Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej

Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 14 maja, poniedziałek, 12:15 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 1 / 18

Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny? Rozważamy grawitujący układ podwójny: pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gromada kulista gwiazd, R może być nieskończone) masę M traktujemy jak ciało sztywne drugie ciało traktujemy jako masę punktową (czarną dziurę) m w odległości d stosunek mas m/m dowolny, szczególności może być m M M, Ρ r R d m M, Ρ r R d m A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 2 / 18

Model analityczny i jego weryfikacja Zbadanie zagadnienia wymaga odpowiedzi na dwa pytania: 1 Jakie są warunki stabilności w ramach założonego modelu (zrobione dla d R) 2 Konfrontacja modelu analitycznego z symulacjami numerycznymi symulacja N-ciałowa (N 10 3... 10 5 ); astrofizyczny reprezentant to gromada kulista symulacja hydrodynamiczna 3D układu podwójnego gwiazd (w planach) A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 3 / 18

Układ mechaniczny Przyjęta procedura badania stabilności Na prostych przykładach można pokazać, że są sytuacje gdy ω OSC = ω ORB, ale: nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie pompujemy energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał lub N-ciał nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych rezonansów nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł oporów czy masa M (a konkretnie jej astrofizyczny reprezentant ) jest stabilna A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 4 / 18

Układ mechaniczny Założenia i uproszczenia Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał: 1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r); gęstość centralna ρ(0) = ρ 0 2 masa punktowa m w odległości d > R 3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią 4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli: masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 5 / 18

Planar restricted circular three body problem gdzie: ω 2 = G m (x d) ẍ 2 ω ẏ + k x+ [(x d) 2 + y 2 ] + G m 3/2 d 2 = 0, (1a) G m y ÿ + 2 ω ẋ + k y+ = 0, [(x d) 2 + y 2 3/2 ] (1b) G (m + M) d 3, k = 4 3 πgρ 0 ω 2, x 2 + y 2 R 2 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 6 / 18

Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0 Wstawiam: x(t) = ɛ ζ(t), y(t) = ɛ ξ(t) rozwijam w szereg potęgowy po ɛ, odrzucam wyrazy rzędu ɛ 2 i wyższe, otrzymując układ liniowy: ζ 2 ω ξ + (k 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ζ + (k + q) ξ = 0, gdzie: k = 4 3 πgρ 0 ω 2, q = Gm d, ω 2 = G(M+m) 3 d. 3 Podstawiam ξ, ζ e λt i otrzymuję równanie charakterystyczne: ( ) λ Det 2 + k 2q 2ωλ 2ωλ λ 2 = 0. + k + q System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0. Niestabilność pojawia się dla: (2b) M d 3 < 4 3 πρ 0 < M + 3m d 3, lub 4 3 πρ 0 < 1 m M m/8 2 d 3 m + M A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 7 / 18

Sposoby rozwiązywania problemu stabilności Procedura eliminacji kwantyfikatorów Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora: ( λ 2 M d 3 + 4πρ ) ( λ 2 M 3 d 3 3m d 3 + 4πρ ) + 4λ2 (m + M) 3 d 3 = 0 Re(λ)>0 pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997 Resolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecomposition, Reduce, nowe Solve w wer. 8) Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7, Poland Mathematica Conference, Kraków, May 2009 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 8 / 18

Zachowana energia i region Hill a Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r): E = 1 2ẋ 2 + 1 2ẏ2 + U(x, y) (3a) U(x, y) = φ(r) 1 2 ω2 r 2 G m G m(x + d) + (x d)2 + y 2 d 2, r 2 = x 2 + y 2 (3b) φ(r) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x, y) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań. rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δe i badamy zachowanie się obszaru Hill a U(x, y) < δe A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 9 / 18

Typowe przypadki 2 d a d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18

Typowe przypadki 2 d b d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18

Typowe przypadki 2 d c d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18

Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D ciała początkowo na orbitach kołowych dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem system jest niestabilny dla: lub: M d 3 < 4 M + 3m (1 + µ/m) 1 πρ < 3 d 3 4 3 πρ < 1 m M + µ m/8 2 d 3 M + µ + m (1 + µ/m) 1. wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M: (1 + µ/m) A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 11 / 18

Masa grawitacyjna i masa bezwładna Jeżeli masa m porusza się wewnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych mamy: M, Ρ r R d m ω 2 ORB = G M grav + m Mgrav M inert d 3. Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego M grav M inert! W przypadku ρ(r) = const możemy pokazać, że: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, czyli ω ORB nie zależy od d. A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 12 / 18

Przypadek d < R naiwna (błędna) intuicja fizyczna sugeruje, że zawsze M inert = M grav dla masy próbnej (punktowej) powyższe jest prawdą - wnioskujemy, że niemożliwa jest jej korotacja z obiektem, dla którego M grav M inert popularny model gromady kulistej, czyli sfera Plummera, ma rozkład gęstości rozciągający się do r : ρ(r) = formalnie zawsze jesteśmy wewnątrz ρ 0 (1 + r 2 /R 2 ) 5/2 ograniczny problem 3 ciał będzie miał jakościowo różne rozwiązania dla d < R oraz d > R, co można pokazać analizując położenie punktów libracyjnych (Lagrange a) wyniki zależą od funkcji ρ(r); rozważam następujące przykłady: 1 masa punktowa (jako klasyczny punkt odniesienia) 2 jednorodna kula o promieniu R 3 sfera Plummera o promieniu R A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 13 / 18

Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne 2 1 L 5 0 M m L 3 L 1 L 2 1 L 4 2 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 14 / 18

Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne x x CM d 1.0 L 2 0.5 0.0 M L 1 m 0.5 1.0 L 3 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 14 / 18

Rozkład punktów libracyjnych 4 2 L 5 0 M m L 3 L 0L 1 L 2 2 L 4 4 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 15 / 18

Położenie punktów libracyjnych dla q = 2 d R 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 L 2 L 0 L 1 CM m 0.0 4 2 0 2 4 3 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 16 / 18

Porównanie z symulacją N-ciałową 2 1 2 1 1 2 1 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18

Porównanie z symulacją N-ciałową 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 1.0 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18

Porównanie z symulacją N-ciałową 1.0 0.5 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18

Pytania i odpowiedzi Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) TAK (w modelu N-ciałowym) ale: 1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane 2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange a zmienia się jakościowo 3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność? TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne) Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a? TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/m > 9 Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego? Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 18 / 18