Sto zadań o homologiach

Sto zadań o homologiach Stefan Jackowski 20 maja 2007 Aksjomaty teorii homologii i kohomologii Definicja. Teorią homologii na kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych T (lub jej podkategorii zamkniętej ze względu na zawieszenie i operację stożka przekształcenia) nazywamy ciąg funktorów kowariantnych h q : T Ab gdzie q Z takich, że 1. Homotopia [H]. Jeśli f g : X Y, to h q (f) = h q (g) : h q (X) h q (Y ) 2. Dokładność [D] Dla dowolnego f : X Y ciąg h q (X) h q (Y ) h q (C f ) jest dokładny 3. Zawieszenie [S] Dla dowolnego q dana jest naturalna równoważność σ q : h q (X) h q+1 (ΣX) 4. Addytywność [A] Funktory h q zachowują sumy proste. Oznaczenie: h (X) := h q (X) oraz h := h (S 0 ) i tę grupę (z gradacją) nazywamy współczynnikami teorii h. Teoria homologii nazywa się klasyczna jeśli h q (S 0 ) = 0 dla q 0. Z 1. Podaj aksjomaty teorii kohomologii, zastępując funktory kowariantne h q funktorami kontrawariantnymi h q. Z 2. Dla skończonych sum prostych (bukietów) w kategorii T op aksjomat [A] wynika z pozostałych. Z 3. Dla dowolnej teorii homologii h określonej na punktowanych przestrzeniach definiujemy funktory h (X) := h (X + ) na kategorii przestrzeni bez wyróżnionego punktu (X + := X pt). Istnieje naturalny izomorfizm na kategorii punktowanych przestrzeni h (X) h (X) h. Wykonać analogiczną konstrukcję dla teorii kohomologii. Uwaga. Funktor h ( ) nazywa się często teorią zredukowaną, a h ( ) niezredukowaną. Z 4. Aksjomaty Eilenberga-Steenroda. Teorią homologii określoną na kategorii par przestrzeni T 2 nazywamy ciąg funktorów h q : T 2 Ab oraz transformacji naturalnych δ : h q (X, A) h q 1 (A) (oznaczamy h q (A, ) =: h q (A) takich, że: 1. Homotopia [H]. Jeśli f g : (X, A) (Y, B), to h q (f) = h q (g) : h q (X, A) h q (Y, B) 2. Dokładność [D] Dla dowolnej pary (X, A) ciąg jest dokładny... h q (A) h q (X) h q (X, A) h q 1 (A)... 3. Wycinanie [W] Dla dowolnej pary (X, A) i podzbioru otwartego U A takiego, że Ū int(a) włożenie indukuje izomorfizm h (X \ U, A \ U) h (X, A). 1

4. Addytywność [A] Funktory h q zachowują sumy proste. Wykazać, że istnieje wzajemna odpowiedniość między teoriami h a teoriami spełniającymi aksjomaty Eilenberga-Steenroda. Z 5. Jeśli A X jest korozwłóknieniem, to projekcja p : (X, A) (X/A, ) indukuje izomorfizm w dowolnej teorii (ko-)homologii. Z 6. Z ciągu Puppe wydedukuj, że dla dowolnego f : X Y istnieje długi ciąg dokładny homologii (odp. kohomologii)... h q (X) h q (Y ) h q (C f ) h q 1 (X).... Z 7. Ciąg Mayera-Vietorisa Niech X : X 1 X 2 przy czym włożenia X 12 X i dla i = 1, 2 są korozwłóknieniami. Wtedy istnieje długi ciąg dokładny:... h q (X 12 ) h q (X 1 ) h q (X 2 ) h q (X) h q 1 (X 12 )... Zauważyć, że aksojomaty [D] oraz [Z] można zastąpić aksjomatem ciągu Meyera-Vietorisa [MV]. Z 8. Niech X i Y będą dobrze punktowanymi przestrzeniami (tzn. włożenie punktu wyróżnionego jest korozwłóknieniem). Dla dowolnego q mamy ciąg dokładny 0 h q (X) h q (Y ) h q (X Y ) h q (X Y ) 0 Z 9. Dla dowolnej teorii homologii (odp. kohomologii), przekształcenia f : S n S n i przestrzni Xhomomorfizm indukowany f : h (S n X) h (S n X) jest mnożeniem przez deg(f). Z 10. Jeśli h jest teorią homologii a M dowolną przestrzenią punktowaną, to funktor h M (X) := h (X M) też jest teorią homologii. Jakie są jej współczynniki? Ważny przykład. Niech M(Z n ) := D 2 n S 1 gdzie n : S 1 S 1 oznacza przekształcenie stopnia n (tzw. przestrzeń Moore a). Wtedy definiujemy h q (X; Z n ) := h q+1 (X M(Z n ) i nazywamy teorią h ze współczynnikami w grupie Z n. Z 11. Jeśli F : Ab Ab jest funktorem dokładnym (tzn. zachowuje ciągi dokładne np.lokalizacja) i zachowującym sumy proste to h F (X) := F ( h (X)) jest teorią homologii. Jeśli F jest funktorem kontrawariantnym (np. Hom(, k) gdzie k jest ciałem), to h F (X) := F ( h (X)) jest teorią kohomologii. Z 12 (Lemat Milnora.). Niech X 1 X 2 X 3... X będzie wstępującym ciągiem podprzestrzeni takim, że X = colim X i oraz włożenia są korozwłóknieniami. Wtedy dla dowolnej teorii homologii (a nawet funktora półdokładnego) h (X) = colim h (X i ). W przypadku teorii singularnej założenie o korozwłóknieniach nie jest potrzebne. Uwaga. Analogiczny fakt dla teorii kohomologii wymaga wprowadzenia funktora pochodnego granicy odwrotnej. Homologie i spektra Z 13. Obiektami (naiwnej) kategorii spektrów są spektra tzn. ciągi punktowanych przestrzeni i odwzorowań (E n, ɛ n ) gdzie ɛ n : ΣE n E n+1 a odwzoraniami ciągi odwzorowań f n : E n F n przemienne z ɛ n (ew. z dokładnością do homotopii). Dowolne odwzorowanie spektrów f : E F indukuje homomorfizm odpowiadających tym spektrom teorii homologii i kohomologii, przy czym jeśli każde f n jest homotopijną równoważnością, to odwzorowanie indukowane jest izomorfizmem teorii homologii i kohomologii. Z 14. Zbadać istnienie sum prostych i produktów w kategorii spektrów. Z 15. Udowodnić szczegółowo, w jaki sposób spektrum wyznacza teorię homologii i kohomologii. Z 16. Dla dwóch spektrów definiujemy nowe spektrum (E F ) n := E n F n. Wykazać, że (E F )(X) Ẽ (X) F (X). 2

Grupy homologii i kohomologii CW-kompleksów Z 17. Jeżeli Φ : h k jest transformacją naturalną teorii homologii (odp. kohomologii) taką, że dla pewnej sfery S n homomorfizm Φ : h (S n ) k (S n ) jest izomorfizmem, to dla dowolnego (skończonego) CW-kompleksu X, Φ(X) jest izomorfizmem. Uwaga. Aksjomat [A] implikuje, że Φ(X) jest izomorfizmem także dla nieskończonych CW-kompleksów (lemat Milnora). Z 18. Jeśli h jest klasyczną teorią homologii to dla dowolnej liczby naturalnej n i CW-kompleksu X homologie h (X; Z n ) są izomorficzne z grupami homologii kompleksu łańcuchowego... C q (X) Z n C q (X) Z n... gdzie C (X) jest kompleksem komórkowym CW-kompleksu X. Z 19. Obliczyć grupy homologii i kohomologii klasycznych ze współczynnikami w grupach Z, Z n oraz Q dla znanych CW-kompleksów (powierzchni, przestrzeni rzutowych, produktów sfer itp.) Obliczyć homomorfizmy indukowane przez dobrze znane przekształcenia między tymi przestrzeniami (w szczególności przekształcenia z tw. Hopfa M S dim M, standardowe nakrycia.) Z 20. Oblicz (ko)homologie tzw. obciętych przestrzeni rzutowych RP (n)/rp (m) dla m < n. Z 21. Przekształcenie f : S n S n nazwiemy parzystym, jeśli f(x) = f( x) dla każdego x S n. Udowodnij, że parzyste przekształcenie musi mieć parzysty stopień. Co więcej, jeśli n jest parzyste, to deg f = 0. Zauważ, że dla nieparzystego n istnieją parzyste przekształcenia dowolnego parzystego stopnia. Wskazówka: Skorzystać z poprzedniego zadania. Z 22. Niech A będzie dowolną grupą z gradacją, taką że A 0 = Z. Zbudować CW-kompleks X taki, że H (X; Z) A. Czy można zrealizować dowolny homomorfizm między grupami z gradacją? Moduły z gradacją, filtracją i różniczką. Homologie kompleksów łańcuchowych Definicja. Niech R będzie pierścieniem przemiennym. R-modułem (krótko modułem) z Z-gradacją (krótko gradacją) nazywamy ciąg modułów M i gdzie i Z lub - równoważnie - moduł M wraz z rodziną podmodułów M i M takich, że M q M. Homomorfizmem modułów z gradacją stopnia n Z nazywamy rodzinę homomorfizmów f i : M i M i+n. Definicja. Modułem z różniczką nazywa się moduł M wraz z homomorfizmem : M M takim, że 2 = 0. Definiujemy moduł homologii H(M, ) := ker / im. Definicja. Moduł z gradacją i różniczką stopnia 1 nazywa się kompleksem łańcuchowym, a z różniczką stopnia +1 kompleksem kołańcuchowym. Moduły homologii kompleksu łańcuchowego są modułami z gradacją. Grupy homologii kompleksu kołańcuchowego nazywają się grupami kohomologii. Z 23. Czy funktor zapominania (o różniczce) z kategorii kompleksów łańcuchowych do kategorii modułów z gradacją posiada funktory dołączone? Z 24. Niech C R oznacza kategorię kompleksów łańcuchowych R-modułów i homomorfizmów stopnia 0 oraz niech H i : C R R mod będzie ciągiem funktorów homologii. Definiując odpowiednio homotopię, zawieszenie i stożek homomorfizmu [p.spanier] w kategorii C R wykazać, że funktor H spełnia aksjomaty analogiczne do aksjomatów teorii homologii na kategorii przestrzeni topologicznych. Wskazówka. Stożkiem przekształcenia łańcucchowego f : C C nazywamy kompleks (Cone (f), f ) w którym Cone (f) := C n 1 C n oraz f (c, d) := ( (c), f(c) + (d)). Z 25. Dla skierowanego systemu kompleksów łańcuchowych funktor homologii jest przemienny z granicą prostą. Dokładniej: jeśli F : S C R jest skierowanym systemem kompleksów łańcuchowych, to dla dowolnego n mamy izomorfizm colim S H n F = H n (colim S F ). Z 26. Podaj przykład diagramu kompleksów łańcuchowych, dla którego funktor homologii nie jest przemienny z granicą prostą. Z 27. Podaj przykład skierowanego odwrotnego diagramu kompleksów łańcuchowych, dla którego funktor homologii nie jest przemienny z granicą odwrotną. 3

Z 28. Dla dowolnych modułów z gradacją M,, N oznaczmy przez Hom.(M, N) zbiór homomorfizmów M N zbiór homomorfizmów stopnia d oraz Hom (M, N ) := d= Hom d (M, N ). Zauważyć, że Hom (M, N ) jest modułem z gradacją. Zdefiniować iloczyn tensorowy modułów z gradacją L M będący lewym funktorem dołączonym do funktora Hom (M, ) na C R. Pokazać, że zachodzi również Hom (L M, N ) Hom (L, Hom (M, N )). Z 29. Rozszerzyć defincje i konstrukcje z poprzedniego zadania na kompleksy łańcuchowe. Z 30. Dla endomorfizmu f : A A skończenie generowanej grupy abelowej (ogólniej modułu nad pierścieniem ideałów głównych) definiujemy T r(f) := T r(f : A/T or(a) A/T or(a) gdzie T or(a) oznacza część torsyjną A, a więc A/T or(a) jest maksymalnym wolnym obrazem A. Wykazać, że definicja śladu nie zależy od wyboru wolnych generatorów A/T or(a). Z 31. Dla endomorfizmu f : A A skończenie generowanej grupy abelowej z gradacją (ogólniej modułu nad pierścieniem ideałów głównych) definiujemy T r(f ) := ( 1) q T r(f q ). Wykaż, że jeśli f : C C jest endomorfizmem kompleksu łańcuchowego skończenie generowanych grup abelowych, to T r(f ) = T r(h(f )) Z 32. Dla skończenie generowanej grupy abelowej z gradacją A ideałów głównych) definiujemy charakterystykę Eulera χ(a ) = (ogólniej modułu nad pierścieniem ( 1) q rank (A q ) Z. Wykazać, że dla skończenie generowanego kompleksu łańcuchowego C zachodzi równość χ(c ) = χ(h(c )). Z 33. Niech C będzie (wolnym) kompleksem łańcuchowym grup abelowych takim, że homologie H(C ) są skończenie generowane. Dla dowolnego ciała F zachodzi równość χ(h(c ) = χ(h(c F )) gdzie grupę H(C F ) traktujemy jako przestrzeń wektorową nad ciałem F. Z 34. Jeśli homomorfizm wolnych kompleksów łańcuchowych f : C D indukuje izomorfizm f : H(C ) H(D ) to dla dowolnej grupy abelowej A indukuje izomorfizm f : H(C A) H(D A) Z 35. Dla dowolnego kompleksu łańcuchowego C istnieje wolny kompleks C oraz epimorfizm f : C C, który indukuje izomorfizm homologii f : H( C ) H(C ). Kompleks C jest wyznaczony jedoznacznie z dokładnością do łańcuchowej homotopijnej równoważności. [p.spanier]. Z 36. Jeśli C jest kompleksem wolnych R-modułów takim, że H(C ) = 0 to kompleks C jest ściągalny (tzn. iden tyczność jest homotopijna z homomorfizmem zerowym). Z 37. Podaj przykład kompleksu acyklicznego, który nie jest łańcuchowo ściągalny. Z 38. Homomorfizm f : C C kompleksów łańcuchowych jest łańcuchową równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy Cone (f) jest łańcuchowo ściągalny. W szczególności homomorfizm kompleksów wolnych modułów jest równowżnością wtedy i tylko wtedy gdy indukuje izomorfizm homologii. Definicja. Przypomnijmy, że uzupełnieniem kompleksu łańcuchowego C nazywamy dowolny epimorfizm ɛ: C 0 Z spełniający ɛ = 0. Kompleks łańcuchowy uzupełniony to nieujemny kompleks (C n = 0 dla n < 0) wraz z pewnym uzupełnieniem. Jeśli C jest uzupełniony, to kompleksem zredukowanym C nazywamy kompleks łańcuchowy określony następująco: Cn = C n dla n 0 oraz C 0 = ker ɛ. Z 39. Jeśli C jest kompleksem uzupełnionym, to kompleks zredukowany C jest łańcuchowo ściągalny wtedy i tylko wtedy, gdy uzupełnienie ɛ: C 0 Z indukuje równoważność łańcuchową kompleksów C Z (gdzie Z rozumiemy jako kompleks łańcuchowy skoncentrowany w wymiarze 0). Algebry z gradacją Definicja. Niech R będzie pierścieniem przemiennym. R-algebrą przemienną z Z-gradacją (krótko gradacją) nazywamy ciąg R-moduł z gradacją A = A q wyposażony w R-dwuliniowe mnożenie µ : A A A takie, że µ : A p A q A p+q oraz dla a A p, b B q zachodzi ab = ( 1) pq ba. Różniczkowaniem w algebrze A nazywamy endomorfizm grupy z gradacją d : A A stopnia +1 taki, że dla a A p, b B q zachodzi d(ab) = d(a) b + ( 1) p a d(b). Algebrę z gradacją i różniczką nazywa się DGA ( Differential Graded Algebra ). 4

Z 40. Przestrzeń form różniczniczkowych na rozmaitości z działaniem iloczynu zewnętrznego i różniczką zewnętrzną oraz kohomologie de Rhama (z różniczką zerową) są DGA (nad ciałem R) Z 41. Skonstruuować sumę prostą w kategorii algebr z gradacją (rozpatrzyć najpierw przypadek algebr przemiennych bez gradacji). Z 42. Niech dla ustalonego ciała F, V ect będzie kategorią przestrzeni wektorowych z gradacją a Alg algebr z gradacją. Zbadać istnienie funktorów dołączonych do zapominania Alg V ect Z 43. Istnieje naturalny izomorfizm algebr z gradacją: Λ (V W ) Λ (V ) Λ (W ) Z 44. Funktor wolnej algebry zachowuje sumę prostą. Skonstruować wolną algebrę generowaną przez ustaloną przestrzeń wektorową. Z 45. Zdefiniować pojęcie modułu z gradacją nad algebrą z gradacją, tak żeby dla dowolnego odwzorowania f : M N homomorfizm indukowany f : H (N) H (M) definiował na H (M)-strukturę H (N)-modułu. Kohomologie de Rhama Z 46. Zmodyfikowane odpowiednio aksjomaty Eilenberga-Steenroda dla teorii kohomologii zachodzą dla kohomologii de Rama. Z 47. Zmodyfikowane odpowiednio aksjomaty Eilenberga-Steenroda dla teorii homologii (ograniczonej do włożeń podzbiorów otwartych) zachodzą dla kohomologii de Rama ze zwartymi nośnikami. Z 48. Niech Φ : h k będzie transformacją naturalną funktorów określonych na rozmaitościach n-wymiarowych i włożeniach ich otwartych podziorów, dla których zachodzą aksjomaty [MV] oraz [A]. Jeśli Φ : h (R n ) k (R n ) jest izomorfizmem, to Φ : h (M) k (M) jest izomorfizmem dla dowolnej n-wymiarowej rozmaitości M. Z 49. Kohomologie de Rhama ze zwartymi nośnikami są funktorem kontrawariantnym ze względu na odwzorowania właściwe. Z 50 (Addytywność H Rh i H c ). Zauważyć, że naturalne włożenia składników M i M i =: M indukują izomorfizmy H Rh (M) i H Rh (M i) oraz i H c (M i ) H c (M). Z 51. H 0 c (M) 0 wtedy i tylko wtedy gdy rozmaitość jest zwarta (i niepusta). Z 52. Sprawdzić, że dla dowolnego podzbioru otwartego U M mnożenie zewnętrzne zadaje strukturę H Rh (M)-algebry na H c (U). Z 53. Jeśli M jest rozmaitością orientowalną n-wymiarową to dla dowolnych p + q = n istnieje odwzorowanie dwuliniowe (tzw. pairing) <, > M : H p Rh (M) Hq c (M) H p+q) Rh (M) R gdzie pierwszy homomorfizm jest dany przez iloczyn zewnętrzny form, a drugi przez całkę formy po rozmaitości. Jeśli i : U M jest włożeniem dowolnego podzbioru oraz i : H p Rh (M) Hp Rh (U) oraz i : Hc q (U) Hc q (M) to te homomorrfizmy są sprzężone ze względu na formę <, > tzn. < i ω, η >=< ω, i η >. Z 54. Niech M = U 1 U 2 i U 12 = U 1 U 2 oraz niech δ Rh : H p Rh (U 12) H p Rh (M) będzie homomorfizmem kobrzegu w kohomologiach de Rhama, a δ c : Hc q (M) Hc q+1 (U 12 ) homomorfizmem brzegu w (kowariantnym) ciągu MV dla kohomologii ze zwartymi nośnikami. Jeśli p + q + 1 = n, to (z dokładnością do znaku) < δ Rh (ω), η > M =< ω, δ c (η) > U12 Z 55. Forma <, > M : H p Rh (Rn ) H q c (R n ) R jest niezdegenorowana dla dowolnych p + q = n. Stąd, i z poprzednich zadań wywnioskować twierdzenie o dwoistości Poinare dla kohmologii de Rhama. Z 56. Z dwoistości Poincare wywnioskować, że kohomologie de Rhama zamkniętej rozmaitości są skończenie wymiarowe. Wskazówka. Przestrzeń wektorowa V jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy gdy jest izomorficzna z drugą sprzężoną V. Z 57. Mnożenie zewnętrzne (przeciągniętych) form : Λ p (M) Λ q (N) Λ p+q (M N) zdefiniowane ω η := p M ω p N η indukuje izomorfizm kohomologii de Rhama Hp Rh (M) Hq Rh (N) Hp+q(M N). Rh 5

Z 58. Rozmaitości zespolone są orientowalne. Z 59. Oblicz algebrę kohomologii de Rhama dla powierzchni orientowalnych. Z 60. Oblicz algebrę kohomologii de Rhama dla zespolonych przestrzeni rzutowych.[wsk. skorzystać z tw. Poincare] Z 61. Dla spójnej rozmaitości zdefiniuj homomorfizm H 1 Rh (M) Hom(π 1(M), R) i wykaż (najlepiej bezpośrednio, nie odowłując się do tw. de Rhama i tw. Hurewicza itp.), że jest on izomorfizmem. Z 62. Wykazać, że forma generująca H n Rh (Sn ) H n c (R n ) może mieć nośnik zawarty w dowolnym podbiorze otwartym (podobnie dla dowolnej zamkniętej, orientowalnej rozmaitości). Z 63. Rozmaitość spójna n-wymiarowa jest orientowalna wtedy i tylko wtedy gdy H n c (M) 0 Z 64. Niech p: M M będzie skończonym G-nakryciem. Udowodnij, że wtedy przekształcenie p : Ω (M) Ω ( M) zadaje izomorfizm Ω (M) = im p = Ω ( M) G (gdzie Ω ( M) G oznacza zbiór wszystkich form ω Ω ( M) zachowywanych przez działanie G, czyli spełniających g (ω) = ω dla każego g G). Z 65. Definiujemy przekształcenie p # : Ω ( M) Ω (M) jako złożenie przekształceń Ω ( M) A (Ω ( M)) G (p ) 1 = Ω (M), gdzie A jest zadane jako A(ω) = g G g (ω). Udowodnij, że p # definiuje homomorfizm kohomologii p # : H ( M) H (M) (zwany transferem) spełniający dwa następujące warunki: złożenie p p # jest równe przekształceniu g G g, złożenie p # p jest mnożeniem przez G. Przekształcenie p # nazywamy transferem. Z 66. Uogólnij konstrukcję transferu na dowolne skończone nakrycia rozmaitości. Z 67. Korzystając z transferu, oblicz H (RP n) i ogólniej kohomologie przestrzeni soczewkowych (tzn S 2n 1 /Z k gdzie S 2n 1 C n a Z k jest grupą pierwiastków z jedności stopnia k. Definicja. Niech M, N będą zwartymi, spójnymi zorientowanymi rozmaitościami n-wymiarowymi. Rozpatrzmy gładkie przekształcenie f : M N. Dla dowolnej wartości regularnej y przekształcenia f określamy jego stopień deg(f; y) w punkcie y jako deg(f; y) = sgn(df x ), x f 1 (y) gdzie sgn(df x ) wynosi 1 lub 1 w zależności od tego, czy Df x zachowuje czy zmienia orientację. Okazuje się, że liczba deg(f; y) nie zależy od wyboru wartości regularnej y. Będziemy ją nazywać stopniem przekształcenia f i oznaczać deg(f). Z 68. Homomorfizm f : H n (N) H n (M) przeprowadza klasę wyznaczoną przez orientację M na wielokrotność deg(f, y) klasy orientacji M. Wydedukować stąd, że deg(f; y) nie zależy od wyboru wartości regularnej y, deg(f) jest niezmiennikiem homotopijnym, tzn. dla dwóch gładko homotopijnych przekształceń f g mamy deg(f) = deg(g). 6

Formy dualne do domkniętej podrozmaitości Niech M n będzie zorientowaną rozmaitością. Każdej zorientowanej domkniętej k-wymiarowej podrozmaitości i: K k M przypiszemy pewną klasę kohomologii [η K ] H n k (M), którą nazwiemy klasą dualną do podrozmaitości K. Dowolną k-formę ω Ω k c (M) ze zwartym nośnikiem możemy scałkować po K. Co więcej z twierdzenia Stokes a wynika, że K i ( α) = 0 dla dowolnej k + 1-formy α, zatem całkowanie po K daje funkcjonał K : Hk c (M) R. Z dualności Poincare (H n k (M) = (Hc k (M)) ) wynika, że ten funkcjonał wyznacza jednoznacznie pewną klasę kohomologii [η K ] H n k (M) i ją właśnie określamy jako klasę dualną do K. Z tej definicji wynika, że [η K ] to jedyna klasa kohomologii w H n k (M) spełniająca i (ω) = ω η K K dla wszystkich zamkniętych k-form ω o zwartym nośniku. Jeśli podrozmaitość K jest zwarta, to możemy całkować dowolne formy (a nie tylko te o zwartym nośniku). Gdy M jest skończonego typu (czyli M = r 1 U r, gdzie każde U i jest otwarte oraz dowolne niepuste przecięcie i I U i jest dyfeomorficzne z R n ) mamy również dualność Hc n k (M) = (H k (M)), która pozwala nam w analogiczny sposób przypisać N pewną klasę kohomologii [η N ] Hn k c (M), którą nazywamy zwartą klasą dualną do N. Zwarta klasa dualna spełnia i (ω) = ω η K dla wszystkich zamkniętych k-form ω. K Z 69. Oblicz klasę dualną i zwartą klasę dualną do podprozmaitości jednopunktowej { } R n. Z 70. Niech (r, θ) oznaczają współrzędne biegunowe w R 2 \ {0}. Udowodnij, że (a) klasą dualną do promienia {(r, θ) r > 0, θ = 0} w R 2 \ {0} jest [dθ/2π] H 1 (R 2 \ {0}). (b) klasą dualną do okręgu jednostkowego S = {(r, θ) r = 1} jest 0 H 1 (R 2 \ {0}), natomiast zwartą klasę dualną do S reprezentuje ρ(r)dr, gdzie ρ(r) jest dowolną funkcją o zwartym nośniku spełniającą R + ρ(r)dr = 1. Z 71. Niech K k M n będzie zorientowaną podrozmaitością zorientowanej rozmaitości M. Dla dowolnego otoczenia tubularnego K T podrozmaitości K w M oznaczmy przez Φ klasę Thoma wiązki π : T K. Udowodnij, że [η k ] = Φ. Z 72. Niech K, L będą dwoma podrozmaitościami rozmaitości M przecinającymi się transwersalnie. Udowodnij, że η K L = η K η L. Produkty M M Z 73. Niech A, B, G będą R-modułami. Istnieją naturalne formy dwuliniowe \ : A Hom(A B, G) Hom(B, G) oraz / : A B Hom(B, G) A G dołączone odpowiednio do id Hom(A B, G) = Hom(A B, G) oraz do : Hom(B, G) Hom(A B, A G). Zapisać te formy wzorem: a \ φ =? oraz a b/ψ =? Z 74. Sprawdź, że definicje z poprzedniego zadania można rozszerzyć zamieniając grupy A, B na kompleksy łańcuchowe (gradacje?) i otrzymać odwzorowania: \ : H (A ) H (A B ; G) H (B ; G) oraz / : H (A B ) H (B ; G) H (A ; G) Z 75. Sprawdź (wybrane) własności iloczynów w (ko-)homologiach wyszczególnione w rozdz. 5.6 i 6.1 książki Spaniera. Niezmiennik Hopfa Definicja. Niech n > 1. Dla dowolnego przekształcenia f : S 2n 1 S n jego stożek C f = D 2n f S n jest CW kompleksem mającym po jednej komórce w wymiarach 0, n i 2n. Niech α H n (C f ), β H 2n (C f ) będą generatorami (wyboru β dokonujemy w sposób kanoniczny korzystając z izomorfizmów H 2n (C f ) = H 2n (C f, S n ) = H 2n (D 2n, S 2n 1 )). Niezmiennikiem Hopfa przekształcenia f nazywamy liczbę całkowitą H(f), dla której spełniona jest równość α α = H(f) β. 7

Z 76. Dla homotopijnych przekształceń f, g : S 2n 1 S n ich stożki są homotopijnie Z 77. H(f) = 0 dla f homotopijnego z przekształceniem stałym. Z 78. H(f) = 0 dla n nieparzystego i dowolnego f : S 2n 1 S n. Z 79. Dla dowolnych przekształceń f, g : S 2n 1 S n niech C f g = (D 2n D 2n ) f g S n, natomiast C f+g będzie stożkiem przekształcenia h: S 2n 1 S n spełniającego [h] = [f] + [g] w π 2n 1 (S n ). Udowodnij następujące fakty: C f C f g, C g C f g oraz te włożenia indukują izomorfizmy H i (C f ) = H i (C f g ) = H i (C g ) dla i 2n, H 2n (C f g ) = H 2n (C f ) H 2n (C g ), istnieje przekształcenie q : C f+g C f g spełniające q (α f g ) = α f+g, q (β f ) = β f+g = q (β g ) gdzie α f+g H n (C f+g ), α f g H n (C f g ), β f+g H 2n (C f+g ), β f, β g H 2n (C f g ) są generatorami odpowiadającymi CW komórkom, α 2 f g = H(f) β f + H(g) β g. α 2 f+g = (H(f) + H(g)) β f+g. Z 80. Wywnioskuj z zadania 79, że niezmiennik Hopfa wyznacza homomorfizm H : π 2n 1 (S n ) Z. Z 81. Dla dowolnych przekształceń f : S 2n 1 S n, g : S 2n 1 S 2n 1, g : S n S n mamy H(fg ) = deg(g ) H(f), H(g f) = (deg(g )) 2 H(f). Z 82. Niech J 2 (S n ) = S n S n /(s, ) (, s), gdzie jest punktem bazowym. Udowodnij, że J 2 (S n ) = C f dla pewnego f : S 2n 1 S n, jeśli α H n (J 2 (S n )), β H 2n (J 2 (S n )) są generatorami i n jest parzyste, to α 2 = 2β. Wywnioskuj stąd, że dla dowolnych m 1 i k istnieje przekształcenie S 4m 1 S 2m o niezmienniku Hopfa H(f) = 2k. Homologie singularne rozmaitości Z 83. Niech M będzie rozmaitością topologiczną. Wykazać, że podgrupa z gradacją generowana przez sympleksy singularne będące homeomorfizmami na obraz homeo (M) (M) jest podkompleksem łańcuchowym i włożenie indukuje izomorfizm homologii. Z 84. W przypadku, gdy M jest gładka można rozpatrywać podkompleks generowany przez sympleksy będące dyfeomorfizmami na obraz (tzn. rozszerzają się do dyfeomorfizmu pewnych otoczeń otwartych). Z 85. Opisać naturalną (ze względu na izomorfizmy liniowe) bijekcję między orientacjami rzeczywistych n-wymiarowych przestrzeni wektorowych V a generatorami grupy H n (V, V \ {0}). Z 86. Dla dowolnej rozmaitości topologicznej M skonstruować dwukrotne nakrycie p : M M takie, że p 1 (x) = generatoryh n (M, M \ {x}) oraz M jest orientowalna wtedy i tylko wtedy gdy nakrycie p jest trywialne. Rozmaitość nakrywająca M jest orienatowalna. Z 87. Jeśli U R n jest otwartym podzbiorem, to dla każdego punktu x 0 U włożenie indukuje izomorfizm H (U, U \ x 0 ) H (R n, R n \ x 0 ). Jeśli f : U V jest dyfeomorfizmem podzbiorów otwartych R n to przy tym utożsamieniu f : H (U, U \ x 0 ) H (V, V \ f(x 0 )) jest mnożeniem przez det Df x0. Uwaga. Teza zachodzi dla teorii homologii zdefiniowanej na dowolnych parach. Z 88. Rozmaitość gładka jest orientowalna w sensie różniczkowym wtedy i tylko wtedy gdy jest orientowalna w sensie topologicznym. 8

Z 89. Przenieść pojęcia formy dualnej do podrozmaitości na rozmaitości topologiczne i sformułować analogiczne własności. Z 90. Obliczyć algebrę kohomologii sumy spójnej dwóch rozmaitości. (Rozpatrzyć przypadki rozmaitości zorientowanych, niezorientowanych, zamkniętych...) Z 91. Korzystając z tw. o dwoistości Poincare obliczyć algebrę kohomologii przestrzeni rzutowych (nad R, C, H). Oznaczenia. W poniższych zadaniach M oznacza brzeg rozmaitości M a i: M M jest włożeniem. Napis M k oznacza rozmaitość k-wymiarową. Z 92. W tym zadaniu współczynniki (ko)homologii rozpatrujemy w ciele. Niech M 2n+1 będzie zwartą rozmaitością orientowalną (założenie orientowalności można pominąć, jeśli charakterystyka ciała = 2). Wymiar przestrzeni H n ( M) jest parzysty oraz dim{im i : H n (M) H n ( M)} = 1 2 dim Hn ( M). Z 93. Jeśli M jest zwarta, to charakterystyka Eulera χ( M) jest liczbą parzystą. Co więcej, jeśli M jest nieparzystego wymiaru, to χ( M) = 2χ(M). Z 94. RP 2n i CP 2n nie są brzegami zwartej rozmaitości. Z 95. Niech M n+1 będzie zwartą orientowalną rozmaitością wymiaru n + 1. Udowodnij, że jeśli brzeg M jest spójny, to przekształcenie obcięcia i : H n (M; R) H n ( M; R) jest zerowe. Z 96. Niech M 2n+1 będzie zwartą orientowalną rozmaitością wymiaru 2n + 1 i niech M będzie spójny. Udowodnij, że dla dowolnych α, β H n (M; R) mamy i (α) i (β) = 0. Ostatnie 2 zadania pozostają prawdziwe, jeśli współczynniki R zamienimy innym ciałem. Definicja. Niech M bedzie zwartą zorientowaną rozmaitością bez brzegu. Sygnatura rozmaitości M jest zdefiniowana jako 0, gdy wymiar M nie dzieli się przez 4. Jeśli dim(m) = 4n, to sign(m) definiujemy jako sygnaturę formy kwadratowej < α, β >= α β określonej na H2n M DR (M; R) (równie dobrze można ją określić na kohomologiach singularnych wzorem < α, β >= (α β)[m], gdzie [M] jest klasą orientacji M). Z 97. Jeśli spójna rozmaitość M 4n jest brzegiem zwartej orientowalnej rozmaitości V 4n+1, to sign(m) = 0. Z 98. Sygnatura rozmaitości jest addytywna ze względu na operację sumy spójnej. Z 99. Suma spójna CP (2n)#CP (2n) nie jest brzegiem zwartej orientowalnej rozmaitości, natomiast CP (2n)# CP (2n) jest brzegiem (CP (2n) D) I, gdzie D jest otwartym 4n-dyskiem w CP (2n). 9