Ekonometria Przestrzenna

Transkrypt

1 Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24

2 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja Estymacja 2 Dane punktowe i agregacja po siatce Oszacowania modeli czystej SAR (4) Ekonometria Przestrzenna 2 / 24

3 Plan prezentacji 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) 2 (4) Ekonometria Przestrzenna 3 / 24

4 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (1) (4) Ekonometria Przestrzenna 4 / 24

5 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (2) (4) Ekonometria Przestrzenna 5 / 24

6 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (3) Czysta autoregresja ze sferycznym skªadnikiem losowym: y 1 y 2. y N = c 1 c 2. c N y = c + ρwy + ε w 11 w w 1N + ρ w 21 w w 2N w N1 w N2... w NN y 1 y 2. y N + Uwaga: staªa oznaczona na szaro mo»e by uwzgl dniona lub nie. Jej obecno± bez znaczenia dla przedstawionych tu procedur i wniosków. Dlatego dalej j pomijamy. W dalszych modelach pojawi si ju» macierz regresorów X i wówczas b dzie mo»na traktowa staª jako oszacowanie towarzysz ce kolumnie jedynek w tej macierzy. ε 1 ε 2. ε N (4) Ekonometria Przestrzenna 6 / 24

7 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (3) Czysta autoregresja ze sferycznym skªadnikiem losowym: y 1 y 2. y N = c 1 c 2. c N y = c + ρwy + ε w 11 w w 1N + ρ w 21 w w 2N w N1 w N2... w NN y 1 y 2. y N + Uwaga: staªa oznaczona na szaro mo»e by uwzgl dniona lub nie. Jej obecno± bez znaczenia dla przedstawionych tu procedur i wniosków. Dlatego dalej j pomijamy. W dalszych modelach pojawi si ju» macierz regresorów X i wówczas b dzie mo»na traktowa staª jako oszacowanie towarzysz ce kolumnie jedynek w tej macierzy. ε 1 ε 2. ε N (4) Ekonometria Przestrzenna 6 / 24

8 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (4) W przypadku tego modelu zwykle trudno o daleko id c interpretacj. Stanowi raczej narz dzie opisu zale»no±ci przetrzennej i pomiaru jej siªy. Pod wzgl dem poznawczym: test ρ = 0 to procedura na poziomie testu Morana. Pod wzgl dem technicznym: ma si do Morana jak LM do Durbina-Watsona. Adekwatny, gdy jedyn podejrzewan przyczyn s warto±ci tej samej zmiennej w s siedztwie oraz nieobserwowalne wstrz sy, które wyst puj niezale»nie w±ród poszczególnych lokalizacji. (4) Ekonometria Przestrzenna 7 / 24

9 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (4) W przypadku tego modelu zwykle trudno o daleko id c interpretacj. Stanowi raczej narz dzie opisu zale»no±ci przetrzennej i pomiaru jej siªy. Pod wzgl dem poznawczym: test ρ = 0 to procedura na poziomie testu Morana. Pod wzgl dem technicznym: ma si do Morana jak LM do Durbina-Watsona. Adekwatny, gdy jedyn podejrzewan przyczyn s warto±ci tej samej zmiennej w s siedztwie oraz nieobserwowalne wstrz sy, które wyst puj niezale»nie w±ród poszczególnych lokalizacji. (4) Ekonometria Przestrzenna 7 / 24

10 Specykacja Model czystej autoregresji przestrzennej (4) W przypadku tego modelu zwykle trudno o daleko id c interpretacj. Stanowi raczej narz dzie opisu zale»no±ci przetrzennej i pomiaru jej siªy. Pod wzgl dem poznawczym: test ρ = 0 to procedura na poziomie testu Morana. Pod wzgl dem technicznym: ma si do Morana jak LM do Durbina-Watsona. Adekwatny, gdy jedyn podejrzewan przyczyn s warto±ci tej samej zmiennej w s siedztwie oraz nieobserwowalne wstrz sy, które wyst puj niezale»nie w±ród poszczególnych lokalizacji. (4) Ekonometria Przestrzenna 7 / 24

11 Specykacja Mno»niki przestrzenne Pozwalaj oceni wpªyw zmiany w zadanym obszarze przestrzeni na inne regiony. Analogia do analizy szeregów czasowych: o ile zmieni si Y w t + 1, je»eli w okresie t nast pi... y = ρwy + ε (I ρw) y = ε y = (I ρw) 1 ε Je»eli wi c nast pi jednostkowy, egzogeniczny wzrost warto±ci zmiennej w drugim regionie, to po uwzgl dnieniu efektów wtórnych y w poszczególnych regionach zmieni si o: y 1 y 2 y 3. y N = (I ρw) (4) Ekonometria Przestrzenna 8 / 24

12 Specykacja Mno»niki przestrzenne Pozwalaj oceni wpªyw zmiany w zadanym obszarze przestrzeni na inne regiony. Analogia do analizy szeregów czasowych: o ile zmieni si Y w t + 1, je»eli w okresie t nast pi... y = ρwy + ε (I ρw) y = ε y = (I ρw) 1 ε Je»eli wi c nast pi jednostkowy, egzogeniczny wzrost warto±ci zmiennej w drugim regionie, to po uwzgl dnieniu efektów wtórnych y w poszczególnych regionach zmieni si o: y 1 y 2 y 3. y N = (I ρw) (4) Ekonometria Przestrzenna 8 / 24

13 Specykacja Mno»niki przestrzenne Pozwalaj oceni wpªyw zmiany w zadanym obszarze przestrzeni na inne regiony. Analogia do analizy szeregów czasowych: o ile zmieni si Y w t + 1, je»eli w okresie t nast pi... y = ρwy + ε (I ρw) y = ε y = (I ρw) 1 ε Je»eli wi c nast pi jednostkowy, egzogeniczny wzrost warto±ci zmiennej w drugim regionie, to po uwzgl dnieniu efektów wtórnych y w poszczególnych regionach zmieni si o: y 1 y 2 y 3. y N = (I ρw) (4) Ekonometria Przestrzenna 8 / 24

14 Estymacja Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Estymacja ML: spautolm model <- spautolm(y ~ 1, listw = W) Estymator KMNK: niezgodny i obci»ony (szczegóªy na nast pnym wykªadzie sytuacja identyczna jak w modelu SAR). (4) Ekonometria Przestrzenna 9 / 24

15 Plan prezentacji 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) 2 (4) Ekonometria Przestrzenna 10 / 24

16 Dane punktowe i agregacja po siatce GIS GIS: System Informacji Geogracznej (ang. Geographic Information System). Tym poj ciem okre±la si szerok klas systemów, danych i technik analitycznych. Dane mog przyjmowa rozmaite struktury, ale ich wspóln cech stanowi to,»e zawieraj wspóªrz dne geograczne rejestrowanych w bazach obiektów, zdarze«, osób itp. (4) Ekonometria Przestrzenna 11 / 24

17 Dane punktowe i agregacja po siatce Dane punktowe GIS Zajmiemy si zbiorem o najprostszej mo»liwej strukturze danymi punktowymi. Zbiór obejmuje wyniki 2697 inspekcji sanepidu (score) w restauracjach (business_id, name) w San Francisco o podanych wspóªrz dnych geogracznych (longitude, latitude). (4) Ekonometria Przestrzenna 12 / 24

18 Dane punktowe i agregacja po siatce Interpretacja geograczna danych Po wskazaniu wspóªrz dnych geogracznych w zbiorze danych: coordinates(sf.rest) <- c("longitude", "latitude") otrzymujemy obiekt typu SpatialPointsDataFrame. Jest to obiekt analogiczny do obiektu SpatialPolygonsDataFrame, z którym pracowali±my wcze±niej. W SpatialPointsDataFrame ka»da obserwacja z tabeli (@data) jest przypisana tylko do jednej pary wspóªrz dnych (@coords). SpatialPolygonsDataFrame zawiera du»o wi cej informacji ka»da obserwacja z tabeli (@data) jest tam przypisana do wieloboku zadanego wspóªrz dnymi wszystkich jego wierzchoªków (@polygons). (4) Ekonometria Przestrzenna 13 / 24

19 Dane punktowe i agregacja po siatce Ocena graczna przestrzennej zale»no±ci wyników Po odci ciu powtórzonych inspekcji w tych samych restauracjach oraz kilku odlegªych obiektów: (4) Ekonometria Przestrzenna 14 / 24

20 Dane punktowe i agregacja po siatce Wybór modelu dla danych punktowych Nie mamy innych, sensownych zmiennych w bazie. Hipotezy: S siedztwo dobrych lokali wymusza podnoszenie standardów jako±ciowych. S siedztwo zªych lokali wymusza ci cie kosztów (z wiadomym skutkiem). Model: czysta autoregresja przestrzenna. Macierz W: jaki jest zbiór sensownych alternatyw dla potencjalnego klienta danej restauracji? Wybieramy 5 najbli»szych s siadów. Do przetestowania inne opcje. (4) Ekonometria Przestrzenna 15 / 24

21 Dane punktowe i agregacja po siatce Agregacja po siatce (1) Czasami analiza na poziomie danych punktowych nie jest optymalna i chcemy dokona przestrzennej agregacji. Np. analiza mno»ników przestrzennych jak zmieni si ±rednia jako± restauracji w okolicy po otwarciu nowego, ohydnego baru fast food? Mo»e to by sensowniej zadane pytanie ni» to, o ile konkretnie pogorszy si jako± usªugi w punkcie mistrza Okrasy, Amaro czy Moran, je»eli ohydny fast food pojawi si naprzeciwko nich (bo zapewne si nie pogorszy). Je»eli nie mamy (albo nie uwa»amy za stosowne u»ycia) mapy jednostek administracyjnych, mo»emy dokona agregacji po sztucznie zdeniowanej siatce. (4) Ekonometria Przestrzenna 16 / 24

22 Dane punktowe i agregacja po siatce Agregacja po siatce (2) Informacje z danych punktowych: granice mapy + nasza decyzja o g sto±ci siatki. (4) Ekonometria Przestrzenna 17 / 24

23 Dane punktowe i agregacja po siatce Agregacja po siatce (3) Tworzymy siatk : GridTopology - SpatialGrid - Spatial Pixels - SpatialPolygons - SpatialPolygonsDataFrame (4) Ekonometria Przestrzenna 18 / 24

24 Dane punktowe i agregacja po siatce Agregacja po siatce (4) Nakªadamy siatk (over) i agregujemy zawarto± oczek (aggregate). (4) Ekonometria Przestrzenna 19 / 24

25 Oszacowania modeli czystej SAR Dane punktowe (4) Ekonometria Przestrzenna 20 / 24

26 Oszacowania modeli czystej SAR Siatka (4) Ekonometria Przestrzenna 21 / 24

27 Oszacowania modeli czystej SAR Siatka (4) Ekonometria Przestrzenna 22 / 24

28 Oszacowania modeli czystej SAR Mno»niki przestrzenne (siatka 25 25) (4) Ekonometria Przestrzenna 23 / 24

29 Oszacowania modeli czystej SAR Zadanie domowe 4 Oszacuj model czystej autoregresji przestrzennej dla liczby bankomatów banku BZWBK. Doª cz odpowiednie ilustracje. Uwzgl dnij 3 warianty agregacji: (i) powiaty, (ii) agregacja po drobniejszej siatce, (iii) agregacja po grubszej siatce. Bior c pod uwag liczb obserwacji oraz map, zastanów si nad sensownym poziomem agregacji. Sformuªuj wnioski z analizy. (4) Ekonometria Przestrzenna 24 / 24