Finansowe szeregi czasowe
|
|
|
- Henryk Włodarczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 24 kwietnia 2009
2 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P).
3 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD:
4 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp...
5 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp... Formujemy zwroty ( St ) X t = ln S t ln S t 1 = ln S t 1
6 Rysunek: Zwroty indeksu DAX
7 Rysunek: Zwroty indeksu DAX
8 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY:
9 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności
10 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność
11 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność grube ogony
12 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy
13 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z
14 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z
15 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z
16 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s t, s Z
17 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z UWAGA γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s γ(t, t) = E((X t µ(t))(x t µ(t))) = E(X t µ(t)) 2 = Var(X t )
18 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N
19 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N 2 Kowariancyjna stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest kowariancyjnie stacjonarny (lub słabo stacjonarny) jeśli dwa pierwsze momenty istnieją oraz spełniają: µ(t) = µ, t Z γ(t, s) = γ(t + k, s + k), t, s, k Z
20 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0)
21 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z
22 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t
23 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t Funkcja autokorelacji Funkcją autokorelacji ρ(h) kowariancyjnie stacjonarnego procesu (X t ) t Z nazywamy ρ(h) = ρ(x h, X 0 ) = γ(h) γ(0) h Z
24 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum.
25 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ).
26 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ). 2 Ścisły biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy ścisłym białym szumem jeśli jest szeregiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji. Ścisły biały szum o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać SWN(0, σ 2 ).
27 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t)
28 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t) Różnica martyngałowa Szereg czasowy (X t ) t Z nazywamy różnicą martyngałową w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z jeśli E X t <, X t jest F t -mierzalna i t Z E(X t F t 1 ) = 0
29 UWAGA
30 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z
31 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s;
32 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s; Zatem ciąg różnic martyngałowych o skończonej wariancji ma średnią zero i zerową kowariancję. Jeśli wariancja jest stała dla wszystkich t, to proces ten jest białym szumem.
33 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum
34 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z
35 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z (X t ) t Z jest procesem ARMA ze średnią µ jeśli proces (X t µ) t Z jest procesem ARMA(p, q) ze średnią zero.
36 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe.
37 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe. Twierdzenie Każdy proces spełniający (2) i (3) jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcją korelacji postaci ψ i ψ i+h i=0 ρ(h) =, h N (4) ψi 2 i=0
38 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) X t = q θ i ε t i + ε t i=1
39 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) gdzie θ 0 = 1. ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0
40 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q.
41 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q. MA(4): θ 0 = 1, θ 1 = 0, 8, θ 2 = 0, 4, θ 3 = 0, 2, θ 4 = 0, 3 ε t N(0, 1) X t = ε t 0, 8ε t 1 + 0, 4ε t 2 + 0, 2ε t 3 0, 3ε t 4
42 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t
43 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i i=0
44 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 i=0
45 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0
46 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0 ρ(h) = i=0 i=0 φ i φ i+h φ 2i = φ h φ 2i i=0 i=0 φ 2i = φ h, h N
47 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z
48 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1
49 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1
50 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3
51 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1
52 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i
53 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t
54 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t ARMA(1, 1) = AR( )
55 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n
56 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n n h t=1 (X t+h X)(X t X), 0 h < n, gdzie X = n t=1 X t n
57 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n.
58 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n. wykres {(h, ˆρ(h)) : h = 0, 1, 2,...} nazywamy korelogramem
59 Twierdzenie Niech (X t ) t Z będzie liniowym procesem X t µ = gdzie i=0 E(Z 4 t ) < lub i=0 ψ i <, (Z t ) t Z SWN(0, σz 2 ). Załóżmy, że j=0 ψ i Z t i, jψ 2 j <. Wówczas dla h {1, 2,...} mamy n(ˆρ(h) ρ(h)) d N h (0, W ) gdzie ˆρ(h) = (ˆρ(1),..., ˆρ(h)), ρ(h) = (ρ(1),..., ρ(h)), a W ma elementy W i,j = (ρ(k + i) + ρ(k i) 2ρ(i)ρ(k))(ρ(k + j) + ρ(k j) 2ρ(j)ρ(k)). k=1
60 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie).
61 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie.
62 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ),
63 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.
64 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.
65 PRZEWIDYWANIE
66 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA
67 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1
68 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + (F t ) t Z = σ(x s : s t) p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1
69 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z j=1
70 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. j=1
71 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h j=1
72 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) j=1
73 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) Główną ideą jest, dla h 1 to, że przewidywanie E (X t+h F t ) można rekurencyjnie rozwiązać za pomocą E (X t+h 1 F t ) j=1
74 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1)
75 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1
76 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t,
77 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,...
78 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t.
79 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t. Jeżeli znamy historyczne wartości (X s ) s t przewidywana wartość może być obliczona dokładnie!
80 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA
81 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie
82 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego
83 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0
84 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0 P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i = i=0 αy t + (1 α) n 1 α(1 α) i 1 Y t i = i=1 αy t + (1 α) n 2 α(1 α) j Y t 1 j = αy t + (1 α)p t 1 Y t j=0
85 Szereg czasowy może mieć
86 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję
87 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie
88 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji
89 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji Pierwszy model został zaprezentowany w 1982 roku (Engel i Nelson) ARCH (AutoRegressive Conditionaly Heteroscedastic)
90 Proces ARCH(p) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0, 1). Proces (X t ) t Z jest procesem ARCH(p) jeśli jest ściśle stacjonarny oraz dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z spełnia równania X t = σ t Z t p σt 2 = α 0 + α i X 2 t i i=1 gdzie α 0 > 0 i α i 0, i = 1,..., p.
91 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH)
92 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0,1). Proces (X t ) t Z jest procesem GARCH(p, q) jeśli jest ściśle stacjonarny i jeśli spełnia dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z równania X t = σ t Z t, σ 2 t = α 0 + p α i X 2 t i + i=1 q β j σt j 2 j=1 gdzie α 0 > 0, α i 0, i = 1,..., p i β j 0, j = 1,..., q.
WYKŁAD: Szeregi czasowe I. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego
WYKŁAD: Szeregi czasowe I Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Szereg czasowy (X t ) - ciąg zmiennych losowych indeksowany parametrem t (czas). Z reguły t N lub t Z. Dotąd rozpatrywaliśmy: (X t )- ciąg
Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA
Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych
Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t
WYKŁAD: Szeregi czasowe II. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego
WYKŁAD: Szeregi czasowe II Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Zwroty indeksów finansowych Y t : indeks finansowy w momencie t (wartość waloru, kurs walutowy itp). Określimy zwrot indeksu finansowego
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Liniowe modele stochastyczne Niech {y n } N n=1 będzie pewnym ciagiem danych
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa
Stacjonarność Integracja. Integracja. Integracja
Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli: Biały szum AR(1) Słaba stacjonarność Szereg czasowy nazywamy słabo (wariancyjnie) stacjonarnym jeżeli:
2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.
Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu
3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej
Modele warunkowej heteroscedastyczności
Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Teoria Przykład - zwroty
Analiza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1 WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe
Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Analiza stacjonarności szeregów czasowych 1 Analiza stacjonarności szeregów czasowych Modele niestacjonarne Szeregi TS i DS
Modelowanie ekonometryczne
Modelowanie ekonometryczne Kamil Skoczylas Kamilskoczylas@wp.pl 1. Wstęp Otaczający nas świat to zbiór różnych zjawisk. W zależności od zainteresowań człowiek staje się obserwatorem niektórych z nich.
EGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Modelowanie rynków finansowych
Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 1 / 12 Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Kolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Funkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie
Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Estymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
STATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
wprowadzenie do analizy szeregów czasowych
19 stycznia 2016 Wprowadzenie Prezentacja danych Dekompozycja Preprocessing Model predykcji ARIMA Dobór parametrów modelu ARIMA Podsumowanie Definicje i przykłady Definicje Szeregiem czasowym nazywamy
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Na podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Czasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Metody Prognozowania
Wprowadzenie Ewa Bielińska 3 października 2007 Plan 1 Wprowadzenie Czym jest prognozowanie Historia 2 Ciągi czasowe Postępowanie prognostyczne i prognozowanie Predykcja długo- i krótko-terminowa Rodzaje
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Teoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.
BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ. IDEA OPISU WSPÓŁZALEśNOŚCI CECH X, Y cechy obserwowane w doświadczeniu, n liczba jednostek doświadczalnych, Wyniki doświadczenia: wartości
Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH
Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Testowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Metoda największej wiarygodności
Rozdział Metoda największej wiarygodności Ogólnie w procesie estymacji na podstawie prób x i (każde x i może być wektorem) wyznaczamy parametr λ (w ogólnym przypadku również wektor) opisujący domniemany
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;
LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny
Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak
Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN
Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh
Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh Czesto zakłada się, że szeregi czasowe wykazuja autokorelację ae sa homoskedastyczne W rzeczywistości jednak często wariancja zmienia się w czasie Dobrym przykładem
1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta