Finansowe szeregi czasowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Finansowe szeregi czasowe"

Transkrypt

1 24 kwietnia 2009

2 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P).

3 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD:

4 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp...

5 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp... Formujemy zwroty ( St ) X t = ln S t ln S t 1 = ln S t 1

6 Rysunek: Zwroty indeksu DAX

7 Rysunek: Zwroty indeksu DAX

8 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY:

9 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności

10 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność

11 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność grube ogony

12 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy

13 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z

14 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z

15 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z

16 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s t, s Z

17 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z UWAGA γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s γ(t, t) = E((X t µ(t))(x t µ(t))) = E(X t µ(t)) 2 = Var(X t )

18 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N

19 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N 2 Kowariancyjna stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest kowariancyjnie stacjonarny (lub słabo stacjonarny) jeśli dwa pierwsze momenty istnieją oraz spełniają: µ(t) = µ, t Z γ(t, s) = γ(t + k, s + k), t, s, k Z

20 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0)

21 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z

22 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t

23 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t Funkcja autokorelacji Funkcją autokorelacji ρ(h) kowariancyjnie stacjonarnego procesu (X t ) t Z nazywamy ρ(h) = ρ(x h, X 0 ) = γ(h) γ(0) h Z

24 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum.

25 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ).

26 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ). 2 Ścisły biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy ścisłym białym szumem jeśli jest szeregiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji. Ścisły biały szum o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać SWN(0, σ 2 ).

27 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t)

28 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t) Różnica martyngałowa Szereg czasowy (X t ) t Z nazywamy różnicą martyngałową w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z jeśli E X t <, X t jest F t -mierzalna i t Z E(X t F t 1 ) = 0

29 UWAGA

30 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z

31 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s;

32 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s; Zatem ciąg różnic martyngałowych o skończonej wariancji ma średnią zero i zerową kowariancję. Jeśli wariancja jest stała dla wszystkich t, to proces ten jest białym szumem.

33 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum

34 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z

35 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z (X t ) t Z jest procesem ARMA ze średnią µ jeśli proces (X t µ) t Z jest procesem ARMA(p, q) ze średnią zero.

36 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe.

37 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe. Twierdzenie Każdy proces spełniający (2) i (3) jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcją korelacji postaci ψ i ψ i+h i=0 ρ(h) =, h N (4) ψi 2 i=0

38 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) X t = q θ i ε t i + ε t i=1

39 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) gdzie θ 0 = 1. ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0

40 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q.

41 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q. MA(4): θ 0 = 1, θ 1 = 0, 8, θ 2 = 0, 4, θ 3 = 0, 2, θ 4 = 0, 3 ε t N(0, 1) X t = ε t 0, 8ε t 1 + 0, 4ε t 2 + 0, 2ε t 3 0, 3ε t 4

42 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t

43 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i i=0

44 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 i=0

45 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0

46 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0 ρ(h) = i=0 i=0 φ i φ i+h φ 2i = φ h φ 2i i=0 i=0 φ 2i = φ h, h N

47 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z

48 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1

49 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1

50 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3

51 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1

52 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i

53 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t

54 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t ARMA(1, 1) = AR( )

55 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n

56 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n n h t=1 (X t+h X)(X t X), 0 h < n, gdzie X = n t=1 X t n

57 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n.

58 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n. wykres {(h, ˆρ(h)) : h = 0, 1, 2,...} nazywamy korelogramem

59 Twierdzenie Niech (X t ) t Z będzie liniowym procesem X t µ = gdzie i=0 E(Z 4 t ) < lub i=0 ψ i <, (Z t ) t Z SWN(0, σz 2 ). Załóżmy, że j=0 ψ i Z t i, jψ 2 j <. Wówczas dla h {1, 2,...} mamy n(ˆρ(h) ρ(h)) d N h (0, W ) gdzie ˆρ(h) = (ˆρ(1),..., ˆρ(h)), ρ(h) = (ρ(1),..., ρ(h)), a W ma elementy W i,j = (ρ(k + i) + ρ(k i) 2ρ(i)ρ(k))(ρ(k + j) + ρ(k j) 2ρ(j)ρ(k)). k=1

60 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie).

61 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie.

62 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ),

63 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.

64 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.

65 PRZEWIDYWANIE

66 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA

67 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1

68 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + (F t ) t Z = σ(x s : s t) p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1

69 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z j=1

70 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. j=1

71 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h j=1

72 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) j=1

73 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) Główną ideą jest, dla h 1 to, że przewidywanie E (X t+h F t ) można rekurencyjnie rozwiązać za pomocą E (X t+h 1 F t ) j=1

74 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1)

75 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1

76 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t,

77 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,...

78 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t.

79 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t. Jeżeli znamy historyczne wartości (X s ) s t przewidywana wartość może być obliczona dokładnie!

80 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA

81 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie

82 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego

83 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0

84 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0 P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i = i=0 αy t + (1 α) n 1 α(1 α) i 1 Y t i = i=1 αy t + (1 α) n 2 α(1 α) j Y t 1 j = αy t + (1 α)p t 1 Y t j=0

85 Szereg czasowy może mieć

86 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję

87 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie

88 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji

89 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji Pierwszy model został zaprezentowany w 1982 roku (Engel i Nelson) ARCH (AutoRegressive Conditionaly Heteroscedastic)

90 Proces ARCH(p) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0, 1). Proces (X t ) t Z jest procesem ARCH(p) jeśli jest ściśle stacjonarny oraz dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z spełnia równania X t = σ t Z t p σt 2 = α 0 + α i X 2 t i i=1 gdzie α 0 > 0 i α i 0, i = 1,..., p.

91 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH)

92 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0,1). Proces (X t ) t Z jest procesem GARCH(p, q) jeśli jest ściśle stacjonarny i jeśli spełnia dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z równania X t = σ t Z t, σ 2 t = α 0 + p α i X 2 t i + i=1 q β j σt j 2 j=1 gdzie α 0 > 0, α i 0, i = 1,..., p i β j 0, j = 1,..., q.

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Modele warunkowej heteroscedastyczności

Modele warunkowej heteroscedastyczności Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty

Bardziej szczegółowo

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Analiza stacjonarności szeregów czasowych 1 Analiza stacjonarności szeregów czasowych Modele niestacjonarne Szeregi TS i DS

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Metody Prognozowania

Metody Prognozowania Wprowadzenie Ewa Bielińska 3 października 2007 Plan 1 Wprowadzenie Czym jest prognozowanie Historia 2 Ciągi czasowe Postępowanie prognostyczne i prognozowanie Predykcja długo- i krótko-terminowa Rodzaje

Bardziej szczegółowo

Na podstawie dokonanych obserwacji:

Na podstawie dokonanych obserwacji: PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych 19 stycznia 2016 Wprowadzenie Prezentacja danych Dekompozycja Preprocessing Model predykcji ARIMA Dobór parametrów modelu ARIMA Podsumowanie Definicje i przykłady Definicje Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Rozdział Metoda największej wiarygodności Ogólnie w procesie estymacji na podstawie prób x i (każde x i może być wektorem) wyznaczamy parametr λ (w ogólnym przypadku również wektor) opisujący domniemany

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne

Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β

Bardziej szczegółowo

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe?

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe? Prognozowanie Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA Marta Płonka Predictive Solutions W trzecim już artykule dotyczącym szeregów czasowych przyjrzymy się modelom ARIMA. Dzisiaj skupimy się na metodzie

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) (studium przypadku) Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Modele ARIMA prognoza, specykacja

Modele ARIMA prognoza, specykacja Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia

Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia 206-2-09 Plan zajęć usuwanie z B-drzew join i split na 2-3-4 drzewach drzepce adresowanie otwarte w haszowaniu z analizą 2 B-drzewa definicja każdy węzeł ma następujące

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14 Statystyka #6 Analiza wariancji Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2015/2016 1 / 14 Analiza wariancji 2 / 14 Analiza wariancji Analiza wariancji jest techniką badania wyników,

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

1 Modele ADL - interpretacja współczynników 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo