LOW FREQUENCY MEASUREMENTS IN THE PRESENCE OF NOISE

Podswowe Problemy Merologii PPM 0 Usroń, 7-9 mj 00 r. POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ LOW FREQUENCY MEASUREMENTS IN THE PRESENCE OF NOISE dr inż. Eligiusz Pwłowski POLITECHNIKA LUBELSKA Wydził Elekryczny Kedr Auomyki i Merologii 0-68 LUBLIN, ul. Ndbysrzyck 38 A E-mil : elekp@elekron.pol.lublin.pl STRESZCZENIE W prcy porusz się problemykę pomiru młych częsoliwości w obecności zkłóceń. Prezenuje się podswy eoreyczne i lgorymy meod bzujących n przewrzniu wrości chwilowych sygnłu. Rozwż się lgorym wykorzysujący meodę njmniejszych kwdrów i rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor. Przedswi się rezuly esów. PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli z 9

WPROWADZENIE Klsyczn cyfrow meod pomiru częsoliwości nie zpewni odpowiedniej jkości pomirów w wielu prkycznie spoyknych syucjch, zwłszcz przy pomirch częsoliwości młych, dl sygnłów o niezby sromych zboczch, w ym również sinusoidlnych (np. częsoliwości sieciowej 50 Hz), szczególnie w obecności zkłóceń i dl sygnłów silnie zniekszłconych. Kryycznym punkem klsycznych lgorymów jes określnie chwil przejści sygnłu przez zero, n podswie kórych wyznczn jes wrość częsoliwości sygnłu. Pozosłe wrości sygnłu nie są uwzględnine w lgorymie. Częsościomierz cyfrowy zpewni młe błędy pomiru w krókim czsie jedynie dl sygnłów o sosunkowo dużej częsoliwości, njlepiej zbliżonych kszłem do przebiegów prosokąnych o sromych zboczch i przy brku zkłóceń. F Fw Ilusrcj lgorymu pomiru częsoliwości o młych wrościch PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli z 9

KLASYCZNY CZĘSTOŚCIOMIERZ CYFROWY sygnły sinus. sygnły impuls. δ gr f Σ - Tp=0.s 0 [-] Tp=s - 0 Tp=0s 0-3 { -4 0-5 0-6 0-7 0 { -8 0-9 0 fw=0mhz Okres 0 Okresów 0 Okresów 3 0 Okresów Tw=00ns 0-0 - 0 0 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 f [Hz] Cłkowiy względny błąd grniczny częsościomierz cyfrowego Błąd wzorc δ gr [-] kw f - 0-0 0-3 -4 0-5 0-6 0-7 0-8 0-9 0 Tp=s fw=0mhz Tw=00ns Okres 0 Okresów 4 0 Okresów Dopuszclny błąd grniczny pomiru Mksymlny czs pomiru = s 0-0 - 0 0 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 f [Hz] Względny błąd grniczny kwnowni częsościomierz cyfrowego przy opymlnym wykorzysywniu rybów prcy i zkresów PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 3 z 9

KLASYCZNY CZĘSTOŚCIOMIERZ CYFROWY W pomirch młych częsoliwości, mierzonych poprzez pomir okresu, dominującą rolę odgrywją błędy wnoszone przez wejściowe ukłdy formujące, do kórych nleżą: błąd δdrt wnoszony przez dryfy i szumy wewnęrzne ukłdów kszłujących sygnł wejściowy. Jes on zleżny od szybkości nrsni zboczy sygnłu wejściowego S we w punkcie przełączni ukłdu kszłującego orz od npięci dryfu Udr i jes określony wzorem: U = S T dr δ dr T we błąd δszt wnoszony przez szumy zwre w sygnle wejściowym. Ten błąd jes zleżny od szybkości nrsni zboczy sygnłu wejściowego S we w punkcie przełączni ukłdu kszłującego orz od wrości szczyowej npięci szumów U ^ sz zwrych w sygnle mierzonym, zgodnie ze wzorem : gr δ sz T Usz = ^ S T we Dl sygnłu wejściowego U we =U m sinπf, sosując prossze, lgebriczne sumownie błędów n począku i końcu czsu pomiru T p orzymmy: δ gr sz T = ^ U πu sz m Dl szumu o rozkłdzie normlnym i npięciu skuecznym U σ sz, sosując geomeryczne sumownie błędów n począku i końcu czsu pomiru T p, średniokwdrow wrość ego błędu wynosi: δ σ sz T = π U U σ sz m PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 4 z 9

Obie skłdowe błędu formowni czsu pomiru częso są rozprywne łącznie i określne jko rigger error. Prkycznie, wrość bezwzględną ego błędu szcuje się według wzoru : rigger error = U σ σ dr + Usz S we Dl częsościomierzy HP przyjmuje się ypowo npięcie σ U dr = 80-00 µvrms, σ nomis npięcie U sz powinno być określone dl psm do 500 MHz. W większości zsosowń wysrczjące jes przyjąć, że dl sygnłów sinusoidlnych, przy sosunku sygnłu do szumów większym od 40 db, błąd en nie przekrcz wrości 0.3 % PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 5 z 9

STRUKTURY UKŁADÓW DO CYFROWYCH POMIARÓW CZĘSTOTLIWOŚCI Wyświelcz F Ukłdy wejściowe Brmk N Licznik T p Generor wzorcowy F w Dzielnik częsoliwości Ukłd serowni Schem blokowy ukłdu częsościomierz cyfrowego w rybie bezpośredniego pomiru częsoliwości Wyświelcz Generor wzorcowy F w Brmk N Licznik T p F Ukłdy wejściowe Dzielnik częsoliwości Ukłd serowni Schem blokowy ukłdu częsościomierz cyfrowego w rybie pomiru okresu Wyświelcz 000000000 F Ukłdy wejściowe S&H Przewornik A / C Procesor DSP Generor wzorcowy Fw Ukłd wyzwlni T p Ukłd serowni Schem blokowy ukłdu do pomiru częsoliwości z przewrzniem próbek sygnłu PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 6 z 9

ALGORYTMY DSP W POMIARACH CZĘSTOTLIWOŚCI Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie częsoliwości widm ego sygnłu. Algorymy e relizują filry cyfrowe, kórych prmery są dosrjne do mierzonego sygnłu lub eż bdn jes odpowiedź filru o prmerch uslonych pobudzonego mierzonym sygnłem. Algorymy e nwiązują do znnych meod nlogowych kich jk: dobór prmerów filru srojonego (moski), bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem (częsościomierze logomeryczne), nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych (częsościomierz wibrcyjny), porównnie z sygnłem wzorcowym poprzez mnożenie (meody heerodynowe) lub sumownie (porównnie fzy - krzywe Lissjous ). F Fw proksymcj w dziedzinie czsu 3 3 proksymcj w dziedzinie częsoliwości ω ω PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 7 z 9

ALGORYTMY DSP W POMIARACH CZĘSTOTLIWOŚCI. Wyzncznie czsu rwni okresu sygnłu poprzez określenie liczby próbek odpowidjących jednemu okresowi n podswie zminy ich znku,. Wyzncznie czsu rwni okresu sygnłu z precyzyjniejszym wyznczeniem chwil przejści sygnłu przez poziom zerowy, sosując proksymcję liniową lub wyższego rzędu, 3. Zsosownie splou sygnłu z funkcją Wlsh i wyznczenie odchyleni częsoliwości od wrości znmionowej, 4. Wyznczenie odchyleni od częsoliwości znmionowej poprzez korelcję sygnłu z funkcjmi sinus/cosinus i określenie okresu zmienności wyliczonych współczynników korelcji, 5. Dekompozycj sygnłu n dwie skłdowe orogonlne z wykorzysniem dwóch cyfrowych filrów orogonlnych, 6. Demodulcj sygnłu n skłdowe orogonlne i wyznczenie chwilowego odchyleni od częsoliwości znmionowej n podswie szybkości przyrosu fzy sygnłu, 7. Wykorzysnie posci drugiej pochodnej funkcji sinus, 8. Opymlizcj rozwiązni równni różniczkowego drugiego rzędu poprzez minimlizcję wrości średniokwdrowej błędu, 9. Wykorzysnie włściwości lgorymu FFT, zw. efeku przecieku (FFT lekge effecs), jko mirę odchyleni mierzonej częsoliwości od wrości znmionowej przyjmuje się odpowiednio zdefiniowny współczynnik przecieku, 0. Oblicznie rnsformy FFT w oknie pomirowym o słej długości, le przemieszczjącym się wzdłuż osi czsu i wyznczenie częsoliwości sygnłu poprzez porównnie zwrości wyższych hrmonicznych w widmch wyznczonych dl różnych położeń okn pomirowego.. Zsosownie rnsformy FFT do wyznczeni prędkości obroowej wirującego wskzu npięci Częsoliwość sygnłu oblicz się w ej meodzie jko pochodną fzy wirującego wekor npięci sygnłu,. W lgorymie j.w. zsosownie dodkowo średniokwdrowej proksymcji chwilowego przebiegu fzy dl słumieni wpływu zkłóceń n wynik pomiru, 3. Zsosownie rozwinięci funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor z wykorzysniem meody njmniejszych kwdrów do wyznczeni współczynników rozwinięci. PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 8 z 9

APROKSYMACJA W DZIEDZINIE CZASU F Sygnł ciągły nieogrniczony w czsie Tp Sygnł ciągły ogrniczony w czsie Fw Sygnł nieciągły ogrniczony w czsie Tp -biow proksymcj prosokąem proksymcj wielominem przejści przez zero Tp PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 9 z 9

APROKSYMACJA W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI F Sygnł ciągły nieogrniczony w czsie ω ω Tp Sygnł ciągły ogrniczony w czsie ω Fw Sygnł nieciągły ogrniczony w czsie ω Tp proksymcj w dziedzinie częsoliwości ω ω PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 0 z 9

OPIS METODY Meod wykorzysując rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor [], [3] umożliwi pomir częsoliwości sygnłu wokół wrości znmionowej. Współczynniki rozwinięci w szereg Tylor wokół pewnej wybrnej częsoliwości znmionowej ω n wyznczne są meodą njmniejszych kwdrów. Przyjmijmy, że przebieg npięci jes wyrżony równniem: gdzie: A ω ψ - mpliud npięci, - pulscj, - czs, - fz począkow npięci. Sosując znną ożsmość rygonomeryczną: ( ) = sin( ω + ψ ) u A, () ( ω + ψ ) = ψ ( ω ) + ψ ( ω ) sin cos sin sin cos równnie () możn przedswić w posci : ( ) = cos sin( ) + sin cos( ) u A ψ ω A ψ ω. (3) Funkcje sin(ω ) i cos(ω ) możn rozwinąć w szereg Tylor wokół wrości częsoliwości znmionowej ω n : sin m = + m! ( ) ( ) ( ) ω ω ω sin( ω ) m m n n m= 0 n+ n ( ) ( )! ( ω ω ) n+ cos ( ω ) n n (4) n= 0 n + cos m = + m! ( ) ( ) ( ) ω ω ω cos( ω ) m m n n m= 0 n+ n+ ( ) ( )! ( ω ω ) n+ sin ( ω ) n n (5) n= 0 n + () PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli z 9

Aby prkycznie zrelizowć meodę pomirową nleży ogrniczyć szereg do kilku począkowych wyrzów. Po podswieniu (4) i (5) do (3) i uwzględnijąc dl przykłdu sześć pierwszych skłdników szeregu M=6 orz przyjmując, że dnych jes N wrości próbek npięci u, u,...,u N zmierzonych w równych odsępch czsu T P możn, dokonując sosownych przekszłceń, zpisć rozwinięcie w szereg Tylor w posci (6), pmięjąc, że zmienną w równniu jes częsoliwość ω, czs = k T p rkowny jes jko prmer: gdzie: u = + + + + + k k k k k 3 3 k 4 4 k 5 5 k 6 6, (6) =,... N = A cosψ = ( ) A ω ω cos ψ n = A sinψ = ( ) A 3 ω ω sin ψ 4 n = ω + ωω n ω n A cosψ 5 = ω + ωω n + ω n A sinψ 6 = sin( ω kt ) kt ( kt ) k = p cos ω n p k n p = cos( ω kt ) kt ( kt ) k 4 = p sin ω n p k 3 n p ( ) = sin( ω ) ( ) ( ) k 6 ktp nktp kt kt k 5 p n p = cos ω. Pmięjąc, że poszukujemy kiej wrości ω, by dl dnych wrości i u() spełniony był ukłd równń (6), możemy przedswić go w zpisie mcierzowym: gdzie: U = A X (7) PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli z 9

U = u u. u N A =. N. N 3 3. N 3 4 4. N 4 5 5. N 5 6 6. N 6 X = W przypdku, gdy A jes mcierzą kwdrową (N=6) zdnie poleg n klsycznym rozwiązniu ukłdu sześciu równń liniowych z sześciom niewidomymi,,..., 6. Rozwiąznie o nie snowi problemu, gdyż wszyskie współczynniki są jednozncznie określone poprzez wybrną częsoliwość wzorcową ω n, przyjęy w pomirch okres próbkowni T p orz numer kolejny próbki k, wrości npięć u, u,..., u k orzymujemy nomis z pomirów. Jeśli jednk dysponujemy większą liczbą próbek (N>6) o możn uzyskć wyższą dokłdność pomiru, poniewż ukłd równń (7) sje się ndokreślony, mcierz współczynników może być wyznczon meodą njmniejszych kwdrów, dzięki czemu meod sje się mniej wrżliw n przypdkowe zkłóceni. Rozwiąznie ndokreślonego ukłdu równń (7) jes równowżne zgdnieniu proksymcji w sensie njmniejszych kwdrów i sprowdz się do minimlizcji normy jednokolumnowej mcierzy residuów R : 3 4 5 6 R = i r i, gdzie: R=AX-U (8) Rozwiązując ukłd równń (7) sosuje się rchunek mcierzowy: X [ ] T T A A A U =. (9) Z obliczonych wrości.. 6 możn wyznczyć odchylenie częsoliwości Ω: lub ( ω ω ) Ω = = n ( ) ω ω n A cosψ 4 = = A cos ψ (0) 3 Ω = 4 ( ω ω n ) = + + 3 () = n ω + Ω ω () PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 3 z 9

BADANIA SYMULACYJNE METODY s r wprowdzenie prm erów lgorym u w s, s wprowdzenie prm erów sygnłu m ierzonego m, h 3, h 5, h 7, s zu m uswienie czę soliwości próbkowni fs=400, 600, 800 Hz uswienie częsoliwości sygnłu m ierzonego obliczenie m cierzy współczynników A obliczenie wrości próbek npię ci sygnłu m ierzonego rozw ią z nie rów nn i A X = U o b licze n ie w rości czę so liw ości wyznczenie błę du pom iru czę soliwości T A K kole jn czę so liw ość sygnłu? N IE T A K kole jn czę so liw ość próbkowni? N IE sporządzenie wykresu błę du pom iru częsoliwości so p Algorym dziłni M-pliku obliczjącego błąd bezwzględny pomiru częsoliwości dl różnych częsoliwości próbkowni fs PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 4 z 9

BADANIA SYMULACYJNE METODY Prmery bdń Zsosowne nrzędzie: pkie MATLAB. Zkres bdń: zleżność błędu bezwzględnego pomiru częsoliwości lgorymu w zleżności od wrości mierzonej częsoliwości orz rodzju i sopni zniekszłceni lub zkłóceni sygnłu. Przedził częsoliwości sygnłu podczs bdń: od 0 do 80 Hz Wrości prmerów lgorymu pomirowego: - częsoliwości próbkowni sygnłu fs=400, 600, 800 Hz, - szerokości okn pomirowego ws=,, 3 (wyrżonej w okresch częsoliwości znmionowej ω n =50 Hz) - liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=4, 6, 8. Symulowne przebiegi wzorcowe: od czysego przebiegu sinusoidlnego poprzez przebieg sinusoidlny z wprowdzonym szumem n poziomie % mpliudy sygnłu, ż do przebiegu sinusoidlnego zwierjącego 3, 5 i 7 hrmoniczną n poziomch odpowiednio 3%, % i % mpliudy sygnłu orz szum flukucyjny n poziomie % mpliudy sygnłu. Wyniki bdń. Algorym pomiru częsoliwości jes njmniej wrżliwy n zminy wrości częsoliwości próbkowni sygnłu mierzonego. Jko opymlną wrość częsoliwości próbkowni przyjęo fs=600 Hz.. Dokłdność rozwinięci funkcji sinus, wyrżon liczbą wyrzów s szeregu Tylor m zncznie większy wpływ n dziłnie lgorymu. Zwiększenie wrości z s=6 do s=8 wyrzów nie poprwi isonie dokłdności pomiru, lecz zdecydownie zwiększ czs przewrzni dnych pomirowych. Nomis zmniejszenie liczby wyrzów szeregu do s=4 prowdzi do ego, że zleżność błędu pomiru od częsoliwości rci n liniowości. Zyskuje się jednk nieco n szybkości pomiru orz dokłdności pomiru w ooczeniu częsoliwości 50 Hz w przypdku sygnłów zkłóconych. W związku z ym opymlną wrością prmeru jes s=6. 3. Osnim, jk wykzły bdni, njwżniejszym spośród rzech kryycznych prmerów opisywnej meody jes szerokość zsosownego okn pomirowego ws. Przy szerokości okn ws=, zn. równej jednemu okresowi częsoliwości znmionowej, meod może być sosown jedynie w wypdku pomiru przebiegów idelnie sinusoidlnych. Wysępownie nwe niewielkich zkłóceń w sygnle mierzonym prowdzi bowiem, w ym przypdku, do niesbilnej prcy lgorymu. Okno pomirowe o szerokości ws= jes rozwiązniem opymlnym dl przebiegów niezniekszłconych. W ym przypdku pomir jes w mirę szybki i obrczony młymi błędmi. Zwiększenie szerokości okn pomirowego do wrości ws= prowdzi do pogorszeni się liniowości zleżności błędu pomiru od częsoliwości. Zwiększ się nomis dokłdność pomiru częsoliwości w przypdku przebiegów PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 5 z 9

zkłóconych wyższymi hrmonicznymi orz szumem flukucyjnym, co m związek z zsosowniem w meodzie proksymcji średniokwdrowej. BADANIA SYMULACYJNE METODY Błędy pomiru w zleżności od szerokości zkresu pomirowego dl opymlnych prmerów meody: fs=600hz, s=6, ws= f min f m δ f f l.p. Hz Hz % Hz 38 64 0, 0,05 43 58 0,0 0,005 3 46 54 0,00 0,0005 Błąd pomiru częsoliwości w rybie symulcji: częsoliwość próbkowni fs=600hz, liczb wyrzów rozwinięci w szereg Tylor s=6, szerokość okn pomirowego ws=,,3 PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 6 z 9

BADANIA EKSPERYMENTALNE Bdni poległy n wyznczeniu bezwzględnego błędu pomiru dl częsoliwości z zkresu od 0 do 80 Hz, z krokiem równym Hz. Dl kżdej z częsoliwości wykonywno 0 pomirów, co 00 ms. Pomiry zrelizowno dl opymlnych wrości prmerów lgorymu uslonych podczs bdń symulcyjnych: częsoliwości próbkowni sygnłu mierzonego fs=600 Hz, szerokości okn pomirowego ws= orz liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=6. Z orzymnych dnych pomirowych dl kżdego punku pomirowego obliczono wrość średnią częsoliwości f śr orz odchylenie sndrdowe σ p. Uzyskne wyniki przedswiono w posci wykresu wrości średnich z zznczonym dl kżdego punku pomirowego przedziłem 3σ p. generor funkcyjny HP 330A kr pomirow AT-MIO-6E-0 ISA kompuer klsy IBM PC Schem blokowy ukłdu do bdń eksperymenlnych Błąd bezwzględny F [Hz] 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 40-0,0 4 44 46 48 50 5 54 56 58 60-0,04-0,06-0,08-0,0 Częsoliwość mierzon F [Hz] Błąd bezwzględny orz niepewność rozszerzon (3σ) pomiru częsoliwości w ukłdzie rzeczywisym: fs=600hz, s=6, ws= PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 7 z 9

PODSUMOWANIE. Klsyczn cyfrow meod pomiru częsoliwości nie zpewni odpowiedniej jkości pomirów w wielu prkycznie spoyknych syucjch: dl częsoliwości młych, sygnłów o niezby sromych zboczch (np. częsoliwości sieciowej 50 Hz), szczególnie w obecności zkłóceń i dl sygnłów silnie zniekszłconych.. Kryycznym punkem klsycznych lgorymów jes określnie chwil przejści sygnłu przez zero, n podswie kórych wyznczn jes wrość częsoliwości sygnłu. Pozosłe wrości sygnłu nie są uwzględnine w lgorymie. 3. Zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości nwiązuje w swej idei do znnych meod nlogowych: dobór prmerów filru srojonego, bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem, nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych, porównnie z sygnłem wzorcowym. 4. Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie częsoliwości widm ego sygnłu. 5. Przedswion meod pozwl wyznczyć częsoliwość w czsie równym kilku okresom sygnłu mierzonego. Z przeprowdzonych bdń symulcyjnych wynik, że włściwości meody głównie zleżą od szerokości okn pomirowego, liczby wyrzów rozwinięci w szereg Tylor orz od częsoliwości próbkowni. 6. Z opymlne wrości prmerów lgorymu uslone podczs bdń symulcyjnych możn przyjąć: częsoliwość próbkowni sygnłu mierzonego fs=600 Hz, szerokości okn pomirowego ws= orz liczb wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szeregu Tylor s=6. Dl k dobrnych prmerów w ooczeniu częsoliwości znmionowej f n =50Hz błąd pomiru częsoliwości uzyskny podczs symulcji nie przekrcz 0,00%, dl szerszego zkresu pomirowego od 43Hz do 58Hz jes mniejszy od 0,0%. 7. Uzyskne eksperymenlnie wyniki pomirów pozwlją nomis swierdzić, że w przedzile częsoliwości od 40 do 60 Hz błąd pojedynczego pomiru nie przekrcz 0, % (0,05 Hz), błąd wrości średniej z 0 pomirów jes mniejszy od 0,04 % (0,0 Hz). 8. Precyzyjniejsze porównnie wyników symulcji z bdnimi eksperymenlnymi uwidczni wpływ niekorzysnych czynników wnoszonych przez sprzę pomirowy (błąd kwnowni przewornik A/C orz błędy ukłdów nlogowych). PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 8 z 9

SUMMARY. This pper presens some specs of low frequency mesuremens in he presence of noise. The e begins wih discussion on he fundmenls of he convenionl elecronic couner nd is pplicion for low frequency mesuremens.. The min problem which couners hve in low frequency mesuremens sems he fc h heir inpu circuis re opimized for high frequency couning, i.e. for deecing zero crossing, bu precisely define he rigger poin on slowly rising signls is very difficul. Ne, he heoreicl bsis nd severl mesuremens lgorihms for frequency mesuremens bsed on smpled d of volge signl re presened. 3. One proposed mehod bsed on he les error squres curve fiing echnique wih Tylor series is discussed. Some es resuls re presened in he pper oo. 4. Smpled d window size, smpling re, ime reference nd runcion of he Tylor series re criicl prmeers of he presened lgorihm. 5. For ech d window size, errors in he mesured frequency increse wih he deviion of he signl frequency from he nominl vlue increse. 6. For consn window size, he frequency mesuremen ccurcy depends significnly on he smpling re. If more erms of he Tylor series epnsion re used o pproime he sine nd cosine erms, mesuremens off-nominl frequencies would be more ccure. 7. In conclusion, mehod for ccure nd fs deerminion of he low frequency in he presence of noise hs been presened in his pper. This mehod is useful in designing digil meers nd relys needed for fs mesuremen of power sysem prmeers over lrge frequency rnge. PPM 0, Usroń, 7-9 mj 00 r. Eligiusz Pwłowski: Pomiry młych częsoliwości... foli 9 z 9