będzie momentem Twierdzenie Steinera

Transkrypt

1 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej do poprzedniej i oddalonej o h od niej. Twierdzenie Steinera stwierdza, Ŝe: Rysunek Mh 9- Twierdzenie Steinera gdzie M -masa ciała PRZYŁAD Znajdź moment bezwładności pręta o stałej gęstości względem osi Rysunek 9-8 y przechodzącej przez koniec pręta (Rysunek 9-8). Analiza zadania. Wiemy, Ŝe moment bezwładności pręta względem ML. MoŜemy zastosować twierdzenie Steinera podstawiając h L.. Zastosuj twierdzenie Steinera + Mh. Podstaw ML i h L ML 3 osi przechodzącej przez jego środek wynosi Dowód twierdzenia Steinera. Twierdzenie Steinera moŝna udowodnić korzystając z twierdzenia o Rysunek 9-9 energii kinetycznej, które zostało wyprowadzonego w poprzednim wykładzie: Energia kinetyczna układu cząstek jest równa energii kinetycznej środka masy plus energii kinetycznej cząstek względem środka masy: MVśm + wzgl 9- RozwaŜmy bryłę sztywną obracającą się z prędkością kątową 9- ω wokół osi oddalonej o osi przechodzącej przez środek masy ( Rysunek 9-9 ). JeŜeli bryła obróci się o kąt h od równoległej względem pewnej osi,

2 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 9 to obróci się o ten sam kąt względem dowolnej innej osi równoległej do niej. Ruch ciała względem środka masy jest po prostu ruchem obrotowym z prędkością kątową ω względem osi przechodzącej przez środek masy. W związku z tym energia kinetyczna ruchu względnego będzie równa: wzgl ω Prędkość środka masy względem dowolnego punktu na osi obrotu wynosi v hω. W rezultacie energia kinetyczna środka masy jest równa: Mv M ( hω ) Mω h Podstawiając powyŝsze wzory do równania 9- i uwzględniając 9- otrzymujemy: Widać, Ŝe : ( Mh + ) ω ω Mω h + ω Mh + co jest treścią twierdzenia Steinera. Zastosowanie drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego. RozwaŜmy sznurek, który jest nawinięty na obracający się cylinder. JeŜeli sznurek nie ślizga się to prędkość liniowa sznurka jest, oczywiście, równa prędkości stycznej na obwodzie cylindra: v t Rω 9-3 Związek między ω i v w przypadku braku poślizgu. JeŜeli zróŝniczkować równanie 9-3 ( policzyć pochodną obu stron równania ) po czasie, to otrzymamy związek między przyspieszeniem stycznym na obwodzie cylindra, a przyspieszeniem liniowym sznurka: P R Z Y Ł A D a t Rα 9-4 Związek między α i a w przypadku braku poślizgu Przedmiot jest przywiązany do lekkiej linki nawiniętej na koło, które posiada moment bezwładności i promień R.oło obraca się bez tarcia, a linka nie ślizga się po obwodzie. Znajdź napręŝenie linki i przyspieszenie przedmiotu.

3 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 9 Analiza zadania. W układzie tym przedmiot porusza się do dołu ze stałym przyspieszeniema, podczas gdy koło obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym α ( Rysunek 9-0 ). PoniewaŜ linka odwija się z koła bez poślizgu, to a Rα. Aby obliczyć α i a zastosujemy drugą zasadę dynamiki do obracającego się koła i do poruszającego się przedmiotu. PoniewaŜ przedmiot porusza się do dołu i koło obraca się zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, to kierunki te moŝemy obrać jako dodatnie.. Jedyną siłą wywierającą moment siły na koło jest napręŝenie linki T o ramieniu R. Zastosuj drugą zasadę Newtona dla ruchu obrotowego w postaci τ α : i TR α r r i zastosuj F ma mg T ma. Narysuj diagram wektorowy dla wiszącego ciała 3. Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi:t, a i α. Trzecie równanie otrzymamy ze związku między a i α : 4. Mamy teraz trzy równania i moŝemy wyznaczyć szukane T,a i α. Zastosuj a Rα równania z punktu i wylicz a : 5. Podstaw wyliczone a do równania z punktu aby wyliczyć T : do a Rα a TR α i R mg + mr / Rysunek 9-0 T r mg r TR a T + mr mg 6. Podstawiając wyliczone T do równania z punktu mr 4 wyznacz a : a g + mr Sprawdź wyniki. Sprawdźmy parę przypadków granicznych: JeŜeli 0, to przedmiot powinien spadać swobodnie, a linka powinna być nie napięta; otrzymane wyniki dają T 0 i a g. Co się stanie gdy? Dla znacznie większego od mr otrzymujemy: T mg i a Energia kinetyczna ruchu obrotowego.

4 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 93 Energia kinetyczna obracającego się ciała jest równa sumie energii kinetycznych poszczególnych cząstek układu. Energia kinetyczna pojedynczego punktu materialnego m i jest równa: m i v i Sumując po wszystkich punktach materialnych, z których składa się bryła sztywna i podstawiając otrzymujemy: obr mivi mi ( riω ) miri ω i i i v i r i ω WyraŜenie w drugim nawiasie jest momentem bezwładności względem osi obrotu. W rezultacie energia kinetyczna: obr ω 9-5 Energia kinetyczna ruchu obrotowego Równanie 9-5 jest odpowiednikiem energii kinetycznej w ruchu postępowym mv. Moc. JeŜeli obracamy ciało, to wykonujemy nad nim pracę powodując tym samym wzrost energii kinetycznej. RozwaŜmy siłę przebędzie odległość F i działającą na i-tą cząstkę obracającej się bryły. Gdy bryła obróci się o kąt ds r i i, a siła wykona pracę: d θ, i-ta cząstka gdzie dwi Fit dsi Fit ri τi τ i jest momentem siły wywieranym przez siłę przedmiot obróci się o niewielki kąt d θ jest równa: F i. Ogólnie, praca wykonana przez moment siły τ gdy dw τ 9-6 Moc wywołana momentem siły jest równa szybkości z jaką moment siły wykonuje pracę: lub P dw τ P τω 9-7 Moc

5 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 94 Przemieszczenie kątowe Prędkość kątowa Przyspieszenie kątowe Równania w przypadku stałego przyspieszenia kątowego Równania 9-6 i 9-7 są odpowiednikami dw Fs ds i P F s vs. PoniŜsza tabela porównuje ruch obrotowy z ruchem postępowym. Ruch obrotowy Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ruch postępowy θ Przemieszczenie x ω dω d θ α ω ω 0 + αt θ ω śr t ω śr ( ω0 + ω) θ θ0 + ω0t + αt ω ω α θ 0 + Prędkość Przyspieszenie Równania w przypadku stałego przyspieszenia liniowego Moment siły τ Siła F Moment bezwładności Masa m Praca Energia kinetyczna Moc Moment pędu Druga zasada dynamiki v dx dv a d x v v0 + at x vśr t vśr ( v0 + v) x x + v v a θ 0 + v0t at 0 + dw τ Praca dw Fdx Energia kinetyczna ω mv P τω Moc P Fv L ω Pęd p mv τ wyp α dl Druga zasada dynamiki F wyp ma dp 9-4 Toczenie. Toczenie bez poślizgu. RozwaŜmy kulę o promieniu R toczącą się bez poślizgu po płaskiej powierzchni. Gdy kula obróci się o kąt φ (Rysunek 9- ), Rysunek 9-

6 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 95 punkt styczności piłki z płaszczyzną przebędzie drogę s, która jest związana z φ następująco: s Rφ 9-8 Warunek bezpoślizgowego toczenia dla przemieszczenia PoniewaŜ środek kuli leŝy bezpośrednio nad punktem kontaktu, to równieŝ poruszając się przebędzie drogę s. Dlatego prędkość środka masy jest równa: v ds dφ R lub v Rω 9-9 RóŜniczkując jeszcze raz obie strony otrzymamy: Warunek bezpoślizgowego toczenia dla prędkości a Rα 9-30 Warunek bezpoślizgowego toczenia dla przyspieszenia iedy kula obraca się z prędkością kątową ω, wtedy górny i dolny punkt poruszają się z prędkością v Rω względem środka kuli (Rysunek 9-a). iedy kula toczy się bez poślizgu, to górny punkt posiada prędkość v, a punkt na dole jest w kontakcie z powierzchnią i w danej chwili znajduje się w spoczynku względem powierzchni ( Rysunek 9-b ). Na kulę działa siła tarcia statycznego i w związku z tym energia nie ulega rozpraszaniu. W poprzednim wykładzie było pokazane, Ŝe energia kinetyczna układu cząstek jest równa sumie energii kinetycznej środka masy i energii kinetycznej cząstek względem środka masy. Dla toczącego się ciała energia kinetyczna względem środka masy jest równa przedmiotu jest równa Rysunek 9- ω. W rezultacie energia kinetyczna toczącego się ω + Mv 9-3 Energia kinetyczna toczącego się przedmiotu

7 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 96