Finansowe szeregi czasowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Finansowe szeregi czasowe"

Transkrypt

1 24 kwietnia 2009

2 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P).

3 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD:

4 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp...

5 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). PRZYKŁAD: Niech (S t ) t=0,1,...,n będzie ciągiem cen akcji, wartości indeksów, itp... Formujemy zwroty ( St ) X t = ln S t ln S t 1 = ln S t 1

6 Rysunek: Zwroty indeksu DAX

7 Rysunek: Zwroty indeksu DAX

8 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY:

9 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności

10 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność

11 Rysunek: Zwroty indeksu DAX STYLIZOWANE FAKTY: klastrowanie zmienności leptokurtyczność grube ogony

12 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy

13 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z

14 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z

15 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z

16 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z UWAGA γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s t, s Z

17 Załóżmy, że dla każdego t Z istnieje średnia oraz wariancja X t. Oznaczmy µ(t) = E(X t ), t Z γ(t, s) = E((X t µ(t))(x s µ(s))), t, s Z UWAGA γ(t, s) = γ(s, t) dla wszystkich t, s γ(t, t) = E((X t µ(t))(x t µ(t))) = E(X t µ(t)) 2 = Var(X t )

18 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N

19 1 Ścisła stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest ściśle stacjonarny jeśli X t1,..., X tn = d X t1 +k,..., X tn+k dla wszystkich t 1,... t n, k Z i dla każdego n N 2 Kowariancyjna stacjonarność Szereg czasowy (X t ) t Z jest kowariancyjnie stacjonarny (lub słabo stacjonarny) jeśli dwa pierwsze momenty istnieją oraz spełniają: µ(t) = µ, t Z γ(t, s) = γ(t + k, s + k), t, s, k Z

20 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0)

21 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z

22 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t

23 γ(t s, 0) = γ(t, s) = γ(s, t) = γ(s t, 0) Dla kowariancyjnie stacjonarnych procesów γ(h) := γ(h, 0), h Z γ(0) = Var(X t ) dla każdego t Funkcja autokorelacji Funkcją autokorelacji ρ(h) kowariancyjnie stacjonarnego procesu (X t ) t Z nazywamy ρ(h) = ρ(x h, X 0 ) = γ(h) γ(0) h Z

24 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum.

25 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ).

26 Podstawowym budulcem modeli szeregów czasowych są stacjonarne procesy bez seryjnej korelacji, znane jako biały szum. 1 Biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy białym szumem jeśli jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcja autokorelacji { 1; h = 0 ρ(h) = 0; h 0 Procesy białego szumu o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać WN(0, σ 2 ). 2 Ścisły biały szum Proces (X t ) t Z nazywamy ścisłym białym szumem jeśli jest szeregiem niezależnych zmiennych losowych o skończonej wariancji. Ścisły biały szum o średniej zero i wariancji σ 2 będziemy oznaczać SWN(0, σ 2 ).

27 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t)

28 Niech (F t ) t Z = σ(x s : s t) Różnica martyngałowa Szereg czasowy (X t ) t Z nazywamy różnicą martyngałową w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z jeśli E X t <, X t jest F t -mierzalna i t Z E(X t F t 1 ) = 0

29 UWAGA

30 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z

31 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s;

32 UWAGA Średnia takiego procesu także wynosi 0. E(X t ) = E(E(X t F t 1 )) = 0, t Z Jeśli E(X 2 t ) < dla każdego t to autokowariancja spełnia γ(t, s) = E(X t X s ) = { E(E(X = t X s F s 1 )) = E(X t E(X s F s 1 )) = 0, t < s E(E(X t X s F t 1 )) = E(X s E(X t F t 1 )) = 0, t > s; Zatem ciąg różnic martyngałowych o skończonej wariancji ma średnią zero i zerową kowariancję. Jeśli wariancja jest stała dla wszystkich t, to proces ten jest białym szumem.

33 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum

34 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z

35 Przyjmijmy następującą notację: (ε t ) t Z -biały szum, (Z t ) t Z -ścisły biały szum Proces ARMA AutoRegressive Moving Average Niech (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ). Proces (X t ) t Z jest procesem ARMA(p, q) o średniej zero jeśli jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem spełniającym następujące równanie (1) X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ε t +θ 1 ε t θ q ε t q t Z (X t ) t Z jest procesem ARMA ze średnią µ jeśli proces (X t µ) t Z jest procesem ARMA(p, q) ze średnią zero.

36 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe.

37 Rozważania ograniczymy do procesów spełniających równanie (1), które mają następującą reprezentację: X t = ψ i ε t i (2) i=0 gdzie ψ i są współczynnikami, które spełniają warunek: ψ i < (3) i=0 Są to tak zwane procesy przyczynowe. Twierdzenie Każdy proces spełniający (2) i (3) jest kowariancyjnie stacjonarny z funkcją korelacji postaci ψ i ψ i+h i=0 ρ(h) =, h N (4) ψi 2 i=0

38 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) X t = q θ i ε t i + ε t i=1

39 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) gdzie θ 0 = 1. ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0

40 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q.

41 Przykład 1. Proces MA(q) (ARMA(0,q)) ρ(h) = X t = q h i=0 q θ i ε t i + ε t i=1 θ i θ i+h q, h 0, 1, 2,..., q θi 2 i=0 gdzie θ 0 = 1. Dla h > q mamy ρ(h) = 0 i mówimy, że funkcja autokorelacji jest odcięta w q. MA(4): θ 0 = 1, θ 1 = 0, 8, θ 2 = 0, 4, θ 3 = 0, 2, θ 4 = 0, 3 ε t N(0, 1) X t = ε t 0, 8ε t 1 + 0, 4ε t 2 + 0, 2ε t 3 0, 3ε t 4

42 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t

43 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i i=0

44 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 i=0

45 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0

46 Przykład 2. Proces AR(1) t X t = φx t 1 + ε t k X t = φ(φx t 2 + ε t 1 ) + ε t =... = φ k+1 X t k 1 + φ i ε t i AR(1) jest przyczynowy φ < 1 Proces X t = φ i ε t i jest jedynym rozwiązaniem powyższego i=0 równania ( AR(1) = MA( )) i=0 ρ(h) = i=0 i=0 φ i φ i+h φ 2i = φ h φ 2i i=0 i=0 φ 2i = φ h, h N

47 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z

48 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1

49 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1

50 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3

51 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1

52 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i

53 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t

54 Przykład 3. Proces ARMA(1,1) X t φx t 1 = ε t + θε t 1, t Z X t = ε t + θε t 1 + φx t 1 = ε t + θx t 1 θφx t 2 θ 2 ε t 2 + φx t 1 = ε t + (θ + φ)x t 1 θφx t 2 θ 2 X t 2 + θ 2 φx t 3 + θ 3 ε t 3 =... = ε t + (θ + φ) ( θ) i 1 X t i i=1 X t = ε t + (θ + φ) i=1 ε t = X t (θ + φ) i=1 ( θ) i 1 X t i ( θ) i 1 X t i ε t można wyrazić za pomocą historii X t ARMA(1, 1) = AR( )

55 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n

56 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n n h t=1 (X t+h X)(X t X), 0 h < n, gdzie X = n t=1 X t n

57 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n.

58 Załóżmy, że mamy próbę losową X 1,..., X n Autokowariancja próby ˆγ(h) = 1 n gdzie X = n t=1 n h X t n t=1 Autokorelacja próby (X t+h X)(X t X), 0 h < n, ˆρ(h) = ˆγ(h) ˆγ(0), 0 h < n. wykres {(h, ˆρ(h)) : h = 0, 1, 2,...} nazywamy korelogramem

59 Twierdzenie Niech (X t ) t Z będzie liniowym procesem X t µ = gdzie i=0 E(Z 4 t ) < lub i=0 ψ i <, (Z t ) t Z SWN(0, σz 2 ). Załóżmy, że j=0 ψ i Z t i, jψ 2 j <. Wówczas dla h {1, 2,...} mamy n(ˆρ(h) ρ(h)) d N h (0, W ) gdzie ˆρ(h) = (ˆρ(1),..., ˆρ(h)), ρ(h) = (ρ(1),..., ρ(h)), a W ma elementy W i,j = (ρ(k + i) + ρ(k i) 2ρ(i)ρ(k))(ρ(k + j) + ρ(k j) 2ρ(j)ρ(k)). k=1

60 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie).

61 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie.

62 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ),

63 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.

64 Warunek iψi 2 i=0 < jest spełniony dla procesów ARMA, więc procesy ARMA prowadzone przez SWN są w zasięgu tego twierdzenia (niezależnie czy czwarty moment istnieje czy nie). Trywialnie twierdzenie ma także zastosowanie dla SWN samego w sobie. Dla SWN mamy nˆρ(h) d N h (0, I h ), więc dla dostatecznie dużego n autokorelacje próby danych procesu SWN będą się zachowywać jak niezależne normalne obserwacje ze średnią zero i wariancją 1 n. 95% szacowanych korelacji powinno leżeć w przedziale ( 1,96 n, 1,96 n ). Jeśli więcej niż 5% szacowanych korelacji leży poza tymi przedziałami, wówczas rozważamy to jako dowód przeciwko hipotezie zerowej, że dane są ścisłym białym szumem.

65 PRZEWIDYWANIE

66 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA

67 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1

68 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + (F t ) t Z = σ(x s : s t) p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j j=1

69 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z j=1

70 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. j=1

71 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h j=1

72 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) j=1

73 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA Przyczynowy odwracalny proces ARMA ma reprezentację X t = µ t + ε t, µ t = µ + p φ i (X t i µ) + i=1 q θ j ε t j (F t ) t Z = σ(x s : s t) innowacje (ε t ) t Z mają własność różnicy martyngałowej w odniesieniu do filtracji (F t ) t Z mamy próbę n danych X t n+1,..., X t. celem jest przewidzenie X t+h przewidywanie oznaczamy przez P t X t+h Do przewidywania X t+h używamy warunkowej wartości oczekiwanej E (X t+h F t ) Główną ideą jest, dla h 1 to, że przewidywanie E (X t+h F t ) można rekurencyjnie rozwiązać za pomocą E (X t+h 1 F t ) j=1

74 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1)

75 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1

76 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t,

77 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,...

78 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t.

79 PRZEWIDYWANIE Przykład: Przewidywanie modelu ARMA(1,1) X t = µ t + ε t, µ t = µ + φ(x t 1 µ) + θε t 1 E (X t+1 F t ) = E (µ t+1 + ε t+1 F t ) = µ t+1 = µ + φ(x t µ) + θε t, E (X t+2 F t ) = E (µ t+2 F t ) = µ + φ(e (X t+1 F t ) µ) = µ + φ 2 (X t µ) + φθε t,... E (X t+h F t ) = µ + φ h (X t µ) + φ h 1 θε t. Jeżeli znamy historyczne wartości (X s ) s t przewidywana wartość może być obliczona dokładnie!

80 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA

81 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie

82 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego

83 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0

84 PRZEWIDYWANIE 1 Za pomocą modelu ARMA 2 Eksponencjalne wygładzanie nasze dane reprezentują realizację zmiennych losowych Y t n+1,..., Y t rozważanych bez odniesienia do żadnego konkretnego modelu parametrycznego P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i gdzie 0 < α < 1 i=0 P t Y t+1 = n 1 α(1 α) i Y t i = i=0 αy t + (1 α) n 1 α(1 α) i 1 Y t i = i=1 αy t + (1 α) n 2 α(1 α) j Y t 1 j = αy t + (1 α)p t 1 Y t j=0

85 Szereg czasowy może mieć

86 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję

87 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie

88 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji

89 Szereg czasowy może mieć stałą wariancję wariancję, która zmienia się w czasie Analiza danych na rynkach finansowych pokazuje, że większość finansowych szeregów czasowych nie ma stałej wariancji Pierwszy model został zaprezentowany w 1982 roku (Engel i Nelson) ARCH (AutoRegressive Conditionaly Heteroscedastic)

90 Proces ARCH(p) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0, 1). Proces (X t ) t Z jest procesem ARCH(p) jeśli jest ściśle stacjonarny oraz dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z spełnia równania X t = σ t Z t p σt 2 = α 0 + α i X 2 t i i=1 gdzie α 0 > 0 i α i 0, i = 1,..., p.

91 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH)

92 W 1987 roku zaproponowali model GARCH (Generalized ARCH) Niech (Z t ) t Z będzie SWN(0,1). Proces (X t ) t Z jest procesem GARCH(p, q) jeśli jest ściśle stacjonarny i jeśli spełnia dla każdego t Z i pewnego ściśle dodatniego procesu (σ t ) t Z równania X t = σ t Z t, σ 2 t = α 0 + p α i X 2 t i + i=1 q β j σt j 2 j=1 gdzie α 0 > 0, α i 0, i = 1,..., p i β j 0, j = 1,..., q.

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe?

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe? Prognozowanie Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA Marta Płonka Predictive Solutions W trzecim już artykule dotyczącym szeregów czasowych przyjrzymy się modelom ARIMA. Dzisiaj skupimy się na metodzie

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statytyka. v.0.9 egz mgr inf nietacj Statytyczna analiza danych Statytyka opiowa Szereg zczegółowy proty monotoniczny ciąg danych i ) n uzykanych np. w trakcie pomiaru lub za pomocą ankiety. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice

Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice Niegaussowskie procesy stochastyczne w oceanotechnice Joanna Dys 29 listopada 2009 Streszczenie Referat na podstawie artykułu Michela K. Ochi, Non-Gaussian random processes in ocean engineering, Probabilistic

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Martyngały a rynki finansowe

Martyngały a rynki finansowe Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIII Szkole Matematyki Poglądowej Metody klasyczne i współczesne, sierpień 2004. Martyngały a rynki finansowe Jacek JAKUBOWSKI, Warszawa 1. Okazuje się, że teoria

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Analiza statystyczna trudności tekstu

Analiza statystyczna trudności tekstu Analiza statystyczna trudności tekstu Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Problem badawczy Chcielibyśmy mieć wzór matematyczny,...... który dla dowolnego tekstu...... na podstawie pewnych statystyk......

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

ZMIDEX analiza zdolności prognostycznej

ZMIDEX analiza zdolności prognostycznej ZMIDEX analiza zdolności prognostycznej 1 KURS ZAMKNIECIA WIG 40000 45000 50000 55000 ZMIDEX, a poziom indeksu ZMIDEX vs. WIG Regresja Liniowa (KMRL) Istotny dodatni związek ZMIDEX-u ze wszystkimi badanymi

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej RYSZARD ZIELIŃSKI Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej Zadania zweryfikowała oraz wskazówkami i rozwiązaniami uzupełniła Agata Boratyńska WARSZAWA 2004 Siedem wykładów wprowadzających

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

MODELE ARIMA W PROGNOZOWANIU SPRZEDAŻY***

MODELE ARIMA W PROGNOZOWANIU SPRZEDAŻY*** ZAGADNIENIA TECHNICZNO-EKONOMICZNE Tom 48 Zeszyt 3 2003 Joanna Chrabołowska*, Joanicjusz Nazarko** MODELE ARIMA W PROGNOZOWANIU SPRZEDAŻY*** W artykule przedstawiono metodykę budowy modeli ARIMA oraz ich

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS. wersja 9.2 i 9.3. Szkoła Główna Handlowa w Warszawie STATYSTYKA OD PODSTAW Z SYSTEMEM SAS wersja 9.2 i 9.3 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Spis treści Wprowadzenie... 6 1. Podstawowe informacje o systemie SAS... 9 1.1. Informacje ogólne... 9 1.2. Analityka...

Bardziej szczegółowo

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne?

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne? Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi. ANALIZA KORELACJI Większość zjawisk w otaczającym nas świecie występuje nie samotnie a w różnorodnych związkach. Odnosi się to również do zjawisk biologiczno-medycznych. O powiązaniach między nimi mówią

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska Analiza regresji część II Agnieszka Nowak - Brzezińska Niebezpieczeństwo ekstrapolacji Analitycy powinni ograniczyć predykcję i estymację, które są wykonywane za pomocą równania regresji dla wartości objaśniającej

Bardziej szczegółowo

Badania efektywności systemu zarządzania jakością

Badania efektywności systemu zarządzania jakością Opracowanie to z łagodniejszym podsumowaniem ukazało się w Problemach jakości 8/ 2007 Jacek Mazurkiewicz Izabela Banaszak Magdalena Wierzbicka Badania efektywności systemu zarządzania jakością Aby w pełni

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie

Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey 27 lutego 2015 1 / 77 Opis Kursu 1. Podstawy oraz Cele Modelowania

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRYCZNE MODELE KURSÓW WALUTOWYCH

EKONOMETRYCZNE MODELE KURSÓW WALUTOWYCH Monografie i Opracowania 547 Ewa Marta Syczewska EKONOMETRYCZNE MODELE KURSÓW WALUTOWYCH Warszawa 2007 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Wprowadzenie 15 Przegląd funkcjonowania kursów walutowych... 15

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody parametryczne i nieparametryczne w modelowaniu finansowych szeregów czasowych

Wybrane metody parametryczne i nieparametryczne w modelowaniu finansowych szeregów czasowych UNIWERSYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA, INFORMATYKI I FINANSÓW Andrzej Pokładek Wybrane metody parametryczne i nieparametryczne w modelowaniu finansowych szeregów czasowych Praca magisterska

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Event Driven Trading. Badania Numeryczne.

Event Driven Trading. Badania Numeryczne. INIME 21.10.2014 Publikacja makroekonimczna Publikacja makroekonomiczna (w niniejszym opracowaniu, definicja zawężona) - publikacja danych makroekonomicznych przez agencję prasową posiadających następującą

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Jednowskaźnikowy model Sharpe`a

Jednowskaźnikowy model Sharpe`a Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Milena Jamroziak i Paweł Androszczuk Model ekonometryczny Jednowskaźnikowy model Sharpe`a dla akcji Amici Praca zaliczeniowa napisana pod kierunkiem mgr

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Modele Markova Spis treści Wstęp Łańcuch i procesy Markova Przykłady procesów Markova Wstęp Andrey Andreyevich Markov (14 czerwca 1856 20 czerwca 1922) wybitny

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF

Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF 120 I. Ogólne informacje o przedmiocie Cel przedmiotu: Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod statystycznych.

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY Joanna Chrabołowska Joanicjusz Nazarko PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY NA PRZYKŁADZIE PRZEDSIĘBIORSTWA HANDLOWEGO TYPU CASH & CARRY Wprowadzenie Wśród wielu prognoz szczególną rolę w zarządzaniu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ryzyko i zwrot. 1.1 Pojedynczy okres

Rozdział 1. Ryzyko i zwrot. 1.1 Pojedynczy okres Rozdział 1 Ryzyko i zwrot W tym rozdziale analizujemy różne sposoby wprowadzenia dwóch podstawowych pojęć związanych z decyzjami finansowymi, mianowicie pojęcia ryzyka i stopy zwrotu. Mówiąc krótko, zwrot

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo