P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Podobne dokumenty
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Jednowymiarowa zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Rachunek prawdopodobieństwa

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

Przestrzeń probabilistyczna

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Prawdopodobieństwo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

Metody probabilistyczne

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Prawdopodobieństwo i statystyka

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Rozkłady prawdopodobieństwa

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Dyskretne zmienne losowe

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Rozkłady zmiennych losowych

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Statystyka matematyczna

Ważne rozkłady i twierdzenia

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Prawdopodobieństwo i statystyka

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

1.1 Wstęp Literatura... 1

Metody probabilistyczne

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Statystyka podstawowe wzory i definicje

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Statystyka matematyczna dla leśników

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Metody probabilistyczne

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Transkrypt:

Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P (A), to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne. Przekształćmy równość P (A B) = P (A) do postaci P (A B) P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A)P (B). Definicja niezależności Zdarzenia A i B są niezależne, gdy P (A B) = P (A) P (B). Przykład Dwukrotny rzut monetą: Ω = {OO, OR, RO, RR} A=w pierwszym rzucie orzeł B=w drugim rzucie orzeł P (B) = 1 2, P (B A) = P (B A) P (A) = 1/4 1/2 = 1 2. Zdarzenia A i B są niezależne. Zadanie Założenie: prawdopodobieństwo urodzenia chłopca = prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki = 1 2. Spośród rodzin mających n dzieci, n 2, wybieramy losowo jedną rodzinę. A=w tej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka B=w tej rodzinie są i dziewczynki i chłopcy Czy zdarzenia A i B są niezależne? Spróbujmy odgadnąć odpowiedź! 1

Rozwiązanie Ω = {x 1, x 2,..., x n }, gdzie x i = d lub c Ω = 2 n, wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. A =(sami chłopcy lub jedna dziewczynka)= n + 1. B = 2 n 2, A B =(dokładnie jedna dziewczynka)=n. niezależność A i B: czyli tylko wtedy, gdy n = 3. P (A B) = P (A) P (B) n 2 n = n + 1 2 n 2n 2 2 n, Niezależnośc trzech zdarzeń Zdarzenia A, B oraz C są niezależne, gdy P (A B) = P (A)P (B), P (A C) = P (A)P (C), P (B C) = P (B)P (C), P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Zadanie W urnie są cztery kule: biała, czerwona, niebieska i taka, na której są wszystkie trzy powyższe kolory. Losujemy jedną kulę. Czy zdarzenia: na wylosowanej kuli jest kolor B, C, N są niezależne? Czy są parami niezależne? Rozwiązanie P (B) = P (wylosujemy kulę, na której jest kolor biały)= 1 2, Podobnie P (C) = P (N) = 1 2. Oczywiście P (B C) = P (wylosujemy kulę, na której są kolory biały i czerwony)= 1 4. P (B C) = P (B)P (C) = 1 4 te zdarzenia są niezależne! Tak samo pary B i N oraz C i N są niezależne. Ale P (B C N) = 1 4, natomiast P (B)P (C)P (N) = 1 8 i te zdarzenia NIE SĄ niezależne! 2

Ogólna definicja zdarzeń niezależnych Zdarzenia A 1, A 2,..., A n są niezależne, gdy dla każdego ich podzbioru A i1, A i2,... A ik zachodzi równość P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A ik ). To jest łącznie aż 2 n n 1 równości do sprawdzenia! Na szczęscie zwykle nie musimy ich sprawdzać. Schemat Bernoulliego Powtarzamy n razy doświadczenie, którego wynikami mogą być sukces lub porażka, przy czym: kolejne doświadczenia są niezależne; w każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, a porażki 1 p. Niech S n oznacza liczbę sukcesów w n powtórzeniach. Wówczas P (S n = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. k Ilustracja: deska Galtona Kulka opada, napotykając na kilka rzędów przeszkód, przy czym na każdej przeszkodzie może skręcić w prawo z prawdopodobieństwem p lub w lewo z prawdopodobienstwem q = 1 p. Gdy rzucimy tak kilkaset kulek, to ile ich zbierze się w kolejnych przegródkach na dole? Odpowiedź dla n = 10 i p = 1 2 Ponieważ tutaj p = 1 2, więc pk (1 p) 10 k = ( 1 2 ) 10, zatem liczby kulek w poszczególnych przegródkach są niemal proporcjonalne do współczynników newtonowskich ( ) 10 k dla k = 0, 1, 2,..., 10 czyli do liczb 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 Zmienna losowa Załóżmy, że znamy wszystkie mozliwe wyniki (czyli zdarzenia elemantarne) Ω pewnego doświadczenia losowego. Funkcję nazywamy zmienną losową. X : Ω R 3

Przykłady zmiennych losowych Liczba oczek przy jednokrotnym rzucie kostki. Suma oczek w dwóch rzutach kostką. Liczba sukcesów S n w schemacie Bernoulliego. Numer próby, w której pojawi się pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego. Liczba wypadków drogowych, które zdarzą się w Polsce w przyszłym tygodniu. Wzrost losowo wybranego studenta WPPT. Błąd pomiaru pewnej wielkości. Suma wypłacona przez firmę ubezpieczeniową. Cena akcji spółki X jutro o 12:00 (za tydzień, za miesiac). Pierwszy moment, w którym cena akcji spółki Y przekroczy 100 zł. Dwa typy zmiennych loswych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie dyskretnym. Które wymienione uprzednio zmienne mają rozkłady dyskretne? Jeśli wszystkich wartości zmiennej NIE MOŻNA wypisać w postaci ciągu, to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie ciągłym. Tak jest zawsze, gdy zbiór wartości zawiera jakiś przedział (a, b). Które z wymienionych zmiennych mają rozkłady ciągłe? Rozkład zmiennej losowej dyskretnej Rozkład takiej zmiennej to opis jej możliwych wartości i prawdopodobieństw, z jakimi te wartości zmienna przyjmuje. X = wynik rzutu symetryczną kostką Wartości, jakie może przyjąć X to 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości jest równe 1 6. Y = suma oczek przy dwóch rzutach = 2, 3,..., 10, 11, 12. Jakie są prawdopodobieństwa tych wyników? Zmienne związane z próbami Bernoulliego Liczba sukcesów S n w n próbach. P (S n = k) = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. Numer próby X, w której pojawi się pierwszy sukces. 4

P (X = k) =?, k = 1, 2, 3,... X = k, gdy próby: pierwsza, druga,...,(k 1)-sza dały porażki, a k-ta sukces. Stąd P (X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2, 3,... Rozkład Poissona Zmienna X przyjmująca wartości 0, 1, 2,... ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, gdy Rozkład Poissona mają: P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,... liczba wypadków w ustalonym dniu (tygodniu, roku, kraju); liczba sygnałów (np. rozpadów atomów radioaktywnych w czasie 1 minuty); liczba gwiazd w losowo wybranym fragmencie nieba, itp. Wartość średnia zmiennej losowej Jeżeli P (X = x k ) = p k, k = 0, 1, 2, 3,..., to wartość średnia (wartość oczekwiana) zmiennej X E(X) = k x k p k. Intuicja: na prostej rozmieszczamy masy p i w punktach x i, i = 0, 1, 2... Wartość średnia to środek ciężkości tego układu (może nie istnieć!) Wariancja zmiennej losowej Jeżeli P (X = x k ) = p k, wariancja zmiennej X k = 0, 1, 2, 3,..., to V ar(x) = k (x k E(X)) 2 p k. Wariancję oznacza się też symbolem D 2 (X). Wariancja mierzy rozrzut wyników średnie odchylenie od wartości średniej. Wariancję można też obliczyć ze wzoru V ar(x) = k x 2 k p k (E(X)) 2. Rozkłady ciągłe (z gęstością) Jeśli dana jest taka funkcja f : R [0, ), że f(x) dx = 1, to f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X i obliczamy 5

prawdopodobieństwa P (a < X < b) = b a f(x) dx. Przykłady gęstości Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] f(x) = 1 b a, gdy x [a, b], 0, gdy x / [a, b]. Przykłady gęstości Rozkład normalny z parametrami m R i σ > 0 f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2, x R 6