Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka jest złożonym rozkładem oissona: z liczbą szkód o wartości oczekiwanej λ oraz rozkładem wartości pojedynczej szkody Y takim że Ε( Y Λ = λ) = a + b λ gdzie a 0 oraz b > 0. Załóżmy że rozkład parametru ryzyka Λ w tej populacji jest rozkładem Gamma o gęstości danej na półosi dodatniej wzorem: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ) Γ( α) Oczywiście można bez trudu wyznaczyć (Y ) Ε Ε( Y Λ). Rzecz w tym że dużo Ε jako { } bardziej interesująca jest inna wielkość a mianowicie: Ε( Y + Y Y ) E( ) gdzie oznacza liczbę szkód zaś Y + Y Y ich łączną wartość z (losowo wybranego z populacji) ryzyka. Wielkość tę możemy interpretować jako wartość oczekiwaną pojedynczej szkody przypadkowo wylosowanej ze zbioru szkód które obserwujemy dla pewnej dużej grupy ryzyk losowo wybranych z populacji. Ε( Y + Y Y ) wynosi: E( ) (A) (B) (C) α + a + b β + ( α + ) a + b β ( β + ) α + a + b β α ( α + ) (D) a + b β ( α + ) (E) a + b β

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. iech X i oznacza wartość szkód z i-tegi ryzyka zaś W = X + X +... X n łączną wartość szkód z portfela ryzyk. Rozważa się niekiedy następującą formułę składki Π(W ) za portfel ryzyk W: u ε Π( W ) = μw + σw uε + γ W 6 gdzie u to kwantyl rzędu ( ε ) standaryzowanego rozkładu normalnego zaś ε μ W σw γ W to odpowiednio wartość oczekiwana wariancja i współczynnik skośności zmiennej W. Jeden ze sposobów wyceny indywidualnych ryzyk spójny z wyceną portfela opiera się na formule: Π X ) = μ + a Ε ( X μ )( W μ ) + b Ε ( X μ )( W μ ) ( i i i i W i i W X i { } { } gdzie μ i to wartość oczekiwana zmiennej. Dobierz stałe (a b) tej formuły tak aby zapewnić iż suma składek indywidualnych Π ( X i) zrówna się ze składką za cały portfel Π (W ). rzy założeniach że: uε = σ W = 0000; stałe (a b) wynoszą: (A) a = b = (B) a = 0.0 b = (C) a = 0.0 b = (D) a = b = (E) a = 0.0 b =

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 3. W pewnym portfelu ubezpieczeń występuje tendencja do dłuższego czasu likwidacji dużych szkód niż szkód małych. Oto prosty model tego zjawiska: Y D to wartość i czas opóźnienia likwidacji losowo wybranej szkody przy czym rozkład bezwarunkowy zmiennej D określamy następująco: D = 0 jeśli szkodę likwiduje się w tym samym kwartale kiedy do niej doszło D = jeśli szkodę likwiduje się w następnym kwartale D = jeśli szkodę likwiduje się jeszcze o kwartał później itd. a zależność wartości szkody i opóźnienia wyraża założenie że: k E ( Y D = k) = μ ( + w). Rozkład czasu likwidacji szkody w ujęciu ilościowym dany jest więc ciągiem: r k : = r( D = k) zaś rozkład czasu likwidacji szkody w ujęciu wartościowym dany jest ciągiem: rk E( Y D = k) rwk : = E( Y ) Załóżmy że zachodzi: k+ 3 k + r k = k k = 0... oraz: w =. 0 rw3 Wobec tego r wynosi (w przybliżeniu) (A) 0.97 (B) 0.98 (C) 0.99 (D).00 (E).0 3 3

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 4. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki z zerową nadwyżką początkową U t = ct gdzie: () S () t ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t t jest procesem oissona z parametrem intensywności λ () n S n = Y i jest sumą wartości n pierwszych szkód i= wartości szkód Y Y3... są i.i.d niezależne od procesu t O rozkładzie wartości pojedynczej szkody wiemy tylko tyle że: r( Y [ 0] ) = E( Y ) = / 4 Wobec tego wartość oczekiwana deficytu w momencie ruiny (pod warunkiem że do ruiny dojdzie) może przyjmować różne wartości. rzedział który zawiera wszystkie te wartości (i nic ponadto) jest postaci: Y ( ) (A) (B) (C) (D) (E)

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 5. Zmienna losowa: X = Y Y ma złożony rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ =. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika Y. W tejże tabeli podano także obliczone dla = prawdopodobieństwa r X = k. k ( ) k r ( Y = k ) r( X = k ) Wobec tego r ( X = 5) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) (B) (C) (D) 0.0 (E) 0. 5

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 6. W pewnym ubezpieczeniu liczby szkód 3... które w kolejnych latach generuje ubezpieczony charakteryzujący się wartością q parametru ryzyka Q to niezależne zmienne losowe o identycznym rozkładzie dwumianowym z prawdopodobieństwem zajścia szkody w pojedynczym roku równym q. Rozkład wartości parametru ryzyka Q w populacji ubezpieczonych dany jest na przedziale (0) gęstością: Γ( α + β ) α β f Q ( q) = q ( q) Γ( α) Γ( β ) z pewnymi nieznanymi dodatnimi parametrami ( α β ). Wiemy że: prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu jednego p 0 7 roku nie będzie miał szkody wynosi 0 prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu dwóch p 00 kolejnych lat nie będzie miał szkody wynosi Wobec tego wartości parametrów ( α β ) wynoszą: (A) ( α β ) = (3 7) (B) ( α β) = (6 4) (C) ( α β ) = (9 ) (D) ( α β ) = ( 8) (E) ( α β ) = (5 35). 6

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 7. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k r > μ + t σ ) <. k =... t > 0. k k t σ * Jeśli μ < wtedy istnieje taka liczba t że: 4 * dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo r X > μ + t σ otrzymujemy przyjmując k = * zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k =. σ < oraz t < ( ) Wiemy że zmienna losowa X jest sumą dwóch niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach: z zerową wartością oczekiwaną wariancją równą 4 oraz momentem centralnym czwartego rzędu równym 5 4. * Liczba t dla zmiennej losowej X wynosi: (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) (E) 7

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 8. rzyjmijmy że Y Y Y3... są niezależnymi zmiennymi losowymi przy czym: Y Y... mają identyczny rozkład taki że: Y3 r( Y 0) = 0 x > 0 r( Y x) < ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami ( r q) : r + k r k r( = k) = ( q) q k = 0... k q Zaś ma rozkład oissona z wartością oczekiwaną równą r q iech M oznacza maksimum spośród pierwszych wyrazów ciągu Y Y Y3... a dokładniej: 0 gdy = 0 M = max( Y Y... Y ) gdy > 0 Zaś niech M oznacza odpowiednio maksimum spośród pierwszych wyrazów ciągu Y Y...: M Y3 0 = max( Y Y... Y ) gdy gdy Wybierz zdanie które poprawnie charakteryzuje relację rozkładów zmiennych losowych M oraz M. = 0 > 0 (A) Dla dowolnych r > 0 oraz (0) (B) Dla dowolnych r > 0 oraz (0) q zachodzi: r( M < x) r( M < x > x 0 > ) q zachodzi: r( M < x) r( M < x > x 0 < ) (C) Dla dowolnego r > 0 można w przedziale (0) znaleźć zarówno takie q że r( M < x) > r( M < x) jak i takie q że r( M < x) < r( M < x) > x 0 (D) Dla dowolnych r > 0 oraz q (0) istnieje takie x 0 > 0 że r( M < x) > r( M < x) oraz r( M < x) < r( M < x) ( 0 x ) x 0 x > x0 (E) Dla dowolnych r > 0 oraz q (0) istnieje takie x 0 > 0 że r( M < x) < r( M < x) r M < x > r M x ( 0 x ) 0 > x 0 oraz ( ) ( < x) x > x0 8

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 9. Dwa nieobciążone predyktory i parametru ryzyka Θ mają błędy predykcji o wariancjach odpowiednio 9 i 4 a współczynnik korelacji liniowej tych błędów wynosi /3. Wariancja błędu predykcji w klasie predyktorów 3 ( z) zdefiniowanych następująco: 3 ( z) = z + ( z) z [ 0] osiąga wartość najmniejszą gdy współczynnik z jest równy: (A) 4/3 (B) /4 (C) /9 (D) / (E) 0 9

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 0. W pewnym ubezpieczeniu szkody zgłaszane są w tym samym roku w którym do nich doszło bądź w roku następnym (opóźnienie nigdy nie jest większe). iech oznacza liczbę szkód zaszłych w roku t i zgłoszonych jeszcze w tym roku zaś liczbę szkód zaszłych w roku t i zgłoszonych w roku następnym. Zakładamy że wszystkie zmienne... są niezależne przy czym zmienne:... mają rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ r mają rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ ( r) a koniec roku t = mamy następujące obserwacje:. 0 0 rzyjmujemy typowe założenie że oba parametry ( λ r) są nieznane. Estymator rˆ parametru r uzyskany metodą największej wiarygodności w oparciu o te dane wyraża się wzorem: t0 t (A) (B) (C) rˆ = rˆ = rˆ = (D) (E) rˆ = rˆ =

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 007 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko...k L U C Z O D O W I E D Z I... esel... Zadanie nr Odpowiedź unktacja C C 3 A 4 E 5 B 6 B 7 D 8 B 9 E 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.