Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Przebieg zmienności funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na wyznaczeniu pewnych własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej określonej za pomocą pewnego wzoru. Własności te można wywnioskować z wzoru funkcji oraz z jej pochodnych rzędu pierwszego i drugiego. Pozwalają one skonstruować przybliżony wykres funkcji. 2

Przebieg zmienności funkcji Schemat rozwiązywania jest następujący: własności wynikające wprost z wzoru funkcji dziedzina funkcji i punkty nieciągłości, punkty przecięcia z osiami (z osią 0X miejsca zerowe, z osią 0Y wartości w zerze), własności szczególne (parzystość, nieparzystość, okresowość, ciągłość), granice na końcach przedziałów określoności, asymptoty, własności wynikające z pochodnej rzędu pierwszego przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne funkcji, 3

Przebieg zmienności funkcji Schemat rozwiązywania (ciąg dalszy): własności wynikające z pochodnej rzędu drugiego przedziały wypukłości i wklęsłości, punkty przegięcia, zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki (na podstawie poprzednich punktów) i określenie zbioru wartości funkcji, szkic wykresu funkcji. 4

Przebieg zmienności funkcji Przykład. Zbadać przebieg zmienności funkcji y (2x 3)/(x 1). Funkcja jest określona, gdy x 1. Obliczamy pochodną: y 5/(x 1) 2. Dla x 1 pochodna y f (x) jest dodatnia, a więc funkcja y f (x) jest stale rosnąca. Zbadajmy zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu x 1. Gdy x 1 z lewej strony, to y, a gdy x 1 z prawej strony, to y. Prosta x 1 jest więc asymptotą pionową krzywej y f (x). 5

Przebieg zmienności funkcji Badamy granice funkcji, gdy x wzrasta nieograniczenie: lim (2x 3)/(x 1) 2 i lim (2x 3)/(x 1) 2, x x a więc prosta y 2 jest asymptotą poziomą krzywej. Chcąc znaleźć ewentualne punkty przegięcia, szukamy miejsc zerowych pochodnej rzędu drugiego y 10/(x 1) 3. Funkcja ta nie ma miejsc zerowych, a więc krzywa nie ma punktów przegięcia. 6

Przebieg zmienności funkcji Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji: x 1 y 0 0 y 2 2 Wykres funkcji przedstawiono na rysunku. Zadania zob. plik WDA-1.PDF 7

Wśród równań i nierówności wyróżniamy m. in.: równania stopnia zero, równania liniowe z jedną niewiadomą, nierówności liniowe z jedną niewiadomą, równania liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi, nierówności liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi, układy równań liniowych, układy nierówności liniowych, równania kwadratowe z jedną niewiadomą, równania sześcienne z jedną niewiadomą, równania wielomianowe wyższych stopni, równania i nierówności z wartością bezwzględną, równania i nierówności trygonometryczne. 8

Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których wszystkie niewiadome występują w potęgach zerowych (w zapisie równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo np. x 0 = 1). Jeśli z zapisu równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równania, to informacja taka musi znaleźć się w treści zadania (inaczej równanie może nie dać się rozwiązać). Równanie stopnia zero może być albo sprzeczne, albo tożsamościowe, czyli rozwiązaniem jest albo zbiór pusty, albo zbiór liczb rzeczywistych R (dla równań z jedną niewiadomą), albo zbiór wszystkich par rzeczywistych R 2 (dla równań z dwiema niewiadomymi), albo zbiór wszystkich trójek liczb rzeczywistych R 3 (dla równań z trzema niewiadomymi) itd. Przykłady 2 2 = 5 (równanie sprzeczne) 2x 0 + 3y 0 = 5 (równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi) 9

Równanie z jedną niewiadomą, inaczej: równanie liniowe, to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, np. ax + b = 0, gdzie a i b oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym a 0. Typy równań liniowych: równanie tożsamościowe, np. 2x + 1 = 2x + 1 (rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych), równanie sprzeczne, np. 3x + 1 = 3x +5 (rozwiązaniem jest zbiór pusty), równanie oznaczone, np. 2x + 3 = 0 (to równanie ma jeden pierwiastek x = 3/2. 10

Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądają podobnie do równań liniowych, ale zamiast znaku równości zawierają jeden ze znaków nierówności: ostrej (<, >), nieostrej (, ) lub znak różności ( ). Wyróżniamy trzy typy nierówności: nierówność tożsamościowa jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, np. 6x + 3 6x + 3, nierówność sprzeczna nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą, np. 3x 5 > 3x + 4, nierówność nieoznaczona ma nieskończenie wiele pierwiastków, ale nie są nimi wszystkie liczby rzeczywiste, np. 3x + 6 < 0 rozwiązaniem jest przedział (, 2). 11

Równania liniowe z dwiema niewiadomymi zawierają dwie zmienne, obie (co najwyżej) w pierwszej potędze: ax + by + c = 0, gdzie a, b i c oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym przynajmniej jedna z liczb a i b jest różna od zera. W zależności od tego, które ze współczynników a i b są różne od zera, rozwiązaniem jest prosta y = c/b, równoległa do osi x, gdy a = 0 i b 0, prosta x = c/a, prostopadła do osi x, gdy a 0 i b = 0, prosta y = ax/b c/b. Równanie liniowe z trzema niewiadomymi: ax + by + cz = 0, gdzie przynajmniej jedna z liczb a, b i c jest różna od zera. 12

W nierównościach liniowych z dwiema niewiadomymi występują dwie niewiadome i jeden ze znaków <, >,, lub. Równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0 posiada pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni lub równy zeru. Gdy a gdy Gdy = b 2 4ac > 0, pierwiastkami są x 1 = ( b )/2a, x 2 = ( b + )/2a, = 0, to równanie posiada jeden pierwiastek podwójny x = b/2a. < 0, to równanie posiada dwa pierwiastki zespolone. 13

Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej (1) ax 2 + bx + c > 0 lub nierówności (2) ax 2 + bx + c < 0, a 0, możemy założyć, że a > 0. Rozwiązanie nierówności (1): a) gdy > 0, to x < x 1 lub x > x 2, gdzie x 1 i x 2 oznaczają pierwiastki trójmianu kwadratowego, b) gdy = 0, to x R { b/2a}, c) gdy < 0, to x R. Rozwiązanie nierówności (2): a) gdy > 0, to x1 < x < x2, b) gdy 0, to nie ma rozwiązań. 14

Przy rozwiązywaniu równości wykładniczych, w których niewiadoma występuje w wykładnikach potęgi, często korzystamy z następującej własności funkcji wykładniczej: jeśli podstawa a spełnia warunek a > 0 oraz a 1 i a x = a y, to x = y. Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, w których niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu korzystamy z własności, że jeśli a > 0 oraz a 1 i log a x = log a y, to x = y. Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym występują funkcje trygonometryczne. Rozwiązanie takiego równania powinno uwzględniać okresowość tych funkcji. W równaniach z wartościami bezwzględnymi należy uwzględnić przypadki, gdy wartości występujące w symbolach wartości bezwzględnej są ujemne i nieujemne. 15

Równanie stopnia trzeciego to równanie postaci ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, gdzie a 0. Dzieląc to równanie przez a i podstawiając x = y b/3a otrzymujemy równanie (1) y 3 + 3py + 2q = 0, gdzie 3p = (3ac b 2 )/(3a 2 ) oraz 2q = (2b 3 )/(27a 3 ) (bc)/(3a 2 ) + d/a. Liczba rozwiązań rzeczywistych równania (1) zależy od znaku wyróżnika D = q 2 + p 3. Jeżeli D > 0, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone. Jeśli D = 0, to w przypadku, gdy p = q = 0, równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny równy 0, a gdy p 3 = q 2 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest dwukrotny. Gdy D < 0, to równanie ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. 16

Gdy D 0, korzystamy ze wzorów Cardana: y 1 = u + v, y 2 = 1 u + 2 v, y 3 = 2 u + 1 v, gdzie u = ( q + D 1/2 ) 1/3, v = ( q D 1/2 ) 1/3, a 1 i 2 oznaczają pierwiastki równania x 2 + x + 1 = 0, tzn. 1 = ( 1 + i 3)/2, 2 = ( 1 i 3)/2. Jeśli D < 0, to wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, taką że cos = =q/r 3, gdzie r = p, przy czym oznacza +1 lub 1, zgodnie ze znakiem q i pierwiastki obliczamy ze wzorów: y 1 = 2r cos( /3), y 2 = 2r cos(60 /3), y 1 = 2r cos(60 + /3). 17

Równanie n-tego stopnia to równanie postaci (1) W(x) = x n + a 1 x n 1 + + a n = 0. Przy znajdowaniu pierwiastków korzystamy m. in. z następujących reguł: (twierdzenie Bezouta) Równanie (1) ma pierwiastek x = a wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (jednomian) x a. Pierwiastki będące liczbami całkowitymi równania otrzymanego przez przyrównanie do zera wielomianu o współczynnikach całkowitych muszą być dzielnikami wyrazu wolnego. Specjalnym przypadkiem równania n-tego stopnia jest równanie dwukwadratowe ax 4 + bx 2 + c = 0, gdzie a 0. Rozwiązujemy je przez podstawienie x 2 = z. 18

Układ równań liniowych niejednorodnych a 11 + a 12 + + a 1n x n = b 1, a 21 + a 22 + + a 2n xn = b 2,.. a m1 + a m2 + + a mn x n = b m jest niesprzeczny, gdy istnieje przynajmniej jeden zespół wartości { 1, 2,, n} spełniających wszystkie dane równania. Układ ten jest sprzeczny, jeżeli nie ma ani jednego takiego rozwiązania. Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych. 19

Rzędem macierzy A o wymiarze m n nazywamy największy stopień jej minorów różnych od zera. Minorem stopnia k macierzy (k m i k n) nazywamy wyznacznik składający się (z zachowaniem kolejności) z k 2 elementów macierzy leżących na przecięciu wybranych jej k kolumn i k wierszy. Aby wyznaczyć rząd macierzy, należy rozpatrzyć wszystkie jej minory stopnia l, gdzie l oznacza mniejszą z liczb m i n (lub l = m = n). Jeżeli znajdziemy jakiś minor stopnia k różny od zera, to dalej wystarczy zbadać wyznaczniki stopnia k + 1 zawierające te wiersze i te kolumny danej macierzy, na przecięciu których znajdują się liczby tworzące wyznacznik stopnia k. Jeśli wszystkie takie minory rzędu k + 1 są równe zeru, to rząd macierzy jest równy k. 20

Niesprzeczny układ równań liniowych rozwiązuje się w następujący sposób: obliczamy rząd r macierzy układu, zmieniamy porządek równań układu, a w równaniach przestawiamy niewiadome x 1, x 2,, x n w taki sposób, żeby w lewym górnym narożniku macierzy znalazł się minor stopnia r, różny od zera. Mogą zajść dwa przypadki: 1 r = n, r m. Rozwiązując układ pierwszych n równań z n niewiadomymi otrzymujemy jedynie rozwiązanie { 1, 2,, n}, ponieważ wyznacznik tego układu nie równa się zeru. Jeżeli n < m, wtedy to samo rozwiązanie spełnia również m n pozostałych równań, które wynikają z pierwszych. Układ jest oznaczony. 21

2 r < n, r m. Rozwiązujemy układ pierwszych r równań względem pierwszych r niewiadomych x 1, x 2,, x r, wyrażając te niewiadome przez n r pozostałych niewiadomych x r+1, x r+2,, x n. Otrzymujemy rozwiązanie w postaci układu funkcji liniowych: x 1 = x 1 (x r+1, x r+2,, x n ), X 2 = x 2 (x r+1, x r+2,, x n ), x r = x r (x r+1, x r+2,, x n ), ponieważ wyznacznik układu równań nie równa się zeru. Niewiadomym x r+1, x r+2,, x n można nadać dowolne wartości. Te same rozwiązania spełnia również m r pozostałych równań (jeśli r < m), które wynikają z pierwszych. Układ równań jest nieoznaczony. 22

Jeżeli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to do rozwiązania układu równań liniowych stosujemy twierdzenie Cramera. Jeśli macierz układu n równań liniowych o n niewiadomych jest nieosobliwa, to jedyne rozwiązanie x 1, x 2,, x n tego układu dane jest wzorami x 1 = A 1 / A, x 2 = A 2 / A,, x n = A n / A, w których A i oznacza macierz powstającą z macierzy A układu przez zastąpienie jej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Zadania zob. plik WDA-2.PDF 23