Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Transkrypt

1 Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30

2 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6) Ekonometria 2 / 30

3 Poj cie regresji pozornej Eksperyment Losujemy 100 razy warto±ci zmiennej Y 1, a nast pnie zmiennej X 1, z rozkªadu normalnego (plik cw05_granger_newbold.xlsx) Dla ka»dego ze 100 przypadków szacujemy równanie regresji Y 1 wzgl dem X 1. Czy X 1 jest sensown zmienn obja±niaj c w równaniu Y 1? W ilu przypadkach na 100 zmienna X 1 powinna si okaza istotna? Powtarzamy eksperyment, konstruuj cy tym razem zmienne Y 2 i X 2 jako skumulowane warianty zmiennych Y 1 i X 1: Y 2 1 = Y 1 1, Y 2 2 = Y Y 1 2, Y 2 3 = Y Y 1 3 (i podobnie X 2) Czy X 2 jest sensown zmienn obja±niaj c w równaniu Y 2? W ilu przypadkach na 100 zmienna X 2 powinna si okaza istotna? (5-6) Ekonometria 3 / 30

4 Poj cie regresji pozornej Wnioski z eksperymentu Zmienne Y1, X1 stacjonarne (lub I(0) zintegrowane w stopniu zerowym). W tym konkretnie przypadku: biaªy szum (niezale»ne losowania z tego samego rozkªadu normalnego). Przy ich modelowaniu stosujemy poznane dotychczas techniki. Zmienne Y2, X2 niestacjonarne (w tym przypadku I(1) zintegrowane w stopniu pierwszym, tj. powstaªe przez skumulowanie w czasie warto±ci zmiennych stacjonarnych). W tym konkretnie przypadku: bª dzenie losowe. Przy ich modelowaniu stosujemy zupeªnie inne metody ze wzgl du na podwy»szone ryzyko wyst pienia regresji pozornej. Wniosek: musimy nauczy si rozró»nia zmienne stacjonarne I(0) od niestacjonarnych I(1), I(2),... (5-6) Ekonometria 4 / 30

5 Stacjonarno±, integracja, trendostacjonarno± Poj cie stacjonarno±ci procesu Stacjonarno± I rodzaju (w w»szym sensie / mocna) W ka»dym okresie obserwowana warto± szeregu y t jest realizacj zmiennej losowej o identycznym rozkªadzie. Np. gdy 100 razy rzucamy po kolei kostk lub monet. Stacjonarno± II rodzaju (w szerszym sensie / sªaba) - ±rednia i wariancja procesu s staªe w czasie E(Y t) = µ < D 2 (Y t) = δ 2 < - kowariancja mi dzy zmiennymi zale»y wyª cznie od ich odlegªo±ci w czasie (a nie od konkretnego momentu) Cov(Y t, Y t+h ) = Cov(Y t+k, Y t+k+h ) = γ(h) (5-6) Ekonometria 5 / 30

6 Stacjonarno±, integracja, trendostacjonarno± Stopie«integracji zmiennej i trendostacjonarno± O zmiennej stacjonarnej mówimy,»e jest zintegrowana w stopniu 0; piszemy I(0). I(1), je»eli stacjonarne s pierwsze ró»nice: y t = y t y t 1 (zmienna y jest przyrostostacjonarna). I(2), je»eli stacjonarne s drugie ró»nice: y t = y t y t 1 = y t y t 1 y t 1 + y t 2 = y t 2y t 1 + y t 2 itd. Trendostacjonarno± Je»eli ε t jest zmienn stacjonarn, to zmienna y t = β 0 + β 1 t + ε t jest trendostacjonarna. (5-6) Ekonometria 6 / 30

7 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6) Ekonometria 7 / 30

8 Testy pierwiastka jednostkowego Zadanie (5-6) Ekonometria 8 / 30

9 Testy pierwiastka jednostkowego Zadanie (5-6) Ekonometria 9 / 30

10 Testy pierwiastka jednostkowego Zadanie (5-6) Ekonometria 10 / 30

11 Testy pierwiastka jednostkowego Test Dickey'a-Fullera (DF) y t = α 1 y t 1 + ε t proces jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1 proces jest niestacjonarny, je»eli α 1 = 1 (wtedy bª dzenie losowe) H 0 : α 1 = 1 H 1 : α 1 < 1 prawdziwo± H 0 zmienne w równaniu s niestacjonarne estymator KMNK obci»ony, wnioskowanie nieprawidªowe hipotezy nie mo»na werykowa bezpo±rednio (5-6) Ekonometria 11 / 30

12 Testy pierwiastka jednostkowego Test DF konstrukcja statystyki testowej W celu wyeliminowania potencjalnej niestacjonarno±ci zmiennej obja±nianej w regresji testowej, od obu stron równania odejmujemy y t 1 i w ten sposób otrzymujemy zró»nicowan (a wi c potencjalnie stacjonarn ) zmienn obja±nian. Regresja testowa DF: y t = (α 1 1) yt 1 + εt }{{} δ H 0 : δ = 0 α 1 = 1 y t I (1) H 1 : δ < 0 α 1 < 1 y t I (0) DF emp = ˆδ Sˆ DF (konstrukcja jak w te±cie t-studenta, tylko inne rozkªady δ statystyk testowych) Je»eli DF emp poni»ej warto±ci krytycznej, to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, czyli proces uznajemy za stacjonarny. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o niestacjonarno±ci procesu. (5-6) Ekonometria 12 / 30

13 Testy pierwiastka jednostkowego Test ADF korekta testu DF stosowana w praktyce W praktyce stosujemy test Augmented Dickey-Fuller (ADF): y t = δy t 1 + γ 1 y t 1 + γ 2 y t γ k y t p + ε t Dodanie opó¹nie«y t pomaga unikn autokorelacji skªadnika losowego. p mo»e by wybrane automatycznie, np. przy u»yciu kryteriów informacyjnych. (5-6) Ekonometria 13 / 30

14 Testy pierwiastka jednostkowego Test DF / ADF algorytm post powania Za ka»dym razem odrzucenie H 0 prowadzi do konkluzji o okre±lonym stopniu zintegrowania, a przy nieodrzuceniu testujemy wy»szy stopie«zintegrowania. (5-6) Ekonometria 14 / 30

15 Testy pierwiastka jednostkowego Test ADF specykacja regresji testowej y t = δy t 1 + p γ i y t p + ε t i=1 ewentualne rozszerzenia: y t = β + δy t 1 + p γ i y t p + ε t H 0: proces niestacjonarny z i=1 dryfem ( p ) y t = β + δy t 1 + γ i y t p + γt + ε t H 0 bez zmian, ale H 1: i=1 proces trendostacjonarny (przy istotnej zmiennej t) (5-6) Ekonometria 15 / 30

16 Testy pierwiastka jednostkowego Zadanie 5a Otwórz plik adf.gdt i dokonaj oceny stopnia zintegrowania poszczególnych 3 zmiennych zawartych w pliku za pomoc ró»nych wariantów testu ADF. Po zaznaczeniu wªa±ciwej zmiennej: Zmienna Testy pierwiastka jednostkowego Test ADF... Nast pnie wybieramy p (lub sposób ustalenia p), i podejmujemy dalsze decyzje co do specykacji regresji testowej (np. o uwzgl dnieniu trendu). Zacznijmy od gracznej oceny na podstawie wykresów. (5-6) Ekonometria 16 / 30

17 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6) Ekonometria 17 / 30

18 Procedura Engle'a-Grangera Zadanie (5-6) Ekonometria 18 / 30

19 Procedura Engle'a-Grangera Zadanie (5-6) Ekonometria 19 / 30

20 Procedura Engle'a-Grangera Poj cie kointegracji Je»eli zmienne y oraz x s niestacjonarne, to równanie y t = tβ + ε x t wcale nie musi by regresj pozorn. Mo»e si okaza,»e stanowi ono relacj kointegruj c, b d c matematycznym zapisem pewnej zale»no±ci o charakterze dªugookresowym. Wówczas oszacowania KMNK posiadaj po» dane wªasno±ci. Wówczas kombinacja y t x t β (a zarazem ε t ) ma ni»szy stopie«zintegrowania ni» wyj±ciowe zmienne. Czy tak jest sprawdzamy w ramach procedury Engle'a-Grangera. (5-6) Ekonometria 20 / 30

21 Procedura Engle'a-Grangera Krok 1: sprawdzenie warunku koniecznego Sprawdzamy stopie«zintegrowania zmiennych: Je»eli wszystkie zmienne stacjonarne mo»emy modelowa na dotychczasowych zasadach. Je»eli jest wi cej ni» jedna zmienna I(1) i nie ma zmiennych I(2) lub wy»ej mo»emy poszukiwa relacji kointegruj cej. Np.: I(1), I(0), I(0) NIE I(1), I(1), I(0) TAK I(1), I(1), I(1) TAK I(2), I(1), I(1) NIE I(2), I(2), I(1) formalnie TAK (wówczas reszty mog by I(1) ), cho sytuacja rzadka w praktyce. (5-6) Ekonometria 21 / 30

22 Procedura Engle'a-Grangera Krok 2: sprawdzenie warunku wystarczaj cego Uwaga! Je»eli speªniony jest warunek konieczny (np. wszystkie zmienne I(1) ), szacujemy reszty ˆε t z równania: y t = x tβ + ε t Sprawdzamy stopie«zintegrowania ˆε t I(1) brak relacji kointegruj cej, ryzyko regresji pozornej I(0) jest relacja kointegruj ca Gretl: z gªównego okna Model Modele szeregów czasowych Testy kointegracji Test Engle'a-Grangera Ten test przeprowadzamy tak samo jak test ADF, ale obowi zuj inne warto±ci krytyczne! (Gretl podaje prawidªowe tylko w ramach powy»szej procedury.) (5-6) Ekonometria 22 / 30

23 Procedura Engle'a-Grangera Zadanie 6a Oszacuj równanie, w którym logarytm pªac realnych jest uzale»niony od logarytmu wydajno±ci pracy (cw06_kointegracja.gdt). Zbadaj stopie«zintegrowania poszczególnych zmiennych. Czy zachodzi ryzyko regresji pozornej? Czy mamy do czynienia z relacj kointegruj c? (5-6) Ekonometria 23 / 30

24 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6) Ekonometria 24 / 30

25 Modele z opó¹nieniami Zadanie (5-6) Ekonometria 25 / 30

26 Modele z opó¹nieniami Modele z opó¹nieniami Model z rozkªadem opó¹nie«: y t = α + k P β i x j,t i + ε t j=1 i=0 mno»nik krótkookresowy dla j-tej zmiennej obja±niaj cej (natychmiastowy efekt wzrostu x j,t o 1): β j,0 mno»nik dªugookresowy dla j-tej zmiennej obja±niaj cej (efekt trwaªego wzrostu x j,t o 1): P β i=0 j,i Autoregresyjny model z rozkªadem opó¹nie«: y t = α + Q α l y t l + k P β i x t i + ε t l=1 j=1 i=0 mno»nik krótkookresowy dla j-tej zmiennej obja±niaj cej (natychmiastowy efekt wzrostu x j,t o 1): β j,0 mno»nik dªugookresowy dla j-tej zmiennej obja±niaj cej (efekt trwaªego wzrostu x j,t o 1): P i=0 β j,i 1 Q l=1 α l (5-6) Ekonometria 26 / 30

27 Modele z opó¹nieniami Zadanie 6b W obu modelach: 1. Wyznacz i zinterpretuj mno»niki krótko- i dªugookresowe. 2. (5-6) Ekonometria 27 / 30

28 Modele z opó¹nieniami Model Koycka (z niesko«czonym rozkªadem opó¹nie«) y t = α + β i x t i + ε t i=1 gdzie β i = β 0 λ i, λ < 1 Mno» c obie strony przez λ i cofaj c indeksy czasowe o 1 okres wstecz, mo»emy wyznaczy wzór na niesko«czon sum (z wyj tkiem pierwszego skªadnika), który pozwala zapisa (i oszacowa ) caªy model jako: y t = (1 α) λ + β 0 x t + λy t 1 + (ε t λε t 1 ) Udowodnij. Jaki problem mamy przy takiej estymacji? Mno»nik dªugookresowy (efekt trwaªego wzrostu x t o 1): Udowodnij. β 0 1 λ : (5-6) Ekonometria 28 / 30

29 Zadania Dodatkowe zadania zadanie 8.1 (5-6) Ekonometria 29 / 30

30 Zadania Zadanie E4 (5-6) Ekonometria 30 / 30