Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA

Transkrypt

1

2 Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q)

3 Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi

4 Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Model zjawiska budowany jest w oparciu o statystyczne właściwości danych

5 Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Model zjawiska budowany jest w oparciu o statystyczne właściwości danych są użytecznym narzędziem prognostycznym

6 składa się z dwóch części: y t = α 1 y t α p y t p + µ + ε t + θ 1 ε t θ q ε t q }{{}}{{} AR MA

7 model autoregresyjny y t = µ + α 1 y t 1 + α 2 y t α p y t p

8 model autoregresyjny y t = µ + α 1 y t 1 + α 2 y t α p y t p model średniej ruchomej y t = ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q E(ε t ) = 0 var(ε t ) = σ 2 E(ε t, ε s ) = 0 t s

9 składniki ε t nazywa się innowacjami

10 składniki ε t nazywa się innowacjami cześć MA można traktować jako składnik losowy o rozbudowanej strukturze u t = ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q

11 składniki ε t nazywa się innowacjami cześć MA można traktować jako składnik losowy o rozbudowanej strukturze u t = ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q w takim przypadku podlega on zjawisku autokorelacji

12 składniki ε t nazywa się innowacjami cześć MA można traktować jako składnik losowy o rozbudowanej strukturze u t = ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q w takim przypadku podlega on zjawisku autokorelacji model ARMA można wówczas przedstawić jako y t = µ + α 1 y t 1 + α 2 y t α p y t p + u t (1)

13 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK

14 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML

15 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML Estymatory MNK nie są zgodne

16 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML Estymatory MNK nie są zgodne Oszacowania uzyskuje się wykorzystując MNW lub Nieliniową MNK

17 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML Estymatory MNK nie są zgodne Oszacowania uzyskuje się wykorzystując MNW lub Nieliniową MNK W przypadku rozbudowanej postaci modelu obliczenia są czasochłonne i źle numerycznie uwarunkowane

18 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML Estymatory MNK nie są zgodne Oszacowania uzyskuje się wykorzystując MNW lub Nieliniową MNK W przypadku rozbudowanej postaci modelu obliczenia są czasochłonne i źle numerycznie uwarunkowane Jest to szczególnie duży problem dla krótkich szeregów

19 Jeśli model nie ma części autoregresyjnej to można jego parametry oszacować MNK Model (1) nie spełnia założeń KRML Estymatory MNK nie są zgodne Oszacowania uzyskuje się wykorzystując MNW lub Nieliniową MNK W przypadku rozbudowanej postaci modelu obliczenia są czasochłonne i źle numerycznie uwarunkowane Jest to szczególnie duży problem dla krótkich szeregów Do testowania hipotez można użyć testów W,LR,LM

20 Przed estymacją parametrów należy ustalić rząd procesów

21 Przed estymacją parametrów należy ustalić rząd procesów Metoda Boxa-Jenkinsa

22 Przed estymacją parametrów należy ustalić rząd procesów Metoda Boxa-Jenkinsa Metoda od ogólnego do szczegółowego

23 Przed estymacją parametrów należy ustalić rząd procesów Metoda Boxa-Jenkinsa Metoda od ogólnego do szczegółowego Kryteria informacyjne

24 Jeżeli procesy są prawidłowo ustalone to reszty są białym szumem

25 Jeżeli procesy są prawidłowo ustalone to reszty są białym szumem testem niezależności reszt jest statystyka Ljunga-Boxa Q = n(n + 2) m k=1 ˆρ k T k D χ 2 m p q gdzie ˆρ k = (T k) (y ȳ) (y t k ȳ) T 1 (y ȳ) 2

26 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami

27 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami Dla szeregu stacjonarnego wartości zależą wyłącznie od odległości między obserwacjami E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k k = 0, 1, 2,...

28 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami Dla szeregu stacjonarnego wartości zależą wyłącznie od odległości między obserwacjami E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k k = 0, 1, 2,... autkowariancje są nieunormowane

29 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami Dla szeregu stacjonarnego wartości zależą wyłącznie od odległości między obserwacjami E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k k = 0, 1, 2,... autkowariancje są nieunormowane Funkcja autokorelacji (ACF) (Autocorrelation Function) ρ k = cov(y t, y t k ) var(y t )

30 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami Dla szeregu stacjonarnego wartości zależą wyłącznie od odległości między obserwacjami E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k k = 0, 1, 2,... autkowariancje są nieunormowane Funkcja autokorelacji (ACF) (Autocorrelation Function) ρ k [ 1, 1] ρ k = cov(y t, y t k ) var(y t )

31 Funkcja autokowariancji pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami Dla szeregu stacjonarnego wartości zależą wyłącznie od odległości między obserwacjami E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k k = 0, 1, 2,... autkowariancje są nieunormowane Funkcja autokorelacji (ACF) (Autocorrelation Function) ρ k [ 1, 1] ρ k = ρ k ρ k = cov(y t, y t k ) var(y t )

32 Autocorrelations of inflacja Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands

33 Funkcja cząstkowej autokorelacji (Partial Autocorrelation Function) pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami, pomijając wpływ pośrednich opóźnień

34 Funkcja cząstkowej autokorelacji (Partial Autocorrelation Function) pokazuje zależność między y t a poprzednimi wartościami, pomijając wpływ pośrednich opóźnień Liczbowo jest równa oszacowaniu współczynnika ρ k w modelu: y t = µ + ρ 1 y t ρ k y t k + ε t

35 Partial autocorrelations of inflacja Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]

36 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor]

37 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF

38 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF Wielkość p oraz q można oszacować na podstawie przebiegu funkcji ACF i PACF

39 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF Wielkość p oraz q można oszacować na podstawie przebiegu funkcji ACF i PACF Urywająca się funkcja ACF wskazuje na rząd procesu MA

40 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF Wielkość p oraz q można oszacować na podstawie przebiegu funkcji ACF i PACF Urywająca się funkcja ACF wskazuje na rząd procesu MA Urywająca się funkcja PACF wskazuje na rząd procesu AR

41 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF Wielkość p oraz q można oszacować na podstawie przebiegu funkcji ACF i PACF Urywająca się funkcja ACF wskazuje na rząd procesu MA Urywająca się funkcja PACF wskazuje na rząd procesu AR Jeżeli obie funkcję maleją bardzo powoli należy szereg zróżnicować

42 Polega na graficznej analizie przebiegu funkcji ACF i PACF Wielkość p oraz q można oszacować na podstawie przebiegu funkcji ACF i PACF Urywająca się funkcja ACF wskazuje na rząd procesu MA Urywająca się funkcja PACF wskazuje na rząd procesu AR Jeżeli obie funkcję maleją bardzo powoli należy szereg zróżnicować Regularne skoki mogą wskazywać na obecność sezonowości

43 Autocorrelations of inflacja Lag Partial autocorrelations of inflacja Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]

44 W praktyce wykresy są trudne do jednoznacznej interpretacji

45 W praktyce wykresy są trudne do jednoznacznej interpretacji Dodatkowy problemem jest brak zgodności oszacowań PACF

46 W praktyce wykresy są trudne do jednoznacznej interpretacji Dodatkowy problemem jest brak zgodności oszacowań PACF Wskazane jest posłużenie się formalnymi metodami

47 W praktyce wykresy są trudne do jednoznacznej interpretacji Dodatkowy problemem jest brak zgodności oszacowań PACF Wskazane jest posłużenie się formalnymi metodami Celem jest wybór modelu o małej liczbie parametrów

48 Przykład Wprowadzenie Porównanie statystyk różnych modeli Kryterium ARMA(2,0) ARMA(2,1) ARMA(1,1) ARMA(2,2) AIC BIC LL

49 Powszechność sezonowości

50 Powszechność sezonowości Brak jej uwzględnienia może powodować autokorelację

51 Powszechność sezonowości Brak jej uwzględnienia może powodować autokorelację Zmienne zero-jedynkowe

52 Powszechność sezonowości Brak jej uwzględnienia może powodować autokorelację Zmienne zero-jedynkowe Sezonowe wyrównywanie szeregów (X11, TRAMO-SEATS)

53 Powszechność sezonowości Brak jej uwzględnienia może powodować autokorelację Zmienne zero-jedynkowe Sezonowe wyrównywanie szeregów (X11, TRAMO-SEATS) Różnicowanie sezownowe

54 Przykład Wprowadzenie Porównanie statystyk różnych modeli Kryterium SARMA(2,0) SARMA(1,1) SARMA(1,0) AIC BIC LL

55 może być wykorzystany jako narzędzie prognostyczne

56 może być wykorzystany jako narzędzie prognostyczne Wartość w kolejnym okresie zależy wyłącznie od znanych wartości y T +1 = µ+α 1 y T +...+α p y T p+1 +ε T +1 +θ 1 ε T +...+θ q ε T q+1 gdzie T oznacza ostatnią obserwację w próbie

57 może być wykorzystany jako narzędzie prognostyczne Wartość w kolejnym okresie zależy wyłącznie od znanych wartości y T +1 = µ+α 1 y T +...+α p y T p+1 +ε T +1 +θ 1 ε T +...+θ q ε T q+1 gdzie T oznacza ostatnią obserwację w próbie Zakłada się że reszty dla przyszłych okresów są równe 0

58 może być wykorzystany jako narzędzie prognostyczne Wartość w kolejnym okresie zależy wyłącznie od znanych wartości y T +1 = µ+α 1 y T +...+α p y T p+1 +ε T +1 +θ 1 ε T +...+θ q ε T q+1 gdzie T oznacza ostatnią obserwację w próbie Zakłada się że reszty dla przyszłych okresów są równe 0 Prognoza y T +1 jest równa y T ˆ +1 = ˆµ + α 1 yˆ T α p y T p+1 ˆ + θ 1 e T θ q e T q+1

59 może być wykorzystany jako narzędzie prognostyczne Wartość w kolejnym okresie zależy wyłącznie od znanych wartości y T +1 = µ+α 1 y T +...+α p y T p+1 +ε T +1 +θ 1 ε T +...+θ q ε T q+1 gdzie T oznacza ostatnią obserwację w próbie Zakłada się że reszty dla przyszłych okresów są równe 0 Prognoza y T +1 jest równa y T ˆ +1 = ˆµ + α 1 yˆ T α p y T p+1 ˆ + θ 1 e T θ q e T q+1 prognozy oblicza się rekurencyjnie

60 sensowne prognozy z modelu ARMA najwyżej na max{p, q} okresów

61 sensowne prognozy z modelu ARMA najwyżej na max{p, q} okresów dla kolejnych okresów przyjmują wartość y µ = 1 α i

62 ARIMA regression Sample: 1998m1-2008m12 Number of obs = 132 Wald chi2(2) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG inflacja Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] inflacja _cons ARMA ar L L /sigma

63 Prognoza na 1 okres naprzód y T +1 = α 1 y T + α 2 y T 1 = = 4.47

64 Prognoza na 1 okres naprzód y T +1 = α 1 y T + α 2 y T 1 = = 4.47 Prognoza na 2 okresy naprzód y T +2 = α 1 y T ˆ +1 + α 2 y T = = 4.45

65 Prognoza na 1 okres naprzód y T +1 = α 1 y T + α 2 y T 1 = = 4.47 Prognoza na 2 okresy naprzód y T +2 = α 1 y T ˆ +1 + α 2 y T = = 4.45 Prognoza na 3 okresy naprzód y T +3 = α 1 y T ˆ +2 + α 2 y T ˆ +1 = = 4.44

66 m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 2008m1 2010m1 miesiac badania inflacja netto xb prediction, dyn(tm(2009q1))

67 Ze względu na ateoretyczną naturę procesu ARMA, czasem wykorzystuje się go w połączeniu z innym modelem

68 Ze względu na ateoretyczną naturę procesu ARMA, czasem wykorzystuje się go w połączeniu z innym modelem Wówczas ma on postać y t = X t β + u u t ARMA(p, q)

69 ARIMA regression Number of obs = 131 Sample: 1998m2-2008m12 Wald chi2(4) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG inflacja Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] stopa L _cons ARMA ar L L /sigma ======================================================================= Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC ARMA Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note