Zmienne losowe zadania na sprawdzian

Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0 12,5 13,5 11,5 13,0 10,5 14,5 14,0 12,5 13,5 14,0 13,0 15,0 13,5 18,0 16,0 10,0 13,0 12,5 12,0 Zawartość sosu: 19,7 23,1 23,2 18,7 12,3 20,1 24,5 21,9 21,9 10,5 25,5 24,2 15,7 25,1 26,3 19,7 21,9 23,5 26,8 30,1 32,2 27,7 19,7 23,0 1. Oblicz średnią i wariancję dla powyższych próbek. 2. Pogrupuj dane w schemat łodyga i liście. Wyznacz medianę, kwartyle i dominantę. 3. Pogrupuj dane w klasy szerokości 2 dla zawartości suchej masy i szerokości 4 dla zawartości sosu. Oblicz częstości, częstości względne i częstości względne skumulowane. Narysuj histogramy. 4. Oblicz średnią i wariancję dla danych pogrupowanych w klasy. Zad. 2. Otrzymano następujące dane o miesięcznych średnich płacach 31 pracowników umysłowych Działu Ekonomicznego w przedsiębiorstwie X: 1800 2220 2601 2750 2200 1810 2300 2600 2600 2500 1950 2304 2610 2650 2150 2002 2310 2650 2710 2000 2500 2700 1950 2100 2510 2750 1970 2020 2500 2701 2100 1. Oblicz średnią i wariancję dla powyższych próbek. 2. Pogrupuj dane w schemat łodyga i liście. Wyznacz medianę, kwartyle i dominantę. 3. Pogrupuj dane w klasy szerokości 100. Narysuj histogram. Co można powiedzieć o rozkładzie tej zmiennej? Czy posługiwanie się średnią dla opisu próbki jest tu właściwe? Jakie parametry będą lepiej charakteryzowały ten rozkład? Zad. 3. Import i eksport towarów przemysłu spożywczego w latach 1960, 1965 i 1970 przedstawiał się następująco: Rok Import w mln zł Eksport w mln zł 1960 513,4 855,9 1965 625,3 1 339,6 1970 799,6 1 393,4 Przedstaw dane graficznie: a) w formie wykresu słupkowego dla importu i eksportu oddzielnie, b) w formie wykresu bilansowego, zaznaczając różnicę pomiędzy eksportem i importem. Zad. 4. Za pomocą wykresu obrazkowego przedstaw liczbę dzieci nie realizujących obowiązku szkolnego z powodu zbyt dużej odległości do szkoły w podanych niżej regionach: Bydgoskie 6 Kieleckie 2 Krakowskie 6 Lubelskie 5 Rzeszowskie 12 Szczecińskie 3 Zielonogórskie 10 Zad. 5. Wśród 580 wylosowanych rodzin mających po 8 dzieci liczba chłopców jest następująca: 1

Liczba chłopców 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Liczba rodzin 10 30 60 100 150 110 50 40 30 1. Przy założeniu, że rozkład częstości występowania chłopców jest dwumianowy, wyznacz parametry tego rozkładu. 2. Wyznacz liczebności teoretyczne. 3. Wyznacz prawdopodobieństwo teoretyczne, że w losowo wybranej rodzinie jest od 2 do 4 (włącznie) chłopców. Zad. 6. W 34 próbach liczących po 5 sztuk pewnego wyrobu stwierdzono następujące ilości sztuk złych: 1. Obliczyć częstości względne. Liczba sztuk złych w próbie 0 1 2 3 4 5 Liczba prób 1 2 8 12 10 1 2. Zakładając, że rozkład wadliwości wyrobów jest dwumianowy, wyznaczyć prawdopodobieństwa teoretyczne. 3. Wykreślić rozkłady oraz dystrybuanty empiryczne i teoretyczne. 4. Na podstawie dystrybuanty rozkładu teoretycznego obliczyć: a) prawdopodobieństwo wystąpienia co najwyżej 2 sztuk wadliwych, b) prawdopodobieństwo wystąpienia od 2 (włącznie) do 4 (wyłącznie) wyrobów wadliwych. Zad. 7. W zakładach przemysłu metalowego liczba wypadków przy pracy w ciągu 100 dni kształtowała się następująco: Liczba wypadków 0 1 2 3 4 5 Liczba dni 32 46 10 6 4 2 1. Zakładając, że rozkład liczby wypadków jest rozkładem Poissona, obliczyć liczebności teoretyczne. Wykreślić rozkład teoretyczny i empiryczny. 2. Wyznacz kwartyle tego rozkładu. 3. Wykorzystując dystrybuantę teoretyczną, znaleźć: a) prawdopodobieństwo, że w danym dniu wydarzą się co najwyżej dwa wypadki przy parcy, b) prawdopodobieństwo, że podczas zmiany roboczej wydarzy się od 1 do 3 wypadków. Zad. 8. W ciągu półrocznego okresu mierzono 80 robotnikom 12 razy ciśnienie krwi, otrzymując następujące dane: Liczba odchyleń od normy 0 1 2 3 4 5 Liczba robotników 24 28 15 8 3 2 Zakładając, że dany rozkład jest rozkładem Poissona wyznacz liczebności teoretyczne, narysuj dystrybuanty empiryczną i teoretyczną oraz oblicz prawdopodobieństwo, że liczba odchyleń od normy będzie większa niż 4. Wyznacz kwartyle tego rozkładu. Zad. 9. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości 0 dla x < 0, f(x) = sin x dla 0 x π 2, 0 dla x > π 2. 2

1. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X. Wykreśl funkcję gęstości i dystrybuantę. 2. Oblicz P ( π 6 x π 3 ). 3. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, jej kwartyle oraz dominantę. Zad. 10. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości 0 dla x < 0, f(x) = 0, 003x 2 dla 0 x c, 0 dla x > c. 1. Oblicz c oraz wyznacz dystrybuantę zmiennej X. 2. Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, kwartyle oraz dominantę zmiennej X. Zad. 11. Czas oczekiwania na Fiata 125-P od momentu wpłaty całej należności trwa od 6 do 12 miesięcy, przy czym prawdopodobieństwo otrzymania wozu w tym przedziale jest jednakowe. 1. Wyznaczyć funkcję gęstości oraz dystrybuantę rozkładu czasu oczekiwania. 2. Oblicz i zinterpretuj: średni czas oczekiwania, odchylenie standardowe, kwartyle. 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba oczekująca otrzyma samochód w ósmym miesiącu od chwili wpłaty całej należności. Zad. 12. Czas oczekiwania na rozmowę z abonentem miasta Z trwa od 0 do 20 minut ze stałym prawdopodobieństwem uzyskania połączenia. Obliczyć: 1. średni czas oczekiwania na połączenie, 2. prawdopodobieństwo, że uzyskamy połączenie pomiędzy 5 i 10 minutą oczekiwania. Zad. 13. Waga mężczyzn przyjętych do służby wojskowej ma rozkład: Waga w kg 50 55 55 60 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90 Liczba mężczyzn 1 4 8 15 11 6 3 2 1. Zakładając, że waga mężczyzn ma rozkład normalny, obliczyć liczebności teoretyczne. 2. Wyznacz kwartyle tego rozkładu. Zad. 14. Na wydziale montażowym zakładu mechanicznego robotnicy przykręcają śruby. Pracochłonność tej czynności dla poszczególnych robotników jest następująca: Czas przykręcania (w s) 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Liczba robotników 5 18 23 16 4 2 1. Zakładając, że czas przykręcania śruby ma rozkład normalny, obliczyć liczebności teoretyczne. 2. Wyznaczyć kwartyle rozkładu. Zad. 15. Zakład zatrudnia 500 kobiet. Średni wiek kobiet wynosi 39 lat, a odchylenie standardowe 15,2 lat. Obliczyć, ilu kobietom pozostało 5 i mniej lat do emerytury (wiek emerytalny kobiet 60 lat). Zakłada się, że rozkład wieku kobiet jest normalny. Zad. 16. Odległość miejsca wykrycia ławicy ryb jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(20, 4). Jaka powinna być odległość pomiędzy dwoma statkami rybackimi, aby prawdopodobieństwo wykrycia ławicy płynącej pomiędzy nimi było równe 0,5, jeżeli odległości wykrycia dla obu statków są niezależne. 3

Zad. 17. Wiek statków floty Szwedzkiej w roku 1969 przedstawia tablica Wiek w latach 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Frakcja statków 0,417 0,311 0,134 0,059 0,046 0,033 Zakładając, że wiek statków ma rozkład wykładniczy wyznaczyć frakcje teoretyczne. UWAGA: Rozkład wykładniczy ma gęstość f(x) = λe λx 1I [0,+ ). Jego dystrybuanta wyraża się więc wzorem F (t) = 1 e λt dla t 0. Wartości dystrybuanty obliczamy odczytując najpierw wartość e λt z tablic. Zad. 18. Empiryczny rozkład czasu świecenia żarówek (w miesiącach) jest następujący: Czas świecenia 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 Frakcja żarówek 0,37 0,35 0,23 0,04 0,01 Zakładając, że rozkład czasu świecenia jest wykładniczy, wyznaczyć frakcje teoretyczne. Zad. 19. Rozkład prawdopodobieństwa ilości kontroli w czasie zmiany roboczej (X) i liczy wyrobów wadliwych wyprodukowanych przez zespół robotników w ciągu zmiany (Y ) kształtuje się następująco: 1. Wyznacz rozkłady zmiennych X i Y. Y, X 0 1 2 3 0 0,02 0 0,10 0,14 1 0,05 0,03 0,08 0,06 2 0,09 0,13 0,03 0 3 0,19 0,08 0 0 2. Oblicz wartość oczekiwaną oraz współczynnik korelacji dla wektora (X, Y ). Czy zmienne X, Y są niezależne? 3. Oblicz P (X = 2, Y 1). 4. Wyznacz rozkład zmiennej X + Y. Zad. 20. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład podany w tabelce: Y, X 3 3,5 4 4,5 5 3 0,16 0 0 0 0 3,5 0,12 0,04 0 0 0 4 0,08 0,08 0,08 0 0 4,5 0 0,12 0,06 0,05 0,04 5 0 0 0,01 0,08 0,08 gdzie X jest średnią oceną w sesji egzaminacyjnej w I semestrze dla losowo wybranego studenta, zaś Y - średnią oceną tego studenta w VI semestrze. 1. Wyznacz rozkłady brzegowe. 2. Oblicz wartość oczekiwaną i współczynnik korelacji tego wektora. 3. Oblicz P (X 3, 5, Y 4). 4. Wyznacz rozkład zmiennej Y X. Zad. 21. Zmienna losowa (X, Y ) ma następujący rozkład: 4

1. Wyznacz rozkłady brzegowe. Y, X 1 2 3 0 0,14 0,06 0 1 0,07 0,14 0,17 2 0 0,18 0,24 2. Oblicz współczynnik korelacji zmiennych X i Y. 3. Oblicz P ({X 2} {Y = 1}). 4. Wyznacz rozkład wektora (X Y, X + Y ). * zadania, które trzeba umieć zrobić, ale nie będą wymagane na sprawdzianie ze względu na złożoność rachunkową. 5