Makroekonomia Zaawansowana
|
|
|
- Ludwika Drozd
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27
2 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27
3 Plan prezentacji 1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 3 / 27
4 Modele DSGE Czym s modele DSGE? Na tych zaj ciach poznamy podstawowe techniki pracy z modelami DSGE (ang. Dynamic Stochastic General Equilibrium). Za przykªad posªu» nam modele nowokeynesowskie. S to konstrukcje, które: zawieraj nieliniowe (a czasem bardzo nieliniowe...) relacje mi dzy zmiennymi; zawieraj zmienne w postaci OCZEKIWA (oczekiwania na t + 1, t + 2 itd.); praca z nimi wymaga ROZWI ZANIA. MZ 4 / 27
5 Modele DSGE Czym s modele DSGE? Na tych zaj ciach poznamy podstawowe techniki pracy z modelami DSGE (ang. Dynamic Stochastic General Equilibrium). Za przykªad posªu» nam modele nowokeynesowskie. S to konstrukcje, które: zawieraj nieliniowe (a czasem bardzo nieliniowe...) relacje mi dzy zmiennymi; zawieraj zmienne w postaci OCZEKIWA (oczekiwania na t + 1, t + 2 itd.); praca z nimi wymaga ROZWI ZANIA. MZ 4 / 27
6 Modele DSGE Czym s modele DSGE? Na tych zaj ciach poznamy podstawowe techniki pracy z modelami DSGE (ang. Dynamic Stochastic General Equilibrium). Za przykªad posªu» nam modele nowokeynesowskie. S to konstrukcje, które: zawieraj nieliniowe (a czasem bardzo nieliniowe...) relacje mi dzy zmiennymi; zawieraj zmienne w postaci OCZEKIWA (oczekiwania na t + 1, t + 2 itd.); praca z nimi wymaga ROZWI ZANIA. MZ 4 / 27
7 Modele DSGE Czym s modele DSGE? Na tych zaj ciach poznamy podstawowe techniki pracy z modelami DSGE (ang. Dynamic Stochastic General Equilibrium). Za przykªad posªu» nam modele nowokeynesowskie. S to konstrukcje, które: zawieraj nieliniowe (a czasem bardzo nieliniowe...) relacje mi dzy zmiennymi; zawieraj zmienne w postaci OCZEKIWA (oczekiwania na t + 1, t + 2 itd.); praca z nimi wymaga ROZWI ZANIA. MZ 4 / 27
8 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Wyra»enie wektora zmiennych endogenicznych w modelu w okresie t jako funkcji wyª cznie: opó¹nionych zmiennych endogenicznych; zmiennych egzogenicznych i wstrz sów (opó¹nionych, bie» cych i oczekiwanych). To oznacza,»e z modelu musimy wyrugowa : bie» ce zale»no±ci mi dzy zmiennymi endogenicznymi (zwykle ªatwe rozwi zanie ukªadu równa«); zmienne w postaci oczekiwa«(znacznie trudniejsze). y 1,t E t y 1,t+1 y 2,t E t y 2,t+1 MZ 5 / 27
9 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Wyra»enie wektora zmiennych endogenicznych w modelu w okresie t jako funkcji wyª cznie: opó¹nionych zmiennych endogenicznych; zmiennych egzogenicznych i wstrz sów (opó¹nionych, bie» cych i oczekiwanych). To oznacza,»e z modelu musimy wyrugowa : bie» ce zale»no±ci mi dzy zmiennymi endogenicznymi (zwykle ªatwe rozwi zanie ukªadu równa«); zmienne w postaci oczekiwa«(znacznie trudniejsze). y 1,t E t y 1,t+1 y 2,t E t y 2,t+1 MZ 6 / 27
10 Modele DSGE Jak rozwi za model? Šatwo to zrobi, je»eli jest on liniowy. Jednak to zbyt restrykcyjne ograniczenie. Dlatego zwykle post pujemy w nast puj cy sposób: 1 Znajdujemy STAN USTALONY (ang. steady state) równowaga: wektor warto±ci zmiennych endogenicznych, który pod nieobecno± nowych wstrz sów zapewnia brak zmian tych zmiennych z okresu na okres 2 LINEARYZACJA modelu, czyli sprowadzenie go do postaci liniowej. Mo»emy znale¹ liniowe przybli»enie nieliniowej zale»no±ci w pobli»u pewnego punktu. B dzie nim stan ustalony. MZ 7 / 27
11 Modele DSGE Jak rozwi za model? Šatwo to zrobi, je»eli jest on liniowy. Jednak to zbyt restrykcyjne ograniczenie. Dlatego zwykle post pujemy w nast puj cy sposób: 1 Znajdujemy STAN USTALONY (ang. steady state) równowaga: wektor warto±ci zmiennych endogenicznych, który pod nieobecno± nowych wstrz sów zapewnia brak zmian tych zmiennych z okresu na okres 2 LINEARYZACJA modelu, czyli sprowadzenie go do postaci liniowej. Mo»emy znale¹ liniowe przybli»enie nieliniowej zale»no±ci w pobli»u pewnego punktu. B dzie nim stan ustalony. MZ 7 / 27
12 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
13 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
14 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
15 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
16 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
17 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
18 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
19 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
20 Modele DSGE Rozwi zanie modelu DSGE Gdy ju» si tego nauczymy, dowiemy si kolejno: czym s modele DSGE i po co w nich racjonalne oczekiwania; jak pracowa z oprogramowaniem do ich analizy; jak wyprowadzi model nowokeynesowski model gospodarki zamkni tej; jak go rozwi za ; jak uogólni go na model gospodarki otwartej; jak oszacowa jego parametry metodami bayesowskimi; co to s modele polityki optymalnej;... (?) MZ 8 / 27
21 Plan prezentacji 1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 9 / 27
22 Stan ustalony Stan ustalony w problemie Ramsey'a Problem Ramsey'a: rolnik szuka stanu ustalonego Rolnik sieje zbo»e i zbiera plony. Cz ± z nich przeznaczy na m k (konsumpcja), a cz ± na przyszªoroczny siew. Jakie s optymalne proporcje? W szerszym kontek±cie: problem alokacji zasobów mi dzy konsumpcj a oszcz dno±ci, które nansuj inwestycje w kapitaª (zapewniaj cy przyszª konsumpcj ). Optymalna alokacja wynika zarówno z preferencji rolnika, jak i charakterystyki procesu produkcyjnego. MZ 10 / 27
23 Stan ustalony Model Ramseya max C t,k t+1 E t { przy warunkach ograniczaj cych: Σ i=0 [ β i C ]} 1 σ t+i 1 σ t Y t = C t + I t (ograniczenie zasobowe) t Y t = K α t ε t (funkcja produkcji) t K t+1 = (1 δ) K t + I t (równanie ruchu kapitaªu) Zadanie Rozwi»my to zadanie optymalizacyjne, a nast pnie znajd¹my taki poziom kapitaªu (i konsumpcji), który zgodnie z modelem nie zmienia si w czasie pod nieobecno± wstrz sów, czyli dla ε t 1. MZ 11 / 27
24 Stan ustalony Rozwi zanie (1) Funkcja u»yteczno±ci, któr maksymalizuje rolnik: max U t= Ct,K t+1 i=0 E tβ i C1 σ t 1 σ przy warunkach (obowi zuj cych dla ka»dego okresu t, zapisane przykªadowo dla t): Y t Y t K t+1 = C t + I t = K α t ε t = (1 δ) K t + I t MZ 12 / 27
25 Stan ustalony Rozwi zanie (2) Z warunków ograniczaj cych eliminujemy Y t (potem b dziemy mogli wyliczy Ȳ jako C + Ī lub K α ): { C t + I t = K α t ε t I t = K t+1 (1 δ) K t Z warunków ograniczaj cych eliminujemy I t (potem b dziemy mogli wyliczy Ī jako K α C lub K (1 δ) K ): K t+1 (1 δ) K t = K α t ε t C t MZ 13 / 27
26 Stan ustalony Rozwi zanie (3) Ostatecznie mamy jeden warunek ograniczaj cy ze wzgl du na K i C : Funkcja Lagrange'a: C t = K α t ε t K t+1 + (1 δ) K t L = [ C 1 σ E t β i t+i 1 σ λ ( ) ] t+i K α t+i ε t+i + K t+1+i (1 δ) K t+i + C t+i i=0 MZ 14 / 27
27 Stan ustalony Rozwi zanie (4) Warunki 1. rz du (znów zapisane dla przykªadowego okresu t): 1 U t C t 2 U t K t+1 = C σ t λ t = 0 A zatem λ t = C σ t oraz E t λ t+1 = E t C σ t+1. = λ t + E t λ t+1 β (1 δ) + E t λ t+1 βαe t K α 1 t+1 ε t = 0 3 U t λ t = C t + K t+1 (1 δ) K t K α t ε t = 0 B dziemy to traktowa jak równanie deniuj ce konsumpcj, gdy rozwi»emy ju» model ze wzgl du na kapitaª. MZ 15 / 27
28 Stan ustalony Rozwi zanie (5) Eliminujemy z równa«(1) i (2) mno»nik Lagrange'a λ t : C σ t + E t C σ t+1 β (1 δ) + E tc σ t+1 βαe tk α 1 t+1 ε t = 0 Szukamy stanu ustalonego (steady state). Powinien to by wektor takich warto±ci zmiennych, które - przy braku wstrz sów (a tych w modelu nie mamy) - pozostaj niezmienne z okresu na okres. Wiemy,»e w stanie ustalonym wstrz sów brak, a wi c dla ka»dego t mamy ε t 1 Mamy 2 równania (powy»sze oraz warunek 3) oraz 2 zmienne rozwa»ane w ró»nych okresach ( C i K ): { C σ + C σ β (1 δ) + C σ βα K α 1 = 0 C + K (1 δ) K K α = 0 MZ 16 / 27
29 Stan ustalony Rozwi zanie (6) { C σ ( 1 + β (1 δ) + βα K α 1) = 0 C = K + (1 δ) K + K α = K α δ K ( K α δ K ) σ ( 1 + β (1 δ) + βα K α 1) = 0 }{{} =0 [ 1 β (1 δ) K = βα ] 1 α 1 MZ 17 / 27
30 Stan ustalony Warto± kapitaªu w stanie ustalonym ( K = ) 1 1 β(1 δ) α 1 βα W tym przypadku stan ustalony jest funkcj parametrów modelu. W niektórych modelach jest jednak zadany egzogenicznie lub nie ma znacznenia dla analizy. Np. w modelowaniu polityki pieni»nej istotne s wahania wokóª dªugookresowego poziomu produkcji, za± ten poziom pozostaje na drugim planie analizy. Czasami kalibrujemy (ustalamy) tzw. steady-state ratios, czyli wzajemne relacje mi dzy zmiennymi w stanie równowagi dªugookresowej (a nie poszczególne zmienne). Przykªady: udziaª konsumpcji, inwestycji i wydatków rz dowych w PKB. MZ 18 / 27
31 Plan prezentacji 1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 19 / 27
32 Log-linearyzacja Szereg Taylora f (X ) = Σ f (n) ( X) ( n=0 n! X X ) n = = f ( X ) + f ( ) ( ) f X X X + ( X) 2 f ( X ) + f ( X ) ( X X ) Linearyzacja: f (X ) f ( X ) + f ( X ) ( X X ) f (X ) f ( X ) + X f ( X ) ( X X ) } {{ X } ˆx ( X X ) = ˆx procentowe odchylenie od stanu ustalonego. Odpowiada ono w przybli»eniu (równie» 1. rz du) ró»nicy logarytmów naturalnych: bie» cego poziomu zmiennej oraz jej stanu ustalonego. Dlatego powy»szy zabieg nazywamy log-linearyzacj. MZ 20 / 27
33 Log-linearyzacja Log-linearyzacja f (X ) f ( X ) + X f ( X ) ˆx ˆx zmienna wyra»ona jako punkty procentowe odchylenia od warto±ci w steady-state X warto± w steady-state f (X ) lewa albo prawa strona równania Je»eli mamy wiele zmiennych w równaniu, X oznacza wektor zmiennych wyst puj cych w pewnej zale»no±ci, X wektor ich warto±ci w stanie ustalonym, X i to i-ta zmienna w tym wektorze, a x i jej logarytmiczne odchylenie od warto±ci dªugookresowej: f (X) f ( X ) + i f (X) X i X i Xˆx i MZ 21 / 27
34 Plan prezentacji 1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 22 / 27
35 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
36 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
37 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
38 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
39 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
40 Zadania Zadania Dokonaj log-linearyzacji nast puj cych równa«: 1 Y t = a 0 N a 1 t K a 2 t 2 Y N,t = κx (1 κ)δ t 3 W t P t = C σ t Nφ t ε t C t 4 ε t (C t ) σ = ε t (C t ) σ Q t 5 Q t,t+1 = βe t [ ε t+1 ε t 6 ( Ct+1 C t ) σ ( Pt P t+1 ) ] (oznacz i t = ln Q t,t+1 oraz Q t,t+1 = β; oznacz pó¹niej E t π t+1 = E t p t+1 p t ; zaªó» te»,»e E t x t = x t ) ( ) 1 ε ( ) 1 ε Pt P t 1 = θ + (1 θ) P t P t 1 (potraktuj P t, P t 1 i P t jako ró»ne zmienne, ale o tym samym stanie ustalonym P; oznacz pó¹niej π t = ˆp t ˆp t 1 ) MZ 23 / 27
41 Zadania Zadania [ ] 7. P T,t = (1 α) (P H,t ) 1 η + α (P F,t ) 1 η 1 1 η t (oznacz pó¹niej ˆπ t T = ln ( Pt T ) ( ) ln P T t 1 i podobnie dla indeksów górnych H i F ) 8. { [ ]} k=0 θk Pf E t Q t,t+k Y,t t+k t P t 1 κ MC κ 1 t+k t P t+k P t 1 = 0 (wskazówka: mamy tu 5 ró»nych zmiennych dla jednego skªadnika, tylko 4 z nich zale» od indeksu sumowania k; staªy i równy jest poziom P i P f ; dodatkowo zachodzi Q t,t+k = β k ) MZ 24 / 27
42 Zadania Zadania [ ] 7. P T,t = (1 α) (P H,t ) 1 η + α (P F,t ) 1 η 1 1 η t (oznacz pó¹niej ˆπ t T = ln ( Pt T ) ( ) ln P T t 1 i podobnie dla indeksów górnych H i F ) 8. { [ ]} k=0 θk Pf E t Q t,t+k Y,t t+k t P t 1 κ MC κ 1 t+k t P t+k P t 1 = 0 (wskazówka: mamy tu 5 ró»nych zmiennych dla jednego skªadnika, tylko 4 z nich zale» od indeksu sumowania k; staªy i równy jest poziom P i P f ; dodatkowo zachodzi Q t,t+k = β k ) MZ 24 / 27
43 Zadania Rozwi zania zada«(1) Ad. 1. y t = a 1 n t + a 2 k t Ad. 2. y N,t = (1 κ) δx t + c t Ad. 3. w t p t = σc t + φn t ɛ d t, gdzie ɛd t = ln ( ε D ) t i ε D = 0 Ad. 4. ɛ D t σc t = ɛ D t σ c t + q t Ad. 5. c t = E t c t+1 1 σ [i ( t (E t p t+1 p t ) + lnβ] + 1 σ ɛ d t E t ɛ d t+1) Ad. 8. peªne rozwi zanie przy okazji tematu 5 MZ 25 / 27
44 Zadania Rozwi zania zada«(2) Ad.6. MZ 26 / 27
45 Zadania Rozwi zania zada«(3) Ad.7. MZ 27 / 27
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 8 Nowokeynesowska gospodarka otwarta MZ 1 / 28 Plan wicze«1 Gospodarka otwarta a zamkni ta 2 Gospodarka otwarta w modelu nowokeynesowskim 3 wiczenia MZ 2 / 28 Plan prezentacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 3 Racjonalne oczekiwania i krytyka Lucasa MZ 1 / 15 Plan wicze«1 Racjonalne oczekiwania 2 Krytyka Lucasa 3 Zadanie MZ 2 / 15 Plan prezentacji 1 Racjonalne oczekiwania
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 5 Mikropodstawy modelu nowokeynesowskiego: krzywa IS i krzywa Phillipsa MZ 1 / 52 Plan wicze«1 Decyzje gospodarstw domowych 2 Decyzje przedsi biorstw 3 Decyzje banku
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 10 Polityka optymalna MZ 1 / 34 Plan wicze«1 Optymalna polityka pieni»na 2 Funkcja straty a dobrobyt spoªeczny 3 Domkni cie modelu NK z optymaln polityk pieni»n 4 Optymalna
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
czyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M).
akroekonomia I, wiczenia 8-9 Jan Hagemejer odel IS-L Wst p Do tej pory analiza polityki gospodarczej abstraowaªa od sfery monetarnej. Analizowali±my wyª cznie polityk skaln. Co wi cej, uznawali±my,»e wszystkie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Ekonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie R to rata miesi czna, odsetki w k-tej racie to ods k = R( v 8 k ), a spªata kapitaªu wyra»a si wzorem kap k = Rv 8 k, gdzie v = (, 5) /6. Dany jest ukªad nierówno±ci z którego wynika Rv 8 N R(
Opis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Wst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Moele wielorównaniowe. Problem ientykacji Anrzej Torój 4 grunia Specykacja moelu Estymacja Ientykacja parametrów postaci strukturalnej y t A + x t B ε t y t x t ( ) BA + ε t A {{ BA Π Π v t posta strukturalna
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Spis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów
Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Mikoªaj Herbst EUROREG UW Piotr Wójcik WNE UW Konferencja Ministerstwa Rozwoju Regionalnego Budowanie spójno±ci terytorialnej i przeciwdziaªanie
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Rozdziaª 2. Analiza spektralna
Rozdziaª 2. Analiza spektralna MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 1 / 18 Widmo szeregu czasowego W analizie spektralnej szereg {y t : t = 1, 2,..., T } postrzegany
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Modele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Wykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj
Reforma emerytalna w ±wietle modelu z nakªadaj cymi si pokoleniami (OLG)
Reforma emerytalna w ±wietle modelu z nakªadaj cymi si pokoleniami (OLG) Jan Hagemejer, Krzysztof Makarski, Joanna Tyrowicz wsparcie: Marcin Bielecki, Agnieszka Borowska, Karolina Goraus GRAPE@WNE UW/SGH/NBP
Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Szeregowanie zada« Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze« dr Hanna Furma«czyk. 7 pa¹dziernika 2013
Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze«7 pa¹dziernika 2013 Zasady zaliczenia 1 wiczenia (ocena): kolokwium, zadania dodatkowe (implementacje algorytmów), praca na wiczeniach. 2 Wykªad (zal): zaliczone
Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 8: Restrykcje na parametry w postaci nierówno±ci: analiza bayesowska (8) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Restrykcje nierówno±ciowe: podej±cie klasyczne a bayesowskie
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).
1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna
Numeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 2 Podstawy pracy z Octave/Matlabem MZ 1 / 20 Plan wicze«1 Pierwsze uruchomienie 2 Podstawowe operacje macierzowe w Matlabie/Octave 3 Wy±wietlanie wyników 4 Zadanie MZ
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Modelowanie polityki pieni»nej
Szkoªa Gªówna Handlowa Rozkªad jazdy 1 Wprowadzenie 2 Model nowokeynesowski 3 Zastosowania modelu NK 4 Model symulacyjny 5 Podsumowanie Na co bankom centralnym modele? Zorientowana na przyszªo± polityka
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Rozdziaª 8. Modele Krzywej Dochodowo±ci
Rozdziaª 8. Modele Krzywej Dochodowo±ci MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 8) Krzywa dochodowo±ci 1 / 18 Denicja krzywej dochodowo±ci Krzywa dochodowo±ci (yield curve): Ilustracja graczna
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
Ekonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Modele ARIMA prognoza, specykacja
Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji
Bifurkacje. Ewa Gudowska-Nowak Nowak. Plus ratio quam vis
Bifurkacje Nowak Plus ratio quam vis M. Kac Complex Systems Research Center, M. Smoluchowski Institute of Physics, Jagellonian University, Kraków, Poland 2008 Gªówna idea.. Pozornie "dynamika" ukªadów
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Model Ramseya. dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH. Szkoªa Gªówna Handlowa. M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 1 / 36
Model Ramseya dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH Szkoªa Gªówna Handlowa M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 1 / 36 Spis tre±ci 1 Wst p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.