Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne
|
|
- Zuzanna Daria Cybulska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra semestr letni 2005/06
2 Liniowe modele stochastyczne Niech {y n } N n=1 będzie pewnym ciagiem danych pomiarowych. Nie znamy mechanizmu, który wygenerował ten szereg. Przypuszczamy, że jest on mocno zaszumiony. Jeżeli szereg {y n } N n=1 jest stacjonarny, próbujemy przedstawić go w postaci y n = β 1 y n 1 + β 2 y n β p y n p + α 0 η n + α 1 η n α q η n q, (1) gdzie {η k } jest białym szumem. Model (1) próbuje przedstawić rzeczywisty szereg czasowy w postaci odfiltrowanego białego szumu. Proces (1) nazywam procesem ARMA(p, q) (AutoRegressive Moving Average autoregresywny proces średniej ruchomej). W ogólności zamiast białego szumu, szereg {η k } mógłby być dowolnym stacjonarnym sygnałem o znanych własnościach. 7. Liniowe modele stochastyczne 2
3 Przykład procesu ARMA(3,2) 5 4 white noise ARMA(3,2) n 7. Liniowe modele stochastyczne 3
4 Funkcja korelacji W teorii funkcję korelacji wylicza się średniujac po realizacjach procesu stochastycznego, który odpowiada za wygenerowanie tego szeregu: ρ(i) = 1 N i N j=i+1 y j i y j / 1 N N yj 2 j=1 W praktyce mamy dana tylko jedna realizację naszego szeregu i dlatego obliczona funkcja korelacji może się różnić od wartości teoretycznej. (2) 7. Liniowe modele stochastyczne 4
5 Funkcja korelacji powyższego procesu pojedyncza realizacja ρ(j) j 7. Liniowe modele stochastyczne 5
6 Widmo mocy powyższego procesu 10 0 pojedyncza realizacja wiele realizacji P(f) f 7. Liniowe modele stochastyczne 6
7 Warunek stacjonarności procesu ARMA Proces (1) ma postać filtru IIR, a zatem Proces (1) jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy gdy pierwiastki równania λ p β 1 λ p 1 β 2 λ p 2 β p = 0 (3) leża wewnatrz okręgu jednostkowego. 7. Liniowe modele stochastyczne 7
8 Procesy autoregresywne AR(p) Jeżeli proces ARMA nie ma średniowania szumu, nazywamy go procesem autoregresywnym: y n = β 1 y n 1 + β 2 y n β p y n p + α 0 η n. (4) Aby obliczyć jego funkcję autokorelacji, mnożę (4) przez y n m i średniuję po realizacjiach szumu: y n m y n = β 1 y n m y n β p yn m y n p + α0 y n m η n. (5) Ostatni człon w (5) znika, gdyż y n m nie może zależeć od późniejszego od siebie szumu. 7. Liniowe modele stochastyczne 8
9 Dzielac (5) przez wariancję yn 2, dostajemy równanie na funkcję korelacji procesu AR(p): ρ m = β 1 ρ m 1 + β 2 ρ m β p ρ m p (6) Z teorii równań różnicowych wiemy, że rozwiazanie równania różnicowego (6) ma postać ρ m = p j=1 A j λ m j, (7) gdzie λ j sa rozwiazaniami równania (3). Z uwagi na wymaganie stabilności, j : λ j < 1, a zatem możemy napisać λ j = e τ je 2πif j, gdzie j : τ j > Liniowe modele stochastyczne 9
10 Funkcja korelacji procesu autoregresywnego Ponieważ równanie (3) ma współczynniki rzeczywiste, jego pierwiastki sa albo rzeczywiste, albo parami sprzężone. Wobec tego stałe A j można dobrać tak, aby ρ m było rzeczywiste. Ostatecznie stwierdzamy, że Funkcja korelacji procesu autoregresywnego ma postać kombinacji liniowej zanikajacych eksponent i tłumionych sinusoid: ρ m = A j e mτ j + Aj e mτ j sin(2πf j m + φ j ). (8) 7. Liniowe modele stochastyczne 10
11 Widmo procesu autoregresywnego Widmo procesu autoregresywnego otrzymujemy natychmiast z funkcji przejścia odpowiedniego filtru: P (f) = 1 p n=1 α 2 0 β n e 2πinf 2, 0 f 1 2,. (9) 7. Liniowe modele stochastyczne 11
12 Równania Yule a-walkera W równaniu (6) podstawmy m = 1. Dostaniemy ρ 1 = β 1 ρ β 2 ρ β p ρ 1 p = β 1 + β 2 ρ β p ρ p 1, (10) gdyż na mocy stacjonarności ρ j = ρ j. Jeżeli zrobimy tak dla m = 1,..., p, dostaniemy równania Yule a-walkera: 1 ρ 1 ρ 2 ρ p 1 ρ ρ 1. ρ p 2. ρ p 1 ρ p 2 ρ p 3 1 β 1 β 2. β p = ρ 1 ρ 2. ρ p. (11) 7. Liniowe modele stochastyczne 12
13 Teoretycznie, znajac funkcję korelacji ρ m, możemy stad obliczyć parametry procesu β j. W praktyce nie znamy funkcji korelacji ρ m, możemy tylko używać korelacji doświadczalnej, wyliczonej z jedynej znanej nam realizacji procesu: r m = 1 N m N i=m+1 y i m y i / 1 N N yi 2 i=1. (12) r m podstawiamy do równania Yule a-walkera (11), skad wyliczamy przybliżone wartości współczynników β i. Jest jednak poważny problem: Skad mamy wiedzieć jaki jest rzad procesu, czyli jaki jest rozmiar układu równań (11)? 7. Liniowe modele stochastyczne 13
14 Funkcja autokorelacji czastkowej Funkcja autokorelacji procesu AR(p) ma rozwinięcie nieskończone, zależy jednak od p liniowo niezależnych funkcji. Załóżmy, że proces jest rzędu k. Wówczas równania Yule a-walkera maja postać 1 ρ 1 ρ 2 ρ k 1 ρ ρ 1. ρ k 2. ρ k 1 ρ k 2 ρ k 3 1 ϕ k1 ϕ k2. ϕ kk = ρ 1 ρ 2. ρ k. (13) ϕ kk nazywam funkcja autokorelacji czastkowej. Dla procesu AR rzędu p, ϕ kk 0 dla k p i ϕ kk 0 dla k > p. W praktyce zamiast ρ m używamy r m, co oczywiście utrudnia podjęcie decyzji o rzędzie procesu 7. Liniowe modele stochastyczne 14
15 Przykład 5 4 Pewien proces AR 1 correlations partial correlations Parametry wyestymowane: p = 3: β 1 = 0.415, β 2 = 0.003, β 3 = p = 4: β 1 = 0.474, β 2 = 0.149, β 3 = 0.530, β 4 = Parametry prawdziwe : p = 3: β 1 = 0.500, β 2 = 0.125, β 3 = Liniowe modele stochastyczne 15
16 Proces AR(1) y n = β 1 y n 1 + α 0 η n (14) 1 < β 1 < 1. Funkcja korelacji (m > 0): y n y n m = β 1 y n 1 y n m + α 0 η n y n m (15) ρ m = β 1 ρ m 1 (16) ρ m = β 1 m = (sgn(β 1 )) m e m ln β 1 (17) 7. Liniowe modele stochastyczne 16
17 y n = 0.75y n 1 + η n 4 AR(1) "a" GWN Liniowe modele stochastyczne 17
18 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 18
19 y n = 0.75y n 1 + η n 4 AR(1) "b" GWN Liniowe modele stochastyczne 19
20 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 20
21 Proces AR(2) Postępujac jak poprzednio y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + α 0 η n (18) ρ i = β 1 ρ i 1 + β 2 ρ i 2 (19) Rozwiazaniem jest albo suma dwu członów zanikajacych potęgowo ( dwie eksponenty ), albo pewne zanikajace rozwiazanie znakozmienne ( drgania tłumione ). To, że korelacja zanika, jest zagwarantowane przez warunki stacjonarności. 7. Liniowe modele stochastyczne 21
22 y n = 0.75y n y n 2 + η n 4 AR(2) "a" GWN Liniowe modele stochastyczne 22
23 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 23
24 y n = 0.75y n 1 0.5y n 2 + η n 4 AR(2) "b" GWN Liniowe modele stochastyczne 24
25 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 25
26 Procesy średniej ruchomej MA(q) Dla procesu y n = α 0 η n + α 1 η n α q η n q (20) otrzymujemy y n y n i = Funkcja korelacji urywa się dla i > q: ρ i = q j=0 α i +α 1 α i 1 + +α q i α q 1+α α2 q α j ηn j y n i 0 i > q Funkcja autokorelacji czastkowej zanika. i = 1, 2,..., q (21) (22) 7. Liniowe modele stochastyczne 26
27 y n = 0.25η n + 0.5η n η n 2 4 MA(3) "a" GWN Liniowe modele stochastyczne 27
28 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 28
29 y n = 0.25η n + 0.5η n η n 2 4 MA(3) "b" GWN Liniowe modele stochastyczne 29
30 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 30
31 Procesy ARMA(p, q) Warunkiem stacjonarności procesu ARMA jest stacjonarność części autoregresywnej. Widmo procesu ARMA otrzymujemy z funkcji przejścia odpowiedniego filtru IIR: P (f) = q n=0 1 p n=1 α n e 2πinf β n e 2πinf 2, 0 f 1 2. (23) 7. Liniowe modele stochastyczne 31
32 y n = 0.75y n η n + 0.5η n η n 2 4 ARMA(1,3) GWN Liniowe modele stochastyczne 32
33 1 N=2 7 N= Liniowe modele stochastyczne 33
34 Kryteria identyfikacji rzędu procesu Rodzaj procesu Fukcja autokorelacji Funkcja autokorelacji czastkowej AR(p) zanika (nieskończona) urywa się (skończona) MA(q) urywa się (skończona) zanika (nieskończona) ARMA(p,q) zanika (nieskończona) zanika (nieskończona) 7. Liniowe modele stochastyczne 34
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
Bardziej szczegółowoSzeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t
Bardziej szczegółowoFinansowe szeregi czasowe
24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego
WYKŁAD: Szeregi czasowe I Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Szereg czasowy (X t ) - ciąg zmiennych losowych indeksowany parametrem t (czas). Z reguły t N lub t Z. Dotąd rozpatrywaliśmy: (X t )- ciąg
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowo3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu
3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA
Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoStacjonarność Integracja. Integracja. Integracja
Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 4. Filtry liniowe
Analiza szeregów czasowych: 4. Filtry liniowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Filtry liniowe W dziedzinie fourierowskiej filtruje się bardzo prosto: oblicza się iloczyn
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoEkonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe
Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Analiza stacjonarności szeregów czasowych 1 Analiza stacjonarności szeregów czasowych Modele niestacjonarne Szeregi TS i DS
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoPrzyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoCo trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe?
Prognozowanie Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA Marta Płonka Predictive Solutions W trzecim już artykule dotyczącym szeregów czasowych przyjrzymy się modelom ARIMA. Dzisiaj skupimy się na metodzie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 3. Filtr Wienera
Analiza szeregów czasowych: 3. Filtr Wienera P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Filtr Wienera ( filtr optymalny ) Przypuśćmy, że pewien układ (fizyczny, biologiczny,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1
Egzamin licencjacki (rozwiązania zadań) - 1-3 czerwca 014 r. Rozwiązania zadań testowych 1. Dany jest taki szereg zbieżny a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących szeregów: a) (a n+1 +a
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowox x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowowprowadzenie do analizy szeregów czasowych
19 stycznia 2016 Wprowadzenie Prezentacja danych Dekompozycja Preprocessing Model predykcji ARIMA Dobór parametrów modelu ARIMA Podsumowanie Definicje i przykłady Definicje Szeregiem czasowym nazywamy
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoModele ARIMA prognoza, specykacja
Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoMetody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky
Bardziej szczegółowoPodczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.
Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.
Bardziej szczegółowoKalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk
Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoPROGNOZA WYSTĄPIENIA WSTRZĄSU ZA POMOCĄ SZEREGÓW CZASOWYCH. 1. Wprowadzenie. Zdzisław Iwulski* Górnictwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszyt 3/1 2007
Górnictwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszyt 3/1 2007 Zdzisław Iwulski* PROGNOZA WYSTĄPIENIA WSTRZĄSU ZA POMOCĄ SZEREGÓW CZASOWYCH 1. Wprowadzenie Z szeregami czasowymi spotykamy się w inżynierii, geologii,
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoMateriał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)
Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) (studium przypadku) Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia
Bardziej szczegółowoModelowanie ekonometryczne
Modelowanie ekonometryczne Kamil Skoczylas Kamilskoczylas@wp.pl 1. Wstęp Otaczający nas świat to zbiór różnych zjawisk. W zależności od zainteresowań człowiek staje się obserwatorem niektórych z nich.
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoEkonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu
Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowo