Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków 4 14 Pierścienie Euklidesa 5 15 Ideały w pierścieniach 10 16 Pierścienie ilorazowe pierścieni wielomianów 12 1 Pierścienie i ciała 11 Definicja i przykłady Definicja 11 Niech P Trójke (P, +, ) nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione sa naste ce aksjomaty: P1 + : P P P oraz : P P P sa działaniami dwuargumentowymi określonymi w zbiorze P, tzn (a, b P ), a + b P i a b P P2 (P, +) jest grupa przemienna (tzw grupa addytywna pierścienia) P3 (a, b, c P ), a (b c) = (a b) c (operacja jest ła czna) P4 (a, b, c P ), a (b + c) = (a b) + (a c) oraz (b + c) a = (b a) + (c a) (obustronna rozdzielność wzgle dem +) Element neutralny w grupie (P, +) nazywamy zerem pierścienia i ozn 0, natomiast element odwrotny do elementu do a P ozn a i nazywamy elementem przeciwnym do elementu a Pierścień, którego jedynym elementem jest 0, nazywamy pierścieniem trywialnym Definicja 12 Pierścień (P, +, ) nazywamy przemiennym, jeśli (a, b P ), a b = b a Jeżeli istnieje w (P, +, ) element neutralny działania mnożenia, to oznaczamy go 1 i mówimy, że pierścień (P, +, ) jest pierścieniem z jedynka Definicja 13 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z jedynka Element b P nazywamy odwrotnym do elemntu a P i ozn a 1, jeżeli ab = ba = 1 Element a nazywamy wtedy elementem odwracalnym Przykład 14 Pierścienie liczbowe Pierścieniami (przemiennymi) sa naste ce zbiory liczbowe z działaniami dodawania i mnożenia: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) oraz (C, +, ) Przykład 15 Pierścienie reszt modulo n Niech n N Zbiór Z n wraz z działaniami + n i n tworzy pierścień przemienny (Z n, + n, n) 1

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 2 Przykład 16 Pierścienie macierzy Niech n N i (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Zbiór M n n (P ) wszystkich macierzy kwadratowych, stopnia n o elemetach a ij P wraz z operacjami dodawania i mnożenia macierzy tworzy pierścień (M n n (P ), +, ) Przykład 17 Pierścienie wielomianów Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Wielomianem zmiennej x nad pierścieniem (P, +, ) nazywamy wyrażenie p(x) postaci: p(x) := a 0 + a 1 x + + a n x n, gdzie a 0, a 1,, a n P, n N Zbiór P [x] = {a 0 + a 1 x + + a n x n a i P, n N} wraz z działaniami dodawania i możenia wielomianów p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n i q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m zdefiniowanymi naste co: p(x) + q(x) := max(m,n) k=0 i=0 (a i + b i )x i, m+n p(x) q(x) := c k x k, gdzie c k = a i b j i+j=k tworzy pierścień (P [x], +, ) wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia (P, +, ) Przykład 18 Pierścienie funkcji Niech X i (P, +, ) be dzie pierścieniem Zbiór P X := {f : X P } wszystkich funkcji określonych na X o wartościach w P z działaniami: dla f, g P X (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x) tworzy pierścień (P X, +, ) Elementem neutralnym dodawania jest funkcja stała f(x) = 0, dla x P, zaś elelmentem przeciwnym dla f P X jest funkcja ( f)(x) := f(x) Jeżeli pierścień (P, +, ) ma jedynke 1, to funkcja f(x) = 1, dla x P, jest jedynka w pierścieniu (P X, +, ) Przykład 19 Pierścienie endomorfizmów grup przemiennych Niech (G, +) be dzie grupa przemienna a End(G, +) zbiorem endomorfizmów grupy (G, +) Zbiór End(G, +) wraz z operacjami dodawania i składania funkcji tworzy pierścień (End(G, +), +, ) endomorfizmów grupy Jednościa tego pierścienia jest funkcja id G Twierdzenie 110 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem 1 (a, b, c P ), a (b c) = (a b) (a c) 2 (a P ), a 0 = 0 a = 0 3 (a, b P ), ( a) b = a ( b) = (a b) 4 (a, b P ), ( a) ( b) = a b 5 Jeśli (P, +, ) jest pierścieniem przemiennym i n N, to dla a, b P (a + b) n = n a k b n k k=0

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 3 12 Pierścienie całkowite Definicja 111 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Niezerowy element 0 a P nazywamy dzielnikiem zera, jeśli istnieje niezerowy element 0 b P taki, że a b = 0 Definicja 112 Nietrywialny pierścień przemiennym z 1 bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym Przykład 113 Pierścieniami całkowitymi sa wszystkie pierścienie liczbowe Natomiast pierścień (Z 4, + 4, 4) oraz pierścienie macierzy nie sa pierścieniami całkowitymi Twierdzenie 114 (Prawo skracania) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym, 0 a P, b, c P Wtedy a b = a c b = c Twierdzenie 115 Niech n N Pierścień (Z n, + n, + n ) jest pierścieniem całkowitym wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Definicja 116 Nietrywialny pierścień (P, +, ) z 1, w którym wszystkie niezerowe elementy tworza grupe (P, ) wzgle dem mnożenia nazywamy pierścieniem z dzieleniem (lub quasiciałem) Definicja 117 Przemienny pierścień z dzieleniem nazywamy ciałem Ciałami sa pierścienie liczbowe: (Q, +, ), (R, +, ) oraz (C, +, ) Twierdzenie 118 Każde ciało jest pierścieniem całkowitym Pierścień całkowity nie musi być ciałem np pierścień (Z, +, ) Twierdzenie 119 Każdy skończony pierścień całkowity jest ciałem Wniosek 120 Niech n N Pierścień (Z n, + n, + n ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Twierdzenie 121 (Wedderburna) Każdy skończony pierścień z dzieleniem jest ciałem Najważniejszym przykładem pierścienia z dzieleniem, który nie jest ciałem (nie jest przemienny) jest tzw pierścień kwaternionów Przykład 122 Pierścień kwaternionów Kwaternionami nazywamy elementy 4-wymiarowej przestrzeni wektorowej D nad ciałem liczb rzeczywistych R o bazie złożonej z wektorów, które oznaczymy przez: 1, i, j, k W zbiorze D określamy strukture pierścienia w naste cy sposób Dodawanie jest dodawaniem wektorów przestrzeni wektorowej (D, +, R), natomiast mnożenie : D D D jest dwuliniowym przekształceniem przestrzeni wektorowej jednoznacznie wyznaczonym przez podane niżej wartości na wektorach bazy: 1 1 = 1, 1 i = i = i 1, 1 j = j = j 1, 1 k = k = k 1 i i = j j = k k = 1 i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j Zerem pierścienia (D, +, ) jest wektor zerowy [0, 0, 0, 0], natomiast jedynka jest wektor bazowy 1 Pierścień (D, +, ) jest pierścieniem z dzieleniem Elementem odwrotnym do elementu 0 q = a 1 + b i + c j + d k jest element a 1+b i+c j+d k a 2 +b 2 +c 2 +d Ponieważ pierścień (D, +, ) nie jest przemienny, nie jest ciałem 2 Definicja 123 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i = S P (S, +, ) nazywamy podpierścieniem pierścienia (P, +, ), jeśli spełnione sa naste ce warunki: 1 (S, +) jest podgrupa grupy (P, +)

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 4 2 (a, b S), a b S 3 Jeżeli (P, +, ) jest pierścieniem z 1, to 1 S Jeśli (S, +, ) jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ), to (S, +, ) jest również pierścieniem Przykład 124 Pierścienie liczbowe (Z, +, ), (Q, +, ) i (R, +, ) sa podpierścieniami pierścienia (C, +, ) Zbiór rzeczywistych, kwadratowych macierzy diagonalnych jest podpierścieniem pierścienia macierzy rzeczywistych Uwaga 125 (S, +, ) jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b S, a b S oraz ab S Definicja 126 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i X P Najmniejszy podpierścień pierścienia (P, +, ), który zawiera zbiór X nazywamy podpierścieniem generowanym przez zbiór i ozn X Twierdzenie 127 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z 1, X P i a P Wtedy a X wtedy i tylko wtedy, gdy a jest suma skończonej liczby elementów postaci, ±a 1 a n oraz m 1 := 1 + + 1, gdzie n N, }{{} m razy m Z, a 1,, a n X Definicja 128 Niech (P, + P, P ) i (R, + R, R) be da pierścieniami Odwzorowanie f : P R nazywamy homomorfizmem pierścieni, jeśli dla dowolnych a, b P f(a + P b) = f(a) + R f(b), f(a P b) = f(a) R f(b) Jeśli pierścienie (P, + P, P ) i (R, + R, R) sa pierścieniami z jedynka, to również: f(1 P ) = 1 R Zanurzeniem pierścieni nazywamy homomorfizm różnowartościowy Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm różnowartościowy i na Jeśli istnieje izomorfizm mie dzy pierścieniami (P, +, ) i (R, +, ) to ozn P = R Przykład 129 1 Niech (P, +, ) i (R, +, ) be da pierścieniami Odwzorowanie f : P R, a 0 R jest tzw homomorfizmem zerowym pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) 2 Niech n N Odwzorowanie f : Z Z n, z (z) n jest homomorfizmem pierścienia liczb całkowitych (Z, +, ) w pierścień (Z n, + n, n) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i a P Przekształcenie jest endomorfizmem grupy (P, +) L a : P P ; L a (x) := a x Lemat 130 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z 1 Przekształcenie L: P End(P, +); a L a jest zanurzeniem (homomorfizmem różnowartościowym) pierścienia (P, +, ) w pierścień endomorfizmów (End(P, +), +, ) grupy (P, +) w siebie Twierdzenie 131 (Twierdzenie o reprezentacji dla pierścieni z 1) Każdy pierścień (P, +, ) jest izomorficzny z podpierścieniem pierścienia endomorfizmów swojej grupy przemiennej (P, +)

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 5 13 Ciało ułamków Twierdzenie 132 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Istnieje ciało (F (P ), +, ) takie, że 1 Pierścień (P, +, ) jest izomorficzny z pewnym podpierścieniem (P, +, ) ciała (F (P ), +, ) 2 Każdy element ciała (F (P ), +, ) można przedstawić w postaci p q 1 dla pewnych p, q P Ciało (F (P ), +, ) nazywamy ciałem ułamków pierścienia (P, +, ) Przykład 133 1 Jesli (P, +, ) = (Z, +, ) jest pierścieniem liczb całkowitych, to ciało ułamków (F (Z), +, ) jest ciałem (Q, +, ) liczb wymiernych 2 Ciało ułamków pierścienia wielomianów (R[x], +, ) nad ciałem liczb rzeczywistych, jest ciałem funkcji wymiernych Przykład 134 Ciało ułamków pierścienia Mikusińskiego Niech C[0, ) be dzie zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych ciagłych na przedziale [0, ) W zbiorze tym definiujmy operacje dodawania i mnożenia funkcji w naste cy sposób: (f + g)(x) := f(x) + g(x) (dodawanie funkcji) (f g)(x) := x 0 f(t)g(x t)dt (splot funkcji) (C[0, ), +, ) jest pierścienim przemiennym bez dzielników zera, ale nie posiada jedynki Mimo to, można dla tego pierścienia zbudować ciało ułamków dokładnie w taki sam sposób, w jaki budowało sie ciało ułamków dla pierścienia całkowitego Jako pierwszy ciało ułamków pierścienia (C[0, ), +, ) skonstruował polski matematyk Jan Mikusiński Elementy f g ciała ułamków pierścienia (C[0, ), +, ) nazywane sa funkcjami uogólnionymi, dystrybucjami ba dź operatorami Jednościa tego ciała jest operator δ (zwany funkcja delta) o naste cych własnościach: δ(x) = 0, dla x 0 δ(x)dx = 1 Operator δ(x) wprowadził w 1926r P Dirac i zastosował do rozwia zywania pewnych problemów w mechanice kwantowej Twierdzenie 135 Jeżeli pierścienie (P, +, ) i (R, +, ) sa izomorficzne, to ich ciała ułamków (F (P ), +, ) i (F (R), +, ) również sa izomorficzne 14 Pierścienie Euklidesa Twierdzenie 136 Algorytm dzielenia dla liczb całkowitych Niech a, b Z, b 0 Istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby całkowite q, r Z takie, że a = qb + r oraz 0 r < b Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia a przez b, natomiaste liczbe q nazywamy ilorazem Twierdzenie 137 Algorytm dzielenia dla wielomianów Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech f(x), g(x) F [x] Jeżeli g(x) nie jest wielomiamen zerowym, to istnieja jednoznacznie wyznaczone wielomiany q(x), r(x) F [x] takie, że f(x) = q(x)g(x) + r(x), gdzie albo r(x) jest wielomianem zerowym albo str(x) < stg(x) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym, p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n P [x] oraz a P Wówczas p(a) definiujemy jako naste cy element pierścienia i nazywamy wartościa wielomianu w punkcie a p(a) := a 0 + a 1 a + + a n a n P

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 6 Twierdzenie 138 Twierdzenie o reszcie Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech a F W pierścieniu (F [x], +, ) reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian x a jest równa f(a) Twierdzenie 139 (Bézout) Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech a F W pierścieniu (F [x], +, ) wielomian x a jest czynnikiem wielomianu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(a) = 0 Definicja 140 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Element a P nazywamy pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x], jeśli f(a) = 0 Jeśli pierścień (P, +, ) jest ciałem, to na mocy Twierdzenia Bézout, a P jest pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian x a jest czynnikiem f(x) Twierdzenie 141 Niech n N Wielomian stopnia n nad ciałem (F, +, ) ma co najwyżej n pierwiastków w ciele (F, +, ) Definicja 142 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b P Powiemy, że b dzieli a (lub b jest czynnikiem a) i ozn b a, jeśli (q P ) a = q b Twierdzenie 143 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b, c P Wtedy 1 a b, a c a (b + c), 2 a b a bp, dla dowolnego p P, 3 a b, b c a c Definicja 144 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b P Element g P nazywamy najwie kszym wspólnym dzielnikiem a i b i ozn NWD(a, b) lub (a, b), jeśli 1 g a i g b, 2 dla każdego elementu c P, jeśli c a i c b, to c g Element l P nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa a i b i ozn NWW(a, b) lub [a, b], jeśli 1 a l i b l, 2 dla każdego elementu k P, jeśli a k i b k, to l k Definicja 145 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Funkcje d: P N {0}, spełniaja ca dla dowolnych elementó 0 a, b P naste cy warunek: d(a) d(ab), nazywamy norma w pierścieniu (P, +, ) Liczbe d(a) nazywamy norma elementu a P Definicja 146 Pierścieniem Euklidesa nazywamy pierścień całkowity (P, +, ) z norma, w którym zachodzi Algorytm dzielenie, tzn dla każdej pary elementów a, b P, b 0, istnieja elementy q, r P takie, że a = qb + r, gdzie r = 0 lub d(r) < d(b) Przykład 147 Pierścieniami Euklidesa sa : 1 Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ), z norma d(a) = a 2 Każde ciało (F, +, ), z norma d(a) = 1, dla a 0 3 Pierścień wielomianów (F [x], +, ) o współczynnikach w ciele (F, +, ), z norma d(f(x)) = stf(x) Twierdzenie 148 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa Wtedy dla dowolnych elementów a, b P istnieje ich najwie kszy wspólny dzielnik Ponadto, istnieja elementy s, t P takie, że NWD(a, b) = sa + tb (1481)

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 7 Twierdzenie 149 Algorytm Euklidesa Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa, a, b P i b 0 Powtarzaja c wielokrotnie algorytm dzielenia, dla pewnych q 1,, q k+1, r 1,, r k P otrzymujemy: a = bq 1 + r 1, d(r 1 ) < d(b) b = r 1 q 2 + r 2, d(r 2 ) < d(r 1 ) r 1 = r 2 q 3 + r 3, d(r 3 ) < d(r 2 ) r k 2 = r k 1 q k + r k, d(r k ) < d(r k 1 ) r k 1 = r k q k+1 + 0 Jeśli r 1 = 0, to a = bq 1 i NWD(a, b) = b Jeśli r 1 0, to NWD(a, b) = r k Przykład 150 Niech a(x) = x 5 + 2, b(x) = 2x 4 + 2 Z 3 [x] Wtedy x 5 + 2 = (2x)(2x 4 + 2) + (2x + 2), st(2x + 2) < st(2x 4 + 2) 2x 4 + 2 = (x 3 + 2x 2 + x + 2)(2x + 2) + 1, st1 < st(2x + 2) 2x + 2 = (2x + 2) 1 + 0 Zatem w pierścieniu (Z 3 [x], +, ) mamy NWD(x 5 + 2, 2x 4 + 2) = 1 Ponadto 1 = (2x 4 + 2)(2x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1) + (x 5 + 2)(2x 3 + x 2 + 2x + 1) Twierdzenie 151 Niech n N i a, b Z Równanie ax + ny = b ax n b (1511) ma rozwia zanie x, y Z wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) b Jeśli isnieje rozwia zanie równania (1511), to istnieje NWD(a, n) rozwia zań x Z n Przykład 152 Równanie 15x + 36y = 3 15 36 3 ma w zbiorze liczb całkowitych rozwia zanie, gdyż NWD(15, 36) = 3 3 Sa 3 rozwia zania x Z 36 Sa to liczby: 5, 17 i 29 Twierdzenie 153 Niech p q N be da liczbami pierwszymi Niech n := pq, k := (p 1)(q 1) i niech d Z be dzie taka, że NWD(d, k) = 1 Niech ponadto e Z be dzie całkowitym rozwia zaniem równania dx k 1 Wtedy dla dowolnej liczby całkowitej b Z, zachodzi b ed n b Przykład 154 System kryptograficzny z kluczem publicznym Rozważmy grupe osób, z których każda chce wysłać tajna wiadomość do dowolnej innej Załóżmy, że wiadomość, która ma być wysłana ma postać numeryczna Na przykład każda wiadomość tekstowa można traktować jako bloki m liter alfabetu łacińskiego (przyjmujemy, że składa sie on z 26 znaków) Wtedy każdy blok m liter można przedstawić jako rozwinie cie liczby całkowitej przy podstawie 26 Po takim przekształceniu jednostka tekstu długości m jest dodatnia liczba całkowita nie wie ksza niż N = 26 m (W praktyce liczba N ma od 200 do 600 znaków) Zasada funkcjonowani systemu: Dowolna osoba z grupy, powiedzmy użytkownik A, wybiera dwie bardzo duże liczby pierwsze p i q w taki sposób, żeby ich iloczyn n A = pq był wie kszy od N Dodatkowo znajduje liczby d A i e A (tego samego rze du wielkości co n) takie, że (d A, k) = 1, gdzie k = (p 1)(q 1) oraz d A e A k 1 Pare (n A, e A ) zwana kluczem publicznym (osoby A) podaje do wiadomości wszystkich, natomiast liczby p, q i d A zachowuje w sekrecie

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 8 Inny użytkownik, nazwijmy go B, który chce wysłać wiadomość w do osoby A, sprawdza jej klucz publiczny, oblicza s na w e A i wysyła s do A Aby odszyfrować wiadomość, A posługuje sie swoim tajnym kluczem deszyfruja cym, którym jest liczba d A Na mocy poprzedniego zadania oryginalna wiadomość w na s d A Bezpieczeństwo takiej metody szyfrowania gwarantuje fakt, że bez znajomości liczb pierwszych p i q nie wydaje sie możliwe znalezienie deszyfruja cego wykładnika d A Złamanie szyfru jest prawdopodobnie tak trudne, jak rozkład wielkiej liczby naturalnej n A na czynniki System z kluczem publicznym został opracowany przez R Rivest a, A Shamir a i L Adleman a w roku 1977, i znany jest obecnie pod nazwa systemu RSA Definicja 155 Niech (R, + R, R) i (S, + S, S) be da pierścieniami Produktem prostym tych pierścieni jest pierścień (R S, +, ), w którym operacje określone sa naste co: (r 1, s 1 ) + (r 2, s 2 ) := (r 1 + R r 2, s 1 + S s 2 ), (r 1, s 1 ) (r 2, s 2 ) := (r 1 R r 2, s 1 S s 2 ) Zerem w pierścieniu (R S, +, ) jest para (0 R, 0 S ) Jeśli (R, + R, R) i (S, + S, S) sa pierścieniami z jednościa to para (1 R, 1 S ) jest jedynka pierścienia (R S, +, ) Twierdzenie 156 Niech n, m N Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m, n) = 1 (Z mn, + nm, nm ) = (Z n, + n, n) (Z m, + m, m) Twierdzenie 157 Niech m = m 1 m 2 m r, gdzie NWD(m i, m j ) = 1, gdy i j Wtedy (Z m, + m, m) = (Z m1, + m1, m1 ) (Z mr, + mr, mr ) Wniosek 158 Niech n = p k 1 1 pk m m N, gdzie p 1,, p m sa różnymi liczbami pierwszymi Wówczas (Z n, + n, n) = (Z p k 1 1, + p k 1 1, pk 1 1 ) (Z p km m, + p km m, pkm m ) Twierdzenie 159 Chińskie Twierdzenie o resztach Niech m = m 1 m 2 m r, gdzie NWD(m i, m j ) = 1, gdy i j, a 1,, a r Z Wtedy układ kongruencji x m1 a 1 x m2 a 2 x mr ma zawsze rozwia zanie całkowite Ponadto, jeśli b jest rozwia zaniem układu kongruencji, to każde inne rozwia zanie z spełnia warunek z m b (tzn rozwia zanie jest jednoznaczne w pierścieniu (Z m, + m, m)) Przykład 160 Liczby m 1 = 2, m 2 = 3 i m 3 = 5 sa parami wzgle dnie pierwsze, zatem układ kongruencji x 2 0 x 3 1 x 5 2 ma (jednoznaczne w pierścieniu (Z 30, + 30, 30 )) rozwia zanie x 30 22 Niech m = m 1 m 2 m r Z, gdzie (m i, m j ) = 1, gdy i j a r

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 9 Definicja 161 Reprezentacja modularna liczby x Z m nazywamy układ (a 1, a 2,, a r ) liczb całkowitych dodatnich taki, że dla 1 i r, x mi a i Ponieważ pierścienie (Z m, + m, m) i (Z m1, + m1, m1 ) (Z mr, + mr, mr ) sa izomorficzne, to każda liczba 0 x < m ma taka jednoznaczna reprezentacje modularna Przykład 162 Każda liczba całkowita x Z 30 ma jednoznaczna reprezentacje przez swoje reszty modulo 2, 3 i 5 Taka reprezentacja przez reszty odpowiada izomorfizmowi pierścieni: Z 30 Z 2 Z 3 Z 5 ; x ((x) 2, (x) 3, (x) 5 ) Przypomnijmy, w pierścieniu (P, +, ) z 1, element p P jest odwracalny, jeśli istnieje taki element v P, że pv = vp = 1 Przykład 163 1 Jeżeli (P, +, ) jest ciałem, to każdy niezerowy element 0 p P jest odwracalny 2 W pierścieniu (Z, +, ) elementami odwracalnymi sa 1 i 1 3 Niech (F, +, ) be dzie ciałem Elementami odwracalnymi w pierścieniu (F [x], +, ) sa wszystkie niezerowe wielomiany stałe, czyli 0 f F 4 W pierścieniu Gaussa (Z[i], +, ) elementami odwracalnymi sa : 1, 1, i, i Definicja 164 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Elementy a, b P nazywamy stowarzyszonymi, co oznaczamy a b, jeśli a b i b a Relacja stowarzyszenia jest relacja równoważności Przykład 165 1 W pierścieniu (Z, +, ) elementami stowarzyszonymi sa 1 i 1 2 W pierścieniu (Z[i], +, ) elementami stowarzyszonymi sa : i oraz i Uwaga 166 Elementy odwracalne w pierścieniu całkowitym sa to elementy stowarzyszone z 1 Lemat 167 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Elementy a, b P sa stowarzyszone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny element u P taki, że a = ub Definicja 168 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Nieodwracalny element p P nazywamy nierozkładalnym, jeśli zachodzi naste cy warunek: jeśli p = ab to a lub b jest odwracalny w pierścieniu (P, +, ) Przykład 169 W pierścieniu (Z, +, ) elementami nierozkładalnymi sa liczby pierwsze i liczby przeciwne do liczb pierwszych Twierdzenie 170 O jednoznaczności rozkładu Każdy niezerowy element pierścienia Euklidesa jest albo odwracalny albo jest iloczynem skończonej liczby elementów nierozkładalnych Czynniki takiego iloczynu wyznaczone sa jednoznacznie z dokładnościa do ich kolejności i z dokładnościa do relacji stowarzyszenia Pierścienie spełniaja ce warunek sformułowany w powyższym twierdzeniu nazywaja sie pierścieniami z jednoznacznościa rozkładu Wniosek 171 Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ), pierścienie wielomianów nad ciałami i pierścień Gaussa (Z[i], +, ) maja własność jednoznaczności rozkładu Przykład 172 W pierścieniu (Z( 3) := {a + bi 3 a, b Z}, +, ) mamy: 4 = 2 2 = (1 + 3)(1 3) (1721) Można sprawdzić, że każdy z elementów: 2, 1 + 3, 1 3 jest nierozkładalny w pierścieniu (Z( 3), +, ) Sta d pierścień ten nie ma własności jednoznaczności rozkładu i nie może być pierścieniem Euklidesa

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 10 Definicja 173 Niech (F, +, ) be dzie ciałem Wielomian f(x) F [x] stopnia dodatniego jest rozkładalny nad ciałem (G, +, ), jeśli jest iloczynem dwóch wielomanów stopnia dodatniego o współczynnikach w ciele (G, +, ) Wielomian f(x) F [x] jest nierozkładalny nad ciałem (G, +, ), jeśli f(x) nie da sie przedstawić w taki sposób Przykład 174 Poje cie rozkładu wielomianu zależy od ciała Wielomian x 2 + 1 jest nierozkładalny nad ciałem liczb rzeczywistych, ale ten sam wielomian jest rozkładalny nad ciałem liczb zespolonych Wielomian f(x) F [x] nierozkładalny nad ciałem (F, +, ) jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu (F [x], +, ) Definicja 175 Ciało (F, +, ) maja ce te własność, że każdy wielomain f(x) F [x] stopnia dodatniego ma w ciele (F, +, ) wszystkie pierwiastki, nazywa sie ciałem algebraicznie domknie tym W ciele algebraicznie domknie tym jedynymi nierozkładalnymi wielomianami sa wielomiany liniowe Twierdzenie 176 Zasadnicze twierdzenie algebry Jeżeli f(x) C[x] jest wielomianem stopnia dodatniego, to f(x) ma pierwiastek należa cy do ciała (C, +, ) Wniosek 177 Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknie te Twierdzenie 178 1 Jedynymi nierozkładalnymi wielomianami w (C[x], +, ) sa wielomiany stopnia 1 2 Jedynymi nierozkładalnymi wielomianami w (R[x], +, ) sa wielomiany stopnia pierwszego i wielomiany stopnia drugiego ax 2 + bx + c, dla których b 2 < 4ac 15 Ideały w pierścieniach Definicja 179 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Podzbiór = I P nazywamy ideałem pierścienia (P, +, ), jeśli spełnione sa naste ce warunki: 1 (I, +) jest podgrupa grupy (P, +); 2 (x I) (p P ) xp, px I Przykład 180 I = {0} oraz I = P sa ideałami pierścienia (P, +, ) Sa to tzw ideały trywialne Uwaga 181 Niech I be dzie ideałem pierścienia (P, +, ) Wtedy, jeśli 1 I, to I = P Twierdzenie 182 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym z 1 i a P Zbiór (a) := {ap p P } jest ideałem pierścienia (P, +, ) zwanym ideałem głównym generowanym przez element a Przykład 183 całkowitych 1 Niech n N Zbiór (n) = nz = {nz z Z} jest ideałem głównym w pierścieniu liczb 2 Zbiór (x) = {x p(x) p(x) R[x]} jest ideałem głównym w pierścieniu (R[x], +, ) Jest to zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, których pierwiastkiem jest 0 Definicja 184 Pierścień przemienny, w którym wszystkie ideały sa główne nazywamy pierścieniem ideałów głównych Twierdzenie 185 Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych Wniosek 186 Pierścieniami ideałów głównych sa : 1 pierścien (Z, +, ) liczb całkowitych, 2 pierścień wielomianów (F [x], +, ) o współczynnikach w ciele (F, +, )

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 11 Wniosek 187 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa Wtedy 1 (a, b P ) (q, r P ) a = qb + r, gdzie r = 0 lub d(r) < d(b) 2 (a, b P ) istnieje najwie kszy wspólny dzielnik elementów a i b 3 Pierścień (P, +, ) ma własność jednoznaczności rozkładu 4 Pierścień (P, +, ) jest pierścieniem ideałów głównych Twierdzenie 188 Niech I be dzie ideałem pierścienia (przemiennego) (P, +, ) Zbiór warstw P/I wraz z operacjami: dla p 1, p 2 P (p 1 /I) + (p 2 /I) := (p 1 + p 2 )/I, (p 1 /I) (p 2 /I) := (p 1 p 2 )/I jest pierścieniem (przemiennym) (P/I, +, ) zwanym pierścieniem ilorazowym pierścienia (P, +, ) przez ideał I Przykład 189 Zbiór I = (2) = {2z z Z 6 } = {0, 2, 4} jest ideałem głównym (generowanym przez 2) w pierścieniu (Z 6, + 6, 6) Ideał I określa w pierścieniu (Z 6, + 6, 6) dwie warstwy: I = {0, 2, 4} oraz 1/I = {1, 3, 5} Sta d Z 6 /I = {I, 1/I} oraz + I 1/I I I 1/I 1/I 1/I I I 1/I I I I 1/I I 1/I Twierdzenie 190 Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Ja dro Kerh = h 1 ({0}) = {p P h(p) = 0} jest ideałem pierścienia (P, +, ) Każdy ideał I pierścienia (P, +, ) jest ja drem homomorfizmu naturalnego: π : P P/I; p p/i Uwaga 191 Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Obraz Imh = {h(p) p P } jest podpierścieniem pierścienia (R, +, ) Twierdzenie 192 (Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni) Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Wtedy pierścień ilorazowy (P/I, +, ) jest izomorficzny z pierścieniem (Imh, +, ) Przykład 193 Odwzorowanie h : Z[x] Z; f(x) f(0) jest homomorfizmem z pierścienia (Z[x], +, ) w pierścień liczb całkowitych (Z, +, ) Ponadto, Kerh = {x f(x) f(x) Z[x]} = (x) oraz Imh = Z Zatem na mocy twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni, pierścienie (Z[x]/(x), +, ) i (Z, +, ) sa izomorficzne Przykład 194 Przekształcenie h : Z Z n ; z (z) n jest homomorfizmem z pierścienia (Z, +, ) w pierścień (Z n, + n, n) Ponadto, Kerh = (n) oraz Imh = Z n Sta d pierścień ilorazowy (Z/(n), +, ) jest izomorficzny z pierścieniem (Z n, + n, n) Twierdzenie 195 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa i a P Pierścień ilorazowy (P/(a), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu (P, +, ) Przykład 196 Wielomian x 2 1 jest rozkładalny nad ciałem liczb wymiernych Sta d w pierścieniu ilorazowym (Q[x]/(x 2 1), +, ), elementy x + 1/(x 2 1) oraz x 1/(x 2 1) sa dzielnikami zera: x + 1/(x 2 1) x 1/(x 2 1) = (x + 1)(x 1)/(x 2 1) = x 2 1/(x 2 1) = 0/(x 2 1) Zatem pierścień (Q[x]/(x 2 1), +, ) nie jest ciałem Wniosek 197 Pierścień (Z n, + n, n) = (Z/(n), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Wniosek 198 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x) F [x] Pieścień ilorazowy (F [x]/(p(x)), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p(x) jest wielomianem nierozkładalnym nad (F, +, )

1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 12 16 Pierścienie ilorazowe pierścieni wielomianów Lemat 199 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x), f(x), g(x) F [x] Wtedy f(x) (p(x)) g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany f(x) i g(x) maja te same reszty przy dzieleniu przez p(x) Twierdzenie 1100 Niech (F, +, ) be dzie ciałem, p(x) F [x] i stp(x) = n > 0 Każdy element pierścienia ilorazowego (F [x]/(p(x)), +, ) można przedstawić w dokładnie jeden sposów w postaci: gdzie a 0, a 1,, a n 1 F (a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 )/(p(x)), Jeśli nie be dzie prowadzić to do nieporozumień, elementy pierścienia ilorazowego (F [x]/(p(x)), +, ) be dziemy przedstawiać jako wielomiany a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1, zamiast jako warstwy (a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1 )/(p(x)) Uwaga 1101 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x) F [x] Pierścień ilorazowy (F [x]/(p(x)), +, ) zawsze zawiera podpierścień izomorficzny z ciałem (F, +, ) Przykład 1102 Niech p(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x] Wtedy Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) = {a 0 + a 1 x a 0, a 1 Z 2 } = {0, 1, x, x + 1} oraz + 0 1 x x + 1 0 0 1 x x + 1 1 1 0 x + 1 x x x x + 1 0 1 x + 1 x + 1 x 1 0 0 1 x x + 1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x + 1 x 0 x x + 1 1 x + 1 0 x + 1 1 x Przykład 1103 Niech p(x) = x 2 +1 = (x + 1)(x+1) Z 2 [x] Wtedy Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) = {a 0 + a 1 x a 0, a 1 Z 2 } = {0, 1, x, x + 1} oraz + 0 1 x x + 1 0 0 1 x x + 1 1 1 0 x + 1 x x x x + 1 0 1 x + 1 x + 1 x 1 0 0 1 x x + 1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x + 1 x 0 x 1 x + 1 x + 1 0 x + 1 x + 1 0