Ekonometria Przestrzenna

Transkrypt

1 Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23

2 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 2 / 23

3 Plan prezentacji 1 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów (8) Ekonometria Przestrzenna 3 / 23

4 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ = 0 kra«cowy wpªyw zmiennej x k na y jest po prostu parametrem β k, czyli odpowiednim elementem wektora β (st d interpretacja parametrów modelu liniowego): y = Xβ + ε (8) Ekonometria Przestrzenna 4 / 23

5 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ = 0 kra«cowy wpªyw zmiennej x k na y jest po prostu parametrem β k, czyli odpowiednim elementem wektora β (st d interpretacja parametrów modelu liniowego): y = Xβ + ε (8) Ekonometria Przestrzenna 4 / 23

6 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym (2) Wpªyw takiej zale»no±ci przyczynowo-skutkowej mo»emy zapisa dla ka»dej pary jednostek, ró»niczkuj c wektor y wzgl dem wektora x k (ka»dy z nich ma dªugo± N liczba obserwacji, st d wynik to macierz N N): x k,1 = 1 S k = y x = [x k β k ] k x = β k I N = k β k x k,2 = 1 0 x k,n = 1 0 y 1 0 β k 0 y β k y N macierz diagonalna: zmiana x k dla i-tej jednostki nie ma wpªywu na y dla»adnej innej jednostki macierz sferyczna (równo± elementów diagonalnych): efekt kra«cowy równy dla wszystkich jednostek (8) Ekonometria Przestrzenna 5 / 23

7 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (1) Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ 0 kalkulacja efektu kra«cowego wymaga najpierw rozwikªania tej zale»no±ci wzgl dem y: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 ε (8) Ekonometria Przestrzenna 6 / 23

8 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (1) Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ 0 kalkulacja efektu kra«cowego wymaga najpierw rozwikªania tej zale»no±ci wzgl dem y: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 ε (8) Ekonometria Przestrzenna 6 / 23

9 Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (2) Efekt ró»niczkowania to równie» macierz N N, ale tym razem... S k = y x k = [(I ρw) 1 x k β k] x = β k (I ρw) 1 = k x k,1 = 1 x k,2 = 1 x k,n = 1 m 1,1 m 1,2 m 1,N y 1 m 2,1 m 2,2 m 2,N y m N,1 m N,2 m N,N y N ta macierz nie jest ani diagonalna (zale»no± obserwacji: zmiana x k dla i-tej jednostki mo»e mie wpªyw na y dla innych jednostek)... ani sferyczna (ró»ne efekty bezpo±rednie w ró»nych jednostkach). (8) Ekonometria Przestrzenna 7 / 23

10 Modele proste Interakcje s siadów komplikacja mno»ników (1) (8) Ekonometria Przestrzenna 8 / 23

11 Modele proste Interakcje s siadów komplikacje mno»ników (2) Kot wpªywa na Pata (β 1 ). W konsekwencji Pat wpªywa na Mata (β 1 ρ 2 ), Mat na Pata (β 1 ρ 2 ρ 1 ), Pat znów na Mata (β 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 )... Innymi sªowy (w j zyku modeli przestrzennych): S k = β k (I ρw) 1 = β k I + β k ρw + β k ρ 2 W β k I: efekt bez uwzgl dnienia zale»no±ci przestrzennej (diagonalny, sferyczny) β k ρw: efekt s siedztwa pierwszego rz du (ale efekty na diagonali S k wci» równe, bo diagonala W zerowa) β k ρ 2 W : diagonala S k przestaje by równa (efekty s siedztwa drugiego rz du i dalszych oddziaªuj ju» z ró»n siª na poszczególne jednostki) (8) Ekonometria Przestrzenna 9 / 23

12 Modele proste Interakcje s siadów komplikacje mno»ników (2) Kot wpªywa na Pata (β 1 ). W konsekwencji Pat wpªywa na Mata (β 1 ρ 2 ), Mat na Pata (β 1 ρ 2 ρ 1 ), Pat znów na Mata (β 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 )... Innymi sªowy (w j zyku modeli przestrzennych): S k = β k (I ρw) 1 = β k I + β k ρw + β k ρ 2 W β k I: efekt bez uwzgl dnienia zale»no±ci przestrzennej (diagonalny, sferyczny) β k ρw: efekt s siedztwa pierwszego rz du (ale efekty na diagonali S k wci» równe, bo diagonala W zerowa) β k ρ 2 W : diagonala S k przestaje by równa (efekty s siedztwa drugiego rz du i dalszych oddziaªuj ju» z ró»n siª na poszczególne jednostki) (8) Ekonometria Przestrzenna 9 / 23

13 Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

14 Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

15 Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

16 Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

17 Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

18 Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

19 Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

20 Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (2) Zwykle, tzn. przy ρ (0; 1), mamy β k < E D k < E T k. Interpretuj c w takiej sytuacji β k tak jak w modelu liniowym popeªniamy wi c bª d, gdy» podobn interpretacj ma co najwy»ej Ek T (abstrahuj c od faktu u±rednienia po regionach). Efekty liczymy poleceniem impacts po oszacowaniu modelu impacts <- impacts(model, listw = W) Efekty z modelu SLX liczone s tylko przy jednym sposobie szacowania (z argumentem type) i nie wymagaj wówczas argumentu listw. (8) Ekonometria Przestrzenna 12 / 23

21 Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

22 Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

23 Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

24 Plan prezentacji 1 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów (8) Ekonometria Przestrzenna 14 / 23

25 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

26 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

27 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

28 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

29 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

30 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

31 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

32 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

33 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

34 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (1) Zwykle mówi c o metodach bootstrapowych mamy na my±li wariant nieparametryczny: Losujemy niezale»nie ze zwracaniem N regionów z populacji N regionów. Dla ka»dego wyniku losowania r = 1,..., R wyznaczamy Ŝ (r) Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Jednak ten wariant nie sprawdzi si w modelach przestrzennych! Obserwacje nie s niezale»ne. Losuj c w ten sposób, rozrywamy cz ±ciowo sie zale»no±ci, o której pó¹niej b dziemy wnioskowa na podstawie ˆρ. Rozwi zaniem mogªoby by losowanie grupowe (ang. block bootstrap), jak w dynamicznych modelach szeregów czasowych (obserwacja + opó¹nienie). Bardzo trudne w dynamicznych panelowych modelach przestrzennych (dwa wymiary grupowania: czas i przestrze«!). k. (8) Ekonometria Przestrzenna 18 / 23

35 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (1) Zwykle mówi c o metodach bootstrapowych mamy na my±li wariant nieparametryczny: Losujemy niezale»nie ze zwracaniem N regionów z populacji N regionów. Dla ka»dego wyniku losowania r = 1,..., R wyznaczamy Ŝ (r) Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Jednak ten wariant nie sprawdzi si w modelach przestrzennych! Obserwacje nie s niezale»ne. Losuj c w ten sposób, rozrywamy cz ±ciowo sie zale»no±ci, o której pó¹niej b dziemy wnioskowa na podstawie ˆρ. Rozwi zaniem mogªoby by losowanie grupowe (ang. block bootstrap), jak w dynamicznych modelach szeregów czasowych (obserwacja + opó¹nienie). Bardzo trudne w dynamicznych panelowych modelach przestrzennych (dwa wymiary grupowania: czas i przestrze«!). k. (8) Ekonometria Przestrzenna 18 / 23

36 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

37 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

38 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

39 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

40 Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Ocena niepewno±ci wokóª ±rednich efektów R dostarcza gotowej procedury bootstrapowej w odniesieniu do ±rednich efektów bezpo±rednich, po±rednich i caªkowitych. Oceniaj c efekty za pomoc polecenia impacts uzupeªniamy je o argumenty: R = 200 (liczba powtórze«r w procedurze bootstrapowej) zstats = TRUE Na podstawie uzyskanego rozkªadu zostanie przeprowadzony test trzech hipotez: H 0 : E D k = 0 H 0 : E I k = 0 H 0 : E T k = 0 (8) Ekonometria Przestrzenna 20 / 23

41 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

42 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

43 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

44 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

45 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zmienne interakcyjne Uwaga! W caªym wykªadzie (niezale»nie od modelu i metody wnioskowania) zakªadali±my,»e w±ród zmiennych X nie ma zmiennych interakcyjnych (typu x 1 x 2 ). W przeciwnym razie nale»y inaczej wyprowadzi mno»niki dla zmiennych x 1 i x 2. Polecam jako wiczenie. Mno»niki przestrzenne dla danej jednostki zale» od: siªy aprzestrzennego oddziaªywania X na y (β) siªy powi za«przestrzennych (ρ, θ) stopnia zintegrowania jednostki z sieci powi za«(w) w modelach ze zmiennymi interakcyjnymi: poziomu innych predyktorów w analizowanym regionie i innych regionach (X) (8) Ekonometria Przestrzenna 22 / 23

46 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zmienne interakcyjne Uwaga! W caªym wykªadzie (niezale»nie od modelu i metody wnioskowania) zakªadali±my,»e w±ród zmiennych X nie ma zmiennych interakcyjnych (typu x 1 x 2 ). W przeciwnym razie nale»y inaczej wyprowadzi mno»niki dla zmiennych x 1 i x 2. Polecam jako wiczenie. Mno»niki przestrzenne dla danej jednostki zale» od: siªy aprzestrzennego oddziaªywania X na y (β) siªy powi za«przestrzennych (ρ, θ) stopnia zintegrowania jednostki z sieci powi za«(w) w modelach ze zmiennymi interakcyjnymi: poziomu innych predyktorów w analizowanym regionie i innych regionach (X) (8) Ekonometria Przestrzenna 22 / 23

47 Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zadanie domowe 7 Wybierz dowoln zmienn obja±niaj c z modeli omawianych w pracach domowych 5 i 6. Dla modelu wskazanego jako najlepszy (a je»eli byª to model SEM to dla dowolnego innego modelu) wyznacz w przypadku tej zmiennej efekt bezpo±redni, po±redni i caªkowity. Przeprowad¹ test istotno±ci ww. efektu po±redniego. Zilustruj na mapie wpªyw jednostkowej zmiany wskazanej zmiennej obja±niaj cej w wybranym regionie na zmienn obja±nian w poszczególnych regionach. Skomentuj wyniki. Plik PDF powinien zawiera wyniki oblicze«wraz z interpretacjami i map. (8) Ekonometria Przestrzenna 23 / 23