Krzemowe piezorezystywne czujniki wielkos ci mechanicznych Teoretyczne i praktyczne aspekty modelowania i konstrukcji 1

Krzemowe piezorezystywne czujniki wielkos ci mechanicznych Teoretyczne i praktyczne aspekty modelowania i konstrukcji Jest to maszynopis książki: Zenon Gniazdowski: Krzemowe piezorezystywne czujniki wielkości mechanicznych. Teoretyczne i praktyczne aspekty modelowania i konstrukcji. Instytut Technologii Elektronowej. Biblioteka Elektroniki, T. s.-97. Warszawa 5. ISBN 8-9479-6-4

SPIS TREŚCI I. WSTĘP... II. PIEZOREZYSTYWNOŚĆ... 7 II.. POJĘCIE TENSORA... 7 II... Tensor rzędu drugiego.... 7 II... Nieme wskaźniki... 8 II... Tensory wyższych rzędów... 9 II..4. Tensor w zmienionym układzie odniesienia... II..5. Macierzowy opis tensora...7 II..6. Tensory materii i tensory pola...8 II.. TENSOR REZYSTYWNOŚCI...8 II... Notacja wektorowa... II... Zmiana układu współrzędnych... II... Rezystywność w układzie odniesienia obróconym o 45 wokół osi Z...4 II..4. Powrót do starego układu współrzędnych zapis wektorowy...5 II..5. Tensor konduktywności...6 II.. MODELOWANIE MECHANICZNYCH WŁASNOŚCI STRUKTUR KRZEMOWYCH...7 II... Tensor naprężenia...9 II... Odkształcenie...6 II... Równania konstytutywne - Prawo Hooke a...44 II..4. Sformułowanie równań teorii sprężystości:...55 II..5. Metody rozwiązywania równań teorii sprężystości...58 II..6. Narzędzia do symulacji struktur mechancznych...6 II..7. Metoda elementu skończonego jako zagadnienie wariacyjne...65 II..8. Modelowanie struktur czujników metodą elementu skończonego...7 II.4. ZJAWISKO PIEZOREZYSTYWNOŚCI...77 II.4.. Wpływ obciążeń mechanicznych na rezystancję...77 II.4.. Wpływ obciążeń mechanicznych na rezystywność krzemu...79 II.4.. Matematyczny opis zjawiska piezorezystywności w krzemie...8 II.4.4. Identyfikacja tensora piezorezystywności...89 II.5. ZJAWISKA RÓWNOWAŻNE... 6 II.6. DYSKUSJA... III. PIEZOREZYSTOR... III.. TRAWIENIE ANIZOTROPOWE KRZEMU... III... Metody trawienia krzemu... III... Trawienie różnych płaszczyzn... 4 III... Kształty trawionych struktur... 4 III..4. Modelowanie trawienia... 9 III.. DOBÓR KONFIGURACJI PIEZOREZYSTORÓW... III... Rezystor w mostku Wheatstone a... 6 III... X-Ducer... 7 III... Czujnik temperatury... 9 III.. PRAKTYCZNY MODEL PIEZOREZYSTORA... 4 III.4. IDENTYFIKACJI WSPÓŁCZYNNIKÓW PIEZOREZYSTYWNOŚCI... 4 III.4.. Analiza metody... 45 III.4.. Błąd identyfikacji współczynników piezorezystywności... 55

III.4.. Modyfikacja metody identyfikacji... 65 III.5. DYSKUSJA... 7 IV. PRZYRZĄDY PIEZOREZYSTYWNE... 76 IV.. PARAMETRY FUNKCJONALNE CZUJNIKÓW... 76 IV.. CHARAKTERYSTYKA CZUJNIKA Z MOSTKIEM WHEATSTONE A... 78 IV.. NIELINIOWOŚĆ CHARAKTERYSTYKI CZUJNIKA... 8 IV... Nieliniowość przetwarzania: obciążenie mechaniczne - naprężenie. 8 IV... Nieliniowość przetwarzania: naprężenie - zmiana rezystancji... 85 IV... Nieliniowość przetwarzania: zmiana rezystancji - napięcie... 85 IV.4. PROJEKTOWANIE STRUKTUR CZUJNIKÓW PIEZOREZYSTYWNYCH... 86 IV.4.. Czujnik ciśnienia z płaską membraną... 87 IV.4.. Czujnik ciśnienia z lokalnie pogrubioną membraną... 9 IV.4.. Czujnik siły... 96 IV.4.4. Czujnik przyspieszenia... IV.5. DYSKUSJA... V. PODSUMOWANIE... 5 DODATEK... 9 DEFINICJA NORMY... 9 ILOCZYN SKALARNY... 9 ILOCZYN WEKTOROWY... WSKAŹNIKI MILLERA... WSPÓŁCZYNNIK CZUŁOŚCI DLA KRZEMU... WSPÓŁCZYNNIKI TEMPERATUROWE REZYSTANCJI I CZUŁOŚCI... OPERATOROWY OPIS RELACJI PRZEMIESZCZENIE ODKSZTAŁCENIE... 4 DRGANIA WŁASNE CIAŁ SPRĘŻYSTYCH... 5 GRUPA PRZEKSZTAŁCEŃ... 6 PIEZOEFEKTY... 7 LITERATURA...

I. WSTĘP Lord Kelvin (William Thomson) w roku 856 w wykładzie dla Towarzystwa Królewskiego (Royal Society) zatytułowanym On the Electrodynamic Qualities of Metals jako pierwszy doniósł o zmianach rezystywności przewodników metalicznych pod wpływem mechanicznego odkształcenia. Faktyczne zainteresowanie tym zjawiskiem datuje się od lat trzydziestych poprzedniego stulecia. Pierwszymi przyrządami opartymi o zmianę rezystancji z odkształceniami były elektryczne tensometry oporowe. W 97 r. E. E. Simmons w California Institute of Technology nakleił drut oporowy na konstrukcje mechaniczną. A. C. Ruge z MIT najpierw nakleił drut na cienką podkładkę papierowa, a potem tę nakleił na konstrukcje badaną. Od tamtej pory stosowano tensometry o różnych kształtach zarówno drutowe jak i foliowe. Prace Simmonsa i Ruge a stworzyły podstawy do rozpoczęcia produkcji tensometrycznych czujników oporowych. W roku 99 firma Baldwin Southwork Company uruchomiła ich produkcję [roliński,goepel]. W latach pięćdziesiątych odkryto zjawisko piezorezystywności w półprzewodnikach. Pod pojęciem piezorezystywność rozumie się zjawisko fizyczne, w którym wraz pojawieniem się naprężenia obserwuje się zmianę rezystywności. W roku 954 w swoim artykule Smith [Smith54] pokazał, że efekt piezorezystancyjny w monokrystalicznym krzemie i germanie jest prawie o dwa rzędy wielkości większy niż w przewodnikach metalicznych. Oznacza to, że czułość tensometrów półprzewodnikowych jest znacznie większa niż czułość tensometrów klasycznych. Poza tym, monokrystaliczny krzem ma także doskonałe własności mechaniczne [petersen]. To wszystko powoduje, że jest on użyteczny do konwersji wymuszeń mechanicznych na sygnał elektryczny. Zjawisko piezorezystywności Pojęcie piezorezystywność jest połączeniem dwóch słów piezo oraz rezystywność. Internetowy słownik grecko-angielski [greka] podaje, że greckie słowo πιέζω, którego transkrypcja na alfabet łaciński ma postać piezo, w tłumaczeniu na angielski znaczy press lub coerce, co w tłumaczeniu z angielskiego na polski znaczy naciskać lub przymuszać. W słowniku tym występuje także inne słowo o podobnym brzmieniu. Jest to słowo πίεση, którego transkrypcja zapisana alfabetem łacińskim ma postać piesi. Angielskie znaczenie tego słowa to pressure lub stress, co po polsku oznacza ciśnienie lub naprężenie. Słownik Wyrazów Obcych PWN podaje, że rezystancja pochodzi od francuskiego słowa résistance albo od jeszcze starszego słowa resistentia, wywodzącego się ze średniowiecznej łaciny i oznacza przeciwstawianie się lub odporność [Słownik].

zachodzące w krzemie jest intensywnie wykorzystywane w technice do realizacji czujników wielkości mechanicznych. Zjawisko piezorezystancyjne jest wykorzystywane w czujnikach do pomiaru wymuszeń mechanicznych takich jak ciśnienie, siła, przyspieszenie, a także do pomiaru naprężeń w strukturach krzemowych układów scalonych. Historycznie na początku zastosowań zjawiska piezorezystywności w krzemie w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych ubiegłego stulecia wykorzystywane były tensometry wykonane w postaci pręcików z krzemu jednorodnie domieszkowanego [polowczykphd]. Dalszy rozwój zastosowania zjawiska nastąpił z rozwojem technologii mikroelektronicznej wzbogaconej o metody trawienia anizotropowego, z czym wiąże się możliwość wytwarzania struktur o różnych kształtach [dziuban, lyshevski, maluf, ristic]. Teraz zamiast naklejanych pręcików stosuje się rezystory wdyfundowane w strukturę krzemową. W ten sposób zastosowanie zjawiska piezorezystywności w krzemie wpisuje się w historię tensometrii oporowej. Obecnie krzemowe czujniki piezorezystancyjne znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach ludzkiej działalności. Z zapotrzebowaniem rosną wymagania dotyczące wartości, powtarzalności i przedziałów tolerancji parametrów technicznych tych czujników. Aby spełnić te rosnące wymagania należy optymalizować ich parametry techniczne już na etapie projektowania, co wymusza konieczność modelowania [senturia97, senturia]. Wiąże się to z koniecznością zastosowania technik komputerowych. Rozwój tych technik jest kolejną przyczyną rozwoju dziedziny. Sprawne komputery wraz z odpowiednim oprogramowaniem, pozwalają analizować rozkłady naprężeń w różnych strukturach mechanicznych. Łącząc technologię z modelowaniem można projektować nowoczesne przyrządy wykorzystujące zjawisko piezorezystywności do pomiaru różnych wymuszeń mechanicznych. Norma [norma] podaje następujące wytłumaczenie znaczenia słowa czujnik : przyrząd, na który działa wielkość mierzona (pobudzenie) i który dostarcza sygnał wyjściowy (odpowiedź). (...) Słowo czujnik (ang. sensor) wywodzi się z łacińskiego słowa sentire, czyli odczuwać. Słowo czujnik ma pewne związki z naszymi ludzkimi zmysłami. Przez wykrywanie sygnału wejściowego (lub energii) i zamianę go na inną formę sygnału wyjściowego (lub energii) może on dostarczać informacji o sygnałach fizycznych i chemicznych, których nie można bezpośrednio (inaczej) odczuwać przez zmysły. Concise Oxford Dictionary określa czujnik jako przyrząd, który odpowiada na fizyczne (lub chemiczne) pobudzenie (takie jak ciepło, światło, dźwięk, ciśnienie, pole magnetyczne lub szczególne przemieszczenie) i przesyła wynikający stąd impuls (w celu zmierzenia lub sterowania procesem). Czujniki półprzewodnikowe są przyrządami półprzewodnikowymi, w których materiały półprzewodnikowe są odpowiedzialne za wyczuwanie. 4

Modelowanie nie jest sztuką dla sztuki. Celem modelowania jest zawsze zaprojektowanie przyrządu, najlepiej optymalnego w sensie przyjętych kryteriów. Koszty produkcji przyrządu są znaczne i dlatego nikt nie może sobie pozwolić na projektowanie metodą prób i błędów. Modelowanie jako znacznie tańsze, ma wspomagać proces projektowania. Ostatecznym jego celem jest obniżenie kosztów. Jednakże, aby modelowanie mogło być w sposób wiarygodny zastosowane, należy zwrócić uwagę na ograniczenia z nim związane [golomb]. W szczególności, powinny być spełnione trzy podstawowe warunki: Powinien być znany model, który dobrze opisuje modelowane zjawisko [nathan9, funk97]. W przypadku przyrządów piezorezystywnych konieczna jest formuła opisująca zależność rezystancji piezorezystora od rozkładu naprężeń; Powinny być dobrze określone dane wejściowe do modelu. W przypadku przyrządów piezorezystywnych oznacza to konieczność znajomości rozkładu naprężeń w piezorezystorze. Rozkład ten można otrzymać z symulacji metodą elementów skończonych (co też jest przykładem modelowania); Powinny być dobrze określone parametry modelu. Parametrami modelu piezorezystywności są współczynniki piezorezystywności, których wartości zależą od rozkładu domieszki w piezorezystorze. Ich identyfikacja jest niezbędna do wiarygodnego modelowania, a w konsekwencji do optymalizacji struktury czujnika. Przedmiotem niniejszej pracy jest modelowanie piezorezystywnych czujników krzemowych. Praca składa się z pięciu części - rozdziałów oraz dodatku. Pierwszy rozdział jest wstępem. Rozdział drugi dotyczy opisu zjawiska piezorezystywności. Istotną cechą tego zjawiska jest anizotropia. Obserwuje się anizotropię rezystywności, anizotropię naprężeń, a także anizotropię współczynników piezorezystywności. Anizotropię opisuje się przy pomocy tensorów. Tensory rezystywności i naprężenia są tensorami pola, zaś tensor piezorezystywności jest tensorem materii. Te trzy tensory należy omówić dla opisania zjawiska piezorezystywności. W rozdziale drugim najpierw omówiono tensor rezystywności, następnie tensor naprężenia i odkształcenia, a także prawo Hooke a oraz modelowanie mechaniczne struktur piezorezystywnych. To wszystko razem pozwoliło w dalszej części rozdziału opisać zjawisko piezorezystywności. 5

W rozdziale trzecim omówiono modelowanie piezorezystora. Projektowanie piezorezystora powinno uwzględniać anizotropię współczynników piezorezystywności oraz rozkład naprężeń. Dążąc do maksymalnej czułości należy tak dobrać położenie rezystora, aby iloczyny stosownych składowych naprężenia i składowych tensora piezorezystywności opisujące względny przyrost składowej tensora rezystywności były maksymalne. Rozkład naprężeń jest pochodną kształtu struktury krzemowej. Kształt struktury jest formowany przy pomocy mokrego trawienia chemicznego, które jest procesem anizotropowym. Dlatego, na wstępie tego rozdziału przedstawiono mokre anizotropowe trawienie krzemu. Następnie omówiono konfiguracje piezorezystora, jego model, a także sposób identyfikacji efektywnych współczynników piezorezystywności występujących w tym modelu. Rozdział czwarty zawiera omówienie modelowania wybranych przyrządów pracujących w oparciu o zjawisko piezorezystywności. Ponieważ w przyrządach opartych o zjawisko piezorezystywności powszechnie wykorzystuje się mostek Wheatstone a, omówiono parametry funkcjonalne mostka oraz problemy związane z ich modelowaniem, ze szczególnym uwzględnieniem nieliniowości. Następnie omówiono konstrukcję czujników ciśnienia z płaską i pogrubioną membraną oraz czujnik siły. Pokazano także czujniki przyspieszenia. W rozdziale tym zwrócono także uwagę na modelowanie dla celów diagnostycznych. W szczególności zwrócono uwagę na modelowanie rozrzutów napięcia niezrównoważenia sygnału oraz na modelowanie jego stabilności. Na końcu znajduje się rozdział piąty, będący podsumowaniem pracy. Po rozdziale podsumowującym zawarto dodatek, w którym przypomniano wybrane definicje, które są w pracy wykorzystywane. 6

II. PIEZOREZYSTYWNOŚĆ Niniejszy rozdział dotyczy modelowania zjawiska piezorezystywności w krzemie. Piezorezystywność jest zjawiskiem fizycznym polegającym na zmianie rezystywności materiału pod wpływem mechanicznego naprężenia. Wszystkie te wielkości fizyczne, czyli rezystywność, naprężenie oraz piezorezystywność są wielkościami tensorowymi. W celu pełnego przedstawienia zjawiska piezorezystywności najpierw zostanie wprowadzone pojęcie tensora. Następnie zostanie przedstawiony tensor rezystywności. Z kolei będzie omówione całe spektrum problemów związanych z modelowaniem mechanicznym: tensory naprężenia i odkształcenia, prawo Hooke a, równania elastyczności oraz metody i programy do ich rozwiązywania. W następnej kolejności zostanie przedstawione zjawisko piezorezystywności, w którym rezystywność zmienia się z naprężeniami. Na koniec będą pokazane zjawiska równoważne zjawisku piezorezystywności. II.. Pojęcie tensora Zakłada się istnienie prostokątnego układu współrzędnych. Wielkości, które nie zależą od układu odniesienia są skalarami. Skalarem jest np. masa lub temperatura. Skalar jest określony przez jedną liczbę i nosi nazwę tensora zerowego rzędu. W przeciwieństwie do skalarów, pewne inne wielkości definiuje się z uwzględnieniem kierunku np. siłę F F, F, ], czy natężenie pola elektrycznego E E, E, ]. [ F [ E Te wielkości noszą nazwę wektorów. Dla ustalonego układu współrzędnych, wektor jest całkowicie określony przez podanie jego trzech składowych. Te składowe, to prostopadłe rzuty wektora na poszczególne osie układu. Ujawnia się to przez odpowiednie wskaźniki występujące w opisie składowych wektora. Wektor nazywany jest także tensorem rzędu pierwszego [Nye]. II... Tensor rzędu drugiego. Jeśli jakaś wielkość fizyczna T wiąże dwa wektory p p, p, ] i q q, q, ] tak, że: [ q [ p p p p T q T T q q T T T q q q T T T q q q (II..) 7

gdzie T ij są stałymi, to wszystkie elementy T ij tworzą tensor drugiego rzędu. Tensor rzędu drugiego określony jest przez dziewięć liczb, które tworzą macierz kwadratową [Nye]. Wskaźnik pierwszy w opisie elementu tensora oznacza numer wiersza macierzy, zaś wskaźnik drugi oznacza numer kolumny macierzy: T T T T T T T T T (II..) Z drugiej strony, patrząc na układ (II..), element tensora o dwóch wskaźnikach odpowiada za związek pomiędzy odpowiednią składowa wielkości p i q. Wskaźnik pierwszy wskazuje na składową wektora p, zaś wskaźnik drugi na składowa wektora q. Tensor rzędu drugiego wiąże ze sobą dwa tensory rzędu pierwszego. Tensory rzędu pierwszego mają po trzy składniki. Tensor rzędu drugiego ma tyle składników, aby związać każdy element pierwszego tensora z każdym elementem tensora drugiego, czyli ma dziewięć składników. W jego opisie występują dwa wskaźniki. Liczba wskaźników jest równa rzędowi tensora [Nye]. Przykładem tensora drugiego rzędu może być tensor rezystywności lub konduktywności, które wiążą ze sobą wektor pola elektrycznego z wektorem gęstości prądu. II... Nieme wskaźniki I-te z równań układu (II..) można zapisać w sposób następujący: p T q ( i,,) (II..) i j Opuszczając znak sumowania otrzymuje się: ij j pi Tijq j ( i, j,,) (II..4) Zależność (II..4) przedstawia tzw. umowny zapis sumowania. Sumowanie odbywa się względem tego wskaźnika, który występuje dwa razy w tym samym wyrazie. Zgodnie z tym, w (II..4) sumowanie odbywa się po wskaźniku j. Wskaźnik j nazywany jest wskaźnikiem niemym, zaś wskaźnik i wskaźnikiem wolnym. Wskaźnik niemy występuje w odpowiednich wyrazach parami, zaś wskaźnik wolny we wszystkich wyrazach po obydwu stronach równości. W iloczynie wyrażenia (II..4) nie jest istotna kolejność elementów [Nye]. 8

II... Tensory wyższych rzędów Tensorem trzeciego rzędu jest zbiór wielkości b ijk, który wiąże dwa tensory a i i c jk za pomocą równania, które zapisane przy pomocy niemych wskaźników ma postać: a b c, (II..5a) i ijk jk gdzie a i jest tensorem rzędu pierwszego (wektorem) i ma trzy składniki, zaś c jk jest tensorem rzędu drugiego, który zawiera dziewięć składników. Tensor b ijk musi mieć tyle elementów składowych, aby wiązać każdy element tensora a i z każdym elementem tensora c jk. Podobnie, można zapisać związek pomiędzy dziewięcioelementowym tensorem rzędu drugiego a jk, a trzyelementowym tensorem rzędu pierwszego c i : a b c (II..5b) jk ijk W obydwu wyrażeniach (II..5) tensor trzeciego rzędu b ijk jest układem dwudziestu siedmiu liczb, który można reprezentować w postaci kostki sześciennej o rozmiarze. W jego opisie występują trzy wskaźniki [nye]. Przykładem tensora rzędu trzeciego jest tensor modułów piezoelektryczności d ijk. W zjawisku piezoelektrycznym prostym tensor ten wiąże wektor momentu elektrycznego z tensorem naprężenia, analogicznie jak wyrażenie (II..5a). W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym tensor pola elektrycznego, analogicznie jak w (II..5b). i d ijk wiąże tensor odkształcenia z wektorem Tensorem czwartego rzędu jest zbiór wielkości c ijkl, który wiąże dwa tensory a ij i b kl za pomocą równania, które zapisane przy pomocy niemych wskaźników ma postać: a c b (II..6) ij ijkl kl Tensory a ij i b kl są tensorami rzędu drugiego i mają po dziewięć składników. Tensor c ijkl musi mieć tyle elementów składowych, aby wiązać każdy element tensora a ij z każdym elementem tensora b kl, czyli jest to układ osiemdziesięciu jeden liczb c ijkl. W opisie tensora czwartego rzędu występują cztery wskaźniki [nye]. Przykładem tensora 9

rzędu czwartego może być tensor sztywności, wiążący tensor naprężenia (tensor rzędu drugiego) z tensorem odkształcenia (tensor rzędu drugiego). Analizując wyrażenia (II..5) i (II..6), widać celowość wprowadzenia niemych wskaźników. Szczególnie jest to widoczne, gdy próbować rozwinąć wyrażenie (II..6) do postaci sumy iloczynów. Rozwinięcie prowadzące do znalezienia jednego z elementów tensora składników. Rozwinięcie względem a ij tylko względem wskaźnika l prowadzi do sumowania trzech k zwielokrotniłoby ilość elementów w wyrażeniu do dziewięciu. W sumie dla dziewięciu elementów tensora dziewięć sum po dziewięć składników [nye]. II..4. Tensor w zmienionym układzie odniesienia a ij dałoby to Rozważa się wektor (tensor rzędu pierwszego) w danym płaskim układzie współrzędnych. Wektor ten na płaszczyźnie opisany jest dwoma składowymi, które są długościami rzutów wektora na osie układu odniesienia. Jeżeli obrócić układ odniesienia (Rys. II..), to w innym układzie współrzędnych zmienią się długości rzutów tego wektora na nowe osie układu odniesienia. W ten sposób ten sam wektor jest opisany przez inny zbiór składowych. Z Rys. II.. widać, że wektor nie ulega zmianie, natomiast zmieniają się jego składowe. Jeżeli znany jest zbiór elementów składowych wektora przed transformacją, a także znana jest transformacja, to na jej podstawie można znaleźć zbiór składowych opisujących wektor w nowym układzie współrzędnych. Ponieważ składowe elementy wektora zależą od układu odniesienia, to także składniki tensora rzędu drugiego, które wiążą poszczególne składniki dwu wektorów w wyrażeniu (II..4), także zależą od układu odniesienia. Analogicznie rzecz ma się z tensorami rzędu trzeciego i czwartego. Aby rozwiązać problem zmiany składowych tensora ze zmianą układu odniesienia, najpierw potrzeba opisać transformację układu odniesienia, a potem transformację danego tensora.

Rys. II... Zmiana składowych wektora z obrotem układu odniesienia: a) pierwotny układ odniesienia; b) obrócony układ odniesienia a) Transformacja układu współrzędnych Rozważa się transformację układu współrzędnych polegającą na jego obrocie, bez zmiany jego początku oraz bez zmiany jednostek miary wzdłuż wszystkich osi. Przyjmuje się oznaczenie X, X, X dla układu przed transformacją, oraz X, X ', ' dla układu po transformacji. Tabelka cosinusów kierunkowych ' X pomiędzy osiami przed transformacją, a osiami po transformacji jest przedstawiona w Tab. II... Tab. II... Tabelka cosinusów kierunkowych pomiędzy osiami przed obrotem i po obrocie osie przed transformacją osie po transformacji X X X ' ' ' X a a a X a a a X a a a Pierwszy wskaźnik przy a odnosi się do osi układu po transformacji, drugi zaś do osi przed transformacją. W ten sposób a ij jest cosinusem kąta pomiędzy osią X i ' a osią

X j. Wszystkie współczynniki a stanowią macierz, którą oznacza się jako a ). Jej ij składniki są od siebie wzajemnie zależne. Każdy wiersz w Tab. II.. przedstawia trzy cosinusy kierunkowe prostej w odniesieniu do ortogonalnych osi X, X, X, stąd dla i-tej osi: ( ij a a a (II..7) i i i Zapisane przy pomocy niemych wskaźników wyrażenie (II..7) Można przedstawić w sposób następujący: a ik a jk dla i j (II..8) Każda para wierszy w Tab. II.. przedstawia cosinusy kierunkowe dwóch wzajemnie prostopadłych linii prostych. Dlatego, z własności iloczynu skalarnego dla wierszy i, j takich, że i j : a a a a a a (II..9) i j i j i j Wyrażenie (II..9) z niemymi wskaźnikami ma postać: a ik a jk dla i j (II..) W formie skróconej, przy pomocy niemych wskaźników, obydwie zależności (II..8) i (II..) można zapisać: Gdzie ij jest deltą Kroneckera: aika jk, (II..) ij dla i j ij (II..) dla i j Dodatkowo, wyznacznik macierzy a. Gdy transformacja prowadzi do zmiany ij prawoskrętności układu odniesienia na jego lewoskrętność, wyznacznik jest równy, w przypadku przeciwnym jego wartość jest równa jedności [nye]. Mnożąc macierz a a T a a a a a a a a a a a a T a przez a otrzymuje się: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (II..) Z powyższego wzoru oraz na podstawie zależności (II..) opisującej własności macierzy transformacji ( a ij ) zachodzi równość:

gdzie a a a (II..4) a T a jest macierzą odwrotną do a. Stąd: a T a. (II..5) Rys. II... Obrót kartezjańskiego układu odniesienia wokół osi X o kąt. W algebrze liniowej macierz o takich własnościach nosi nazwę macierzy ortogonalnej [kiełb]. Na Rys. II.. pokazano obrót kartezjańskiego układu współrzędnych o kąt wokół osi X. Kąty między osiami układu odniesienia są przedstawione w Tab. II... Powyższym kątom odpowiadają kosinusy kierunkowe, które są zawarte w Tab. II... Tab. II... Kąty między osiami układu odniesienia przed obrotem i po obrocie

osie po transformacji X X X ' ' ' X osie przed transformacją X X Tab. II... Kosinusy kierunkowe kątów między osiami układu odniesienia przed obrotem i po obrocie przed transformacją X X X X ' cos cos cos po transformacji X ' cos cos cos X ' cos cos cos Korzystając z wzorów redukcyjnych, powyższą tabelkę cosinusów kierunkowych można przedstawić w postaci macierzy obrotu układu odniesienia wokół osi X o kąt. Macierz tę można oznaczyć jako R ( X, ) : cos( ) sin( ) R ( X, ) sin( ) cos( ) (II..6) Analogicznie, można przedstawić macierze obrotu układu odniesienia o kąt wokół pozostałych osi [auld]. Macierz obrotu R ( X, ) układu odniesienia wokół osi X o kąt ma postać: cos( ) sin( ) R ( X, ), (II..7) sin( ) cos( ) zaś odpowiednia macierz obrotu R ( x, ) układu odniesienia wokół osi X ma postać: 4

, R ( X, ) cos( ) sin( ) (II..8) sin( ) cos( ) b) Transformacja składowych tensora Przyjmuje się istnienie pewnego kartezjańskiego układu współrzędnych X, X X, do którego odnoszą się składniki tensora T. Zakłada się obrót tego układu zgodnie z macierzą obrotu a, zawierającą odpowiednie cosinusy kierunkowe: a a a a a a a. (II..9) a a a Po transformacji, zgodnie z przedstawioną wyżej macierzą obrotu, nowy układ współrzędnych ma osie tensor rzędu [nye]. X ', X ', X '. W nowym układzie tensor T przechodzi w T '. Tab. II..4 przedstawia prawa transformacji tensorów aż do czwartego Tab. II..4. Prawa transformacji tensorów RZĄD TENSORA NOWE SKŁADOWE WYRAŻONE PRZEZ STARE ' T' a T i ij j T' a T ij ik jl kl T' a ijk il jm kn lmn T' a 4 ijkl im jn ko lp mnop a a a a a a T T STARE SKŁADOWE WYRAŻONE PRZEZ NOWE ' T ijkl T ijk T T a T' ij a i ki ji a a T' a mi li a a nj mj a lj a ok nk a j kl T' pl lmn T' mnop UWAGA skalar wektor Z transformacjami tensora wiąże się jego definicja. Według tej definicji tensor jest wielkością fizyczną, której składowe transformują się zgodnie z prawami przedstawionymi w Tab. II..4 [nye]. c) Złożenie transformacji Niekiedy istnieje potrzeba znalezienia elementów składowych tensora, w przypadku wielokrotnych obrotów układu odniesienia. W tym celu należy znaleźć wypadkową macierz cosinusów kierunkowych, wynikającą z nakładania się kolejnych obrotów. Ponieważ w wyrażeniu na składowe obróconego wektora bezpośrednio występuje macierz cosinusów kierunkowych, to dokonując wielu kolejnych obrotów 5

wektora, można znaleźć macierz wypadkową, która jest jednocześnie macierzą cosinusów kierunkowych dla wypadkowej zmiany układu współrzędnych. x, Rozważa się wektor x, x x T w pewnym kartezjańskim układzie odniesienia. Zakłada się obrót tego układu zgodnie z macierzą obrotu a (II..9). W wyniku tego obrotu wektor x będzie postrzegany jako wektor ' x ' z nowymi T współrzędnymi x [ x', x', x' ]. Na podstawie wzoru z Tab. II..4, obrót wektora x jest opisany przy pomocy niemych wskaźników, następującym równaniem: x' a x. (II..) i ij j Prawa strona tego równania jest równoważna zwykłemu mnożeniu macierzy kwadratowej a przez wektor x : x' ax. (II..) Analogicznie, jeżeli dalej obracać układ odniesienia zgodnie z macierzą obrotu b, to, wektor x ' przejdzie w wektor x '' zgodnie z zależnością: x' ' bx'. (II..) Podstawiając za x ' prawej strony ze wzoru (II..), otrzymuje się: x' ' bax (II..) Korzystając z prawa łączności dla mnożenia macierzy można napisać: x '' ( ba) x (II..4) Jeżeli wypadkową macierz obrotu oznaczyć jako w, to odpowiednie wyrażenie ma postać: x '' wx ( ba) x. (II..5) Na tej podstawie, złożenie dwóch kolejnych obrotów - najpierw obrotu opisanego macierzą a, a potem obrotu opisanego macierzą b - daje wypadkową macierz obrotu w : w ba. (II..6) Analogicznie rozumując, jeżeli rozważyć kolejny obrót c, to wypadkowa macierz obrotu ma postać: w cba. (II..7) Powyższe rozumowanie można uogólnić na dowolną ilość obrotów. Istotną własnością składania obrotów jest to, że ich złożenie lub złożenie ich odwrotności jest także obrotem (wzory II..6 oraz II..7). Można również zauważyć, że dla obrotów układu odniesienia spełnione następujące warunki: 6

Pośród wszystkich obrotów, istnieje obrót neutralny względem operacji składania obrotów. Jest to obrót o kąt zerowy, zwany niekiedy obrotem identycznościowym; Dla każdego obrotu istnieje obrót przeciwny (dopełniający), taki że złożenie danego obrotu i obrotu do niego przeciwnego daje obrót identycznościowy (wzory II..4 i II..5 oraz Tab. II..4); Składanie obrotów jest operacją łączną. Warunki te dowodzą, że dla obrotów spełnione są wszystkie aksjomaty grupy. Zbiór wszystkich obrotów układu odniesienia jest tzw. ciągłaą grupą Liego [steen] II..5. Macierzowy opis tensora Wielkości tensorowe mogą być symetryczne ze względu na pewne wskaźniki. W związku z tym redukuje się liczba niezależnych składników tensora. Fakt ten daje możliwość zastosowania opisu wektorowego lub macierzowego dla tensorów rzędu drugiego lub wyższych rzędów. I tak na przykład, dziewięcioskładnikowe tensory drugiego rzędu takie jak naprężenie, odkształcenie, konduktywność lub rezystywność mające po sześć niezależnych składników można zapisać w postaci wektora o sześciu elementach składowych. Podobnie, ze względu na symetrię, tensory rzędu czwartego takie jak tensor piezorezystywności lub tensor elastyczności mają co najwyżej po trzydzieści sześć niezależnych elementów. Dzięki temu tensory te można zapisać w postaci macierzy kwadratowej o wymiarach 6 6. Dodatkowo, liczba składników tensorów materii, dla monokryształów lub substancji izotropowych może ulegać dalszej redukcji, co powoduje, że opisująca je macierz kwadratowa może być symetryczna, a także może mieć tylko kilka niezerowych elementów [nye]. Z jednej strony operacje na tensorach zapisane przy pomocy niemych wskaźników, charakteryzują się zwięzłością i elegancją. Z drugiej praktyczne wykorzystanie operacji w takiej formie prowadzi do pewnych trudności technicznych polegających na tym, że rozwinięciem takich operacji jest przedstawienie w postaci wielu sum z wieloma składnikami. Technicznie znacznie prostsze są operacje na tensorach reprezentowanych w postaci wektorów lub macierzy. Taka reprezentacja umożliwia zastosowanie algebry liniowej do realizacji operacji na tensorach. Stąd w analizie wielkości tensorowych powszechnie używa się zapisu w postaci wektorów lub macierzy, zamiast zapisu tensorowego. Aksjomaty grupy przedstawiono w dodatku na końcu pracy. 7

Operacje na tensorach zapisanych w postaci macierzy lub wektorów można także zapisywać przy pomocy niemych wskaźników [nye]. Jednakże w opisie tak przedstawionych operacji można wskaźniki zupełnie pomijać, pamiętając, że operacje te są zwykłym mnożeniem macierzy i/lub wektorów. Dla takiego mnożenia obowiązują wszystkie prawa algebry liniowej. II..6. Tensory materii i tensory pola Rozróżnia się dwa rodzaje wielkości tensorowych. Pierwsze z nich są nazywane tensorami materii, drugie tensorami pola [nye]. Tensory materii opisują własności fizyczne kryształu. Te własności to m.in. sprężystość, elastyczność, przenikalność dielektryczna, podatność magnetyczna, piezorezystywność. Wielkości te mają określone orientacje, które zależą od symetrii kryształu. Symetria kryształu znacznie redukuje liczbę niezależnych składników tensorów materii. W przeciwieństwie do tensorów materii, tensory pola nie opisują własności kryształu, a tylko stan ciała również izotropowego w związku z oddziaływaniem zewnętrznym. Do grupy tensorów pola należy tensor naprężenia i tensor odkształcenia. II.. Tensor rezystywności W pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych pole elektryczne w przewodniku jest wektorem opisanym przez jego składowe: E E, E, ]. (II..) [ E Poszczególne składowe wektora E są równoległe do odpowiednich osi układu współrzędnych: E jest równoległa do osi X układu odniesienia, E jest równoległa do osi Y, a E jest równoległa do osi Z kartezjańskiego układu odniesienia. Podobnie, gęstość prądu opisuje wektor: j j, j, ]. (II..) [ j Analogicznie, jak składowe pola elektrycznego, składowe gęstości prądu są także odpowiednio równoległe do osi układu odniesienia [nye]. Jeżeli przewodnik jest izotropowy, to zgodnie z prawem Ohma, wektor gęstości prądu jest równoległy do wektora natężenia pola, czyli wielkość wektora j jest proporcjonalna do wektora E. Można to zapisać jako: 8

E j, (II..) gdzie jest rezystywnością. Dla ustalonego układu współrzędnych zachodzą następujące zależności: E j, E j E j. (II..4), Powyżej widać, że każda składowa wektora E jest proporcjonalna do odpowiedniej składowej wektora j. Kierunek wektora gęstości prądu oraz kierunek wektora natężenia pola elektrycznego są identyczne. Jeżeli przewodnik jest kryształem, to jego własności na ogół są anizotropowe. Wtedy związek (II..) trzeba zastąpić zależnością: E E E j j j j j j j j j, (II..5) gdzie każda składowa wektora pola elektrycznego E jest związana z każdą składową wektora gęstości prądu j przez stałą wielkość ij : każda składowa pola elektrycznego E jest liniową kombinacją wszystkich trzech składowych wektora gęstości prądu j. Z powyższej zależności widać, że w przypadku anizotropowym wektory E i j nie mają już tego samego kierunku [nye]. Związek trzech składowych pola elektrycznego i trzech składowych gęstości prądu wymaga dziewięciu ( ) współczynników ij. W zapisie macierzowym układ (II..5) można zapisać w następujący sposób: E E E j j j W układzie tym występuje kwadratowa macierz dziewięciu składników określająca rezystywność: (II..6) ij, (II..7) Macierz ta przedstawia tensor rzędu drugiego. W zależności (II..6) wskaźnik pierwszy wskazuje na składową pola elektrycznego, zaś wskaźnik drugi na składową gęstości prądu. W szczególności, jeśli rozważyć składową pola elektrycznego E i 9

składową gęstości prądu j, obydwie równoległe do osi X układu współrzędnych, to są one związane współczynnikiem reprezentującym odpowiednią składową tensora rezystywności: oznacza to, że dla danego napięcia działającego wzdłuż osi X i mierzonego prądu wzdłuż kierunku równoległego do tej samej osi, relacja pomiędzy tymi wielkościami wynika z wartości składnika. Tensor rezystywności jest symetryczny względem zmiany indeksów [ney,nowick,polowczyk-artyk]: ij ji (II..8) Oznacza to, że macierz (II..7) jest macierzą symetryczną. Z tego wynika, że w przypadku ogólnym tensor rezystywności zawiera tylko 6 niezależnych składników. W przypadku izotropowym, kiedy obydwa wektory tensor rezystywności ma postać: E i j są równoległe,. (II..9) II... Notacja wektorowa W związku z tym, że tensor rezystywności jest symetryczny, a więc ma tylko sześć niezależnych składników, można dokonać zastąpienia dwóch wskaźników w tensorze rezystywności jednym wskaźnikiem w następujący sposób:,,, 4, 5, 6, (II..) Dzięki temu w ogólnym przypadku tensor rezystywności może być reprezentowany jako wektor o sześciu składowych [nye] : 4 5, T 6,,,, (II..) Jeśli istnieje potrzeba, choćby po to, aby zapisać równanie (II..5) lub (II..6), z zapisu wektorowego z sześcioma składnikami można wrócić do zapisu w postaci tensora drugiego rzędu w sposób następujący: 6 5 6 4 5 4 (II..) Dla przewodnika izotropowego, tensor rezystywności w zapisie wektorowym przyjmuje następującą postać:

II... Zmiana układu współrzędnych T,,,,, (II..) Przedstawione wyżej rozumowanie dotyczy przypadku, gdy rozważa się rezystywność w danym układzie odniesienia. Jeśli obrócić układ odniesienia, to składniki tensora rezystywności ulegną zmianie. Należy znaleźć relacje pomiędzy rezystywnością w różnych układach współrzędnych. W przypadku ogólnym, dla zapisu tensorowego te zależności są znane [Ney] (Tab. II..4). Zapis ten jest nie wygodny z punktu widzenia praktycznego, dlatego należy znaleźć równoważny opis problemu w zapisie wektorowym. Rozważa się tensor rezystywności w układzie odniesienia związanym z osiami krystalograficznymi: 6 5 6 4 5 4 Jeśli obrócić ten układ współrzędnych tak, że macierz obrotu ma postać (II..9): (II..4) a a a ( a ij ) a a a, (II..5) a a a to w zapisie z niemymi wskaźnikami rezystywność w nowym układzie współrzędnych można zapisać w następujący sposób (Tab. II..4): a a. (II..6), ij ik jl kl Dla powyższej transformacji można wyprowadzić zapis macierzowy, który będzie alternatywą dla przedstawienia tensorowego [Smith58]. Można tego dokonać wychodząc od analizy zachowania wektorów pola elektrycznego i gęstości prądu w obróconym układzie odniesienia. Dla danego układu współrzędnych zależność pomiędzy wektorem natężenia pola i wektorem gęstości prądu ma postać: E j (II..7) Pole elektryczne E i gęstość prądu j są tensorami rzędu pierwszego, czyli wektorami. Ich transformacja przy zmianie układu współrzędnych ma postać (Tab. II..4): E' ae (II..8)

j' aj (II..9) Przejście z nowego układu współrzędnych do starego dla pola elektrycznego wyraża się zależnością gdzie T E a E', (II..) T a jest transpozycją macierzy a. Z (II..5) wiadomo, że a T a. (II..) Mnożąc obydwie strony równania (II..7) lewostronnie przez a otrzymuje się: ae a j (II..) Pomiędzy i j można wstawić wyrażenie a a, które jest macierzą jednostkową. Stąd, na podstawie prawa łączności mnożenia, wstawiając nawiasy, otrzymuje się: Korzystając z równań (II..8) i (II..) można napisać: ae ( a a ) a j. (II..) E ' ( a a ) a j (II..4) Z drugiej strony, w nowym układzie współrzędnych słuszne jest równanie: E' ' j'. (II..5) Na tej podstawie, porównując równania (II..4) i (II..5) oraz uwzględniając równanie (II..9), otrzymuje się: Na podstawie (II..) otrzymuje się: ' aa. (II..6) T ' aa (II..7) Mnożąc odpowiednie składniki prawej strony powyższego równania przez siebie, otrzymuje się 6 równań, które można zapisać w postaci macierzowej: '. (II..8) Macierz jest macierzą o rozmiarze 6 6. Macierz tę można zapisać w postaci macierzy blokowej o następującej postaci: A A. (II..9) A A4 Macierze A, A, A i A 4 są macierzami kwadratowymi o rozmiarze. Ich konstrukcja są następujące [ting]:

a a a A a a a, (II..) a a a aa aa aa A aa aa aa, (II..) aa aa aa aa aa aa A aa aa aa, (II..) aa aa aa aa aa aa aa aa aa A 4 aa aa aa aa aa aa. (II..) aa aa aa aa aa aa MACIERZ A : Składniki tej macierzy są podniesionymi do kwadratu odpowiednimi składnikami macierzy a. Tab. II.. 5. Konstrukcja macierzy obrotu. MACIERZ A : Składnik o indeksie ij tej macierzy jest iloczynem składników i-tego wiersza w macierzy a, z pominięciem elementu a ij. MACIERZ A : Składnik o indeksie ij tej macierzy jest iloczynem wszystkich składników j- tej kolumny w macierzy a za wyjątkiem elementu a ij. MACIERZ A 4 : Jeżeli z macierzy a wyeliminować i-ty wiersz i j-tą kolumnę, to pozostałe elementy tej macierzy utworzą zredukowaną macierz kwadratową o rozmiarze. Składnik o indeksie ij macierzy A 4 jest sumą iloczynów elementów przekątniowych powyższej macierzy zredukowanej. Tablica I.6. Transformacja tensora rezystywności w zapisie tensorowym i macierzowym ZAPIS TENSOROWY a a, ij ik jl kl ZAPIS MACIERZOWY '

4 Sposób tworzenia poszczególnych macierzy przedstawia Tab. II..5 [AULD]. Rezystywność po zmianie układu współrzędnych można przedstawić zarówno w zapisie tensorowym przy pomocy macierzy obrotu a, jak i w zapisie macierzowym przy pomocy macierzy. W Tab. II..6 przedstawiono porównanie obydwu zapisów, które są równoważne. Powszechnie w literaturze (np. [goepel,thurston]) przyjmuje się następujące oznaczenie składników macierzy obrotu (II..9):. ) ( n m l n m l n m l a a a a a a a a a a ozn ij, (II..4) Korzystając z zależności od (II..9) do (II..4), można znaleźć macierz obrotu dla tensora rezystywności przedstawionego w postaci wektorowej: m l m l l n n l m n m n n n m m l l m l m l l n n l m n m n n n m m l l l m m l l n n l m n n m n n m m l l m l l n m n n m l m l l n n m n m l m l l n m n n m l. (II..5) Rezystywność w postaci wektorowej po dokonaniu obrotu zgodnie z równaniem (II..8) będzie równa: 6 5 4 ' 6 ' 5 ' 4 ' ' ' m l m l l n n l m n m n n n m m l l m l m l l n n l m n m n n n m m l l l m m l l n n l m n n m n n m m l l m l l n n m n m l m l l n n m n m l m l l n m n n m l. (II..6) II... Rezystywność w układzie odniesienia obróconym o 45 wokół osi Z Przyjmując obrót układu współrzędnych o 45 wokół osi Z, macierz kosinusów kierunkowych ma postać: a (II..7)

5 Macierzy obrotu a odpowiada macierz :.5.5.5.5.5.5 (II..8) Rozpisując operację (II..6) otrzymuje się: 6 5 4 6 5 4.5.5.5.5.5.5 ' ' ' ' ' ' ' (II..9) W nowym układzie współrzędnych rezystywność jest opisana tensorem: 5 4 5 4 5 4 6 5 4 6.5.5.5.5 ' (II..4) II..4. Powrót do starego układu współrzędnych zapis wektorowy Aby powrócić od rezystywności ' w nowym układzie odniesienia do rezystywności w starym układzie odniesienia należy w równaniu (II..6) obydwie jego strony lewostronnie pomnożyć przez a, a następnie prawostronnie przez a : a a a a a a '. (II..4) Ponieważ iloczyn macierzy a a jest macierzą jednostkową, to powyższe wyrażenie zostanie przekształcone do postaci: a 'a. (II..4) Na podstawie (II..) otrzymuje się: a T 'a (II..4)

Z drugiej strony, obydwie strony równania (II..8) można pomnożyć lewostronnie przez : Iloczyn macierzy przekształcone do postaci: '. (II..44) jest macierzą jednostkową. Stąd wyrażenie (II..4) zostanie '. (II..45) Dokonując mnożenia odpowiednich składników prawej strony równania (II..4) przez siebie, otrzymuje się 6 równań, które w postaci macierzowej są równoważne układowi (II..45). Na tej podstawie można wnioskować, że konstrukcja macierzy wygląda identycznie jak konstrukcja macierzy, przy założeniu, że składniki a ij są zastąpione składnikami a ji. Korzystając z formuł (II..9) do (II..), postać tej macierzy - przez analogię do (II..9) - może zostać przedstawiona w następujący sposób [bao4]: T T A A T T (II..46) A A4 II..5. Tensor konduktywności Relacje pomiędzy gęstością prądu, a polem elektrycznym można zapisać w sposób następujący [nye]: j j j E E. (II..47), E W powyższym wyrażeniu jest tensorem konduktywności. Mnożąc lewostronnie obydwie strony równania przez odwrotność konduktywności otrzymuje się: j j j E E, (II..48) E co daje: j j j Porównując (II..6) i (II..49) otrzymuje się: E E E (II..49) 6

(II..5) Analogicznie jak tensor rezystywności, tensor konduktywności jest także tensorem symetrycznym, a więc zawiera sześć niezależnych składników [NOWICK]. II.. Modelowanie mechanicznych własności struktur krzemowych Dla danego materiału sprężystego dla przypadku jednoosiowego można przedstawić wykres zależności pomiędzy naprężeniem, a odkształceniem. Na początku zależność ta ma charakter liniowy, gdzie spełnione jest prawo Hooke a. Potem pojawiają się nieliniowości aż do całkowitego zniszczenia materiału. Przykładowa zależność naprężenia od odkształcenia jest pokazana na Rys. II... Rys. II... Przykładowa relacja między naprężeniem a odkształceniem Krzem jest pierwiastkiem z czwartej grupy układu okresowego. W technologii półprzewodnikowej wykorzystuje się krzem monokrystaliczny, którego elementarna komórka ma regularną strukturę typu diamentu. Dla krzemu monokrystalicznego występuje tylko część liniowa charakterystyki przedstawionej na Rys. II... Ponieważ krzem jest kruchy, to po osiągnięciu pewnego krytycznego naprężenia następuje jego zniszczenie, bez przejścia w obszary nieliniowe. Pokazuje to Rys. II... W różnych źródłach podaje się różne wartości naprężeń, przy których następuje 7

zniszczenie krzemu. W pracach [petersen,maluf] podano, że maksymalne naprężenie, przy którym krzem pęka, wynosi 6.9GPa. W [goriunowa] podano, że naprężenie pękania wzdłuż płaszczyzny () wynosi 4.GPa. W [stark] podano wytrzymałość na naprężenia na poziomie.79gpa. Rys. II... Relacja między naprężeniem a odkształceniem w krzemie Istnieje konieczność modelowania mechanicznych własności krzemu (a także innych materiałów wykorzystywanych w mikromechanice). Modelowanie powinno umożliwić opis zachowania struktur pod wpływem wymuszeń mechanicznych. W tym celu wykorzystuje się teorię sprężystości. W teorii sprężystości ciało traktuje się jako continuum materialne, czyli jako materialny ośrodek ciągły. Zakłada się przy tym ciągłe rozmieszczenie materii, pomijając jej wewnętrzną strukturę cząsteczkową. W ten sposób traktuje się ciało stałe jako trójwymiarową przestrzeń Euklidesa. Ciągły rozkład materii w ciele stałym charakteryzuje się przy pomocy gęstości. Ciało charakteryzujące się stałą gęstością nazywa się ciałem jednorodnym. Jeżeli ciało charakteryzuje się brakiem sił wewnętrznych i odkształceń, to taki stan nosi nazwę stanu naturalnego ciała. Ciało stałe pod wpływem wymuszenia zewnętrznego (siły, ciśnienia, przyspieszenia) zmienia swój kształt. Jeżeli wymuszenie nie przekroczy pewnych wartości, to ciało sprężyste po usunięciu wymuszenia mechanicznego, powraca do stanu sprzed jego przyłożenia. Dodatkowo w liniowej teorii sprężystości 8

przyjmuje się, że występujące w ciele odkształcenia są bardzo małe, a także, pomiędzy odkształceniem, a naprężeniem istnieje zależność liniowa [nowacki,fung]. II... Tensor naprężenia Ciało, w którym jedna część działa na inną część jest w stanie naprężenia. Naprężenie jest skutkiem oddziaływania sił zewnętrznych na pewną powierzchnię. Siła na jednostkę powierzchni jest naprężeniem. Naprężenie jest jednorodne, gdy siła działająca na pewien element tego ciała nie zależy od położenia elementu w ciele. Rys. II... Obszar poddany naprężeniom [block]. W celu zdefiniowania naprężenia rozważa się obszar poddawany oddziaływaniu mechanicznemu. W tym obszarze istnieje pewien szczególny punkt P (Rys. II..). Rozważa się kolisty dysk o środku w punkcie P, o promieniu r i grubości (Rys. II..4). Wektor n jest wektorem normalnym do dysku. Siła oddziaływująca na dysk po jego stronie dodatniej, po stronie wektora n oznaczona jest jako F (n). Wobec tego, że, także masa r. Stąd siła F (n) jest równoważona przez siłę F(n). Średnia siła na powierzchnię dysku wynosi F( n) r. Dla r zdąża ona do (n), które jest naprężeniem w punkcie P, na płaszczyźnie normalnej do wektora n. Jeżeli wybrać kierunek różny od n, to naprężenie w punkcie wynosi: F( ) ( ) lim. (II..) r Wielkość ( ) reprezentuje naprężenie w punkcie P na płaszczyźnie normalnej do. Składowa (n) w kierunku n nazywa się naprężeniem rozciągającym (lub ściskającym, gdy ( n) ) lub inaczej naprężeniem normalnym. Składowa na płaszczyźnie nazywa się naprężeniem ścinającym. Naprężenie (n) jest funkcja wektora n. W ten sposób, dla danego wektora jednostkowego n, stan naprężeń w 9

punkcie P jest opisany przez dwa wektory: wektor normalny i wektor styczny [block]. Rys. II..4. Naprężenie w punkcie wewnętrzne siły na jednostkę powierzchni we wnętrzu ciała sprężystego występujące na skutek oddziaływań zewnętrznych lub termicznych. W punkcie P naprężenie jest skutkiem siły zewnętrznej (za [block]). W celu znalezienia formy opisującej naprężenie, rozważa się siły działające na mały sześcian o boku, którego długość jest nieskończenie mała (Rys. II..5.). Początek sześcianu umiejscowiony jest w punkcie P. Składowa naprężenia reprezentuje składową w kierunku naprężenia działającego na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku. Płaszczyzna ta jest jednoznacznie zdefiniowana przez wektor normalny do niej. Jeśli, składowa naprężenia reprezentuje naprężenie normalne, w przypadku przeciwnym naprężenie ścinające. Rys. II..6. przedstawia interpretację wskaźników w opisie składowej naprężenia. Z założenia, rozmiary sześcianu są nieskończenie małe. Z drugiej strony zakłada się, że sześcian znajduje się w stanie równowagi statycznej. Oznacza to, że dla danej składowej naprężenia odpowiadająca jej składowa na przeciwległej powierzchni sześcianu jest odpowiednio równa. W związku z tym, tylko dziewięć niezależnych składników branych z trzech płaszczyzn jest niezbędnych do opisu stanu naprężenia w punkcie P. Te dziewięć składników można przedstawić w postaci macierzy: xx yx zx xy yy zy xz yz. (II..) zz

Rys. II..5. Stan naprężenia na nieskończenie małym sześcianie. Interpretacja składowych naprężenia. Rys. II..6. Interpretacja wskaźników w opisie składowej naprężenia - naprężenie na płaszczyźnie w kierunku (za [efunda]). Naprężenie na danej płaszczyźnie sześcianu jest opisane przez trzy liczby. Dla płaszczyzny normalnej do kierunku x będzie to trójka:,, ), dla płaszczyzn ( xx xy xz normalnych do kierunków y i z będą to odpowiednio trójki:,, ) i ( yx yy yz,, ). Każda z tych trójek liczb reprezentuje składowe wektora opisującego ( zx zy zz

siłę działającą na daną płaszczyznę. W powyższej macierzy każdy wektor (każda trójka) jest jednym z wierszy macierzy. Jednocześnie, z faktu, że sześcian znajduje się w stanie równowagi statycznej wynika, że nie działają na niego żadne momenty siły, a to oznacza, że dla dowolnej składowej zachodzi związek: (II..) Matematycznie oznacza to, że naprężenia ścinające leżące po przeciwnej stronie przekątnej macierzy są sobie równe: xy, yz zy, zx xz. Z tego wynika, że tensor naprężeń jest symetryczny względem zamiany indeksów, czyli że macierz (II..) jest macierzą symetryczną. yx Analizując różnicę pomiędzy składowa normalną naprężenia, a składową styczną w kontekście sześciennej kostki przedstawionej na Rys. II..5. widać, że składowa normalna ma skłonność do zmiany objętości kostki, która może zostać wydłużona lub skrócona. W ten sposób, kostka staje się prostopadłościanem. Z drugiej strony widać, że składowa ścinająca naprężenia zmierza do deformacji kształtu kostki sześciennej w kierunku odejścia od prostopadłościenności. Dla macierzy symetrycznej istnieje taki układ współrzędnych, w którym macierz ta jest macierzą diagonalną. Taki układ współrzędnych nosi nazwę układu osi głównych [nye]. W układzie osi głównych naprężenie nie ma składowych ścinających, a tylko składowe normalne. Jeżeli dla symetrycznej macierzy opisującej tensor naprężenia rozwiązać problem własny, to otrzyma się tensor w układzie osi głównych, gdzie wartości własne znajdą się na przekątnej macierzy, a jej elementy pozadiagonalne będą równe zero. Otrzymane przy okazji wektory własne będą opisywać układ odniesienia, w którym tensor naprężenia będzie miał tylko składniki normalne, czyli będzie opisywał układ osi głównych. Dla układu osi głównych można rozważać pewne szczególne przypadki tensora naprężeń [Nye]: Naprężenie jednoosiowe - tensor naprężenia ma postać:. (II..4) Przykładem takiej sytuacji jest naprężenie występujące w długim pionowo umocowanym pręcie, z zawieszonym na końcu ciężarkiem. Innym przykładem

może być naprężenie powstające pod wpływem ciśnienia na kwadratowej płaskiej membranie czujnika ciśnienia w pobliżu krawędzi membrany. W układzie odniesienia, w którym oś X układu współrzędnych jest prostopadła do krawędzi, składowa normalna w kierunku X dominuje nad pozostałymi składowymi. W takim przypadku powyższy tensor wystarczająco dobrze opisuje rzeczywistą sytuację. Naprężenie dwuosiowe - tensor naprężenia ma postać:. (II..5) Przykładem takiej sytuacji jest naprężenie występujące w cienkiej membranie, na którą działają pary sił rozciągających (lub ściskających) przyłożone prostopadle do jej krawędzi. Innym przykładem może być naprężenie powstające pod wpływem ciśnienia na kwadratowej płaskiej membranie czujnika ciśnienia w pobliżu środka membrany. W układzie odniesienia, w którym osie układu współrzędnych są równoległe do krawędzi membrany, składowe normalne w kierunku X i Y dominują nad pozostałymi składowymi. W takim przypadku powyższy tensor wystarczająco dobrze opisuje rzeczywistą sytuację. W centrum membrany. Ciśnienie hydrostatyczne o wartości p - tensor naprężenia ma postać: p p. (II..6) p Jeżeli struktura jest poddana oddziaływaniu ciśnienia hydrostatycznego o wartości p, to w strukturze występują naprężenia normalne ściskające, działające wzdłuż wszystkich osi układu odniesienia. Naprężenie to ma charakter izotropowy. a) Zapis wektorowy Tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym. Oznacza to, że do opisu stanu naprężeń w punkcie potrzeba tylko sześciu niezależnych składników. Jeżeli przy tym dokonać zastąpienia dwóch wskaźników w tensorze naprężenia jednym wskaźnikiem (analogicznie jak dla tensora rezystywności) w sposób przedstawiony niżej:

,,, 4, 5, 6, (II..7) to tensor naprężeń może być reprezentowany jako wektor o sześciu składowych: 4 5, T 6,,,, (II..8) Składniki,, tensora naprężeń w zapisie wektorowym reprezentują naprężenia normalne, zaś składniki 4, 5, 6 tej reprezentacji reprezentują naprężenia ścinające. b) Równania równowagi Z drugiego prawa Newtona wynika, że w ciele sprężystym w stanie równowagi statycznej w każdym jego obszarze musi zostać zachowany bilans sił wewnętrznych. Można go opisać układem trzech równań, które dla przypadku statycznego mają postać [haisler korunski, nowacki, hearmon, Nye]: x x xx yx zx x y xy y yy y zy z xz z yz z zz g g g x z y, (II..9) gdzie x, y, z są współrzędnymi, ij jest składową naprężenia, jest gęstością, a g i jest składową przyspieszenia, w polu którego znajduje się ciało. Powyższy układ równań nosi nazwę równań równowagi. Jest to fundamentalny układ równań, wiążący przestrzenne zmiany naprężeń w ciele stałym z przyspieszeniami jego elementów. c) Naprężenie w zmienionym układzie współrzędnych Ze zmianą układu współrzędnych zmieniają się składniki tensora naprężenia. Dla danej macierzy a obrotu układu współrzędnych, tensor naprężenia zmienia swoje składowe według wzoru z Tab. II..4: ' a a. (II..) ij W zapisie macierzowym przekształcenie tensora naprężenia przyjmuje postać: ik jl kl ' M, (II..) gdzie macierz M jest identycznie jak skonstruowana w rozdziale II.. macierz (II..9) [auld]: A A M, (II..) A A4 4

5 gdzie macierze A, A, A i 4 A są opisane wzorami od (II..) do (II..), w rozdziale II... d) Naprężenie po obrocie układu odniesienia o 45 wokół osi Z Przyjmując obrót układu współrzędnych o 45 wokół osi Z, macierz kosinusów kierunkowych ma postać: a (II..) Macierzy obrotu a odpowiada macierz :.5.5.5.5.5.5 M (II..4) Na podstawie wzoru (II..) otrzymuje się: 6 5 4 6 5 4.5.5.5.5.5.5 ' ' ' ' ' ' ' (II..5) Po wykonaniu operacji i powrocie do zapisu tensorowego naprężenie dane jest macierzą: 5 4 5 4 5 4 6 5 4 6.5.5.5.5 '. (II..6) Rozważa się tensor naprężenia, który przed dokonaniem obrotu układu odniesienia w zapisie wektorowym ma następującą postać: T,,,,,, (II..7)

Jest to przypadek naprężenia jednoosiowego. W wyniku obrotu tensor naprężenia będzie miał postać:.5.5 '.5.5. (II..8) W zapisie wektorowym naprężenie ma postać: II... Odkształcenie 5 T.5,.5,,,,.. Żeby opisać ruch punktu wynikający z deformacji ciała, należy określić jego położenie początkowe i końcowe. Jako przemieszczenie punktu definiuje się wektor, którego początkiem jest położenie początkowe punktu, a końcem jego położenie końcowe, które zaistniało w wyniku deformacji ciała. Punkt P w ciele niezdeformowanym określa początek pewnego wektora. Jego koniec określa punkt Q. Pozycja punktu P określona jest przez wektor r : a pozycja punktu Q jest określona przez wektor r xi yj zk, (II..9) r r : r r ( x x) i ( y y) j ( z z) k, (II..) gdzie ( x, y, z) są współrzędnymi punktu P, a i, j, k są wersorami. Po deformacji ciała obydwa punkty przyjmują nowe położenie: teraz określona przez wektor r ' : a punktu Q ' przez wektor: P ' i Q '. Pozycja punktu P ' jest r ' x' i y' j z' k, (II..) r ' r' ( x' x') i ( y' y') j ( z' z' ) k. (II..) 6

Rys. II..7. Deformacja ciała (na podst. [haisler]) W ten sposób wektor r określa wzajemne położenie punktów P i Q, a wektor r' określa wzajemne położenie punktów P ' i Q '. Przemieszczenie z punktu P do punktu P ' jest określone przez wektor u (r). Wektor ten jest różnicą pomiędzy wektorami r' i r : Analogicznie, przemieszczenie z punktu Q do punktu u( r r) : u( r) r' r. (II..) Q ' jest określone przez wektor u( r r) ( r' r') ( r r) u( r) r' r. (II..4) Wektor przemieszczenia u ma trzy składowe: u ( x, y, z) x'( x, y, z) x x u ( x, y, z) y'( x, y, z) y y u ( x, y, z) z'( x, y, z) z z (II..5) Jeżeli r, czyli jeśli odległość pomiędzy punktami P i Q jest nieskończenie mała, to przemieszczenie u( r r) z punktu Q do punktu Q ' można przedstawić jako funkcję wektora u (r) będącego przemieszczeniem z punktu P do punktu P ' : u( r r) u( r) r u, (II..6) 7

gdzie macierzową: u oznacza gradient przemieszczenia, który ma następującą reprezentację u u x x u x y u x z u y x u y y u y z u z x u z. (II..7) y u z z Wyrażenie (II..6) jest równoznaczne z opisem przy pomocy dwóch pierwszych wyrazów szeregu Taylora. Porównując prawe strony wyrażeń (II..4) i (II..6), otrzymuje się wektor po przemieszczeniu: r' r r u. (II..8) Powyższym wyrażeniu wektor po przemieszczeniu jest wyrażony jako funkcja wektora przed przemieszczeniem. Odkształcenie jest miarą względnej zmiany długości i obrotu sprężystego ciała poddanego deformacji. Rozważa się dwa wektory r i r, które podlegając deformacji przechodzą w wektory r ' i r ' (Rys II..8). Z (II..8) zachodzą równości: r' r r u (II..9a) r ' r r u (II..9b) Rozważa się iloczyn skalarny tych wektorów, który jest funkcją ich długości i kąta między nimi. Iloczyn ten można przedstawić jako funkcję iloczynu skalarnego wektorów przed deformacją, oraz funkcję pewnego czynnika opisującego deformację: Stąd: r ' r ' r r ur r u r r r r u r ur r ur u T T u u u u r r r r E ' r ' r r r (II..) r E r (II..) gdzie wielkość E jest miarą różnicy pomiędzy iloczynem skalarnym wektorów zdeformowanych, a iloczynem skalarnym wektorów przed deformacją. Wielkość tę określa się jako miara odkształcenia skończonego [haisler]: 8

E u u T u u T (II..) Rys. II..8. Wpływ odkształcenia na wzajemne relacje między dwoma wektorami (na podst. [haisler]) Powyższe wyrażenie zawiera dwa składniki liniowe gradientu przemieszczenia i jeden kwadratowy. Dla małych gradientów przemieszczenia składnik nieliniowy wyrażenia (II..) można pominąć, zakładając, że: T u u. (II..) W ten sposób otrzymuje się tensor odkształcenia nieskończenie małego (lub po prostu tensor odkształcenia) kl : T kl u u (II..4) Elementy kl są składnikami tensora odkształcenia: Rozwijając (II..4), otrzymuje się następującą formułę: xx xy xz kl yx yy yz (II..5) zx zy zz 9

kl xx yx zx xy yy zy u x x xz u u x y yz y x zz u x u z z x u u x y y x u y y u y u z z y u x u z z x u y u z z y u z z.(ii..6) W formule tej u, v i w są odpowiednio przemieszczeniami w kierunku x, y i z. Otrzymana formuła jest układem sześciu równań wiążących odkształcenie z przemieszczeniem. a) Zapis wektorowy Tensor odkształcenia jest tensorem symetrycznym względem zamiany indeksów. Oznacza to, że do opisu stanu odkształcenia w punkcie potrzeba tylko sześciu niezależnych składników. Jeżeli przy tym dokonać zastąpienia dwóch wskaźników w tensorze odkształcenia jednym wskaźnikiem, analogicznie jak dla rezystywności i naprężenia (,,, 4, 5, 6), to tensor odkształcenia może być reprezentowany jako wektor o sześciu składowych: 4 5, T 6,,,,, (II..7) przy czym przyjmuje się następującą zależność składników w zapisie wektorowym od składowych tensora: (II..8) 4 5 6 Składniki,, tensora odkształceń w zapisie wektorowym reprezentują odkształcenia normalne, zaś składniki 4, 5, 6 reprezentują odkształcenia ścinające. b) Odkształcenie w zmienionym układzie współrzędnych Zmiana układu współrzędnych zmienia składniki tensora odkształcenia. Dla danej macierzy (II..9) a obrotu układu współrzędnych, tensor odkształcenia zmienia się według wzoru: a a. (II..9), ij ik jl kl 4

W zapisie macierzowym przekształcenie tensora naprężenia przyjmuje postać: ' N, (II..4) gdzie macierz N jest macierzą obrotu dla tensora odkształcenia zapisanego w postaci wektora. Macierz ta jest różna od macierzy M obrotu dla tensora naprężeń zapisanego w postaci wektora. Jest to macierz blokowa o rozmiarze 6 6 o następującej postaci [auld]: A A N, (II..4) A A4 gdzie macierze A, A, A i A4 są opisane wzorami od (II..) do (II..) w rozdziale II... Macierz obrotu dla naprężenia M i macierz obrotu dla odkształcenia N różnią się tylko położeniem mnożnika. Liczba będąca mnożnikiem znika przy macierzy blokowej A, a pojawia się przy macierzy blokowej A. Różnica wynika ze sposobu przejścia od zapisu tensorowego do wektorowego dla naprężenia i odkształcenia. W zapisie wektorowym naprężenia, elementy 4, 5, 6 są wprost przepisanymi pozaprzekątniowymi elementami tensora naprężenia. W zapisie wektorowym odkształcenia, elementy 4, 5, 6 są podwojonymi pozaprzekątniowymi elementami tensora odkształcenia [auld]. c) Interpretacja odkształcenia przypadek jednowymiarowy Rozważa się elastyczny pręt poddany działaniu pewnej wzdłużnej jednoosiowej siły F (Rys. II..9). W wyniku działania tej siły, pręt ulega wydłużeniu. W przypadku jednowymiarowym odkształcenie opisuje względne wydłużenie pręta. Rys. II..9. Odkształcenie pręta przypadek jednowymiarowy Oznaczając przez długości, można napisać równanie: x długość początkową pręta, zaś przez ux przyrost jego 4

u x u x lim (II..4) u x x x d) Interpretacja odkształcenia przypadek dwuwymiarowy Rozważa się dwa wektory: PQ (,) i PQ (, ) (Rys. II..). Pierwszy z x y nich jest równoległy do osi X, a drugi odpowiednio do osi Y. Wyznaczają one na płaszczyźnie element prostokątny, zwany elementem liniowym. W wyniku oddziaływania zewnętrznego element ten ulega deformacji, a zatem także składowe PQ i PQ ulegną zmianie. W szczególności, pierwszy wektor PQ zostanie powiększony o wektor u, u ). Nastąpi jgo wydłużenie i obrót. Wydłużenie ( x y względne wektora PQ przypadające na jednostkę długości oznaczone jako e xx jest równe: e xx u x u x. (II..4) x x Miarą obrotu wektora PQ jest tangens kąta δ oznaczony jako e yx : e yx u x u y. (II..44) tg x Zakłada się, że przemieszczenia ux i u y są małe w porównaniu ze składową x, stąd: e yx u y u y u y tg. (II..45) x u x x x Dla małych kątów można przyjąć, że tangens kąta jest równoważny samemu kątowi: e yx tg. (II..46) Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla wektora PQ. Otrzymane w ten sposób elementy e xx i e yx oraz e yy i e xy są składowymi gradientu przemieszczenia. Składowe te tworzą tensor e ij. Ponieważ w ogólności e e, tensor e ij nie jest xy yx symetryczny. 4

Rys. II... Odkształcenie dwuwymiarowe interpretacja (Nye,kelly] Dowolny tensor drugiego rzędu można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i antysymetrycznego. Tensor e ij, który jest gradientem przemieszczenia, opisuje deformację elementu liniowego. Deformacja może zostać rozłożona na sumę dwóch składowych: e ij w. (II..47) Pierwsza składowa, to symetryczny tensor ij, opisujący odkształcenie: ij ij eij e ji ij ji. (II..48) Dla przypadku dwuwymiarowego odkształcenie można przedstawić w następującej postaci: xx yx xy e xx xy xx e Druga składowa, to antysymetryczny tensor e yx e xy e e yy yx. (II..49) w ij, opisujący czysty obrót: w ij e ij e ji w. (II..5) ji 4

Rys. II.. przedstawia interpretację zależności (II..47), gdzie deformacja jest rozłożona na odkształcenie i obrót. DEFORMACJA = ODKSZTAŁCENIE + OBRÓT = + Rys. II... Interpretacja deformacji jako złożenia odkształcenia i obrotu. Linią przerywana stan przed operacją, linia ciągła -stan po operacji [nye] Składowe diagonalne tensora ii opisują odkształcenia normalne wzdłuż osi układu współrzędnych, czyli względne wydłużenie (skrócenie) elementu liniowego w kierunku osi X i Y. Składowe pozadiagonalne tensora odkształcenia ij nazywane są odkształceniami ścinającymi. Odkształcenia ścinające są miarą obrotu elementu liniowego. Geometrycznie, odkształcenia ścinające są tangensami kąta obrotu. Przyjmuje się, że dla małych kątów tangens ten jest równy kątowi w radianach. Stąd, odkształcenia ścinające są interpretowane jako kąty obrotu elementu liniowego. Powyższe rozumowanie można uogólnić na przypadek trójwymiarowy. Uzupełniając, należy także dodać, że ponieważ operacja sumowania (II..47) jest przemienna to graficzną interpretację deformacji można przedstawić także jako złożenie najpierw obrotu, a potem odkształcenia [kelly]. II... Równania konstytutywne - Prawo Hooke a Dla ciała sprężystego zachodzi prawo Hooke a, wiążące naprężenia z odkształceniem, przy pomocy tensora sztywności lub odkształcenia z naprężeniami przy pomocy tensora elastyczności. Prawo to Robert Hooke odkrył w 66 roku [hearmon]. Publicznie zapisał je w 676 w Hampton Court w postaci anagramu: ceiiinosssttuv [Haisler,fung]. W roku 678 Hooke wytłumaczył znaczenie tego anagramu łacińskim sformułowaniem: Ut tensio sic vis Jakie naprężenie, takie 44

przemieszczenie. Niezależnie, to samo prawo zostało zaproponowane w 68 roku przez Emde Mariotte a. a) Przypadek anizotropowy Dla przypadku anizotropowego należy założyć, że każda składowa naprężenia związana jest ze wszystkimi składowymi odkształcenia. W postaci ogólnej prawo Hooke a, można przedstawić w następujący sposób: ij c ijkl kl (II..5) k, l lub ij s ijkl kl (II..5) k, l W powyższych równaniach c ijkl jest tensorem współczynników sztywności, a s ijkl jest tensorem współczynników elastyczności. Obydwa tensory są tensorami rzędu czwartego, zawierającymi po 8 składowych współczynników. Wyrażenia (II..5) i (II..5) można zapisać przy pomocy niemych wskaźników, pomijając w obydwu przypadkach znak sumowania: c, s. (II..5) ij ijkl kl ij Dzięki prawu Hooke a, naprężenie można przedstawić przy pomocy odkształcenia lub odkształcenie przy pomocy naprężenia, korzystając odpowiednio z tensora sztywności lub tensora elastyczności [nye]. b) Zapis macierzowy Ponieważ tensory naprężenia i odkształcenia są tensorami symetrycznymi, dla elementów składowych tensorów elastyczności i sztywności zachodzą następujące związki: s ijkl ijlk ijkl ijkl jikl kl s, s s (II..54) oraz c ijkl c, c c (II..55) ijlk ijkl jikl Symetria wskaźników i względem j, oraz wskaźników k względem l w powyższych równaniach redukuje liczbę niezależnych składników obydwu tensorów z 8 do 6. Dzięki redukcji liczby niezależnych elementów tensorów c i s, do ich opisu można zastosować zapis macierzowy, zastępując pary wskaźników jednym 45

wskaźnikiem (analogicznie jak dla tensora rezystywności, naprężenia i odkształcenia) w sposób przedstawiony w Tab. II... Tab. II... Zamiana wskaźników przy przejściu do zapisu wektorowego Zapis tensorowy,,, Zapis macierzowy 4 5 6 Jednocześnie dla współczynników elastyczności stosuje się następujące zasady: s :, gdy m i n są równe, lub ; (II..56a) mn s ijkl smn : s ijkl, gdy m albo n są równe 4, 5 lub 6; (II..56b) smn : 4s ijkl, gdy m i n są równe 4, 5 lub 6. (II..56c) Dla współczynników sztywności zamiana zapisu tensorowego na macierzowy odbywa się bezpośrednio, bez wprowadzania dodatkowych mnożników: cmn : c dla ( i, j, k, l,,; m, n,...,6) (II..57) ijkl Dodatkowo dla obydwu tensorów zachodzi symetria pary wskaźników ij względem pary wskaźników kl. Dzięki tej symetrii następuje dodatkowa redukcja niezależnych elementów obydwu tensorów do. W ten sposób w zapisie macierzowym obydwa tensory są macierzami symetrycznymi [nowick]. Ponieważ tensory naprężenia i odkształcenia są tensorami symetrycznymi, to mają one tylko po sześć niezależnych składników. Na mocy prawa Hooke a, każdy element jednego tensora jest funkcją wszystkich składowych drugiego tensora. W ten sposób, prawo Hooke a sprowadza się do układu sześciu równań, które noszą nazwę układu równań konstytutywnych. Dzięki zabiegowi zamiany opisu tensorowego na macierzowy dla współczynników elastyczności i sztywności, obydwie wersje prawa Hooke a można zapisać w sposób następujący, korzystając z niemych wskaźników: s ( i, j,...,6) (II..58) i ij j oraz c ( i, j,...,6). (II..59) i ij j W powyższych dwóch wzorach i są odpowiednio odkształceniem i naprężeniem zapisanym przy pomocy opisu wektorowego. 46

47 Prawe strony wyrażeń (II..58) i (II..59) z niemymi składnikami są równoważne znanemu z algebry liniowej mnożeniu macierzy przez wektor. Dlatego w zapisie tych wyrażeń można wprost pominąć wskaźniki. Jak wyżej zaznaczono, w ogólnym przypadku liczba niezależnych elementów tensorów elastyczności i sztywności niezbędnych do opisu własności elastycznych materiału wynosi. Jeżeli własności materiału wykazują pewną dodatkową symetrię, to następuje redukcja liczby niezależnych stałych materiałowych [fung]. Dla materiału ortotropowego ta liczba wynosi dziewięć, dla kryształów regularnych trzy, zaś dla materiału izotropowego tylko dwa. W tych szczególnych przypadkach macierze sztywności i elastyczności występujące w równaniach konstytutywnych (II..58) i (II..59) zależne od wspomnianych stałych materiałowych zostają zredukowane do dwunastu niezerowych składników. c) Przypadek izotropowy W przypadku izotropowym liczba stałych materiałowych niezbędnych do opisu materiału jest redukowana do dwóch niezależnych elementów oraz zwanych stałymi Lamego [nowacki,fung]. Wtedy macierz współczynników sztywności przyjmuje postać: c. (II..6) W zastosowaniach inżynierskich macierz elastyczności ciała izotropowego jest przedstawiana w sposób następujący [nowacki]: ) ( ) ( ) ( E s, (II..6) gdzie E jest modułem Younga, a jest współczynnikiem Poissona. Pomiędzy modułem Younga i współczynnikiem Poissona, a stałymi Lamego zachodzą następujące relacje:

E, (II..6) lub w drugą stronę:, (II..6) E, (II..64) ( )( ) E. (II..65) ( ) G W literaturze zamiast oznaczenia, niekiedy używa się oznaczenia G ( ), różnie nazywając stałą, która kryje się za tym oznaczeniem: moduł ścinania [Bednarski], moduł sztywności G [nye], moduł ścinania lub moduł odkształcenia postaciowego G [fung]. Po angielsku są to odpowiednio shear modulus oraz modulus of rigidity [reiner]. d) Modułu Younga i współczynnik Poissona - Interpretacja Rozważa się pręt o długości l. Pręt jest rozciągany. Zakłada się, że naprężenie rozciągające w pręcie przyjmuje wartość. Odkształcenie podłużne pręta wynosi l l. Z prawa Hooke a: s, (II..66) gdzie s jest współczynnikiem elastyczności lub elastycznością. Równanie to można zapisać w następującej równoważnej formie: E, (II..67) gdzie E jest modułem Younga. Stąd, pomiędzy modułem Younga, a stałą elastyczności zachodzi związek: E (II..68) s 48

Rys. II... Odkształcenie jednowymiarowe obraz interakcji pomiędzy zmianą wymiaru podłużnego, a wymiarem poprzecznym. W pewnym zakresie zmian naprężenia, obserwuje się zmianę kształtu ciała sprężystego. Z jednej strony obserwuje się zmianę długości rozciąganego pręta, a z drugiej strony, zmniejszenie jego wymiarów poprzecznych. Zgodnie z prawem Hooke a w rozciąganym pręcie zachodzi zjawisko interakcji pomiędzy odkształceniem wzdłuż, i w poprzek pręta [Reiner]: yy, (II..69) zz gdzie jest stałą materiałową zwaną współczynnikiem Poissona. Współczynnik ten można wyrazić jako funkcję odkształcenia wzdłuż pręta i odkształcenia prostopadłego: xx yy zz (II..7) xx xx e) Tensory sztywności i elastyczności dla kryształów regularnych Krzem jest kryształem regularnym typu diamentu. Położenie atomów w strukturze komórki krzemu określa własności anizotropowe krzemu. W szczególności własności mechaniczne krzemu monokrystalicznego mają charakter anizotropowy [kim]. Własności te są określone przez tensor sztywności lub elastyczności. W układzie komórki elementarnej macierze sztywności i elastyczności dla kryształów regularnych zostają zredukowane do dwunastu niezerowych elementów, z których tylko trzy są niezależne. Te niezależne składniki macierzy to c, c, c44 dla macierzy sztywności oraz s, s, s44 dla macierzy elastyczności. Odpowiednia macierz współczynników sztywności dla kryształów regularnych przyjmuje postać: c c c c c c c c c c ij. (II..7) c44 c 44 c44 49

Tab. II... Parametry mechaniczne krzemu WSPÓŁCZYNNIKI SZTYWNOŚCI [GPA] c = 65.64 c = 6.94 c 44 = 79.56 WSPÓŁCZYNNIKI ELASTYCZNOŚCI [ - PA - ] s = 7.68E- s = -.4E- s 44 =.56E- Analogiczne, dla kryształu regularnego w tym samym układzie odniesienia, macierz współczynników elastyczności redukuje się do postaci: s s s s s s s s s s ij (II..7) s44 s 44 s44 Odpowiednie wartości współczynników sztywności i elastyczności dla krzemu monokrystalicznego w układzie komórki elementarnej są przedstawione w Tab. II... Tensory sztywności i elastyczności w zmienionym układzie współrzędnych Zmiana układu współrzędnych zmienia składniki tensorów sztywności i elastyczności. Dla danej macierzy a (II..9) obrotu układu współrzędnych, tensor sztywności przekształcany jest zgodnie z zależnościami dla tensorów czwartego rzędu, według wzoru z Tab. II..4 [nye]: c a, ijkl Analogiczne przekształcenie dla tensora elastyczności ma postać : s a, ijkl im im a a jn jn a a ko ko a a lp lp c s mnop mnop, (II..7), (II..74) W zapisie macierzowym przekształcenia obydwu tensorów są różne. Tensor sztywności przekształca się według wzoru: c T ' MM. (II..75) Tensor elastyczności przekształca się w sposób następujący: s T ' NsN. (II..76) We wzorach (II..7) i (II..74) na otrzymanie jednego elementu tensora sztywności lub elastyczności potrzeba sumować 8 iloczynów pięciu liczb. Jest to kolejny dowód na to, że istnieje potrzeba zastąpienia zapisu tensorowego zapisem macierzowym. 5

Macierze M i N w obydwu przekształceniach są macierzami identycznymi z macierzami obrotu odpowiednio dla naprężenia (II..) i odkształcenia (II..4). Różnica wynika z różnego sposobu przechodzenia od zapisu tensorowego do zapisu macierzowego dla obydwu tensorów [auld,ting]. Mechaniczne własności krzemu po obrocie układu odniesienia o 45 wokół osi Z Dla krzemu, który jest kryształem regularnym w układzie współrzędnych związanym z krawędziami komórki elementarnej zakłada się, że oś X jest zgodna z kierunkiem [], oś Y jest zgodna z kierunkiem [], zaś oś Z zgodna jest z kierunkiem []. W układzie tym tensor współczynników sztywności ma postać przedstawioną wzorem (II..7). W praktyce najczęstszym przypadkiem realizacji czujników krzemowych jest zastosowanie krzemu o orientacji (). Na jego powierzchni wytwarza się piezorezystory w kierunku <>. W ten sposób kierunek <> jest kierunkiem pola elektrycznego w piezorezystorze oraz prądu płynącego przez piezorezystor. Kierunek ten określa także kierunek składowych wzdłużnej i poprzecznej naprężenia, a więc także kierunki normalne naprężeń. Aby dobrze opisać własności krzemu do modelowania czujnika o takiej strukturze, należy w odpowiedni sposób obrócić układ współrzędnych i dokonać transformacji macierzy współczynników sztywności lub elastyczności. Jeżeli dla płaszczyzny () obrócić układ współrzędnych o 45 wokół osi Z, wtedy oś X będzie zgodna z kierunkiem [], zaś oś Y będzie zgodna z kierunkiem [-]. Dla tak zdefiniowanego obrotu układu współrzędnych, macierz kosinusów kierunkowych a ma postać (patrz Rys. II.., dla 45 ): a (II..77) Dla danej macierzy kosinusów kierunkowych a (II..9) macierz obrotu dla współczynników sztywności (II..) przyjmuje postać: 5

.5.5.5.5 M (II..78).5.5 Dokonując transformacji macierzy (II..7) zgodnie ze wzorem (II..75), otrzymuje się macierz współczynników sztywności w nowym układzie współrzędnych: c ij c c c c c c c 44 44 c c c c c c c 44 44 c c c c 44 c 44 c c. (II..79) Analogicznie można dokonać transformacji macierzy współczynników elastyczności dla krzemu. Dla danej macierzy (II..9) kosinusów kierunkowych a macierz obrotu dla współczynników elastyczności (II..4) przyjmuje postać:.5.5.5.5.5.5 N (II..8) Dokonując transformacji macierzy (II..7) zgodnie ze wzorem (II..76), otrzymuje się macierz współczynników elastyczności w nowym układzie współrzędnych: s ij s s s.5s s.5s s 44 44 s s s.5s s.5s s 44 44 s s s s 44 s 44 s s. (II..8) Jeżeli symulacje mechanicznej struktury krzemowej mają uwzględniać anizotropię własności mechanicznych krzemu, to w definiowaniu danych 5

materiałowych krzemu należy uwzględniać macierzową reprezentację odpowiednich tensorów we właściwym układzie odniesienia. Opis materiału o własnościach ortotropowych Jeżeli materiał ma trzy wzajemnie prostopadłe (ortogonalne) płaszczyzny symetrii, to nazywa się go materiałem ortotropowym [reddy,fung]. W materiale ortotropowym w macierzy elastyczności lub sztywności tylko elementy o obydwu indeksach przyjmujących wartości od do oraz elementy o indeksach 44, 55 i 66 pozostają niezerowe. Z symetrii tych macierzy wynika, że liczba współczynników elastyczności oraz sztywności redukuje się do dziewięciu. Każda płaszczyzna symetrii materiału ortotropowego jest jednoznacznie opisana przez normalny do niej kierunek ortotropii. W celu opisu własności materiału ortotropowego osie układu odniesienia wiąże się z tymi kierunkami. Z drugiej strony opis ortotropowy można stosować tylko w szczególnych przypadkach: ) Dla krzemu o orientacji () opis ten można stosować: w układzie komórki elementarnej - wtedy wszystkie osie układu odniesienia są skierowane w kierunkach <>; w układzie odniesienia, który względem układu komórki elementarnej jest obrócony o 45 wokół osi Z - oś Z pozostaje zgodna z kierunkiem [], zaś osie X i Y są zgodnie z kierunkami <>. ) Dla krzemu o orientacji () oś Z jest skierowana w kierunku []. Opis ortotropowy można stosować tylko w sytuacji, gdy osie X i Y układu odniesienia są skierowane odpowiednio w kierunkach <> i <> lub odwrotnie. Przedstawione tu przypadki ortotropii są równoważne sytuacjom, gdy wszystkie osie kartezjańskiego układu odniesienia są zgodne z kierunkiem <> lub gdy jedna z tych osi jest zgodna z kierunkiem <>, a pozostałe dwie osie zgodne są z kierunkiem <>. Materiał ortotropowy opisuje się przy pomocy dziewięciu współczynników. Są to odpowiednio moduły Younga: E, E, E, moduły sztywności (ścinania): G, G, G oraz współczynniki Poissona:,,. Dla materiału ortotropowego macierz elastyczności s ij można przedstawić w funkcji odpowiednich modułów Younga, modułów sztywności i współczynników Poissona [reddy]: Należy nadmienić, że dla krzemu o orientacji () nigdy nie zachodzi przypadek ortotropii. 5

s ij E E E E E E Ponieważ macierz elastyczności następujące relacje: E E E E E G G G (II..8) s ij jest symetryczna, dodatkowo zachodzą ; ; (II..8) E Jeżeli dana jest macierz współczynników elastyczności w danym układzie odniesienia, wtedy korzystając z powyższych relacji można znaleźć odpowiednie moduły Younga, moduły sztywności i współczynniki Poissona niezbędne do opisu materiału ortotropowego. Odwrotnie, mając odpowiednie moduły Younga, moduły sztywności i współczynniki Poissona opisujące dany materiał ortotropowy, można znaleźć macierz elastyczności, a jeżeli potrzeba na jej podstawie także macierz sztywności. E f) Energia odkształcenia Rozważa się mały kryształ w kształcie sześcianu o nieskończenie małym wymiarze. W wyniku oddziaływania zewnętrznego sześcian ten ulega małemu jednorodnemu odkształceniu ik. Jeżeli odkształcenie jest procesem izotermicznym i odwracalnym, to wykonana praca jest równa przyrostowi energii potencjalnej [nye]. Na mocy prawa Hooke a, z odkształceniem związane jest naprężenie E E ik. Gęstość energii potencjalnej odkształconego kryształu liczona na jednostkę objętości kryształu jest równa [hearmon,michlin,nye]: W i, j (II..84) Korzystając z prawa Hooke a powyższe równanie można przekształcić do postaci, którą przy pomocy niemych wskaźników można zapisać: ij ij 54

W c ijkl ij kl. (II..85) Analogicznie, powyższe wyrażenie można przedstawić w następujący sposób: W s ijkl ij kl (II..86) Korzystając z zapisu wektorowego dla odkształcenia i naprężenia oraz z zapisu macierzowego dla tensorów sztywności i elastyczności oraz z niemych wskaźników, wyrażenia (II..85) i (II..86) można zapisać w postaci równoważnej: W c ij i j sij i j. (II..87) Jeżeli założyć, że ciało liniowo-sprężyste, zajmujące w przestrzeni Euklidesowej obszar, to dla danej gęstości energii odkształcenia W całkowita energia odkształcenia tego ciała U dana jest wzorem: U Wd. (II..88) obciążeń (sił) g) Twierdzenie o minimum energii potencjalnej Gdy liniowo-sprężyste ciało poddane jest w n punktach działaniu układu u n P,..., P Pn i obciążeniom tym odpowiada jeden układ przemieszczeń u u,... w punktach ich zaczepienia, to praca E wykonana przez przyłożone siły, zewnętrzne jest równa: E n i u i P i (II..89) Energia potencjalna V tego ciała jest równa: V U E (II..9) Energia ta przyjmuje wartość minimalną [fung]. W wyrażeniu (II..9) wartości U i E dane są wzorami (II..88) i (II..89). Zasada minimum energii potencjalnej jest bardzo ważna, ponieważ prowadzi do praktycznych metod rozwiązywania równań teorii sprężystości, tzw. metod wariacyjnych, w szczególności metody elementu skończonego. II..4. Sformułowanie równań teorii sprężystości: Rozważa się ciało liniowo-sprężyste, zajmujące obszar w przestrzeni Euklidesowej z brzegiem. Pod wpływem sił objętościowych oraz obciążeń 55

powierzchniowych w ciele powstaje pole przemieszczeń u, związane z nim pole odkształceń ) oraz pole naprężeń ). W każdym punkcie obszaru ( ij pola przemieszczeń u, odkształceń oraz naprężeń powinny spełniać związki konstytutywne (II..5) lub (II..5), związki między przemieszczeniami i odkształceniami (II..) lub (II..4) oraz równania równowagi (II..9). a) Przemieszczeniowe równania teorii sprężystości Powyższy system trzech układów równań zawiera piętnaście równań i piętnaście niewiadomych. Te niewiadome, to sześć składowych naprężenia, sześć składowych odkształcenia oraz trzy składowe przemieszczenia. Ponieważ zmienne w tych równaniach są powiązane prawem Hooke a, to w konkretnych sytuacjach powyższe równania można zredukować do postaci równań przemieszczeniowych. Przypadek anizotropowy Zakłada się, że wektor u=(u,u,u ) jest wektorem przemieszczeń. Jeżeli wektor K K, K, ) jest wektorem sił objętościowych, to równania równowagi ( K (II..9) można napisać w postaci: k x ik k K i ( ij ( i,,) (II..9) W równaniach równowagi można wyeliminować składowe naprężenia, korzystając w tym celu z równania konstytutywnego (II..5) c : gdzie i, k, l, m x i ij () c x K iklm lm k ijkl kl, (II..9) () x k jest wersorem osi OX k. Następnie, odkształcenia można wyrazić jako odpowiednie pochodne przemieszczeń (II..6): u l um lm, (II..9) xm xl W ten sposób otrzyma się układ trzech liniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu typu eliptycznego, gdzie niewiadomymi są trzy składowe przemieszczenia. Przypadek izotropowy Dla przypadku izotropowego sformułowanie przemieszczeniowe jest w literaturze zwane równaniem Naviera (lub równaniem Naviera-Lamego). W zwartej 56

formie przemieszczeniowe równania teorii sprężystości dla materiałów izotropowych mają następującą postać [nowacki]: grad divu rot rot U X, (II..94) gdzie: X siły wewnętrzne, U wektor przemieszczeń,, - stałe Lamego. Jeżeli równanie Lamego-Naviera rozwiązać dla danych warunków brzegowych, to w wyniku tego rozwiązania otrzyma się rozkład przemieszczeń dla danego ciała sprężystego. Mając przemieszczenia, można policzyć gradient przemieszczeń, a więc także odkształcenie. Następnie, z równań konstytutywnych można znaleźć rozkład naprężeń. b) Naprężeniowe równania teorii sprężystości Rozwiązanie układu równań równowagowych (II..9) nie jest jednoznaczne, gdyż w układzie tym występuje sześć niewiadomych składowych naprężenia, a układ zawiera tylko trzy równania. Pomocne w tym przypadku są równania nierozdzielności (ang. strain compatibility equations). Równań tych jest sześć [nowacki, hearmon]: y z xx yy x zz x yy y zz z xx xy xy yz yz zx zx xx yz yy zx zz xy x x y z x yz yz x yz y zx y y zx zx xy z xy z xy z (II..95) Na mocy równań konstytutywnych (czyli prawa Hooke a) odkształcenie można wyrazić przy pomocy naprężenia. Jeżeli do równań nierozdzielności zamiast odkształcenia wstawić odkształcenia wyrażone przez naprężenia, to otrzyma się układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi naprężeniami. Dla przypadku izotropowego sformułowanie naprężeniowe znane jest także jako równanie Beltramiego-Michella. Jest to układ sześciu liniowych eliptycznych cząstkowych równań różniczkowych, dla sześciu składowych tensora naprężeń x ) : ij ( j ( ) ij s, ij ij s X i, j X j, i, (II..96) gdzie: X siły wewnętrzne, U wektor przemieszczeń, stałe Lamego [nowacki] 57

c) Warunki brzegowe równań teorii sprężystości Rozwiązanie równań teorii sprężystości zakłada trzy możliwe typy warunków brzegowych: Przemieszczeniowe warunki brzegowe wstępnie zadane przemieszczenia i zamocowanie Naprężeniowe warunki brzegowe - wstępnie zadane naprężenia Mieszane warunki brzegowe - zarówno wstępnie zadane przemieszczenie jak i naprężenie II..5. Metody rozwiązywania równań teorii sprężystości Zjawiska w strukturach elastycznych są opisywane przez złożone modele matematyczne. Modele te obejmują równania różniczkowe cząstkowe, geometrię, warunki brzegowe, warunki początkowe (w problemach dynamicznych) oraz stałe materiałowe. Rozwiązanie analityczne równań sprężystości opisujących struktury mechaniczne nie jest w praktyce możliwe. Stąd wynika konieczność zastosowania metod numerycznych. Te metody to: Metoda różnic skończonych; Metoda elementu skończonego; Metoda elementów brzegowych. Wszystkie wymienione metody - przy istniejących pomiędzy nimi różnicach - wymagają dyskretyzacji problemu, a następnie rozwiązywania układów równań liniowych o postaci: A x b, (II..97) gdzie macierz A jest macierzą układu równań, wektor [b] jest danym wektorem, a wektor [x] jest wektorem wielkości niewiadomych [burcz, elektromagnet, majewski, szargut, szmelter]. Dla różnych metod numerycznych różne będą własności macierzy układu równań liniowych. a) Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych pochodzi od Gaussa. Faktycznie, stosowano ją po roku 94. Jest to metoda rozwiązywania równań różniczkowych, polegająca na zastąpieniu równania różniczkowego układem równań różnicowych. Metoda opiera się na następujących zasadach [elektromagnet,majewski,szargut,szmelter]: 58

Obszar, w którym rozwiązuje się równanie różniczkowe, dyskretyzuje się przy pomocy siatki. W tym celu stosuje się siatki symetryczne i niesymetryczne, o różnych kształtach, m.in. trójkąty, czworokąty, sześciokąty; Wszystkie funkcje ciągłe problemu są określone zbiorem ich wartości w punktach dyskretnych, dostatecznie gęsto pokrywających obszar zmienności funkcji; W wybranych punktach (węzłach) równania różniczkowe zastępuje się równaniami różnicowymi; Żąda się, aby równania różnicowe spełnione były we wszystkich punktach siatki. Macierz układu różnicowego jest macierzą układu równań liniowych - rozwiązanie tego układu jest przybliżonym rozwiązaniem problemu dla funkcji ciągłej. b) Metoda elementu skończonego Metoda elementu skończonego jest numeryczną metodą przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Jest ona szczególnym przypadkiem metod wariacyjnych takich jak metoda Ritza lub Galerkina. Jej historia sięga lat czterdziestych, kiedy pojawiły się metody wariacyjne. Pierwszy jej wariant został podany przez R. Couranta w roku 94 w artykule Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations w czasopiśmie Bull. Amer. Math. Soc. We wczesnych latach pięćdziesiątych metoda była stosowana w przemyśle lotniczym do obliczeń w mechanice konstrukcji oraz do obliczeń konstrukcji budowlanych przez nie znających pracy Couranta inżynierów. Matematycy zainteresowali się metodą dopiero w latach sześćdziesiątych [dryja]. Wtedy po raz pierwszy pojawiło się pojęcie elementu skończonego. W latach siedemdziesiątych zaczęto tworzyć aplikacje wykorzystujące metodę elementu skończonego na stacjach roboczych wtedy jeszcze bez wykorzystania grafiki komputerowej. W latach osiemdziesiątych i późniejszych, gdy coraz powszechniejsze stały się mikrokomputery, zaczęto budować pre- i postprocesory graficzne (GUI graphical user interface) współpracujące z programami obliczeniowymi wykorzystującymi metodę elementu skończonego. Można to uznać za przełom w upowszechnieniu metody. Metoda ma zastosowanie w mechanice konstrukcji (m.in. w lotnictwie, aeronautyce, motoryzacji), analizie przepływu ciepła i w mechanice cieczy, w analizie 59

pola elektromagnetycznego i innych. Obecnie jest szeroko stosowaną metodą rozwiązywania równań różniczkowych. Koncepcja metody wywodzi się stąd, że każdą ciągłą wielkość fizyczną można aproksymować przy pomocy modelu zbudowanego z funkcji kawałkami ciągłej. Jej idea polega na budowaniu skomplikowanych konstrukcji przy pomocy mniejszych bloków zwanych elementami. Konstrukcja modelu dyskretnego przebiega w następujący sposób [elektromagnet,majewski,szargut,szmelter]: W rozważanym obszarze określa się skończoną liczbę węzłów. Obszar, w którym szuka się rozwiązania dzieli się na skończoną ilość podobszarów zwanych elementami tak, aby elementy aproksymowały kształt obszaru i miały wspólne węzły. Elementy pokrywają całą przestrzeń rozwiązania. Dla każdego węzła określa się wartość wielkości ciągłej jako zmienną niewiadomą. Poszukiwana ciągła wielkość, jest aproksymowana w każdym elemencie wielomianem tak, aby jego ciągłość zachowana była na granicy obszaru. Elementy w węzłach są łączone w celu sformowania układu równań dla całej struktury. Układ równań rozwiązuje się względem nieznanych wielkości (np. przemieszczeń) w każdym węźle W elementach liczy się odpowiednie wielkości (odkształcenia, naprężenia) Zalety metody elementu skończonego: Możliwość rozwiązywania zagadnień z występującą niejednorodnością materiałów; Nieregularność kształtu może być aproksymowana przez elementy o blokach liniowych lub zakrzywionych; Wymiary elementów można zmieniać - siatka może być zagęszczana lub rozrzedzana; Nieciągłość warunków brzegowych nie stanowi o przydatności bądź nieprzydatności metody; Dla danego typu zagadnień można tworzyć uniwersalne programy. c) Metoda elementów brzegowych Metoda elementów brzegowych jest metodą najmłodszą (jej początki sięgają lat siedemdziesiątych) wywodzi się ona z klasycznej teorii równań całkowych - 6

zagadnienie brzegowe przekształca się w równoważny mu układ brzegowych równań całkowych. Dyskretyzacja brzegu ciała elementami brzegowymi i aproksymacja funkcji brzegowych funkcjami interpolacyjnymi prowadzi do utworzenia układu równań algebraicznych. Rozwiązanie tak otrzymanego układu umożliwia wyznaczenie wartości poszukiwanej funkcji w punktach węzłowych. Wobec tego, że w metodzie elementów brzegowych analiza problemu dotyczy tylko brzegu obszaru, prowadzi to do zmniejszenia liczby elementów, a także (w stosunku do metody elementu skończonego) do zmniejszenia rozmiaru przestrzeni, w której analizuje się problem. Przy tym samym poziomie dyskretyzacji co metoda elementu skończonego, metoda elementów brzegowych daje dokładniejsze wyniki, co jest szczególnie istotne w przypadku problemów z dużymi gradientami naprężeń [burcz, elektromagnet,majewski,szargut,szmelter]. d) Porównanie metod Cechy wspólne metody elementu skończonego i metody różnic skończonych wynikają z faktu, że układ równań różniczkowych zastępuje się układem równań liniowych. Te wspólne cechy to [szmelt]: Dyskretyzacja problemu ciągłego; Duża liczba równań; Wspólne metody rozwiązywania układów równań liniowych, problemu własnego itp.; Podobne klasy problemów (równowaga, dyfuzja, drgania, stany nieustalone...). Różnice pomiędzy metodą różnic skończonych i metodą elementu skończonego przejawiają się w różnym sposobie tworzenia układów równań liniowych. Różnice te przedstawia Tab. II.. [szmelt]. Porównanie funkcjonalne metody elementu skończonego (MES) i metody elementów brzegowych (MEB) [Hunter] zawiera Tab. II..4. Tymczasem, orównanie funkcjonalne metody różnic skończonych (MRS), metody elementu skończonego (MES) i metody elementów brzegowych (MEB) [burcz,szargut,szmelter] zawiera Tab. II..5. 6

Tab. II... Różnice pomiędzy metodą różnic skończonych i metodą elementu skończonego METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Równania w układzie równań liniowych związane Równania w układzie równań liniowych tworzone są z istnieniem węzłów; są dla elementów; Równania powstają na gruncie aproksymacji Równania elementów skończonych wywodzą się z równań różniczkowych równaniami różnicowymi; całek - uśredniają zjawiska w obszarze elementu; Punktem wyjścia jest opis matematyczny, którego Interpretacja fizyczna wysuwa się na pierwszy można nie interpretować fizycznie; Metoda nadaje się do tworów jednorodnych, regularnych, o prostej strukturze, opisywanych przez niewielką liczbę równań - regularność siatki znakomicie może uprościć obliczenia; Warunki brzegowe wymagają napisania specjalnych, dodatkowych równań; plan; Można łączyć elementy w najbardziej wymyślny sposób, tworząc dowolne kształty, można łączyć elementy w nad-elementy, co odpowiada tworzeniu konstrukcji inżynierskich; Warunki brzegowe w sposób naturalny wynikają ze sposobu podparcia konstrukcji; Tab. II..4. Porównanie metody elementu skończonego i metody elementów brzegowych METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO (MES) Wymagana jest siatka w całym obszarze, gdzie rozwiązywane jest równanie Problem jest jednocześnie rozwiązywany w całej dziedzinie Równanie różniczkowe jest aproksymowane (przybliżane) W trakcie rozwiązywania zadania powstaje rzadka symetryczna macierz Szeroko wykorzystywana. Dobrze nadaje się do rozwiązywania problemów nieliniowych Względnie łatwa do implementacji METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH (MEB) Wymagana jest siatka tylko na brzegu obszaru badanego Najpierw rozwiązuje się problem na brzegu, a potem - jeśli potrzeba - w następnym kroku można rozwiązywać zadanie w całej dziedzinie Tylko warunki brzegowe są aproksymowane (przybliżane) W trakcie rozwiązywania zadania powstaje pełna niesymetryczna macierz Nie rozwiązuje nawet wszystkich liniowych problemów Znacznie trudniejsza do implementacji KOMENTARZ Redukcja siatki w MEB jest jedną z ważniejszych zalet tej metody. Konstrukcja siatki dla skomplikowanych obiektów (w szczególności w trzech wymiarach) jest zadaniem czasochłonnym Jest wiele problemów, gdzie potrzeba znać rozwiązanie tylko na brzegu (lub w szczególnym podzbiorze dziedziny), a nie potrzeba znać rozwiązania w całej dziedzinie Różnica w wielkości macierzy generalnie wynika z różnicy w wielkości siatki dla całej domeny oraz dla samego brzegu. Dla problemów o nieskończonej lub półnieskończonej domenie preferowana jest MEB 6

Tab. II..5. Porównanie funkcjonalne metody różnic skończonych (MRS), metody elementu skończonego (MES) i metody elementów brzegowych (MEB) MRS MES MEB INTERPRETACJA FIZYCZNA Trudna Najprostsza ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ NIELINIOWYCH Zależy od zagadnienia Łatwe Łatwe Trudne CECHY MACIERZY UKŁADÓW Rzadkie, zwykle Rzadkie, zwykle Pełne, RÓWNAŃ symetryczne symetryczne niesymetryczne ROZMIAR MACIERZY Duży Duży Mniejszy MOŻLIWOŚĆ STOSOWANIA SIATEK KRZYWOLINIOWYCH PROGRAMOWANIE WARUNKÓW BRZEGOWYCH WYMAGANIE NA DYSKRETYZACJĘ OBSZARU Trudna Łatwa Łatwa Trudne Łatwe Łatwe Całego Całego Tylko brzegu II..6. Narzędzia do symulacji struktur mechancznych Każda z metod numerycznych wykorzystywanych do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych ma swoje wady i zalety. Przy pomocy każdej z nich można tworzyć oprogramowanie, które pozwoli te równania rozwiązywać. Wady lub zalety metody decydują o jej przydatności do konkretnych zastosowań. a) Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych jest metodą, którą w chwili obecnej - ze względu na jej ograniczenia - w niewielkim stopniu wykorzystuje się do budowy programów symulacyjnych, aczkolwiek w literaturze są przykłady jej zastosowania [clark79, lee8]. Metodę różnic skończonych można wykorzystać przede wszystkim do symulacji membran jednorodnych. Modelowanie bardziej złożonych struktur wymaga zastosowania dokładniejszych teorii, które zostały zaimplementowane w programach wykorzystujących metodę elementu skończonego. b) Metoda elementu skończonego Metoda elementu skończonego jest w chwili obecnej metodą, która jest bardzo szeroko wykorzystywana do modelowania struktur mechanicznych. Na rynku programów z metodą elementu skończonego jest duża konkurencja. Różne firmy oferują bardzo wiele programów, które mogą pracować na różnych platformach sprzętowych - zarówno na komputerach osobistych jak i na unixowych stacjach roboczych [mst94]. Przy istotnych różnicach, wszystkie te programy są w znacznym 6

stopniu uniwersalne. Mają przez to duże możliwości. Potrafią one rozwiązywać wiele problemów takich jak m.in.: - problemy mechaniczne zarówno liniowe jak i nieliniowe; - problemy drgań własnych; - naprężenia termiczne; - przepływ ciepła; - odwrotne zjawisko piezoelektryczne. Poniższa lista zwiera zestawienie wybranych programów opartych o metodę elementu skończonego: - ABAQUS - www.abaqus.com; - ADINA - www.adina.com; - ALGOR - www.algor.com; - ANSYS - www.ansys.com; - CFDRC ACE+ - www.cfdrc.com; - LUSAS www.lusas.com; - MARC - www.marc.com; - NASTRAN - www.nastran.com; - ROBOT MILLENIUM - www.issrobot.com; - SAMCEF www.samcef.com. c) Metoda elementów brzegowych Metoda elementów brzegowych jest metodą najmłodszą. Jest to metoda, która ma ograniczone zastosowanie, gdyż nie rozwiązuje nawet wszystkich liniowych problemów. Jednocześnie, metoda ta jest znacznie trudniejsza do implementacji. Z tych powodów na rynku oprogramowania trudno znaleźć profesjonalne programy bazujące na tej metodzie - chociaż w literaturze pojawiają się wzmianki o jej wykorzystywaniu. Przede wszystkim metoda ta w stanowi pewne uzupełnienie programów MES [CFDRC]. Na polskim rynku księgarskim ukazało się kilka książek dotyczących m.in. tej metody w zastosowaniu do modelowania pól elektromagnetycznych [elektrom], pól temperatury [szmelt] lub zjawisk mechanicznych [burcz]. 64

II..7. Metoda elementu skończonego jako zagadnienie wariacyjne W punktach II..5 oraz II..6 dokonano przeglądu możliwości rozwiązywania równań różniczkowych opisujących m.in. struktury mechaniczne. Przedstawiona analiza pokazuje, że: Metoda różnic skończonych ma w tej chwili znaczenie historyczne; Metoda elementów brzegowych nie może być traktowana jako podstawowa metoda rozwiązywania problemów technicznych. W przyszłości może ona mieć coraz większe znaczenie jako metoda uzupełniające metodę elementu skończonego. Metoda elementu skończonego jest podstawową metodą modelowania w technologii systemów mechanicznych i mikromechanicznych. Z analizy tej wynika, że praktyczne znaczenie ma tylko metoda elementu skończonego. Jest to metoda uniwersalna i najczęściej stosowana [szargut]. Metoda elementu skończonego jest szczególnym przypadkiem zagadnienia wariacyjnego. Użytkownicy programów bazujących na tej metodzie najczęściej dysponują nimi na zasadzie korzystania z zamkniętego systemu. Wiedza o działaniu takiego systemu pochodzi z instrukcji obsługi, która w sposób naturalny najczęściej jest nastawiona na korzystanie z programu. W trakcie pracy, użytkownik dostrzega strukturę symulowaną, warunki brzegowe, widzi interfejs programu, obserwuje wyniki symulacji. Niestety, nie zawsze ma świadomość tego, w jaki sposób jego system rozwiązuje zadanie. Dlatego, metoda wymaga specjalnego omówienia. Należy jednak podkreślić, że celem tego omówienia nie jest chęć nauczenia pisania programów rozwiązujących równania różniczkowe, a raczej intuicyjne przedstawienie metody elementu skończonego, przydatne dla przeciętnego jej użytkownika, pozwalające lepiej zrozumieć jej istotę. a) Sformułowanie zagadnienia brzegowego w postaci słabej Sformułowanie problemu przedstawione w postaci równań różniczkowych nosi nazwę sformułowania mocnego. Sformułowanie to może być punktem wyjścia do szukania rozwiązania. Metoda różnicy skończonej jest przykładem szukania rozwiązania równania różniczkowego w postaci mocnej. W tym celu w wybranych punktach (węzłach) równania różniczkowe zastępuje się równaniami różnicowymi i 65

żąda się, aby równania różnicowe spełnione były we wszystkich punktach siatki. Macierz układu różnicowego jest macierzą układu równań liniowych. Rozwiązanie tego układu jest przybliżonym rozwiązaniem problemu dla funkcji ciągłej. W przeciwieństwie do postaci mocnej, konstruuje się słabą postać problemu. Do postaci tej dochodzi się w kilku krokach. W pierwszym kroku wykonuje się operację iloczynu skalarnego na układzie równań różniczkowych i arbitralnie wybranej funkcji. Operacja iloczynu skalarnego doprowadzi do zwężenia układu równań do postaci skalarnej. Postać skalarna nosi nazwę funkcjonału metody energetycznej. Funkcjonał ma interpretację energii potencjalnej. Ponieważ energia układu dąży do wartości minimalnej, to także funkcjonał metody energetycznej osiąga minimum. Położenie minimum funkcjonału znajduje się, przyrównując do zera jego pierwszą pochodną, która nosi nazwę wariacji. Miejsce, w którym wariacja osiąga wartość zerową, jest rozwiązaniem układu równań różniczkowych. Znalezienie minimum funkcjonału wymaga spełnienia słabszych założeń niż rozwiązywanie równania różniczkowego w postaci mocnej. Stąd problem sformułowany jako szukanie minimum funkcjonału nazywa się słabą postacią (słabym sformułowaniem) problemu [taylor]. Zagadnienie brzegowe można sprowadzić do równania o postaci: Au f, (II..98) gdzie u jest poszukiwanym rozwiązaniem, A jest operatorem danego zagadnienia brzegowego, a f jest pewną funkcją [strang,michlin]. Jest to tzw. mocne sformułowanie problemu. Operator A nazywa się operatorem dodatnim, gdy spełniony jest warunek: ( Au, u), (II..99) gdzie (, ) oznacza iloczyn skalarny. Równość w wyrażeniu (II..99) zachodzi tylko wtedy, gdy u. Jeśli operator A jest operatorem dodatnim, wtedy równanie (II..98) ma co najwyżej jedno rozwiązanie. Jeżeli operator A jest operatorem symetrycznym oraz istnieje stała taka, że spełniona jest nierówność mocniejsza: ( Au, u) u to A jest operatorem dodatnio określonym [michlin]., (II..) 66

b) Funkcjonał metody energetycznej Z każdym operatorem dodatnim można związać przestrzeń energetyczną. W przestrzeni energetycznej definiuje się iloczyn energetyczny. Jeżeli u i v są elementami tej przestrzeni, to wielkość [ u, v] nazywana iloczynem energetycznym elementów u i v ma postać:, v ( Au, v) u (II..) Iloczyn energetyczny spełnia aksjomaty iloczyny skalarnego [michlin]. Jeżeli operator A jest dodatni, i istnieje rozwiązanie równania (II..98) to rozwiązanie to jest równoważne znalezieniu minimum funkcjonału: F( u) ( Au, u) ( f, u) (II..) Odwrotnie, jeśli istnieje element, dla którego ten funkcjonał osiąga minimum, to element ten spełnia równanie (II..98). Problem znajdowania minimum funkcjonału F jest równoważny problemowi odwracania operatora A [michlin,strang]. Wartość zmiennej u, dla której funkcjonał osiąga minimum jest rozwiązaniem równania różniczkowego (II..98). Metoda rozwiązywania równania (II..98) polegająca na znajdowaniu minimum funkcjonału (II..) nosi nazwę metody energetycznej. W metodzie elementu skończonego przestrzeń rozwiązania dzieli się na pewną skończoną ilość elementów, z których każdy ma pewną liczbę węzłów. W tym celu rozważa się funkcjonał, który ma postać: F( u) A u u f u, (II..) jk jk k j gdzie A jest macierzą symetryczną dodatnio określoną, a u i f są n-wymiarowymi j j j wektorami. Dla macierzy symetrycznej A A, stąd warunek minimum jk kj funkcjonału przybiera następującą postać: F u m Amkuk fm m,..., n (II..4) Ten układ n równań można zapisać w postaci macierzowej: k Au f (II..5) Minimalna wartość F jest osiągnięta dla u A f. W efekcie otrzymuje się dyskretny zbiór rozwiązań, którego wielkość zależy od ilości węzłów. Jednocześnie W przestrzeni energetycznej definiuje się także normę energetyczną, której kwadrat jest równy u e [ u, u]. 67

okazuje się, że postać słaba problemu nie wymaga nawet dodatniej określoności macierzy A [strang]. c) Zasada minimum energii potencjalnej w teorii sprężystości Stan ciała sprężystego opisany jest układem równań różniczkowych, cząstkowych, do rozwiązywania którego można zastosować metodę wariacyjną. Funkcjonał minimalizacyjny przy rozwiązywaniu tych zagadnień ma oczywisty sens fizyczny. Określa on energię potencjalną układu. W stanie równowagi energia ta jest minimalna. Jeśli spełniony jest warunek (II..99) dodatniości operatora A, to iloczyn skalarny ( Au, u) nazywany jest energią elementu u względem operatora A [krejn]. W przypadku, gdy u jest przemieszczeniem, iloczyn ten jest równoznaczny z energią potencjalną związaną z odkształceniem danego układu. W zagadnieniach teorii sprężystości szukany element u może być m.in. wektorem przemieszczeń lub tensorem naprężeń. Przykładem mocnego sformułowania przemieszczeniowych równań teorii sprężystości w przypadku anizotropowym jest układ trzech równań z trzema niewiadomymi składowymi przemieszczenia, zapisany w postaci operatorowej: Au i, k, l, m x i () c x K iklm, (II..6) lm k gdzie na mocy prawa Hooke a wyrażenie cijkl reprezentuje naprężenie, kl () x k jest wersorem osi X k, a wielkość lm jest odkształceniem. Wyrażenie (II..6) może być punktem wyjścia do szukania rozwiązania w postaci mocnej. Jednakże takie podejście nie jest efektywne, dlatego problem przedstawia się w postaci słabej. Jeżeli u u, u, ), v v, v, ) to iloczyn ( u skalarny ( u, v) definiuje się w następujący sposób : def. i ( v ( u, v) u v d. (II..7) Operator A jest symetryczny. Jednocześnie zachodzi relacja: i i ( Au, u) Wd, (II..8) Analogicznie definiuje się kwadrat normy u, który jest równy iloczynowi skalarnemu (, u) u. 68

gdzie W jest gęstością energii potencjalnej odkształcenia daną wzorem (II..85). Sformułowany wyżej problem (II..6) sprowadza się do znalezienia minimum całki: W Ku ) d. (II..9) Minimum jest znajdowane w przestrzeni funkcji wektorowej, która określa rozkład przemieszczenia i która spełnia warunki brzegowe zagadnienia (II..6). d) Definiowanie elementu Z faktu, że funkcjonał (II..) posiada minimum, wynika, że dla każdego v zachodzi równość [strang]:, v ( f, v) Au (II..) Powyższe równanie jest punktem wyjścia do definiowania elementu. Dla danego elementu najpierw definiuje się kształt pola przemieszczeń. Funkcję kształtu dobiera się tak, aby była ciągła na granicy elementów, a więc także w węzłach pomiędzy różnymi elementami. Funkcja ta jest wielomianem pierwszego lub co najwyżej drugiego stopnia. Pole przemieszczeń u określa się jako złożenie znanej z definicji funkcji kształtu N oraz nieznanych przemieszczeń q : u Nq (II..) Mając pole przemieszczeń u można znaleźć odkształcenie, które w danym punkcie przestrzeni można przedstawić jako: Du, (II..) gdzie D jest operatorem zdefiniowanym w Dodatku IV. wzorem (D.5) [nikishkov]. Korzystając z podstawienia (II..) otrzymuje się: Dalej można zastosować podstawienie: DNq. (II..) B DN, (II..4) które w praktyce sprowadza się do różniczkowania znanej funkcji kształtu w elemencie. W ten sposób: Bq. (II..5) Jeżeli funkcja kształtu jest wielomianem, to operacja (II..4) obniży stopień tego wielomianu o jeden. 69

Dla danego odkształcenie znajduje się gęstość energii (II..85) potencjalnej w elemencie. Całkując tę gęstość, otrzyma się funkcjonał, który opisuje energię elementu [liu]: Jednocześnie siły T T T T U q B EBq dv q B EBdV q (II..6) V V f działające w kolejnych węzłach danego elementu powodują i odkształcenia d i. Praca wykonana przez te siły jest równa: T W fd f d... d f (II..7) Jeśli układ jest zachowawczy, to: U W, (II..8) a to oznacza, że: T T T q B EBdV q q f V, (II..9) Z czego wynika, że T B EBdV q f V (II..) Oznaczając: k B T EBdV (II..) V Otrzymuje się równanie: kq f, (II..) gdzie k nosi nazwę macierzy sztywności elementu. Nieznane przemieszczenia q w elemencie otrzymuje się w wyniku rozwiązania równania (II..). e) Tworzenie globalnego układu równań Dotychczas pokazano jak można zbudować równanie liniowe, które rozwiązane pozwoli znaleźć rozkład przemieszczeń w elemencie. W tym celu założono kształt rozkładu przemieszczeń w elemencie, a także znaleziono macierz sztywności dla tego elementu. Równania (II..6) i (II..7) zestawione razem mogą utworzyć odpowiednik funkcjonału (II..), zaś równanie wynikowe (II..) odpowiada równaniu (II..5). Powyższy problem sformułowany w obszarze elementu można uogólnić na strukturę składająca się z wielu elementów. I tak, globalna funkcja kształtu interpoluje rozkład pola przemieszczeń w całej strukturze. Funkcja ta powstaje przez zsumowanie lokalnych funkcji kształtu we wszystkich elementach. W celu rozwiązania równania Macierzy sztywności k nie można utożsamiać z macierzowym zapisem tensora sztywności. 7

elastyczności należy znaleźć i rozwiązać odpowiedni układ równań. Elementem tego układu jest globalna macierz sztywności danego problemu. Macierz tę buduje się z macierzy sztywności poszczególnych elementów, które to macierze powstają dzięki uwzględnieniu funkcji kształtu w elementach [nikishkov]. II..8. Modelowanie struktur czujników metodą elementu skończonego Modelowanie zostanie pokazane na przykładzie programu SAMCEF, aczkolwiek do tego celu można użyć dowolne oprogramowanie stosujace metodę elementu skończonego, przy pomocy którego można rozwiązywać problemy mechaniczne. Zwykle oprogramowanie takie umożliwia analizę problemów dynamicznych i statycznych, liniowych i nieliniowych. Materiały w analizowanych strukturach mogą być izotropowe i anizotropowe. Stosowane obciążenia mogą mieć charakter punktowy lub objętościowy. Do analizy można stosować obciążenia przy pomocy ciśnienia, siły, przyspieszeń, etc.. a) Metodyka modelowania naprężeń Metodyka zostanie omówiona na przykładzie modelowania struktury czujnika ciśnienia z płaską membraną [A9,A]. Proces modelowania można podzielić na trzy główne kroki: zdefiniowanie struktury (geometrii) czujnika ciśnienia; określenie jej własności mechanicznych (stałe materiałowe) oraz określenie warunków brzegowych; właściwe modelowanie metodą elementu skończonego. W pierwszym etapie procesu modelowania, definiowana jest struktura czujnika ciśnienia. Punkt po punkcie i linia po linii tworzona jest geometria struktury (Rys. II..), a następnie dzielona na domeny. Podział na domeny odbywa się w kilku krokach. Najpierw jest to określenie konturów ograniczających domenę, Następnie przy pomocy konturów definiuje się powierzchnie (face) domeny. Następnie powierzchnie tworzą objętość (volume skin), która służy do zdefiniowania domeny. Domeny reprezentują taką część przestrzeni (struktury), na której można zdefiniować siatkę. Rys. II..4 Przedstawia przykładowe topologie domeny. W chwili pisania ksiązki Autor korzystał z programu SAMCEF. W późniejszym czasie zaczął korzystać z oprogramowania CFDRC, które później przeewoluowało w oprogramowanie ESI-CFD. 7

Rys.II... Struktura czujnika ciśnienia geometria ćwiartki czujnika. Na rysunku zaznaczone są ponumerowane linie L i punkty PT. Rys. II..4. Ttopologie domeny[samcef] 7

Rys. II..5. Struktura ćwiartki czujnika ciśnienia - podział na elementy. W miejscu ulokowania rezystorów zagęszczono siatkę. Każda domena dzielona jest na elementy. Liczba elementów i ich wielkość jest kompromisem pomiędzy szybkością obliczeń, a dokładnością wyników. W przykładzie na Rys. II..5 liczba elementów wzrasta w miejscach, gdzie są umieszczone piezorezystory. Wynika to z tego, że tam wymagana jest największa dokładność. Jeżeli struktura jest podzielona na elementy, wtedy wybiera się hipotezę określającą rodzaj elementów. Rodzaj elementów jest ściśle związany z równaniami, które będą rozwiązywane. Inaczej będą zdefiniowane elementy do symulacji mechanicznych, a inaczej do symulacji termicznych. Także same symulacje mechaniczne mogą wykorzystywać różne rodzaje elementów. Przykład pokazany w punkcie II..7.c jest tylko jedną z możliwości definiowania elementu. W następnym etapie, określane są fizyczne właściwości materiału struktury czujnika. Samcef daje możliwość wyboru pomiędzy różnymi rodzajami materiału. Można wybrać materiał izotropowy lub anizotropowy. Istnieje także możliwość wyboru materiału ortotropowego. W przypadku izotropowym, elastyczne własności W niektórych programach (np. CFDRC) wybór materiału ortotropowego jest jedyną formą reprezentacji anizotropii. 7

materiału są określone przez moduł Younga i współczynnik Poissona. Dla przypadku anizotropowego własności te są opisane za pomocą tensora sztywności przedstawionego w postaci odpowiedniej macierzy sztywności. Ponieważ macierz ta jest symetryczna, Samcef wymaga podania tylko trójkątnej dolnej części tej macierzy. Materiał ortotropowy opisuje się przy pomocy dziewięciu współczynników. Są to odpowiednio moduły Younga wzdłuż osi układu odniesienia: E, E, E, moduły sztywności (ścinania) w płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia: G, G, G oraz współczynniki Poissona:,,. Powyższe współczynniki można znaleźć korzystając z macierzy elastyczności (II..8) dla materiału ortotropowego. Poza parametrami opisującymi elastyczność materiału, podaje się także masę właściwą materiału (np. niezbędną do symulacji częstotliwości drgań własnych,) oraz współczynnik rozszerzalności termicznej materiału (do ewentualnej symulacji naprężeń termicznych). Fig. II..6. Zamocowanie. Wszystkie stopnie swobody są mocowane od góry [] 74

W następnej kolejności definiuje się warunki brzegowe. W szczególności definiuje się zamocowanie struktury (Rys. II..6). Zamocowanie służy do zdefiniowania punktów, które nie będą się przemieszczać (np. montaż rzeczywistej struktury). W miejscu sztywnego zamocowania ustala się zerowe odkształcenia dla wszystkich stopni swobody - dla wszystkich składowych odkształcenia przedstawionych w zapisie wektorowym. Zerowe odkształcenia definiuje się w wybranych stopniach swobody w przypadku modelowania ćwiartki lub połówki symetrycznej struktury czujnika. Np., jeśli płaszczyzna symetrii jest prostopadła do osi X układu odniesienia, wtedy przyjmuje się, że dla węzłów w tej płaszczyźnie w zapisie wektorowym składowe odkształcenia o numerach, 5 i 6 są równe zero. Dla symetrii układu w płaszczyźnie prostopadłej do osi Y, dla węzłów leżących w tej płaszczyźnie, przyjmuje się zerowe odkształcenia dla składowych o numerach, 4 i 6. Rys. II..7. Określenie warunków brzegowych: ciśnienie na membranie przedstawione za pomocą strzałek [] W dalszej kolejności określa się wymuszenie. Wymuszeniem może być ciśnienie, siła, lub przyspieszenie. Na Rys. II..7 przy pomocy strzałek przedstawiono rozkład ciśnienia działającego na powierzchnię membrany. Po zadaniu warunków brzegowych można symulować własności mechaniczne krzemowego czujnika ciśnienia. Głównymi wynikami symulacji jest przemieszczenie czujnika oraz składowe naprężeń otrzymane dla danej wartości ciśnienia (Rys. II..8). Rozkłady 75

składowych naprężeń L (x) i T (x) wzdłuż piezorezystorów są ekstrahowane z wyników symulacji. Te składowe mogą być potem używane do liczenia rezystancji piezorezystorów poddawanych działaniu wymuszenia mechanicznego. Rys. II..8. Wyniki symulacji rozkład naprężeń na powierzchni ćwiartki płaskiej membrany piezorezystywnego czujnika ciśnienia składowa w kierunku osi X []. Z analizy rezultatów symulacji membran wynika, że dla membrany poddawanej ciśnieniu, w pobliżu jej krawędzi dominuje składowa naprężenia normalna, skierowana w kierunku prostopadłym do krawędzi. b) Dokładność wyników modelowania W modelowaniu istotna jest jakość otrzymywanych wyników. Dlatego wyniki symulacji mechanicznych otrzymywane w wyniku zastosowania opisanej powyższej metodyki były weryfikowane. Celem weryfikacji było sprawdzenie dokładności symulacji ugięcia membrany pod wpływem przyłożonego ciśnienia. Weryfikacji dokonano mierząc pole przemieszczeń membrany półprzewodnikowego czujnika ciśnienia pod wpływem obciążenia ciśnieniem. Pomiarów dokonywano metodą optyczną, wykorzystując zjawisko interferencji fal świetlnych. W trakcie pomiaru czujnik umieszczony był w komorze ciśnieniowej, gdzie poddawano go działaniu ciśnienia, jednocześnie oświetlając go światłem monochromatycznym i obserwując 76

obraz prążków interferencyjnych w powiększającym układzie optycznym. Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność symulacji mechanicznych programem SAMCEF [A,A,A]. II.4. Zjawisko piezorezystywności Zjawisko piezorezystywności polega na tym, że naprężeniom pojawiającym się w obszarze warstwy rezystancyjnej, towarzyszą zmiany rezystywności tej warstwy. W praktyce inżynierskiej jako piezorezystory wykorzystuje się wdyfundowane w struktury krzemowe domieszkowane warstwy zorientowane w określonym kierunku. II.4.. Wpływ obciążeń mechanicznych na rezystancję Rozważa się rezystancję R pręta o długości l i przekroju prostokątnym rezystywności : w t i l R (II.4.) wt Pręt jest poddany obciążeniu mechanicznemu. Jeśli w wyniku tego obciążenia, pręt jest zdeformowany, to zmieniają się zarówno jego rozmiary jak i rezystywność. Dla małej deformacji można to opisać w następujący sposób: R R R R dr dt dw dl t w l d (II.4.) Różniczkując wyrażenie (II.4.) otrzymuje się: l l l dr dt dw dl d (II.4.) wt w t wt wt Na podstawie tożsamości (II.4.), można podzielić lewą stronę powyższego równania przez R, a prawą przez l wt, w ten sposób: dr dt dw dl d (II.4.4) R t w l Do dalszych przekształceń można wykorzystać następujące związki znane z rozdziałów II...c oraz II...d: dl dw w dt t,, (II.4.5) l dl l dl l gdzie jest odkształceniem, a jest współczynnikiem Poissona. Podstawiając, otrzymuje się następującą zależność [goepel,kasper,kanda9]: 77

dr d ( ) (II.4.6) R Powyższe wyrażenie składa się z dwóch członów. Człon ( ) reprezentuje tzw. efekt geometryczny zmiany rezystancji. Człon d reprezentuje zjawisko fizyczne powiązane z istnieniem naprężenia (na mocy prawa Hooke a, także odkształcenia) w ciele stałym. To zjawisko jest określone przez mechanizm przewodzenia w ciele stałym i dlatego można się spodziewać, że jego poziom jest różny dla metali i ich stopów w porównaniu z półprzewodnikami [Belu,]. Składnik ten nosi nazwę efektu piezorezystancyjnego. W metalach dominuje efekt geometryczny. W półprzewodnikach efekt piezorezystancyjny jest kilkadziesiąt razy większy niż efekt geometryczny. Dodatkowo, rezystywność bez efektu naprężeniowego ma charakter izotropowy, zaś w przypadku naprężeń pojawia się anizotropia rezystywności. Dla porównania i oceny różnych czujników definiuje się współczynnik (wskaźnik) czułości (wrażliwości) (ang. gauge factor). Jest to względny przyrost rezystancji odniesiony do odkształcenia: Na podstawie (II.4.6): dr G (II.4.7) R d G ( ) (II.4.8) Czynnik ( ) stanowi przybliżenie współczynnika czułości dla przyrządów z dominującym efektem geometrycznym. Zaś czynnik ( ) ( d ) jest przybliżeniem współczynnika czułości dla przyrządów z dominującym efektem piezorezystancyjnym [lotario]. Dla różnych czujników współczynniki czułości przedstawiono w Tab. II.4.. Tab. II.4.. Wskaźnik czułości dla różnych materiałów RODZAJ CZUJNIKA WSPÓŁCZYNNIK CZUŁOŚCI Folia metalowa do 5 Rezystor metalowy cienkowarstwowy 8%Ni, %Cr 45%Ni, 55%Cu Platyna 4.8 95%Pt, 5%Ir 5. Rezystor polikrzemowy Pręt półprzewodnikowy 8 do 5 Rezystor półprzewodnikowy wdyfundowany 8 do 78

Współczynnik czułości dla różnych przyrządów wrażliwych na odkształcenia (naprężenia) opisuje poziom wrażliwości zmian rezystancji na zmiany wymuszeń mechanicznych. Dla tensometru metalowego ta zmiana będzie znacznie mniejsza niż dla piezorezystora krzemowego. Zakłada się, że tensometryczny przyrząd metalowy podlega odkształceniu rezystancja wynosi 6, jego współczynnik czułości G i nominalna. Szacowana zmiana rezystancji tego przyrządu wynosi 6 R G R.4. Jest to zmiana na poziomie.% wartości rezystancji nominalnej [Longoria], Z drugiej strony, w piezorezystorze krzemowym ułożonym w kierunku <> o rezystancji nominalnej wynoszącej ok. 45, zmiany rezystancji pod wpływem naprężeń wzdłużnych i poprzecznych wynoszą odpowiednio ok. odpowiednio ok. % i %. 9 i 9. Procentowa zmiana rezystancji wynosi Przyrządy półprzewodnikowe mają współczynnik czułości znacznie większy niż przyrządy z efektem geometrycznym, i typowo mają znacznie mniejsze wymiar. Z drugiej strony mają pewne słabości. Przede wszystkim są wrażliwe na temperaturę, a także mają znacznie mniejszą granicę dopuszczalnego odkształcenia, niż przyrządy metaliczne. II.4.. Wpływ obciążeń mechanicznych na rezystywność krzemu Krzem monokrystaliczny ma postać kryształu składającego się z komórek elementarnych ułożonych regularnie. Elementarna komórka jest obiektem o określonym stanie symetrii. Obciążenie kryształu powoduje pojawienie się naprężeń. Zgodnie z prawem Hooke a, naprężenie w strukturze krzemu prowadzi do odkształcenia. Z odkształceniem związana jest deformacja komórki elementarnej, która powoduje obniżenie jej poziomu symetrii - komórka zdeformowane jest w pewnym stopniu rozsymetryzowana [bir]. Warunkiem wyjaśnienia zjawisk elektrycznych w półprzewodniku jest znajomość widma energetycznego elektronów i dziur [cydilkowski]. Badania tego widma dla krzemu wykazały, że powierzchnia stałych energii ma kształt bardzo skomplikowany. W literaturze mówi się o kształcie elipsoidalnym lub wielo-dolinowym [Anselm,gopel,hannay,hennel,kanda9,mason,wang,keyes]. Dla germanu elipsoidy 79

stałej energii są skierowane w kierunkach <>. Dla krzemu elipsoidy stałej energii są skierowane w kierunkach <>. Wynika z tego, że w widmie germanu występuje osiem elipsoid, zaś w widmie krzemu takich elipsoid jest sześć. Pomimo, że kształt widma energetycznego jest skomplikowany, to charakteryzuje się istotną symetrią, której przyczyna tkwi w symetrii komórki elementarnej. W stanie symetrii, rezystywność krzemu wykazuje własności izotropowe. Obniżenie poziomu symetrii komórki elementarnej krzemu wynikające z naprężeń, prowadzi do rozsymetryzowania widma energetycznego - w obecności naprężeń ulegają przesunięciu granice pasm, a więc zmienia się także położenie ekstremów energii. Zmiana pasmowej struktury energetycznej jest przyczyną zmian warunków transportu nośników w półprzewodniku. Z tą zmianą wiąże się anizotropowa zmiana mas efektywnych, które stają się wielkościami tensorowymi. Za zmianą mas efektywnych idzie anizotropowa zmiana ruchliwości elektronów i dziur. W związku ze zmianą struktury pasmowej następuje także redystrybucja nośników ładunku. Deformacja komórki elementarnej prowadzi do tego, że dla różnych nośników prądu pojawia się anizotropia czynników wpływających na ich przewodność - wyrażenie opisujące przewodność w obecności naprężeń opisuje się tensorem, co jest równoważne anizotropii rezystywności z naprężeniami. II.4.. Matematyczny opis zjawiska piezorezystywności w krzemie W przypadku braku naprężeń rezystywność krzemu wykazuje własności izotropowe. Oznacza to, że wektor pola elektrycznego E i wektor gęstości prądu j są równoległe, zaś rezystywność w zapisie wektorowym przyjmuje następującą postać: T,,,,, (II.4.9) Wraz z naprężeniami, w strukturze krzemu pojawia się anizotropowy przyrost rezystywności: 4 5, T 6,,,,, (II.4.) Efektywna rezystywność w stanie z naprężeniami jest równa: 4 5, T 6,,,, (II.4.) Tę efektywną rezystywność można przedstawić jako sumę rezystywności bez naprężeń (izotropia) i przyrostu rezystywności z naprężeniami: 8

(II.4.) W formie rozwiniętej w zapisie wektorowym powyższe wyrażenie przyjmuje postać: 4 4 5 5 6 6 (II.4.) a) Tensorowy opis piezorezystywności W zapisie tensorowym, dla rezystora leżącego w polu naprężeń, względna zmiana tensora rezystywności (ozn. zależnością [belu]: ij ij ) wywołana naprężeniami dana jest k, l ijkl kl (II.4.4) gdzie i, j, k, l..., kl jest tensorem naprężeń, tensor piezorezystywności ijkl jest tensorem czwartego rzędu, który opisuje zjawisko piezorezystancyjne. Jego składowe nazywane są współczynnikami piezorezystywności. Opuszczając znak sumowania otrzymuje się tzw. umowny zapis sumowania z niemymi wskaźnikami: ij ijkl kl (II.4.5) Sumowanie odbywa się względem tego wskaźnika, który występuje dwa razy w tym samym wyrazie. Zgodnie z tym, w (II.4.5) sumowanie odbywa się po wskaźnikach k oraz l. Wskaźniki k i l są wskaźnikami niemymi, zaś wskaźniki i oraz j wskaźnikami wolnymi (Rozdz. II..). W modelu (II.4.5) kl oznacza składniki tensora naprężeń. Są to dane dla modelu. Ich rozkłady zależą od wymuszeń mechanicznych, takich jak ciśnienie, siła lub przyłożone przyspieszenie. Wielkość ijkl w modelu (II.4.5) są elementami tensora piezorezystywności. Formalnie, składniki tego tensora są parametrami modelu. Realnie, tensor piezorezystywności jest tensorem materii opisującym fizyczne właściwości piezorezystora. 8

b) Macierzowy opis piezorezystywności Tensor rezystywności ij jest symetryczny względem zamiany wskaźników i j (Rozdz. II..). Analogicznie, tensor naprężeń kl jest symetryczny względem zamiany wskaźników k l (Rozdz. II..). Dlatego, tensor piezorezystywności jest symetryczny względem zamiany wskaźników ijkl i j oraz k l. Symetria ta redukuje liczbę niezależnych składników tensora piezorezystywności z 8 do 6. Dzięki tej symetrii, tensor piezorezystywności, który jest tensorem rzędu czwartego, redukuje się do postaci macierzy o rozmiarach 6 6. Z drugiej strony, inaczej niż tensor sztywności c ijkl i tensor elastyczności s ijkl, tensor piezorezystywności ijkl nie jest symetryczny względem zamiany par wskaźników ij oraz kl. Oznacza to, że w ogólności macierz współczynników piezorezystywności nie jest macierzą symetryczną [nowick]. Przejścia od zapisu tensorowego do zapisu macierzowego można dokonać, zastępując pary wskaźników jednym wskaźnikiem (analogicznie jak dla tensora rezystywności i naprężeń i odkształceń, sztywności, sprężystości) w sposób przedstawiony niżej: Zapis tensorowy,,, Zapis macierzowy 4 5 6 Zgodnie z powyższą regułą zamiany wskaźników, przejście od czterowskaźnikowego zapisu tensorowego do dwuwskaźnikowego zapisu macierzowego jest następujące [thurston]: Od tej reguły są następujące wyjątki: 4 : ij4, 5 : ij, 6 : ij : ijkl. (II.4.6). (II.4.7) Oznacza to, że w przypadku ogólnym macierz współczynników piezorezystywności przyjmuje postać [thurston]: 4 5 6 4 5 6 4 5 6. (II.4.8) 4 4 4 44 45 46 5 5 5 45 55 56 6 6 6 46 56 66 8

Macierz można przedstawić w postaci macierzy blokowej o następującej postaci: Macierze P S. (II.4.9) R Q P, Q, R, S są macierzami kwadratowymi o wymiarze. Dodatkowo, macierze P i Q są macierzami symetrycznymi, zaś macierz S jest podwojoną transpozycją macierzy R : S T R, (II.4.) Oznacza to, że w przypadku ogólnym macierz współczynników piezorezystywności ma następującą postać: T P R. (II.4.) R Q Korzystając z wektorowego opisu stanu naprężenia oraz rezystywności, a także z macierzowej reprezentacji tensora piezorezystywności równanie (II.4.4) otrzyma postać: 6 i j ij j. (II.4.) W zapisie z niemymi wskaźnikami we wzorze (II.4.) można pominąć znak sumowania. Wtedy wzór ten przyjmie postać: dla i, j... 6. i, (II.4.) ij j c) Macierz współczynników piezorezystywności dla krzemu w układzie komórki elementarnej Dla monokrystalicznego krzemu, którego komórka elementarna jest regularnym sześcianem - w układzie współrzędnych, którego osie są zgodne z krawędziami komórki elementarnej - macierz współczynników piezorezystywności ulega dalszej redukcji. Dla elementów niezerowych zachodzą związki:,, 44 55 66. (II.4.4) Pozostałe elementy macierzy mają wartość zerową. W wyniku tej redukcji tensor współczynników piezorezystywności można zapisać w postaci macierzy z trzema niezależnymi składnikami,, 44 : 8

44 44. (II.4.5) 44 W rozważanym układzie odniesienia zgodnym z krawędziami komórki elementarnej na podstawie równania (II.4.) można napisać wzór na przyrost rezystywności pod wpływem naprężeń: 4 5 6 44 44 4 5 44 6 (II.4.6) Wykonując mnożenie i zapisując wynik, można otrzymać obraz wpływu poszczególnych składowych naprężeń na składowe rezystywności (Tab. II.4.). Tab. II.4.. Związki między składowymi naprężenia, a przyrostem rezystywności RÓWNANIE 4 44 4 5 44 5 6 44 6 KIERUNEK SKŁADOWEJ POLA ELEKTRYCZNEGO - KIERUNEK GĘSTOŚCI PRĄDU X-X Y-Y Z-Z Y-Z, Z-Y X-Z, Z-X X-Y, Y-X UWAGI Rezystor wzdłuż osi X, naprężenia normalne Rezystor wzdłuż osi Y, naprężenia normalne Prąd prostopadły do pola elektrycznego, naprężenie ścinające 84

Składowa pola elektrycznego zgodnego z osią x oraz składowa gęstości prądu płynącego wzdłuż osi X są powiązane rezystywnością. W zapisie wektorowym rezystywność oznacza się jako. Względny przyrost rezystywności rezystora leżącego wzdłuż osi X może być policzony w sposób następujący: (II.4.7) d) Zmiana układu współrzędnych Przedstawione wyżej rozumowanie dotyczy przypadku, gdy rozważa się piezorezystywność w układzie odniesienia związanym z osiami krystalograficznymi krzemu. Jeśli obrócić układ odniesienia, to macierz współczynników piezorezystywności (II.4.5) ulegnie zmianie. Innymi słowy, w innym kładzie współrzędnych inne będą współczynniki piezorezystywności. Należy znaleźć relacje pomiędzy współczynnikami piezorezystywności w różnych układach współrzędnych. W przypadku ogólnym, dla zapisu tensorowego te zależności są znane (Tab. II..4) [Ney]. Niestety ten opis jest nie wygodny z punktu widzenia praktycznego. Należy znaleźć równoważny opis problemu w zapisie macierzowym. Następnie relacje te trzeba odnieść do krzemu monokrystalicznego. Rozważa się tensor piezorezystywności ijkl w układzie odniesienia związanym z osiami krystalograficznymi. Układ ten można obrócić. Obrót ten jest opisany przez macierz a ij. Macierzy tej odpowiada macierz dana wzorem (II..5). Tensor piezorezystywności będący tensorem rzędu czwartego wiąże tensor naprężeń z tensorem zmian rezystywności zarówno naprężenia jak i zmiana rezystywności są tensorami rzędu drugiego. W zapisie macierzowym ta zależność ma postać: ( ), (II.4.8) i ij j gdzie i ( ) i (II.4.9) jest wektorem względnego przyrostu rezystancji, ij jest macierzą współczynników piezorezystywności, a j jest wektorową reprezentacją tensora naprężeń. Z Rozdz. 85

II.. wiadomo, że w zapisie macierzowym zarówno rezystywność, jak i naprężenie, transformują się zgodnie ze wzorem: ' ', M, (II.4.) gdzie M jest macierzą zdefiniowaną w Rozdz. II.. wzorem (II..5). Wielkość () transformuje się analogiczne: Mnożąc równanie (II.4.8) obustronnie przez otrzymuje się: Pomiędzy i można wstawić wyrażenie jednostkowej. W ten sposób otrzymuje się: ' ( ) ( ) (II.4.) ( ) (II.4.), które jest równoważne macierzy ( ) (II.4.) Korzystając z obowiązującego w algebrze liniowej prawa łączności mnożenia macierzy, w powyższe wyrażenie można wstawić nawiasy. W ten sposób otrzyma się wyrażenie: ( ) ( ). (II.4.4) Z drugiej strony, w nowym układzie współrzędnych słuszne jest równanie: ( ' ' ' ), (II.4.5) Porównując dwa powyższe wyrażenia, otrzymuje się odpowiednie równanie opisujące tensor piezorezystywności w zapisie macierzowym w nowym układzie odniesienia: Konstrukcja macierzy '. (II.4.6) została opisana w rozdz. II..4 wzorem (II..46). Współczynniki piezorezystywności po zmianie układu współrzędnych można przedstawić zarówno w zapisie tensorowym przy pomocy macierzy obrotu a, jak i w zapisie macierzowym przy pomocy macierzy. W tabeli przedstawiono porównanie obydwu zapisów. Tab. II.4.. Transformacja składowych tensora piezorezystywności porównanie zapisu tensorowego i macierzowego ZAPIS TENSOROWY ZAPIS MACIERZOWY a a a a, ' ijkl im jn ko lp mnop 86

e) Współczynniki piezorezystywności na płaszczyźnie () Rozważa się płaszczyznę (), a na niej kartezjański układ odniesienia związany z osiami krystalograficznymi krzemu. Dla tego układu współczynniki piezorezystywności w zapisie macierzowym mają postać (II.4.5). Rys. II.4.. Współczynniki piezorezystywności dla krzemu (): a) płaszczyzna {}; b) Obrót układu odniesienia wokół osi Z o kąt 9. Układ odniesienia podlega transformacji, więc współczynniki piezorezystywności także ulegają zmianie. Zakłada się, że transformacja polega na obrocie układu współrzędnych wokół osi Z (Rys. II.4.) Ze względu na symetrię komórki elementarnej krzemu wystarczy rozważać obrót dla kąta. Macierz przedstawiająca kąt obrotu przedstawia Tab. II.4.4. Tab. II.4.4. Kąty między osiami układu odniesienia przed obrotem i po obrocie po transformacji X Y Z X ' przed Y ' transformacją Z' 87

Odpowiednia macierz cosinusów kierunkowych opisująca obrót ma postać: cos sin R ( Z, ) sin cos (II.4.7) Elementy tej macierzy wykorzystuje się do zbudowania macierzy służącej do opisu obrotu dla tensora w zapisie macierzowym, przyjmując następujące oznaczenia zgodne z wzorem (II..4): l cos, m sin, n, l sin, m cos, n, l, m, n. Obrotu dokonuje się, wykonując operację mnożenia macierzy zgodnie z wzorem (II.4.6) f) Obrót układu współrzędnych o 45 wokół osi Z - rozwiązanie algebraiczne Przyjmując obrót układu współrzędnych o 45 wokół osi Z uzyskuje się układ odniesienia, którego osie X i Y są zgodne z kierunkiem <>. Wtedy macierz kosinusów kierunkowych opisujących obrót ma postać jak w Tab. II.4.5. Tab. II.4.5. Kosinusy kierunkowe kątów między osiami układu odniesieni przed transformacją przed obrotem i po obrocie X Y Z ' ' ' X Stąd, odpowiednia macierz obrotu (II..5) ma postać: po transformacji Y.5.5.5.5 (II.4.8).5.5 Na podstawie wzoru (II..46), macierz odwrotna do macierzy ma postać: Z 88

.5.5.5.5 (II.4.9).5.5 Po odpowiedniej transformacji macierzy piezorezystywności zgodnie z formułą, macierz współczynników piezorezystywności osiągnie postać: 44.5 44.5.5.5 44 44 ' (II.4.4) 44 44 W ten sposób względna zmiana rezystywności pod wpływem naprężenia może być policzona z formuły:.5.5 4 5 6 44.5 44.5 44 II.4.4. Identyfikacja tensora piezorezystywności 44 44 44 4 5 6 (II.4.4) Tensor współczynników piezorezystywności jest tensorem czwartego rzędu. Elementarna komórka kryształu krzemu ma strukturę diamentu. Ze względu na jej symetrię dowodzi się, że tensor piezorezystywności składa się tylko z trzech niezależnych elementów składowych. W zapisie macierzowym te elementy to, i 44. Do określenia tych współczynników piezorezystywności należy mierzyć zmiany składowych rezystywności w obecności naprężeń. Istotne są dwa sposoby zadawania naprężeń. Są to ciśnienie hydrostatyczne oraz naprężenia jednoosiowe. 89

a) Ciśnienie hydrostatyczne W strukturze poddanej ciśnieniu hydrostatycznemu nie występuje zmiana kształtu komórki elementarnej, czyli nie występuje zmiana symetrii kryształu. Dla zadanego ciśnienia hydrostatycznego p tensor naprężeń ma postać (II..6) (Rozdz.II..). W zapisie wektorowym to naprężenie ma postać: T [ p, p, p,,,]. Dla krzemu () w układzie odniesienia zgodnym z krawędziami komórki elementarnej przyrost rezystywności pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego jest opisany jako szczególny przypadek równania (II.4.6): Stąd: 4 5 6 44 44 p p p. (II.4.4) 44 i p, (II.4.4) gdzie i,,. W ten sposób, przy pomocy ciśnienia hydrostatycznego można zidentyfikować sumę [keyes]: i ( i,,). (II.4.44) p b) Naprężenia jednoosiowe W celu identyfikacji kompletu trzech niezależnych współczynników piezorezystywności,, 44 wykorzystuje się belkę krzemową, która jest poddana rozciąganiu wzdłużnemu. Stan naprężeń w takiej belce można opisać w sposób następujący: [,,,,,] T. Sytuację opisują Rys. II.4., gdzie przyjęto następujące oznaczenia: F - wektor siły powodujący naprężenie jednoosiowe, j wymuszany prąd, V mierzone napięcie. Dla trzech niewiadomych współczynników piezorezystywności - w celu ich identyfikacji - dla przyjętej struktury próbnej należy przeprowadzić trzy niezależne pomiary zmiany rezystancji przy znanych naprężeniach jednoosiowych. Do identyfikacji współczynników i wykorzystuje się belkę zorientowaną w 9

kierunku <> wyciętą z krzemu (). Belka rozciągana jest znaną siłą, której odpowiadają określone naprężenia. Dla tej belki w układzie odniesienia zgodnym z krawędziami komórki elementarnej przyrost składowych tensora rezystywności pod wpływem tego obciążenia jest opisany jako szczególny przypadek układu równań (II.4.6): 4 5 6 44 44 44 (II.4.45) Do identyfikacji współczynników i wystarczy wykorzystać tylko dwa pierwsze równania opisujące przyrost dwóch diagonalnych elementów tensora rezystywności:, (II.4.46a) Po przekształceniu otrzymuje się: (II.4.46b), (II.4.47a). (II.4.47b) Do identyfikacji współczynnika 44 wykorzystuje się belkę zorientowaną w kierunku <> wyciętą z krzemu (). Dla tej belki - w układzie odniesienia powstałym przez obrót układu zgodnego z osiami komórki elementarnej o kąt równy 45 wokół osi Z - przyrost rezystywności pod wpływem naprężenia pochodzącego od obciążenia mechanicznego jest opisany jako szczególny przypadek równania (II.4.4): 9

.5.5 4 5 6 44.5 44.5 44 44 44 44 (II.4.48) Rys. II.4.. Schemat układu piezorezystorów do identyfikacji elementów tensora piezorezystywności dla krzemu: a) identyfikacja współczynnika ; b) identyfikacja współczynnika ; c) lub d) identyfikacja współczynnika 44.[] Do identyfikacji współczynnika 44 wystarczy wykorzystać tylko równanie opisujące przyrost pierwszego lub drugiego diagonalnego elementu tensora rezystywności:. 5 44 (II.4.49a). 5 44 (II.4.49b) 9

Jeżeli współczynniki i są wcześniej zidentyfikowane przy pomocy formuł (II.4.47), to przekształcając powyższe równanie, współczynnik 44 można policzyć ze wzoru: 44. (II.4.5a) 44 (II.4.5b) Wartości odpowiednich składowych reprezentacji macierzowej tensora piezorezystywności są przedstawione w następującej tabelce [Smith54]: Tab.II.4.6. Wartości składowych tensora piezorezystywności dla jednorodnie domieszkowanego krzemu [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] 44 [ -5 Mpa - ] Krzem typu P 6.6 -. 8. Krzem typu N -. 5.4 -.6 Ze względu na trudności w identyfikacji współczynników piezorezystywności, konstruktorzy czujników wykorzystują wyniki przedstawione przez Smitha [Smith54]. Z drugiej strony, wspomniane wyżej wyniki dla rezystorów jednorodnie domieszkowanych mają znaczenie raczej teoretyczne, gdyż słabo opisują rzeczywistą sytuację. c) Dokładność pomiaru współczynników piezorezystywności Przedstawione konfiguracje mają wpływ na dokładność pomiaru współczynników piezorezystywności. Konfiguracje oznaczone na Rys. II.4. jako b) i d) są szczególnie niekorzystne ze względu na dokładność określania współczynników piezorezystywności. Na rysunkach widać, że powierzchnia, po której rozpływa się prąd, jest bardzo duża. Jednocześnie odległość, na której jest mierzone napięcie jest mała. Dlatego względnie duży prąd jest wymagany do względnie dokładnego pomiaru napięcia. Przy takiej konfiguracji rezystancja elektrod może być porównywalna z rezystancją warstwy krzemu. Dlatego powinny być użyte elektrody o jak najmniejszej rezystancji. Dodatkowo, elektrody nie sięgają końców próbki. To powoduje, że prąd jest rozproszony także w obszarach nie pokrytych elektrodami, a to ma także 9

negatywny wpływ na dokładność pomiaru rezystywności w kierunku poprzecznym. W konsekwencji wszystkie te czynniki zaburzają dokładność identyfikacji współczynnika piezorezystywności 44 [keyes]. d) Współczynniki piezorezystywności wzdłużny i poprzeczny. Jeżeli w danym układzie współrzędnych, kierunek prądu, kierunek pola elektrycznego oraz kierunek naprężenia jest zgodny z osią X układu współrzędnych, to współczynnik piezorezystywności oznacza się symbolem L i nazywa się wzdłużnym współczynnikiem piezorezystywności. Gdy w takim samym układzie współrzędnych kierunek prądu oraz pola elektrycznego jest zgodny z osią X, zaś naprężenie jest prostopadłe do kierunku prądu i zgodne z kierunkiem osi Y, to współczynnik piezorezystywności oznacza się symbolem T i nazywa się poprzecznym współczynnikiem piezorezystywności. Na krzemie () rozważa się piezorezystor ulokowany w kierunku <> zgodnym z osią X. Na podstawie równania (II.4.6) można napisać: (II.4.5) W równaniu tym wielkość wiąże składową gęstości prądu w kierunku osi X ze składową pola elektrycznego w kierunku osi X. Wielkość ( i,, ) przedstawia normalną składową naprężenia w kierunku można przyjąć oznaczenie: i X i. W ten sposób, dla równania (II.4.5) L. (II.4.5), T Analogicznie, na podstawie równania (II.4.4), dla krzemu () dla piezorezystora ulokowanego w kierunku <> zgodnego z osią X, można napisać równanie na względny przyrost rezystywności :.5 44.5 44 (II.4.5) W równaniu tym, podobnie jak w przypadku przedstawionym wyżej, wielkość wiąże składową gęstości prądu w kierunku osi X ze składową pola elektrycznego w kierunku osi X, zaś wielkość przedstawia normalną składową naprężenia, także w kierunku X. Analogicznie, dla równania (II.4.5) można przyjąć oznaczenie:.5 L 44 (II.4.54a) 94

.5 T 44 (II.4.54b) Stąd, zarówno dla rezystora w kierunku <> jak i dla rezystora w kierunku <> można napisać: L L T T (II.4.55) Jeżeli w powyższym równaniu składnik prawostronny sumy równy jest dużo mniejszy, niż pozostałe składniki tej sumy, to można korzystać z uproszczenia: L L T T (II.4.56) W praktyce inżynierskiej, konstrukcje struktur czujników realizowane są tak, że składowa naprężenia jest niewielka w porównaniu z pozostałymi składowymi naprężenia. Z drugiej strony, w Tab. II.4.7 widać, że tylko w rezystorach typu P lokowanych zgodnie z kierunkiem <> pierwszy składnik iloczynu, czyli współczynnik jest mały w porównaniu z innymi współczynnikami piezorezystywności. Na tej podstawie można powiedzieć, że dla krzemu (), dla rezystora typu P lokowanego w kierunku <> można przyjąć, że iloczyn. Powyższy fakt prowadzi do uproszczenia wyrażenia na odpowiedni przyrost rezystywności do znanej postaci (II.4.56). Tab. II.4.7. Współczynniki piezorezystywności we wzorze (II.4.7) porównanie dla kierunków <> i <> Kierunek rezystora KIERUNEK REZYSTORA L L [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] [ -5 Mpa - ] Typ P 6.6 -. -. 7.8-66. -. Typ N -. 5.4 5.4 -. -7.6 5.4 e) Inżynierskie uproszczenia Ponieważ wartość 44 jest dominująca nad współczynnikami i, wobec tego o wartościach współczynników L i T liczonych według wzoru 95

(II.4.54) - dla rezystora leżącego wzdłuż kierunku <> - decyduje współczynnik 44. Prowadzi do dalszego uproszczenia zależności (II.4.54): L.5,.. (II.4.57) 44 T 5 W konsekwencji w pierwszym przybliżeniu inżynierskim dla rezystora typu P lokowanego w kierunku <> przy szacunkowych obliczeniach można napisać:.5 44 ( L T ). (II.4.58) Jeśli dodatkowo, jedna ze składowych naprężenia dominuje nad drugą składową, to można dalej uprościć powyższe wyrażenie. Gdy naprężenie wzdłużne dominuje nad naprężeniem poprzecznym, czyli gdy spełniony jest warunek, można korzystać z przybliżenia:.5 44 L 44 T L, (II.4.59) Z drugiej strony, gdy naprężenie poprzeczne dominuje nad naprężeniem wzdłużnym, L T czyli gdy spełniony jest warunek, można korzystać z innego przybliżenia:.5 44 T. (II.4.6) f) Rozkłady współczynników piezorezystywności W punkcie (II.4.4) przedstawiono metodę znajdowania współczynników piezorezystywności dla krzemu w układzie komórki elementarnej. Z drugiej strony, współczynniki te są składnikami tensora zapisanego w postaci macierzowej, który wraz z obrotem układu odniesienia także ulega zmianie. W związku z tym należy przeanalizować zachowanie macierzy współczynników piezorezystywności w zależności od układu odniesienia. Trzeba to zrobić dla różnych płaszczyzn krystalograficznych oraz dla różnych kierunków lokowania rezystorów na tych płaszczyznach. W dalszej części tego rozdziału zostanie pokazana metoda znajdowania macierzy współczynników piezorezystywności dla różnych płaszczyzn i kierunków oraz zostaną przedstawione wyniki jej zastosowania. Współczynniki piezorezystywności na płaszczyźnie () Korzystając z wyników przedstawionych w Rozdz. II.4..a oraz z wzoru (II.4.6), w wyniku obrotu układu współrzędnych (Rys. II.4.) otrzymuje się rodzinę 96

wykresów. Rys. II.4. przedstawia współczynniki piezorezystywności dla warstwy typu P () w funkcji kąta obrotu. Rys. II.4.4 przedstawia analogiczny wykres dla warstwy typu N. Kat lub 9 odpowiada kierunkowi [], zaś kąt 45 odpowiada kierunkowi <>. Linie oznaczone na wykresach jako i w literaturze są często przedstawiane w układzie biegunowym jako współczynniki L i T [kanda8]..6e-.e- 8.E-4 4.E-4.E+ -4.E-4 5 45 6 75 9-8.E-4 Rys. II.4.. Wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P Charakterystyczne jest to, że dla warstwy typu P na płaszczyźnie (), dla kierunku <> współczynniki (z pierwszym indeksem równym ) wzdłużne i poprzeczne przyjmują względnie duże wartości, współczynnik wertykalny jest bardzo mały, a współczynniki ścinające są zerowe. 97

8.E-4 4.E-4.E+ -4.E-4 5 45 6 75 9-8.E-4 -.E- -.6E- Rys. II.4.4. Wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N Współczynniki piezorezystywności na płaszczyźnie () Analogiczne wykresy można przedstawić dla krzemu () wychodząc z danych w tab. W tym celu rozważa się układ odniesienia, który w stosunku do układu przedstawionego na Rys. II.4.a został obrócony o kąt 45 wokół osi Y (Rys. II.4.5-a). Przekształcenie to prowadzi do płaszczyzny (). cos sin 4 4 R Y,. (II.4.6) 4 sin cos 4 4 W celu zbadania zachowania współczynników piezorezystywności, należy dalej układ obracać o kąt wokół osi Z ' (Rys. II.4.5-b), zgodnie z macierzą obrotu: cos sin R ( Z', ) sin cos. (II.4.6) 98

Rys. II.4.5. Współczynniki piezorezystywności dla krzemu (): a) konstrukcja płaszczyzny () przez obrót płaszczyzny () wokół osi Y o kąt =45 ; b) Obrót układu odniesienia wokół osi Z o kąt 8..6E-.E- 8.E-4 4.E-4.E+ 6 9 5 8-4.E-4-8.E-4 Rys. II.4.6. Wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P. Kąt jest równoważny kierunkowi. Kąt 9 jest równoważny kierunkowi. 99

Na podstawie wzoru (II..6), wypadkowa macierz obrotu dla tego przekształcenia powstaje ze złożenia obu tych obrotów: a R( Z', ) R( Y,45 ) (II.4.6) 8.E-4 4.E-4.E+ 6 9 5 8-4.E-4-8.E-4 -.E- -.6E- Rys. II.4.7. Wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N. Kąt jest równoważny kierunkowi., Kąt 9 jest równoważny kierunkowi Elementy tej macierzy wykorzystuje się do zbudowania macierzy (II..5) służącej do opisu obrotu składowych tensora w zapisie macierzowym, przyjmując następujące oznaczenia, zgodne z konwencją opisaną równaniem (II..4): l, m, n, l, m, n, l, m, l. Obrotu dokonuje się, wykonując operację zgodnie ze wzorem (II.4.6). W wyniku obrotu układu współrzędnych otrzymuje się rodzinę wykresów. Rys. II.4.6 przedstawia współczynniki piezorezystywności dla warstwy typu P leżącej na

płaszczyźnie () w funkcji kąta obrotu. Ze względu na symetrię komórki elementarnej krzemu wystarczy rozważać obrót dla kąta. Rys. II.4.7 przedstawia analogiczny wykres dla warstwy typu N. Z Rys. II.4.5 wynika, że kąt odpowiada kierunkowi <>, zaś kąt 9 odpowiada kierunkowi <>. Współczynniki piezorezystywności na płaszczyźnie () Rys. II.4.8-a) przedstawia konstrukcję płaszczyzny () przez obrót płaszczyzny () wokół osi Y o kąt =45, a następnie konstrukcję płaszczyzny () przez obrót płaszczyzny () wokół osi X o kąt, którego tangens jest równy stosunkowi połowy przekątnej kwadratu do jego boku i wynosi. Jest to tangens kąta 5.6. Na rysunku II.4.8-b) obszar w kształcie ciemnoszarego trójkąta leży na płaszczyźnie (). Ze względu na czytelność nie zaznaczono układu odniesienia dla tej płaszczyzny, a także nie pokazano obrotu tego układu o kąt wokół osi prostopadłej do tej płaszczyzny. Rys. II.4.8. Współczynniki piezorezystywności dla krzemu (): a) konstrukcja płaszczyzny () przez obrót płaszczyzny () wokół osi Y o kąt =45 ; b) konstrukcja płaszczyzny () przez obrót płaszczyzny () wokół osi X o kąt =5.6. Odpowiednia sekwencja obrotów jest następująca: Przekształcenie prowadzące do uzyskania płaszczyzny () (Rys. II.4.8-a):

cos sin 4 4 R Y,. (II.4.64) 4 sin cos 4 4 Przekształcenie prowadzące do uzyskania płaszczyzny () (Rys. II.4.8-b):.E- R (X ', ) cos sin, (II.4.65) sin cos gdzie cos, sin, oraz 5.6. 8.E-4 4.E-4.E+ 6 9-4.E-4-8.E-4 Rys.II.4.9. wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P. Kąt i kąt jest równoważny kierunkowi <> W celu zbadania zachowania współczynników piezorezystywności dla warstwy rezystancyjnej na płaszczyźnie () należy dalej obracać układ odniesienia o kąt wokół osi Z '' (sytuacja nie pokazana na Rys. II.4.8), zgodnie z macierzą obrotu:

cos sin R ( Z'', ) sin cos. (II.4.66) Na podstawie wzoru (II..7), wypadkowa macierz obrotu dla tego przekształcenia powstaje ze złożenia tych trzech obrotów: a R Z'', R( X ', 5.6 ) R( Y,45 ) (II.4.67) 8.E-4 4.E-4.E+ 6 9-4.E-4-8.E-4 -.E- Rys.II.4.. wartości współczynników piezorezystywności w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N. Kąt i kąt jest równoważny kierunkowi <> Ze względu na symetrię komórki elementarnej krzemu wystarczy rozważać obrót dla kąta /. Podobnie, jak w poprzednich przypadkach, elementy tej macierzy wykorzystuje się do zbudowania macierzy służącej do opisu transformacji tensora

w zapisie macierzowym, przyjmując oznaczenia, zgodne z konwencją opisaną równaniem (II..4): l, m, n, l, m, n, l, m, l. Obrotu dokonuje się, wykonując operację zgodnie ze wzorem (II.4.6). Rys. II.4.9 przedstawia rodzinę współczynników piezorezystywności dla warstwy typu P leżącej na płaszczyźnie () w funkcji kąta obrotu. Rys. II.4. przedstawia analogiczny wykres dla warstwy typu N. Z Rys. II.4.8 wynika, że kąt odpowiada kierunkowi []. g) Zmiana układu współrzędnych zapis blokowy Inny sposób przedstawienia transformacji tensora współczynników piezorezystywności przedstawiono w artykule [bao-artyk]. W tym celu przyjęto następujące oznaczenia: I macierz jednostkowa : E macierz samych jedynek: Macierz P : Macierz Q : P I, (II.4.68) E, (II.4.69) I 44 Q 44 44I ( E I) (II.4.7) (II.4.7) 44 W ten sposób, w układzie komórki elementarnej krzemu, macierz współczynników piezorezystywności można przedstawić w postaci blokowej: Ponieważ z (II.4.6) i jej odwrotność P. (II.4.7) Q ', korzystając z wzorów na macierz obrotu (II..5) (II..46), można napisać następującą zależność: 4

5 T T T T A A A A Q P A A A A 4 4 '. (II.4.7) Z drugiej strony stwierdzono, że I A A A A T T (II.4.74) E A EA T (II.4.75) Jeżeli dodatkowo skorzystać z oznaczenia ( 44 A ), wyrażenie (II.4.7) można zredukować do postaci: K A A A A A A A A A A A A A A I A A A T T T T A T T T T A ', (II.4.76) gdzie K jest macierzą kwadratową 66. W ten sposób składnik indeksie ij tensora współczynników piezorezystywności zapisanego w postaci macierzowej ma postać: ij A ij ij K ' (II.4.77) Macierz K można przedstawić w postaci macierzy blokowej: N M M L K T (II.4.78) Rozwijając poszczególne składniki macierzy K otrzymuje się: ) ( ) ( ) ( n l n m m l n n m m l l n n m m l l L n l n m m l n n m m l l L L n l n m m l L. (II.4.79) Macierz M ma postać: n n n m m m l l l n n m m l l n n m m l l n n m m l l n n n m m m l l l n n m m l l n n m m l l n n m m l l n n n m m m l l l M (II.4.8) Z kolei, macierz N ma następującą postać: L M M M L M M M L N (II.4.8) Korzystając z (II.4.45), dwie pierwsze składowe macierzy opisującej piezorezystywność można zapisać w następujący sposób:, L A (II.4.8a)

(II.4.8b), A L Powyższe wyniki są zgodne z wynikami przedstawionymi w [Thurston]. II.5. Zjawiska równoważne Pomiędzy przewodnością a rezystywnością zachodzi związek (II..5). Wobec tego, mówiąc o własnościach przewodzących materiału można zamiennie mówić o przewodności lub rezystywności. Analogicznie, na mocy prawa Hooke a (II..5) lub (II..5) zachodzi związek równoważności pomiędzy naprężeniem i odkształceniem. Dlatego można mówić nie tylko o zjawisku piezorezystancyjnym (PR), gdzie naprężenia powodują zmiany rezystywności, lecz także o zjawisku elastorezystancyjnym (ER), piezokonduktancyjnym (PC) oraz o zjawisku elastokonduktancyjnym (EC). Wszystkie cztery możliwe relacje pomiędzy naprężeniem-odkształceniem, a rezystywnością-przewodnością zostały pokazane w Tab. II.5. Tab.II.5.. Zjawiska równoważne ZMIANY W DZIEDZINIE MECHANICZNEJ OBSERWOWANE ZMIANY W DZIEDZINIE ELEKTRYCZNEJ REZYSTANCJA NAPRĘŻENIE Piezorezystywność (PR) KONDUKTANCJA Piezokonduktywność (PC) ODKSZTAŁCENIE Elastorezystywność (ER) Elastokonduktywność (EC) Każda z przedstawionych relacji jest opisana przez odpowiedni tensor. Jeżeli dany jest co najmniej jeden z tensorów opisujących którąś z relacji przedstawionych w Tab. II.5., to korzystając z tensorów elastyczności lub sztywności dla danego materiału, można wyprowadzić pozostałe tensory opisujące odpowiednie zjawisko. Z drugiej strony, w różnych sytuacjach różne sformułowania problemu mogą być wygodne w zastosowaniu. I tak, w teoretycznej analizie wpływu obciążeń mechanicznych na zjawiska elektryczne wygodnie jest korzystać ze współczynników elastkonduktacyjnych. W eksperymencie zaś, wygodniejsze są współczynniki piezorezystywności [matsuda9]. Pojęcia elastorezystywności można znaleźć w artykułach [smith54, thurston, belu-marian, polowczyk-art]. Keyes w pracy [keyes] definiuje tensor 6

elastokonduktywności, uzależniając go od tensora piezorezystywności ( EC f (PR) ). Pojęcie elastokonduktywności i piezorezystywności znajduje się w książce Bira i Pikusa [bir]. Thurston [thurston] podaje relacje pomiędzy tensorami piezorezystywności-elastorezystywności ( PR f (ER) ) oraz elastorezystywnościpiezorezystywności ( ER f (PR) ), zarówno w zapisie tensorowym jak i macierzowym. W pracy [matsuda9] zwrócono uwagę na możliwość przejścia od teorii do eksperymentu przez odpowiednie przekształcanie tensorów w następujący sposób: teoria EC PC PR eksperyment. W różnych źródłach przyjmuje się różne oznaczenia dla różnych tensorów. Tradycyjnie w literaturze tensor piezorezystywności oznacza się małą grecką literą lub wielką grecką literą. W pracach [smith54, thurston] tensor elastorezystywności jest oznaczony literą m. W pracy [belu] ten sam tensor elastorezystywności jest oznaczony grecką literą. W [keyes] tensor elastokonduktywności oznaczono literą M, zaś w [bir] tensor ten oznaczono literą m. Niżej zostaną wyprowadzone i uporządkowane relacje pomiędzy tensorami piezorezystywności, elastorezystywności, piezokonduktywności i elastokonduktywności zarówno w zapisie tensorowym jak i macierzowym. Tradycyjnie, tensor piezorezystywności zostanie oznaczony literą. Tensor elastorezystywności zostanie oznaczony literą m - jak w pracach [smith54, thurston]. Tensor piezokonduktywności zostanie oznaczony literą grecką, zaś tensor elastokonduktywności grecką literą. a) Piezorezystywność W zjawisku piezorezystywności rozważa się wpływ naprężeń na rezystywność. Opis matematyczny zjawiska piezorezystywności w zapisie z niemymi wskaźnikami przedstawia się w następujący sposób (II.4.5): gdzie ij ijrs rs, (II.5.) ijrs są składowymi tensora piezorezystywności wiążącymi naprężenia rs z względną zmianą rezystywności. 7

b) Elastorezystywność Analogicznie - na mocy prawa Hooke a - można rozważać zjawisko elastorezystancyjne [smith54, thurston, Belu], wiążące zmiany rezystywności z odkształceniem. gdzie ij m ijmn mn, (II.5.) m ijmn są współczynnikami elastorezystancyjnymi wiążącymi odkształcenia ze zmianą rezystywności. Korzystając z prawa Hooke a (II..5) można we wzorze (II.5.) naprężenie zastąpić odkształceniem: ij ijrs rs ijrs c rsmn mn (II.5.) Porównując prawą stronę wzorów (II.5.) i (II.5.) otrzyma się współczynniki elastorezystywności uzależnione od współczynników piezorezystywności: m ijmn c (II.5.4) ijrs rsmn Analogicznie, z prawa Hooke a we wzorze (II.5.) odkształcenie można zastąpić naprężeniem: ij m ijrs rs m ijrs s rsmn mn (II.5.5) Porównując wzory (II.5.) i (II.5.5) otrzyma się współczynniki piezorezystywności uzależnione od współczynników elastorezystywności: m s (II.5.6) ijmn ijrs rsmn c) Piezokonduktywność Zjawisko piezokonduktywności polega na zmianie przewodności z naprężeniami. Można je opisać w następujący sposób: ij gdzie ijrs jest tensorem współczynników piezokonduktywności. ijrs, (II.5.7) Aby znaleźć związek pomiędzy współczynnikami piezokonduktywności, a współczynnikami piezorezystywności, zostanie rozważona rezystancja R pręta o długości l i przekroju prostokątnym rs w t i rezystywności, analogicznie jak w rozdziale II.4. poddanego obciążeniu mechanicznemu, z tą jednak różnicą, że we 8

wzorach rezystywność zostanie zastąpiona odwrotnością przewodności:. W ten sposób: l R (II.5.8) wt Niewielki przyrost rezystancji pod wpływem obciążenia można przedstawić jako: dr R R R R l l dt dw dl d dt dw dl t w l wt w t wt Stąd względny przyrost rezystancji wynosi: l wt d (II.5.9) dr dt dw dl d (II.5.) R t w l Korzystając z definicji odkształcenia wzdłużnego (II..4) oraz z definicji współczynnika Poissona (II..7), otrzymuje się [kasper]: dr R d ( ). (II.5.) Powyższe wyrażenie jest równoważne wyrażeniu (II.4.6). Stąd Stosunek d d, (II.5.) d reprezentuje względny przyrost rezystywności, zaś stosunek d reprezentuje względny przyrost konduktywności. Jeśli te przyrosty związać z naprężeniami, to otrzyma się odpowiednio efekt piezorezystancyjny oraz efekt piezokonduktancyjny. Ze wzorów (II.5.) i (II.5.), można napisać: d Uwzględniając (II.5.7) i (II.5.) otrzymuje się związek: ij (II.5.) ijrs ijrs ijrs rs, (II.5.4) d) Elastokonduktywność Równanie elastokonduktywności wiąże tensor konduktywności z tensorem odkształceń [bir,keyes]: gdzie d ij ijrs rs, (II.5.5) ijrs - współczynniki elastokonduktywności. Z prawa Hooke a (II..5) w równaniu (II.5.5) odkształcenie rs można zastąpić naprężeniem: 9

d ij s (II.5.6) ijrs Porównując z (II.5.7), otrzymuje się zależność pomiędzy tensorem piezokonduktywności, a tensorem elastokonduktywności: ijkl ijrs rs rskl ijrs rskl kl s (II.5.7) e) Tensorowy opis zjawisk równowaznych Wszystkie przedstawione wyżej relacje są przedstawione w Tab. II.5., gdzie pokazano równania piezorezystywności, elastorezystywności, piezokonduktywności i elastokonduktywności. W Tab. II.5. zebrano ostateczne relacje pomiędzy tensorami opisującymi równoważne zjawiska. Tab.II.5.. Zjawiska równoważne zapis tensorowy PIEZO- ELASTO- PIEZO- ELASTO- ZJAWISKO REZYSTYWNOŚĆ REZYSTYWNOŚĆ KONDUKTYWNOŚĆ KONDUKTYWNOŚĆ (PR) (ER) (PC) (EC) RELACJA ij ijrs rs ij m ijrs rs ij ijrs rs ij ijrs rs Tab. II.5.. Relacje pomiędzy poszczególnymi tensorami ijrs, m ijrs, ijrs, ijrs - zapis tensorowy PR ER PC EC ijrs m ijrs ijrs ijrs PR ER PC EC ijrs tożsamość ijrs mijkl sklrs ijrs ijrs ijrs ijkl sklrs m m ijrs ijrs ijklcklrs tożsamość mijrs ijklcklrs ijrs ijrs ijrs ijrs mijkl sklrs m ijrs ijrs tożsamość ijrs ijkl sklrs m ijrs ijrs ijklcklrs ijrs ijrs ijrs ijklcklrs tożsamość f) Macierzowy opis zjawisk równowaznych Analogicznie, jak w rozdziałach poprzednich w odniesieniu do innych tensorów, wszystkie przedstawione związki można przedstawić w zapisie macierzowym, który z punktu widzenia praktyki inżynierskiej jest wygodniejszy w

zastosowaniu. Dlatego, Tab. II.5.4 przedstawia w zapisie macierzowym wszystkie relacje zapisane w Tab. II.5.. Tab. II.5.4. Zjawiska równoważne w zapisie macierzowym PIEZO- ELASTO- PIEZO- ELASTO- ZJAWISKO REZYSTYWNOŚĆ REZYSTYWNOŚĆ KONDUKTYWNOŚĆ KONDUKTYWNOŚĆ (PR) (ER) (PC) (EC) Relacja m Tensor piezorezystywności przedstawiony w postaci macierzowej dla krzemu typu N i typu P został zidentyfikowany przez Smitha i przedstawiony w artykule [Smith54]. Tensor elastorezystywności w postaci macierzowej można policzyć ze wzoru: m c. (II.5.8) Brakujące macierze współczynników piezokonduktywności oraz elastokonduktywności są odpowiednio pomożonymi przez macierzami piezorezystywności i elastorezystywności. Tab. II.5.5 przedstawia w zapisie macierzowym zestawienie wszystkich relacji, które w zapisie tensorowym są przedstawione w Tab. II.5.. Tab. II.5.5. Relacje pomiędzy poszczególnymi tensorami,,, m w zapisie macierzowym PR ER PC EC m PR tożsamość m s s ER m m c tożsamość m c m PC m s tożsamość s EC c m c tożsamość II.6. Dyskusja Cały drugi rozdział poświęcono modelowaniu zjawiska piezorezystywności w krzemie. Przedstawiona analiza jest punktem wyjścia do wyboru odpowiedniej

konfiguracji piezorezystora. W poniższym punkcie zostaną przedyskutowane niektóre problemy przedstawione wyżej. a) Uwagi o asymetrii macierzy współczynników piezorezystywności W punkcie II.4..b stwierdzono, że tensor piezorezystywności zapisany w postaci macierzowej jest reprezentowany przez macierz asymetryczną (II.4.): T P R. (II.6.) R Q Z drugiej strony, przyjęto w punkcie II.4.4.g, że dla kryształów regularnych takich jak krzem, tensor piezorezystywności w pewnych układach odniesienia dany jest w postaci macierzy symetrycznej (II.4.7): P. (II.6.) Q Powyższa zależność jest zachowana np. dla układu komórki elementarnej (II.4.5) lub dla układu, gdzie osie X i Y są obrócone w kierunku <>, a oś Z w kierunku <>. Wynika to z wzoru (II.4.4). Pozornie, wygląda to na sprzeczność. Jednakże wyniki przedstawione na wykresach w rozdz. II.4..e i II.4.4.f dowodzą, że w ogólności zależność (II.6.) jest zawsze spełniona. Przypadek (II.6.) jest szczególnym przypadkiem (II.6.), kiedy to macierz R jest macierzą zawierającą same zera. Dla krzemu () i () ma to miejsce dla kierunków <> i <>. Dla krzemu () taka sytuacja nigdy nie zachodzi. Pokazują to wykresy na rysunkach II.6. 6.

4.E-4.E-4.E+ 5 45 6 75 9 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P. Kąt i kąt 45 odpowiada kierunkom odpowiednio <> i <> 4.E-4.E-4.E+ 5 45 6 75 9 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N. Kąt i kąt 45 odpowiada kierunkom odpowiednio <> i <>

4.E-4.E-4.E+ 6 9 5 8 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P. Kąt i kąt 9 odpowiada kierunkom odpowiednio <> i <> (Rys. II.4.5) 4.E-4.E-4.E+ 6 9 5 8 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.4. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N. Kąt i kąt 9 odpowiada kierunkom odpowiednio <> i <> (Rys. II.4.5) 4

4.E-4.E-4.E+ 6 9 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.5. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu P. 4.E-4.E-4.E+ 6 9 -.E-4-4.E-4 Rys.II.6.6. Elementy składowe bloku R w blokowej macierzy (II.4.) w funkcji kąta obrotu piezorezystora. Krzem o orientacji (). Rezystor typu N. b) Stosowalność metody blokowej Przedstawiona w punkcie II.4.4.g metoda blokowa jest prawdziwa tylko w sytuacji, gdy punktem startowym do obliczeń jest macierz współczynników piezorezystywności w o postaci (II.4.7). W przypadku krzemu taka sytuacja ma miejsce tylko dla kładu komórki elementarnej. Znając macierz (II..4) cosinusów kierunkowych dla przejścia od układu komórki elementarnej do układu końcowego, 5

6 można skorzystać z wzoru (II.4.77). Z drugiej strony nie jest oczywiste, czy znajdowanie macierzy K (II.4.78) i wykonanie operacji (II.4.77) ma jakąkolwiek przewagę nad znalezieniem macierzy (II..9) i (II..46) i wykonaniem operacji (II.4.6). Na pewno to pierwsze podejście jest mniej oczywiste w dowodzeniu. Z kolei, gdy znana jest początkowa macierz współczynników piezorezystywności dla układu innego niż układ komórki elementarnej lub gdy w ogólności rozważany kryształ nie jest regularny, metoda blokowa nie umożliwi otrzymania poprawnego wyniku. W takiej sytuacji trzeba zastosować uniwersalną metodę (II.4.6). c) O istocie zjawiska piezorezystywności W zjawisku piezorezystywności obserwuje się zmianę rezystywności materiału pod wpływem mechanicznego naprężenia. Niżej zostanie przedstawiona dyskusja, która ma prowadzić do wniosków dotyczących wpływu mechanicznych oddziaływań na rezystywność krzemu. Na podstawie przedstawionych wyżej rozważań można wskazać, jakie składowe naprężeń lub odkształceń są główną przyczyną zjawiska piezorezystywności. W układzie odniesienia zgodnym z krawędziami komórki elementarnej na podstawie równania (II.4.6) można napisać formułę na przyrost rezystywności pod wpływem naprężeń. Jeżeli współczynniki piezorezystywności zapisać w jednostkach 5 MPa, to dla rezystora typu N można napisać: 6 5 4 6 5 4.6.6.6. 5.4 5.4 5.4. 5.4 5.4 5.4.. (II.6.) Analogicznie dla rezystora typu P zależność ta ma postać: 6 5 4 6 5 4 8. 8. 8. 6.6... 6.6... 6.6. (II.6.4)

7 Z powyższych równań widać, że dla rezystora typu N prawie kilkakrotnie większe współczynniki i niż współczynnik 44 świadczą o tym, że naprężenia normalne mają kilkakrotnie większy wpływ na zmianę tensora rezystywności niż naprężenia ścinające. Ten większy wpływ odnosi się do składników rezystywności wiążących składowe pola elektrycznego zgodne kierunkami gęstości prądu. Dla rezystora typu P sytuacja jest odwrotna. Współczynnik 44 jest o około dwa rzędy wielkości większy niż współczynniki i. Oznacza to, że naprężenia ścinające mają istotnie większy wpływ na zmianę tensora rezystywności niż naprężenia normalne. Ten zwiększony wpływ odnosi się do składników rezystywności wiążących składowe pola elektrycznego o kierunkach prostopadłych do kierunku gęstości prądu. Macierz współczynników elastorezystywności m wiąże przyrost tensora rezystywności z odkształceniem komórki elementarnej tensorową formułą (II.6.4) i odpowiadającą jej formułą macierzową m. Elementy macierzy współczynników elastorezystywności można policzyć przy pomocy formuły c m (Tab. II.5.5), korzystając z danych współczynników sztywności dla krzemu zawartych w Tab. II... Jeżeli współczynniki elastorezystywności zapisać w jednostkach, to dla rezystora typu N równanie elastorezystywności ma postać:. (II.6.5 Analogicznie, dla rezystora typu P odpowiednie równanie elastorezystywności ma postać: 6 5 4 6 5 4 9.9 9.9 9.9 9.5.7.7.7 9.5.7.7.7 9.5. (II.6.6 6 5 4 6 5 4.8.8.8 6.5 5. 5. 5. 6.5 5. 5. 5. 6.5

Tab. II.6.. Wpływ obciążeń mechanicznych lub deformacji na zmiany rezystywności krzemu typu N PRZYCZYNA Składowe naprężenia (, ) lub, odkształcenia (,, ) normalne - zmieniające objętość komórki elementarnej krzemu Składowe naprężenia (, ) lub 4 5, odkształcenia ( 4, 5, 6 ) ścinające - zmieniające kształt komórki elementarnej krzemu 6 SKUTEK Przyrost składowych Przyrost składowych rezystywności,, rezystywności 4, 5, 6 wiążących zgodne wiążących wzajemnie składowe wektorów prostopadłe składowe gęstości prądu i pola wektorów gęstości prądu i elektrycznego pola elektrycznego WPŁYW WIĘKSZY BRAK ZWIĄZKU BRAK ZWIĄZKU WPŁYW MNIEJSZY Analiza tych równań pokazuje, że dla krzemu typu N większe znaczenie mają odkształcenia normalne niż ścinające. Odkształcenia normalne odnoszą się do składowych rezystywności wiążących składowe pola elektrycznego zgodne kierunkami gęstości prądu. Dla rezystora typu P szczególnie istotne ą odkształcenia ścinające, których wpływ odnosi się do składników rezystywności wiążących składowe pola elektrycznego o kierunkach prostopadłych do kierunku gęstości prądu. Jeżeli przyjąć, że składowe normalne odkształcenia zmieniają rozmiar komórki elementarnej, nie zmieniając jej prostopadłościennego kształtu, a składowe ścinające zmieniają jej kształt, a nie zmieniają jej wymiarów, to można stwierdzić, że w krzemie typu N na rezystywność warstwy silniej wpływają odkształcenia zmieniające rozmiar (objętość) niż odkształcenia zmieniające kształt komórki elementarnej. W krzemie typu P, istotnie większe znaczenie ma zmiana kształtu komórki elementarnej niż zmiana jej rozmiaru. Skutki działania naprężeń lub odkształceń towarzyszących obciążeniom mechanicznym działającym na warstwę rezystancyjną w krzemie, opisane równaniami (II.6.) i (II.6.4) albo równaniami (II.6.5) i (II.6.6), są przedstawione w Tab. II.6. i II.6.. 8

Tab. II.6.. Wpływ obciążeń mechanicznych lub deformacji na zmiany rezystywności krzemu typu P PRZYCZYNA Składowe naprężenia (, ) lub, odkształcenia (,, ) normalne - zmieniające objętość komórki elementarnej krzemu Składowe naprężenia (, ) lub 4 5, odkształcenia ( 4, 5, 6 ) ścinające - zmieniające kształt komórki elementarnej krzemu 6 SKUTEK Przyrost składowych Przyrost składowych rezystywności,, rezystywności 4, 5, 6 wiążących zgodne wiążących wzajemnie składowe wektorów prostopadłe składowe gęstości prądu i pola wektorów gęstości prądu i elektrycznego pola elektrycznego WPŁYW MNIEJSZY BRAK ZWIĄZKU BRAK ZWIĄZKU WPŁYW WIĘKSZY Z analizy Tab. II.6. i Tab. II.6. widać, że różny jest wpływ składowych normalnych i ścinających naprężania lub odkształcenia na zmianę tensora rezystywności. Ten wpływ jest różny co do wartości jak i co do jakości. W układzie komórki elementarnej krzemu, na składowe przekątniowe tensora rezystywności wpływają tylko składowe przekątniowe tensora naprężenia (odkształcenia), zaś na składowe pozaprzekątniowe tensora rezystywności oddziaływają tylko składowe pozaprzekątniowe tensora naprężenia (odkształcenia). Istotnie większy wpływ naprężeń (odkształceń) normalnych na zmianę przekątniowych składowych tensora rezystywności w krzemie typu N i istotnie większy wpływ naprężeń (odkształceń) ścinających na zmianę pozaprzekątniowych składowych tensora rezystywności w krzemie typu P dowodzi, że zasadniczo różna jest natura efektu piezorezystancyjnego w krzemowych rezystorach typu N i P. Ta różnica powinna być uwzględniona w modelach piezorezystywności dla obydwu typów rezystorów. 9

Należy zauważyć, że stwierdzenie, że któreś składowe tensora naprężenia (odkształcenia) silniej wpływają na zmiany tensora rezystywności nie oznacza, że pozostałe składowe na te zmiany nie wpływają. Te inne składowe też mają swój udział w zmianie tensora rezystywności. Zachodzi superpozycja wpływu obydwu grup składowych tensora naprężenia (odkształcenia) na zmiany tensora rezystywności. Potwierdza to analiza równań (II.6.)(II.6.4) oraz Tab. II.6. i II.6.. Oznacza to, że w zjawisku piezorezystywności (elastorezystywności) można mówić o superpozycji objętościowego efektu piezorezystywności i ścinającego efektu piezorezystywności [bir]. Intuicyjnie wydaje się, że w tworzeniu fizycznego modelu piezorezystywności łatwiej uwzględnić wpływ oddziaływania składowych normalnych naprężenia niż składowych ścinających. Stąd często pomija się wpływ tych drugich (np. [mason]). Prowadzi to do tego, że dla rezystorów typu N otrzymuje się akceptowalne pod względem dokładności modele piezorezystywności. Dla rezystora typu P modele te nie są zadowalające [hannay, gopel, mason]. Jedynie w [bir] przedstawiono rozumowanie uwzględniające obydwa typy oddziaływań.

III. PIEZOREZYSTOR W podrozdziałach II.4..e i II.4.4.f pokazano rozkłady wszystkich niezerowych współczynników piezorezystywności dla płaszczyzn o orientacji (), () i (), odpowiednio dla rezystorów typu N i typu P w funkcji kąta obrotu układu odniesienia wokół osi prostopadłej do tych płaszczyzn. Dobór konstrukcji piezorezystorów powinien uwzględniać wartości współczynników piezorezystywności w powiązaniu ze składowymi tensora naprężenia. Pole naprężeń w strukturze mechanicznej zależy od obciążenia tej struktury oraz od jej kształtu. W przyrządach piezorezystywnych dąży się do sytuacji, w której naprężenia w obszarze aktywnym są względnie duże i mają charakter możliwie jednoosiowy. Taki charakter mają naprężenia w pobliżu jednorodnych krawędzi. Technologia krzemowych czujników piezorezystywnych wykorzystuje procesy stosowane w mikroelektronice przy wytwarzaniu układów CMOS. Pozwala to na bardzo precyzyjne wytworzenie rezystorów. Z drugiej strony elementem tej technologii jest mokre anizotropowe trawienie krzemu. Takie trawienie umożliwia formowanie struktur, a przez to daje możliwość formowania odpowiednich rozkładów naprężeń. Analiza mokrego anizotropowego trawienia krzemu z uwzględnieniem kontekstu, jaki stanowią rozkłady współczynników piezorezystywności i możliwe rozkłady naprężeń pozwoli dokonać przeglądu konfiguracji piezorezystorów. Przegląd ten umożliwi właściwy wybór kształtu obszaru aktywnego oraz odpowiedniej konfiguracji piezorezystorów wykorzystywanych w czujnikach wielkości mechanicznych. Pozwoli to na przedstawienie praktyki modelowania piezorezystora wraz z identyfikacją odpowiednich współczynników piezorezystywności. W niniejszym rozdziale będzie pojawiać się określenie kierunek piezorezystora lub stwierdzenie, że rezystor jest równoległy albo prostopadły do kierunku lub do pewnej osi układu odniesienia. Są to skróty myślowe, które mają uprościć opis konfiguracji piezorezystora. Kierunek piezorezystora jest utożsamiany z kierunkiem wektora gęstości prądu. Równoległość lub prostopadłość piezorezystora do kierunku lub osi oznacza równoległość lub prostopadłość wektora gęstości prądu do powyższego kierunku lub osi.

III.. Trawienie anizotropowe krzemu Trawienie anizotropowe krzemu jest podstawowym procesem tzw. objętościowej mikromechaniki krzemowej. Dzięki trawieniu anizotropowemu można względnie prosto tworzyć struktury trójwymiarowe. Jego celem jest selektywne usuwanie materiału w niezamaskowanych obszarach. Pożądany wzór ma być trawiony bezpośrednio w podłożu krzemowym, poza obszarem zamaskowanym cienką warstwą (np. azotku krzemu). Dla skutecznego trawienia niezbędna jest selektywność procesu pomiędzy materiałem maskującym, a trawionym podłożem krzemowym. Substancja trawiąca powinna trawić krzem, a nie powinna trawić maski [maluf,kasper]. III... Metody trawienia krzemu W pracach [kowac,maluf] zestawiono własności różnych metod trawienia. Na tej podstawie w tabelce niżej porównano anizotropowe metody mokrego i suchego trawienia krzemu, uwzględniając tylko te cechy, które dla obydwu sposobów trawienia zasadniczo się różnią. Tab. III... Porównanie metod trawienia TRAWIENIE MOKRE TRAWIENIE SUCHE KOH TMAH DRIE V <> /V <> : 5: - Trawienie Si N 4 nm/min < <. Stop elektrochemiczny lub na p ++ Tak Tak Nie Koszt Niski Średni Wysoki Z tabeli wynika, że mokre trawienie anizotropowe ma istotne zalety w porównaniu z trawieniem suchym. W szczególności: Anizotropia trawienia mokrego ma związek z orientacją krzemu, co w powiązaniu z anizotropią własności fizycznych krzemu ma istotne znaczenie. W trawieniu plazmowym anizotropia nie ma związku z płaszczyznami krystalograficznymi. Trawienie mokre jest tańsze, w szczególności tańsze jest wyposażenie niezbędne do trawienia mokrego, a przez to trawienie mokre jest także dostępniejsze.

Jednakże o zastosowaniu mokrego trawienia anizotropowego krzemu decyduje nie tylko niski koszt i łatwość zastosowania. Są jeszcze inne zalety tej metody [gosalvez]: W wyniku procesu mokrego trawienia anizotropowego otrzymuje się gładkie oraz nieuszkodzone powierzchnie. Proces daje możliwość kontroli podtrawień - co nie zawsze jest łatwe przy użyciu innych metod. Integralną cechą mokrego anizotropowego trawienia krzemu jest precyzja oraz powtarzalność procesu. Wobec istotnych zalet, mokre trawienie anizotropowe jest powszechnie wykorzystywane do formowania przestrzennych struktur krzemowych. O tym jak bardzo jest ono istotne świadczy znaczna ilość artykułów na jego temat. Są to z jednej strony klasyczne artykuły Bassous a i Bean a z roku 978 [bassous,bean], z drugiej strony artykuły i książki z lat późniejszych, np. [kowac, maluf, shikida, sato, williams, iosub]. Trawienie krzemu w KOH oraz TMAH ma szczególne znaczenie. KOH trawi płaszczyzny {} z szybkością o dwa rzędy mniejszą niż płaszczyzny {}. Ta właściwość jest rutynowo wykorzystywana przy formowaniu V-rowków, które są precyzyjnie ograniczone krystalograficznymi płaszczyznami {}. KOH (oraz inne wytrawiacze alkaliczne) są selektywne względem silnie domieszkowanego krzemu typu p. Warstwy p++ mogą być wykorzystane jako warstwy zatrzymujące trawienie (tzw. etch stop). Szybkość trawienia krzemu w roztworze KOH wynosi od.5 do m/min i zależy od koncentracji KOH oraz temperatury, ale jest 5-krotnie mniejsza dla warstwy krzemu p++, przy koncentracji powyżej cm -. Azotek krzemu jest bardzo dobrą maską w procesie trawienia w KOH. Dwutlenek krzemu trawi się w KOH z szybkością rzędu nm/min i przez to może być używany jedynie jako maska przy bardzo krótkich trawieniach. Należy jeszcze dodać, że KOH jest skrajnie agresywne np. dla aluminium, które jest materiałem używanym do metalizacji. Podobne własności do KOH ma TMAH ((CH ) 4 NOH), które płaszczyzny {} trawi 5 razy wolniej niż płaszczyzny {}. Analogicznie, dla warstw p++ szybkość trawienie maleje ok. 4 razy. Wadą TMAH jest to, że na dnie trawionego obszaru mogą się tworzyć niepożądane górki (ang. hillocks) w kształcie piramidek. Zaletą tego trawienia jest to, że praktycznie nie trawi dwutlenku krzemu oraz azotku.

Dzięki temu obydwie warstwy mogą stanowić maskę dla trawienia w TMAH. W normalnych warunkach TMAH trawi aluminium. Istnieją jednak specjalne składy roztworu trawiącego z zawartością rozpuszczonego krzemowego proszku, w których trawienie aluminium jest znacznie spowolnione [maluf]. III... Trawienie różnych płaszczyzn W procesie mokrego trawienia anizotropowego różne są szybkości trawienia różnych płaszczyzn. Szybkość trawienia krzemu w kierunku <> jest znacznie mniejsza niż szybkość trawienia krzemu w kierunkach <> i <>. Oznaczając szybkość trawienia w kierunku <hkl> przez V <hkl>, odpowiednie szybkości trawienia płaszczyzn tworzą relację: V <> >V <> >V <>. Przy czym stosunek V <> /V <> jest na poziomie [maluf,skocki]. Typowa wartość V <> wynosi około μm/min. Dzięki temu, można założyć, że płaszczyzny {} się nie trawią: trawienie odbywa się równolegle do płaszczyzn {} lub inaczej prostopadle do kierunków <>. Ze względu na to, nie używa się płytek o orientacji () do formowania struktur metodą trawienia anizotropowego. Jedynie płytki o orientacji () i () mogą mieć znaczenie dla realizacji struktur. III... Kształty trawionych struktur Ze względu na znaczne różnice w szybkości trawienia różnych płaszczyzn, dla celów modelowania zakłada się, że w mokrym trawieniu anizotropowym rodzina płaszczyzn {} się nie trawi, natomiast rodziny płaszczyzn {} i {} poddają się trawieniu. Na skutek tego założenia, badanie kształtów struktur możliwych do wytrawienia, polega na rozstrzygnięciu, jakie zachodzą relacje pomiędzy płaszczyzną () i wszystkimi płaszczyznami {}, a także płaszczyzną () i wszystkimi płaszczyznami {}. Do tego celu służy badanie iloczynu skalarnego wektorów normalnych do danych płaszczyzn. Z drugiej strony należy znaleźć kształt możliwych obrysów trawionych membran. Krawędź obrysu powstaje z przecięcia płaszczyzny płytki z odpowiednią płaszczyzną {}. Wektor definiujący tę krawędź leży na płaszczyźnie płytki i jednocześnie na rozważanej płaszczyźnie {}, czyli jest on prostopadły do wektorów normalnych definiujących płaszczyznę powierzchni płytki i daną 4

płaszczyznę {}. W celu znalezienia wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów można wykorzystać iloczyn wektorowy. a) Rodzina płaszczyzn {} Osiem następujących płaszczyzn zawiera rodzina płaszczyzn {}: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Ponieważ wektory o przeciwnych zwrotach określają tę samą płaszczyznę (np. ( ) i ( ) ), stąd są tylko cztery niezależne płaszczyzny {}. Można przyjąć, że są to płaszczyzny: ( ), ( ), ( ), ( ). Tylko te płaszczyzny będą uwzględniane w dalszej analizie mokrego trawienia anizotropowego, jako płaszczyzny będące barierą dla tego trawienia. b) Relacje między płaszczyzną () i rodziną płaszczyzn {} Korzystając z iloczynu skalarnego można znaleźć kąty pomiędzy płaszczyzną (), a poszczególnymi płaszczyznami należącymi do rodziny płaszczyzn {}. Kąty te są przedstawione w Tab. III... Wszystkie one są równe 54.74. Tab. III.. Kąty pomiędzy płaszczyznami () i {} Bariera dla trawienia - rodzina płaszczyzn {} () (-) (-) (--) Powierzchnia płytki - płaszczyzna () 54.74 54.74 54.74 54.74 Rys. III... Kąt pomiędzy powierzchnią (), a powierzchnią (). Do badania możliwych kształtów membran na płytce () należy zbadać iloczyn wektorowy pomiędzy wektorem [], a wszystkimi wektorami z rodziny <>. Ten iloczyn wektorowy określi wektor prostopadły do wektorów normalnych do płaszczyzny () i {}, czyli wektor leżący na przecięciu tych płaszczyzn. Wyniki Definicje iloczynu skalarnego oraz wektorowego przedstawiono w Dodatku. 5

obliczeń są przedstawione w Tab. III... Otrzymane wektory są parami równoległe: równoległe są wektory pierwszy z czwartym (wektory [-] i [-] z Tab. III..) oraz wektor drugi z trzecim (wektory [] i [--] z Tab. III..). Jednocześnie, obydwie pary są wzajemnie prostopadłe. Tab. III... Kierunki krawędzi przecięcia płaszczyzny () i płaszczyzn {} Bariera dla trawienia - rodzina płaszczyzn {} () (-) (-) (--) Powierzchnia płytki - płaszczyzna () [-] [] [--] [-] W ten sposób na płytkach o orientacji () można trawić prostokątne wgłębienia, których ściany boczne są nachylone pod kątem 54.74 do powierzchni płytki, zaś kierunek krawędzi wgłębienia jest zgodny z kierunkiem <>. Rys. III... Obraz wytrawionego wgłębienia w płytce o orientacji (). Ściany boczne wgłębienia(kolor szary) są utworzone z nietrawionych powierzchni o orientacji {}. 6

c) Relacje między płaszczyzną () i rodziną płaszczyzn {} Korzystając z definicji iloczynu skalarnego można znaleźć kąty pomiędzy płaszczyzną (), a poszczególnymi płaszczyznami z rodziny {}. Kąty te są przedstawione w Tab. III..4. Z ich analizy widać, że dwie płaszczyzny są prostopadłe do powierzchni płytki, zaś dwie z nich są nachylone pod kątem 5.6 (lub 8-5.6 =44.74 ) do powierzchni (). Tab. III..4. Kąty pomiędzy płaszczyznami () i {} Bariera dla trawienia - rodzina płaszczyzn {} () (-) (-) (--) Powierzchnia płytki - płaszczyzna () 5.6 5.6 9 9 Rys. III... Kierunki [] i [-] na płaszczyźnie () Do badania możliwych kształtów membran na płytce () należy zbadać iloczyn wektorowy pomiędzy wektorem [], a wszystkimi wektorami z rodziny <>. Ten iloczyn wektorowy określi wektor prostopadły do wektorów normalnych do płaszczyzny () i rodziny płaszczyzn {}, czyli wektor leżący na przecięciu tych płaszczyzn. Wyniki stosownych obliczeń są przedstawione w Tab. III..5 Na podstawie obydwu Tab. III..4 i Tab. III..5 można stwierdzić, że dwie płaszczyzny () oraz ( ) są nachylone pod kątem 5.6 do płaszczyzny (). Między nimi jest kąt 9.47. Przecinają one płaszczyznę () w kierunku [-]. 7

Płaszczyzny ( ) i ( ) są prostopadłe do płaszczyzny (). Przecinają one płaszczyznę () w kierunku [ ] i [ ], zaś między nimi jest kąt 7.5. Tab. III..5. Kierunki krawędzi przecięcia płaszczyzny () i płaszczyzn {} Bariera dla trawienia - rodzina płaszczyzn {} () (-) (-) (--) Powierzchnia płytki - [-] płaszczyzna () [-] [--] [--] Rys. III..4. Płaszczyzny {} skośne względem płaszczyzny (): a) widok z góry na krawędzie przecięcia obydwu płaszczyzn; b) przekrój z widokiem na kształt wytrawienia Powyższe wyniki są przedstawione graficznie na Rys. III..4 i III..5. Jako osie układu odniesienia przyjęto wektory [] i [-]. Wektory te leżą na płaszczyźnie () i są wzajemnie prostopadłe. W układzie odniesienia związanym z tymi wektorami można przedstawić położenie płaszczyzn {} będących ograniczeniem dla mokrego trawienia krzemu o orientacji (). Na Rys. III..4 przedstawiono płaszczyzny {} skośne względem płaszczyzny (). Na Rys. III..4.a) pokazano widok z góry na krawędzie przecięcia obydwu płaszczyzn. Krawędzie te są równoległe do kierunku [-]. Na Rys. III..4.b) przedstawiono przekrój z widokiem na kształt wytrawienia. Na Rys. III..5 przedstawiono widok z 8

góry na płaszczyznę () wraz z naniesionymi krawędziami jej przecięcia z dwoma prostopadłymi płaszczyznami {}. Z powyższych obliczeń i rysunków można stwierdzić, że dla płytek krzemowych o orientacji () łatwo można przewidywać kształty trawionych membran, o ile na ich powierzchni nie będzie pogrubienia. W przypadku trawienia membrany z pogrubieniem, lub w przypadku płytek o orientacji () te przewidywania są znacznie trudniejsze. Z pewnością, wytrawione kształty zależą od kształtu maski i od ujawniających się płaszczyzn. Z drugiej strony, na płytkach o orientacji () nie można wytrawić obszarów o ścianach prostopadłych do powierzchni płytki. Natomiast istnieje możliwość otrzymania takich obszarów o orientacji (). Rys. III..5. Widok z góry na płaszczyzny {} prostopadłe do płaszczyzny () III..4. Modelowanie trawienia W celu przewidywania kształtów wytrawianych struktur można modelować anizotropowe mokre trawienie krzemu. Problemowi temu poświęcono wiele prac, np. [gosalvez, buser, zhu, sequin, sato, zielke, than, zubel], co świadczy o jego znaczeniu. Metody modelowania można podzielić na dwie grupy. W pierwszej grupie są wykorzystywane tzw. modele geometryczne, które do określenia kształtu wytrawianego obszaru wykorzystują reguły geometryczne. W symulatorach tego typu 9

kryształ jest redukowany do skończonego zbioru płaszczyzn krystalograficznych, dla których znana jest szybkość trawienia. W trakcie procesu modelowania powierzchnia kryształu jest aproksymowana przez zbiór ścian zgodnych z tymi płaszczyznami [gosalvez,zhu,sequin]. Ponieważ modelowanie geometryczne zakłada istnienie tylko skończonego zbioru płaszczyzn, z metodą tą mogą się wiązać pewne niezgodności wyniku symulacji z rzeczywistością. Pomimo tego, metoda bywa wykorzystywana do modelowania trawienia [gosalvez]. Przykładem programu wykorzystującego reguły geometryczne jest program ASEP (Anisotropic Silicon Etching Program), zrealizowany w Instytucie Mikrotechnologii Uniwersytetu Neuchatel w Szwajcarii [Buser]. Dla danego kształtu maski - na podstawie wiedzy o szybkości trawienia odpowiednich płaszczyzn krystalograficznych - program tworzy trójwymiarową strukturę. Parametrem symulacji jest czas lub głębokość trawienia. Drugą grupą metod są tzw. metody atomistyczne (atomistic), gdzie struktura trawiona jest reprezentowana przez tablicę dyskretnych komórek (atomów) rezydujących w sieci krystalicznej W czasie symulacji trawienia, atomy są selektywnie usuwane, stosownie do ich relacji względem sąsiadów [zhu]. W praktyce inżynierskiej w metodach atomistycznych można dalej wyodrębnić tzw. metodę automatu komórkowego (Cellular Automata lub skrótowo CA) oraz metodę Monte Carlo (MC). Metoda CA bardziej nadaje się do makroskopowego modelowania struktury trawionej, zaś metoda MC jest lepszym narzędziem do badania morfologii powierzchni trawionej [gosalvez]. Przykładem programu opartego o metodę CA jest program ACES (Anisotropic Crystalline Etch Simulation) zrealizowany na Uniwersytecie Illinois w Urbana- Champaign (UIUC) w zespole Micro Actuators, Sensors and Systems Group (MASS). Podstawowa (statyczna) wersja metody jest kosztowna obliczeniowo, gdyż przechowuje wszystkie atomy, z których zbudowana jest struktura. Dla potrzeb programu ACES rozwinięto wersję dynamiczną metody (Dynamic Cellular Automata, Method), która potrzebuje znacznie mniej pamięci i dzięki temu powoduje przyspieszenie symulacji. W metodzie tej są pamiętane tylko te atomy, które znajdują się w warstwie granicznej krzem-roztwór trawiący. Atomy te stanowią wirtualną

powierzchnię graniczną, która dynamicznie ewoluuje od maski do trójwymiarowego kształtu, reprezentującego trawione powierzchnie płytki [zhu]. III.. Dobór konfiguracji piezorezystorów Dla krzemu o orientacji () trawionego anizotropowo w KOH lub TMAH można wytrawić obszary aktywne mechanicznie (np. membrany, belki, itp.), których krawędzie są zgodne z kierunkiem <>. Rys. III.. przedstawia fragment obszaru aktywnego krzemowego czujnika piezorezystywnego. Na Rys. III...a) pokazano jego widok z perspektywy, zaś na Rys. III...b) przedstawiono jego widok z góry. Wektor F na Rys. III...a) przedstawia kierunek wymuszenia mechanicznego (siły, ciśnienia). Przy danym wymuszeniu, na powierzchni płytki - w pobliżu krawędzi obszaru aktywnego - dominuje normalna rozciągająca składowa naprężenia, skierowana w kierunku prostopadłym do krawędzi. Na Rys. III.. składowa ta działa w kierunku osi Y, zgodnie z kierunkiem. Składową tę oznacza się ją jako Y. Pozostałe składowe naprężenia są dużo mniejsze niż składowa Y. W związku z tym, w dalszej analizie te pozostałe składowe są pomijane. Pomijanie składowych mniejszościowych dla membrany daje błąd nie większy niż 5%. Dla belki ten błąd nie przekracza 6% [yamada,matsuda9]. Rys. III... Fragment obszaru aktywnego krzemowego czujnika piezorezystywnego (membrana, belka, itp.) Rys. a) widok z perspektywy, b) widok z góry. W Internecie pod adresem http://mass.micro.uiuc.edu/research/completed/aces/pages/home.html dostępna jest bezpłatna Wersja Beta tego programu. Postrzępione krawędzie mają symbolizować to, że jest to tylko fragment obszaru aktywnego.

Wartości poszczególnych składowych naprężeń zmieniają się wraz z obrotem układu współrzędnych. Zakłada się, że układ odniesienia jest obracany wokół osi Z o kąt 8, od 45 do 5. Oznacza to, że oś X okładu odniesienia na początku obrotu i na jego końcu jest równoległa do krawędzi obszaru aktywnego mechanicznie. Dla kąta 45 oś jest prostopadła do tej krawędzi i jest skierowana w kierunku <>. Dla kątów i 9 oś jest skierowana w kierunku <>. Rozważa się piezorezystor równoległy do osi X układu odniesienia. Z obrotem układu odniesienia następuje obrót piezorezystora, a także następują zmiany składowych naprężenia, współczynników piezorezystywności, a w konsekwencji pojawiają się zmiany składowych tensora rezystywności. Wykresy na Rys. III.. przedstawiają niezerowe elementy składowe naprężenia w funkcji kąta obrotu, znormalizowane względem wartości Y. Dla kąta 45 wszystkie składowe naprężenia znikają, poza składową normalną równą Y, działającą prostopadle do krawędzi membrany Ten wynik jest zgodny z przyjętym wcześniej założeniem...5. -45 45 9 5 -.5 Rys. III... Obraz składowych tensora naprężenia w strukturze czujnika w obszarze aktywnym mechanicznie w funkcji kąta obrotu układu odniesienia. Maksymalne naprężenie znormalizowane do jedności.

8.E-4 4.E-4.E+ -45 45 9 5-4.E-4-8.E-4 Rys. III... Niezerowe współczynniki piezorezystywności o pierwszy indeksie równym w funkcji kąta obrotu układu odniesienia. Krzem () typu P Dla krzemu o orientacji () odpowiednio dla warstwy rezystancyjnej typu P i typu N, na Rys. III.. i III..4. przedstawiono współczynniki piezorezystywności z pierwszym indeksem równym. Wykresy te są rozszerzeniem wybranych krzywych z Rys. II.4. i II.4.4, gdzie kąty zmieniają się od do 9. Kąty te wyczerpują wszystkie zmiany współczynników piezorezystywności. Na Rys. III.. i III..4.przedstawiono je dla większych zmian zakresu obrotu, ze względu na dopasowanie do naprężeń przedstawionych na Rys. III... Korzystając z zależności (II.4.), można policzyć względny przyrost tensora rezystywności. Dla krzemu o orientacji () odpowiednio dla warstwy typu P i typu N na Rys. III..5 i III..6 przedstawiono wszystkie niezerowe składniki względnego przyrostu tensora rezystywności, poza składnikiem. Składnika nie zaznaczono na wykresie, aby go dodatkowo nie zaciemniać. Dla rezystora typu P jego wartość jest mała w porównaniu z innymi składowymi przyrostu rezystywności i wynosi.e 5 Y. Przeciwnie, dla rezystora typu N jego wartość jest duża i wynosi odpowiednio 5.4E 4 Y.

8.E-4 4.E-4.E+ -45 45 9 5-4.E-4-8.E-4 -.E- Rys. III..4. Niezerowe współczynniki piezorezystywności o pierwszym indeksie równym w funkcji kąta obrotu układu odniesienia. Krzem () typu N 8.E-4 4.E-4.E+ -45 45 9 5-4.E-4-8.E-4 Rys. III..5. Znormalizowany przyrost składowych rezystywności z naprężeniami. 5 Krzem () typu P. Na wykresie nie przedstawiono. Y 4

.E-4.E+ -45 45 9 5 -.E-4 -.E-4 -.E-4 Rys. III..6. Znormalizowany przyrost składowych rezystywności z naprężeniami. 4 Krzem () typu N. Na wykresie nie przedstawiono 5.4 Y Tablica III... Wybrane konfiguracje piezorezystorów płaszczyzna (), kierunek rezystora zgodny z osią X układu odniesienia, warstwa rezystywna typu P. KLASYCZNY PIEZOREZYSTOR KONFIGURACJA X-DUCER CZUJNIK TEMPERATURY KIERUNEK OSI X <> <> <> KIERUNEK OSI Y <> <> <> RELACJA MIĘDZY SKŁADOWYMI WEKTORÓW j ORAZ E SKŁADOWE NAPRĘŻENIA -4.E-4 E j E E lub 6 j 6 j L albo T 6 6 66 6 RÓWNANIE.5 44.5 L L 44 T T E j Normalne L L T T Szczegółowa analiza wykresów pozwala znaleźć najlepszą konfigurację piezorezystorów. Z analizy tej wynika wniosek, że w praktyce tylko kilka sposobów lokowania rezystorów ma praktyczne znaczenie ze względu zarówno na jak największą czułość na naprężenie czujniki mechaniczne, lub ze względu na jak 5

najmniejszą czułość na naprężenie czujnik temperatury. Rozważa się trzy konfiguracje, które są przedstawione w Tab. III... Dla każdej z nich zakłada się, że piezorezystor jest równoległy do osi X układu odniesienia. III... Rezystor w mostku Wheatstone a Rezystory są lokowane równolegle do kierunku <>. Oznacza to, że rozważany kierunek wektora gęstości prądu oraz kierunek wektora pola elektrycznego pokrywają się z kierunkiem <>. Jeżeli dodatkowo przyjąć, że kierunek <> pokrywa się z kierunkiem osi X układu współrzędnych, to za relację pomiędzy składową E pola elektrycznego, a składową j odpowiada rezystywność : E. Z analizy wzoru na mnożenie macierzy współczynników j piezorezystywności przez wektor składowych naprężenia (np. wzór (II.4.6) lub (II.4.4)) wynika, że do obliczenia przyrostu rezystywności potrzebne są współczynniki piezorezystywności z pierwszego wiersza macierzy piezorezystywności, czyli te, które mają pierwszy wskaźnik równy jeden. Rys. III.. i III..4 przedstawiają wszystkie niezerowe współczynniki piezorezystywności o pierwszym indeksie równym jeden, odpowiednio dla rezystora typu P i typu N. Z Rys. III.. widać, że dla krzemu (), dla warstwy typu P dla kierunku <> (kąty 45, 45, 5 ) współczynniki L i T ekstremalne. Na podstawie (I.4.54), dla kąta 45 L.5 i.5 44 44 osiągają wartości są one równe odpowiednio T. Jednocześnie, współczynnik jest bardzo mały, a współczynnik 6 osiąga wartość zerową. Pozostałe współczynniki o pierwszym wskaźniku (indeksie) równym są równe zero. Oznacza to, że w praktyce dla kierunku <> tylko składowe i wpływają na rezystywność. Z Rys. III..5 wynika, że dla kierunku <> względny przyrost składowej osiąga wartość ekstremalną. Rozważa się obszar aktywny mechaniczne wykonany z krzemu typu N na podłożu (). Obszar ten jest wytrawiony anizotropowo (np. w KOH). Krawędź tego obszaru jest skierowana w kierunku <>. W pobliżu tej krawędzi dominuje składowa naprężenia normalna skierowana w kierunku prostopadłym do krawędzi. Zwykle pozostałe składowe naprężeń są bardzo małe, co pozwala przyjąć, że ich wartości są zerowe. W obszarze tym ulokowany jest piezorezystor typu P w 6

kierunku <> prostopadle do krawędzi. Zgodnie z tym, co powiedziano, na piezorezystor oddziałują głównie naprężenia normalne wzdłuż rezystora. W takim przypadku przyrost rezystancji rezystora można zapisać w postaci: 44 L L.5 ozn. (III..) Jeżeli w pobliżu tej samej krawędzi umieścić piezorezystor równolegle do krawędzi, (jest to także kierunek <>), to na piezorezystor głównie oddziałują naprężenia normalne w kierunku prostopadłym do rezystora: 44 T T.5 ozn.. (III..) Powyższą konfigurację można podsumować: Istnieje możliwość trawienia obszarów aktywnych czujnika o krawędziach w kierunku <>; Dla rezystorów typu P zorientowanych w kierunku <>, wykonanych na krzemie typu N o orientacji (), wartości współczynników piezorezystywności wzdłużnego i poprzecznego są maksymalne co do wartości i przeciwne co do znaku, przy jednoczesnym porównywalnym poziomie ich wartości. W rezystorach w pobliżu krawędzi umieszczonych równolegle lub prostopadle do krawędzi dominuje jedna ze składowych normalnych naprężenia. Rezystory typu P zorientowane w kierunku <> umieszcza się w pobliżu krawędzi obszaru aktywnego w polu naprężeń (prawie) jednoosiowych o maksymalnych wartościach - w ten sposób na piezorezystor działa naprężenie dominujące wzdłużne lub poprzeczne. Maksymalnym naprężeniom odpowiadają maksymalne co do wartości współczynniki piezorezystywności, co daje najwyższą czułość przyrządu. Układ w takiej konfiguracji jest powszechnie wykorzystywany jako element składowy mostka Wheatstone a, gdzie w rezystorach ułożonych wzdłuż kierunku <> dominują naprężenia normalne wzdłużne lub poprzeczne [nova-main]. III... X-Ducer Rozważa się warstwę rezystancyjną ulokowaną równolegle do kierunku <>. Dla takiego położenia warstwy rozważa się relacje pomiędzy kierunkiem 7

składowej pola elektrycznego E i kierunkiem składowej gęstości prądu j. Za relacje te odpowiada składowa rezystywności 6. Rys. III..7 przedstawia wykresy wszystkich niezerowych współczynników piezorezystywności o pierwszym indeksie równym 6. Z wykresów widać, że dla krzemu (), dla warstwy typu P dla kierunku <> (kąt lub 9 ) współczynnik 66 osiąga wartość maksymalną równą 44. Pozostałe współczynniki z pierwszym indeksem równym 6 przyjmują wartości zerowe. Stąd, odpowiednią relację można zapisać jako E 6 j. Z drugiej strony, dla krzemu () trawionego anizotropowo w KOH lub TMAH krawędzie membran są zgodne z kierunkiem <> (Rozdz. III..). W pobliżu takich krawędzi dominują składowe naprężenia normalne skierowane w kierunku prostopadłym do krawędzi. Jeżeli obrócić układ odniesienia tak, że osie X i Y będą zgodne z kierunkiem <>, to pojawi się ekstremum składowej ścinającej naprężenia 6. Jej wartość jest o połowę mniejsza niż składowa normalna w układzie przed obrotem. (Rys. III..). Z Rys. III..5. widać, że dla kierunku <> (kąty 9 ) z ekstremalnymi wartościami współczynnika 66 i składowej naprężenia 6 wiąże się ekstremalny przyrost składowej 6 rezystywności równy: i 6 44 6 (III..).6E-.E- 8.E-4 4.E-4.E+ -45 45 9 5-4.E-4 Rys. III..7. Przebieg współczynników piezorezystywności o pierwszym indeksie równym 6 na tle współczynnika 44. Krzem () typu P. 8

Powyższą konfigurację można podsumować: Na krzemie o orientacji () w pobliżu krawędzi membrany zgodnej z kierunkiem <> w rezystorze zgodnym z kierunkiem <> w układzie odniesienia zgodnym z kierunkiem rezystora pojawia się ekstremalna składowa ścinająca naprężenia; Współczynnik piezorezystywności 66 osiąga wartości maksymalną. Ekstremalnej wartości współczynnika 66 i składowej naprężenia 6 odpowiada ekstremalny przyrost składowej rezystywności 6, co daje najwyższą czułość przyrządu; Zasilając rezystor prądem o znanej gęstości płynącym w kierunku <> można w kierunku prostopadłym (także <>) mierzyć napięcie będące skutkiem pojawienia się prostopadłej składowej pola elektrycznego pod wpływem naprężenia ścinającego. Układ w takiej konfiguracji był w literaturze analizowany [bao,ghaddar,gridhin]. Jest produkowany przez firmę Motorola jako przyrząd o nazwie X-Ducer [bao,ghaddar]. III... Czujnik temperatury Zakłada się, że rezystory typu P są lokowane równolegle do kierunku <>. Kierunek wektora gęstości prądu oraz kierunek wektora pola elektrycznego się pokrywają z kierunkiem <>. Z wykresu (II..) widać, że dla krzemu (), dla warstwy typu P współczynnik jest bardzo mały, zaś dla kierunku <> (kąt lub 9 ) współczynniki, osiągają wartości minimalne, bliskie zeru. Pozostałe współczynniki o pierwszym wskaźniku (indeksie) równym - w tym także 6 - dla kierunku <> są równe zero. Stąd - dla kierunku <> - tylko normalne składowe naprężenia wpływają na rezystywność. Jeżeli umieścić rezystor poza obszarem aktywnym, gdzie naprężenia mogą być niewielkie (a przynajmniej słabo zależne od obciążenia mechanicznego), to ze względu na to i na małe wartości współczynników piezorezystywności, przyrost składowej rezystywności jest co najwyżej słabo zależny od mechanicznego obciążenia zmiana rezystancji rezystora w niewielkim stopniu zależy od wymuszenia mechanicznego. W związku z tym, że 9

domieszkowany krzem jest wrażliwy na temperaturę, powyższa konfiguracja może być wykorzystywana jako czujnik temperatury. Omawianą wyżej konfigurację można podsumować: w obszarze o małych naprężeniach można umieścić rezystor typu P ulokowany w kierunku <> nie wrażliwy na naprężenia, który może być wykorzystywany jako czujnik temperatury [nova-main]. III.. Praktyczny model piezorezystora Rezystor dyfuzyjny typu P zorientowany w kierunku <> na płytce typu N o orientacji () jest typowo używany jako piezorezystywny element czujnikowy. W punkcie III.. pokazano szczegółowo, że dla takiego rezystora znajdującego się w polu naprężeń wzdłużnych i poprzecznych, względna zmiana rezystywności (ozn. ) wywołana naprężeniami dana jest zależnością: L L T T (III..) x d L x u T L Rys. III... Schemat topografii rezystora dyfuzyjnego: x x jest jego długością, u d L i T są składowymi naprężeń Schemat topografii rezystora przedstawia Rys. III... W powyższym modelu L i T są składowymi naprężeń równoległymi i prostopadłymi do rezystora. Są to dane dla tego modelu. Ich rozkłady znajduje się symulując metodą elementu skończonego odpowiedź struktury czujnika na zadane wymuszenie mechaniczne takie jak ciśnienie, siła lub przyłożone przyspieszenie. Wartości odpowiednimi współczynnikami piezorezystywności. L i T w modelu (III..) są Dla znalezienia rezystancji R piezorezystora w zależności od naprężeń przyjmuje się pewne założenia. Analizuje się dwa przypadki:. Na piezorezystor nie oddziaływają żadne mechaniczne czynniki zewnętrzne;. Piezorezystor podlega oddziaływaniom mechanicznym. 4

W pierwszym przypadku zakłada się: Brak naprężeń na strukturze; Mierzona wartość rezystancji piezorezystora wynosi R ; Rezystancja na jednostkę długości piezorezystora, zwana dalej rezystywnością, wynosi: R L (III..) W drugim przypadku, gdy struktura poddana jest oddziaływaniom mechanicznym zakłada się, że znany jest dokładny rozkład L (x) i (x) wzdłuż piezorezystora. W związku z tym w dowolnym punkcie piezorezystora można policz względną zmianę rezystywności z naprężeniami: ( x) L L ( x) T T ( x) Jednocześnie, rezystywność przy zadanym wymuszeniu wyraża się wzorem: Przekształcając wyrażenie (III..) otrzymuje się: Dalej, na podstawie wzorów (III..4) i (III..5): Rezystancja piezorezystora jest równa: T (III.. ) ( x) ( x). (III..4) ( x) ( ( x) ( x)) (III..5) L L T T ( x) ( ( x) ( x)) (III..6) xu L L T R ( x) dx (III..7) xd Uwzględniając (III..6) i (III..7): T lub inaczej: xu xu xu L L ( T xd xd xd R dx x) dx ( x) dx (III..8) T x u u R R R R L L ( x) dx T T ( x) dx (III..9) L L xd gdzie L (x) i T (x) są rozkładami odpowiednio wzdłużnej i poprzecznej składowej naprężeń w piezorezystorze policzonymi metodą elementów skończonych przy założonym wymuszeniu mechanicznym, a R jest rezystancją rezystora mierzoną bez oddziaływań mechanicznych. Dodatkowo przyjmuje się następujące oznaczenia: x xd 4

Wyrażenia a L i x u a L L ( x) dx (III..a) L xd x u a T T ( x) dx (III..b) L xd a T mają prostą interpretację, jako średnie wzdłużne i poprzeczne naprężenie w piezorezystorze. Te współczynniki otrzymuje się z obliczeń. Najpierw symuluje się rozkłady naprężeń metodą elementu skończonego, a potem otrzymane rozkłady całkuje się. W ten sposób rezystancję R piezorezystora o schemacie jak na Rys. III.., poddanego naprężeniom można zapisać jako sumę rezystancji R bez naprężeń oraz przyrost rezystancji pod wpływem naprężeń: R R a. (III..) RaL L R W postaci alternatywnej wyrażenie można zapisać: L T T T T R R a L a, (III..) gdzie czynnik a a pokazuje ile razy rezystancja piezorezystora L L T T poddanego naprężeniom jest większa od rezystancji rezystora bez naprężenia. III.4. Identyfikacji współczynników piezorezystywności Współczynniki piezorezystywności determinują parametry użytkowe (techniczne) krzemowych czujników piezorezystywnych. Dlatego konstruktor powinien mieć dostęp do dobrze zidentyfikowanych współczynników piezorezystywności. Brak wiarygodnych wartości współczynników piezorezystywności obniża wiarygodność modelowania parametrów piezorezystora, a w ostateczności obniża wiarygodność optymalizacji parametrów funkcjonalnych czujnika. Dlatego istnieje konieczność identyfikacji współczynników piezorezystywności dla takiego piezorezystora, który jest wytwarzany w konkretnym przyrządzie, a więc dla danego procesu technologicznego, w którym ten przyrząd jest wytwarzany. Przedstawiona w p. III. analiza prowadząca do wyboru konfiguracji piezorezystora opierała się na trzech filarach. Pierwszym filarem były macierze współczynników piezorezystywności dla warstw rezystancyjnych typu N i typu P podane przez Smitha w artykule z roku 954 [smith54]. Drugim filarem była metoda 4

transformacji składowych tensora piezorezystywności w postaci macierzowej przedstawiona przez Smitha w roku 958 [Smith58]. Trzecim filarem były metody mokrego anizotropowego trawienia krzemu umożliwiające formowanie odpowiednich obszarów aktywnych, na których lokuje się piezorezystory. Otrzymane w efekcie tej analizy wyniki odnoszą się do warstw jednorodnie domieszkowanych o ściśle określonej koncentracji domieszki w półprzewodniku. Mimo tego, rezultaty te są bardzo ważne, gdyż dają jakościowy obraz sytuacji w piezorezystorze. W szczególności, ważne są wszystkie wnioski dotyczące wyboru konfiguracji piezorezystorów w układzie komórki elementarnej krzemu. Z drugiej strony, w praktyce technologicznej w celu otrzymania piezorezystorów o odpowiednich parametrach wykorzystuje się implantację jonów i dyfuzję. Już na początku lat sześćdziesiątych pojawiły się prace dotyczące wykorzystywania piezorezystorów w postaci warstw dyfuzyjnych, które nie są warstwami jednorodnie domieszkowanymi. Badano własności tych warstw w zależności od koncentracji domieszki w piezorezystorze, a także w zależności od głębokości złącza. Stwierdzono przy tym, że współczynniki piezorezystywności nie zależą od głębokości złącza, a tylko od koncentracji domieszki na powierzchni warstwy rezystancyjnej [kerr, tufte-long, tufte-stelzer]. Zależność współczynników piezorezystywności od koncentracji domieszki na powierzchni oznacza, że zależą one od procesu technologicznego, w którym piezorezystor jest formowany. W związku z tym, jeśli wykorzystać rezultaty otrzymane dla warstw jednorodnie domieszkowanych do modelowania piezorezystorów dyfuzyjnych, to otrzymane w ten sposób wyniki nie mogą być przyjmowane bezkrytycznie. Przyrządy z rezystorami typu N realizowane są rzadko, aczkolwiek w [mayer98] przedstawiono sposób identyfikacji kompletu współczynników piezorezystywności dla warstw typu N + otrzymywanych w strukturach układów scalonych realizowanych w technologii CMOS. W praktyce inżynierskiej głownie realizuje się czujniki na krzemie typu N o orientacji podłoża (), z piezorezystorami typu P zorientowanymi w kierunku <>. W związku z tym, w celu dostrojenia modelu piezorezystora do rzeczywistego procesu technologicznego, wystarczy identyfikować efektywne współczynniki piezorezystywności wzdłużne piezorezystora. L i poprzeczne T dla tak zdefiniowanego 4

Znana jest metoda identyfikacji współczynników piezorezystywności przy użyciu belki z wdyfundowanymi rezystorami. Jeden piezorezystor jest ulokowany wzdłuż ramienia, drugi prostopadle do ramienia dźwigni. W pracach [yamada,matsuda9,matsuda9] badano rezystory typu N lub typu P dla różnych orientacji krzemu i różnych kierunków piezorezystorów. Jako obciążenie użyto ciężarka powieszonego na nylonowej żyłce wędkarskiej na końcu dźwigni. W ten sposób obserwowano odpowiedź rezystorów na zadane wymuszenie mechaniczne. Stwierdzono, że składowa naprężeń poprzeczna względem belki jest mniejsza niż 6% w stosunku do naprężeń działających wzdłuż belki. Wobec tego pominięto ją przy obliczeniu współczynników piezorezystywności. Inną metodą identyfikacji współczynników piezorezystywności wzdłużnego i poprzecznego jest metoda wykorzystująca jako strukturę próbną czujnik ciśnienia z płaską membranę [A,A,A4]. Metoda ta zostanie szczegółowo omówiona, a następnie przeanalizowana. W metodzie rozważa się rezystor wykonany w postaci wdyfundowanej warstwy typu P na membranie typu N. Powierzchnia membrany ma orientację ( ). Rezystor skierowany jest w kierunku. Rezystancja tego rezystora dana jest wzorem (III..). Przyrost jego rezystancji pod wpływem wymuszenia oznacza się jako R, gdzie: W ten sposób, na podstawie (III..) można napisać: R R. (III.4.) L L R R R R a a (III.4.) Składniki R i R występujące w wyrażeniu (III.4.) można zmierzyć na strukturze czujnika, raz mierząc piezorezystor bez obciążenia (R ), a potem ze znanym obciążeniem (R). Wygodnie jest dla dalszej analizy odseparować składniki wyrażenia otrzymane z pomiarów od składników otrzymanych z obliczeń. Żeby otrzymać prawą stronę uniezależnioną od pomiaru, wyrażenie III.4. można dalej przekształcić: T T R a L L at T R (III.4.) Oznaczając R R jako d, otrzymuje się równanie z dwoma niewiadomymi współczynnikami piezorezystywności L i T : d a L a (III.4.4) L T T 44

Dla dwóch różnych rezystorów na strukturze próbnej otrzymuje się układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi współczynnikami piezorezystywności L i T : d d a a L L a a T T L. (III.4.5) T W notacji macierzowej układ ten można zapisać w postaci: d A (III.4.6) Rozwiązaniem układu (III.4.6) są wartości współczynników piezorezystywności wzdłużnego L i poprzecznego T otrzymane dla danej technologii. W [A,A,A4] wykorzystano powyższą metodę do identyfikacji współczynników piezorezystywności, używając jako struktury próbnej czujnika ciśnienia z płaską membraną. Otrzymane wyniki porównano z wynikami wyliczonymi za pomocą tensora piezorezystywności znanego z literatury, oszacowanego dla układu komórki elementarnej przez Smitha [smith54]. Dla danych składowych tego tensora, wzdłużny i poprzeczny współczynnik piezorezystywności był liczony przy założeniu, że czujnik wykonano na płytce podłożowej ciętej wzdłuż płaszczyzny () z rezystorami orientowanymi w kierunku <>. Tab. III.. pokazuje porównanie wyników otrzymanych przedstawioną wyżej metodą z wynikami liczonymi dla tensora współczynników piezorezystywności przedstawionego w [smith54, goepel, kanda8, kanda9] oraz w [clark79]. Tab. III... Zidentyfikowane współczynniki piezorezystywności WYNIKI POLICZONE DLA TENSORA WYNIKI POLICZONE DLA TENSORA DANEGO W WYNIKI OTRZYMANE METODĄ DANEGO W [SMITH54, GOEPEL, KANDA8, PRZEDSTAWIONĄ [CLARK79] KANDA9] WYŻEJ L [ -4 /MPa] 4.5 7.8 6.6 T [ -4 /MPa] -.86-6.6-5.76 III.4.. Analiza metody Przedstawiona wyżej metoda pozwala identyfikować efektywne współczynniki piezorezystywności dla danej linii technologicznej. Należy zbadać jej własności, w szczególności wrażliwość na błąd danych oraz błędy identyfikacji. 45

a) Struktura próbna W celu identyfikacji potrzebna jest odpowiednia struktura próbna. Jako strukturę próbna dla powyższej metody rozważano czujnik ciśnienia z płaską membraną na zakres kpa [A7,A5,A7]. Na strukturze próbnej są cztery rezystory umieszczone w różnych polach naprężeń. W dwóch rezystorach dominują naprężenia wzdłużne, w dwóch pozostałych poprzeczne. Dla danego piezorezystora, w obliczeniach uwzględnia się zarówno składową wzdłużną jak i składową poprzeczną naprężeń. Struktura próbna została wykonana na linii technologicznej ITE w standardowej technologii CMOS w regułach projektowania 5m. Podstawowa technologia układów scalonych rozszerzona jest o anizotropowe trawienie membran krzemowych w KOH. Jako podłoże wykorzystano płytki krzemowe o orientacji (). Struktura jest kwadratem o wymiarach x m z membraną o wymiarach ok. x m. Grubość membrany nominalnie jest równa co najmniej m. Rezystory typu "P" zorientowane w kierunku <> zostały zaimplantowane w membranę typu "N" (Rys. III.4.). Każdy z nich leży w polu naprężeń wzdłużnych i poprzecznych. Ich nominalna długość na masce wynosi 4 m. Każdy z rezystorów składa się z dwóch identycznych połówek. Połączenia pomiędzy rezystorami tworzą mostek Wheatstone a. Dla zadania naprężeń korzysta się z wymuszenia w postaci ciśnienia na membranie struktury próbnej. Dla danego ciśnienia -kpa naprężenia na membranie są liczone metodą elementu skończonego. Struktura czujnika jest symetryczna, dlatego modelowano tylko ćwiartkę struktury. Połówki obydwu rezystorów znajdują się w obszarze symulowanym. Fakt ten jest uwzględniony w równaniach (III..a) i (III..b). Rozkład składowych naprężeń L (x) i T (x) wzdłuż połówek rezystorów R i R jest wykorzystywany do identyfikacji współczynników piezorezystywności. Pozostałe składowe naprężeń nie są uwzględnione, gdyż one albo nie występują w równaniu (III..) opisującym piezorezystywność, albo ich znaczenie jest pomijalne (np. ). Ze znalezionych rozkładów naprężeń oblicza się elementy macierzy A występującej w równaniu (III.4.6). W celu zbadania wpływu grubości membrany struktury próbnej na jakość identyfikacji, symulacje przeprowadzono dla różnych membran o grubościach od 46

m do 5m. Rys. III.. i III..4 pokazują rozkłady naprężeń w piezorezystorach ulokowanych na membranie o grubości 5 m. Punkty na rysunkach reprezentują wzdłużne L (x) i poprzeczne (x) składowe naprężeń na powierzchni krzemu T wzdłuż piezorezystorów R i R, policzone przy pomocy systemu SAMCEF [SAMCEF]. Jak widać na rysunkach, rozkłady składowych naprężeń w poprzek rezystora nie są równomierne punkty na wykresach są rozproszone. Szczególnie jest to widoczne na Rys. III... Wynika to z niezerowej szerokości i grubości piezorezystorów. Dlatego, policzone rozkłady naprężeń w piezorezystorach są zastąpione wielomianami drugiego stopnia otrzymanymi przy pomocy metody najmniejszych kwadratów. Wielomiany te dobrze opisują przeciętne zachowanie naprężeń w piezorezystorach. Innymi słowy, nierównomierne naprężenia w poprzek rezystorów są zastąpione ich średnimi wartościami reprezentowanymi przez wielomiany. Wielomiany te - oznaczone na Rys. III.4. i III.4. liniami - są całkowane we wzorze (III..) w celu otrzymania macierzy A. Rys. III.4.. Schemat piezorezystywnego krzemowego czujnika ciśnienia: a) widok z góry, b) przekrój, c) połączenie piezorezystorów 47

6 naprężenia [MPa] 5 4 składowa wzdłużna składowa poprzeczna 94 95 96 97 98 99 ulokowanie rezystora [μm] Rys. III.4.. Rozkład naprężeń w (wzdłuż) piezorezystorze R (położonym w szarej części Rys. III.4.). Punkty reprezentują wyniki modelowania, linie reprezentują 7 6 wielomiany stopnia drugiego. naprężenia [MPa] 5 4 składowa poprzeczna składowa wzdłużna 56 57 58 59 6 6 6 6 - ulokowanie rezystora [μm] Rys. III.4.. Rozkład naprężeń w (wzdłuż) piezorezystorze R (położonym w szarej części Rys. III.4.). Punkty reprezentują wyniki modelowania, linie reprezentują wielomiany stopnia drugiego. 48

średnie naprężenia w rezystorze [MPa] 6 5 4 at al 5 5 grubość membrany [μm] Rys. III.4.4. Elementy macierzy A w funkcji grubości membrany naprężenia większościowe Dla założonego nominalnego ciśnienia kpa obliczone elementy macierzy A są nieliniowymi funkcjami grubości membrany. Do identyfikacji tych funkcji zastosowano automatyczne procedury stosowane w modelowaniu parametrów funkcjonalnych dla potrzeb maksymalizacji uzysku parametrycznego [A8,A,A]. Odpowiednie modele policzone metodą najmniejszych kwadratów mają następujące postaci: 5 6 9..5 a 59.8-7. L a T A t t. (III.4.7) 6 5 al al. 5.4-58. - 64.8 t t Widać, że elementy macierzy A reprezentujące średnie naprężenia w piezorezystorze są liniową funkcją odwrotności kwadratu grubości membrany. Powyższy wniosek ma potwierdzenie w pracach [bao9,marco]. 49

średnie naprężenia w rezystorze [MPa] al at 5 5 - grubość membrany [μm] Rys. III.4.5. Elementy macierzy A w funkcji grubości membrany naprężenia mniejszościowe b) Warunki konieczne i wystarczające identyfikacji Dla identyfikacji współczynników piezorezystywności należy rozwiązać układ równań (III..8). Jego rozwiązanie jest zdeterminowane przez macierz A. W szczególności, warunki konieczne i wystarczające identyfikacji oraz wskaźnik propagacji błędu danych na wynik identyfikacji są zależne od tej macierzy [A7,A5,A7]. Macierz A jest implikowana przez rozkład naprężeń w obszarze piezorezystorów. Jeśli analiza pokaże, że macierz A pozwala zidentyfikować współczynniki piezorezystywności z akceptowalnym poziomem błędu, to jest to równoznaczne z tym, że użyta struktura próbna jest dobrze zaprojektowana. następujący: Warunek konieczny i wystarczający dla rozwiązania układu (III..8) jest det A, (III.4.8) gdzie det(a ) oznacza wyznacznik macierzy A. Równanie (III..6) przedstawia linię prostą na płaszczyźnie L T. Współczynniki L a i a stanowią wektor a, a ] T [ L T normalny do tej prostej. Warunek (III.4.8) jest równoważny liniowej niezależności wektorów i a a a, a L a T a L, T. Dla danej struktury próbnej interakcja 5

pomiędzy tymi wektorami może być interpretowana przy pomocy analizy geometrycznej i fizycznej. Analiza geometryczna Dla danej konstrukcji membrany z zależności (III..) policzono składowe wektorów a i a, które dla grubości membrany równej 5m odpowiednio są równe: a., 4.9 ; a 8.88,.4 L T. Rys. III.4.6 pokazuje położenie obydwu wektorów na płaszczyźnie a a. Ich iloczyn skalarny jest równy: oraz długości obydwu wektorów: a a (III.4.9) a ala L a T a T a a cos a, a i a a (III.4.) il it Stąd: cos a, a a a (III.4.) a a Rys. III.4.6. Wektory a i a na płaszczyźnie a a - obydwa wektory odpowiadają rozkładowi naprężeń w piezorezystorach R i R dla struktury próbnej, której membrana ma grubość 5m. L T Korzystając z funkcji arcus cosinus można znaleźć kąt pomiędzy obydwoma wektorami. Policzony kąt jest równy 87.4 stopni. Na Rys. III.4.7 przedstawiono kąt pomiędzy wektorami a i a w funkcji grubości membrany. Jego wartość jest bliska kątowi prostemu. Oznacza to, że obydwa wektory a i a nie są liniowo zależne. Są 5

kąt [deg] one prawie prostopadłe, a macierz A jest prawie diagonalna w szerokim zakresie zmian grubości membrany struktury próbnej. 9 9 89 88 87 86 85 5 5 grubość membrany [μm] Rys. III.4.7. Kąty pomiędzy wektorami a i a w funkcji grubości membrany struktury próbnej Analiza fizyczna Składowa poprzeczna jest dominującą składową w wektorze a, a składowa wzdłużna jest względnie mała. Oznacza to, że w rezystorze R T ( x) L ( x). Analogicznie, wzdłużna składowa jest dominująca w wektorze a i poprzeczna składowa jest względnie mała, czyli w rezystorze R ( x) ( x). Dla różnych grubości membrany struktury próbnej policzono stosunek L a L a T T a / i L / a T. Wyniki są przedstawione na Rys. III.4.8. Jedna ze składowych naprężeń jest zawsze dominująca. Dlatego, w rozważanej strukturze próbnej piezorezystory znajdują się w obszarze o naprężeniach prawie jednoosiowych. Dominacja jednej składowej i relatywnie mały poziom drugiej składowej pozwala mówić o składowych naprężenia mniejszościowych i większościowych. 5

stosunek naprężeń [%] 5 4 R R - 5 5 - - grubość membrany [μm] Rys. III.4.8. Stosunek składowych naprężenia mniejszościowe/większościowe w funkcji grubości membrany struktury próbnej Dodatkowo, z faktu, że poprzeczna składowa naprężeń dominuje w rezystorze R : T ( x) L( x), a wzdłużna składowa dominuje w rezystorze R : ( x) ( x) wynika, że dopuszczając niewielki błąd, współczynniki L T piezorezystywności mogą być identyfikowane prawie niezależnie. c) Uwarunkowanie problemu identyfikacji W poprzednim punkcie, dla rozważanej struktury próbnej rozważano warunki konieczne i wystarczające rozwiązania problemu identyfikacji współczynników piezorezystywności. Zarówno geometryczna jak i fizyczna analiza struktury próbnej z membraną o grubości od do 5 m pokazała, że macierz A ma dobre własności w sensie warunku (III.4.8). Oznacza to, że użyto dobrej struktury próbnej. Przy założeniu, że wszelkie obliczenia prowadzące do identyfikacji współczynników piezorezystywności nie wnoszą żadnych błędów, należy zbadać, jaki będzie błąd znalezionego wektora, jeżeli znana jest miara błędu macierzy A i znana jest miara błędu wektora d. Dla rozwiązania tego problemu może być użyte oszacowanie znane z analizy numerycznej [pizer]. W tym celu definiuje się wskaźnik uwarunkowania rozwiązania układu równań liniowych (III.4.6): cond ( A) A A, (III.4.) 5

wskaźnik uwarunkowania gdzie x max x (III.4.) in jest normą wektora x, zwaną normą maksimum [kiełb] lub normą Czebyszewa [pizer], zaś in n i A max a (III.4.4) jest normą macierzy A indukowaną przez normę wektora (III.4.) [kiełb]. Wskaźnik uwarunkowania zadania jest to wielkość charakteryzująca wpływ błędu danych zadania na błąd wyników jego rozwiązania. Innymi słowy, jest to maksymalny czynnik, przez który mnoży się względny błąd danych wejściowych zadania propagujący się na względny błąd wyniku. Wskaźnik uwarunkowania jest liczbą nie mniejszą niż jeden. Dobrze uwarunkowane zadanie ma wskaźnik uwarunkowania pomiędzy a. Wtedy błąd danych wejściowych propaguje się z iloczynem nie większym niż. Zadanie źle uwarunkowane ma wskaźnik uwarunkowania większy niż [pizer]..6 j ij.5.4. 5 5 grubość membrany [μm] Rys. III.4.9. Wskaźnik uwarunkowania zadania identyfikacji współczynników piezorezystywności dla różnych grubości membrany struktury próbnej Dla rozważanej struktury próbnej na podstawie wartości elementów macierzy A oszacowano wskaźnik uwarunkowania zadania identyfikacji współczynników piezorezystywności w funkcji grubości membrany struktury próbnej. Wskaźnik ten 54

jest nie większy niż.6, Oznacza to, że rozważana struktura próbna implikuje dobrze uwarunkowaną macierz A. Jest to równoznaczne z tym, że zadanie jest dobrze uwarunkowane, czyli że struktura próbna jest właściwie zaprojektowana [A7,A5,7]. Analizując wykres stwierdzono, że wartość wskaźnika uwarunkowania malała ze zwiększaniem grubości struktury próbnej. Otrzymane wyniki są zgodne z wynikami otrzymanymi w wyniku przedstawionej wyżej analizy geometrycznej i fizycznej. III.4.. Błąd identyfikacji współczynników piezorezystywności Przeprowadzona w poprzednich punktach analiza pokazuje, że metoda identyfikacji (III.4.6) wraz ze strukturą próbną w postaci płaskiej membrany ma dobre własności w sensie warunku (III.4.8). Oznacza to, że błąd identyfikacji współczynników piezorezystywności głównie pochodzi od błędów szacowania danych wejściowych do identyfikacji. Z drugiej strony, należy podkreślić oczywisty fakt, że błąd danych wejściowych można istotnie zredukować przez zastosowanie starannych procedur ich pozyskiwania oraz przez zastosowanie dokładnej aparatury pomiarowej. Danymi wejściowymi metody (III.4.6) są elementy macierzy A oraz wektora d. Względne błędy elementów składowych macierzy A wynikają z błędów w określeniu grubości membrany struktury próbnej, a w konsekwencji z błędu w szacowaniu naprężeń w obszarze piezorezystorów. Błąd wektora d wynika z błędu pomiaru rezystancji. a) Błąd macierzy A Identyfikacja współczynników piezorezystywności wymaga pomiaru rezystancji oraz obliczenia naprężeń w obszarze piezorezystorów. W szczególności, naprężenia są wykorzystywane do obliczenia elementów macierzy A przy pomocy formuły (III..). Obliczenia macierzy A jest obarczone błędem. W analizie można uwzględnić dwa rodzaje błędów estymacji elementów macierzy A: Błędy szacowania naprężeń wynikające z błędu szacowania grubości membrany struktury próbnej oraz z błędu odwzorowania maski membrany względem rezystorów; 55

Błędy pochodzące z uproszczeń metody polegających na pominięciu naprężeń mniejszościowych lub pominięciu naprężeń w objętości piezorezystora. Błąd szacowania naprężeń Metoda Elementu Skończonego (MES) jest powszechnie używana do modelowania zachowania struktur mechanicznych w technice mikrosystemów. Metoda ta jest także wykorzystywana do liczenia naprężeń pojawiających się pod wpływem ciśnienia na membranie czujnika ciśnienia z płaską membraną. Symulacje metodą elementu skończonego są przeprowadzane dla założonego ciśnienia i założonej grubości membrany. Ta założona grubość, z powodu zaburzeń losowych występujących w procesie technologicznym, może być różna od grubości rzeczywistej [jaźwinski]. Stąd, macierz A użyta do rozwiązania układu (III.4.6) może być obarczona błędem. Inną przyczyną błędów macierzy A może być błąd odwzorowania maski membrany względem rezystorów. Zjawisko to przesuwa pozycję piezorezystorów względem krawędzi membrany, a przez to powoduje błąd w określeniu naprężeń w piezorezystorze. Obydwa typy błędów zostaną dalej rozważone przy użyciu zarówno analizy najgorszego przypadku jak i metody Monte Carlo. Analiza najgorszego przypadku Rys. III.4. przedstawia względne błędy składowych macierzy A wokół założonej nominalnej grubości membrany równej m w funkcji jej rzeczywistej grubości zmieniającej się na skutek błędów w określeniu grubości o m rysunku widać, że, zakładając nominalną grubość membrany m i rzeczywistą jej grubość 9m, błąd składników macierzy A jest istotnie większy niż %.. Z Korzystając definicji (III.4.4) normy macierzy, policzono stosunek A A, przy założonym błędzie grubości membrany m, w zakresie nominalnych grubości membrany od do 5m. Wyniki tego oszacowania przedstawia Rys. III.4.. Z rysunku widać, że jeśli błąd określenia grubości przekracza wartość m, to dla względnie cienkiej membrany błąd A A może przekroczyć poziom %. 56

błąd [%] błąd [%] 9 - - al at al at - rzeczywista grubość membrany [μm] Rys. III.4.. Względne błędy składowych macierzy A dla założonej nominalnej grubości membrany równej m w funkcji jej rzeczywistej grubości.5.5 9.5 8.5 7.5 5 5 grubość membrany [m] Rys. III.4.. Względny błąd A A w funkcji grubości membrany dla założonego błędu określenia grubości membrany m 57

Analiza statystyczna Zaburzenia losowe występujące w procesie technologicznym wpływają na błąd identyfikacji. W szczególności, w procesie fotolitografii występują błędy odwzorowania maski membrany względem rezystorów. Błędy te powodują, że w sposób losowy zmienia się położenie rezystorów względem krawędzi membrany. Dla układu przedstawionego na Rys. III.4., można założyć, że zaburzenie odwzorowania wzdłuż piezorezystorów jest niezależne od zaburzenia odwzorowania w kierunku prostopadłym do piezorezystorów. Dla dalszej analizy zakłada się, że są to niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym N (,). Przyjmuje się również, że błąd określenia grubości membrany jest niezależną zmienną losową N (,). Korzystając z metody Monte Carlo zbadano wpływ błędów odwzorowania maski i błędów określenia grubości membrany na wartości elementów macierzy A. W tym celu zastosowano analityczne modele składowych naprężenia w piezorezystorze. Modele te zbudowano w oparciu o eksperyment symulacyjny przy użyciu symulacji metodą elementu skończonego. W eksperymencie przyjmowano różne nominalne wartości grubości membrany, a także - dla uwzględnienia błędów odwzorowania maski membrany względem piezorezystorów we wzorze (III..) zakładano różne granice całkowania naprężeń w obszarze piezorezystora. Losowy błąd odwzorowania maski liczono uwzględniając dwa przypadki: [P.I] [P.II] Elementy macierzy A liczono, uwzględniając średnie naprężenia w rezystorach R i R lub w rezystorach R i R 4 rozdzielnie; Elementy macierzy A liczono, uwzględniając średnie naprężenia w parach rezystorów R -R i R -R 4. Intuicyjnie, pary rezystorów są mniej wrażliwe na błąd odwzorowania masek niż pojedyncze rezystory. Jako reprezentację błędu A macierzy A przyjęto macierz odchyleń standardowych wszystkich składników macierzy A. Rys. III.4. przedstawia porównanie pomiędzy względnymi błędami A A liczonymi dla różnych przypadków. Błąd macierzy A spowodowany przez błąd w określeniu grubości membrany jest o rząd wielkości większy niż błąd spowodowany przez błędy odwzorowania maski dla pojedynczych rezystorów (przypadek [P.I]). Z drugiej strony, błąd macierzy A wynikający z określenia grubości membrany jest o trzy rzędy większy niż błąd odwzorowania maski liczony dla par rezystorów (przypadek [P.II]). 58

błąd [%] błąd [%].E+.E+.E+ 5 5.E- a) b) c).e-.e- grubość membrany [m] Rys. III.4.. Porównanie poziomu błędów: a) błąd określenia grubości membrany, b) błąd odwzorowania maski rozważa się pojedyncze rezystory R -R lub R -R 4, c) błąd odwzorowania maski rozważa się pary rezystorów R -R oraz R -R 4. 5 9 a) b) c) 7 5 5 grubość membrany [m] Rys. III.4.. Porównanie poziomu błędów: a) błąd określenia grubości membrany, b) błąd całkowity rozważa się pojedyncze rezystory R -R lub R -R 4, c) błąd całkowity rozważa się pary rezystorów R -R oraz R -R 4. Rys. III.4. Przedstawia porównanie pomiędzy błędem wynikającym z określenia grubości membrany struktury próbnej, a całkowitym błędem wynikającym zarówno z błędu w określeniu grubości membrany jak i błędu odwzorowania maski dla przypadków [P.I] i [P.II]. W przypadku [P.I] całkowity błąd macierzy A jest większy 59

od błędu w określeniu grubości membrany. W przypadku [P.II], całkowity błąd jest prawie równy błędowi spowodowanemu przez błędne określenie grubości membrany struktury próbnej. Wynikają stąd następujące wnioski: W procesie identyfikacji należy uwzględniać pary odpowiednich rezystorów na membranie zamiast rezystorów pojedynczych; Błąd określenia grubości membrany struktury próbnej może mieć istotny wkład w całkowity błąd macierzy A. Błędy wynikające z uproszczenia metody Zasadniczo, uproszczenia metody identyfikacji nie są niezbędne. Z drugiej strony, w praktyce inżynierskiej można pewne uproszczenia stosować. Takimi uproszczeniami w obliczeniach może być pomijanie naprężeń mniejszościowych lub pomijanie naprężeń w objętości piezorezystora. Dla przykładu w pracach [A,A,A4] naprężenia mniejszościowe były uwzględniane w identyfikacji, zaś w [yamada,matsuda9] były one pomijane. Ponieważ wszelkie uproszczenia metody stanowią potencjalne źródło jej błędów, w dalszej części niniejszego rozdziału zostanie przedstawiona analiza błędów wynikających z uproszczeń. Pominięcie naprężeń mniejszościowych Analiza Rys. III.4.8 pokazuje, że poprzeczna składowa naprężeń dominuje w rezystorze R : stosunek naprężeń mniejszościowego do większościowego jest mniejszy niż 5%. Z drugiej strony, wzdłużna składowa naprężenia dominuje w rezystorze R : stosunek naprężeń mniejszościowego do większościowego jest mniejszy niż %. Oznacza to, że składowe mniejszościowe mogą być pomijane w procesie identyfikacji. Dlatego, współczynniki piezorezystywności wzdłużny i poprzeczny mogą być identyfikowane niezależnie od siebie - do identyfikacji można przyjąć diagonalną macierz A. Założono, że grubość membrany jest określona dokładnie, a w obliczeniach pominięto naprężenia mniejszościowe, czyli przyjęto, że macierz A jest macierzą diagonalną. Takie podejście pozwoliło oszacować błąd względny A / A otrzymany przy założeniu niezależnej identyfikacji współczynników piezorezystywności. Oszacowano także łączny błąd A / A wynikający z błędu określenia grubości membrany na poziomie ±µm oraz z efektu pominięcia naprężeń 6

błąd macierzy A [%] mniejszościowych. Rys. III.4.4 przedstawia dwa wykresy błędów. Na jednym z nich przyjęto zerowy błąd określenia grubości membrany - wykres ten przedstawia tylko błąd wynikający z założenia diagonalności macierzy A. Drugi wykres przedstawia błąd wynikający z superpozycji błędu określenia grubości membrany i błędu diagonalności. Z analizy Rys. III.4.4 widać, że w całkowitym błędzie macierzy A błąd określenia grubości membrany dominuje nad błędem wynikającym z pominięcia w obliczeniach składowych naprężeń mniejszościowych. 5 5 um um 5 5 grubość membrany [μm] Rys. III.4.4. Względny błąd A A w funkcji grubości membrany. Do obliczeń pominięto naprężenia mniejszościowe. Uwzględniono błąd grubości membrany µm lub ±µm. Pominięcie naprężeń w objętości piezorezystora W wyniku procesu technologicznego otrzymuje się piezorezystory, które wnikają w głąb membrany na określoną niezerową głębokość. Ta głębokość jest równa głębokości złącza pomiędzy obszarem rezystora, a obszarem podłoża, na którym ulokowano piezorezystor. Głębokość złącza jest funkcją zarówno dawki implantacji w obszarze piezorezystora, jak i funkcją parametrów wygrzewania warstwy implantowanej, takich jak temperatura i czas wygrzewania poimplantacyjnego, czyli funkcją bilansu termicznego procesu dyfuzji piezorezystorów. Niekiedy, dla uproszczenia modelowaniu piezorezystorów, uwzględnia się tylko naprężenia na powierzchni piezorezystora, pomijając naprężenia w jego 6

błąd [%] wnętrzu. Ten sposób postępowania byłby słuszny, gdyby głębokość złącza była zerowa lub gdyby naprężenia w głąb piezorezystora były stałe. W rzeczywistości, dla rozważanej technologii - w zależności od warunków procesu technologicznego - głębokość złącza (grubość piezorezystora) waha się od.5 do um. Naprężenia także nie są jednorodne, lecz zanikają w kierunku wnętrza membrany i zmieniają znak po jej przeciwnej stronie. Wynika z tego, że średnie naprężenie w objętości piezorezystora jest mniejsze niż średnie naprężenie na jego powierzchni. Uwzględnienie naprężeń tylko na powierzchni jest równoważne założeniu, że piezorezystor ma zerową grubość. Założenie to jest to źródłem dodatkowych błędów macierzy A. xj=micron xj=microns 8 6 4 5 5 grubość membrany [m] Rys. III.4.5. Względny błąd A A w funkcji grubości membrany dla założonej zerowej grubości piezorezystora. Grubość membrany jest określona dokładnie. Rys. III.4.5 pokazuje oszacowanie względnego błędu A A w funkcji grubości membrany, przy założeniu zerowej grubości piezorezystora. Z Rys. III.4.5 widać, że jeżeli rzeczywista grubość piezorezystora wynosi m, to względny błąd macierzy A jest większy niż błąd wynikający z pominięcia w obliczeniach naprężeń mniejszościowych, a porównywalny z błędem wynikającym z błędu określenia grubości membrany równego m. Autor ma na myśli formowanie rezystorów w Zakładzie Technologii Mikrosystemów i Nanostruktur Krzemowych Instytutu Technologii Elektronowej. 6

b) Błąd wektora d Źródłem wiedzy o wektorze d, czyli lewej strony układu (III.4.6) są wyniki pomiarów piezorezystorów przy obciążeniu kpa. Wektor d jest liczony na podstawie wyników pomiarów piezorezystorów. Pomiar wykonywany jest automatycznie. Błąd pomiaru wynika z błędu przyrządów pomiarowych i jest względnie mały. Np., poziom błędu pomiaru rezystancji miernikiem Solartron 76 Systems Voltmeter jest mniejszy niż.%. W celu stabilizacji temperatury w trakcie pomiarów, struktura testowa jest umieszczona w komorze termicznej Heraus. Zmiany temperatury w komorze nie przekraczają. C. Temperaturowy współczynnik rezystancji (TCR) piezorezystorów jest na poziomie ppm/ C. Temperatura jest mierzona tym samym miernikiem co rezystancja. Szacuje się, że błąd pomiaru rezystancji nie przekracza.5%. Dlatego, poziom względnego błędu macierzy A może istotnie przekroczyć poziom błędu wektora d. c) Propagacja błędów - całkowity błąd identyfikacji współczynników piezorezystywności Osobnym problemem jest wielkość błędu dla założonego poziomu błędów macierzy A i wektora d, które determinują końcowy błąd rozwiązania zadania identyfikacji współczynników piezorezystywności. Zakładając brak błędów w obliczeniach, zaś tylko początkowe błędy macierzy A i wektora d wymaga się, aby błąd identyfikacji był jak najmniejszy. Zaburzenia macierzy A i wektora d powodują, że identyfikowane współczynniki piezorezystywności różnią się pomiędzy partiami, pomiędzy płytkami, a nawet pomiędzy strukturami na tej samej płytce. Należy oszacować błędy identyfikacji współczynników piezorezystywności dla założonego poziomu błędów macierz A i wektora d. Jeśli spełniony jest warunek: cond ( A) A A, (III.4.5) to relację pomiędzy względnymi błędami danych, a względnym błędem wyników można oszacować przy pomocy nierówności: cond( A) cond( A) A A d d A. (III.4.6) A 6

błąd identyfikacji [%] gdzie d d jest względnym błędem wektora d, a A A jest względnym błędem macierzy A [pizer,a5,a7]. Gdy założyć, że d d, wtedy oszacowanie (III.4.6) przyjmuje postać: cond cond A A A A A A. (III.4.7) Gdy zadanie (III.4.6) jest dobrze uwarunkowane, oraz gdy względny błąd macierzy A jest bardzo mały, to nierówność (III.4.5) jest bardzo silna: A A A Wtedy, nierówność (III.4.7) upraszcza się do postaci: cond. cond A A A. (III.4.8) W poprzednich punktach analizowano błędy d d i A A. Stwierdzono, że błąd macierzy A dominuje nad błędem wektora d. Przyjmując zerowy błąd wektora d policzono względny błąd. Rys. III.4.6 przedstawia błąd w funkcji względnego błędu macierzy A, przy założonym poziomie wskaźnika uwarunkowania. Rys. III.4.7 przedstawia estymację błędu w funkcji grubości membrany, dla założonego błędu określenia grubości membrany równego ±m. Błąd macierzy A istotnie wpływa na całkowity błąd identyfikacji. 5 5 5 5 cond(a)=. cond(a)=. cond(a)=. 5 5 względny błąd macierzy A [%] Rys. III.4.6. Względny błąd / w funkcji względnego błędu A A przy założonym wskaźniku uwarunkowania. Błąd d d. 64

błąd [%] 8 6 4 5 5 nominal grubość membrany [m] Rys. III.4.7. Względny błąd w funkcji grubości membrany. Założono: błąd określenia grubości membrany struktury próbnej równy ±um; d d. III.4.. Modyfikacja metody identyfikacji Przedstawiona w Rozdz. III.4. analiza pokazała, że w pewnych okolicznościach wyniki identyfikacji współczynników piezorezystywności mogą być obarczone pewnym istotnym błędem. Stwierdzono, że główną przyczyną tego błędu może być niedokładne określenie grubości membrany struktury próbnej. Dlatego istnieje propozycja takiego zmodyfikowania metody, aby uniezależnić się od potencjalnych błędów określania grubości membrany struktury próbnej [A6,A7]. Istota tej propozycji bazuje na założeniu, że współczynniki piezorezystywności są funkcją własności warstwy rezystancyjnej, zaś nie zależą od grubości membrany. Oznacza to, że dla różnych struktur próbnych z różnymi grubościami membran, wykonanych w tym samym procesie technologicznym, wyniki identyfikacji obydwu współczynników piezorezystywności (wzdłużnego i poprzecznego) powinny być identyczne. W praktyce, ponieważ w procesie technologicznym występują zaburzenia losowe, założenie o identyczności współczynników piezorezystywności identyfikowanych przy pomocy różnych struktur próbnych jest zbyt mocne. Dlatego przyjmuje się nieco słabsze założenie, że rozrzuty współczynników piezorezystywności powinny być minimalne. Miara rozrzutów współczynników piezorezystywności może zostać przyjęta jako kryterium jakości identyfikacji. Rozważano różne kryteria identyfikacji. Stwierdzano, że kryterium to nie może mieć charakteru bezwzględnego. Gdyby przyjąć jako funkcję celu, bezwzględną miarę 65

rozrzutów współczynników piezorezystywności, to dla założonych małych grubości membrany policzone naprężenia będą duże, a identyfikowane parametry będą zbiegać się do małych wartości. Także ich bezwzględne rozrzuty będą małe. Z tego powodu trzeba rozważać kryterium względne. W tym względnym kryterium miara rozrzutu (dyspersji) współczynników piezorezystywności powinna być odniesiona do wartości identyfikowanych współczynników. Dla przykładu, jako kryterium jakości identyfikacji może być rozważana przeciętna wartość zidentyfikowanych współczynników odniesiona do współczynnika minimalnego co do wartości bezwzględnej. Rozważając n struktur testowych o grubościach t t,..., oraz zidentyfikowane wzdłużne i poprzeczne współczynniki piezorezystywności odpowiednio,..., i,..., postać: L L L n T T T n E, kryterium optymalizacji Q ma E L T Q max,, (III.4.9) min( L ) min T gdzie E( x ) średnią wartością wektora x. To kryterium osiąga minimum w optymalnym punkcie w przestrzeni grubości. W idealnym przypadku minimalna wartość Q zbiega do. W praktyce Q, ponieważ w technologicznym procesie min istnieją zaburzenia losowe. Zaproponowany algorytm ma postać:. Wybrać n struktur testowych o istotnie różnych grubościach membran.. Zmierzyć rezystory na strukturach bez ciśnienia i z ciśnieniem nominalnym. Znaleźć n wektorów d.. Wybrać (losowo) pewien zbiór t t,..., w przestrzeni grubości membran. Znaleźć n macierzy A używając odpowiedniego modelu a ij. Rozwiązać n-krotnie układ równań (III..5) dla wszystkich macierzy oraz wektorów. Oszacować wartość kryterium optymalizacji Q dla otrzymanych n par współczynników piezorezystywności. 4. Powtarzać krok aż kryterium Q osiągnie minimum. Zbiór grubości t,..., t n, dla których policzone kryterium Q ma minimum jest oszacowaniem rzeczywistych grubości membran struktur próbnych użytych do identyfikacji. Jako wynik identyfikacji wybrać referencyjne współczynniki piezorezystywności, czyli te współczynniki, które we wzorze na Q są w mianowniku. t n t n 66

Oznacza to, że para: L min( L,..., L n ) i T min( T,..., T n ) może zostać wybrana jako rozwiązanie zadania identyfikacji..5 składowe wektora d.4.. d d. 4 5 numer struktury Rys. III.4.8. Składowe wektora d w funkcji numeru struktury. Przedstawiony algorytm został użyty do identyfikacji współczynników piezorezystywności. W tym celu wybrano pięć struktur próbnych z różnymi grubościami membran. Rys. III.4.8 przedstawia składowe wektora d w funkcji numeru struktury. Dla wybranych struktur badano przebieg funkcji Q (III.4.9) w przestrzeni grubości membran. Na Rys. III.4.9 pokazano poziomice dla kryterium Q w przestrzeni grubości membran dwóch wybranych struktur próbnych widać, że funkcja Q ma minimum globalne. t t x y. Z rysunku 67

kryterium Q Rys. III.4.9. Przykładowe poziomice dla kryterium Q w przestrzeni grubości membran dwóch struktur próbnych t t x y. Funkcja Q ma minimum globalne..5.5.e+.e+.e+4.e+6.e+8 liczba iteracji Rys. III.4.. Historia identyfikacji. Kryterium jakości identyfikacji Q) w funkcji liczby iteracji Punkt algorytmu realizowano, losując grubości membran w przestrzeni ich dopuszczalnych grubości. Poniżej na wykresach przedstawiono historię identyfikacji. 68

grubość [m] Rys. III.4.. przedstawia historię szukania minimum funkcji Q. Dalsze wykresy pokazują historię znajdowania wybranych grubości membran (Rys.III.4.) i historię znajdowania współczynników piezorezystywności (Rys.III.4.). Przedstawione wykresy pokazują, że zaproponowana metoda prowadzi do identyfikacji współczynników piezorezystywności i jednocześnie do oszacowania grubości membran struktur próbnych. 5 5 t t4 5.E+.E+.E+4.E+6.E+8 liczba iteracji Rys. III.4.. Historia identyfikacji. Estymowane grubości membran w funkcji ilości iteracji. 9.E-4 8.E-4 [/Mpa] 7.E-4 6.E-4 5.E-4 longitudinal -transversal 4.E-4.E+.E+.E+4.E+6.E+8 liczba iteracji Rys. III.4.. Historia identyfikacji. Współczynniki piezorezystywności w funkcji liczby kroków iteracyjnych 69

grubość [m] 5 5 5 4 5 numer struktury Rys. III.4.. Wyniki estymacji grubości membran w funkcji numeru struktury. Rys. III.4. przedstawia wynik identyfikacji grubości membran w funkcji numeru struktury próbnej. Porównując Rys. III.4.8 i Rys. III.4. widać, że zidentyfikowane grubości membran są skorelowane z wartościami składowych wektora d. Jest to dodatkowe potwierdzenie poprawności metody. Z drugiej strony analiza wykresów obrazujących historię identyfikacji dowodzi, że metoda jest bardzo wolno zbieżna. Dopiero po wielu milionach losowań funkcja celu Q zbliża się asymptotycznie do rozwiązania końcowego. III.5. Dyskusja Trzeci rozdział jest poświęcony modelowaniu piezorezystora. Między innymi omówiono trawienie anizotropowe krzemu, przedstawiono pewne istotne z praktycznego punktu widzenia konfiguracje piezorezystora, zaprezentowano model piezorezystora oraz zaproponowano metodę identyfikacji jego parametrów. Niżej zostaną krótko skomentowane kilka problemów, z którymi można się zetknąć w praktyce inżynierskiej. Są to następujące problemy: Trawienie wypukłych naroży; Dokładność identyfikacji współczynników piezorezystywności Modyfikacja metody identyfikacji; Porównanie struktur próbnych w postaci membrany oraz belki. 7

a) Trawienie wypukłych naroży W przyrządach piezorezystywnych dąży się do sytuacji, gdzie naprężenia w obszarze aktywnym mają charakter (prawie) jednoosiowy. Taki charakter mają naprężenia w obszarach jednorodnych w pobliżu krawędzi znajdujących się względnie daleko od naroży. Z tego punktu widzenia, przedstawiona wyżej analiza dotycząca mokrego anizotropowego trawienia krzemu jest wystarczająca do wyprowadzenie wniosków co do możliwości otrzymywania kształtów obszarów aktywnych w których naprężenia będą miały pożądanych charakter. Z drugiej strony, analiza ta nie wyczerpuje wszystkich sytuacji wstępujących w praktyce inżynierskiej. W szczególności, nie uwzględnia ona problemów występujących przy trawieniu naroży w obszarze wyspy. Na przykład, jeżeli na krzemie o orientacji () ma zostać wytrawiona kwadratowa wyspa, to w trakcie trawienia w obszarze wypukłych naroży zaczną się ujawniać płaszczyzny {4}, które trawią się szybciej niż płaszczyzny {}. W wyniku tego nastąpi podtrawianie naroży [Offereins, Skocki,dziuban,maluf], zaś otrzymany obszar wyspy przestanie być kwadratem. Żeby uniknąć powyższej sytuacji stosuje się maski ze strukturami kompensującymi, które mają osłonić wypukłe naroże wyspy. W trakcie trawienia struktura kompensująca jest sukcesywnie strawiana - w chwili zakończenia trawienia ma zostać tylko wypukłe naroże [dziuban,offereins, Skocki]. Na Rys. III.5. pokazano porównanie symulowanych kształtów obszaru kwadratowej wyspy w przypadku, gdy maska tej wyspy nie zawiera struktury kompensacyjnej, oraz gdy taką strukturę posiada. Założono, że czas trawienia wynosi 6 minut, zaś szybkość trawienia płaszczyzny {} jest równa m/min. Do symulacji użyto wersji beta programu ACES [zhu]. 7

Struktura bez kompensacji naroży Struktura z kompensacją naroży Wynik symulacji trawienia perspektywa Wynik symulacji trawienia widok z góry Maska Rys. III.5.. Symulacja mokrego anizotropowego trawienia wypukłej wyspy na powierzchni o orientacji (). Założona szybkość trawienia w kierunku <> jest równa m/min, czas trawienia wynosi 6 minut. Szary obrys nad powierzchnią wyspy przedstawia kształt maski. 7

b) Dokładność identyfikacji współczynników piezorezystywności Model piezorezystywności może być strojony do procesu technologicznego przez identyfikację współczynników piezorezystywności. W pracach [A,A,A4] zaproponowano metodę, gdzie jako strukturę próbną użyto czujnika ciśnienia z płaską membraną. W poprzednich punktach tego rozdziału metoda ta została szczegółowo przeanalizowana. W szczególności rozważano warunki konieczne i wystarczające rozwiązania problemu identyfikacji współczynników piezorezystywności dla pewnej szczególnej macierzy A, która jest implikowana przez rozkład naprężeń na strukturze próbnej. Dla danej macierzy (a więc struktury próbnej) oszacowano wskaźnik uwarunkowania (III.4.). Wskaźnik uwarunkowania pokazuje, że rozkład naprężeń na strukturze próbnej implikuje dobrą macierz A w sensie zależności (III.4.8). Powyższe stwierdzenie jest zgodne z wynikami przeprowadzonej analizy geometrycznej i analizy fizycznej. Oznacza to, że dana struktura próbna jest dobrze zaprojektowana, a przedstawiona metoda wraz ze strukturą próbną ma dobre własności numeryczne. Z drugiej strony, dane wejściowe wykorzystywane do identyfikacji mogą być obarczone pewnymi błędami, takimi jak np. błąd szacowania grubości membrany struktury próbnej lub błąd odwzorowania masek. Jeszcze inne błędy mogą być wnoszone przez potencjalne uproszczenia metody. Do tej grupy należy błąd pomijania naprężeń mniejszościowych lub błąd pomijania naprężeń w objętości piezorezystora. Wszystkie te błędy mogą być minimalizowane przez zastosowanie odpowiedniej aparatury oraz właściwych procedur. W szczególności, błąd identyfikacji można zmniejszyć przez spełnienie następujących warunków: Staranne określenie grubości membrany struktury próbnej; Uwzględnianie w obliczeniach wyników pomiarów par odpowiednich piezorezystorów zamiast wyników pomiarów pojedynczych piezorezystorów; Rezygnacja z uproszczeń metody. c) Modyfikacja metody identyfikacji Badając metodę identyfikacji współczynników piezorezystywności wykorzystującą strukturę próbną w postaci czujnika ciśnienia z płaską membraną 7

stwierdzono, że największym źródłem błędu tej metody jest potencjalna rozbieżność pomiędzy rzeczywistą grubością membrany, a grubością przyjętą do symulacji naprężeń. Dlatego, kluczową rolę dla poprawienia jakości identyfikacji ma minimalizacja błędu w określaniu grubości struktury próbnej. W [A6,A7] zaproponowano, aby rozszerzyć metodę tak, aby nie tylko identyfikować współczynniki piezorezystywności, ale także szacować grubości membran struktur próbnych. W wyniku badania stwierdzono, że zaproponowane rozszerzenie prowadzi do rozwiązania problemu identyfikacji, ale jest bardzo wolno zbieżne. W celu ostatecznego przyjęcia lub odrzucenia metody należałoby zbadać jej zbieżność przy zastosowaniu inaczej zdefiniowanej funkcji celu oraz przy zastosowaniu szybciej zbieżnych algorytmów. Na obecnym etapie badań, wniosek jest taki, że przede wszystkim należy stosować metodę podstawową, starannie mierząc grubości membran struktury próbnej. d) Porównanie różnych struktur próbnych W literaturze od lat 8-dziesiątych dwudziestego wieku znana jest metoda identyfikacji, w której strukturą próbną jest belka z wdyfundowanymi piezorezystorami [yamada,matsuda9,matsuda9]. Omawiana w poprzednich punktach metoda wykorzystująca czujnik ciśnienia z płaską membraną jako strukturę próbną ma istotne zalety w porównaniu z metodą wykorzystującą belkę jako strukturę próbną: - Wytworzenie belki o właściwej orientacji, mającej prostokątny przekrój jest trudniejsze technologicznie niż wytworzenie płaskiej membrany. Do wytworzenia belki potrzeba pionowo wytrawić odpowiednie krawędzie, korzystając z metod trawienia plazmowego. Wytworzenie membrany wymaga mokrego trawienia anizotropowego w KOH lub TMAH. - W metodzie z belką, dla zadania wymuszenia wiesza się ciężarek na żyłce wędkarskiej. W metodzie z membraną zadaje się ciśnienie. Wieszanie ciężarka jest trudniejsze i mniej precyzyjne niż zadawanie ciśnienia. - Metoda z belką ma większe naprężenia mniejszościowe niż metoda z membraną. Dla belki naprężenia mniejszościowe są na poziomie 6% [yamada,matsuda9]. W poprzednich punktach pokazano, że dla membrany ten poziom nie przekracza 5%. Dlatego, pomijanie naprężeń 74

mniejszościowych w procesie identyfikacji daje w przypadku belki błąd większy niż w przypadku membrany. Przedstawione porównania dowodzą, że struktura próbna w postaci czujnika ciśnienia z płaską membraną ma istotną przewagę nad strukturą próbną w postaci belki. 75

IV. PRZYRZĄDY PIEZOREZYSTYWNE W rozdziale drugim omówiono zjawisko piezorezystywności w szerokim kontekście. W rozdziale trzecim przedstawiono modelowanie piezorezystora. W niniejszym rozdziale zostanie omówione modelowanie przyrządów opartych o zjawisko piezorezystywności. W przyrządach tych cztery piezorezystory są lokowane w obszarze aktywnym z występującą koncentracją naprężeń. Rezystory te są połączone w mostek Wheatstone a. Napięcie na wyjściu tego mostka - będące funkcją obciążenia mechanicznego struktury - określa charakterystykę przyrządu. Na tle tej charakterystyki zostaną zdefiniowane wybrane parametry funkcjonalne czujnika. Charakterystyka może być modelowana. Celem tego modelowania jest wspomaganie procesu konstrukcji czujnika. Modelowanie charakterystyki pozwala prognozować przyszłe parametry funkcjonalne czujników [Lin99, nagler98]. W tym aspekcie zostaną przedstawione konstrukcje wybranych czujników. IV.. Parametry funkcjonalne czujników Na podstawie charakterystyki czujnika można określić jego parametry funkcjonalne. Definicje parametrów funkcjonalnych zostaną zdefiniowane w oparciu o normę PN IEC 67474[norma]. - Zakres pomiarowy zbiór wartości wielkości mierzonej, w odniesieniu do którego błąd przyrządu pomiarowego znajduje się w określonych granicach (Rys. IV..). - Rozpiętość zakresu moduł różnicy pomiędzy dwoma granicami zakresu (Rys. IV..). Pojęcie to ma zastosowanie zarówno do wielkości mierzonej jak i sygnału wyjściowego. - Napięcie niezrównoważenia sygnał wyjściowy czujnika dla zerowej wielkości mierzonej (Rys. IV..). - Rozpiętość skali (FSS Full Scale Span) różnica między skrajnymi punktami sygnału wyjściowego (Rys. IV..). - Pełnozakresowy sygnał wyjściowy (FSO Full Scale Output) wartość sygnału wyjściowego czujnika w górnej granicy zakresu pomiarowego. Jest to suma napięcia niezrównoważenia oraz rozpiętości skali (Rys. IV..). W praktyce modelowania charakterystyk przyrządów z symetrycznym mostkiem 76

Wheatstone a zakłada się zerowe napięcie niezrównoważenia, co jest równoznaczne z równością dwóch wielkości: FSS=FSO. Rys. IV... Zależność sygnału wyjściowego od wielkości mierzonej dla czujnika o charakterystyce liniowej wykazującego niezrównoważenie na podstawie [norma]. - Nieliniowość norma [norma] definiuje liniowość jako bliskość krzywej wzorcowania i wyspecyfikowanej linii prostej. Są dwie podstawowe metody określania liniowości: dopasowanie do prostej przechodzącej przez skrajne punkty charakterystyki lub dopasowanie do prostej wyznaczonej metodą najmniejszych kwadratów. Dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów daje dolne (optymistyczne) oszacowanie błędu liniowości. Jednakże jego liczenie jest uciążliwe. Dopasowanie do prostej przechodzącej przez skrajne punkty charakterystyki jest nazywane liniowością skrajnych punktów lub krańcową. Liczenie tak zdefiniowanej liniowości jest prostsze, lecz daje najgorszy, pesymistyczny błąd liniowości. Błąd najgorszego przypadku jest często pożądany, przy szacowaniu błędu sumarycznego. 77

Zamiast liniowości, w praktyce inżynierskiej używa się pojęcia nieliniowości. Gdy charakterystyka jest dana w trzech punktach: na początku, w środku i na końcu zakresu pomiarowego (Rys. IV..), definicja nieliniowości NL dla najgorszego przypadku ma postać: NL % [%FSS], (IV..) FSS gdzie, U U off U 5. (IV..) Rys. IV...Definiowanie nieliniowości - Czułość iloraz zmiany sygnału wyjściowego czujnika do zmiany wielkości mierzonej. Dla czujnika, w którym sygnał wyjściowy y jest związany z wielkością mierzoną x równaniem y f (x), czułość S ( x a ) w punkcie x a wynosi: dy S( xa ) (IV..) dx Dla czujnika o charakterystyce liniowej jak na Rys. IV.. czułość jest równa stosunkowi rozpiętości skali do rozpiętości zakresu. - Stabilność zdolność czujnika do utrzymania niezmiennych jego parametrów przez pewien okres czasu.. IV.. Charakterystyka czujnika z mostkiem x x a 78

Wheatstone a Szacuje się, że zmiana rezystancji piezorezystorów krzemowych z naprężeniami wynosi pojedyncze procenty. Dla rezystorów metalowych jest to.%. Pomimo znacznych różnic, w obydwu przypadkach zmiany rezystancji są względnie małe w stosunku do nominalnej wartości rezystancji. Pomiar zmian wielkości na tak niskim poziomie może stanowić problem. Dlatego do detekcji tych małych zmian stosuje się pomiary przy pomocy mostka Wheatstone a, gdzie następuje konwersja zmian rezystancji na zmiany napięcia [longor]. Rys. IV... Struktura mostka Wheatstone a w czujniku piezorezystancyjnym, Poszczególne rezystory w mostku są co do wartości odpowiednio równe R, R, R R (Rys. IV..). Napięcie wyjściowe mostka jest funkcją wartości 4 rezystorów oraz funkcją zasilania. Mostek może być zasilany ze źródła stałoprądowego lub stałonapięciowego. Dla zasilania stałonapięciowego, napięcie wyjściowe mostka dla danej wartości napięcia zasilania U s dane jest zależnością: R R4 U off U s. (IV..4) R R R R4 Analogicznie, dla zasilania mostka ze źródła prądowego o stałej wydajności napięcie wyjściowe może być policzone z zależności. I s, jego R R RR 4 U off Is (IV..5) R R R R4 79

W praktyce modelowania - ze względu na regularny i symetryczny kształt struktury z mostkiem - do obliczeń zakłada się, że rezystory w przeciwległych ramionach mostka są równe co do wartości.: R R R R (IV..6a) 4 R R R R (IV..6b) W ten sposób otrzymuje się następujące uproszczenia dla zasilania źródłem napięciowym: Analogicznie, dla zasilania prądowego: R R U off U s. (IV..7) R R R R R U off Is (IV..8) W przyrządach piezorezystywnych zachodzi najczęściej jeszcze jedna zależność: R R (IV..9) Z drugiej strony, zmiany rezystancji R i R R są przeważnie asymetryczne: R. (IV..) Jeśli przyjąć, że zachodzi zależność (IV..9), a nie zachodzi zależność (IV..), czyli: R R R, (IV..) ozn. to dodatkowo można uprości opis napięcia wyjściowego mostka. Dla zasilania stałym napięciem: U off U R s R Oraz dla zasilania stałoprądowego zależność przyjmuje postać: U off (IV..) I R (IV..) s W celu znalezienia charakterystyki mostka Wheatstone a przyrosty rezystancji we wzorach od IV.. do IV.. są liczone według wzoru (III.4.). R IV.. Nieliniowość charakterystyki czujnika W projektowaniu piezorezystywnych czujników z mostkiem Wheatstone a typowo zakłada się liniowe przetwarzanie sygnału. Wszelkie odstępstwa charakterystyki od liniowości są identyfikowane jako nieliniowość. W rzeczywistych przyrządach 8

obserwuje się pewne nieliniowości. Obserwacje te uzasadniają potrzebę modelowania nieliniowości, chociażby ze względu na konieczność jej minimalizowania. Ze uwagi na prostotę - w celu szacowania poziomu nieliniowości - w praktyce wykorzystuje się wspomnianą wyżej metodę najgorszego przypadku. Na nieliniowość charakterystyki krzemowego czujnika piezorezystywnego wykorzystującego mostek Wheatstone a mogą wpływać różne czynniki [suzuki,kanda97,a5]. Czynniki te są wyodrębnione w Tab. IV.., a następnie są one szerzej omówione w następnych punktach Tab. IV... Źródła nieliniowości w czujnikach OBSERWOWANA NIELINIOWOŚĆ Obciążenie mechaniczne Naprężenie Naprężenie Zmiana rezystancji Zmiana rezystancji Napięcie wyjściowe PRZYCZYNA Nieliniowość geometryczna Nieliniowość współczynników piezorezystywności Nieliniowość mostka Wheatstone a IV... Nieliniowość przetwarzania: obciążenie mechaniczne - naprężenie W strukturach mechanicznych obserwuje się dwa rodzaje nieliniowości: nieliniowość geometryczną i nieliniowość materiałową. Modele opisujące zachowanie struktur mechanicznych mogą wspomniane nieliniowości lub ich kombinacje uwzględniać lub je pomijać (Tab. IV...). Jeżeli programy symulacyjne mają wbudowane odpowiednie modele nieliniowości, to w procesie symulacji te nieliniowości mogą być uwzględnione. Z analizy danych firmowych o programach bazujących na metodzie elementu skończonego wynika, że wiele programów symulacyjnych opartych o tę metodę posiada możliwości modelowania nieliniowości, zarówno geometrycznych jak i materiałowych. Omówiony wyżej program SAMCEF ma wbudowaną możliwość modelowania obydwu typów nieliniowości. 8

Tab. IV... Różne rodzaje nieliniowości LINIOWA ZALEŻNOŚĆ NAPRĘŻENIE-ODKSZTAŁCENIE NIELINIOWA ZALEŻNOŚĆ NAPRĘŻENIE-ODKSZTAŁCENIE LINIOWY TENSOR ODKSZTAŁCENIA Model liniowy Model z nieliniowością materiałową NIELINIOWY TENSOR ODKSZTAŁCENIA Model z nieliniowością geometryczną Model z nieliniowością geometryczną i materiałową a) Nieliniowość geometryczna W ogólnym przypadku odkształcenie jest nieliniową funkcją przemieszczenia. We wzorze (II..) opisującym tensor odkształcenia występują dwa składniki liniowe i jeden składnik nieliniowy. Dla małych przemieszczeń nieliniowy składnik w tym T wyrażeniu pomija się, zakładając, że u u. Przeciwnie, jeżeli model uwzględnia ten składnik, wtedy mówi się o modelowaniu nieliniowości geometrycznej. W modelowaniu struktur, gdy pod wpływem obciążeń mechanicznych obserwuje się duże przemieszczenia, to odpowiadające tym przemieszczeniom odkształcenia mają charakter nieliniowy wtedy w modelowaniu należy uwzględniać nieliniowość geometryczną. Jeżeli rozważać czujnik ciśnienia z płaską membraną to w normalnych warunkach na powierzchni, gdzie zadawane jest ciśnienie, na brzegu membrany jest naprężenie rozciągające, zaś w centrum membrany obserwuje się naprężenia ściskające. W zakresie większych odkształceń może się pojawić tzw. efekt membranowy (lub balonowy), polegający na rozciąganiu materiału membrany. Jest to równoważne temu, że znak naprężenia na całej membranie jest dodatni. Oznacza to, że w środku membrany nie ma naprężeń ściskających. Efekt ten powoduje nieproporcjonalne do ciśnienia odkształcenie membrany i rozsymetryzowanie naprężeń rozciągających i ściskających. Rys. IV..4 przedstawia czujnik z cienką płaską membraną o dużej powierzchni. Długość membrany wynosi 65 m, zaś grubość m. Symulacje przeprowadzano programem SAMCEF. Dla ciśnienia 5 i kpa w strukturze pojawia się efekt balonowy, co widać na Rys. IV..5 i Rys. IV..6. Z efektem balonowym związana jest nieliniowa zależność relacji ciśnienienaprężenie, a więc także relacji ciśnienie zmiana rezystancji piezorezystora. 8

Dlatego, powyższa struktura nie nadaje się do wykorzystania jako czujnik ciśnienia na zakres 5 i kpa. Rys. IV..4. Schemat czujnika z cienką płaską membraną o dużej powierzchni Rys. IV..5. Efekt balonowy - naprężenia na osi X (Rys IV..4) w kierunku X. 8

Rys. IV..6. Efekt balonowy - naprężenia na osi X (Rys. IV..4) w kierunku osi Y b) Nieliniowość materiałowa Dla danego materiału sprężystego dla przypadku jednoosiowego można przedstawić wykres zależności pomiędzy naprężeniem, a odkształceniem (Rys. II..). Na początku zależność ta ma charakter liniowy. W obszarze liniowym zachodzi prawo Hooke a. Dla większych odkształceń zależność ma charakter nieliniowy. W zakresie nieliniowym, prawo Hooke a nie obowiązuje. Jeżeli model uwzględnia zakres nieliniowy przedstawiony na Rys. II.., wtedy mówi się o nieliniowości materiałowej. Dla względnie małych obciążeń pomiędzy odkształceniem a naprężeniem zachodzi relacja proporcjonalności, co jest równoznaczne z obowiązywaniem prawa Hooke a. Po zdjęciu obciążenia, zanika odkształcenie. W zakresie obowiązywania tego prawa materiał jest materiałem elastycznym. Gdy obciążenie przekroczy pewną wartość krytyczną, wtedy przestaje obowiązywać prawo Hooke a. Materiał przestaje być materiałem elastycznym, a może przejść w zakres plastyczności. Wtedy proces odkształcania przestaje być procesem odwracalnym. W przypadku krzemu monokrystalicznego nie ma potrzeby modelowania nieliniowości materiałowej, gdyż krzem jest materiałem kruchym i w jego zachowaniu nie ma odstępstwa od prawa Hooke a (Rys. II..). Jednakże, gdy modeluje się struktury połączone klejem lub lutem, wtedy w zachowaniu tych 84

materiałów pod wpływem obciążeń mechanicznych może pojawić się efekt nieliniowości materiałowej, który w modelowaniu powinien być uwzględniony. IV... Nieliniowość przetwarzania: naprężenie - zmiana rezystancji W typowych warunkach przyjmuje się, że współczynniki piezorezystywności nie zależą od naprężeń. Ich wartości są stałe. To założenie jest wystarczające we wszystkich przypadkach, które są interesujące z punktu widzenia praktyki inżynierskiej. W literaturze podaje się jednak, że przy dużych zmianach naprężeń w wyrażeniu na zmianę rezystywności mogą się pojawić nieliniowe człony współczynników piezorezystywności. Te nieliniowe składowe współczynników piezorezystywności są modelowane [durand] i identyfikowane [yamada,matsuda9,matsuda9]. Należy jednak podkreślić, że zakładając potencjalną nieliniowość współczynników piezorezystywności, ich identyfikacja powinna się odbywać przy założeniu, że symulacje naprężeń uwzględnią nieliniowość geometryczną w modelowanej strukturze. Gdyby w modelowaniu naprężeń do identyfikacji nie uwzględnić nieliniowości geometrycznej, to nieliniowość relacji wymuszenie naprężenie ujawni się jako nieliniowość współczynników piezorezystywności. IV... Nieliniowość przetwarzania: zmiana rezystancji - napięcie Z analizy równań (IV..4) i (IV..5) wynika, że w ogólnym przypadku mostek Wheatstone a jest źródłem nieliniowości. Z analizy kolejnych zależności wynika, że dla struktur z symetrycznym mostkiem Wheatstone a ten typ nieliniowości może zanikać ze wzrostem poziomu symetrii mostka. W praktyce modelowania przyjmuje się, że w strukturach wytwarzanych na liniach układów scalonych, mostek ma regularny i symetryczny kształt. Dlatego, do obliczeń zakłada się, że przy braku naprężeń rezystancje wszystkich czterech rezystorów w mostku są równe, a w obecności naprężeń zachodzi relacja (IV..6) - równe są rezystancje rezystorów w przeciwległych ramionach mostka. Przy takim założeniu, charakterystyka mostka dla zasilania napięciowego i prądowego dana jest odpowiednio wzorami (IV..7) i (IV..8). Z wzorów tych widać, że dla zasilania 85

napięciowego występuje nieliniowość mostka wynikająca z równania (IV..7). Dla zasilania prądowego wyrażenie (IV..8) ma charakter liniowy. IV.4. Projektowanie struktur czujników piezorezystywnych Większość krzemowych czujników piezorezystywnych wykorzystuje obszar aktywny w postaci krzemowej membrany lub belki, na którym znajdują się odpowiednio rozmieszczone rezystory. Cztery rezystory typu P zorientowane wzdłuż krystalograficznego kierunku <> są wytworzone metodą implantacji i dyfuzji w podłożu typu N na płaszczyźnie (). Każdy z rezystorów jest ulokowany w polu naprężeń, których składowe dominujące są skierowane wzdłuż lub w poprzek rezystora. Elektryczne połączenia pomiędzy rezystorami tworzą mostek Wheatstone a. Podanie obciążenia mechanicznego na strukturę czujnika powoduje powstanie naprężeń w jego obszarze aktywnym, które z kolei powodują zmianę rezystancji, wyprowadzając mostek pomiarowy z równowagi elektrycznej. Czułość przyrządów opartych o zjawisko piezorezystywności jest tym większa, im większe są zmiany rezystancji wraz ze zmianami wielkości mierzonej, a więc im większe są zmiany naprężeń. Stąd ważnym jest, aby piezorezystory umieszczać w obszarach, gdzie naprężenia mogą być największe. Także znak naprężeń oraz ich charakter są istotne dla pracy czujnika. Z różnym charakterem naprężeń związane są zarówno jakościowe (dodatnie lub ujemne) jak i ilościowe zmiany rezystancji. Z drugiej strony dąży się do liniowości charakterystyki. Jednoczesne wymaganie na czułość i liniowość są z natury sprzeczne. Podstawowym zagadnieniem, jakie należy rozwiązać przy projektowaniu czujnika piezorezystywnego, jest znalezienie kompromisu pomiędzy wielkością sygnału wyjściowego, a jego nieliniowością [sandmaier9,bao9, bao9]. Klasycznym przykładem poszukiwania takiego kompromisu jest projektowanie piezorezystywnych czujników ciśnienia. Najczęściej piezorezystywne czujniki ciśnienia realizuje się w postaci struktur z kwadratową lub prostokątną membraną z krzemu monokrystalicznego typu N o orientacji (). Krawędzie membrany są zorientowane w kierunku <>. Na membranie, w pobliżu krawędzi, wytwarza się piezorezystory typu P wzdłuż kierunku <>, równoległe lub prostopadłe do krawędzi membrany [clark79, ko79, tanigawa85,dziuban94]. 86

W strukturach z płaską membraną, ze względu na nieliniowości, istnieje ograniczenie na czułość. Z tego powodu zaproponowano konstrukcje z pogrubioną membraną, w których uzyskiwano koncentrację naprężeń [Johnson9, Sandmaier9, bao9, Reimann9, Sandmaier9, bao9, Christel9, mallon9, wu9, dziuban94,skocki]. Struktury te charakteryzowały się większą czułością przy dobrej liniowości. Inną zaletą tych struktur jest zabezpieczenie przeciążeniowe jakie w naturalny sposób tworzy pogrubiona membrana W literaturze przedstawiane są także konstrukcje czujników ciśnienia z płaską kołową membraną realizowane na krzemie typu N o orientacji () z rezystorami typu P lokowanymi w kierunku <> [esashi8, yasukawa89]. Jednakże w pracy [kanda97] stwierdzono, że zarówno z przyczyn technologicznych, jaki z powodu czułości, struktury z kwadratową membraną mają lepsze własności niż struktury z membraną kołową. Znane są także konstrukcje czujników ciśnienia z membranami kołowymi na krzemie o orientacji () z rezystorami typu P lokowanymi w kierunku <>. W [matsuoka, matsuoka] przedstawiono analizę czujników z płaską membraną, a w [yasukawa89] przedstawiono wyniki modelowania czujników z membranami z pogrubieniem. Struktury z membranami kołowymi nie są powszechnie realizowane, ze względu na trudniejszy proces technologiczny. Czujniki siły lub momentu siły mogą być także realizowane w postaci struktur z krzemu monokrystalicznego z wdyfundowanymi rezystorami [beebe, fulkerson, dao, greitman, wang-beebe, schwizer]. Czujniki te mogą być wykorzystywane jako czujniki dotyku w medycynie lub w robotyce. Jako struktury z piezorezystorami realizuje się także czujniki przyspieszenia [roylance, moser]. W kolejnych punktach zostaną przedstawione wybrane przykłady modelowania struktur piezorezystywnych czujników krzemowych. IV.4.. Czujnik ciśnienia z płaską membraną Jako przykład czujnika ciśnienia z płaską membraną rozważa się konstrukcję czujnika ciśnienia na zakres kpa [A5,A8]. Struktura czujnika ma rozmiar x m. Jej membrana jest kwadratem o boku ok. m. Grubość membrany jest równa m dla zakresu ciśnienia kpa. Dla wyższych zakresów ciśnień grubość membrany jest większa. Na membranie są wdyfundowane cztery rezystory połączone w mostek Wheatstone a (Rys. IV..7). Nominalna długość 87

rezystorów jest równa 4m. Założona nominalna wartość rezystancji jest równa około 4.5k. Wszystkie rezystory leżą w obszarze naprężeń dodatnich (tzn. rozciągających). Dwa z nich prostopadłe do krawędzi membrany leżą w obszarze, w którym dominują naprężenia normalne wzdłuż tych rezystorów (równoległe do kierunku prądu zwiększające rezystancję). Pozostałe dwa rezystory równoległe do krawędzi membrany leżą w obszarze o dominującej składowej naprężeń prostopadłej do rezystorów (składowej prostopadłej do kierunku płynącego przez nie prądu i zmniejszającej rezystancję). Rys. IV..7. Schemat położenia piezorezystorów i przekrój przez strukturę czujnika ciśnienia z płaską membraną. Do symulacji założono, że na membranę działa ciśnienie kpa. Po zadaniu warunków brzegowych symulowano własności mechaniczne krzemowego czujnika ciśnienia. Rys. IV..8 oraz IV..9 przedstawiają ugięcie struktury czujnika oraz jedną ze składowych naprężenia na jego powierzchni otrzymywane pod wpływem ciśnienia kpa. Rys. IV.. i IV.. pokazują rozkład składowych normalnych naprężeń od środka membrany w kierunku jej krawędzi. 88

Z wyników symulacji ekstrahowano rozkłady składowych naprężeń L (x) i T (x) wzdłuż piezorezystorów (Rys. III.4. oraz III.4.). Te składowe były potem używane do obliczania przyrostu rezystancji piezorezystorów poddawanych działaniu ciśnienia przy użyciu formuły (III.4.). Badano także charakterystykę czujnika w funkcji ciśnienia. Stwierdzono, że omawiana konstrukcja spełniała wymagania zarówno ze względu na czułość jak i ze względu na liniowość [A5,A8]. Wyniki porównano z wynikami pomiarów struktur rzeczywistych czujników ciśnienia. Otrzymano dobrą zgodność wyników pomiarów z wynikami modelowania. Rys. IV..8. Ugięcie struktury czujnika w kierunku osi Z pod wpływem ciśnienia kpa jednostką ugięcia jest m 89

Naprężenie [MPa] Rys. IV..9. Rozkład naprężeń w czujniku pod wpływem ciśnienia kpa - składowa naprężeń w kierunku osi X podana w MPa 5 kpa 5kPa 5-5 4 6 8 Odległość od środka membrany [um] Rys. IV... Naprężenia większościowe wzdłuż osi X (Rys. IV..7). Membrana: kwadrat o boku m i grubości m. 9

Naprężenie [MPa] - - - -4-5 kpa 5kPa 4 6 8 Odległość od środka membrany[um] Rys. IV... Naprężenia mniejszościowe wzdłuż osi X (Rys. IV..7). Membrana: kwadrat o boku m i grubości m. IV.4.. Czujnik ciśnienia z lokalnie pogrubioną membraną Dla konstrukcji z płaską membraną z pewnym przybliżeniem słuszne są uproszczone zależności wartości naprężeń na membranie (a w konsekwencji czułości czujnika ciśnienia) od wymiarów membrany. W pierwszym przybliżeniu można przyjąć, ze przy danym ciśnieniu czułość S piezorezystywnego czujnika ciśnienia o płaskiej kwadratowej membranie jest proporcjonalna do kwadratu długości boku membrany a i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu jej grubości h [bao9, bao9,marco,a9]: a S. h Chcąc uzyskać strukturę czujnika ciśnienia z płaską membraną na zakres około dwadzieścia kpa (a więc około 4 razy większą czułość niż przy zakresie kpa) należałoby w konstrukcji czujnika na kpa z płaską membraną około dwukrotnie zwiększać wartość stosunku a/ h, zwiększając długość boku membrany lub zmniejszając jej grubość. Zwiększanie tego stosunku ma jednak swoje ograniczenia. Przy zwiększeniu wielkości obszaru membrany i/lub jej pocienieniu wzrasta szybko jej ugięcie. wielkość naprężeń przestaje być proporcjonalna do wielkości podawanego ciśnienia, a w konsekwencji sygnał wyjściowy z czujnika przestaje być liniową funkcją ciśnienia. Pojawia się zjawisko nieliniowości przetwarzania ciśnienia, którego poziom przestaje być akceptowalny. Duża wartość a/ h niesie także inne negatywne 9

skutki. W szczególności, ze względu na rozrzuty grubości płytki zmniejsza się powtarzalność czułości czujnika, a także wzrasta jego wrażliwość na uszkodzenia mechaniczne. Rys. IV... Konstrukcja czujnika z pogrubieniem. Dolna część rysunku przedstawia widok z góry, górna część rysunku przedstawia przekrój przez strukturę. Obszar szary podlega modelowaniu. Dla pomiaru niskich ciśnień należy więc poszukiwać takich konstrukcji membran, które generować będą odpowiednio duży - ze względu na zjawisko piezorezystywności - poziom naprężeń, przy ograniczeniu maksymalnego odkształcenia membrany. Szansy w uzyskaniu zadowalającej liniowości czujników dla małych ciśnień (poniżej kpa) poszukuje się w konstrukcjach membran z miejscowymi pogrubieniami, które zapewniają lokalną koncentrację naprężeń w obszarach pocienionych, przy ograniczeniu ugięcia. Jednym z możliwych rozwiązań tego problemu jest ukształtowanie na membranie w obszarze jej środka lokalnego pogrubienia [samdmaier9,sandmaier9], które samo nie podlega odkształceniu. Po podaniu ciśnienia, całość naprężeń koncentruje się w obszarze pocienionym, a jego niewielki obszar ogranicza odkształcenie. 9

Rys. IV... Ćwiartka struktury czujnika z pogrubieniem - podział na elementy Rys. IV..4. Ugięcie ćwiartki struktury czujnika z pogrubieniem pod wpływem ciśnienia kpa - wyniki podane w [m] 9

Naprężenie[MPa] Rys. IV..5. Rozkład naprężeń w ćwiartce czujnika z pogrubieniem pod wpływem ciśnienia kpa - składowa naprężeń w kierunku osi X w [MPa] 4 - - - 4 6 8 Odległość od środka membrany[um] Rys. IV..6. Naprężenia większościowe wzdłuż osi X (Rys. IV..). Połowa boku membrany L 95m, połowa boku pogrubienia L 7 m, grubość membrany t m. 94

Naprężenie[MPa].5.5.5 -.5 - -.5 - -.5 4 6 8 Odległość od środka membrany[um] Rys. IV..7. Naprężenia mniejszościowe wzdłuż osi X (Rys. IV..). Połowa boku membrany L 95m, połowa boku pogrubienia L 7 m, grubość membrany t m. Do pomiaru ciśnień w zakresie do około kpa badano konstrukcję czujnika ze zgrubieniem (Rys. IV..). Konstrukcja ta jest kwadratem o boku 8 m. We wnętrzu tego kwadratu jest wytrawiana membrana z pogrubieniem w środku. Membrana ma wymiar zewnętrzny około 4um Zadano warunki brzegowe i symulowano jej własności mechaniczne [A9,A5]. W celu zbadania nieliniowości czujnika do symulacji założono nieliniowość geometryczną. Ze względu na symetrię modelowano ćwiartkę czujnika (obszar szary na Rys. IV..). Dla różnych ciśnień analizowano rozkład składowych naprężeń w strukturze czujnika. Stwierdzono, ze w obszarze w którym ulokowano piezorezystory można przyjąć, ze składowe naprężeń są stałe wzdłuż rezystorów. Przy tej konstrukcji - inaczej niż przy konstrukcji dla wyższych ciśnień (z płaską membraną) - wszystkie rezystory tworzące mostek Wheatstone a są równoległe do krawędzi membrany i znajdują się w obszarze, gdzie dominują naprężenia prostopadle do rezystorów, a wiec do kierunku płynącego przez nie prądu. Dwa rezystory leżą w polu naprężeń dodatnich, zmniejszających rezystancję, przy zewnętrznej krawędzi membrany. Pozostałe dwa rezystory leżą w polu naprężeń ujemnych, zwiększających rezystancję, przy krawędzi pogrubienia. W celu otrzymania odpowiedniego kształtu pogrubienia, na masce należało zaprojektować odpowiednie struktury kompensujące (patrz: Dyskusja w Rozdz. III.5 ). 95

Odległość pogrubienia membrany od spodu struktury wynosi w tych warunkach ok.m, co zapewnia funkcjonowanie zabezpieczenia przeciwprzeciążeniowego. Dla znalezienia charakterystyk elektrycznych czujnika przyjęto, że rezystory o szerokości m i długości m umieszczone są w odległości kilkunastu m od krawędzi membrany. Dla płytki o grubości 8 m i membrany o grubości 5 m odległość ta wynosi m. Odległość ta jest zabezpieczeniem przed potencjalnym, wynikającym z zaburzeń losowych, przesunięciem się piezorezystorów w obszar poza membranę, gdzie naprężenia są małe. Ze względu na trawienie anizotropowe odległość piezorezystorów od krawędzi membrany zmienia się z rozrzutami grubości trawienia o około.5 m na 5 m zmiany grubości membrany. Stąd, jeżeli płytka ma grubość 85 m, to przy zachowanej grubości membrany, rezystor leży w odległości.5 m od krawędzi membrany. W pracy [A5] badano wpływ zmian L/L. Policzono wielkość sygnału wyjściowego i jego nieliniowość dla różnych wartości stosunku L/L. Wyniki symulacji pozwoliły określić parametry geometryczne badanej struktury i spodziewane wartości podstawowych parametrów. Wybrano taki stosunek, aby zachować kompromis pomiędzy wielkością sygnału wyjściowego a jego nieliniowością. IV.4.. Czujnik siły Przykładem czujnika siły jest belka krzemowa z odpowiednio ulokowanymi piezorezystorami. Czujnik ten jest przeznaczony dla mikrorobota [A,A9]. Założono, że projektowany czujnik siły będzie wykonany z krzemu typu N o orientacji () o orientacji belki w kierunku <>. Na jej powierzchni, w obszarze koncentracji naprężeń, przewidziano piezorezystory typu P, połączone w mostek Wheatstone a. Dwa piezorezystory będą umieszczone wzdłuż belki, zaś dwa w poprzek. W dwóch pierwszych rezystorach dominować będą naprężenia wzdłużne rozciągające, zaś w dwóch pozostałych dominującymi naprężeniami będą naprężenia poprzeczne rozciągające. W ten sposób, ze względu na różne znaki współczynników piezorezystywności, rezystancja dwóch rezystorów wzrośnie, a dwóch pozostałych zmaleje. W ten sposób mostek Wheatstone a zostanie wyprowadzony ze stanu równowagi. 96

Rys. IV..8. Ugięcie belki o długości 5um, o szerokości 5um i grubości um pod wpływem siły mn skierowanej w kierunku osi Y Przyjęto, że zostaną zaprojektowane czujniki na kilka zakresów pomiarowych: od dziesiątek N do dziesiątek mn [A9]. W celu zaprojektowania struktur czujnika, w przestrzeni parametrów geometrycznych belki zaplanowano pełen eksperyment na trzech poziomach [findeisen,mańczak]. Do symulacji przyjęto następujące parametry belki. Grubość: Długość: Szerokość: m, 4m, 5 45m. 97

Rys. IV..9. Wyniki symulacji przemieszczenie w kierunku osi Y Rys. IV... Wyniki modelowania belki naprężenia wzdłuż osi X Symulacje struktur mechanicznych czujnika siły wykonano programem SAMCEF [samcef]. Zbadano różne belki, analizując rozkład naprężeń w ich strukturze, oraz ich ugięcia w funkcji siły, dla szerokiego zakresu wymuszeń od dziesiątek N do 98

dziesiątek mn. Na Rys. od IV..8 do IV.. przedstawiono przykładowe wyniki symulacji belki. Rys. IV...Naprężenia wzdłużne w obszarze belki o długości 5um, o szerokości 5um i grubości um pod wpływem siły mn składowa wzdłuż osi X a) b) 5 4 9 8 4 5 6 5 4 4 5 Rys. IV... Naprężenia w piezorezystorze ułożonym wzdłuż belki: a) Naprężenia większościowe, b) Naprężenia mniejszościowe Dla belki o grubości m, szerokość 5 m, długości m, przy sile równej mn i założonych współczynnikach piezorezystywności 4 L 6.6 MPa i 99

4 T 5.76 MPa otrzymano przyrosty rezystancji: 89. 7 R 7. 5 R oraz, co przy zasilaniu mostka prądem równym ma daje na wyjściu mostka sygnał równy 8.854mV. a) b) 7 6 5 4 9 8 7 5 5 5 5 45 8 6 4 5 5 5 5 45 Rys. IV... Naprężenia w piezorezystorze ułożonym w poprzek belki: a) Naprężenia większościowe, b) Naprężenia mniejszościowe IV.4.4. Czujnik przyspieszenia Przy pomocy programu SAMCEF przeprowadzono także symulacje różnych konstrukcji krzemowego piezorezystywnego czujnika przyspieszenia [A]. Symulowane konstrukcje charakteryzowały się tym, że każda z nich miała różną ilość belek na których umieszczona była masa bezwładna. Modelowano ugięcie belek czujnika, rozkład naprężeń na powierzchni belek oraz częstotliwości rezonansowe struktur czujników. Rys. IV..4 do IV..7 przedstawiają wyniki symulacji ugięcia pod wpływem przyspieszenia trzech przykładowych konstrukcji czujnika z różnymi ilościami belek podtrzymujących masę bezwładną.

Rys. IV..4. Ugięcie czujnika przyspieszenia - ćwiartka konstrukcji z czterema belkami Rys. IV..5. Ugięcie czujnika przyspieszenia - połówka konstrukcji z pięcioma belkami

Rys. IV..6. Ugięcie czujnika przyspieszenia - ćwiartka konstrukcji z dziesięcioma belkami IV.5. Dyskusja Czwarty rozdział jest poświęcony modelowaniu krzemowych przyrządów piezorezystywnych. Dotychczas omówiono problemy modelowania charakterystyki przyrządów z mostkiem Wheatstone a, z uwzględnieniem jej nieliniowości. Problemy te są istotne z punktu widzenia projektowania przyrządów. Oczywiście, nie wyczerpują one wszystkich zagadnień modelowania parametrów funkcjonalnych czujników. Modeluje się także zachowanie innych parametrów, takich jak np. parametry temperaturowe, stabilność napięcia niezrównoważenia, jego rozrzuty, etc.. Jest to użyteczne z punktu widzenia diagnostyki jakości procesu technologicznego, kalibracji przyrządów lub kompensacji niekorzystnych wpływów na parametry funkcjonalne [bryzek85, akbar9, norton78, bork79, kim8, kowalski, lotters98, boukabache, A,A6,A7,A8,A9]. Dalej zostanie skomentowany problem całkowitej nieliniowości piezorezystywnych przyrządów z mostkiem Wheatstone a, a także pewne problemy związane z modelowaniem dla potrzeb diagnostyki.

a) Całkowita nieliniowość struktur Nieliniowość struktur czujników z mostkiem Wheatstone'a wynika z superpozycji składników nieliniowości omówionych wyżej. Niektóre z tych składników są pomijalne, inne mogą mieć większe znaczenie. Główne źródło nieliniowości tkwi w dużych odkształceniach lub w asymetrii mostka Wheatstone'a. I choć w przyrządach wytwarzanych na liniach technologicznych układów scalonych asymetria ta może być niewielka, to ze względu na nią, trzeba się zawsze liczyć z pewną potencjalną nieliniowością przetwarzania zmiana rezystancji - napięcie wyjściowe. Z tego powodu - w typowych warunkach projektowania inżynierskiego - w modelowaniu uwzględnia się nieliniowość geometryczną oraz nieliniowość wnoszoną przez mostek Wheatstone a, co najmniej na poziomie wzorów (IV..7) i (IV..8), zaś nie uwzględnia się nieliniowości współczynników piezorezystywności. Z wzoru (IV..7) widać, że dla zasilania napięciowego występują dwie potencjalne przyczyny nieliniowości: Naturalna nieliniowość mostka opisana równaniem (IV..7); Nieliniowość przetwarzania: obciążenie mechaniczne naprężenie, obserwowana wtedy, gdy struktura czujnika poddana obciążeniu mechanicznemu podlega dużemu odkształceniu, ujawniająca się w nieliniowym przyroście rezystancji piezorezystora geometrycznej. R (III.4.), uwzględniana w modelu nieliniowości Dla zasilania prądowego wyrażenie (IV..8) ma charakter liniowy. Jedynie składnik R może być nieliniowy ze względu na potencjalną geometryczną nieliniowość odkształcenia. b) Problemy diagnostyki Szczególnie ważnym parametrem diagnostycznym krzemowego czujnika piezorezystywnego jest jego napięcie niezrównoważenia. Przy zerowym obciążeniu mechanicznym czujnika, wartość napięcia niezrównoważenia mostka Wheatstone a powinna być równa zero. W rzeczywistych strukturach mostek zawsze ma pewien poziom rozsymetryzowania. Stąd także jego napięcie niezrównoważenia przyjmuje wartość niezerową. Napięcie niezrównoważenia jest parametrem najbardziej czułym na różne przyczyny niestabilności [nova9, lycoudes, cozma, sager]. Określenie jego

stabilności w czasie jest wystarczające dla scharakteryzowania stabilności przyrządu [nova9]. W pracach [A6,A] zaproponowano metodę oceny niestabilności parametrów elektrycznych czujników, która pozwala określić charakter zmian napięcia niezrównoważenia, a tym samym ułatwia interpretację fizyczną zjawiska niestabilności. Ze statystycznych rozrzutów napięcia niezrównoważenia można także wnioskować o rozrzutach w procesie technologicznym. W [kowalski] w oparciu o zależność (IV..4) poddano analizie wpływ rozrzutów wymiarów geometrycznych rezystorów na napięcie niezrównoważenia mostka Wheatstone a w typowej strukturze krzemowej czujnika ciśnienia z płaską membraną. Wnioski z przeprowadzonej analizy pozwoliły istotnie zmniejszyć rozrzuty napięcia niezrównoważenia. 4

V. PODSUMOWANIE Zjawisko piezorezystywności łączy ze sobą zjawiska mechaniczne z elektrycznymi: naprężenia z rezystywnością. Zajmowanie się tym zjawiskiem ma charakter działalności interdyscyplinarnej. Wymaga ono przyswojenia pewnych specyficznych elementów należących do różnych obszarów wiedzy, takich jak teoria sprężystości, elektronika, technologia elektronowa, analiza tensorowa, itp.. Każdy z tych obszarów charakteryzuje się swoistą autonomią, której skutkiem jest hermetyzacja języka. Z tych powodów, prezentacja zjawiska piezorezystywności była wymagającym zadaniem. W niniejszej rozprawie w sposób systematyczny omówiono całokształt problemów związanych z modelowaniem i konstrukcją krzemowych piezorezystywnych czujników wielkości mechanicznych. Kolejność omawianych zagadnień została przedstawiona według klucza: piezorezystywność piezorezystor przyrządy piezorezystywne. Pozwoliło to przejść od zagadnień najbardziej ogólnych do coraz bardziej szczegółowych, od omawiania teorii do zaprezentowania praktyki inżynierskiej. Istotną cechą zjawiska piezorezystywności w krzemie jest jego anizotropia. Obserwuje się anizotropię rezystywności, naprężeń, a także anizotropię współczynników piezorezystywności. Anizotropię opisuje się przy pomocy tensorów. Dlatego omówiono pojęcie tensora, a także alternatywy sposób jego reprezentacji w postaci wektora lub macierzy. Znajomość tensora stała się narzędziem służącym do opisu wielkości tensorowych. Najpierw przedstawiono rezystywność. Następnie omówiono naprężenie w szerszym kontekście teorii sprężystości, a więc także odkształcenie, prawo Hooke a wiążące te tensory oraz równania teorii sprężystości. W sposób możliwie intuicyjny przedstawiono także istotę metody elementu skończonego, pokazując na czym polega różnica między mocnym, a słabym sformułowaniem problemu rozwiązania równań teorii sprężystości. To wszystko pozwoliło całościowo zaprezentować problemy modelowania i konstrukcji krzemowych przyrządów piezorezystywnych od teorii przez model piezorezystora, aż po przykłady czujników piezorezystywnych. W szczególności, w przedstawionej rozprawie zawarto pewne wyniki, które dotychczas w literaturze przedmiotu nie były Pisząc niniejszą rozprawę autor doświadczył tych trudności i starał się je pokonać, próbując przedstawić problemy jak najprościej, unikając przy tym ich banalizacji. 5

prezentowane, albo były prezentowane w innym ujęciu. Zdaniem autora wyniki te są na tyle istotne, że wymagają one osobnego podkreślenia: Składanie transformacji: Transformacja składowych tensorów przy zmianie układu odniesienia nie jest problemem nowym. W literaturze m.in. za [kanda8] przedstawiano w układzie biegunowym wybrane współczynniki piezorezystywności dla różnych kierunków na płaszczyźnie (). Przedstawione w niniejszej rozprawie wyprowadzenie macierzy transformacji dla składowych tensora w układach odniesienia na typowych dla mikroelektroniki i mikrosystemów płaszczyznach (), () oraz () jest wyprowadzeniem oryginalnym i wcześniej nie publikowanym. Umożliwia ono prześledzenie oraz zrozumienie tych transformacji. Praktycznym skutkiem tego wyprowadzenia jest dotychczas również niepublikowane przedstawienie w układzie kartezjańskim rozkładów wszystkich współczynników piezorezystywności dla krzemu na wspomnianych wcześniej płaszczyznach. Dalszą konsekwencją tych wyników jest możliwość dokonywania podobnej analizy dla dowolnych tensorów materii (np. dla tensora sztywności lub elastyczności). Analiza zjawisk równoważnych zjawisku piezorezystywności: Ze względu na relację między rezystywnością, a przewodnością oraz ze względu na prawo Hooke a można rozważać nie tylko zjawisko piezorezystywności, ale także zjawiska równoważne takie jak elastorezystywność, piezokonduktywność oraz elastokonduktywność. Każde z przedstawionych zjawisk jest opisywane przez odpowiedni tensor. Dotychczas w literaturze można było znaleźć omówienie tylko niektórych z tych zjawisk oraz ich wzajemnych relacji. Ponieważ w różnych sytuacjach różne zjawiska mogą być wykorzystywane, w niniejszej rozprawie przedstawiono każde z nich zarówno w zapisie tensorowym jak i macierzowym, a także w sposób systematyczny omówiono wzajemne relacje między nimi. Warunki konieczne do budowy poprawnego fizycznego modelu zjawiska piezorezystywności: W zjawisku piezorezystywności (elastorezystywności) obserwuje się superpozycję wpływu składowych normalnych oraz ścinających naprężenia (odkształcenia) na zmianę rezystywności [bir]. W krzemie wpływ ten jest różny dla różnych typów warstw rezystancyjnych. Ponieważ znane próby budowy modelu piezorezystywności dla krzemu często nie uwzględniają wpływu 6

składowych ścinających naprężenia (odkształcenia), dlatego dla warstw rezystancyjnych typu P otrzymuje się niezadowalające fizyczne modele zjawiska piezorezystywności [hannay, gopel, mason]. W niniejszej rozprawie przedyskutowano ilościowy wpływ różnych składowych naprężenia (odkształcenia) na zjawisko piezorezystywności. Otrzymane wyniki potwierdziły konieczność uwzględniania efektów pochodzących od składowych ścinających szczególnie przy budowie modelu zjawiska piezorezystywności dla krzemu typu P. Analiza kształtów trawionych obszarów w krzemie: Znanych jest wiele prac dotyczących modelowania mokrego anizotropowego trawienia krzemu [gosalvez, buser, zhu, sequin, sato, zielke, than, zubel]. W niniejszej pracy, w oparciu o reguły geometryczne stosując elementarne operacje iloczynu skalarnego i wektorowego dwóch wektorów przedstawiono analizę kształtów wytrawianych obszarów w krzemie, z uwzględnieniem kątów między płaszczyznami oraz kierunków krawędzi trawionych obszarów. Analiza ta pozwala wyciągać pewne wnioski dotyczące możliwości otrzymywania określonych kształtów obszarów aktywnych, a więc także rozkładów naprężeń w tych obszarach. W konsekwencji ma ona znaczenie przy wyborze konfiguracji piezorezystorów. Wybór optymalnej konfiguracji piezorezystora: Projektowanie piezorezystora powinno uwzględniać anizotropię współczynników piezorezystywności oraz anizotropię naprężenia. Dążąc do maksymalnej czułości należy tak dobrać położenie rezystora, aby iloczyn odpowiedniej składowej naprężenia i odpowiedniej składowej tensora piezorezystywności był maksymalny. Przykłady doboru konfiguracji piezorezystora są przedstawione np. w [nova]. W niniejszej rozprawie przedstawiono oryginalną analizę umożliwiającą dobór optymalnej konfiguracji piezorezystora. W analizie tej w sposób pełny uwzględniono wszystkie czynniki mające wpływ na czułość przyrządu. Oryginalna autorska metoda identyfikacji współczynników piezorezystywności: Wartości składowych tensora piezorezystywności dla krzemu jednorodnie domieszkowanego podał Smith w roku 954 [Smith54]. Od tamtej pory współczynniki te są powszechnie wykorzystywane do projektowania przyrządów piezorezystywnych. Z drugiej strony, w praktyce wykorzystuje się Przedstawiona analiza zasadniczo jest oczywista. Mimo tego (a może dlatego) podobnej analizy, autor w literaturze dotychczas nie znalazł. 7

rezystory dyfuzyjne. Ich parametry z pewnością są różne od parametrów rezystorów jednorodnie domieszkowanych. Dlatego, w celu strojenia modelu piezorezystywności do realnego procesu technologicznego należy identyfikować współczynniki piezorezystywności. W literaturze przedstawiana była metoda identyfikacji wykorzystująca strukturę próbną w postaci belki z piezorezystorami [yamada,matsuda9,matsuda9]. W niniejszej rozprawie przedstawiono autorską metodę identyfikacji ze strukturą próbną w postaci czujnika ciśnienia z płaską membraną. Analiza pokazała, że przedstawiona tu metoda ma znakomite własności numeryczne. Jest to metoda bardziej elegancka i spójna niż metoda przedstawiona w [yamada,matsuda9,matsuda9]. Z drugiej strony ze względu na osiągane rozkłady naprężeń struktura próbna w postaci czujnika z membraną ma również istotnie lepsze własności niż struktura próbna w postaci belki. Autor ma nadzieję, że przedstawiona praca w sposób rzetelny, systematyczny i przystępny przybliża podstawowe problemy modelowania i konstrukcji krzemowych piezorezystywnych czujników wielkości mechanicznych, wypełniając przy okazji lukę istniejącą na rynku opracowań książkowych dotyczących omawianych problemów. 8

DODATEK Dodatek uzupełnia lub rozszerza treść poprzednich rozdziałów. Zawiera on przede wszystkim definicje wybranych pojęć wykorzystywanych w pracy, a także pewne uzupełniające informacje, pozwalające na uwzględnienie omawianych w rozprawie problemów w szerszym kontekście. Definicja normy W wielu dziedzinach istotne znaczenie ma pojęcie długości, albo ogólniej normy. Pewna przestrzeń nazywa się przestrzenią unormowaną, jeśli każdemu elementowi tej przestrzeni odpowiada nieujemna liczba rzeczywista x, zwana normą. Norma spełnia następujące aksjomaty [krejn]:. x = wtedy i tylko wtedy, gdy x=;. x = x ;. x+y x + y (nierówność trójkąta). Norma może być zdefiniowana różnie. Najbardziej oczywistą interpretację ma norma Euklidesowa, która w przypadku wektora jest jego długością. Jeżeli w przestrzeni - wymiarowej rozważa się wektor x=(x,x,x ), to Euklidesowa norma x tego wektor dana jest wzorem: Iloczyn skalarny x i i x. (D.) Do badania liniowej zależności lub ortogonalności dwóch elementów przestrzeni liniowej można wykorzystać iloczyn skalarny. Jeżeli x i y są pewnymi elementami tej przestrzeni, to ich iloczyn skalarny (x,y) spełnia następujące aksjomaty [krejn]:. (x,y)=(y,x);. (x +x,y)=(x,y)+(x,y);. (x,y)= (x,y) dla dowolnej liczby rzeczywistej; 4. (x,x), przy czym (x,x)= dla x=; Pomiędzy normą, a iloczynem skalarnym istnieje zależność: ( x, x) x. (D.) Ortogonalność dwóch wektorów oznacza ich prostopadłość. 9

Iloczyn skalarny może być wykorzystywany do znalezienia kąta pomiędzy dwoma wektorami. W przestrzeni trójwymiarowej iloczyn skalarny wektora a=(a,a,a ) i wektora b=(b,b,b ) jest równy :, b a a i b i.. (D.) i Jednocześnie iloczyn skalarny wektorów można przedstawić w następujący sposób: a, b a b a b cos( a, b) i i i,. (D.4) gdzie symbol oznacza normę euklidesową (długość wektora), zaś cos( a, b) jest cosinusem kąta między obydwoma wektorami. Przekształcając wzór (D.4) otrzymuje się: a, b cos( a, b). (D.5) a b Stąd, kąt między wektorami liczy się korzystając z funkcji arcuscosinus: Iloczyn wektorowy a, b ( a, b) arccos. (D.6) a b W celu znalezienia wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów można wykorzystać ich iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy wektorów a i b ma postać: gdzie i j k a b det a a a, (D.7) b b b i, j, k są wersorami, zaś a i i b i są składowymi wektorów a i b. Przekształcając, składowe wektora wynikowego można przedstawić jako: Wskaźniki Millera a b ( a b a b, a b a b a b a b. (D.8), Orientacja płaszczyzny jest określona przez wskaźniki Millera, które reprezentują wektor normalny do tej płaszczyzny. Sposób określania wskaźników Millera można pokazać przy pomocy rysunku. Na Rys. D. płaszczyzna przecina każdą z osi układu Czasami stosuje się inne oznaczenie iloczynu skalarnego: ( a, b) a b.

współrzędnych w jednym punkcie. Oś x przecinana jest w odległości l od środka układu współrzędnych. Osie x i x odpowiednio w odległości m i n. Wektor N o współrzędnych zapisanych w następujący sposób: N,, l m n. (D.9) jest wektorem normalnym do tej płaszczyzny i jednoznacznie ją definiuje (Rys.D.). Każdy wektor równoległy do niego także tę płaszczyznę jednoznacznie definiuje. Dlatego składowe wektora w (D.9) normalizuje się do postaci z całkowitymi współrzędnymi, mnożąc je wszystkie przez najmniejszą stałą taką, aby po przemnożeniu wszystkie składniki były liczbami całkowitymi. Rys. D.. Płaszczyzna jest jednoznacznie zdefiniowana przez wektor normalny W celu opisu płaszczyzn, kierunków i osi używa się następującej notacji [wang,kelly]: (hkl) - Oznaczenie płaszczyzny krystalograficznej; {hkl} - Oznaczenie płaszczyzn równoważnych ze względu na symetrię. Są to płaszczyzny tego samego typu. Wszystkie płaszczyzny (), (), () są typu {}; [hkl] - Oznaczenie kierunków krystalograficznych;

<hkl> - Oznaczenie kierunków równoważnych ze względu na symetrię. Są to kierunki tego samego typu. Rys. D.. Orientacja płaszczyzn krystalograficznych w komórce krzemu. Odpowiednie płaszczyzny są zaznaczone na szaro. Współczynnik czułości dla krzemu W przyrządach tensometrycznych (rezystorach) obserwuje się zmianę rezystancji wraz z naprężeniem (na mocy prawa Hooke a z odkształceniem). Gdy zaistnieje potrzeba porównania czułości przyrządów wykonanych w różnych technikach np. czułości rezystora drutowego z piezorezystorem wtedy jako miarę czułości przyjmuje się współczynnik czułości (gage factor), który z definicji jest równy: R G R (D.) Zakłada się, że w jednorodnie domieszkowanym pręcie krzemowym poddanym rozciąganiu występują tylko rozciągające naprężenia jednoosiowe działające wzdłuż jego długości. Przy takim założeniu, względny przyrost rezystancji tego pręta wynosi: R L L R Podstawiając do (D.) do (D.) otrzymuje się: (D.) G L L (D.) Z prawa Hooke a, naprężenie jest proporcjonalne do odkształcenia: E. (D.) Stąd, współczynnik czułości otrzymuje się jako funkcję modułu Younga: G E (D.4) L