Typy zadań kombinatorycznych:
|
|
- Nina Kurek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na ile sposobów możemy ustawić elementy zbioru w kolejce. Powiedzmy, że mamy zbiór A, który ma n elementów i chcemy wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych ustawień tych elementów w kolejce. Musimy więc podjąć n wyborów dotyczących tego, jaki element ustawić na kolejnym miejscu. I wybór na pierwszym miejscu w kolejce możemy ustawić każdy z n elementów II wybór na drugim miejscu w kolejce możemy ustawić już tylko n-1 elementów (bo jeden został już wykorzystany) III wybór na trzecim miejscu w kolejce można ustawić już tylko n-2 elementy (bo 2 elementy są już wykorzystane), itd. (n-1)-wszy wybór na przedostatnim miejscu w tej kolejce możemy ustawić już tylko 2 elementy, n-ty wybór- na ostatnim miejscu możemy ustawić już tylko jeden element Zatem zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwych wyborów kolejności to: n (n-1) (n-2) Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 5 osób? Mamy wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych ustawień 5 osób w kolejce. Musimy więc podjąć 5 wyborów dotyczących tego, jaką osobę ustawić na kolejnym miejscu. I wybór na pierwszym miejscu w kolejce możemy ustawić każdą z 5 osób; II wybór na drugim miejscu w kolejce możemy ustawić już tylko 4 osoby (bo jedna osoba został już ustawiona) III wybór na trzecim miejscu w kolejce można ustawić już tylko 3 osoby (bo 2 już są wykorzystane), IV wybór na czwartym miejscu w tej kolejce możemy ustawić już tylko 2 osoby, 5-ty wybór- na ostatnim miejscu możemy ustawić już tylko jedną osobę. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwych wyborów kolejności to: sposobów 2. Na ile sposobów można ustawić na półce 3 różne książki? Oznaczamy książki numerami: 1, 2, 3 i wypisujemy wszystkie możliwe ustawienia: 123, 132, 213, 231, 312, 321; jest ich 6. lub Stosujemy regułę mnożenia: 1-szą książkę możemy ustawić na 3 sposoby, drugą na 2 sposoby, trzecią na 1 sposób; zatem mamy sposobów 3. Na ile sposobów można rozdzielić 3różne czekolady pomiędzy 3 osoby? I osoba ma 3 możliwości otrzymania czekolady:. Załóżmy, że dostała 1
2 II osoba ma już tylko 2 możliwości; w tym przypadku: Załóżmy, że dostała III osoba pozostała tylko jedna czekolada jedna możliwość.. Wszystkich możliwości (sposobów) jest: ; zatem mamy 6 sposobów rozdzielenia tych czekolad pomiędzy 3 osoby. 4. Mamy 7 książek o różnokolorowych okładkach na półce. Ile jest możliwości ustawienia tych książek na półce? Mamy możliwości (zgodnie z regułą mnożenia) 5. Na ile sposobów można ustawić 8 zawodników na 8 pasach startowych bieżni? Wszystkich możliwości (sposobów) jest: 6. Ile jest możliwych kolejności w jakiej dobiegnie na metę 5 zawodników? Wszystkich możliwości (sposobów) jest: 7. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 5 panów i 4 panie, jeżeli: a) panowie są dżentelmenami i przepuszczają panie przodem? b) panowie nie byli grzeczni i wepchnęli się przed panie? c) kolejność nie zależy od płci? Rozwiązanie a) Panie można ustawić w obrębie czterech pierwszych miejsc w kolejce na = 24 sposoby, panów natomiast na kolejnych pięciu miejscach na = 120 sposobów. Każde ustawienie pań może wystąpić z każdym ze 120 ustawień panów. Wyboru kolejności pań i panów dokonujemy niezależnie, więc (korzystając z reguły iloczynu) mamy = 2880 takich możliwych ustawień. b) Możliwych ustawień jest tyle samo. c) Ustawiamy w kolejce dziewięcioro ludzi niezależnie od płci, co można zrobić na czyli na aż sposobów. II. Wybieranie elementów ze zbioru elementowego Doświadczenie polega na k- krotnym wybieraniu pojedynczych elementów z pośród n elementów, jakie mamy do dyspozycji. Elementy wybierane są po kolei, a nie wszystkie na 2
3 raz. Wyróżniamy dwa rodzaje zadań, w zależności od tego, czy po wybraniu danego elementu może on być użyty jeszcze raz i wybrany ponownie (z powtórzeniami), czy też raz wybrany element nie może być wybrany ponownie (bez powtórzeń). 1. Wybrane elementy nie mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów jest istotna Tworzenie wyrazowych ciągów utworzonych z różnych elementów elementowego zbioru dla. Liczba wszystkich możliwości wyboru: ( ), ( )- Bez powtórzeń oznacza, że żaden element tworzonego ciągu nie może się powtarzać; np. w przypadku losowania kolejnych elementów ciągu, element wylosowany nie wraca do puli (losowanie bez zwracania). Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji. Wybrany element nie wraca do pozostałych i zatem nie może być wybrany ponownie. Musimy więc podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić dowolny z n-1 elementów, itd. k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z n-k elementów. Na podstawie reguły mnożenia wszystkich możliwych ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy nie mogą się powtarzać) jest: ( ), ( )- 1. Pewien kod tworzymy z 3 liter wybranych spośród następujących liter: przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 8 elementowego (wybieramy 3 spośród 8 liter; ). Na I miejscu można wpisać jedną z 8 liter, na II miejscu jedną z pozostałych 7 liter, na III miejscu jedną z pozostałych 6 liter. Mamy zatem: takich kodów 2. Z cyfr wybieramy dwie cyfry i tworzymy z nich liczbę 2 cyfrową. Ile można utworzyć takich liczb? Tworzymy 2 elementowe ciągi ze zbioru 5 elementowego (wybieramy 2 spośród 5 cyfr; ). 3
4 Cyfrę jedności można wybrać spośród 5 cyfr na 5 sposobów; załóżmy, że wybrano 1. Cyfrę dziesiątek można wybrać z 4 pozostałych cyfr: 2, 3, 4, 5 cztery sposoby. Wszystkich możliwości jest: 3. Spośród 25 zawodników zostanie wybranych 3 medalistów. Jaka jest liczba możliwych wyników? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 25 elementowego (wybieramy 3 spośród 25 zawodników; ). Wszystkich możliwości jest: 4. Pewien kod jest czterocyfrowy i składa się z cyfr 1 do 9, przy czym żadna cyra nie może się powtarzać. Ile jest takich kodów? Tworzymy 4 elementowe ciągi ze zbioru 9 elementowego (wybieramy 4 spośród 9 cyfr; ). Liczba elementów zbioru, z którego losujemy wynosi 9 (cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bez 0). Liczba elementów ciągu wynosi 4 kod zawiera 4 cyfry; Wszystkich możliwości jest: 5. W sali lekcyjnej jest 30 miejsc. Na ile sposobów 5 uczniów może zająć miejsca, jeżeli każdy z nich siada gdzie chce? Rozwiązanie. Wszystkich możliwych rozmieszczeń będzie dokładnie: 2. Wybrane elementy mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów jest istotna Tworzenie wyrazowych ciągów utworzonych z elementów elementowego zbioru. Liczba wszystkich możliwości wyboru: ( ) Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji. Za każdym razem wybrany element wraca do pozostałych i może być wybrany ponownie. Zatem musimy podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z n elementów, itd. k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów. Na podstawie reguły 4
5 mnożenia wszystkich możliwych ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy mogą się powtarzać) jest: 1. Ile różnych liczb 4-cyfrowych można utworzyć z cyfr 6, 7, 8? Tworzymy 4 elementowe ciągi ze zbioru 3 elementowego (wybieramy 4 spośród 3 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Cyfrę jedności można wybrać z cyfr 6, 7, 8 na 3 sposoby są 3 możliwości, Cyfrę dziesiątek można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8 są więc też 3 możliwości (cyfry mogą się powtarzać), Cyfrę setek można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8, są więc też 3 możliwości, Cyfrę tysięcy można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8, są więc też 3 możliwości. Wszystkich możliwości jest: 2. Ile jest wszystkich liczb 3 cyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry 1 i 2? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 2 elementowego (wybieramy 3 spośród 2 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Na każdej pozycji mogą być 2 cyfry: 1, 2. Każdą z 3 cyfr można wybrać na 2 sposoby; zatem jest takich liczb Oto one: * Ile jest wszystkich liczb 3-cyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry 1, 2, 3, 4, 5 i cyfry mogą się powtórzać? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 5 elementowego (wybieramy 3 spośród 5 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Na każdej pozycji mogą występować cyfry: 1, 2, 3, 4, 5 pięć cyfr. takich liczb 4. Ile pięcioliterowych kodów można utworzyć z liter jeśli ltery mogą się powtórzać? Tworzymy 5 elementowe ciągi ze zbioru 8 elementowego (wybieramy 5 spośród 8 liter; ). Takich kodów jest : 5
6 5. W sklepie są 3 rodzaje czekolad Na ile sposobów mogą wybrać te czekolady 2 osoby? Tworzymy 2 elementowe ciągi ze zbioru 3 elementowego (wybieramy 2 spośród 3 czekolad; ) Mamy zatem możliwości wyboru. Zobacz drzewko tego doświadczenia: ( ) ( ) Zatem mają 9 możliwości wyboru : 6. Ile stacjonarnych numerów telefonicznych jest dostępnych w poznańskiej centrali? Wszystkie numery są dziewięciocyfrowe i zaczynają się numerem kierunkowym 61. Rozwiązanie Ponieważ dwie pierwsze cyfry są już ustalone 61, pozostało nam do rozważenia siedem pozostałych pozycji. Cyfry mogą się na nich powtarzać, a kolejność występowania cyfr w numerze też jest istotna. Wybieramy zatem jedną z 10 cyfr na III miejsce, jedną z 10 na IV miejsce itd. aż jedną z 10 cyfr wybierzemy na ostatnim IX miejscu. Wyborów kolejnych cyfr dokonujemy niezależnie, zatem jest ich tyle, ile siedmioelementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru dziesięcioelementowego, czyli: 6
7 3. Wybrane elementy nie mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów nie jest istotna ( ) Tworzenie elementowych podzbiorów zbioru elementowego zbioru ( ). Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji, ale raz wybrane elementy nie mogą zostać użyte ponownie. Zatem musimy podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z pozostałych n-1 elementów, itd. (za każdym razem mamy do dyspozycji o 1 element mniej niż poprzednio) k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z pozostałych n-k+1 elementów. Zatem na podstawie reguły mnożenia liczba wszystkich możliwości wyboru wynosi * ( ), ( )-+ Ale kolejność wyboru nie jest istotna, zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez ilość ustawień tych elementów wobec siebie (patrz zadania poniżej). 1. Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? 1-ego gracza możemy wybrać na 10 sposobów; 2-ego na 9 sposobów. Ale kolejność wyboru nie jest istotna, więc przykładowo para ( Jan; Adam) i (Adam, Jan) to ta sama para. Zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez 2 (ilość ustawień tych osób wobec siebie). Mamy więc: 2. Na ile sposobów można wybrać trzech graczy spośród 10 zawodników? 1-ego gracza możemy wybrać na 10 sposobów; 2-ego na 9 sposobów,; 3-ego na 8 sposobów. Ale kolejność wyboru nie jest istotna, zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez 6 (ilość ustawień tych osób wobec siebie : ). Mamy więc: 3. Na ile sposobów można wybrać spośród 6 osób delegację 3 osobową? 1-szą osobę można wybrać spośród 6 osób 6 możliwości, 7
8 2-gą osobę możemy wybrać spośród 5 pozostałych osób 5 możliwości, 3-cią osobę można wybrać spośród 4 pozostałych osób 4 możliwości. Osoby można wybrać na sposobów. Ponieważ kolejność wybieranych osób nie jest istotna, wszystkich możliwości jest: 4. Na ile sposobów można z grupy 20 osób ( ) wybrać delegację składającą się z: a) 2 osób; : b) 3 osób : c) 4 osób; : 5. Klasa liczy 25 osób. Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród uczniów tej klasy. Rozwiązanie. Ważne są dwie rzeczy: nie jest istotna kolejność, w jakiej dokonujemy wyboru uczniów i uczeń może zostać wybrany do delegacji tylko raz. Nie jest istotna kolejność elementów, jakie wybierzemy, i żaden nie może być wybrany dwukrotnie. Wobec tego wystarczy zastosować wzór na liczbę możliwych wyborów 3 elementów spośród 25: Mamy zatem: 8
ELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoliczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowo1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru
. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak
ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości
Bardziej szczegółowoDo rozwiązania większości zadań często wystarcza reguła mnożenia i wzór na kombinację.
Kombinatoryka Spis treści Kombinatoryka a prawdopodobieństwo Reguła mnożenia Prezentacja wyników za pomocą drzewa Elementy kombinatoryki Kombinatoryka Silnia Permutacja Wariacja bez powtórzeń Wariacja
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku!
Zadania testowe kombinatoryka (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) Zadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku! 1. Ze zbioru cyfr * + losujemy
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań dla Czytelników TRUDNE WYRAZY
Marian Maciocha Rozwiązania zadań dla Czytelników TRUDNE WYRAZY Zadanie OSIEM LITER : Ile można utworzyć wyrazów ośmioznakowych takich, że kolejne: a) trzy pierwsze znaki są małymi literami alfabetu łacińskiego,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoStatystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa
Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa dr hab. Tomasz Górecki tomasz.gorecki@amu.edu.pl Zakład Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:
Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoMapowanie i obróbka numerów (Digit Map)
Mapowanie i obróbka numerów (Digit Map) Jest to bardzo użyteczna funkcja, która pozwala decydować o tym, przez którego operatora VoIP maja wychodzić określone numery telefonów. Mamy jak wiadomo możliwych
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych od klas IV województwa pomorskiego, rok szkolny 2017/2018 Etap III - wojewódzki
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych od klas IV województwa pomorskiego, rok szkolny 2017/2018 Etap III - wojewódzki W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 1 Elementy kombinatoryki ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kombinatorykę można określić
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
Reguła mnożenia Jeżeli wybór zależy od n decyzji, przy czym na decyzję pierwszą mamy a 1 możliwości, decyzję drugą - a 2 możliwości,..., decyzję n-tą mamy a n możliwości, to wybór może być dokonany na
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowo=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoMini komputer Papy'ego
Mini komputer Papy'ego Bartłomiej Zemlik Grzegorz Pieczara Klasa Va Szkoła Podstawowa im. Bohaterów Monte Cassino w Kętach ul. Wyspiańskiego, 32-650 Kęty Opiekun- dr Katarzyna Wadoń-Kasprzak Spis Treści
Bardziej szczegółowoMarian Maciocha. Żelazny skład rozwiązanie zadania dla Czytelników
Marian Maciocha Żelazny skład rozwiązanie zadania dla Czytelników Zadanie: W pewnym klubie piłki nożnej uprawnionych do gry w barwach tego klubu jest 19 zawodników: 3 bramkarzy, 7 obrońców, 5 pomocników
Bardziej szczegółowoMIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA EDUKACJA MATEMATYCZNA klasa III PŁOCK 2014
MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA EDUKACJA MATEMATYCZNA klasa III PŁOCK 204 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 Zad. 8 SUMA PUNKTÓW
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 07.10.2011 Spis treści 1 Kombinatoryka 1 1 Kombinatoryka permutacja bez powtórzeń
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoInstrukcja poruszania się po katalogu on-line
Instrukcja poruszania się po katalogu on-line Spis treści Wyszukiwanie proste w katalogu on-line 1 10 Wyszukiwanie poprzez indeksy Wyszukiwanie poprzez słowo w wybranym indeksie Wyszukiwanie poprzez słowo
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoZagadnienia na powtórzenie
Zagadnienia na powtórzenie TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Sześcian przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część X: Statystyka, kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka Pierwotnie oznaczała stan rzeczy (od status) i do XVIII wieku używana dla określenia zbioru wiadomości o państwie Statystyka
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoKONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI dla uczniów szkół podstawowych województwa lubuskiego 23 lutego 2013 r. zawody III stopnia (wojewódzkie)
Kod ucznia Ilość zdobytych punktów KONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI dla uczniów szkół podstawowych województwa lubuskiego 23 lutego 2013 r. zawody III stopnia (wojewódzkie) Drogi Uczniu, przed Tobą test
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoWykład 4. Elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna Wstęp do probabilistyki
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoPŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa III szkoła podstawowa marzec 2015
PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa III szkoła podstawowa marzec 205 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad.
Bardziej szczegółowoGRUPA ĆWICZENIOWA (ZAKREŚL ODPOWIEDNIĄ): MG8 MG13 MB13 MD13 BT13
Nazwisko i imię: Nr indeksu: 1 2 3 4 Σ MiNI/MatLic/AiPP/2014 2015/Kolokwium-IIA (30) GRUPA ĆWICZENIOWA (ZAKREŚL ODPOWIEDNIĄ): MG8 MG13 MB13 MD13 BT13 Uwaga: Za każde zadanie można uzyskać tę samą liczbę
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowo1. Mamy do wyboru 2 mieszkania i 3 auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli
Repetytorium z matematyki, kierunek informatyka, I rok, studia niestacjonarne I stopnia Semestr zimowy 01/016 KOMBINATORYKA. Zasada mnożenia, dodawania. 1. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów
Bardziej szczegółowoescobar funkcje urządzenia.
Spis treści escobar funkcje urządzenia... 2 Kody dostępu... 2 Prawa dostępu... 3 Promocje... 3 Raporty... 3 Funkcje serwisowe... 4 Serwis... 4 Wprowadzanie Kodów dostępu... 5 Poruszanie się po menu i dokonywanie
Bardziej szczegółowoP o w o d z e n i a!
Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów klas V Etap finałowy Imię i nazwisko Szkoła Miejscowość Gratulujemy Ci zakwalifikowania się do etapu finałowego konkursu. Na rozwiązanie 14 zadań masz 75 minut.
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ W KLASACH ŁĄCZONYCH I i II
SCENARIUSZ ZAJĘĆ W KLASACH ŁĄCZONYCH I i II Klasa I Część wspólna Klasa II Kształtowane dyspozycja Temat Zabawki i prezenty Wspomnienia tygodniowy Temat dnia Jeśli nie potrafimy mówić... Jeśli nie potrafimy
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowoAlgorytmy przeszukiwania
Algorytmy przeszukiwania Przeszukiwanie liniowe Algorytm stosowany do poszukiwania elementu w zbiorze, o którym nic nie wiemy. Aby mieć pewność, że nie pominęliśmy żadnego elementu zbioru przeszukujemy
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
Etap wojewódzki 21 lutego 2015 r. Kod ucznia Godzina 11.00 Instrukcja dla ucznia Zanim przystąpisz do rozwiązywania arkusza przepisz na tę stronę Kod ucznia z karty kodowej. 1, Sprawdź, czy zestaw zawiera
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowo----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Strona1 Napisz program, który czyta zdanie, a następnie wypisuje po kolei długości kolejnych jego wyrazów. Zakładamy, że zdanie zawiera litery alfabetu łacińskiego i spacje (po jednej pomiędzy dwoma dowolnymi
Bardziej szczegółowoZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY
12355541 Rummikub ZASADY GRY NAJCZĘSCIEJ GRYWANA GRA LICZBOWA NA ŚWIECIE DLA CAŁEJ RODZINY Dla 2 4 graczy w wieku od 7 lat Zawartość opakowania: 104 kostki do gry, ponumerowane od 1 do 13, w czterech kolorach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY ROK SZKOLNY 2017/2018
KOD UCZNIA Imię i nazwisko ucznia (Wpisuje Wojewódzka Komisja Konkursowa po rozkodowaniu prac) Czas rozwiązywania: 90 minut... WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów szkół podstawowych od klas IV
Bardziej szczegółowoDZIELENIE SIĘ WIEDZĄ I POMYSŁAMI SPOTKANIE ZESPOŁU SAMOKSZTAŁCENIOWEGO
DZIELENIE SIĘ WIEDZĄ I POMYSŁAMI SPOTKANIE ZESPOŁU SAMOKSZTAŁCENIOWEGO Mariusz Pielucha nauczyciel nauczania początkowego Szkoła Podstawowa w Kaźmierzu. CEL: Wykorzystanie szablonów kratkowych do wprowadzenia
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoInstrukcje dla zawodników
Płock, 21 marca 2015 r. Instrukcje dla zawodników Arkusze otwieramy na wyraźne polecenie komisji. Wszystkie poniższe instrukcje zostaną odczytane i wyjaśnione. 1. Arkusz składa się z 3 zadań. 2. Każde
Bardziej szczegółowoSZKOLNA LIGA ZADANIOWA
KLASA 4 - ZESTAW ZADANIE Zmieszano dwa rodzaje cukierków czekoladowych: kg po 6zł i kg po 7zł. Jaka powinna być cena mieszanki? Za książkę i zeszyty zapłacono zł, a za taką samą książkę i 5 takich zeszytów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZE ZAJĘĆ SZKOŁY W RUCHU. Cel lekcji w języku ucznia: Na dzisiejszej lekcji będziecie doskonalili elementy gry w dwa ognie i cztery ognie.
Konspekt lekcji wychowania fizycznego Temat: Gry i zabawy ruchowe. Cele Uczeń: doskonali podania i chwyty oburącz poprzez grę dwa ognie i cztery ognie zna przepisy gry w dwa i cztery ognie organizuje w
Bardziej szczegółowo