UWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH

Transkrypt

1 D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6 (9-0) 009 Rafał Korzoe (Wrocław) UWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH Abstract. I may practical issues to deal with etreme situatios is ofte more importat tha with commo situatios. It is the observatio of cases of sigificat outliers from the cetral parameters are the most troublesome. I this article which has a review character presets selected issues of the theory of limit distributios of etreme order statistics. Addressed the most importat results cocerig this theory. Cosidered distributios limit of etreme order statistics ad showig that they may oly be three types. Key words: statystyi pozycyje rozłady graicze statysty pozycyjych rozłady miimum i masimum badaia iezawodości systemów.. Wstęp W wielu zagadieiach pratyczych radzeie sobie z sytuacjami estremalymi jest często ważiejsze iż z sytuacjami powszechie spotyaymi. To właśie przypadi obserwacji zaczie odstających od parametrów cetralych są ajbardziej douczliwe. Ja wiadomo o prawdopodobieństwie powstaia sytuacji estremalych iformują rozłady masimów i miimów. W artyule tym mającym charater przeglądowy przedstawioo wybrae zagadieia z teorii rozładów graiczych estremalych statysty pozycyjych. Zajęto się ajważiejszymi wyiami dotyczącymi tej teorii. Zbadao rozłady graicze estremalych statysty pozycyjych i poazao że mogą być oe tylo trzech typów. Następie oszacowao szybość zbieżości rozładu -tej statystyi pozycyjej do rozładu graiczego.

2 90 Rafał Korzoe Teoria estremalych statysty pozycyjych jest powszechie wyorzystywaa. Jedym z główych zastosowań tej teorii są badaia iezawodości systemów elemetów. Podstawowymi struturami iezawodościowymi są strutury szeregowe i rówoległe. Ja wiadomo strutura iezawodościowa azwaa jest szeregową jeżeli system jest zdaty wyłączie wtedy gdy zdate są wszystie jego elemety. Wówczas czas zdatości (przeżycia) taiego systemu T S jest rówy czasowi zdatości ajgorszego elemetu zatem jest rówy miimalej statystyce pozycyjej: T S = mi(t T... T ) gdzie T i czas zdatości elemetu i-tego. Aalogiczie strutura iezawodościowa azwaa jest rówoległą jeżeli system jest iezdaty wyłączie wtedy gdy iezdate są wszystie jego elemety. Wówczas czas zdatości taiego systemu jest rówy czasowi zdatości ajlepszego elemetu czyli T S = ma(t T... T ). W pratyce pojawia się potrzeba wyzaczeia rozładu graiczego fucji iezawodości daego systemu. To zagadieie pociąga za sobą wyzaczeie rozładu graiczego masymalej i miimalej statystyi pozycyjej. Poiższe rozważaia mają a celu przybliżyć teorię potrzebą do rozwiązaia tego problemu.. Rozłady graicze statysty pozycyjych Badaie rozładów graiczych estremalych statysty pozycyjych rozpoczęto już w latach dwudziestych miioego wieu m.i. w pracach Frecheta oraz Fishera. Późiej Giedeo udowodił że rozłady graicze masimum ciągu zmieych losowych mogą być jedego z trzech typów a Smirow uogólił jego wyii a przypade -tej statystyi estremalej. W artyule przedstawioo podstawowe faty tej teorii. Zaim zajmiemy się badaiem rozładów graiczych podajemy defiicję statysty pozycyjych. W tym celu rozpatrzmy ciąg zmieych losowych (X X X ). Wówczas mamy: Defiicja. Statystyę pozycyją Z = ( ) azywamy zmieą losową będącą fucją wetora losowego (X X X ) oreśloą w astępujący sposób: Dla ażdego zdarzeia elemetarego ω ciąg realizacji ( ω ) = X ( ω) = X ( ω) X = K porządujemy rosąco i otrzymujemy z z K z.

3 Uwagi o graiczych rozładach estremalych statysty pozycyjych 9 W tym ciągu z jest realizacją zmieej losowej Oczywiście Defiicja. Zmieą losową Z ( ω ) = z. ( ) ( X X K X ) ( ) Z = ma ( X X X ) ( ) Z mi K =. ( ) Z + () Z tz. gdzie jest ustaloą liczbą aturalą = będziemy azywać -tą estremalą statystyą pozycyją. Mając zdefiiowae statystyi pozycyje ozaczmy ich rozład przez: ( ) ( ) ( + ) F ( = P Z < =. Łatwo zauważyć astępujący fat: Fat. Jeżeli (X X X ) są iezależymi zmieymi losowymi o jedaowym rozładzie to F ( ) ( = r = 0 r r ( ) ( ) r F ( = ( + ) u ( u) du. 0 Na podstawie powyższego fatu możemy w prosty sposób wyzaczyć rozłady masimum i miimum ciągu iezależych zmieych losowych. Mając dae rozłady estremalych statysty pozycyjych zajęto się badaiem ich rozładów graiczych. Oazuje się że jeżeli ciąg ma(x X X ) ma iezdegeerowaą dystrybuatę graiczą to jest oa jedej z trzech wymieioych w twierdzeiu. postaci. Poiższe twierdzeie zostało zaczerpięte z pracy Czeały (M. Czeała (00)) atomiast dowody tego twierdzeia moża zaleźć w pracach Resica i Giedei (S.I. Resic (987); B.W. Giedeo (943)). Twierdzeie. Niech { : ) } ω ( F) = sup <

4 9 Rafał Korzoe oraz { : ) 0} α ( F) = if >. Niech zmiee losowe X i (i = ) będą iezależe o dystrybuacie F. a) Załóżmy że ω(f) = + oraz że istieje taa stała γ > 0 że dla ażdego > 0 spełioy jest warue t γ lim =. t t) Wówczas istieje ciąg stałych b ( > 0) tai że b { ma( X X X ) < b } = H ( ) lim P K gdzie ciąg b może być postaci zaś H b = if : γ γ ep( ) dla > 0 ( = 0 dla 0. b) Załóżmy że f( > 0 w pewym przedziale ( 0 F ) oraz f( = 0 dla > F (f jest gęstością dystrybuaty F). Jeżeli to gdzie i ( ) ( ) lim F t f t = γ > 0 t F t) { ma( X X K X ) < a + b } = H ( ) lim P γ a = ω(f) b = ω ( F) if : γ

5 Uwagi o graiczych rozładach estremalych statysty pozycyjych 93 oraz H γ dla 0 ( = γ ep( ( ) dla < 0. c) Załóżmy że f ma ujemą pochodą f dla wszystich w pewym przedziale ) ( ) oraz f ( = 0 dla to F ( 0 F F > (zauważmy że dopuszczamy tutaj przedział ( 0 + ) ). Jeżeli f ( t)( t)) lim = t F f ( t) { ma( X X K X ) < a + b } = H ( ) lim P 3 0 gdzie ciągi liczbowe a i b mogą być postaci oraz gdzie i a = if : b = R( a ) R( t) = ( t)) ω( F ) ( t)) dy H ( 30 = ep( ep( ) R. t Zauważmy że powyższe twierdzeie podaje warui wystarczające aby dystrybuata graicza miała jedą z podaych trzech postaci. W literaturze te trzy lasy dystrybuat azywamy odpowiedio: dystrybuatami typu I typu II i typu III. Aalogiczie orzystając z rówości: ma( X X K X ) = mi( X X K X )

6 94 Rafał Korzoe moża wyazać że dystrybuatami graiczymi zmieych mogą być: Typ I: Typ II: Typ III: mi( X X L X L γ ep( ( = 0 ) γ ) > 0 < 0. Aby zilustrować przydatość twierdzeia rozważmy astępujący przyład. Przyład. Moża wyazać że do obszaru przyciągaia dystrybuaty typu I ależy dystrybuata postaci = + arctg π czyli dystrybuata rozładu Cauchy ego. a zatem γ Elemetarie wyazuje się że t lim = t t) R lim P{ ma( X X K X ) < b } = ep > 0. Stałe b moża wyzaczyć z relacji L b ep( ( ( = π π = tg. < 0 > 0. Przyładem iego rozładu ależącego do obszary przyciągaia typu I jest p.: rozład Pareto. Do obszaru przyciągaia dystrybuaty typu II ależą m.i.: rozład jedostajy oraz stadardowy rozład Placa atomiast do obszaru przyciągaia dystrybuaty typu III ależą m.i.: γ L ( 30 = ep( ep( ) R. )

7 Uwagi o graiczych rozładach estremalych statysty pozycyjych 95 rozład ormaly N(0 ) oraz rozład wyładiczy. Oazuje się taże że ie dla wszystich rozładów istieje zdegeerowaa dystrybuata graicza jedego z tych trzech typów. Przyładami mogą być rozład geometryczy oraz rozład Poissoa dla tórych przy dowolym wyborze stałych a i b prawdopodobieństwo zdarzeia ( X X X ) < a b ma K + wyosi 0 lub. Ja wspomiao a początu Smirow uogólił teorię graiczych rozładów masimum a przypade -tej statystyi estremalej. Mówi o tym poiższe twierdzeie zaczerpięte z pracy Czeały (M. Czeała (00)). Twierdzeie (rozład -tych statysty pozycyjych). Jeżeli dla pewych ciągów a b >0 oraz > zachodzi relacja wówczas dla zachodzi lim P ( ) { X < a + b } = H ( ) Z lim P + : = ma( X X K X { Z < a + b } = H ( gdzie H( jest jedą z dystrybuat masymalie stabilych (tz. H γ ( H γ ( oraz H 3 0 (). Poadto fucja H () ( ma postać: H ( ) ( = H ( t = 0 t! ) t ( l H ( ) Twierdzeie odwrote jest rówież prawdziwe. Zatem moża stwierdzić że przyależość dystrybuaty graiczej do daego obszaru przyciągaia determiuje postać rozładu -tej statystyi pozycyjej. Aalogiczie twierdzeie zachodzi dla miimów (M. Czeała (00)). Zajmiemy się teraz szacowaiem szybości zbieżości rozładów statysty pozycyjych do rozładów graiczych. Oazuje się że zagadieie to sprowadza się do szacowaia szybości zbieżości rozładu dwumiaowego do rozładu Poissoa. Poiższe dwa twierdzeia zajdujemy w pracy Dziubdzieli (W. Dziubdziela (977))..

8 96 Rafał Korzoe Twierdzeie 3. Jeżeli B( ; p) = 0 r< p r jest dystrybuatą rozładu dwumiaowego oraz wówczas gdzie 0 < p < r ( p) r * sup B( ; p) P( p) + p P ( p) C( p) < < C( p) = π ep(p)( p) ( p) p + p + p ep p + 9 ( p) 3 p 4 3 p. p Następe twierdzeie daje oszacowaie szybości zbieżości w twierdzeiu graiczym dla estremalych statysty pozycyjych. Twierdzeie 4. Jeżeli to dla ażdego = mamy < F ( y ) < ( ) F ( y ) Φ ( + p ( y) P ( p( y )) gdzie L( u ( ( )) ( )! p( y ) C p y + u e du p ( y ) = y ) L( = lim p( y ).

9 Uwagi o graiczych rozładach estremalych statysty pozycyjych 97 Dowody powyższych twierdzeń taże moża zaleźć w pracy Dziubdzieli (W. Dziubdziela (977)). 3. Podsumowaie Powyższe rozważaia miały a celu przybliżeie podstawowych twierdzeń i fatów dotyczących teorii rozładów graiczych estremalych statysty pozycyjych. Teoria ta jest często wyorzystywaa ie tylo w wspomiaych badaiach iezawodości ale rówież w wielu iych zagadieiach pratyczych. Przyładami taich zagadień opisaych w literaturze mogą być: badaie wytrzymałości materiałów (E.J. Gumbel (96)) badaie masymalego czasu czeaia a obsługę w teorii obsługi masowej (W. Whitt (974)) badaie masymalej długości oleje w teorii obsługi masowej (C.W. Aderso (970)) szacowaie masymalych przyborów wody w rzece (E.J. Gumbel (96)) obliczaie ośości ostrucji budowlaych (B. Kopocińsi Z. Kowal (97)) weryfiacja złożeń modelu Blaca-Scholesa w eoometrii (M. Czeała (00)). Literatura C.W. Aderso (970). Etreme value theory for a class of discrete distributios with applicatios to some stochastic processes. Joural of Applied Probability 7. M. Czeała (00). Statystyi pozycyje w modelowaiu eoometryczym. Wrocław. W. Dziubdziela (977). Rozłady graicze estremalych statysty pozycyjych. Matematya stosowaa. B.W. Giedeo (943). Sur la distributio limite du terme maimum d ue serie aleatorie. Aals of Mathematics 44. E.J. Gumbel (96). Statistics of etremes. New Yor. R. Harris (970). A applicatio of etreme value theory. Aals of Mathematical Statistics 4. B. Kopocińsi (973). Zarys teorii odowy i iezawodości. Warszawa.

10 98 Rafał Korzoe B. Kopocińsi Z. Kowal (97). Losowa ośość graicza ostrucji o dwóch miimalych rytyczych zbiorach elemetów mających elemety wspóle. Archiwum Iżyierii Lądowej 8. S.I. Resic (987). Etreme values regular variatio ad poit processes. New Yor. W. Whitt (974). Heavy traffic limit theorems for queues: A survey. Lecture Notes I Ecoomics ad Mathematical Systems 98. M.R. Leadbetter G. Lidgre H. Rootze (986). Etremes ad related properties of radom sequeces ad processes. Berli New Yor.