliczaj c wspóªczynniki korelacji liniowej Pearsona. (2) WdE II 18 / 46
22 Specykacja modelu ARIMA Wspóªczynnik korelacji cz stkowej Wspóªczynnik korelacji mi dzy i oraz j z wykluczeniem wpªywu l: r ij.l = r ij r il r jl (1 r 2 il ) (1 r 2 jl ) (2) WdE II 19 / 46
23 Specykacja modelu ARIMA Funkcja autokorelacji cz stkowej (PACF) Pokazuje korelacj warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami tego samego szeregu, z wykluczeniem wpªywu opó¹nie«ni»szego rz du: opó¹nienie 1 r 1 (tak samo jak w ACF) opó¹nienie 2 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 2 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 opó¹nienia opó¹nienie 3 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 3 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 i 2 opó¹nienia opó¹nienie 4 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 4 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1, 2 i 3 opó¹nienia itd. (2) WdE II 20 / 46
24 Specykacja modelu ARIMA Funkcje ACF i PACF jako kryterium doboru p,q Sposób post powania podpowiadany przez korelogram: dla modeli AR(p): szukamy punktu uci cia na wykresie PACF dla modeli MA(q): szukamy punktu uci cia na wykresie ACF dla modeli ARMA(p, q): zwi kszamy stopniowo p i q, staraj c si wyczy±ci wykres ACF i PACF Zaczynamy od ACF/PACF zmiennej. Nast pnie, po oszacowaniu modelu ARMA, ogl damy ACF i PACF reszt. (2) WdE II 21 / 46
25 Specykacja modelu ARIMA ACF i PACF: przykªad (1) Proces AR(1): Correlogram of P2 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob (2) WdE II 22 / 46
26 Specykacja modelu ARIMA ACF i PACF: przykªad (2) Proces MA(1): Correlogram of P4 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob (2) WdE II 23 / 46
27 Specykacja modelu ARIMA Testy statystyczne i miary dopasowania testy istotno±ci (t) testy autokorelacji Q (Ljung-Box) i efektów ARCH UWAGA! Interpretacja R-kwadrat mo»e by myl ca zwracamy raczej uwag na kryteria informacyjne pomagaj rozstrzyga mi dzy konkurencyjnymi modelami kompromis mi dzy dopasowaniem a oszcz dn parametryzacj (2) WdE II 24 / 46
28 Modele sezonowe: SARIMA Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 25 / 46
29 Modele sezonowe: SARIMA Ró»nicowanie sezonowe Model ARIMA z sezonowo±ci nazywamy SARIMA (Seasonal ARIMA). Dodatkowe parametry (w stosunku do ARIMA): s dªugo± cyklu sezonowo±ci (4 dla danych kwartalnych, 12 dla miesi cznych, 5 lub 7 dla dziennych itp.) D parametr sezonowego ró»nicowania Dla d = 1: Ogólnie: s y t = y t y t s 2 s y t = s y t s y t s. D s y t = D 1 s y t D 1 s y t s s ( d y t ) = d y t d y t s 2 s ( d y t ) = s ( d y t ) s ( d y t s ). D s ( d y t ) = D 1 s ( d y t ) D 1 s ( d y t s ) (2) WdE II 26 / 46
30 ( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L θ ql q) ε t Modele sezonowe: SARIMA Model SARIMA Dla uproszczenia notacji: niech y t zró»nicowany szereg. = D s ( d y t) oznacza odpowiednio Oprócz sezonowego ró»nicowania szeregu wyj±ciowego, mo»emy w modelu uwzgl dni sezonowe regresory typu AR i MA. Model ARIMA (p,d,q): Model SARIMA (p,d,q)x(p,d,q) s: ( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) ( 1 Φ 1L 1 s Φ 2L 2 s... Φ P L P s) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L θ ql q) ( 1 + Θ 1L 1 s + Θ 2L 2 s Θ Q L Q s) ε t (2) WdE II 27 / 46
31 Modele sezonowe: SARIMA Model SARIMA - parametryzacja P rz d opó¹nie«sezonowych typu AR Q rz d opó¹nie«sezonowych typu MA Parametryzacja modelu SARIMA: (p,d,q)x(p,d,q) s Uwagi: Model ARIMA jest szczególnym przypadkiem modelu SARIMA z P = 0, D = 0 i Q = 0. Brak sezonowo±ci sprowadza si do ustalenia parametru s = 1, przez co P, D i Q trac sens bytu (staj si nierozró»nialne od odpowiednio p, d i q). (2) WdE II 28 / 46
32 Idea i specykacja Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 29 / 46
33 Idea i specykacja Filtr Kalmana idea problem ekstrakcji sygnaªu identykacja i pomiar zmiennej nieobserwowalnej na podstawie sieci zale»no±ci mi dzy ni a obserwowalnymi estymacja parametrów modeli ze zmiennymi nieobserwowalnymi pozwala skonstruowa funkcj wiarygodno±ci stworzony na potrzeby nauk technicznych (maszyny produkcyjne, armia i zbrojenia, fale radiowe) ró»ne wersje specykacji modelu wªa±ciwo±ci stochastyczne, zmienne egzogeniczne, dynamika... (2) WdE II 30 / 46
34 Idea i specykacja Model w przestrzeni stanów Liniowy, Gaussowski: { α t = µ + Fα t 1 + ε t y t = Hα t + Ax t + u t ZMIENNA STANU: α t wektor m 1 zmiennych modelu (nieobserwowalnych) ε t N (0, Q) wstrz sy w modelu ZMIENNA SYGNAŠU: y t wektor n 1 zmiennych obserwowalnych u t N (0, R) bª dy pomiaru (2) WdE II 31 / 46
35 Wyprowadzenie Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 32 / 46
36 Wyprowadzenie Rozkªady zmiennych stanu α t = µ + Fα t 1 + ε t Przyjmujemy,»e wektor α t 1 jest zmienn losow o wielowymiarowym rozkªadzie normalnym (MVN) z warto±ci oczekiwan a t 1 oraz wariancj P t 1. Wówczas α t jako kombinacja dwóch zmiennych o rozkªadzie MVN te» ma rozkªadm MVN. Pozostaje pytanie o rozkªad α 1 (rekurencyjna denicja sprawia,»e nie b dziemy znali a 0 ani P 0 ). (2) WdE II 33 / 46
37 Wyprowadzenie Problem inicjalizacji Przed okresem t znamy: y t 1 a t 1 warto± oczekiwana α t 1 warunkowa wzgl dem y t 1 P t 1 macierz wariancji-kowariancji α t 1 warunkowa wzgl dem y t 1 Problem inicjalizacji: a 0, P 0 zwykle dªugookresowe warto±ci bezwarunkowe (Hamilton, 1994): a 0 = µ vecp 0 = [I m 2 (F F)] 1 vec (Q) Mo»liwe równie» przyj cie alternatywnego zaªo»enia:»e α 0 ma tzw. rozkªad nieinformacyjny (b. wysoka wariancja). Wówczas wyprowadzenie staje si nieco bardziej skomplikowane ni» prezentowane tutaj. (2) WdE II 34 / 46
38 Wyprowadzenie Równania predykcji stanów Co wiemy ex ante (przed t) na temat stanów w t? E t 1 (α t ) = F E t 1 (α t 1 ) + µ = Fa t 1 + µ a t t 1 [ (αt ) ( ) ] T E t 1 a t t 1 αt a t t 1 = = E t 1 [(F α t 1 + µ + ε t F a t 1 µ) (F α t 1 + µ + ε t F a t 1 µ = E t 1 {[F } (α t 1 a t 1 ) + ε t ] [F (α t 1 a t 1 ) + ε t ] T = = FP t 1 F T + Q P t t 1 (2) WdE II 35 / 46
39 Wyprowadzenie Równania predykcji obserwacji Co wiemy ex ante (przed t) na temat obserwacji w t? E t 1 (y t ) = Ha t t 1 + Ax t y t t 1 E t 1 {[y } t E t 1 (y t )] [y t E t 1 (y t )] T = HP t t 1 H T + R V t (2) WdE II 36 / 46
40 Wyprowadzenie Kowariancja ex ante stanu i obserwacji E t 1 { [αt a t t 1 ] [ y t Ha t t 1 Ax t ] T } = = E t 1 { [αt a t t 1 ] [ Hα t + Ax t + u t Ha t t 1 Ax t ] T } = = E t 1 { [αt a t t 1 ] [ αt a t t 1 ] T H T } = P t t 1 H T Ta kowariancja ( uzupeªnia opis ª cznego rozkªadu ex ante α t i y [ ] [ ]) t at t 1 P jako MVN, t t 1 P t t 1 H T. y t t 1 HP T t t 1 V t (2) WdE II 37 / 46
41 Wyprowadzenie Równania aktualizacji Czego si dowiedzieli±my po zaobserwowaniu y t (ex post w t): e t = y t y t t 1 Z perspektywy okresu t, y t nie jest ju» zmienn losow, a wi c rozkªad α t wyznaczamy na podstawie wªasno±ci MVN jako rozkªad warunkowy: E t (α t ) = a t t 1 + P t t 1 H T Vt 1 e t a t E t [(α t a t ) (α t a t ) T ] = P t t 1 P t t 1 H T V 1 t HP t t 1 P t (2) WdE II 38 / 46
42 Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 39 / 46
43 Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Funkcja wiarygodno±ci L [y, θ] = Tn 2 ln (2π) + T 2 T ln V t (θ) 1 2 t=1 T e t (θ) T V t (θ) 1 e t (θ) t=1 max θ (2) WdE II 40 / 46
44 Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Formy prezentacji zmiennych nieobserwowalnych Warto±ci zmiennych nieobserwowalnych (stanów) mog by przybli»ane punktowo poprzez ^a t (po oszacowaniu macierzy parametrów modelu)......lub przedziaªowo, z dodatkowym wykorzystaniem ^Pt (rozkªad MVN dla α t ). Nale»y jednak pami ta,»e oba te wektory (tzw. zmienne ltrowane) bazuj na wiedzy od okresu 1 do t. Ekonometryk dysponuj cy wiedz do T wª cznie jest w stanie dodatkowo wyznaczy warto±ci wygªadzone zmiennych nieobserwowalnych (wzory: zob. Hamilton, 1994, roz. 13.6). (2) WdE II 41 / 46
45 Przykªady Przykªad 1: estymacja modeli ARMA Oszacowanie modelu ARMA: Generujemy sztuczny szereg z procesu ARMA(2,1) o wybranych parametrach. Szacujemy go za pomoc polecenia dla modeli ARIMA. Nast pnie szacujemy go za pomoc procedury ltracji Kalmana w R (FKF). (2) WdE II 42 / 46
46 Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski zmienne w modelu Zmienne nieobserwowalne: yp t produkcja potencjalna yg t luka PKB Zmienne obserwowalne: π t stopa inacji y t produkcja (2) WdE II 43 / 46
47 Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski równania stanu yp t = yp t 1 + Δyp t 1 Δyp t = (1 δ)c + δδyp t 1 + ε p t yg t = ρ yg t 1 + ε g t α t = µ + Fα t 1 + ε t α t = F = yp t yp t yg t δ ρ ε t = µ = 0 ε p t ε g t 0 (1 δ) c 0 Q = σp σg 2 (2) WdE II 44 / 46
48 Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski równania pomiaru π t = κ yg t + ω π t 1 + π + u π t y t = yp t + yg t + u y t [ ] PKBt y t = π t [ ] H = 0 0 κ y t = Hα t + Ax t + u t [ x t = ] 1 π t 1 [ 0 0 A = π ω [ ] u π u t = t ut y ] [ σ 2 R = y 0 0 σπ 2 ] (2) WdE II 45 / 46
49 Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski wygªadzona luka PKB (2) WdE II 46 / 46
Modele ARIMA prognoza, specykacja
Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoRozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych
Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 4) Modele ARMA 1 / 24 Jednowymiarowe modele szeregów czasowych Jednowymiarowe modele szeregów czasowych:
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoEkonometria Szeregów Czasowych
Ekonometria Szeregów Czasowych Wykªad: Niestacjonarno± 8/12 marca 2017 dr Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej Plan zaj Poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoRozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji
Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 1 / 32 Wielowymiarowe modele szeregów czasowych Modele VAR uwzgl dniaj wzajemne powi zania mi
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoSzeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody odsezonowywania szeregów czasowych. TRAMO/SEATS i JDemetra+
Zaawansowane metody odsezonowywania szeregów czasowych. TRAMO/SEATS i JDemetra+ Ekonometria Szeregów Czasowych SGH TRAMO/SEATS i JDemetra+ 1 / 84 Plan wykªadu 1 Odsezonowanie ogólne informacje 2 Sezonowo±
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Bardziej szczegółowoWYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego
WYKŁAD: Szeregi czasowe I Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Szereg czasowy (X t ) - ciąg zmiennych losowych indeksowany parametrem t (czas). Z reguły t N lub t Z. Dotąd rozpatrywaliśmy: (X t )- ciąg
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoDodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch
Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 1 / 14 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody odsezonowywania szeregów czasowych. TRAMO/SEATS i Demetra+
Demetra+ pierwszy model Metoda TRAMO-SEATS Rozszerzenia TRAMO-SEATS implementacja w Demetrze+ Zaawansowane metody odsezonowywania szeregów czasowych. 13 lutego 2013 Demetra+ pierwszy model Metoda TRAMO-SEATS
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoRozdziaª 7. Modele klasy ARCH
Rozdziaª 7. Modele klasy ARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 7) Modele ARCH 1 / 24 Modele klasy ARCH Charakterystyki wi kszo±ci szeregów nansowych: Grupowanie wariancji (volatility clustering):
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 3 4 2 / 23 Plan prezentacji 1 Przykªad: model
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Bardziej szczegółowoRozdziaª 2. Analiza spektralna
Rozdziaª 2. Analiza spektralna MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 1 / 18 Widmo szeregu czasowego W analizie spektralnej szereg {y t : t = 1, 2,..., T } postrzegany
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoMetody bioinformatyki (MBI)
Metody bioinformatyki (MBI) Wykªad 9 - mikromacierze DNA, analiza danych wielowymiarowych Robert Nowak 2016Z Metody bioinformatyki (MBI) 1/42 mikromacierze DNA Metoda badawcza, pozwalaj ca bada obecno±
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R (10) Ekonometria Bayesowska 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 Wykorzystanie pakietu rjags 3 Diagnostyka
Bardziej szczegółowoFinansowe szeregi czasowe
24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoMateriał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)
Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) (studium przypadku) Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Liniowe modele stochastyczne Niech {y n } N n=1 będzie pewnym ciagiem danych
Bardziej szczegółowoWykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R
Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne
Bardziej szczegółowoDodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH
Dodatek 3. Wielowymiarowe modele GARCH model DCC-GARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 3) Modele MGARCH 1 / 11 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowo1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4.
1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. Prognozowanie stóp zwrotu na podstawie modeli ARMA 5. Relacje kointegrujące
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoPrzyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoPROGNOZA WYSTĄPIENIA WSTRZĄSU ZA POMOCĄ SZEREGÓW CZASOWYCH. 1. Wprowadzenie. Zdzisław Iwulski* Górnictwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszyt 3/1 2007
Górnictwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszyt 3/1 2007 Zdzisław Iwulski* PROGNOZA WYSTĄPIENIA WSTRZĄSU ZA POMOCĄ SZEREGÓW CZASOWYCH 1. Wprowadzenie Z szeregami czasowymi spotykamy się w inżynierii, geologii,
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1
Bardziej szczegółowo