Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki Transformacje Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki ul. Słoneczna 54 10-561 Olsztyn Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 1
Transformacje Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresemhttp://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 2
Zastosowania przekształceń Powtarzajace się obiekty (diabelski młyn) Animacja Renderowanie (rendering) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 3
Î Û Ë Ð Ø ÓÒ È Ö Ô Ø Ú Ú ÓÒ Uroszczony Schemat Renderowanie ÅÓ Ð Ò ÔÐ Ý Ò ÙÖ ÁÁº½ Ì ÓÙÖ Ø Ó Ø Ö Ò Ö Ò Ô Ô Ð Ò Ò ÇÔ Ò Äº Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 4
Przekształcenia w R 2 1 Przekształcenia liniowe Definicja 1. A : R 2 R 2 jest przekształceniem liniowym, jeśli 1. α R oraz x R 2,A(αx) = αax, 2. x 1,x 2 R 2,A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 5
Przekształcenia liniowe 1.1 Przykłady 1. (x,y) ( y,x) 2. (x,y) (x,2y) 3. (x,y) (x+y,y) 4. (x,y) (x, y) 5. (x,y) ( x, y) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 6
Przekształcenia Definicja 2. T : R 2 R 2 jest przesunięciem równoległym, jeżeli u R 2, takie że x R 2,Tx = x+u, T u x = x+u. Definicja 3 (Złożenie przekształceń). A B(x) = A(Bx) Definicja 4 (Przekształcenie jednostkowe). I : x x Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 7
Przekształcenia Definicja 5 (Przekształcenie odwrotne). A 1 A = A A 1 = I Definicja 6 (Przekształcenie afiniczne). B : R 2 R 2 jest przekształceniem afinicznym, jeżelib = T u A, gdzieajest przekształceniem liniowym. Twierdzenie 7. NiechB = T u A będzie przekształceniem afinicznym. Wtedy przesunięciet u oraz przekształcenie linioweaokreślone sa jednoznacznie. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 8
Macierz przekształcenia liniowego Definicja 8. Niechi = (1,0) ij = (0,1) będzie baza przestrzenir 2, w = (x w,y w ) = x w i+y w j. NiechA : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym. Niechu = Ai = (x u,y u ) oraz v = Aj = (x v,y v ). Macierza przekształceniaajest M A = ( ) xu x v. y u y v Twierdzenie 9. M A 1 = M 1 A. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 9
¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ Obrót Ò Ó Ó Ò ¼ ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 10
Przekształcenia 2D 2 Przekształcenia Sztywne Definicja 10. PrzekształcenieA : R n R n jest sztywnym, jeżeli ono przechowuje Odległości pomiędzy punktami Katy między liniami Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 11
¼ ¼ ÁÁº Ö ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖ ÖÚ Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ò º ÙÒ Ø Przekształcenia 2D Twierdzenie 11. Każde sztywne przekształcenie liniowe, przechowujace orientację jest obrotem. Ý Ü Wniosek 12. Każde sztywne przekształcenie afiniczne, przechowujace orientację jest jednoznaczna suma przesunięcia równoległego i obrotu. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 12
Przekształcenia 2D 2.1 Przykłady sztywnych przekształceń afinicznych, przechowujacych orientację Przesunięcie równoległe Obrót (afiniczny) Ý ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ Ü ½ ¼ ¼ ½ ÙÖ ÁÁº Ò Ö Ð Þ ÖÓØ Ø ÓÒ Ê Ù º ÒØ Ö Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ù ¼ º Ì Ì Ò Ð Æ º Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 13
Przekształcenia 2D Twierdzenie 13. Każde sztywne przekształcenie afiniczne, przechowujaca orientację jest przesunięciem równoległym lub obrotem (afinicznym). Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 14
Przekształcenia 2D 3 Współrzędne jednorodne Definicja 14. Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w) R 2. Przykład (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 15
Przekształcenia 2D 4 Macierz przekształcenia afinicznego Definicja 15. NiechA = T u B będzie przekształceniem afinicznym, u = ( u1 u 2 M A = ), M B = ( ) b11 b 12. b 21 b 22 b 11 b 12 u 1 b 21 b 22 u 2. 0 0 1 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 16
Macierz przekształcenia afinicznego αb 11 αb 12 αu 1 αb 21 αb 22 αu 2 0 0 α b 11 b 12 u 1 b 21 b 22 u 2. 0 0 1 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 17
Przekształcenia 3D 5 Przekształcenia 3D 5.1 Podstawowe definicje Przekształcenie liniowe. Przekształcenie afiniczne. Współrzędne jednorodne. Macierz przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia afinicznego. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 18
Ú½ Ú Ê Ù Úµ ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Ú¾ Przekształcenia 3D Przekształcenie sztywne. Przekształcenie sztywne przechowujace orientację. Twierdzenie 16. Każde sztywne przekształcenie linowe, przechowujace orientację jest obrotem. Ú Ù ¼ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 19
Przesunięcie równoległe Przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ). Równoważne mnożeniu przez macierz 1 0 0 u 1 0 1 0 u 2 0 0 1 u 3. 0 0 0 1 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 20
Obrót Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. Równoważne mnożeniu przez macierz (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1 u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2 u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 3 3 +c 0 0 0 0 1 gdzie c = cosθ, s = sinθ., Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 21
Skalowanie α 1 0 0 0 0 α 2 0 0 0 0 α 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 symetria względem płaszczyzny 0 0 0 1 y z. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 22