Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

2 Kombinatoryka Jadwiga Słowik

3 Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy podjąć na N 1 sposobów, drugą na N 2 sposobów,, k-tą na N k sposobów, to takiego wyboru możemy dokonać na N 1. N 2.. N k sposobów

4 Reguła dodawania Jeśli wybór polega na podjęciu jednej z k decyzji, przy czym pierwszą z nich można podjąć na N 1 sposobów,, zaś k-tą na N k sposobów, to takiego wyboru można dokonać na N 1 + N N k sposobów.

5 Permutacja zbioru n- elementowego Funkcja będąca bijekcją, która przekształca pewien zbiór na siebie. Każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

6 Permutacje bez powtórzeń Wszystkich możliwych takich permutacji zbioru n-elementowego jest n!

7 Permutacje z powtórzeniami Niech zbiór A będzie zbiorem złożonym z k parami różnych elementów oraz niech i-ta liczba ze zbioru będzie powtarzała się n i razy. Załóżmy, że n 1 + n n k = n. Wówczas permutacją z powtórzeniami będzie n- wyrazowy ciąg, w którym elementy powtarzają się podaną liczbę razy. Liczba wszystkich takich permutacji wynosi:

8 Wariacje bez powtórzeń k-wyrazowa wariacja zbioru n-elementowego to każdy k-wyrazowy ciąg złożony z różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie)

9 Wariacje z powtórzeniami k-wyrazowy ciąg elementów ze zbioru n- elementowego. Elementy w ciągu mogą się powtarzać. Liczba takich wariacji wynosi n k

10 Kombinacje bez powtórzeń Kombinacja to każdy podzbiór zbioru n- elementowego. Liczba kombinacji wynosi

11 Kombinacje z powtórzeniami

12 Zadanie 1 Będziemy się poruszać po punktach kratowych układu współrzędnych. Zaczynamy w punkcie (0, 0). Możemy się poruszać o 1 w prawo lub o 1 do góry. Na ile sposobów możemy dotrzeć do punktu (n,k)?

13 Zadanie 2 Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma poniższe równanie? X 1 + X X k = N Liczy się kolejność rozwiązanie (1, 1, 3) jest innym rozwiązaniem niż (1, 3, 1).

14 Zadanie 3 Ile rozwiązań ma poniższa nierówność? X 1 + X X k N

15 Liczby Catalana Liczba poprawnych nawiasowań wyrażenia składającego się z n argumentów. (C n-1 ) Liczba drzew binarnych o n + 1 węzłach. Liczba podziałów wielokąta wypukłego (n + 2 krawędzie) na trójkąty za pomocą przekątnych. Liczba monotonicznych dróg.

16 Zadanie 4 Klaun stoi tyłem do dużego zbiornika z wodą. Jeśli wykonałby jeden krok do tyłu, to znalazłby się w wodzie. Artysta ma w swoim magicznym woreczku 20 kamieni (10 białych i 10 czarnych). Wyciąga z tego woreczka po kolei wszystkie kamienie. Jeśli w i-tym losowaniu wyciągnie kamień biały, to robi krok do przodu, jeśli wyciągnie kamień czarny krok do tyłu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klaun po zakończeniu zabawy będzie suchy?

17 Liczby Bella Liczba podziałów zbioru {1,, n}. Liczba rozmieszczeń n osób wokół co najwyżej n stolików (nieważny jest sposób usadzenia ludzi przy stoliku). Przedstawienie liczby naturalnej (n = p 1 p p n ) w postaci iloczynu.

18 Zasada włączeń i wyłączeń A 1 A 2... A n n i1 A i i j A i A j i jk A i A j A k...

19 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa w kilku zadaniach

20 Zadanie 1(lista) Ile liczb naturalnych mniejszych od 10 n ma zapis dziesiętny, którego cyfry tworzą ciąg niemalejący? Odp. n 9 9 Dodatkowe zadanie: Ile liczb naturalnych mniejszych od 10 n ma zapis dziesiętny, którego cyfry tworzą ciąg nierosnący?

21 Zadanie 2(lista) Na ile sposobów zbiór złożony z dwunastu elementów można podzielić na sześć rozłącznych podzbiorów dwuelementowych? Odp ! Dodatkowe zadanie: Na ile sposobów zbiór złożony z mn elementów można podzielić na m podzbiorów, które mają n elementów? 10395

22 Zadanie 3(lista) Niech M będzie zbiorem n-elementowym. Znajdź liczbę takich par zbiorów (A,B), że ABM. Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty. Odp. 3 n Dodatkowe zadanie Ile jest wszystkich ciągów A 1, A 2,, A m podzbiorów zbioru n-elementowego takich, że A 1 A 2, A m?

23 Zadanie 4(lista) Udowodnij, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w taki ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się jednym elementem. Odp. Można indukcyjnie.

24 Zadanie 5(lista) Niech p n będzie prawdopodobieństwem, że w serii n rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Udowodnij, że ciąg (p n ) jest zbieżny i oblicz jego granicę. Wskazówka A zdarzenie przeciwne, wtedy A' ( ) k 2 r, n 100k r,0 r 100

25 Zadanie 6(lista) Rzucamy 2n razy monetą. Niech p n będzie prawdopodobieństwem tego, że otrzymamy serię r jednakowych wyników, przy czym r n. Udowodnij, że ciąg (p n ) jest zbieżny do 0. Wskazówka A zdarzenie, którego prawdopodobieństwa poszukujemy, wtedy n A 2( n 1) 2