PROJEKTOWANIE, BUDOWA i ESTETYKA KŁADEK DLA PIESZYCH

CYKL SEMINARIÓW PROJEKTOWANIE, BUDOWA i ESTETYKA KŁADEK DLA PIESZYCH Kraków, 8 października, 5 listopada, 3 grudnia 23 r. 1 Marek SALAMAK 1 kładki dla pieszych, dynamika, tłumienie, drgania ROLA TŁUMIENIA DRGAŃ W KŁADKACH DLA PIESZYCH ORAZ METODY JEGO IDENTYFIKACJI STRESZCZENIE Badanie zjawiska tłumienia drgań wciąż jest jednym z najtrudniejszych zadań dynamiki budowli. Referat omawia rolę tłumienia drgań w kładkach dla pieszych. Wskazuje na specyfikę kładek w porównaniu z innymi obiektami mostowymi. Podaje klasyfikację współczesnych metod estymacji wartości tłumienia i proponuje ustalenie dokładności szacowania, która winna być większa niż w klasycznych obiektach mostowych. Zwraca również uwagę na niebezpieczeństwa bezkrytycznego stosowania filtrów cyfrowych w analizie sygnałów pochodzących z drgań kładek. Na końcu została zaproponowana własna metoda identyfikacji tłumienia nazwana FILDT, która oparta jest na technice wyznaczania logarytmicznego dekrementu tłumienia. Metoda ta została sprawdzona w warunkach laboratoryjnych oraz terenowych na istniejącej kładce dla pieszych. 1. SPECYFIKA KŁADEK DLA PIESZYCH Kładki dla pieszych były zawsze wdzięcznymi przedmiotami wielu publikacji. Jednak przeważnie były to teksty zajmujące się problemami estetyki, funkcjonalności, nowości konstrukcyjnych czy też technologii budowy. Klasyczne rozwiązania oraz materiały stosowane w kładkach z lat osiemdziesiątych i wcześniejszych powodowały, że nie dostrzegano wówczas problemów związanych z dynamiką kładek. Badania tych obiektów, zwyczajowo traktowanych jako mniej odpowiedzialne, wykonywane były wówczas raczej rzadko, a jakość rejestrowanych wyników nie pozwalała na dokładną 1 Katedra Budowy Mostów Politechniki Śląskiej salmar@cadmost.com.pl 1

identyfikację wszystkich parametrów modalnych. Ten stan rzeczy zmienił się wraz z coraz szerszym wykorzystywaniem do rejestracji i analizy wyników szybkich komputerów oraz nowych technik estymacji. W połowie lat dziewięćdziesiątych, zbliżający się przełom wieków stał się, podobnie jak w innych dziedzinach techniki, pretekstem do poszukiwania śmielszych rozwiązań konstrukcyjnych oraz nowych mostów, budzących zachwyt swą oryginalną formą. W wielu miejscach na świecie właśnie kładki stały się swoistymi pomnikami wprowadzającymi w nowe tysiąclecie, jak na przykład London Millennium Footbridge, Paris Solferino Bridge czy Gateshead Millennium Footbridge. Dwie pierwsze z tych kładek, zaraz po ich uroczystym i tryumfalnym otwarciu, zostały zamknięte z powodu nadmiernych i nieprzewidzianych drgań. Był to początek prawdziwej fali publikacji na temat dynamiki kładek, a zwłaszcza związanego z nimi zjawiska tłumienia. Zwieńczeniem kilkuletniej debaty oraz wielu badań była pierwsza konferencja, w całości poświęcona kładkom footbridge 22, która odbyła się w listopadzie 22 roku w Paryżu. Dyskutowano na niej między innymi problemy projektowania kładek z uwzględnieniem dynamiki ze szczególnym naciskiem na kwestię tłumienia drgań oraz modelu obciążenia pieszymi. Kładki dla pieszych są znacznie bardziej podatne dynamicznie. W związku z tym, estymacja tłumienia jest dla nich poważnym problemem. Wymaga ona większej dokładności niż w innych obiektach mostowych. Tłumienie jest najważniejszym i jednocześnie najbardziej nieokreślonym parametrem modalnym, służącym do opisu charakterystyki dynamicznej konstrukcji kładki. Wzrost tłumienia w układzie, powoduje zmniejszenie częstości własnej oraz znaczną redukcję amplitudy drgań w strefie rezonansowej. Ma to decydujący wpływ na cechy użytkowe kładki. Z racji swojej funkcji, kładki dla pieszych oddziaływają na ludzi w sposób bezpośredni. Człowiek współdziała psychologicznie z kładką. Jej zachowanie ma wpływ na jego reakcję. Razem tworzą nowy system, bardzie niż fizycznie powiązany. Nadmierne drgania wymuszają określone reakcje obronne człowieka. W skrajnych przypadkach może to być panika, a najczęściej będzie to sprzężenie z ruchem kładki lub rytmem marszu sąsiadów. W efekcie takiej synchronizacji dochodzi niekiedy do jeszcze większego wzbudzenia drgań. Dzieje się tak z powodu rezonansowego charakteru wymuszenia generowanego przez ludzi. Nowoczesne kładki odznaczają się bardzo dużą smukłością i małą masą. Często posiadają zupełnie nietypowe układy konstrukcyjne. Skutkiem tego charakteryzują się zwykle niską częstością drgań własnych oraz zredukowanymi właściwościami tłumiącymi. Częstości własne niebezpiecznie zbliżyły się do częstości, jaką produkuje człowiek w swoim codziennym zachowaniu: marsz, bieg, skoki, taniec. Są to częstości od,5 do 4 Hz, a więc mieszczą się w przedziale, do którego należą częstości prawie wszystkich nowoprojektowanych kładek. Kładki dla pieszych mają zdecydowanie mniejsze zdolności tłumiące niż inne obiekty mostowe. Najlepszym sposobem ograniczenia nadmiernych drgań jest właściwy dobór układu konstrukcyjnego. Jednak w przypadku kładek często jest to utrud- 2

nione lub wręcz niemożliwe. Modyfikacja konstrukcji może zepsuć zamierzone efekty estetyczne, niebezpiecznie zwiększyć obciążenia ciężarem własnym i jest często nieekonomiczna oraz trudna technologicznie. Dlatego coraz częściej stosuje się różne systemy redukcji drgań w postaci tłumików, przewidując je już nawet na etapie projektu. 2. ZJAWISKO TŁUMIENIA 2.1 Czynniki tłumiące Określanie wielkości tłumienia w mostach jest wciąż jednym z najtrudniejszych problemów dynamiki budowli. W odróżnieniu od innych charakterystyk konstrukcji jak masa i sztywność, tłumienie nie daje się objąć tymi samymi, prostymi regułami fizycznymi. Ważność problemu tłumienia wzrosła w momencie, gdy budowle zaczęły być bardziej smukłe i odpowiednio bardziej podatne na wpływy dynamiczne. Szczególnie widoczne to jest w kładkach dla pieszych. Ta zwiększona podatność powoduje, że znacznie częściej wpadają one w drgania, a amplitudy tych drgań są często bardzo duże. Tłumienie drgań jest niczym innym jak rozpraszaniem energii mechanicznej drgającego układu, w wyniku którego dąży on do uspokojenia. Zdolność tłumienia można zdefiniować jako stosunek energii rozproszonej w jednym cyklu drgań do całkowitej energii dostarczonej do układu. Tłumienie Wewnętrzne Zewnętrzne Materiałowe Konstrukcyjne Rys. 1 Czynniki tłumiące W przyrodzie występuje tak dużo różnych mechanizmów tłumienia jak dużo jest sposobów na zamianę energii mechanicznej na inne rodzaje energii, a głównie na ciepło. Do najważniejszych możemy zaliczyć tarcie wewnętrzne, tarcie konstrukcyjne i w połączeniach ruchomych oraz tłumienie hydrodynamiczne i aerodynamiczne. Podział czynników tłumiących pokazano schematycznie na Rys. 1. Tłumienie materiałowe inaczej nazywane jest tarciem wewnętrznym. Związane jest z wewnętrzną budową drgającego ciała. Rozproszenie energii wynika ze złożonych zależności pomiędzy molekułami i zależy między innymi od rodzaju materiału, metod wykonania i końcowej obróbki, temperatury oraz naprężenia. Są to procesy zachodzące w kryształach, jak na przykład przemieszczanie się względem siebie atomów w siatce krystalicznej, rozproszenie energii w warstwie międzykrystalicznej, 3

poślizgi o charakterze dyslokacyjnym. Wszystkie te zjawiska mają charakter nieodwracalny. Tłumienie konstrukcyjne można podzielić na dwie grupy: tarcie na styku elementów połączonych na sztywno oraz tarcie w połączeniach ruchomych. W przypadku elementów połączonych na sztywno, w wyniku sprężystych odkształceń, dochodzi do poślizgu na stykających się powierzchniach. Zjawisko to jest stosunkowo słabo rozpoznane, a jego opis opiera się na dość prostych modelach, jak tłumienie wiskotyczne Voigta lub prawa Coulomba w zakresie tarcia. Tłumienie konstrukcyjne ma duży wpływ na redukcję drgań. W mostach zależy ono głównie od takich czynników jak: kształt i wymiary konstrukcji, schemat statyczny, więzi poprzeczne, rodzaj pomostu, nawierzchnia oraz elementy wyposażenia. Na styku połączeń ruchomych mamy do czynienia ze zjawiskiem tarcia. Jeśli nie ma smarowania, to wówczas jest to tarcie suche, jeśli jest duże smarowanie, to występuje tłumienie wiskotyczne. Przykładem elementów z tarciem w połączeniach ruchomych, mogą być łożyska mostowe, czy niektóre typy zamocowania odciągów podwieszenia mostów na pylonach. Tłumienie zewnętrzne (środowiskowe). Do czynników tłumiących pochodzących z otaczającego środowiska możemy zaliczyć: pojazd znajdujący się na moście, grunt, tłumienie hydrodynamiczne oraz aerodynamiczne. Tłumienie aerodynamiczne jest stosunkowo małe w porównaniu do konstrukcyjnego. Poza tym wpływ tego ośrodka może powodować dodatkowe niebezpieczne drgania. Tarcie zewnętrzne łatwo może być modelowo sprowadzone do wewnętrznego przez poszerzenie układu. 2.2 Modele tłumienia Najczęściej wykorzystywanym w praktyce inżynierskiej modelem tłumienia jest hipoteza Voigta tłumienia wiskotycznego, zakładająca istnienie związku proporcjonalności pomiędzy siłą tłumienia, a pierwszą potęgą prędkości (pochodną odkształcenia). Wyniki wielu badań pokazują, że założenie to jest zbyt proste, gdyż pomija problem nieliniowości. Dlatego powstały również inne modele, lepiej dopasowane do nieliniowego i zmiennego charakteru tłumienia. Większość znanych modeli tłumienia może być opisana [8] za pomocą równania 4 f d θ 1 ( x, x& ) = ax& x& (2-1) gdzie f d ( x, x& ) jest siłą tłumiącą i a jest ogólnym współczynnikiem tłumienia. Wartość θ zależna jest od modelu tłumienia. I tak przy θ= mamy do czynienia z tłumieniem Coulomba, przy θ=1 z liniowym tłumieniem wiskotycznym, a przy θ=2 z tłumieniem kwadratowym. W teoretycznym modelu tłumienia wiskotycznego, siła oporu pochodzi od działania ciała zewnętrznego, jakim jest lepki płyn. Takie siły występują w specjalnych tłumikach, gdzie płyn ten przepływa w sposób laminarny. W nowoprojektowanych mostach na ogół nie montuje się żadnych tłumików, natomiast źródłem oporów są

omówione już wcześniej czynniki. Trzeba jednak zauważyć, że w ostatnich latach, zwłaszcza w przypadku mostów podwieszonych i wiszących, coraz częściej przewiduje się wykorzystanie tłumików już na etapie projektu. 2.3 Miary tłumienia Do określania tłumienia stosuje się różnorodne miary. Pierwszą z nich jest stosunek współczynnika tłumienia wiskotycznego do współczynnika tłumienia krytycznego c c ζ = = (2-2) c mω k 2 Zwany jest on stopniem tłumienia jak również: liczbą tłumienia, ułamkiem tłumienia, tłumieniem względnym lub współczynnikiem dobroci układu. Wyrażany jest często w postaci procentu tłumienia krytycznego, przy którym ruch zamienia się w aperiodyczny. Dzięki temu może on być wykorzystywany jako parametr porównawczy różnych konstrukcji. W mostach rzadko przekracza wartość 1%. Odwrotność stopnia tłumienia nazywana jest współczynnikiem strat. To pojęcie jednak częściej występuje jedynie w konstrukcjach mechanicznych i automatyce. Rys. 2 Amplitudy drgań do wyznaczania LDT Przy klasycznym określaniu tłumienia w sposób doświadczalny, bardzo często wykorzystuje się pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia (LDT). Jest to po prostu logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych maksymalnych wychyleń (amplitud). Istnieje jednak wiele podejść, co do wyboru tych kolejnych amplitud. Można za podstawę brać wartości bezwzględne dwóch kolejnych ekstremalnych wychyleń, czyli różniących się o połowę okresu T (Rys. 2). Wówczas wartość LDT określona jest wzorem an LDT = 2ln (2-3) a n 1 Często kolejne amplitudy różnią się bardzo nieznacznie. Dlatego taki sposób obliczania LDT prowadzi do powstania dużych błędów. Zwykle bierze się więc średnie 5

wartości dekrementu przy m kolejnych okresach. Na przykład Ryżyński [9] sugeruje branie co najmniej 1 okresów. 6 LDT 1 = ln m a a n n m (2-4) Ponieważ częstość drgań tłumionych różni się nieznacznie od częstości drgań własnych nietłumionych, wprowadza się, więc pojęcie współczynnika tłumienia odniesionego do tych właśnie drgań nietłumionych c c c d = ζω = ω = ω = (2-5) c 2mω m k 2 Zależność pomiędzy LDT a stopniem tłumienia można określić w następujący sposób dt x( t) e dt 2π 2πζ LDT = ln = ln = lne = dt = ζω = d ( t T ) (2-6) x( t T ) e ω 2 d 1 ζ gdzie ω d jest częstością drgań tłumionych natomiast okres T=2π/ω d. Ponieważ ω d ω, to LDT 2πζ 6,283ζ i odwrotnie ζ LDT/2π,159 LDT. Tłumienie można określać również na podstawie krzywej rezonansowej (funkcji odpowiedzi częstotliwościowej), wyznaczając częstości ω 1 i ω 2, dla których amplituda jest 2 razy mniejsza od amplitudy rezonansowej przy ω. Wówczas mamy ω ζ = (2-7) ω 2 ω 1 Miarą tłumienia może być również czas zanikania drgań, podobnie jak jest traktowany okres połowicznego rozpadu w fizyce lub tak zwany czas stabilizacji drgań, po którym nie przekraczają one określonego poziomu amplitud. 2.4 Trudności w przewidywaniu tłumienia Przy dzisiejszym stanie wiedzy jest praktycznie niemożliwe określenie wartości tłumienia konstrukcji na etapie projektowania. Wg Kareem i Gurley [8] dokładność szacowania wynosi około ±3%. Zasadniczo szacowanie takie jest możliwe dzięki zbieraniu danych z istniejących już konstrukcji, wykonanych z podobnych materiałów i o zbliżonych rozwiązaniach konstrukcyjnych. Chociaż ogólnie nikt nie kwestionuje dziś zależności tłumienia od amplitudy, to podstawowe opisy tego zjawiska są wciąż niejednoznaczne i ograniczone. Oprócz złożoności samego mechanizmu tłumienia, dużo problemów stwarzają również metody określania i interpretacji tłumienia na obiektach badanych w pełnej skali. Do dziś nie została opracowana jednoznaczna i szeroko akceptowana metoda estymacji wartości tłumienia na podstawie zarejestrowanej odpowiedzi drgań. Tak często wykonywane dziś badania dynamiczne mostów,

dają jedynie globalną (sumaryczną) wielkość tłumienia i nie jest możliwe wyodrębnienie czynników składowych, które wcześniej wymieniono. Wartość tłumienia zależna jest nie tylko od amplitudy, ale również od częstotliwości oraz postaci drgań. Zależność tłumienia od częstotliwości drgań własnych w odniesieniu do kładek dla pieszych badana była przez wielu autorów. Glanville i inni [4] zaproponowali prostą relację opartą na wynikach badań ζ = f 1 1 (2-8) gdzie f 1 jest pierwszą częstością drgań własnych. Relacja ta sprawdziła się jednak tylko w przypadku kładek o konstrukcji żelbetowej i zespolonej. Zależność tłumienia od rozpiętości analizował Fryba [3]. W swojej książce zaproponował empiryczny wzór do wyznaczania LDT oparty na badaniach mostów kolejowych o różnych rozpiętościach. 1 LDT = 3,3L,12L (2-9) Drgania giętne w pionie Drgania skrętne,14,14,12,12,1,1 LDT [-],8,6 LDT [-],8,6,4,4,2,2 1 2 3 4 5 6 L [m] 1 2 3 4 5 6 L [m] Mosty dwuprzęsłowe Mosty jednoprzęsłowe Mosty trójprzęsłowe Mosty trójprzęsłowe z kratownicą Rys. 3 Uogólniona Zależność LDT od rozpiętości mostów podwieszonych [7] Charakterystykami dynamicznymi lekkich mostowych konstrukcji cięgnowych zajmował się Flaga i Michałowski [2]. Na podstawie innych publikacji i własnych badań przedstawili oni pewne zależności poziomu tłumienia w kładkach w odniesieniu do rodzaju konstrukcji, rozpiętości oraz częstotliwości drgań własnych. Związek pomiędzy rozpiętością L, a wartością LDT w mostach podwieszonych pokazano na Rys. 3. Choć na wykresie można doszukiwać się zależności polegającej na odwrotnej proporcjonalności między tymi wielkościami, to trudno jednak opisać ją wzorem matematycznym. 7

Bachman i inni [1], na podstawie wyników swoich badań, zaproponowali empiryczny wzór ujmujący zależność między stopniem tłumienia ζ oraz częstotliwością drgań własnych f, który może być wykorzystany do przybliżonego określania tłumienia w mostach wiszących i podwieszonych = = f,9,9 ζ,4 f LDT,8 wiszące (2-1) = = f,9,9 ζ,27 f LDT,54 podwieszone (2-11) 3. OCENA WYMAGANEJ DOKŁADNOŚCI ESTYMACJI WARTOŚCI LDT 3.1 Baza danych z tłumieniem w mostach i kładkach Aby mieć pełny pogląd na wymaganą dokładność estymacji tłumienia w kładkach, trzeba spojrzeć jak ich poziomy tłumienia różnią się od klasycznych obiektów mostowych. Przy okazji studiowania literatury na ten temat, wyszukano podawane tam wartości doświadczalnie określonego tłumienia. Do tego zestawienia dodano przypadki przebadane przez autora. Pełne zestawienie zawiera lokalizację obiektu, charakter obciążenia, rodzaj konstrukcji, wartość LDT oraz odnośnik do literatury. Na tej podstawie, na odpowiednich wykresach na Rys. 4, pokazano jak wygląda procentowy rozkład liczby obiektów w dziesięciu przedziałach wartości tłumienia. Zestawienie zawiera 46 mostów i wiaduktów oraz 35 kładek. Wyniki oczywiście należy traktować poglądowo. Właściwa baza danych powinna zawierać znacznie więcej informacji o obiektach jak choćby rozpiętość, schemat statyczny, układ konstrukcyjny, częstości i postacie drgań własnych, elementy wyposażenia, sposób posadowienia i inne. Rozkład LDT dla mostów i wiaduktów Rozkład LDT dla kładek >,3 7,1% >,3,%,25-,3,2-,25 2,3% 7,3%,25-,3,2-,25,%,%,15-,2 15,%,15-,2 2,9%,1-,15 18,2%,1-,15 11,4% 48,6%,5-,1 2,8%,5-,1,3-,5 15,3%,3-,5 31,4%,-,3 14,%,-,3 5,7% % 5% 1% 15% 2% 25% % 1% 2% 3% 4% 5% 8 Rys. 4 Porównanie rozkładu LDT w mostach i wiaduktach oraz kładkach Obserwując wykresy na Rys. 4 można stwierdzić, że najczęściej występują obiekty o tłumieniu w przedziale LDT od,5 do,1. W przypadku mostów i wiaduktów rozkład jest bardziej równomierny, a około 7% charakteryzuje się bardzo dużym tłu-

mieniem (LDT >,3). W kładkach widoczna jest wyraźna dominacja małego tłumienia (LDT <,1). Prawie 5% mieści się w przedziale LDT od,5 do,1, a 3% przedziale od,3 do,5. Charakterystyczny jest również zupełny brak obiektów z dużym tłumieniem (LDT >,2). Potwierdza się, więc teza o większej podatności dynamicznej kładek i mniejszych zdolnościach tłumiących w stosunku do innych obiektów mostowych. Widać również, że konieczna jest większa dokładność estymacji poziomu tłumienia. A jest to tym bardziej istotne, że przy rezonansowym charakterze wymuszenia spotykanym w kładkach, to właśnie dobór odpowiedniego tłumienia odgrywa decydującą rolę w redukcji nadmiernych drgań. Niektóre publikacje podają przedziały lub pojedyncze wartości LDT, które należy przyjmować przy projektowaniu mostów lub kładek. Grundmann [6] zaleca stosować w kładkach stalowych przedział od,2 do,6, natomiast w betonowych od,2 do,2. Głomb [5] w mostach drogowych podaje zakresy,15 do,16 dla konstrukcji stalowych oraz,6 do,4 dla betonowych, dodatkowo różnicując je w zależności od rozpiętości przęsła. Norma BS 54 [12] podaje pojedyncze wartości: w kładkach stalowych,3, zespolonych,4 oraz betonowych,5. Podane przedziały pokrywają się z rozkładem pokazanym na wykresach z Rys. 4. Charakteryzują się stosunkowo dużą rozpiętością, która ogranicza ich przydatność do projektowania. Zwłaszcza, jeśli chodzi o konstrukcje betonowe. Z kolei, propozycja przyjmowania tak małych wartości w kładkach z betonu, jakie sugeruje norma BS 54 [12] może być przesadzona. Wynika z tego, że słusznym jest postulat stworzenia specjalnej, rozbudowanej bazy danych z tłumieniem w mostach i kładkach, która pozwoliłaby bardziej precyzyjnie określać przedziały spodziewanych wartości LDT. 3.2 Dokładność estymacji LDT LDT jest wartością bezwymiarową. Stąd pojawiają się trudności w ocenie dokładności jego estymacji. W związku z tym został zaproponowany pośredni sposób określania precyzji wyznaczania LDT, przez obliczanie amplitudy rezonansowej na podstawie krzywych rezonansowych. Wartość amplitudy przemieszczeń można zapisać jako funkcję β i ζ, gdzie β = p/ω. P / k A = 2 2 2 (3-1) (1 β ) (2ζβ ) Jeśli tymczasowo przyjmiemy, że siła wymuszająca P jest siłą jednostkową o wartości 1 kn i powoduje jednostkowe odkształcenie konstrukcji o 1 mm, to sztywność sprężynująca k = 1 kn/mm. Jeśli dodatkowo założymy, że p = ω czyli, że siła wymuszająca działa w rezonansie i możemy spodziewać się największej odpowiedzi, to można uprościć wzór (3-1) i przedstawić amplitudę w funkcji samego tłumienia. P k A = / π 2ζ (3-2) LDT 9

Wartości tej funkcji przy LDT zmieniającym się od,5 do,3 ze skokiem co,5 pokazano na Rys. 5. Każdy przyrost powoduje zmniejszenie wartości amplitudy rezonansowej. Krzywa na wykresie jest hiperbolą. Pionowymi kreskami oznaczono przedziały wartości LDT z Rys. 4, które służyły do określenia rozkładu LDT wśród kładek dla pieszych. Widać, że w niektórych przedziałach, nawet bardzo niewielka zmiana tłumienia powoduje duże różnice w amplitudzie rezonansowej, a w innych ta wrażliwość jest dużo mniejsza. Amplituda rezonansowa dla LDT w przedziale od,5 do,3 Amplituda [mm] do,3 do,5 do,1 do,15 do,2 do,25 7 6 5 4 3 2 1,5,2,35,5,65,8,95,11,125,14,155,17,185,2,215,23,245 LDT [-] do,3,26,275,29 Rys. 5 Amplituda rezonansowa w funkcji LDT przy jednostkowym wymuszeniu i sztywności Można wyróżnić cztery zasadnicze przedziały wrażliwości: 1) Bardzo małe tłumienie (LDT <,3), gdzie niewielkie zmniejszenie tłumienia objawia się gwałtownym wzrostem amplitud sięgającym nawet 5% przy LDT=,5, a średnia zmiana wynosi 29%. Jednak kładek o tak małym tłumieniu jest bardzo mało. Według Rys. 4 w tej grupie jest tylko 7% obiektów. Dokładność w tym przedziale powinna być więc jak największa i wynosi ona,1. 2) Małe tłumienie (,3 < LDT <,5), gdzie zależność amplitudy od tłumienia ma przy przyrostach LDT charakter jeszcze mocno nieliniowy, ale nie jest już tak gwałtowny. Ta grupa jest już większa, gdyż obejmuje 31% obiektów. Średnia zmiana amplitudy wynosi tutaj 11%, a wymagana dokładność estymacji LDT określona została na poziomie,2. 3) Średnie tłumienie (,5 < LDT <,15), gdzie zależność amplitudy od tłumienia przy przyrostach LDT jest już prawie liniowa. Grupa ze średnim tłumieniem jest najliczniejsza. Mieści się w niej prawie 6% obiektów. Średnia zmiana amplitudy jest ponad połowę mniejsza niż przy małym tłumieniu, a wystarczająca dokładność wynosi,5. 4) Duże tłumienie (LDT >,15), gdzie zależność amplitudy od tłumienia przy przyrostach LDT można uznać za liniową. Precyzja w określania tłumienia nie musi być tak duża. Wystarczy dokładność,1. Grupa jest najmniej liczna. Zaledwie 3% obiektów. 1

4. METODY IDENTYFIKACJI TŁUMIENIA 4.1 Klasyfikacja metod identyfikacji Tłumienie jest jednym z trzech parametrów modalnych określających cechy dynamiczne konstrukcji. Analiza modalna pozwala na określenie własności dynamicznych kładki. Stosowane są dwa rodzaje tej analizy teoretyczna operująca na dyskretnych modelach strukturalnych budowanych metodą MES, która to metoda służy przeważnie do projektowania konstrukcji oraz eksperymentalna wykonywana na modelach modalnych (zbiorach parametrów stanu), przez badanie konstrukcji i identyfikację parametrów modalnych. Badanie to nazywane jest eksperymentem identyfikacyjnym. Do identyfikacji tłumienia w kładkach wykorzystuje się systemy pomiarowe, w skład których wchodzą między innymi czujniki przemieszczeń, akcelerometry i tensometry. Coraz częściej, ze względu na specyfikę kładek, wykorzystywane są techniki laserowe i wizyjne. Stosowane wymuszenia w eksperymencie identyfikacyjnym kładki dla pieszych, to wymuszenia kontrolowane jak wzbudzenie impulsowe i harmoniczne oraz naturalne jak próbne obciążenia ruchem pieszych lub pojazdów oraz wiatrem. Wymuszenia naturalne są tańsze i łatwiejsze w realizacji. Nie powodują konieczności zamykania ruchu na obiekcie. Jednak w odniesieniu do kładek, stosowanie wymuszenia harmonicznego w postaci wzbudników wcale nie musi być tak bardzo kosztowne. Kładki mają bowiem mniejszą masę niż inne obiekty mostowe, dzięki czemu można używać pulsatorów o mniejszych rozmiarach. Metody estymacji parametrów modalnych, w tym i tłumienia, można klasyfikować na różne sposoby. Z uwagi na objętość niniejszej publikacji ograniczono się jedynie do uproszczonej klasyfikacji tych metod z podaniem kryteriów podziału. Szersze omówienie można znaleźć w pracy [1]. Poniżej opisano najważniejsze kryteria tej klasyfikacji. 1) Podział ze względu na liczbę stopni swobody układy o jednym i o wielu stopniach swobody. 2) Podział ze względu na dziedzinę dziedzina częstotliwości i czasu. 3) Podział ze względu na możliwość analizy sygnałów niestacjonarnych wymagana lub nie stacjonarność sygnału. 4) Podział ze względu na wykorzystywane modele modele bezpośrednie (nieparametryczne lub modalne) oraz modele pośrednie (parametrycze). 5) Podział ze względu znajomość wejścia znane wejście i wyjście lub znane tylko wyjście. 11

Tablica 1 zawiera zestawienie najczęściej używanych metod estymacji tłumienia z podaniem dziedziny, w której operuje i podstawowych możliwości jej wykorzystania. Tablica 1 Klasyfikacja metod identyfikacji tłumienia Metoda Znaczenie angielskie Znaczenie polskie Dziedzina Liczba stopni swobody Wejście/Wyjście Rodzaj modelu LDT Logarythmic Decrement Technique Logarytmiczy Dekrement Tłumienia czas jeden wyjście bezpośredni ERA Eigensystem Realization Algorithm Algorytm rozwiązania zagadnienia własnego czas wiele wyjście pośredni ARMA Auto Regressive Moving Average Model regresyjny z ruchomą średnią czas wiele wyjście pośredni LSCE Least Squares Complex Exponential Aproksymacja przebiegów czasowych metodą najmniejszych kwadratów zespolonych funkcji wykładniczych czas wiele wyjście bezpośredni RDT Random Decrement Technique Technika dekrementu losowego czas wiele wyjście bezpośredni SSIT Stochastic Subspace Identyfication Technique Losowe podprzestrzenie stanu czas wiele wyjście pośredni FDD Frequency Domain Decomposition Rozkład w dziedzinie częstotliwości częstość wiele wyjście bezpośredni HPM Half Power Method Metoda połowy mocy częstość jeden wejście wyjście bezpośredni 4.2 Wpływ filtracji na identyfikowaną wartość LDT Jedną z podstawowych technik estymacji tłumienia jest technika Logarytmicznego Dekrementu Tłumienia (LDT). W uproszczeniu polega ona na obliczeniu logarytmu naturalnego z ilorazu wartości kolejnych amplitud zanikających drgań własnych. Postać tych drgań własnych uzyskiwana jest przez usunięcie zakłóceń oraz odseparowanie z układu o wielu stopniach swobody wybranego układu o jednym stopniu swobody. W wielu dotychczasowych analizach wyników badań doświadczalnych, pochodzących z praktyki inżynierskiej, odbywa się to przez zastosowanie wąskopasmowych filtrów cyfrowych. Lokalizacja i szerokość przepuszczanego pasma określana jest przez doświadczonego analityka, na podstawie wizualnej oceny widma drgań uzyskanego przeważnie za pomocą szybkiej transformacji Fouriera (FFT). W opisach tych badań nader często nie określa się parametrów zastosowanego filtra, ani nawet jego rodzaju. Tutaj podjęto próbę określenia wpływu wspomnianych charakterystyk na dokładność wyznaczenia LDT. Przeprowadzono to przez symulację numeryczną wyidealizowanego sygnału. Zanalizowano wpływ nieliniowości przekształcenia, wyrażonego wartością amplitud odpowiedzi, oraz wprowadzeniem tak zwanych pasożytniczych modulacji jak również opóźnienie fazowe, mogące zniekształcić estymowane wartości LDT. Badanie wpływu filtracji przeprowadzono symulując sygnał o stałej częstotliwości i poddając go idealnemu tłumieniu wiskotycznemu o określonej wartości, zbliżonej do uzyskiwanej w rzeczywistych badaniach. W środowisku programu LabVIEW, przy współpracy z dr Zbigniewem Opilskim 2, stworzono specjalny symulator, który pozwo- 2 adiunkt w Instytucie Fizyki Politechniki Śląskiej zopilski@zeus.polsl.gliwice.pl 12

5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 4 4 4 4 4 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 4 4 4 4 4 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 4 4 4 4 4 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 4 4 4 4 4 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 5 4 3 2 1-1 - 2-3 - 4-5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 2 5 5 7 5 1 1 2 5 1 5 1 7 5 2 2 2 5 2 5 2 7 5 3 3 2 5 3 5 3 7 5 4 4 4 4 4 lił zbadać wpływ różnych rodzajów filtrów oraz ich charakterystyk na zanikający sygnał o stałej częstotliwości [1]. Po wstępnych próbach i testach symulatora okazało się, że filtry górno i dolno przepustowe mają niewielki wpływ na sygnał i nie powodują istotnych zniekształceń. Natomiast poważnym problemem, jest stosowanie filtrów pasmowych, zwłaszcza o wąskim paśmie przepuszczania. Są one często wykorzystywane do odseparowania wybranych częstości własnych. Dlatego skupiono się jedynie na filtrach pasmowych oraz ich trzech parametrach: Typ filtra - przebadano pięć z dostępnych typów filtrów pasmowych: Butterwortha, Czebyszewa, Bessela, Eliptyczny oraz Czebyszewa odwrotny. Rząd filtra - przy każdym z powyższych filtrów zmieniano skokowo rząd filtra. Przyjęto pięć wartości: 1, 5, 1, 15 oraz 2. Szerokość pasma przepuszczania zmiany typu oraz rzędu zrealizowano w trzech pasmach przepuszczania wokół częstotliwości 5 Hz: stosunkowo szerokiego od 1 do 9 Hz, wąskiego od 4 do 6 Hz i bardzo wąskiego od 4,8 do 5,2 Hz. Rząd Butterwortha Czebyszewa Bessela Eliptyczny Czebyszewa odwr. 1 5 1 15 2 Rys. 6 Odfiltrowany sygnał wyjściowy pasma o szerokości od 4 do 6 Hz Analizując wyniki symulacji można powiedzieć, że wraz ze wzrostem rzędu filtra oraz zawężaniem pasma przepuszczania zwiększa się opóźnienie fazowe, następuje redukcja amplitudy maksymalnej oraz pojawiają się modulacje pasożytnicze. Wszystkie te zniekształcenia sygnału wpływają na wartość LDT. Najmniejsze odchyłki otrzymuje się w przypadku stosowania filtra Bessela. Odpowiedź amplitudowa jak i fazowa filtra pasmowego Bessela jest prawie liniowa. Można go używać nawet przy stosunkowo wąskim paśmie przepuszczania o szerokości 2 Hz. Wówczas odchyłka nie przekracza 1%. Przy wąskim paśmie o szerokości,4 Hz błąd sięga do 2%, ale stosując niższy rząd można ją zredukować do 1%. Największa redukcja wartości amplitudy, charakterystyczna dla filtra Bessela, nie ma 13

wpływu na obliczaną wartość LDT. Może mieć natomiast wpływ na ocenę innych cech dynamicznych systemu jak na przykład przewyższenia dynamicznego. Przy obliczaniu LDT stosowanie niższych rzędów filtrów (do rzędu 5) daje lepsze rezultaty niż rzędów wyższych. Dotyczy to właściwie wszystkich typów filtrów. Przy wyższych rzędach, z uwagi na zwiększające się opóźnienie, zwrócić należy uwagę na dokładne określenie amplitudy początkowej, gdyż ma to największy wpływ na dokładność obliczeń. 4.3 Niejednoznaczności przy wyznaczaniu LDT Najbardziej znana metoda wyznaczania LDT składa się z trzech podstawowych etapów: wstępnej obróbki sygnału, filtrowania i wycinania oraz estymacji tłumienia. Podstawową operacją wykonywaną każdorazowo jest obliczenie gęstości mocy widmowej sygnału przy wykorzystaniu FFT. W celu zmniejszenia zjawiska przecieku, stosuje się technikę okienkowania na przykład za pomocą okna Hanninga. Na wykresie widma gęstości mocy wyszukiwane jest maksimum i odpowiadająca mu częstotliwość. Jeśli analizowany będzie przedział czasowy obejmujący drgania swobodne po ustaniu wymuszenia, to ta częstotliwość będzie wówczas zidentyfikowaną częstotliwością drgań własnych systemu. Po wydzieleniu przedziału czasowego ze swobodnymi drganiami (już po ustaniu wymuszenia), przystępuje się do estymacji tłumienia przez obliczenie LDT. Jeśli na widmie gęstości mocy widoczna jest tylko jedna dominująca częstość, odpowiadająca częstości własnej, wystarczy zastosować filtr dolnoprzepustowy odfiltrowujący wyższe częstotliwości na przykład powyżej 4 Hz. Trudniejszym przypadkiem jest sytuacja nakładania się bliskich sobie częstości różnych postaci drgań. Wówczas konieczne jest zastosowanie wąskopasmowych filtrów, które mogą jednak powodować zniekształcenia sygnału. Można wtedy wykorzystać nowsze techniki jak na przykład transformację falkową. ae dx 14 Rys. 7 Przykład dopasowania krzywej wykładniczej przy estymacji LDT W odfiltrowanym już sygnale wyjściowym o paśmie obejmującym częstość własną, wyszukiwane są wartości minimalne i maksymalne amplitud. Jeśli ich wartości nie oscylują wokół zera, to konieczne jest wykonanie przesunięcia na osi amplitud przez odjęcie składowej stałej sygnału. Do tak wybranych ekstremów, ale w wartościach bezwzględnych, dopasowuje się metodą najmniejszego błędu średniokwadratowego, krzywą wykładniczą w postaci y = ae dx, gdzie y jest zbiorem wyjściowych

wartości na dopasowanej krzywej, x jest zbiorem wartości wejściowych, a i d są współczynnikami, które opisują krzywą wykładniczą (Rys. 7). Związek pomiędzy wartością LDT, a współczynnikiem d opisuje wzór (2-6). W przypadku idealnego tłumienia wiskotycznego, dopasowana krzywa wykładnicza powinna pokrywać się z obwiednią amplitud. Tak jednak nie jest, gdyż jak już wspomniano, tłumienie w konstrukcjach ma w rzeczywistości charakter nieliniowy. Dlatego pojawia się problem, dla jakiego przedziału czasowego wyznaczać wartość LDT. Istotna jest amplituda początkowa oraz długość przedziału, czyli liczba amplitud branych do estymacji. Możliwych jest kilka rozwiązań: 1) estymacja w całym przedziale to znaczy od pierwszej maksymalnej amplitudy aż do całkowitego zaniknięcia drgań, 2) wydzielenie pośrednich przedziałów krótkoczasowych, 3) skrócenie przedziału o amplitudy końcowe i estymacja na podstawie określonej liczby początkowych amplitud. Pierwsze rozwiązanie wydaje się być najbardziej interesujące, gdyż pozwoliłoby określić, jakie jest całkowite tłumienie w konstrukcji. Do tego jednak konieczne byłoby wykorzystanie bardziej skomplikowanego modelu tłumienia uwzględniającego aspekty nieliniowości. W obszarze mniejszych amplitud, jak pokazały to później przeprowadzone badania, wartość LDT jest większa niż w rejonie amplitud maksymalnych. Zastosowanie klasycznego modelu wiskotycznego do całego przedziału, wiązać się wówczas będzie z zawyżeniem poziomu tłumienia. Można, więc wydzielić krótsze przedziały czasowe i w nich wyznaczać LDT. Byłoby wtedy możliwe znalezienie takiego przedziału, w którym tłumienie będzie prawie liniowe. Ale przy takim podejściu wyznaczoną wartość trudno byłoby potraktować jako kryterium porównawcze. Może być przecież kilka takich przedziałów zwłaszcza, gdy będą one wystarczająco krótkie, a w każdym przedziale będzie inna wartość LDT. Skrócenie przedziału tylko o końcowe amplitudy, w których występują największe odstępstwa od modelu wiskotycznego, mogłoby być dobrym rozwiązaniem, ale pod warunkiem określenia liczby amplitud branych do estymacji. Ustalenie stałej liczby, na przykład 1 jak sugeruje Ryżyński [9], też nie jest dobrym sposobem. Przy dużym tłumieniu możliwe, że nie uda się zarejestrować aż 1 amplitud, a i wśród nich mogą występować duże odchylenia wynikające z nieliniowości. 4.4 Propozycja metody identyfikacji tłumienia Zaproponowana w pracy [1] metoda identyfikacji, nazwana FILDT (Fitting Index Logarithmic Decrement Technique) opiera się na opisanej już technice logarytmicznego dekrementu. Zasadniczą modyfikacją jest określanie wartości LDT przez dopasowanie krzywej wykładniczej metodą najmniejszych kwadratów oraz wyznaczanie tak zwanego wskaźnika dopasowania, pozwalającego na jednoznaczny wybór 15

wartości LDT w przypadku nieliniowego charakteru tłumienia. Oprócz tego wprowadzono tak zwany poziom czułości, dzięki któremu pomijane są wartości mniejsze od podanego progu wyrażonego w procentach wartości maksymalnej z analizowanego przedziału. W ten sposób, dla jednego przedziału czasowego, sterując progiem czułości, można wybrać różną liczbę amplitud wykorzystywanych do dalszej estymacji. Analiza drgań wykonywana jest przy pomocy specjalnie stworzonego programu w środowisku LABView. Pozwala ona na korzystanie z wielu technik bardziej zaawansowanej obróbki sygnału. Można między innymi stosować redukcję liczby próbek, wycinać przedziały czasowe do dalszej analizy, skalować wykres drgań oraz widma, obliczać wartości RMS oraz ekstremalne amplitudy. Oprócz tego w programie zaimplementowany został filtr cyfrowy Besela. Użytkownik może wpływać na jego parametry jak: rodzaj (dolno lub górno przepustowy, pasmowy), wartości pasm przepuszczania oraz rząd filtra. Aby wyznaczona wartość tłumienia mogła być potraktowana jako kryterium porównawcze, konieczne było osiągnięcie pewnego kompromisu. Z jednej strony, posługując się powszechnym, liniowym modelem tłumienia, szuka się najlepszego dopasowania krzywej wykładniczej do obwiedni amplitud. Uzyskać je można przy krótszych przedziałach zlokalizowanych w pobliżu amplitudy maksymalnej. Z drugiej strony trzeba uwzględnić jak najdłuższy czas zanikania drgań, aby określić całkowite tłumienie. Rozwiązaniem może być sprowadzony wskaźnik dopasowania do obwiedni amplitud. Dopasowanie krzywej wykładniczej realizowane jest metodą najmniejszych kwadratów. Wskaźnikiem tego dopasowania jest błąd średniokwadratowy (odchylenie średniokwadratowe), 16 N 1 2 ε = (4-1) ( yi f ( x i )) N i= 1 będące średnią sumy kwadratów odchyleń między wartością daną y i oraz przybliżaną f(x i ). Jeśli ε =, to dopasowanie jest idealne i mamy wówczas do czynienia z tłumieniem wiskotycznym. Jest to jednak niewystarczający wskaźnik, gdyż nie uwzględnia liczby amplitud branych do estymacji. Tutaj proponuje się wzór na sprowadzony, bezwymiarowy wskaźnik dopasowania, nazwany wskaźnikiem dopasowania E. ε E = (4-2) NA max gdzie N > 2 jest liczbą amplitud wziętych do estymacji, A max jest maksymalną amplitudą. Analizując cały przedział wyznaczamy wartość E dla kolejno zmieniającego się progu czułości. W ten sposób mamy coraz mniejsze liczby amplitud i oczywiście różną wartość błędu ε, ale zawsze stałą wartość amplitudy początkowej. Spośród wyznaczonych wartości wskaźnika E wybieramy wartość najmniejszą.

E min = min N i A ε i max (4-3) Tak wyznaczony wskaźnik charakteryzuje się najlepszym dopasowaniem przy największej liczbie amplitud. W odpowiadającym mu progu czułości wyznaczamy teraz wartość LDT. Ograniczenie N > 2 jest konieczne, gdyż przy N = 2 błąd ε zawsze będzie równy zero, a tym samym E = E min =. 5. PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA METODY FILDT 5.1 Badania drgań tłumionych laboratoryjnie wyidealizowanych Dla sprawdzenia zaproponowanej metody FILDT do określania tłumienia wykonano badania laboratoryjne na rzeczywistym modelu pozwalającym realizować czyste drgania tłumione. Modelem tym był wspornik wykonany z płaskownika i utwierdzonego między masywnymi przekładkami skręconymi śrubami [1]. W celu określenia zależności estymowanej wartości LDT od progu czułości, wykonano analizę całego, nie filtrowanego przebiegu o amplitudzie początkowej 3 cm. Próg czułości zmieniano od 5 do 95%. Wyniki analizy pokazano na Rys. 8. 12 Liczba punktów oraz LDT przy zmiennym progu czułości dla całego przebiegu,11 Zależność LDT od liczby punktów 1 LDT*1,1 8 Punkty [szt] LDT średnie,9 LDT/Punkty 6 4 LDT [-],8,7,6 2,5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95,4 1 2 3 4 5 Czułość [%] Liczba punktów [szt] Rys. 8 Liczba punktów branych do estymacji oraz wartość LDT Z wykresu można odczytać, że przy najniższym progu czułości do estymacji brane są prawie wszystkie amplitudy. Dopasowywana krzywa wykładnicza nie pokrywa się wówczas z obwiednią drgań, która przy idealnym tłumieniu wiskotycznym też powinna być krzywą wykładniczą. Stopniowo, podnosząc próg czułości różnica między obydwiema krzywymi jest coraz mniejsza, a wartość LDT zmniejsza się. Od poziomu 4% dopasowanie jest już bardzo dokładne, ale też jest o połowę mniejsza licz- 17

ba punktów. Pominięte są wszystkie mniejsze amplitudy. Dalsze zwiększanie progu czułości powoduje kolejną redukcję liczby punktów, ale LDT stabilizuje się. Tak jest do poziomu 7%, od którego LDT zaczyna powoli rosnąć. Przejście z poziomu 9 na 95% objawia się bardzo gwałtownym zwiększeniem wartości LDT. Obliczona wartości błędu średniokwadratowego oraz wskaźnik dopasowania do obwiedni amplitud pokazane zostały na Rys. 9. Na wykresie błędu średniokwadratowego pominięto największe wartości odpowiadające progom 5 i 1%. Tutaj błąd dopasowania jest bardzo duży. Najmniejszy błąd występuje przy 2 punktach (próg 6%). Obliczony sprowadzony wskaźnik dopasowania do obwiedni osiąga wartość minimalną przy progu 5% i przy 26 amplitudach. Odpowiadająca mu wartość LDT to,51.,5 Błąd średniokwadratowy e,2 Wskaźnik dopasowania do obwiedni E,45,18,4,16,35,14 e [-],3,25 E [-],12,1,2,8,15,6,1,4,5,2, 74 66 58 52 46 42 38 34 3 26 22 2 16 14 1 8 6 4 2, 74 66 58 52 46 42 38 34 3 26 22 2 16 14 1 8 6 4 2 Liczba punktów [szt] Liczba punktów [szt] Rys. 9 Błąd średniokwadratowy oraz wskaźnik dopasowania do obwiedni w zależności od liczby punktów Z przedstawionego przebiegu zależności LDT od progu czułości można wyciągnąć następujące wnioski: liczba amplitud brana do estymacji ma wpływ na wartość wyznaczanego LDT, największa stabilizacja wartości LDT występuje przy liczbie punktów między 1 a 3 (próg między 45 a 75%); jednocześnie w tym przedziale występują najmniejsze wartości LDT, prawie idealne tłumienie wiskotyczne występuje tylko w ograniczonym przedziale czasowym, przy zbyt małej liczbie amplitud, mniejszej od 1 (próg większy od 75%), przeszacowanie wartości LDT jest duże, a w skrajnym przypadku, gdy bierze się tylko dwie amplitudy bardzo duże, uwzględnienie wszystkich amplitud, zwłaszcza najmniejszych objawia się dużym błędem średniokwadratowym dopasowania krzywej wykładniczej, co wiąże się z nieliniowym charakterem tłumienia, 18

należy dążyć do wykorzystania jak największej liczby amplitud, ale przy minimalnym błędzie dopasowania, a sprowadzony wskaźnik dopasowania do obwiedni pozwala na osiągnięcie powyższego kompromisu i jednoznaczny wybór wartości LDT. 5.2 Badania terenowe kładki dla pieszych Badania terenowe wykonano na rzeczywistym obiekcie, jakim była kładka dla pieszych, przekraczająca budowaną przez Śląsk drogę ekspresową (DTŚ Drogowa Trasa Średnicowa), w bezpośrednim sąsiedztwie stadionu Ruchu w Chorzowie. Kładka ta była już przedmiotem publikacji [11], dlatego pominięto jej opis. Program obciążeń dynamicznych był dość bogaty. Starano się w nim wprowadzić możliwie wiele sytuacji, na które w eksploatacji kładka mogłaby być narażona. Dynamiczne działanie tłumu symulowano z pomocą kilkunastoosobowej grupy ludzi. Stosowano przemarsze rytmiczne kolumny pieszych i przejścia nieuporządkowanych grup. Wszystkie przeprowadzane były po dwa razy w każdym z kierunków ruchu. Dokonano też prób rytmicznego przejścia pojedynczego człowieka w obie strony wzdłuż kładki. Wreszcie symulowano wymuszenia złośliwe przez rytmiczne skoki kilku osób, w miejscach konstrukcji wskazanych jako czułe. Na koniec zbadano odpowiedź dynamiczną na przejeżdżający pojazd specjalny, którym była obciążona furgonetka. Rys. 1 Zarejestrowany przebieg przemieszczeń przy wymuszeniu skokami Zaproponowana metoda estymacji LDT sprawdziła się najpierw na przebiegach pochodzących z czujników drogi. Pomierzone przemieszczenia są łatwe w ocenie jakości wyników oraz w stosunku do innych wielkości, jak prędkość czy przyspieszenie, które są pochodnymi przemieszczeń, nie generują dodatkowych błędów przy ich przekształceniach. Jednak technicznie dużo łatwiejszym jest zrealizowanie pomiaru właśnie przyspieszeń, a nie przemieszczeń. W przypadku czujników drogi konieczne jest zapewnienie bazy pomiarowej (odniesienia), którą zwykle jest teren pod obiektem. Nie zawsze jednak przestrzeń podmostowa jest dostępna. Pod obiektem może znajdować się rzeka, ruchliwa autostrada lub tory z trakcją elektryczną, a zamknięcie ruchu wiąże się z dużymi kosztami i kłopotami organizacyjnymi. Często ze względu na dużą wysokość skrajni, konieczne jest stosowanie linek, które przenoszą ugięcie przęsła na poziom terenu, na którym ustawione są czujniki. Stosowanie takiego po- 19

średniego pomiaru wiąże się z dodatkowymi błędami wynikającymi ze sprężystości drutu lub wpływu wiatru powodującego przypadkowe drgania linki. Problemy te nie występują w przypadku czujników przyspieszeń. Można je montować na obiekcie bez żadnego odniesienia, a dzięki małym gabarytom nie podlegają wpływom wiatru. Opisane w tym punkcie doświadczenia mają na celu wykazanie przydatności zaproponowanej metody estymacji LDT w przypadku analizy przyspieszeń. Do badania wybrano sygnał z jednego czujnika drogi i akcelerometru zarejestrowany przy tym samym wymuszeniu skokami grupy ludzi i w tym samym czasie (Rys. 1). Wydzielono również ten sam przedział czasowy od 19 do 35 sek.,1,9 Błąd średniokwadratowy e,2,18 Wskaźnik dopasowania do obwiedni E,8,7,6 Przyspieszenia Przemieszczenia,16,14,12 Przyspieszenia Przemieszczenia e [-],5,4 E [-],1,8,3,6,2,4,1,2, 48 4 38 32 3 26 22 2 18 14 12 1 8 6 4 2, 48 4 38 32 3 26 22 2 18 14 12 1 8 6 4 2 Liczba punktów [szt] Liczba punktów [szt] Rys. 11 Błąd średniokwadratowy i sprowadzony wskaźnik dopasowania do obwiedni amplitud przyspieszeń Porównując wykres przy przemieszczeniach i przyspieszeniach (Rys. 11) widać, że w przypadku przyspieszeń wartość LDT wykazuje większą stabilność i to w szerszym przedziale czułości. Błąd średniokwadratowy ε w przyspieszeniach jest wyraźnie mniejszy. Wynika z tego, że tłumienie w prawie całym przedziale jest bardziej zbliżone do wiskotycznego. Sprowadzony wskaźnik dopasowania osiąga minimum przy mniejszym progu czułości równym 2% (35% w przemieszczeniach), co odpowiada 32 punktom (26 w przemieszczeniach). Przy tym poziomie czułości wartość LDT wynosi,872 (,845 w przemieszczeniach). Różnica między tym wartościami równa,27 jest prawie o połowę mniejsza niż zaproponowana wcześniej dokładność estymacji w tej grupie tłumienia. Można, więc z powodzeniem do estymacji LDT wykorzystywać sygnały pochodzące z akcelerometrów. 6. PRÓBA WYKORZYSTANIA ANALIZY FALKOWEJ Przy analizie sygnałów niestacjonarnych, tradycyjne techniki oparte na FFT stają się niewystarczające, a często nawet nieskuteczne. Konieczne jest sięgnięcie po bardziej zaawansowane algorytmy. Należy do nich od niedawna stosowana, ale coraz bardziej popularna, transformacja falkowa. Operuje ona na płaszczyźnie czasu i częstotliwości. 2

Ogólnie, transformacja falkowa pozwala zrealizować dekompozycję losowego procesu w zlokalizowane funkcje o ortogonalnej bazie. Dzięki temu może być wykorzystywana do modelowania, analizy i symulacji procesów niestacjonarnych. Pozwala na przedstawienie przejściowych sygnałów w postaci mapy czasowoczęstotliwościowej lub zmiennego w czasie widma, którego brakuje w tradycyjnych podejściach. W stosunkowo krótkim okresie swego funkcjonowania, analiza falkowa znalazła różnorodne zastosowania w wielu dziedzinach. Najważniejsze aplikacje to wykrywanie nieciągłości sygnału, usuwanie trendu, redukcja szumów oraz kompresja danych. Oprócz tego, na podstawie współczynników falkowych, można wyznaczać i estymować widmo mocy lub tworzyć skalogramy opisujące energię sygnału na osi czasu. Rys. 12 Przyspieszenia przy marszu z dużym poziomem szumu przy lokalnym trybie kolorowania Na Rys. 12 pokazano wykresy pochodzące z analizy falkowej odpowiedzi kładki przy wymuszeniu marszem. Dominującą skalą na wykresie współczynników falkowych jest 2, co odpowiada częstotliwości 2,31 Hz. Analizowany sygnał przyspieszeń wykazuje bardzo duży udział szumów. W przypadku analizy tradycyjną metodą FFT konieczne byłoby wykorzystanie filtrów, które mogłyby spowodować zniekształcenia tego sygnału. Zastosowanie transformacji falkowej daje, zarówno w przemieszczeniach, jak i przyspieszeniach, przy tej samej skali bardzo podobny wykres współczynników, w których można wydzielić fazę zanikających drgań. 21

7. PODSUMOWANIE I WNIOSKI 7.1 Podsumowanie rozważań Powszechnie stosowany w dynamice mostów model tłumienia wiskotycznego, nie jest wiernym opisem tego zjawiska. Zawiera ono czynnik zdeterminowany i losowy. Jest ponadto nieliniowe i mocno uwarunkowane między innymi amplitudą, częstotliwością i postacią drgań własnych oraz warunkami zewnętrznymi jak temperatura otoczenia i wilgotność. Mimo tego, model ten w przypadku kładek dla pieszych, z uwagi na swoją prostotę i łatwość stosowania, jest najczęściej wykorzystywany i na dzień dzisiejszy jest wystarczający. Omówiona specyfika kładek dla pieszych wskazuje, że tłumienie odgrywa kluczową rolę przy ocenie walorów użytkowych konstrukcji, a nawet bezpieczeństwa jej użytkowania. Oczywiście przekroczenie ugięcia dopuszczalnego określonego przez stan graniczny użytkowalności (SGU) w wyniku wymuszenia rezonansowego z udziałem pieszych, wcale nie musi być równoznaczne z przekroczeniem stanem granicznym nośności (SGN), choć można sobie wyobrazić bardzo wiotkie kładki o ekstremalnie małym tłumieniu, które mogłyby być uszkodzone w wyniku rezonansowego oddziaływania człowieka. Drgania kładek dla pieszych należą do niestacjonarnych i nieergodycznych procesów losowych. Z tego powodu nie można dla nich wyznaczać wielu podstawowych charakterystyk jak wartości oczekiwanej czy wariancji. Przy analizie sygnałów niestacjonarnych, tradycyjne techniki oparte na FFT stają się niewystarczające, a często nawet nieskuteczne. Konieczne jest sięgnięcie po bardziej zaawansowane algorytmy. Należy do nich od niedawna stosowana, ale coraz bardziej popularna, transformacja falkowa. Spośród przedstawionych technik identyfikacji parametrów tłumienia, najczęściej wykorzystywaną i najstarszą jest technika logarytmicznego dekrementu tłumienia (LDT). Inne metody są bardzo skomplikowane i wymagają sporego doświadczenia operatorów. Ale nawet w przypadku tak prostej techniki jak LDT pojawiają się problemy w ocenie jakości estymacji. Nie opracowano bowiem, jak dotąd, jednolitego i powszechnie stosowanego algorytmu obliczeń. Korzystanie z filtrów ma swoje negatywne skutki uboczne. Wprowadzają one bowiem do układu często nieliniowe przesunięcie fazowe oraz dodatkowe tłumienie. Dlatego należy je używać z dużą rozwagą. Najmniejsze odchyłki otrzymuje się w przypadku stosowania filtra Bessela. Stosowanie bardzo wąskich filtrów pasmowych (o szerokości poniżej 1 Hz) oraz wysokiego rzędu (powyżej 5) powoduje bardzo silne zniekształcenie sygnału, praktycznie uniemożliwiające estymację LDT. W przeprowadzonych eksperymentach potwierdziły się tezy o nieliniowości tłumienia. Zależy ono między innymi od amplitudy początkowej. Wartość LDT uzależniona jest również od liczby amplitud branych do estymacji. Prawie idealne tłumienie wiskotyczne można zaobserwować tylko w ograniczonych przedziałach czasowych, 22