Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R
|
|
- Maria Niemiec
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45
2 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne równa«testy statystyczne resume 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 2 / 45
3 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 3 / 45
4 Informacje organizacyjne Zaliczenie egzamin na ostatnich zaj ciach lub w sesji (do ustalenia) 5-6 zada«do rozwi zania przy pomocy komputera odpowiedzi na kartce KMNK i R 4 / 45
5 Informacje organizacyjne Materiaªy i kontakt materiaªy dost pne na stronie internetowej: websghwawpl/~atoroj/ w zakªadce Ekonometria stosowana KMNK i R 5 / 45
6 Lektury Polecane lektury ogólne dla pocz tkuj cych i ugruntowania wiedzy: G S Maddala, Ekonometria, PWN, 2007 A Welfe, Ekonometria Metody i ich zastosowanie, PWE, 2009 dla zaawansowanych i jako leksykon: W Greene, Econometric Analysis, Prentice Hall, ró»ne wydania KMNK i R 6 / 45
7 Lektury Polecane lektury wyspecjalizowane szeregi czasowe (makroekonometria): J D Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994 dane przekrojowe, panele (mikroekonometria): J M Woolridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press, 2001 M Gruszczy«ski (red), Mikroekonometria Modele i metody analizy danych indywidualnych, Wolters Kluwer, 2010 KMNK i R 7 / 45
8 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 8 / 45
9 Ekonometria Po co ekonometria? badanie powi za«mi dzy cechami statystycznymi ustalanie warto±ci parametrów w modelach ekonomicznych (np elastyczno±ci) werykacja teorii ekonomicznych budowa modeli prognostycznych budowa modeli symulacyjnych dla ró»nych wariantów polityki gospodarczej KMNK i R 9 / 45
10 Ekonometria Po co ekonometria? badanie powi za«mi dzy cechami statystycznymi ustalanie warto±ci parametrów w modelach ekonomicznych (np elastyczno±ci) werykacja teorii ekonomicznych budowa modeli prognostycznych budowa modeli symulacyjnych dla ró»nych wariantów polityki gospodarczej KMNK i R 9 / 45
11 Ekonometria Po co ekonometria? badanie powi za«mi dzy cechami statystycznymi ustalanie warto±ci parametrów w modelach ekonomicznych (np elastyczno±ci) werykacja teorii ekonomicznych budowa modeli prognostycznych budowa modeli symulacyjnych dla ró»nych wariantów polityki gospodarczej KMNK i R 9 / 45
12 Ekonometria Po co ekonometria? badanie powi za«mi dzy cechami statystycznymi ustalanie warto±ci parametrów w modelach ekonomicznych (np elastyczno±ci) werykacja teorii ekonomicznych budowa modeli prognostycznych budowa modeli symulacyjnych dla ró»nych wariantów polityki gospodarczej KMNK i R 9 / 45
13 Ekonometria Po co ekonometria? badanie powi za«mi dzy cechami statystycznymi ustalanie warto±ci parametrów w modelach ekonomicznych (np elastyczno±ci) werykacja teorii ekonomicznych budowa modeli prognostycznych budowa modeli symulacyjnych dla ró»nych wariantów polityki gospodarczej KMNK i R 9 / 45
14 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
15 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
16 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
17 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
18 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
19 Ekonometria Jakie problemy w praktyce? braki danych ekstrapolacja, interpolacja, dopasowanie trendu, wypeªnienie warto±ciami teoretycznymi, usuwanie informacji niewielki rozmiar próby (liczba obserwacji > liczba parametrów, uproszczona reguªa: co najmniej 10 obserwacji na 1 szacowany parametr) brak identykacji niektórych parametrów (lub sªaba), np y t = α 0 + α 1 α 2 x t + ε t (w szczególno±ci: modele wielorównaniowe) makroekonometria: niestacjonarno± zmiennych mikroekonometria: dominacja zmiennych o skali nominalnej dokªadna wspóªliniowo± przy zªym doborze zmiennych KMNK i R 10 / 45
20 Dane i postacie funkcyjne równa«jaka struktura danych? 1 szeregi czasowe (produkcja przemysªowa, PKB, ±rednia temperatura w miesi cu, liczba pism wysªanych w tygodniu) 2 dane przekrojowe (wyniki sonda»u wyborczego na próbie 1000 respondentów, dane nt powierzchni powiatów) 3 dane panelowe (kwartalny PKB w poszczególnych pa«stwach UE w okresie ) KMNK i R 11 / 45
21 Dane i postacie funkcyjne równa«jaka struktura danych? 1 szeregi czasowe (produkcja przemysªowa, PKB, ±rednia temperatura w miesi cu, liczba pism wysªanych w tygodniu) 2 dane przekrojowe (wyniki sonda»u wyborczego na próbie 1000 respondentów, dane nt powierzchni powiatów) 3 dane panelowe (kwartalny PKB w poszczególnych pa«stwach UE w okresie ) KMNK i R 11 / 45
22 Dane i postacie funkcyjne równa«jaka struktura danych? 1 szeregi czasowe (produkcja przemysªowa, PKB, ±rednia temperatura w miesi cu, liczba pism wysªanych w tygodniu) 2 dane przekrojowe (wyniki sonda»u wyborczego na próbie 1000 respondentów, dane nt powierzchni powiatów) 3 dane panelowe (kwartalny PKB w poszczególnych pa«stwach UE w okresie ) KMNK i R 11 / 45
23 Dane i postacie funkcyjne równa«skale pomiarowe skala nominalna (1 czarny, 2 biaªy, 3 zielony, ) skala porz dkowa (np skala Likerta: 1 zdecydowanie za, 2 za, 3 nie mam zdania, 4 przeciw, 5 zdecydowanie przeciw) skala ilorazowa (z ew ograniczeniami: liczby R, liczby R + ) Zmienne binarne 0 nie, 1 tak Zmienne licznikowe 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np liczba telefonów odebranych w ci gu dnia; ile razy) KMNK i R 12 / 45
24 Dane i postacie funkcyjne równa«skale pomiarowe skala nominalna (1 czarny, 2 biaªy, 3 zielony, ) skala porz dkowa (np skala Likerta: 1 zdecydowanie za, 2 za, 3 nie mam zdania, 4 przeciw, 5 zdecydowanie przeciw) skala ilorazowa (z ew ograniczeniami: liczby R, liczby R + ) Zmienne binarne 0 nie, 1 tak Zmienne licznikowe 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np liczba telefonów odebranych w ci gu dnia; ile razy) KMNK i R 12 / 45
25 Dane i postacie funkcyjne równa«skale pomiarowe skala nominalna (1 czarny, 2 biaªy, 3 zielony, ) skala porz dkowa (np skala Likerta: 1 zdecydowanie za, 2 za, 3 nie mam zdania, 4 przeciw, 5 zdecydowanie przeciw) skala ilorazowa (z ew ograniczeniami: liczby R, liczby R + ) Zmienne binarne 0 nie, 1 tak Zmienne licznikowe 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np liczba telefonów odebranych w ci gu dnia; ile razy) KMNK i R 12 / 45
26 Dane i postacie funkcyjne równa«skale pomiarowe skala nominalna (1 czarny, 2 biaªy, 3 zielony, ) skala porz dkowa (np skala Likerta: 1 zdecydowanie za, 2 za, 3 nie mam zdania, 4 przeciw, 5 zdecydowanie przeciw) skala ilorazowa (z ew ograniczeniami: liczby R, liczby R + ) Zmienne binarne 0 nie, 1 tak Zmienne licznikowe 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np liczba telefonów odebranych w ci gu dnia; ile razy) KMNK i R 12 / 45
27 Dane i postacie funkcyjne równa«skale pomiarowe skala nominalna (1 czarny, 2 biaªy, 3 zielony, ) skala porz dkowa (np skala Likerta: 1 zdecydowanie za, 2 za, 3 nie mam zdania, 4 przeciw, 5 zdecydowanie przeciw) skala ilorazowa (z ew ograniczeniami: liczby R, liczby R + ) Zmienne binarne 0 nie, 1 tak Zmienne licznikowe 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np liczba telefonów odebranych w ci gu dnia; ile razy) KMNK i R 12 / 45
28 Dane i postacie funkcyjne równa«typ zmiennej obja±nianej a rodzaj modelu model regresji liniowej: skala ilorazowa logit/probit: zmienna zerojedynkowa uporz dkowany wielomianowy (ordered logit/probit): zmienna porz dkowa nieuporz dkowany wielomianowy (multinomial logit/probit): zmienna nominalna tobit: zmienna uci ta modele zmiennej licznikowej (count variable) KMNK i R 13 / 45
29 Dane i postacie funkcyjne równa«model regresji a posta funkcyjna model liniowy: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x ε model nieliniowy wzgl dem zmiennych: y = β 0 x β 1 1 x β 2 2 ε ln y = ln β 0 + β 1 ln x 1 + β 2 ln x ln ε model nieliniowy wzgl dem parametrów: y = β 0 x β 1 x β 2 + ε 1 2 KMNK i R 14 / 45
30 Dane i postacie funkcyjne równa«model regresji a posta funkcyjna model liniowy: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x ε model nieliniowy wzgl dem zmiennych: y = β 0 x β 1 1 x β 2 2 ε ln y = ln β 0 + β 1 ln x 1 + β 2 ln x ln ε model nieliniowy wzgl dem parametrów: y = β 0 x β 1 x β 2 + ε 1 2 KMNK i R 14 / 45
31 Dane i postacie funkcyjne równa«model regresji a posta funkcyjna model liniowy: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x ε model nieliniowy wzgl dem zmiennych: y = β 0 x β 1 1 x β 2 2 ε ln y = ln β 0 + β 1 ln x 1 + β 2 ln x ln ε model nieliniowy wzgl dem parametrów: y = β 0 x β 1 x β 2 + ε 1 2 KMNK i R 14 / 45
32 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: H 0 i H 1 testy statystyczne sªu» do werykacji rozmaitych hipotez zwi zanych z ocen jako±ci modelu ekonometrycznego hipoteza zerowa: H 0 : x = m hipoteza alternatywna dwustronna:h 1 : x m jednostronna:h 1 : x > m KMNK i R 15 / 45
33 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: H 0 i H 1 testy statystyczne sªu» do werykacji rozmaitych hipotez zwi zanych z ocen jako±ci modelu ekonometrycznego hipoteza zerowa: H 0 : x = m hipoteza alternatywna dwustronna:h 1 : x m jednostronna:h 1 : x > m KMNK i R 15 / 45
34 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: H 0 i H 1 testy statystyczne sªu» do werykacji rozmaitych hipotez zwi zanych z ocen jako±ci modelu ekonometrycznego hipoteza zerowa: H 0 : x = m hipoteza alternatywna dwustronna:h 1 : x m jednostronna:h 1 : x > m KMNK i R 15 / 45
35 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: bª dy mo»liwe dwa rodzaje bª dów: bª d I rodzaju: odrzucenie prawdziwej hipotezy zerowej bª d II rodzaju: nieodrzucenie faªszywej hipotezy zerowej testujemy przy zaªo»eniu prawdziwo±ci H 0 ; niektóre testy s sªabe (niska moc testu), co oznacza,»e trudno im odrzuci hipotez zerow i prawdopodobie«stwo bª du II rodzaju jest wysokie dlatego mo»liwe 2 decyzje: odrzucamy H 0 nie odrzucamy H 0 (a nie: przyjmujemy H 0!), tzn próba statystyczna nie zawiera wystarczaj cych dowodów na to,»e zaªo»enie o prawdziwo±ci H 0 byªo bª dne KMNK i R 16 / 45
36 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: bª dy mo»liwe dwa rodzaje bª dów: bª d I rodzaju: odrzucenie prawdziwej hipotezy zerowej bª d II rodzaju: nieodrzucenie faªszywej hipotezy zerowej testujemy przy zaªo»eniu prawdziwo±ci H 0 ; niektóre testy s sªabe (niska moc testu), co oznacza,»e trudno im odrzuci hipotez zerow i prawdopodobie«stwo bª du II rodzaju jest wysokie dlatego mo»liwe 2 decyzje: odrzucamy H 0 nie odrzucamy H 0 (a nie: przyjmujemy H 0!), tzn próba statystyczna nie zawiera wystarczaj cych dowodów na to,»e zaªo»enie o prawdziwo±ci H 0 byªo bª dne KMNK i R 16 / 45
37 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: bª dy mo»liwe dwa rodzaje bª dów: bª d I rodzaju: odrzucenie prawdziwej hipotezy zerowej bª d II rodzaju: nieodrzucenie faªszywej hipotezy zerowej testujemy przy zaªo»eniu prawdziwo±ci H 0 ; niektóre testy s sªabe (niska moc testu), co oznacza,»e trudno im odrzuci hipotez zerow i prawdopodobie«stwo bª du II rodzaju jest wysokie dlatego mo»liwe 2 decyzje: odrzucamy H 0 nie odrzucamy H 0 (a nie: przyjmujemy H 0!), tzn próba statystyczna nie zawiera wystarczaj cych dowodów na to,»e zaªo»enie o prawdziwo±ci H 0 byªo bª dne KMNK i R 16 / 45
38 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: decyzja trade-o mi dzy bª dem I i II rodzaju w praktyce: wybieramy maksymalne dopuszczalne prawdopodobie«stwo bª du I rodzaju: poziom istotno±ci (signicance level) α =0,10 α =0,05 α =0,01 porównujemy go z empirycznym poziomem istotno±ci (p-value) p > α: nie odrzucamy H 0 p < α: odrzucamy H 0 KMNK i R 17 / 45
39 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: decyzja trade-o mi dzy bª dem I i II rodzaju w praktyce: wybieramy maksymalne dopuszczalne prawdopodobie«stwo bª du I rodzaju: poziom istotno±ci (signicance level) α =0,10 α =0,05 α =0,01 porównujemy go z empirycznym poziomem istotno±ci (p-value) p > α: nie odrzucamy H 0 p < α: odrzucamy H 0 KMNK i R 17 / 45
40 Testy statystyczne resume Testy statystyczne: decyzja trade-o mi dzy bª dem I i II rodzaju w praktyce: wybieramy maksymalne dopuszczalne prawdopodobie«stwo bª du I rodzaju: poziom istotno±ci (signicance level) α =0,10 α =0,05 α =0,01 porównujemy go z empirycznym poziomem istotno±ci (p-value) p > α: nie odrzucamy H 0 p < α: odrzucamy H 0 KMNK i R 17 / 45
41 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 18 / 45
42 Regresja liniowa i KMNK Regresja liniowa y i = β 0 + β 1 x 1,i + β 2 x 2,i + + β k x k,i + ε i = β 0 [ ] β 1 1 x1,i x 2,i x k,i β 2 + ε i = x i β + ε i β k Parametrów [ β 0 β 1 β 2 β k ] T nie znamy i musimy je oszacowa Sposób: dobierzmy je tak, by rozrzut ε i wokóª zera byª jak n najni»szy Rozrzut ten mo»na mierzy np ε 2 i KMNK i R 19 / 45 i=1
43 Regresja liniowa i KMNK Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) ε 2 i i=1 S = n = n i=1 (y i β 0 β 1 x 1,i β 2 x 2,i β k x k,i ) 2 min β 0,β 1, Zapisuj c: y = Warunek minimalizacji: y 1 y 2 y n S β = 0 1 x 1,1 x 2,1 x k,1, X = 1 x 1,2 x 2,2 x k,2 1 x 1,n x 2,n x k,n otrzymujemy macierzowy wzór:, β = β 0 β 1 β 2 β k β = ( X T X ) 1 X T y KMNK i R 20 / 45
44 Regresja liniowa i KMNK Dlaczego taki wzór? S = n ε 2 i = ε T ε = (y Xβ) T (y Xβ) = i=1 = y T y β T X T y y T Xβ + β T X T Xβ = = y T y 2y T Xβ + β T X T Xβ przy czym ostatnia równo± wynika z tego,»e 2 i 3 element sumy przed ni s wzajemn transpozycj i jednocze±nie skalarem, wi c musz by równe S β = 0 yt y β + βt X T Xβ β = 0 Zgodnie z reguªami ró»niczkowania wyra»e«macierzowych: 2y T X + β T ( 2X T X ) = 0 β T ( X T X ) ( = y T X X T X ) β = X T y β = ( X T X ) 1 X T y 2yT Xβ β KMNK i R 21 / 45
45 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 22 / 45
46 Problem Przykªad: co determinuje satysfakcj ze studiów? W ankiecie padªy 3 pytania: satysfakcja ze studiów (0-100) ±rednia ocen pªe Zbiór danych w XLS: Zapisz jako - CSV Nast pnie wczytujemy zbiór CSV do R: KMNK i R 23 / 45
47 Wst pna eksploracja Pierwszy wykres nie sugeruje istnienia zale»no±ci KMNK i R 24 / 45
48 Wst pna eksploracja Jednak rozbicie na podpróby ju» tak KMNK i R 25 / 45
49 Analiza regresji Regresja na podpróbie kobiet (1) KMNK i R 26 / 45
50 Analiza regresji Regresja na podpróbie kobiet (2) KMNK i R 27 / 45
51 Analiza regresji Wyniki Wraz ze wzrostem ±redniej ocen o 1, satysfakcja ze studiów w populacji kobiet spada, ceteris paribus, ±rednio o 16,765 punktu [Umowna, cho w tym przypadku bezsensowna interpretacja staªej] Przy hipotetycznej ±redniej ocen 0, satysfakcja ze studiów w populacji kobiet wynosiªaby ±rednio 133,784 punktu KMNK i R 28 / 45
52 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 29 / 45
53 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (1) ˆβ to estymator prawdziwej warto±ci parametru β; jest funkcj losowo dobranej próby próby, a wi c i warto±ci ˆβ mog by ró»ne estymator jako zmienna losowa ma wariancj ˆβ = ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ 2 ( ) Var ˆβ = ˆβ ( k ) var ˆβ0 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( ) var ˆβ1 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( ) var ˆβ2 ( ) var ˆβ k KMNK i R 30 / 45
54 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (1) ˆβ to estymator prawdziwej warto±ci parametru β; jest funkcj losowo dobranej próby próby, a wi c i warto±ci ˆβ mog by ró»ne estymator jako zmienna losowa ma wariancj ˆβ = ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ 2 ( ) Var ˆβ = ˆβ ( k ) var ˆβ0 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( ) var ˆβ1 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( ) var ˆβ2 ( ) var ˆβ k KMNK i R 30 / 45
55 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (1) ˆβ to estymator prawdziwej warto±ci parametru β; jest funkcj losowo dobranej próby próby, a wi c i warto±ci ˆβ mog by ró»ne estymator jako zmienna losowa ma wariancj ˆβ = ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ 2 ( ) Var ˆβ = ˆβ ( k ) var ˆβ0 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 1 ( ) var ˆβ1 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 ( ) var ˆβ2 ( ) var ˆβ k KMNK i R 30 / 45
56 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Estymator: po» dane wªasno±ci β = ( X T X ) 1 X T y to estymator (funkcja próby) pewnej prawdziwej, nieznanej warto±ci parametrów β (w populacji/procesie generuj cym dane) ) nieobci»ono± : E (ˆβ = β asymptotyczna nieobci»ono± : E (ˆβ ) n = β zgodno± : warto± estymatora ˆβ zbiega do β wraz ze wzrostem n efektywno± : najni»sza mo»liwa wariancja estymatora (wysoka precyzja) KMNK i R 31 / 45
57 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Estymator: po» dane wªasno±ci β = ( X T X ) 1 X T y to estymator (funkcja próby) pewnej prawdziwej, nieznanej warto±ci parametrów β (w populacji/procesie generuj cym dane) ) nieobci»ono± : E (ˆβ = β asymptotyczna nieobci»ono± : E (ˆβ ) n = β zgodno± : warto± estymatora ˆβ zbiega do β wraz ze wzrostem n efektywno± : najni»sza mo»liwa wariancja estymatora (wysoka precyzja) KMNK i R 31 / 45
58 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Estymator: po» dane wªasno±ci β = ( X T X ) 1 X T y to estymator (funkcja próby) pewnej prawdziwej, nieznanej warto±ci parametrów β (w populacji/procesie generuj cym dane) ) nieobci»ono± : E (ˆβ = β asymptotyczna nieobci»ono± : E (ˆβ ) n = β zgodno± : warto± estymatora ˆβ zbiega do β wraz ze wzrostem n efektywno± : najni»sza mo»liwa wariancja estymatora (wysoka precyzja) KMNK i R 31 / 45
59 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Estymator: po» dane wªasno±ci β = ( X T X ) 1 X T y to estymator (funkcja próby) pewnej prawdziwej, nieznanej warto±ci parametrów β (w populacji/procesie generuj cym dane) ) nieobci»ono± : E (ˆβ = β asymptotyczna nieobci»ono± : E (ˆβ ) n = β zgodno± : warto± estymatora ˆβ zbiega do β wraz ze wzrostem n efektywno± : najni»sza mo»liwa wariancja estymatora (wysoka precyzja) KMNK i R 31 / 45
60 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Twierdzenie Gaussa-Markowa Przy odpowiednich zaªo»eniach estymator KMNK jest zgodny, nieobci»ony i najefektywniejszy w klasie estymatorów liniowych KMNK i R 32 / 45
61 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (2) Wariancja skªadnika losowego (skalar): ˆσ 2 = 1 n (k+1) n ε 2 i i=1 Wariancja ( ) estymatora KMNK (macierz): Var ˆβ = ˆσ ( 2 X T X ) 1 [d i,j ] (k+1) (k+1) Bª dy ( ) szacunku parametrów: s ˆβ 0 = ( ) d 1,1 s ˆβ 1 = ( ) d 2,2 s ˆβ 2 = d 3,3 (ang standard errors, SE) Obliczanie bª du szacunku 1 oszacuj warto±ci parametrów, 2 oblicz warto±ci skªadnika losowego, 3 oszacuj wariancj skªadnika losowego, 4 oblicz macierz wariancji estymatora KMNK, 5 oblicz bª d szacunku poszczególnych parametrów jako pierwiastek z jej diagonalnych elementów KMNK i R 33 / 45
62 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (2) Wariancja skªadnika losowego (skalar): ˆσ 2 = 1 n (k+1) n ε 2 i i=1 Wariancja ( ) estymatora KMNK (macierz): Var ˆβ = ˆσ ( 2 X T X ) 1 [d i,j ] (k+1) (k+1) Bª dy ( ) szacunku parametrów: s ˆβ 0 = ( ) d 1,1 s ˆβ 1 = ( ) d 2,2 s ˆβ 2 = d 3,3 (ang standard errors, SE) Obliczanie bª du szacunku 1 oszacuj warto±ci parametrów, 2 oblicz warto±ci skªadnika losowego, 3 oszacuj wariancj skªadnika losowego, 4 oblicz macierz wariancji estymatora KMNK, 5 oblicz bª d szacunku poszczególnych parametrów jako pierwiastek z jej diagonalnych elementów KMNK i R 33 / 45
63 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (2) Wariancja skªadnika losowego (skalar): ˆσ 2 = 1 n (k+1) n ε 2 i i=1 Wariancja ( ) estymatora KMNK (macierz): Var ˆβ = ˆσ ( 2 X T X ) 1 [d i,j ] (k+1) (k+1) Bª dy ( ) szacunku parametrów: s ˆβ 0 = ( ) d 1,1 s ˆβ 1 = ( ) d 2,2 s ˆβ 2 = d 3,3 (ang standard errors, SE) Obliczanie bª du szacunku 1 oszacuj warto±ci parametrów, 2 oblicz warto±ci skªadnika losowego, 3 oszacuj wariancj skªadnika losowego, 4 oblicz macierz wariancji estymatora KMNK, 5 oblicz bª d szacunku poszczególnych parametrów jako pierwiastek z jej diagonalnych elementów KMNK i R 33 / 45
64 Precyzja szacunku w modelu regresji liniowej Precyzja szacunku parametrów (2) Wariancja skªadnika losowego (skalar): ˆσ 2 = 1 n (k+1) n ε 2 i i=1 Wariancja ( ) estymatora KMNK (macierz): Var ˆβ = ˆσ ( 2 X T X ) 1 [d i,j ] (k+1) (k+1) Bª dy ( ) szacunku parametrów: s ˆβ 0 = ( ) d 1,1 s ˆβ 1 = ( ) d 2,2 s ˆβ 2 = d 3,3 (ang standard errors, SE) Obliczanie bª du szacunku 1 oszacuj warto±ci parametrów, 2 oblicz warto±ci skªadnika losowego, 3 oszacuj wariancj skªadnika losowego, 4 oblicz macierz wariancji estymatora KMNK, 5 oblicz bª d szacunku poszczególnych parametrów jako pierwiastek z jej diagonalnych elementów KMNK i R 33 / 45
65 Precyzja szacunku: przykªad Obliczamy wektor reszt i jego statystyki opisowe KMNK i R 34 / 45
66 Precyzja szacunku: przykªad Szacujemy wariancj skªadnika losowego KMNK i R 35 / 45
67 Precyzja szacunku: przykªad Bª dy oszacowa«kmnk i R 36 / 45
68 Plan prezentacji 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii 3 Model regresji liniowej i estymator KMNK 4 Przykªad: satysfakcja kobiet i m»czyzn ze studiów 5 KMNK jako estymator: precyzja szacunku 6 Diagnostyka dopasowania do danych KMNK i R 37 / 45
69 Testy istotno±ci Testy istotno±ci zmiennych Test t-studenta H 0 : β i = 0, tzn i-ta zmienna obja±niaj ca nie wywiera istotnego wpªywu na zmienn obja±nian y H 1 : β i 0, tzn i-ta zmienna obja±niaj ca wywiera istotny wpªyw na zmienn obja±nian y Statystyka testowa: t = ˆβ i s( ˆβ ma rozkªad t (n k 1) 1) p-value<α odrzucamy H 0 p-value>α nie odrzucamy H 0 przy czym standardowo przyjmuje si α = 0, 01 albo α = 0, 05 albo α = 0, 1 KMNK i R 38 / 45
70 Testy istotno±ci Testy istotno±ci zmiennych R KMNK i R 39 / 45
71 Testy istotno±ci Przedziaªy ufno±ci Estymacja: punktowa np oszacowania KMNK β = ( X T X ) 1 X T y przedziaªowa podajemy przedziaª, do którego nale»y warto± parametru z okre±lonym wysokim prawdopodobie«stwem Prawdopodobie«stwo to nazywamy poziomem ufno±ci przedział ufności pole = poziom ufności βˆ oszacowanie punktowe Poªo»enie przedziaªu ufno±ci zale»y od oszacowania punktowego (zazwyczaj ±rodek) Szeroko± od poziomu ufno±ci i bª du szacunku KMNK i R 40 / 45
72 R-kwadrat Wspóªczynnik dopasowania R-kwadrat R 2 [0; 1] to udziaª zmienno±ci y t obja±nionej przez model w caªkowitej zmienno±ci y t : n (y i ȳ) 2 = n (ŷ i ȳ) 2 + n (y i ŷ i ) 2 R 2 = i=1 i=1 i=1 n (ŷ i ȳ) 2 i=1 n (y i ȳ) 2 i=1 KMNK i R 41 / 45
73 R-kwadrat Skorygowane R-kwadrat R 2 = }{{} R 2 k ( ) 1 R 2 n (k + 1) dopasowanie }{{} kara za nadmiar parametrów KMNK i R 42 / 45
74 R-kwadrat Obliczamy R-kwadrat KMNK i R 43 / 45
75 Test Walda Uogólniony test Walda Uogólniony test Walda H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0, tzn»adna zmienna obja±niaj ca nie wywiera istotnego wpªywu na zmienn obja±nian y H 1 : j β j 0, przynajmniej 1 zmienna obja±niaj ca wywiera istotny wpªyw na zmienn obja±nian y R Statystyka testowa: F = 2 /k (1 R 2 ma rozkªad )/(n k 1) F (k, n k 1) KMNK i R 44 / 45
76 Test Walda Test Walda wyniki KMNK i R 45 / 45
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej?
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)
Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoWykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów regresji z wykorzystaniem metody bootstrap. Wrocław, 22.03.2017r Wybór najlepszej procedury - podsumowanie Co nas interesuje przed przeprowadzeniem
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoWst p i organizacja zaj
Wst p i organizacja zaj Katedra Ekonometrii Uniwersytet Šódzki sem. letni 2014/2015 Literatura Ocena osi gni Program zaj Prowadz cy Podstawowa i uzupeªniaj ca Podstawowa: 1 Gruszczy«ski M. (2012 / 2010),,
Bardziej szczegółowo1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoNarzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski
Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoEkonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoMetoda Johansena objaśnienia i przykłady
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania statystycznego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 2 Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 5: Narz dzia wnioskowania w ekonometrii bayesowskiej (5) Ekonometria Bayesowska 1 / 8 Plan wykªadu 1 Przedziaªy ufno±ci HPDI Werykacja hipotez podej±cie bayesowskie 3 Werykacja
Bardziej szczegółowoEkonometria dla III roku studiów licencjackich dr Stanisław Cichocki dr Natalia Nehrebecka
Ekonometria dla III roku studiów licencjackich dr Stanisław Cichocki dr Natalia Nehrebecka Wykład 30 godz. Ćwiczenia 30 godz. Cel zajęć Wykład i ćwiczenia z ekonometrii mają zapoznać studentów z technikami
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii - wersja IiE, MSEMAT 7-02-2013 Pytania teoretyczne 1. Porówna zastosowania znanych Ci kontrastów ze standardowym sposobem rozkodowania zmiennej dyskretnej. 2. Wyprowadzi estymator
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA PRZESTRZENNA
EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoPowtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.
Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci
Elementarna statystyka Test Istotno±ci Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 27 kwietnia 2017 Alexander Bendikov (UWr) Elementarna statystyka Test Istotno±ci 27 kwietnia 2017 1 / 24 Wnioskowanie statystyczne:
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Model ekonometryczny Wykształcenie a zarobki Hipoteza badawcza: Istnieje zależność między poziomem wykształcenia a wysokością zarobków Wykształcenie a zarobki Hipoteza badawcza: Istnieje zależność między
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE i MIESZANE
MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 14. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 14 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Symulacje Analogicznie jak w przypadku ciągłej zmiennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analizy różnego rodzaju problemów w modelach
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA II SYLABUS A. Informacje ogólne
EKONOMETRIA II SYLABUS A. Informacje ogólne Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod Język Rodzaj Rok studiów /semestr Wymagania wstępne (tzw. sekwencyjny system zajęć
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoRozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji
Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 1 / 32 Wielowymiarowe modele szeregów czasowych Modele VAR uwzgl dniaj wzajemne powi zania mi
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoEkonometria Szeregów Czasowych
Ekonometria Szeregów Czasowych Zaj cia 1: Ekonometria klasyczna powtórzenie dr Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej Kontakt karolina.konopczak@sgh.waw.pl konsultacje: czwartki g. 8.45 (p. 10/DS
Bardziej szczegółowoMatematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
Bardziej szczegółowoNiestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie
Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada 1. Sprawy organizacyjne Zasady zaliczenia 2. Czym zajmuje się ekonometria? 3. Formy danych statystycznych 4. Model ekonometryczny 2 1. Sprawy
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoEkonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 9 marca 2007
, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pawel@cibis.pl 9 marca 2007 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności Skorygowany R
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoWiadomości ogólne o ekonometrii
Wiadomości ogólne o ekonometrii Materiały zostały przygotowane w oparciu o podręcznik Ekonometria Wybrane Zagadnienia, którego autorami są: Bolesław Borkowski, Hanna Dudek oraz Wiesław Szczęsny. Ekonometria
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania
Bardziej szczegółowo