1 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 4-6 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [1] A. Plucińska, E. Pluciński, Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 2000 [2] T. Inglot, T. Ledwina, Z. Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1979 [] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 1995 [4] J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Instytutu Matematyki AGH, Kraków, 1997 [5] W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2002 [6] H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 200 [7] Y. Viniotis, Probability and Random Processes for Electrical Engineers, McGraw-Hill, Boston, 1998 [8] J. Jakubowski,, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa SCRIPT, Warszawa, 2001 [9] J. Stojanow, I. Mirazczijski, C. Ignatow, M. Tanuszew Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa, 1991 [10] A. Papoulis, Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 1972
2 Lista 4. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Zadanie 4.1 (a) Siedem opon samochodowych zostało ponumerowanych liczbami od 1 do 7 w zależności od ich jakości od najlepszej do najgorszej. Klient wybrał losowo cztery opony. Skonstruować zbiór Ω i podać prawdopodobieństwo, że najlepsza opona jaką wybrał klient ma jakość. (b) Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z dwóch cyfr i następnie czterech dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że pierwsza cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie dwie litery A. (c) Użytkownik karty kredytowej używa czterocyfrowego hasła dostępu. Złodziej posiada program, który sprawdza jeden układ cyfr w ciągu 1 sekundy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej karty w czasie nie dłuższym niż 10 sekund dostanie się na nasze konto kompletnie nie znając hasła? (d) Pudełko zawiera 90 śrub dobrych i 10 wadliwych. Z pudełka wyjęto 10 śrub. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie one są dobre? Zadanie 4.2 (a) Losujemy liczbę naturalną, tak że szansa na wylosowanie liczby i wynosi 4 i. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 5 i przez 7. (b) Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie na stronę ORZEŁ. Określić Ω i P odpowiadające temu eksperymentowi dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 6 i więcej niż rzuty. (c) Niech Ω = {ω n, n = 1, 2,...}. Weźmy ciąg p n = c n, n = 1, 2,.... Dobrać stałą c tak, aby ciąg (p n ) określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że p n = P ({ω n }). Obliczyć P ({ω,..., ω 9 }). Zadanie 4. (a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt koła x 2 +y 2 < 4 leży na zewnątrz kwadratu x < 1, y < 1. (b) Kawałek drutu długości 20 cm zgięto w przypadkowo wybranym punkcie pod kątem prostym, a następnie zgięto go w jeszcze dwóch miejscach tak, by powstała ramka prostokątna. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pole obszaru ograniczonego ramką nie przekracza 21 cm 2. (c) Dwoje internautów umówiło się na spotkanie w sieci między godziną 17 a 18, przy czym będą na siebie czekać 6 minut i nie dłużej niż do godziny 18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? (d) Wybieramy losowo parę liczb (a, b) z prostokąta [ 2, 2] [ 1, 1]. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwiastki równania x 2 + 2ax + b = 0 są rzeczywiste.
Lista 5. Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym. Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń Zadanie 5.1 (a) Pewna choroba jest obecna w 0,05% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni u 95% chorych i u 7% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent z wynikiem dodatnim jest chory? Czy ma on powody do obaw? (b) Wykonujemy pomiary czterema przyrządami, z których jeden jest nieco rozregulowany. Przy wykonywaniu pomiaru sprawnym przyrządem prawdopodobieństwo otrzymania błędu pomiaru przewyższającego tolerancję, wynosi 0,001; prawdopodobieństwo to dla przyrządu niesprawnego wynosi 0,25. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar losowo wziętym przyrządem jest wykonany nie w pełni sprawnym przyrządem, jeżeli wynik pomiaru przewyższa tolerancję. (c) W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód. Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr 2, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 1 z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr? Odpowiedź uzasadnić. (d) Spośród trzech równorzędnych kandydatów należy wybrać przewodniczącego grupy. W tym celu na jednej z trzech czystych kartek piszemy słowo przewodniczący i wrzucamy je do pudełka. Następnie kandydaci kolejno losują jedną kartkę i ten, który wylosuje przewodniczącego zostaje wybrany. Który kandydat ma największe szanse: losujący jako pierwszy, drugi, czy trzeci? (e) Kondensatory są dostarczane przez trzy zakłady, przy czym prawdopodobieństwo tego, że dany detal był przygotowany w pierwszym zakładzie wynosi 0, 2; że w drugim 0, ; że w trzecim 0, 5. Prawdopodobieństwo tego, że w określonych warunkach pracy kondensator zachowuje zdolność do pracy w przeciągu czasu T, dla kondensatorów pochodzących z pierwszego, drugiego i trzeciego zakładu są równe odpowiednio 0, 9; 0, 92; 0, 808. 1. Jakie jest prawdobodobieństwo tego, że przypadkowo wybrany kondensator z posiadanego zapasu kondensatorów zachowa zdolność do pracy w przeciągu czasu T? 2. Przypuśćmy, że kondensator nie przetrzymał ustalonego czasu pracy i uległ uszkodzeniu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pochodził on z pierwszego, z drugiego, z trzeciego zakładu? (f) Wśród 100 mężczyzn jest 5 daltonistów, a wśród 1000 kobiet są 2 daltonistki. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
4 Zadanie 5.2 (a) Prawdopodobieństwo trafienia w ruchomy cel przy jednym strzale jest równe 2/. Pięć osób strzela niezależnie do jednego ruchomego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony? (b) Jest 10 kartek z pytaniami egzaminacyjnymi. Losuje się jedną z nich w sposób przypadkowy. Kartka nr k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żaden z pięciu zdających nie wylosuje kartki nr k, jeśli wylosowane już kartki 1. są odkładane; 2. nie są odkładane, tzn. mogą być ponownie wylosowane. W którym z dwu rozważanych sposobów losowania zdarzenia polegające na wylosowaniu kartki nr k przez różne osoby zdające są niezależne? (e) Rozważmy rodziny z trojgiem dzieci. Przyjmujemy, że każda z ośmiu możliwości: CCC, CCD, CDC, DCC,... DDD, gdzie C oznacza chłopca, D - dziewczynkę, jest jednakowo prawdopodobna. Niech A oznacza zdarzenie, że rodzina ma dzieci obu płci; B - zdarzenie, że wśród dzieci jest co najwyżej jedna dziewczynka. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Rozwiązać analogiczne zadanie dla rodzin z dwojgiem dzieci; z czworgiem dzieci.
5 Zadanie 6.1 Lista 6. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. (a) Gracz wyciąga z talii (52 kart) trzy karty (bez zwracania). Jeśli są to asy, wygrywa 100 zł. Jeśli są wśród nich dokładnie 2 asy, gracz wygrywa 50 zł. Jeśli są to figury, gracz wygrywa 10 zł, a w pozostałych przypadkach płaci 1 zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym przegrana 1 zł to inaczej wygrana -1 zł). Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > 0). (b) Na przestrzeni probabilistycznej Ω = {ω = (x, y) : x 2 + y 2 1} z prawdopodobieństwem geometrycznym definiujemy zmienną losową R jako odległość punktu (x, y) Ω od środka koła (0, 0), tzn. R(ω) = R(x, y) = x 2 + y 2. Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej R. Obliczyć P (R < 0, 5). Zadanie 6.2 (a) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem 0 dla x 1, F (x) = 1 dla 1 < x 0, 1(x + 1) dla 0 < x 1, 1 dla 1 < x. Narysować F (x) i obliczyć P (0 < X < 1), P (0 < X 1), P (0 X < 1), P ( 1 < X < 2), P ( 1 X < 2), P (X > 0), P ( X > 0, 5). (b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem 0 dla x 0, F (x) = 0, 75 1 dla x > 0 1 + x 2 Narysować F (x) i obliczyć P ( 1 < X < 0), P ( 1 < X 0), P (1 < X < ), P ( X > ), P ( X 1 < 1). Zadanie 6. (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A+Barctg(2x) była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > 0, 5). Ax 2 dla x 1, (b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = x + B dla 1 < x 0, 5, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P ( 0, 75 < X < 0). 1 dla x > 0, 5 A + 1 + e x dla x 1, (c) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = e 1 dla 1 < x 1, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P ( 2 < X < 1/2) i P (X > B( x 1 ) dla x > 1 2).
6 Zadanie 6.4 (a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu. Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Dystrybuanty rozkładu zmiennej T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku 1. Który algorytm byś wybrał? Odpowiedź uzasadnić. F (t) 1.0 0 Rysunek 1. A B 100 t (b) Na rysunku 2 znajdują się dystrybuanty rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch programów ftp A i B. Dla którego małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 0 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 15 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij. F (t) 1.0 Rysunek 2. A B 0 60 100 t
7 Odpowiedzi i wskazówki: Lista nr 4: 4.1 (a) Ω = {{op 1, op 2, op, op 4 }, gdzie op i {1, 2,..., 7}}, nieuporządkowane czwórki bez powtórzeń ze zbioru siedmioelem.; 0, 114; (b) 1 4 0, 000005; (c) 0, 001; 5 187500 0, (d) 52005868017 157664496040 4.2 (a) 2, 541 4 5 1 10 21 ; (b) Ω = {ω n = (n 1) razy RESZKA, na końcu ORZEŁ, n = 1, 2,...}, p n = P ({ω n }) = ( 1 2 (c) c = 2, p = 7 1 9 0, 11106 4. (a) 1 1 π 0, 6817; (b) 0, 6; (c) 0, 19; (d) 5 6 Lista nr 5: ) n, szukane prawdop. wynosi 2 5 = 0, 0975; 0, 8 5.1 (a) 0,95 0,0005 0, 00674; (b) 250 0, 988; (c) tak, patrz przykłady; (d) losujący mają taką samą 0,07044 25 szansę 1; (e) 1. 0, 86, 2. odpowiednio 1 0, 144, 6 24 25 0, 171, 0, 686; (f) 0, 9615 7 5 5 26 5.2 (a) 242 24 0, 9959; (b) 1. 0, 5, 2. (0, 9)5 0, 59; zdarzenia są niezależne w przypadku 2.; (c) tak ( dzieci), nie (2 dzieci), nie (4 dzieci) Lista nr 6: 0 dla x 1, 6.1 (a) F (x) = 597 5452 5524 0, 9768 dla 1 < x 10, 0, 9868 dla 10 < x 50, 0, 9998 dla 50 < x 100, 1 dla x > 100 0 dla r 0, (b) F (r) = r 2 dla 0 < r 1, P (R < 0, 5) = 0, 25 1 dla r > 1 P (X > 0) = 1 597 0, 022; 6.2 (a) P (0 X < 1) = 1 0,, P (0 < X 1) = 2 0, 6667, P ( 1 < X < 2) = 2 0, 6667, P ( 1 X < 2) = 1, P (X > 0) = 2 0, 6667, P ( X > 1/2) = 5 0, 8; 6 (b) P ( 1 < X < 0) = 0, P ( 1 < X 0) = 0, 25, P (1 < X < ) = 0,, P ( X > ) = 0, 075, P ( X 1 < 1) = 0, 6 6. (a) A = 0, 5; B = 1, P (X > 0, 5) = 0, 25; π (b) A = 0, 1 B 1, 5, P ( 0, 75 < X < 0) = 1, 75 B; (c) A = 1, B = 1 e 1, P ( 2 < X < 1/2) = 0, 225, P (X > 2) = 1 e 2 6 0, 1667 6.4 (a) Algorytm B chroni lepiej. (b) Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla A. Opóźnienie równe 0 jednostkom czasu ma prawdopod. 0 dla B, a prawdop.> 0 dla A. Opóźnienie krótsze niż 15 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla A.