EKONOMETRIA 6 Zastosowanie matematyi w eonomii Redator nauowy Janusz Łyo Wydawnictwo Uniwersytetu Eonomicznego we Wrocławiu Wrocław 009
Sis treści Wstę... 7 Beata Bal-Domańsa, Eonometryczna analiza sigma i beta onwergencji regionów Unii Euroejsiej... 9 Andrzej Bą, Aneta Rybica, Marcin Peła, Modele efetów głównych i modele z interacjami w conjoint analysis z zastosowaniem rogramu R. 5 Katarzyna Budny, Kurtoza wetora losowego... 44 Witor Ejsmont, Otymalna liczebność gruy studentów... 55 Kamil Fijore, Model regresji dla cechy rzyjmującej wartości z rzedziału (0,) ujęcie bayesowsie... 66 Paweł Hanczar, Wyznaczanie zaasu bezieczeństwa w sieci logistycznej... 77 Roman Hutas, Metody szacowania wewnątrzdziennej sezonowości w analizie danych finansowych ochodzących z ojedynczych transacji... 83 Alesandra Iwanica, Wływ zewnętrznych czynniów ryzya na rawdoodobieństwo ruiny w sończonym horyzoncie czasowym w wielolasowym modelu ryzya... 97 Agniesza Liieta, Stany równowagi na rynach warunowych... 0 Krystyna Melich-Iwane, Polsi ryne racy w świetle teorii histerezy... Rafał Piszcze, Zastosowanie modelu logit w modelowaniu uadłości... 33 Marcin Salamaga, Próba weryfiacji teorii arytetu siły nabywczej na rzyładzie ursów wybranych walut... 49 Antoni Smolu, O zasadzie dualności w rogramowaniu liniowym... 60 Małgorzata Szulc-Jane, Influence of recommendations announcements on stoc rices of fuel maret... 70 Jace Welc, Regresja liniowa w szacowaniu fundamentalnych wsółczynniów Beta na rzyładzie sółe giełdowych z setorów: budownictwa, informatyi oraz sożywczego... 80 Andrzej Wilowsi, O wsółczynniu orelacji... 9 Mirosław Wójcia, Klasyfiacja nowych technologii energetycznych ze względu na determinanty ich rozwoju... 99 Andrzej Wójci, Wyorzystanie modeli wetorowo-autoregresyjnych do modelowania gosodari Polsi... 09 Katarzyna Zeug-Żebro, Reonstrucja rzestrzeni stanów na odstawie wielowymiarowych szeregów czasowych... 9
6 Sis treści Summaries Beata Bal-Domańsa, Econometric analysis of sigma and beta convergence in the Euroean Union regions... 4 Andrzej Bą, Aneta Rybica, Marcin Peła, Main effects models and main and interactions models in conjoint analysis with alication of R software... 43 Katarzyna Budny, Kurtosis of a random vector... 53 Witor Ejsmont, Otimal class size of students... 65 Kamil Fijore, Regression model for data restricted to the interval (0,) Bayesian aroach... 76 Paweł Hanczar, Safety stoc level calculation in a suly chain networ... 8 Roman Hutas, Estimation methods of intraday seasonality in transaction financial data analysis... 96 Alesandra Iwanica, An imact of some outside ris factors on the finite- -time ruin robability for a multi-classes ris model... 09 Agniesza Liieta, States of contingent maret equilibrium... Krystyna Melich-Iwane, The Polish labour maret in light of the hysteresis theory... 3 Rafał Piszcze, Logit model alications for banrutcy modelling... 48 Marcin Salamaga, Attemt to verify the urchasing ower arity theory in the case of some foreign currencies... 59 Antoni Smolu, On dual rincile of linear rogramming... 68 Małgorzata Szulc-Jane, Analiza wływu reomendacji analityów na ceny acji branży aliwowej (Analiza wływu reomendacji analityów na ceny acji branży aliwowej)... 78 Jace Welc, A linear regression in estimating fundamental betas in the case of the stoc maret comanies from construction, it and food industries... 90 Andrzej Wilowsi, About the coefficient of correlation... 98 Mirosław Wójcia, Classification of new energy related technologies based on the determinants of their develoment... 08 Andrzej Wójci, Using vector-autoregressive models to modelling economy of Poland... 8 Katarzyna Zeug-Żebro, State sace reconstruction from multivariate time series... 7
PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 76 Eonometria 6 009 Witor Ejsmont Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu OPTYMALNA LICZEBNOŚĆ GRUPY STUDENTÓW Streszczenie: Artyuł oncentruje się na zastosowaniach modelu Lazeara. W ierwszej jego części oazano waruni, jaie owinny być sełnione, aby można było wyznaczyć otymalny rozmiar lasy. Nastęnie zastosowano model do danych rzeczywistych. W drugiej części rozszerzono twierdzenie Lazeara o sortowaniu studentów względem zachowania. Na ońcu rzedstawiono wniosi i sugestie wyniające z rzerowadzonych badań. Słowa luczowe: funcja roducji w eduacji, otymalny rozmiar lasy, uczenie.. Wstę Idea inwestycji w aitał ludzi jest tematem bardzo ważnym z untu widzenia eonomicznego. W artyule suiono się głównie na otymalnym zrównoważeniu omiędzy liczbą uczniów a otencjalnymi zysami osiąganymi rzez uczelnie wyższe. Insiracją do naisania artyułu była raca E.P. Lazeara Educational Production [00]. Pierwszą część racy stanowi zastosowanie modelu Lazeara do obliczenia otymalnej liczebności gruy studentów dla danych rzeczywistych. Sformułowano również ryterium matematyczne, oreślające, jaie zależności owinny być sełnione dla wyznaczenia otymalnego rozmiaru gruy. W drugiej części artyułu rozbudowano twierdzenie Lazeara o segregacji względem zachowania na rzyade wielowymiarowy. Artyuł ma wyjaśnić, ja duży wływ na otymalny rozmiar gruy ma zachowanie się studentów. Temat jest szeroo oisywany w literaturze, m.in. w racach [Aerhielm 995; Hanushe 998; Bernard, Brown, Helland 999]. Rezultaty zawarte we wsomnianej literaturze mają istotne znaczenie dla wyboru rozmiaru lasy, aczolwie na jej odstawie trudno jednoznacznie wybrać metodę, tóra najbardziej rzybliży nas do uzysania otymalnych rezultatów. Pojęcia lasa i grua będą stosowane zamiennie.
56 Witor Ejsmont. Model Lazeara Wrowadzenie arametru uwzględniającego zachowanie się studentów oiera się na idei, że zdolność jednych studentów zależy od zachowania się innych. Studenci wolą uczyć się w szołach, w tórych roces zdobywania wiedzy nie jest utrudniany rzez innych studentów. Utrudnienia, o tórych mówi Lazear, mogą być różnie interretowane. Na rzyład student zadający często ytania załóca roces eduacji ozostałym uczniom, tórzy w tym momencie tracą czas mogący osłużyć do zdobycia wiedzy. W rzerowadzonych badaniach za załócających uczniów uznano tych, tórzy otrzymali rzynajmniej jedną ocenę dwa jao ocenę ostateczną z danego rzedmiotu. Ich destrucyjny wływ możemy oisać w ten sosób, że odczas zajęć mogli nie słuchać tego, co ma do rzeazania wyładowca, zajmując się w tym czasie innymi rzeczami. Tym samym mogli rzeszadzać innym studentom w zdobywaniu wiedzy. Studenci nierzygotowani do egzaminu lub olowium dużo częściej róbują ściągać od tych dobrze rzygotowanych, co wływa na wynii osiągane rzez leiej rzygotowanych uczniów. Ponadto jeżeli w gruie studentów ształcących się w oreślonym ierunu znajdują się osoby, tóre nie radzą sobie z ewnymi rzedmiotami, to może mieć to negatywny wływ na wiedzę ozostałych. Zdarza się bowiem, że nauczyciel na rowadzonych zajęciach musi oświęcić im więcej czasu. Rozważane w niniejszym artyule dane rzeczywiste będą dotyczyły studiów uzuełniających magistersich, a więc możemy założyć, iż rzedmioty są już ściśle uierunowane. Na rzyład rzedmiot matematya na Wydziale Nau Eonomicznych dla nietórych studentów może wydawać się,,barierą nie do rzejścia, mimo iż ierune, na tórym studiują, jest zgodny z ich zainteresowaniami. Oznaczenia: rawdoodobieństwo, że student nie rzeszadza sobie i innym studentom, tzn. że zachowuje się dobrze, V wartość jednosti aitału wiedzy na rynu; w artyule będzie to czesne, W oszt, jai uczelnia onosi m.in. na wynagrodzenie nauczyciela; w naszym rzyadu będzie to oszt rowadzenia gruy studentów, Z liczba studentów, m liczba gru, na tóre są odzieleni studenci. Wówczas funcje zysu uczelni wyrazimy w ostaci (model Lazeara): Z/ m π (, Z, V, W, m) = ZV Wm. () Celem będzie masymalizacja owyższego wyrażenia w zależności od arametru m. Srócony zais π, jai zastosowano, jest równoważny z π (, Z, V, W, m). Otymalny rozmiar gruy otrzymujemy wówczas ze wzoru (załadamy równoliczność gru). Pojęcia student i uczeń będą stosowane zamiennie. n= Z / m ()
Otymalna liczebność gruy studentów 57 Aby wyznaczyć m, tóre masymalizuje model (), liczymy ochodną π / m, nastęnie otrzymane równanie rzyrównujemy do zera, czyli π Z Z/ m = V ln( ) W = 0, (3) m m i rozwiązujemy w zależności od arametru m. Parametry, Z, V i W tratuje się jao ustalone. O funcji π od tego momentu można myśleć ja o funcji jednej zmiennej m. Licząc drugą ochodną cząstową o m, mamy: Z / m m+ Zln π VZ = m ln 4 Załóżmy, że W > V. Załadam, że oszt ształcenia gruy studentów nie może być mniejszy od czesnego wnoszonego rzez ojedynczego studenta. Ze wzoru (3) widzimy, że π / m (, Z, V, W, Z) = Vln( ) W < Vln( ) V < 0, onieważ dla (0,) wartość wyrażenia ln( ) [ e,0). Zna wartości wyrażenia π / m zależy od m+ Zln. W uncie m= Zln / funcja zmienia zna w tai sosób, że: π / m < 0 dla m> Zln( ) /, m. π / m π / m > 0 dla m< Zln( ) /. Zauważmy, że Zln( ) / > 0. Widać również, że Z ln( ) / < Z dla > ex( ) 0,35.Czyli załadając, że,,jest blisie, zawsze będzie sełniony warune Z ln( ) / (0, Z). Funcja π / mzv, (,, W, m) jest malejąca dla m> Zln( ) /, rosnąca dla m < Z ln( ) / oraz π / mzv, (,, W, Z ) < 0. Łącząc owyższe faty, dochodzi się do wniosu, że aby równanie (3) miało rozwiązanie w rzedziale m (0, Z), musi być sełniony warune π R(, Z, V, W) = (, Z, V, W, Zln( )/) = m Z Z/( Zln( )/) = V ln( ) W > 0. ( Zln( ) / ) Przy czym m, tóre jest jednocześnie masimum loalnym funcji π (, Z, V, W, m), znajduje się w rzedziale ( Z ln( ) /, Z). Zauważmy, iż równanie () można srowadzić do ostaci: Z/ m π = V( Z mw / V). Ponieważ zmienne W, V są stałe, to masymalizacja równania () jest równoważna z masymalizacją wyrażenia ostaci:
58 Witor Ejsmont Z/ m ( Z mw'), (4) rzy czym W' = W / V. 3. Dane rzeczywiste Badania rzerowadzono na odstawie danych oisujących studentów rozoczynających studia zaoczne uzuełniające magistersie na Uniwersytecie Eonomicznym we Wrocławiu na Wydziale Zarządzania, Informatyi i Finansów, w rozbiciu na lata ształcenia oraz ieruni studiów. Tabele oniżej rzedstawiają szczegółowe zestawienie. Tabela. Zestawienie studentów Ro naui Kierune* Liczba studentów z oceną ndst. Liczba gru Średnia liczność gruy m otymalne Liczba studentów Modelowy rozmiar gruy R(, Z, V, W) 3 4 5 6 7 8 9 0 005/06 FiB 0 5 5 ZiM 59 6 6,5 0,9874 3,99076 39,8408 65 70,6354 006/07 FiB 5 08 4 7 0,9537 4,057 6,6583 37 04,47903 ZiM 3 6 5 3, 0,9744 4,593 7,344 7,94559 007/08 FiR 9 47 8 30,88 0,96356 9,4875 6,7063 0 39,09608 Z 6 97 7 0,946 8 339,68 * Sróty z olumny oznaczają: FiB ierune finanse i banowość. ZiM ierune zarządzanie i mareting. FiR ierune finanse i rachunowość. Z ierune zarządzanie. Źródło: Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu. Tabela. Zestawienie danych ieniężnych Ro Czesne V Koszt W W' 005/06 45,00 zł 6 09, zł,348 006/07 950,00 zł 8 565,06 zł 9,506 007/08 30,00 zł 0 95,8 zł 9,843 Źródło: Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu. W olumnie 3 tab. rzedstawiono liczbę studentów z oceną ndst. oreślającą tych studentów, tórzy dostali rzynajmniej jedną ocenę niedostateczną z jaiegoolwie rzedmiotu. Jest to ocena ostateczna wystawiona w ostatnim z możliwych terminów w semestrze zimowym. Liczba studentów to wszyscy studenci, tórzy
Otymalna liczebność gruy studentów 59 rozoczynali nauę w semestrze zimowym. Na odstawie olumny 5 oliczono olumnę 6 zawierającą liczbę studentów rzyadających na gruę. Prawdoodobieństwo jest to rawdoodobieństwo, że student zdał w ierwszym semestrze wszystie rzedmioty ozytywnie (tzn. ocena ze wszystich rzedmiotów była rzynajmniej dostateczna (3)), co będzie interretowane jao z modelu (). Jest ono liczone jao iloraz różnicy omiędzy olumnami 4 i 3 rzez olumnę 4. Kolumna 8 oznacza m, tóre jest rozwiązaniem równania (3) dla oszczególnych ierunów rowadzonych w różnych latach, co automatycznie daje modelowy rozmiar gruy zaisany wzorem (). Kolumna 0 zawiera wartość wsółczynnia R(, Z, V, W) oreślającego możliwość wyznaczenia otymalnego rozmiaru gruy. Kolumny tab. rzedstawiają olejno: ro aademici, V czesne włacane rzez studenta, W oszt rowadzenia gruy studentów, zmienną W' = W / V wyrażającą stosune osztów semestralnych rowadzenia gruy studentów do osztów, jaie onosi student na nauę w semestrze zimowym (czesne). Zgodnie z ogólnie rzyjętą zasadą rzy analizie rzyjęto onwencję zaorąglania do liczby całowitej. Widzimy, że w rou aademicim 005/006 rawdoodobieństwo otrzymania oceny ozytywnej na ierunu zarządzanie i mareting jest równe o. 0,99. Jest to wysoi wyni w orównaniu z ozostałymi ierunami. Zgodnie z twierdzeniem Lazeara rozmiar gruy rośnie w miarę wzrostu. Daje to w rzybliżeniu wyni 40 studentów rzyadających na jedną gruę. Wyni ten jest taże owodem dość wysoich osztów rowadzenia jednej gruy, tzn. wsółczynni osztów do władu finansowego studentów był najwyższy w latach 005/006. Twierdzenie Lazeara mówi o zwięszaniu się liczności gruy rzy zwięszaniu osztów rowadzenia gruy studentów. Te dwa czynnii sładają się na to, że otymalny rozmiar gruy jest na oziomie 40 osób, czyli o. 4 gru studentów. W tym rzyadu odejście modelowe jest nierealne. W 40-osobowej gruie studentów samo rowadzenie zajęć jest utrudnione ze względów technicznych. Na ierunu finanse i banowość w rou aademicim 005/006 było tylo 5 studentów. Można również zauważyć, że nie było studentów, tórzy otrzymali oceny niedostateczne, tym samym rawdoodobieństwo jest równe. Oczywiście rzy ta małej liczbie studentów ja najbardziej racjonalne jest utworzenie jednej gruy. Jednocześnie niemożliwe jest wyorzystanie modelu Lazeara z = do wyliczenia otymalnego rozmiaru gruy. W rou aademicim 006/007 mamy znacznie mniejsze oszty rowadzenia gruy studenciej. Prawdoodobieństwo dobrego zachowania się studentów jest również mniejsze niż w rou aademicim 005/006. Powoduje to sade rozmiaru gruy (w orównaniu z orzednim roczniiem) do oziomu 7 studentów
60 Witor Ejsmont w rzyadu ierunu FiB. Widzimy, że w rzyadu ierunu finanse i banowość zaorąglona liczba osób w gruie wyliczona na odstawie modelu Lazeara jest doładnie taa ja średni rozmiar gruy odgórnego odziału rzez administrację uczelni. Przeanalizujmy teraz ro aademici 007/008. Koszt rowadzenia gruy jest zbliżony do rou 006/007. Na ierunu FiR otymalny rozmiar gruy wynosi o. 7 studentów. Jest to mniejsza liczba studentów w gruie, niż wyniałoby z odziału administracyjnego. Na ierunu zarządzanie sytuacja wygląda już całiem inaczej, gdyż rzy rawdoodobieństwie = 0,946 oraz arametrach, tóre są zawarte w tab. i, funcja oisana wzorem () nie osiąga masimum dla m [0, Z]. Widzimy, że wartość wsółczynnia R(, Z, V, W) jest ujemna, to zaś otwierdza fat, że nie możemy wyznaczyć taiego m, tóre masymalizuje równanie (). R(, Z, V, W) 005/06 006/07 007/08 0 000,00 8 000,00 6 000,00 0,94473 0,94639 0,95637 4 000,00 000,00 0 000,00 0,930 0,93 0,934 0,936 0,938 0,940 0,94 0,944 0,946 0,948 0,950 0,95 0,954 0,956 0,958 0,960 4 000,00 6 000,00 8 000,00 0 000,00 000,00 Prawdoodobieństwo Rys.. Funcja R(, Z, V, W) w olejnych latach dla Z, V, W z tab. i oraz 0,93 0,96 Źródło: obliczenia własne. Rysune obrazuje granicę, jaiej nie może rzeroczyć rawdoodobieństwo, aby można było według idei Lazeara wyznaczyć otymalny rozmiar gruy. Granica ta jest wyraźnie uzależniona od wsółczynnia W '. Najniżej ołożona jest rzywa rocznia 005/006, otem odowiednio lat 007/008 oraz 006/007. W miarę wzrostu W ' rzywe ołożone są coraz niżej, co rzełada się na rzesuwanie wartości, rzy tórej możemy wyznaczyć otymalny rozmiar gruy
Otymalna liczebność gruy studentów 6 w ierunu. W rou aademicim 007/008 to rawdoodobieństwo owinno być na oziomie owyżej 0,94639, co jeszcze raz tłumaczy, dlaczego nie mogliśmy wyznaczyć otymalnego m w rzyadu ierunu zarządzanie. 4. Segregacja według tyu Załóżmy, że studentów jesteśmy w stanie odzielić na gru ze względu na rawdoodobieństwo. Niech,..., będą rawdoodobieństwami w olejnych gruach, tóre będziemy oznaczali odowiednio rzez A,..., A. Biorąc nadal od uwagę założenie o równoliczności las (w ażdej jest n studentów), będzie można zbudować daną lasę tylo ze studentów jednej z gru A i, rzy czym rzez α,..., α będziemy rozumieli udział studentów odowiednio z A,..., A. Czyli α +... + α = oraz α,..., α > 0, stąd taże rzy tych założeniach α i Z studentów ochodzi z gruy A i. Wówczas rzy owyższych oznaczeniach całowity zys uczelni segregującej uczniów ze względu na rawdoodobieństwo możemy wyrazić w ostaci: n n. π' = ZV( α +... + α ) Wm (5) Zauważamy również, że rzy owyższych założeniach zys uczelni bez segregacji ze względu na rawdoodobieństwo wynosi: α n α π '' = ZV(... ) Wm. (6) Przy czym budując bez segregacji, załadamy, że do danej lasy wejdą studenci ze wszystich gru A i, a ich udział w danej lasie będzie wyrażony odowiednio rzez liczby α,..., α. Zauważamy, że orównanie dwóch owyższy wielości (wyrażonych wzorami (5) oraz (6)) zależy od orównania wielości n n α α +... +α n oraz... α n. Zostanie teraz oazane, że π ' π ''. Zależność omiędzy tymi wielościami wynia bezośrednio z nierówności Jensena. Nierówność Jensena: dla dowolnych liczb a, a,..., a [0,] taich, że a +... + a =, oraz dowolnych liczb x, x,..., x P (gdzie P R jest rzedziałem) i dowolnej funcji wyułej f w P rawdziwa jest nierówność f ( ax i i ) a i f ( x i). i i= i= n n Za funcję f obieram funcję wyułą ostaci f ( x) = ex( x) oraz x = ln( ) i a = α, wówczas lewa strona nierówności Jensena wygląda nastęująco: i n n n ex αiln( i ) = α... α. i= i i
6 Witor Ejsmont Strona rawa tej samej nierówności równa się: n n α i i i = α i i = = i ex(ln( )). Potwierdza to ostatecznie tezę, że segregując studentów od względem rawdoodobieństwa dobrego zachowania się, otrzymujemy więszy zys wyjściowy. Leszy efet uzysujemy, jeżeli będziemy segregowali uczniów ze względu na rawdoodobieństwo, tzn. będziemy tworzyli lasy rozmiaru n, umieszczając w obrębie i tej gruy studentów, tórych zachowanie możemy oisać za omocą rawdoodobieństwa i. W dalszej części artyułu rzedstawiono ila symulacji, tóre obrazują, ja wygląda otymalny rozmiar lasy, jeżeli bierzemy od uwagę studentów z trzema różnymi rawdoodobieństwami. Na rysunach olorem różowym oznaczono rzywą zysu dla studentów osegregowanych, niebiesim zaś bez segregacji. Na osi odciętych zaznaczono olejne unty liczby gru, na jaie odzielilibyśmy wszystich studentów, czyli m, na osi rzędnych zaś odowiadające im wartości zysu. W legendzie zaznaczono otymalny rozmiar lasy, jai otrzymano dla tych m, tóre masymalizują funcję zysów. Z symulacji widzimy, że otymalna liczebność gruy studentów otrzymana w gruie z segregacją uczniów jest w ażdym z rozważanych rzyadów więsza od gruy tworzonej bez taiej segregacji. Rysune uazuje bardzo zbliżone funcje zysów i tym samym zbliżone rozmiary lasy. Jest to sowodowane rzede wszystim niewielimi różnicami omiędzy rawdoodobieństwami i. Na rysunach -5 widać, że rozroszenie i na więszy rozstę daje wyraźnie więsze różnice omiędzy zysami i tym samym otymalnymi rozmiarami las. Na rysunach 6 i 7 zauważamy, że dodając więszy udział studentów z mniejszym, 450 400 350 300 50 00 50 00 50 0 Bez segregacji otymalny rozmiar to 9 Segregacja otymalny rozmiar to 0 Rys.. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,99, = 0,98, 3 = 0,97, α = α = α3 = /3 Źródło: obliczenia własne.
Otymalna liczebność gruy studentów 63 Bez segregacji otymalny rozmiar to 5 300 50 00 50 00 50 0 Segregacja otymalny rozmiar to 8 Rys. 3. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,99, = 0,97, 3 = 0,93, α = α = α3 = /3 Źródło: obliczenia własne. Bez segregacji otymalny rozmiar to 5 50 00 50 00 50 0 Segregacja otymalny rozmiar to 7 Rys. 4. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,99, = 0,95, 3 = 0,93, α = α = α3 = /3 Źródło: obliczenia własne. Bez segregacji otymalny rozmiar to 4 60 40 0 00 80 60 40 0 0 0 Segregacja otymalny rozmiar to 6 Rys. 5. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,98, = 0,95, 3 = 0,90, α = α = α3 = /3 Źródło: obliczenia własne.
64 Witor Ejsmont Bez segregacji otymalny rozmiar to 5 50 Segregacja otymalny rozmiar to 7 00 50 00 50 0 Rys. 6. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,98, = 0,95, = 0,90, α = 0,5, α = 0,33, α = 0,6 3 3 7 Źródło: obliczenia własne. Bez segregacji otymalny rozmiar to 3 60 40 0 0 0 40 60 80 Segregacja otymalny rozmiar to 6 Rys. 7. Funcje zysu oisane wzorami (5) i (6) dla V =, Z = 999, W = 5, 30 m 89, = 0,98, = 0,95, 3 = 0,90, α = 0,67, α = 0,33, α 3 = 0,5 Źródło: obliczenia własne. owodujemy sade otymalnej liczebności gruy w rzyadu zarówno bez segregacji, ja i z segregacją studentów, czyli jest to naturalny efet zwięszenia udziału studentów o gorszym zachowaniu. 5. Zaończenie Widzimy, że rawdoodobieństwo dobrego zachowania było odobne w latach aademicich 006/007 i 007/008. Modelowe liczebności las, jaie otrzymano, stabilizują się na oziomie o. 7 studentów. Załadając, że wsółczynni W ' nie zmieni się bardzo istotnie w stosunu do orzednich lat, możemy stwierdzić, że otymalny rozmiar lasy owinien zachować się na odobnym oziomie, tzn. o. 7 studentów. Przy taiej rognozie oczywiście ważne jest, aby oziom egzaminów i zaliczeń ozostał tai sam, tj. aby odsete tych studentów, tórzy otrzymali rzynajmniej jedną ocenę niedostateczną, oscylował woół 5%. Zauważmy,
Otymalna liczebność gruy studentów 65 że w rou aademicim 005/006 rocent studentów mających ocenę niedostateczną jest nisi w stosunu do lat nastęnych. Trudno jest też tutaj mówić o odobnym oziomie nauczania. Oczywiście może to być sowodowane różnymi czynniami, szczególnie zmianami adrowymi i odmiennymi wymaganiami, jaie wyładowcy stawiają rzed studentami w oszczególnych latach. Rysune uazuje, ja małe może być, aby ierując się ideą Lazeara, wyznaczyć otymalny rozmiar gruy. Prawdoodobieństwo to musi być na oziomie owyżej wartości o. 0,94 dla lat 006/007 i 007/008. Zbyt małe wartości dla ierunu zarządzanie uniemożliwiają obliczenie otymalnego rozmiaru lasy. Wyres z rys. oazuje, że wielość wsółczynnia R zależy również od innych arametrów. Jeżeli W ' jest małe (n. obniżymy oszty ształcenia), to rzedział wyznaczający dziedzinę arametru oszerza się. Przerowadzone symulacje obrazują rzede wszystim, ja dużo możemy zysać, jeżeli segregujemy studentów ze względu na rawdoodobieństwo. Otymalne liczebności gru, jaie otrzymano dla studentów bez segregacji, były zawsze mniejsze od tych, dla tórych segregujemy uczniów. Tym samym w drugim rzyadu mamy zawsze mniejszą liczbę gru, co rzełada się na mniejsze oszty, jaie muszą onosić uczelnie. Straty te są szczególnie widoczne rzy sorym różnicowaniu gru ze względu na rawdoodobieństwo dobrego zachowania. Literatura Aerhielm K., Does Class Size Matter, Economics of Educational Review 995. Bernard K., Brown W.O., Helland E., School Size and the Distribution of Test Scores, unublished manuscrit, Claremont McKenna College, 999. Biernaci M., Problemy omiaru systemu ształcenia w szołach wyższych, UE, Kraów. Card D., Krueger A., Does Class Quality Matter?, Returns to Education and the Characteristic of Public School in the United States, Journal of Political Economy 99. Hanushe E., The Economics of Schooling, Journal of Economic Literature 986. Jaubowsi J., Sztencel R., Wstę do teorii rawdoodobieństwa, SCRIPT 004. Lazear E.P., Educational Production, The Quarterly Journal of Economics 00. Rosen S., Some Economics of Teaching, Journal of Labor Economics 987. Sander W., Catholic High Schools and Rural Academic Achievement, American Journal of Agricultural Economics 997. OPTIMAL CLASS SIZE OF STUDENTS Summary: The aer concerns the alication of model Lazear. In the first art of the aer the author introduces the mathematical conditions defining relationshi among variables that must be fulfilled to find otimal class size. Then he alies the model to real data. In the second art he extends the roosition of Lazear concerning the segregation of students by behaviour. At the end of the aer conclusions and suggestions resulting from the research are resented.