Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Transkrypt

1

2 korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym

3 korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli bieżące wartości zmiennej y można dokładniej prognozować uwzględniając przeszłe wartości zmiennej x niż bez ich uwzględniania

4 Mądrość ludowa głosi, że nisko latające jaskółki są przyczyną deszczu.

5 Mądrość ludowa głosi, że nisko latające jaskółki są przyczyną deszczu. Czy są one przyczyna w sensie Grangera?

6 Mądrość ludowa głosi, że nisko latające jaskółki są przyczyną deszczu. Czy są one przyczyna w sensie Grangera? Przed deszczem rośnie wilgotność powietrza

7 Mądrość ludowa głosi, że nisko latające jaskółki są przyczyną deszczu. Czy są one przyczyna w sensie Grangera? Przed deszczem rośnie wilgotność powietrza Owady latają niżej

8 Mądrość ludowa głosi, że nisko latające jaskółki są przyczyną deszczu. Czy są one przyczyna w sensie Grangera? Przed deszczem rośnie wilgotność powietrza Owady latają niżej Ptaki latają niżej

9 Formalny test przyczynowości W modelu ARDL k l y t = a(t) + α i y t i + β i x t i + ε i i=1 i=1

10 Formalny test przyczynowości W modelu ARDL k l y t = a(t) + α i y t i + β i x t i + ε i i=1 i=1 Testem Grangera będzie weryfikacja hipotezy β = 0.

11 Formalny test przyczynowości W modelu ARDL y t = a(t) + k α i y t i + i=1 l β i x t i + ε i i=1 Testem Grangera będzie weryfikacja hipotezy β = 0. Jeżeli nie można jej odrzucić, to mówimy, że x nie jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y

12 Formalny test przyczynowości W modelu ARDL y t = a(t) + k α i y t i + i=1 l β i x t i + ε i i=1 Testem Grangera będzie weryfikacja hipotezy β = 0. Jeżeli nie można jej odrzucić, to mówimy, że x nie jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y Jej fałszywość świadczy o występowaniu przyczynowości

13 Source SS df MS Number of obs = F( 5, 124) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = inflacja Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] inflacja L L stopa L L L _cons

14 Source SS df MS Number of obs = F( 5, 124) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = inflacja Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] inflacja L L stopa L L L _cons Czy rzeczywiście nie ma przyczynowości?

15 . test stopa l1.stopa l2.stopa ( 1) stopa = 0 ( 2) L.stopa = 0 ( 3) L2.stopa = 0 F( 3, 124) = 3.45 Prob > F =

16 . test stopa l1.stopa l2.stopa ( 1) stopa = 0 ( 2) L.stopa = 0 ( 3) L2.stopa = 0 F( 3, 124) = 3.45 Prob > F = Zatem należy uznać stopę bezrobocia za przyczynę inflacji w sensie Grangera

17 dotyczy zmiennych zintegrowanych, o stopniu integracji większym niż 0.

18 dotyczy zmiennych zintegrowanych, o stopniu integracji większym niż 0. jeżeli dwie zmienne niestacjonarne kształtują się w kolejnych okresach w sposób podobny, tzn. że zmiany ich wartości są w stałej relacji to mogą być skointegrowane.

19 Szereg czasowy t Szereg czasowy Szereg czasowy

20 Szereg AR(1) t Szereg AR(1) Szereg AR(1)

21 Szereg AR(1) t Szereg AR(1) Szereg AR(1)

22 O procesach stochastycznych mówimy, że są skointegrowane rzędu (d, b) jeżeli oba są zintegrowane rzędu d, oraz istnieje ich kombinacja liniowa rzędu d b

23 O procesach stochastycznych mówimy, że są skointegrowane rzędu (d, b) jeżeli oba są zintegrowane rzędu d, oraz istnieje ich kombinacja liniowa rzędu d b oznacza istnienie długookresowego związku

24 O procesach stochastycznych mówimy, że są skointegrowane rzędu (d, b) jeżeli oba są zintegrowane rzędu d, oraz istnieje ich kombinacja liniowa rzędu d b oznacza istnienie długookresowego związku Wektor kointegrujący Współczynniki stacjonarnej kombinacji liniowej procesów niestacjonarnych nazywamy wektorem kointegrującym

25 O procesach stochastycznych mówimy, że są skointegrowane rzędu (d, b) jeżeli oba są zintegrowane rzędu d, oraz istnieje ich kombinacja liniowa rzędu d b oznacza istnienie długookresowego związku Wektor kointegrujący Współczynniki stacjonarnej kombinacji liniowej procesów niestacjonarnych nazywamy wektorem kointegrującym W praktyce dwie zmienne zawierające trend mogą być skointegrowane

26 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σ 2 u)

27 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2

28 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2 x t jest I (1) z definicji

29 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2 x t jest I (1) z definicji y t jako funkcja x t jest niestacjonarna, ale y t βx t = α + ε t (1)

30 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2 x t jest I (1) z definicji y t jako funkcja x t jest niestacjonarna, ale y t βx t = α + ε t (1) Prawa strona (1) jest stacjonarna

31 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2 x t jest I (1) z definicji y t jako funkcja x t jest niestacjonarna, ale y t βx t = α + ε t (1) Prawa strona (1) jest stacjonarna Zatem lewa strona (1) musi być stacjonarna

32 Niech x t będzie błądzeniem przypadkowym x t = x t 1 + u t u t IID (0, σu) 2 Niech y t będzie zdefiniowane następująco y t = α + βx t + ε t ε t IID (0, σε) 2 x t jest I (1) z definicji y t jako funkcja x t jest niestacjonarna, ale y t βx t = α + ε t (1) Prawa strona (1) jest stacjonarna Zatem lewa strona (1) musi być stacjonarna Więc [1, β] jest wektorem kointegrującym

33 t x_t y_t

34 Procedura testowa jest analogiczna do sposobu testowania stopnia integracji procesu stochastycznego

35 Procedura testowa jest analogiczna do sposobu testowania stopnia integracji procesu stochastycznego Z reguł wykorzystuje się dwustopniową procedurę Engla-Grangera

36 Procedura testowa jest analogiczna do sposobu testowania stopnia integracji procesu stochastycznego Z reguł wykorzystuje się dwustopniową procedurę Engla-Grangera W pierwszym kroku badamy stopień integracji zmiennych

37 Procedura testowa jest analogiczna do sposobu testowania stopnia integracji procesu stochastycznego Z reguł wykorzystuje się dwustopniową procedurę Engla-Grangera W pierwszym kroku badamy stopień integracji zmiennych Stopień integracji zmiennej zależnej nie może być wyższy niż stopień integracji którejkolwiek zmiennej objasniającej

38 Procedura testowa jest analogiczna do sposobu testowania stopnia integracji procesu stochastycznego Z reguł wykorzystuje się dwustopniową procedurę Engla-Grangera W pierwszym kroku badamy stopień integracji zmiennych Stopień integracji zmiennej zależnej nie może być wyższy niż stopień integracji którejkolwiek zmiennej objasniającej Procedura wykorzystuje fakt, że nawet jeśli zmienne są zintegrowane to estymator MNK jest zgodny.

39 W drugim kroku szacujemy wektor kointegrujący y t = x t β + u t (2)

40 W drugim kroku szacujemy wektor kointegrujący y t = x t β + u t (2) Jeżeli y t x t β jest stacjonarne to u t musi być stacjonarne

41 W drugim kroku szacujemy wektor kointegrujący y t = x t β + u t (2) Jeżeli y t x t β jest stacjonarne to u t musi być stacjonarne Test kointegracji jest testem stacjonarności reszt u t

42 W drugim kroku szacujemy wektor kointegrujący y t = x t β + u t (2) Jeżeli y t x t β jest stacjonarne to u t musi być stacjonarne Test kointegracji jest testem stacjonarności reszt u t Regresja pomocnicza testu ADF ma postać u t = ρu t 1 + ξ t

43 H 0 : ρ = 0 odpowiada niestacjonarności reszt co oznacza brak kointegracji miedzy zmiennymi

44 H 0 : ρ = 0 odpowiada niestacjonarności reszt co oznacza brak kointegracji miedzy zmiennymi Rozkład statystyki testowej zależy od liczby zmiennych w równaniu (2)

45 H 0 : ρ = 0 odpowiada niestacjonarności reszt co oznacza brak kointegracji miedzy zmiennymi Rozkład statystyki testowej zależy od liczby zmiennych w równaniu (2) Problem autokorelacji

46 H 0 : ρ = 0 odpowiada niestacjonarności reszt co oznacza brak kointegracji miedzy zmiennymi Rozkład statystyki testowej zależy od liczby zmiennych w równaniu (2) Problem autokorelacji Problem trendu

47 jest sposobem opisu równowagi długookresowej

48 jest sposobem opisu równowagi długookresowej Twierdzenie Grangera o reprezentacji Jeżeli zmienne losowe x t, y t są I(1) oraz są skointegrowane z wektorem kointegrującym [1, β] wówczas zależność można przedstawić za pomocą Mechanizmu Korekty Błędem (ECM) y t = K 1 i=0 gdzie ε t I (0) L 1 γ i x t i + θ i y t i + α(y t 1 βx t 1 ) + ε t i=0

49 Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe: Jeżeli zmienne są opisane mechanizmem korekty błędem to są skointegrowane

50 Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe: Jeżeli zmienne są opisane mechanizmem korekty błędem to są skointegrowane Twierdzenie Grangera o reprezentacji pozwala na ekonomiczną interpretację parametrów

51 W równowadze y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t k ). Wobec tego E( y t ) = E(y t y t 1 ) = E(y t ) E(y t 1 ) == E(y t ) E(y t ) = 0

52 W równowadze y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t k ). Wobec tego E( y t ) = E(y t y t 1 ) = E(y t ) E(y t 1 ) == E(y t ) E(y t ) = 0 Podobna zależność zachodzi dla zmiennych egzogenicznych x = E(x t ) = E(x t 1 ) =... = E(x t k ), więc E( x t ) = 0

53 W równowadze y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t k ). Wobec tego E( y t ) = E(y t y t 1 ) = E(y t ) E(y t 1 ) == E(y t ) E(y t ) = 0 Podobna zależność zachodzi dla zmiennych egzogenicznych x = E(x t ) = E(x t 1 ) =... = E(x t k ), więc E( x t ) = 0 Stosując operator wartości oczekiwanej do postaci ECM otrzymujemy 0 = α(y x β)

54 W równowadze y = E(y t ) = E(y t 1 ) =... = E(y t k ). Wobec tego E( y t ) = E(y t y t 1 ) = E(y t ) E(y t 1 ) == E(y t ) E(y t ) = 0 Podobna zależność zachodzi dla zmiennych egzogenicznych x = E(x t ) = E(x t 1 ) =... = E(x t k ), więc E( x t ) = 0 Stosując operator wartości oczekiwanej do postaci ECM otrzymujemy 0 = α(y x β) Zatem nawias po prawej stronie zawiera warunek równowagi długookresowej

55 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga

56 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej

57 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją

58 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją kształtowania się zjawiska w przeszłości

59 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją kształtowania się zjawiska w przeszłości wartości zmiennych egzogenicznych

60 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją kształtowania się zjawiska w przeszłości wartości zmiennych egzogenicznych odchylenia od równowagi długookresowej

61 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją kształtowania się zjawiska w przeszłości wartości zmiennych egzogenicznych odchylenia od równowagi długookresowej Znak parametru α informuje o kierunku odchylenia od równowagi długookresowej

62 W model o postaci ECM jest wpisana długookresowa równowaga W krótkim okresie (y xβ) to odchylenie od równowagi długookresowej Zmiana poziomu zjawiska y t jest funkcją kształtowania się zjawiska w przeszłości wartości zmiennych egzogenicznych odchylenia od równowagi długookresowej Znak parametru α informuje o kierunku odchylenia od równowagi długookresowej Wielkość parametru α informuje o części odchylenia od równowagi długookresowej korygowanej podczas pierwszego okresu

63 Badamy zależność między inflacją a stopą bezrobocia

64 Badamy zależność między inflacją a stopą bezrobocia W pierwszym kroku sprawdzimy stacjonarność zmiennych

65 Badamy zależność między inflacją a stopą bezrobocia W pierwszym kroku sprawdzimy stacjonarność zmiennych Jeżeli okażą się one być niestacjonarne oszacujemy parametry modelu równowagi długookresowej

66 stopa bezrobocia rejestrowanego m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 2008m1 miesiac badania

67 inflacja netto m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 2008m1 miesiac badania

68 stopa bezrobocia rejestrowanego, S m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 2008m1 miesiac badania

69 inflacja netto, S m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 2008m1 miesiac badania

70 . dfuller s12.stopa Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = dfuller s12.inflacja Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) =

71 . reg s12.inflacja s12.stopa Source SS df MS Number of obs = F( 1, 118) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = S12.inflacja Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stopa S _cons predict u, resid

72 Source SS df MS Number of obs = F( 1, 117) = 3.83 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.u Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] u L _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi

73 Source SS df MS Number of obs = F( 4, 111) = 5.57 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.u Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] u L LD L2D L3D _cons

74 . reg s12.inflacja s12.stopa l.u l(1/2).s12.inflacja Source SS df MS Number of obs = F( 4, 113) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = S12.inflacja Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stopa S u L inflacja LS L2S _cons